• 1. INTEGRANTES:EQUIPO: DOS GRUPO: UNOBENÍTEZ HERNÁNDEZ HUGO ALFREDO HERNÁNDEZ CHÁVEZ BRIGIDO ALBERTOJUÁREZ MUÑOZ ADRIANREDONDO NAVA JOSE NAHUSERRANO SERRANO ARTURO“
  • 2. CONSIDERACIONES PREVIAS El teorema de Pitágoras es una de las relaciones matemáticas más importantes dentro de la aritmética, algebra y geometría por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias, alturas y áreas de terrenos y/o superficies.Sin embargo, su máxima aplicación se da en la trigonometría, ya que por medio de él podemos determinar el seno, coseno y tangente de cualquier triángulo rectángulo.Para la comprensión de este tema se requiere que los alumnos cuenten con conocimientos previos sobre el cálculo de áreas en figuras planas y despeje de funciones algebraicas. Pregunta para Evaluación Podemos afirmar que las funciones sen, cos y tan están basadas en el Teorema de Pitágoras o proposición 1.47 de los Elementos de Euclides. Cierto/Falso
  • 3. Nació en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales.Hijo de Menesarco, quizás un rico comerciante de Samos.Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo.Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, así como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos.Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía. Pregunta para Evaluación Indique al menos tres materias en las que Pitágoras estudió e hizo aportaciones Filosofía, matemáticas y astronomía
  • 4. DEFINICIONESTeorema: Es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.Área: Es aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geométrica cerrada.Ángulo: Es la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.Triángulo rectángulo: Es aquel triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º.
  • 5. Propiedades básicas de área de una figura: Para determinar elárea de cualquier figura sin importar su forma, basta condescomponerla en pequeñas porciones o figuras de las cualespodamos determinar su superficie; al final la suma de todas nosdará el área de la figura.Área del rectángulo:La cantidad de superficie encerrada en unrectángulo es el producto de la base por la altura. Así pues podemosdecir con toda seguridad que A=b.a.Área del cuadrado: La cantidad de superficie encerrada en uncuadrado de lado l es l2. Es decir A=l2.Área del triángulo: La cantidad de superficie encerrada en untriángulo es igual al producto de la base por la altura dividido pordos, es decir, A = b.a/2 Pregunta para Evaluación La superficie de cualquier figura se puede determinar sumando las de aquellas en las que se haya dividido sin importar la cantidad Cierto/Falso
  • 6. En un triángulo rectángulo, a loslados que forman el ángulo rectose les llama catetos y al opuesto alángulo recto hipotenusa.Ca“La suma de los cuadrados de lostcatetos es igual al cuadrado de laehipotenusa.”toEsdecir: En untriángulorectángulo, el área del cuadradobconstruido sobre la hipotenusa esigual a la suma de las áreas de losCateto acuadrados construidos sobre cadauno de los catetos.c2 = a2 + b2. Pregunta para Evaluación Si un triángulo tiene dos lados de 3 y 4 unidades la hipotenusa medirá 5. Correcto/Incorrecto
  • 7. TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener cualquier a de sus lados llámese hipotenusa o catetos. Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos en la formula en la formula c2= a2+b2, por ejemplo: Dados los datos de un triangulo rectángulo:  a= 3 b= 4 y c=? Se sustituye: c2 = (3)2 + (4)2al cuadrado,eso da: Elevando c2 = 9 +16 = 25 Para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada: o sea que c = 5.
  • 8. TEOREMA DE PITÁGORAS Cuando lo que te falta es uno de los catetos hay que despejar de la fórmula de la siguiente manera:Cuando se busca a: C2=A2+B2 B2 pasa restando y queda: C2 – B2 =A2 o A2= C2-B2Cuando se busca b: C2=A2+B2 A2 pasa restando y queda: C2 – A2= B2 O B2= C2 –A2Por último si se quiere obtener el valor absoluto de a, b o c se saca la raíz cuadrada del resultado final.
