• 1. El maravilloso mundo deTrigonometría
  • 2. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
  • 3. Identidades Trigonométricas
  • 4. Definición:
    • Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
  • 5. Demostración de una identidad:
    • Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x
    • Comprobamos que:
    • Six=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
    • 1+1=√2. √2
  • 6. Tipos de Identidades
  • 7. Recíprocas:
    • Sen x =1. Cosec x =1.
    • CosecxSen x
    • Cos x =1. Sec x = 1.
    • Sec xCosx
    • Tg x =1. Ctg x = 1.
    • Ctg xTgx
  • 8.           sen xtan x = --------              csc x            cos x ctg x = -------             sen x
    •            cos xsen x = --------               ctg x              sen xcos x = ------              tan x
    Por cociente
  • 9. Pitagóricas
    • sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1
  • 10. Ejercicioscon IdentidadesTrigonométricas
  • 11. Demostración:
    • Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos:
    • Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
    • 1.–Cos x. Cos x = Sen x
    • Sen xSen x
    • 1.–Cos ²x = Sen x
    • Sen xSen x
    • 1 – Cos² x = Sen x
    • Sen x
    • Pero1- Cos² x = Sen ² x ; luegoSen² x= Sen x
    • Sen x
    L.q.q.dSen x = Sen x
  • 12. Simplificación
    • Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.
    • Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x
    • Cos x.Sen x+ 1
    • Cos x
    • Cos x . Sen x+ Cos x
    • Cos x
    • Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
  • 13. Tipo Condicional
    • Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
    • Si Tg x + Ctg x = 4
    • ¿Tg ²x + Ctg ²x ?
    • Solución:
    • (Tg x + Ctg x)²= (4)²
    • Tg ²x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ²x = 16
    • Tg ²x + Ctg ²x = 16 – 2
    • Tg ²x + Ctg ²x = 14
  • 14. Eliminación Angular
    • Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
    • ßde:
    • x = 4 Sen ß y = 5 Cos ß
    • x = 4Cos ß x/4 = Senßx²/16=Sen²ß
    • y= 5Cosßy/5 = Cscßy²/25=Cos²ß
    • X²/16+y²/25 =Sen²ß + Cos²ß
    • X²/16 + y²/25 = 1
  • 15. "Ecuaciones Trigonométricas"
  • 16. Definición:
      • Una ecuación trigonométrica es una
      • igualdad entre ecuaciones trigonométricas
      • de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica.
      • Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.
  • 17.
    • Ejemplo:
    • Sen 2x + Cos x = 0sí es E.T.
    • 2x + 3 Tan x =√2no es E.T.
    • Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1sí es E.T.
  • 18. Soluciones Generales:
    • Para Sen y Cosc:
    • nЛ+ (-1) V.P.
    • k
    • Para Cos y Sec:
    • 2nЛ+ - V.P
    • k
    • Para Tag y Cotg:
      • mЛ+ V.P.
      • k
  • 19. "Tipos de Ecuaciones Trigonométricas"
  • 20. Elementales
  • 21.
    • Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas.
    • Son aquellas que presentan la siguiente forma:
    • Donde:KЄ R – {0} ; aЄR
    F.T. (Kx) = a
  • 22. Ejemplo:
    • Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0
    • Resolución:
    • Resolviendo la ecuación tenemos:
    • Cotg 3 X -1 = 0Cotg 3x = 1
    • Hallando la soluciones generales para la cotangente:
    • x =nЛ+ arc Cotg (1)
    • 3
    • x =nЛ+Л ; o también;
    • 312
    • x = 60° n + 15°Solución General
  • 23.
    • Luego (nЄZ)
      • n = 0x = 60° (0) + 15° = 15°
      • n = 1x = 60° (1) + 15° = 75°
      • n = 2x = 60° (2) + 15° = 135°
      • C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
  • 24. No Elementales
  • 25.
    • Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.
  • 26. Ejemplo:
    • Hallar el menor valor positivo de “x” en:
    • 4 Sen x Cos x – 1 = 0
    • Resolución:
    • Recordemos que:
    En la ecuación tenemos: 2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0 2 Sen 2x – 1 = 0 Sen 2x =1 2 2x = {30º ; 150º ; 390º ; …} x = {15º ; 75º ; 195º ; …} Solución principal Sen 2 x = 2 Sen x Cos x x = 15º
  • 27. Recomendaciones Generales para resolver una E.T.
    • Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico.
    • Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.
  • 28.
    • “ La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
    Gracias
  • 29.