  • 9. El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución deproblemas de la vida cotidiana.Ejemplo 1:Para el calculo de distancias y/o alturas: Se desean bajar frutos de unárbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que seacapaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran losfrutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.Sustituyendo valores en laformula, tenemos que: c2=a2+b2C2=(8)2+(5)2C2=64+25 C= A= 8 C2=89 ?C=√89C= 9.43 m es la altura de laB=escalera.5
  • 10. Ejemplo 2: Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8 m.Si se considera una parte delcuadrado, se tiene untriángulo rectángulo en elquec = d, a = 8 y b = 8. Al utilizar la relaciónpitagórica c2 = a2 + b2, sesustituyenlos datos:d2 = 82 + 82 = 64 + 64 =128d= √128d= 11.31m
  • 11. Ejemplo3: Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la longitud de cada uno de sus lados es de 4 m. Para calcular el área de un hexágono se aplicara la siguiente formula: El perímetro es igual que P = 6 x l, que sustituyendo es P = 6 x 4 = 24 m
  • 12. Para calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triángulo ABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulos equiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulo rectángulo:Sustituir estos datos en la relación:c2 = a2 + b2 42 = a2 + 22 16 = a2 + 4Se resuelve la ecuación de segundo grado:
  • 13. Ejemplo 4: Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como se ve en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?Los puntos A, B y C forman untriángulo rectángulo. Para calcular ladistancia c del punto A al punto B seutiliza el teorema de Pitágoras,sustituyendo a “a” por 2,400 y a “b”por 1,000, y despejando a c:a2+b2=c224002+10002=c26,760,000=c2c=2600Las dos cuadrillas están a 2600yardas de distancia. Esa distancia esmenor que la del alcance de losradios, por lo que las cuadrillas sepueden comunicar.
  • 14. En trigonometría el teorema de Pitágoras se utiliza para determinar los ángulos de cualquier triangulo rectángulo mediante las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente. El triángulo ABC es untriángulo rectángulo, lousaremos para definir lasrazones seno, coseno ytangente, del ángulo ,correspondiente al vértice A,situado en el centro de lacircunferencia.
  • 15. De esta manera tenemos que:El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse quot;sinusquot; en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se expresa de la siguiente manera: El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, se expresa así:
  • 16. La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente:
  • 17. Del teorema de Pitágoras se desprenden algunas identidadestrigonométricas; por identidad trigonométrica se entiende comouna igualdad en que se cumple para todos los valores permisiblesde la variable.Como en el triángulo rectángulo cumplela función que:De la figura anterior se tiene que: Entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :Pregunta para Evaluación “La suma de los cuadrados del seno y coseno de un < de 37 grados nos da uno” Correcto/Incorrecto
  • 18. Conclusiones:Hoy en día a pesar de los avances tecnológicos es necesario utilizar cálculos y funciones matemáticas que a pesar de que se crearon hace varios siglos siguen siendo útiles para resolver problemas de la vida cotidiana.El Teorema de Pitágoras es un claro ejemplo de ello, ya que se considera parte de la educación elemental de cualquier individuo, en su forma más simple, nos proporciona una solución sencilla a problemas de longitud, alturas y distancias que en cualquier etapa de nuestra vida se nos pueden presentar.
  • 19. Bibliografía:http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttp://www.appletpie.com/apie/apiedemo/demostracion.htm l“El teorema de Pitágoras” Presentación elaborada por la Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda. Matemáticas preuniversitarias.“Teorema de Pitágoras”. Documento PDF. Disponible en: www.tecnica80sinaloa.edu.mx/MaterialEducativo/Matematicas/ Articulos/03TEOREMA%20DE%20PITÁGORAS.pdf
  • 20. Ejercicios adicionales para la Evaluación El siguiente dibujo ha sido completado y traducido a términos modernos; viene de una tablilla de arcilla, muy deteriorada, fechada hacia el año 1800 a. C. Se debe encontrar el radio x del círculo circunscrito al triángulo isósceles ABC, sabiendo que AB=60 y que CA=CB= 50. C50 o x 30 D BASolución: Se calcula primero DC, usando el teorema de pitágoras se obtiene DC=40. Si x es el radio del círculo, se tendrá que CD=40-x. Aplicando nuevamente el teorema se tiene que x*2= (40-x)* 2 + 30*2 de donde x= 31 1/4La trigonometría existe porque existe el teorema de PitágorasE.S. Lomis
  • 21. Pasando por los puntos de la figura, formar un cuadrado que tenga un área de 5 unidades cuadradas Solución 1 2“La geometría tiene dos grandes tesoros, unos es el Teorema de Pitágoras, y otrola división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya deoro , el segundo viene a ser una piedra preciosa”Kepler
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    Teorema De Pitagoras Ejemplos

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    • 1. INTEGRANTES:EQUIPO: DOS GRUPO: UNOBENÍTEZ HERNÁNDEZ HUGO ALFREDO HERNÁNDEZ CHÁVEZ BRIGIDO ALBERTOJUÁREZ MUÑOZ ADRIANREDONDO NAVA JOSE NAHUSERRANO SERRANO ARTURO“
  • 2. CONSIDERACIONES PREVIAS El teorema de Pitágoras es una de las relaciones matemáticas más importantes dentro de la aritmética, algebra y geometría por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias, alturas y áreas de terrenos y/o superficies.Sin embargo, su máxima aplicación se da en la trigonometría, ya que por medio de él podemos determinar el seno, coseno y tangente de cualquier triángulo rectángulo.Para la comprensión de este tema se requiere que los alumnos cuenten con conocimientos previos sobre el cálculo de áreas en figuras planas y despeje de funciones algebraicas. Pregunta para Evaluación Podemos afirmar que las funciones sen, cos y tan están basadas en el Teorema de Pitágoras o proposición 1.47 de los Elementos de Euclides. Cierto/Falso
  • 3. Nació en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales.Hijo de Menesarco, quizás un rico comerciante de Samos.Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo.Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, así como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos.Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía. Pregunta para Evaluación Indique al menos tres materias en las que Pitágoras estudió e hizo aportaciones Filosofía, matemáticas y astronomía
  • 4. DEFINICIONESTeorema: Es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.Área: Es aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geométrica cerrada.Ángulo: Es la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.Triángulo rectángulo: Es aquel triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90º.
  • 5. Propiedades básicas de área de una figura: Para determinar elárea de cualquier figura sin importar su forma, basta condescomponerla en pequeñas porciones o figuras de las cualespodamos determinar su superficie; al final la suma de todas nosdará el área de la figura.Área del rectángulo:La cantidad de superficie encerrada en unrectángulo es el producto de la base por la altura. Así pues podemosdecir con toda seguridad que A=b.a.Área del cuadrado: La cantidad de superficie encerrada en uncuadrado de lado l es l2. Es decir A=l2.Área del triángulo: La cantidad de superficie encerrada en untriángulo es igual al producto de la base por la altura dividido pordos, es decir, A = b.a/2 Pregunta para Evaluación La superficie de cualquier figura se puede determinar sumando las de aquellas en las que se haya dividido sin importar la cantidad Cierto/Falso
  • 6. En un triángulo rectángulo, a loslados que forman el ángulo rectose les llama catetos y al opuesto alángulo recto hipotenusa.Ca“La suma de los cuadrados de lostcatetos es igual al cuadrado de laehipotenusa.”toEsdecir: En untriángulorectángulo, el área del cuadradobconstruido sobre la hipotenusa esigual a la suma de las áreas de losCateto acuadrados construidos sobre cadauno de los catetos.c2 = a2 + b2. Pregunta para Evaluación Si un triángulo tiene dos lados de 3 y 4 unidades la hipotenusa medirá 5. Correcto/Incorrecto
  • 7. TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener cualquier a de sus lados llámese hipotenusa o catetos. Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos en la formula en la formula c2= a2+b2, por ejemplo: Dados los datos de un triangulo rectángulo:  a= 3 b= 4 y c=? Se sustituye: c2 = (3)2 + (4)2al cuadrado,eso da: Elevando c2 = 9 +16 = 25 Para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada: o sea que c = 5.
  • 8. TEOREMA DE PITÁGORAS Cuando lo que te falta es uno de los catetos hay que despejar de la fórmula de la siguiente manera:Cuando se busca a: C2=A2+B2 B2 pasa restando y queda: C2 – B2 =A2 o A2= C2-B2Cuando se busca b: C2=A2+B2 A2 pasa restando y queda: C2 – A2= B2 O B2= C2 –A2Por último si se quiere obtener el valor absoluto de a, b o c se saca la raíz cuadrada del resultado final.