    • Integrantes :
    • Ana María Guerrero
    • Diana Rodríguez
    • Vannia Rivera
    • Estefanía Rengifo
    • Solandge Fanton
    • Sandra Saavedra
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    Identidades Trigonometricas 2

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    • 1. El maravilloso mundo deTrigonometría
  • 2. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
  • 3. Identidades Trigonométricas
  • 4. Definición:
    • Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
  • 5. Demostración de una identidad:
    • Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x
    • Comprobamos que:
    • Six=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
    • 1+1=√2. √2
  • 6. Tipos de Identidades
  • 7. Recíprocas:
    • Sen x =1. Cosec x =1.
    • CosecxSen x
    • Cos x =1. Sec x = 1.
    • Sec xCosx
    • Tg x =1. Ctg x = 1.
    • Ctg xTgx
  • 8.           sen xtan x = --------              csc x            cos x ctg x = -------             sen x
    •            cos xsen x = --------               ctg x              sen xcos x = ------              tan x
    Por cociente
  • 9. Pitagóricas
    • sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1
  • 10. Ejercicioscon IdentidadesTrigonométricas
  • 11. Demostración:
    • Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos:
    • Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
    • 1.–Cos x. Cos x = Sen x
    • Sen xSen x
    • 1.–Cos ²x = Sen x
    • Sen xSen x
    • 1 – Cos² x = Sen x
    • Sen x
    • Pero1- Cos² x = Sen ² x ; luegoSen² x= Sen x
    • Sen x
    L.q.q.dSen x = Sen x
  • 12. Simplificación
    • Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.
    • Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x
    • Cos x.Sen x+ 1
    • Cos x
    • Cos x . Sen x+ Cos x
    • Cos x
    • Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
  • 13. Tipo Condicional
    • Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
    • Si Tg x + Ctg x = 4
    • ¿Tg ²x + Ctg ²x ?
    • Solución:
    • (Tg x + Ctg x)²= (4)²
    • Tg ²x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ²x = 16
    • Tg ²x + Ctg ²x = 16 – 2
    • Tg ²x + Ctg ²x = 14
  • 14. Eliminación Angular
    • Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
    • ßde:
    • x = 4 Sen ß y = 5 Cos ß
    • x = 4Cos ß x/4 = Senßx²/16=Sen²ß
    • y= 5Cosßy/5 = Cscßy²/25=Cos²ß
    • X²/16+y²/25 =Sen²ß + Cos²ß
    • X²/16 + y²/25 = 1
  • 15. "Ecuaciones Trigonométricas"
  • 16. Definición:
      • Una ecuación trigonométrica es una
      • igualdad entre ecuaciones trigonométricas
      • de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica.
      • Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.
  • 17.
    • Ejemplo:
    • Sen 2x + Cos x = 0sí es E.T.
    • 2x + 3 Tan x =√2no es E.T.
    • Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1sí es E.T.
  • 18. Soluciones Generales:
    • Para Sen y Cosc:
    • nЛ+ (-1) V.P.
    • k
    • Para Cos y Sec:
    • 2nЛ+ - V.P
    • k
    • Para Tag y Cotg:
      • mЛ+ V.P.
      • k
  • 19. "Tipos de Ecuaciones Trigonométricas"
  • 20. Elementales
  • 21.
    • Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas.
    • Son aquellas que presentan la siguiente forma:
    • Donde:KЄ R – {0} ; aЄR
    F.T. (Kx) = a
  • 22. Ejemplo:
    • Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0
    • Resolución:
    • Resolviendo la ecuación tenemos:
    • Cotg 3 X -1 = 0Cotg 3x = 1
    • Hallando la soluciones generales para la cotangente:
    • x =nЛ+ arc Cotg (1)
    • 3
    • x =nЛ+Л ; o también;
    • 312
    • x = 60° n + 15°Solución General
  • 23.
    • Luego (nЄZ)
      • n = 0x = 60° (0) + 15° = 15°
      • n = 1x = 60° (1) + 15° = 75°
      • n = 2x = 60° (2) + 15° = 135°
      • C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
  • 24. No Elementales
  • 25.
    • Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.
  • 26. Ejemplo:
    • Hallar el menor valor positivo de “x” en:
    • 4 Sen x Cos x – 1 = 0
    • Resolución:
    • Recordemos que:
    En la ecuación tenemos: 2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0 2 Sen 2x – 1 = 0 Sen 2x =1 2 2x = {30º ; 150º ; 390º ; …} x = {15º ; 75º ; 195º ; …} Solución principal Sen 2 x = 2 Sen x Cos x x = 15º
  • 27. Recomendaciones Generales para resolver una E.T.
    • Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico.
    • Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.
  • 28.
    • “ La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”
    Gracias
  • 29.
    • Integrantes :
    • Ana María Guerrero
    • Diana Rodríguez
    • Vannia Rivera
    • Estefanía Rengifo
    • Solandge Fanton
    • Sandra Saavedra
  • Volar