  • 9. El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución deproblemas de la vida cotidiana.Ejemplo 1:Para el calculo de distancias y/o alturas: Se desean bajar frutos de unárbol de naranjas, para ello se quiere construir una escalera que seacapaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran losfrutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.Sustituyendo valores en laformula, tenemos que: c2=a2+b2C2=(8)2+(5)2C2=64+25 C= A= 8 C2=89 ?C=√89C= 9.43 m es la altura de laB=escalera.5
  • 10. Ejemplo 2: Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8 m.Si se considera una parte delcuadrado, se tiene untriángulo rectángulo en elquec = d, a = 8 y b = 8. Al utilizar la relaciónpitagórica c2 = a2 + b2, sesustituyenlos datos:d2 = 82 + 82 = 64 + 64 =128d= √128d= 11.31m
  • 11. Ejemplo3: Calcular el área de un hexágono regular conociendo que la longitud de cada uno de sus lados es de 4 m. Para calcular el área de un hexágono se aplicara la siguiente formula: El perímetro es igual que P = 6 x l, que sustituyendo es P = 6 x 4 = 24 m
  • 12. Para calcular la longitud del apotema, obsérvese que el triángulo ABC es equilátero, se utiliza una parte de uno de los triángulos equiláteros. Para saber que la longitud de los lados del triángulo rectángulo:Sustituir estos datos en la relación:c2 = a2 + b2 42 = a2 + 22 16 = a2 + 4Se resuelve la ecuación de segundo grado:
  • 13. Ejemplo 4: Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como se ve en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?Los puntos A, B y C forman untriángulo rectángulo. Para calcular ladistancia c del punto A al punto B seutiliza el teorema de Pitágoras,sustituyendo a “a” por 2,400 y a “b”por 1,000, y despejando a c:a2+b2=c224002+10002=c26,760,000=c2c=2600Las dos cuadrillas están a 2600yardas de distancia. Esa distancia esmenor que la del alcance de losradios, por lo que las cuadrillas sepueden comunicar.
  • 14. En trigonometría el teorema de Pitágoras se utiliza para determinar los ángulos de cualquier triangulo rectángulo mediante las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente. El triángulo ABC es untriángulo rectángulo, lousaremos para definir lasrazones seno, coseno ytangente, del ángulo ,correspondiente al vértice A,situado en el centro de lacircunferencia.
  • 15. De esta manera tenemos que:El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse quot;sinusquot; en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se expresa de la siguiente manera: El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, se expresa así:
  • 16. La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente:
  • 17. Del teorema de Pitágoras se desprenden algunas identidadestrigonométricas; por identidad trigonométrica se entiende comouna igualdad en que se cumple para todos los valores permisiblesde la variable.Como en el triángulo rectángulo cumplela función que:De la figura anterior se tiene que: Entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :Pregunta para Evaluación “La suma de los cuadrados del seno y coseno de un < de 37 grados nos da uno” Correcto/Incorrecto
  • 18. Conclusiones:Hoy en día a pesar de los avances tecnológicos es necesario utilizar cálculos y funciones matemáticas que a pesar de que se crearon hace varios siglos siguen siendo útiles para resolver problemas de la vida cotidiana.El Teorema de Pitágoras es un claro ejemplo de ello, ya que se considera parte de la educación elemental de cualquier individuo, en su forma más simple, nos proporciona una solución sencilla a problemas de longitud, alturas y distancias que en cualquier etapa de nuestra vida se nos pueden presentar.
  • 19. Bibliografía:http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttp://www.appletpie.com/apie/apiedemo/demostracion.htm l“El teorema de Pitágoras” Presentación elaborada por la Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda. Matemáticas preuniversitarias.“Teorema de Pitágoras”. Documento PDF. Disponible en: www.tecnica80sinaloa.edu.mx/MaterialEducativo/Matematicas/ Articulos/03TEOREMA%20DE%20PITÁGORAS.pdf
  • 20. Ejercicios adicionales para la Evaluación El siguiente dibujo ha sido completado y traducido a términos modernos; viene de una tablilla de arcilla, muy deteriorada, fechada hacia el año 1800 a. C. Se debe encontrar el radio x del círculo circunscrito al triángulo isósceles ABC, sabiendo que AB=60 y que CA=CB= 50. C50 o x 30 D BASolución: Se calcula primero DC, usando el teorema de pitágoras se obtiene DC=40. Si x es el radio del círculo, se tendrá que CD=40-x. Aplicando nuevamente el teorema se tiene que x*2= (40-x)* 2 + 30*2 de donde x= 31 1/4La trigonometría existe porque existe el teorema de PitágorasE.S. Lomis
  • 21. Pasando por los puntos de la figura, formar un cuadrado que tenga un área de 5 unidades cuadradas Solución 1 2“La geometría tiene dos grandes tesoros, unos es el Teorema de Pitágoras, y otrola división de un segmento en media y extrema razón. Si el primero es una joya deoro , el segundo viene a ser una piedra preciosa”Kepler
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