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Cálculo de áreas sombreadas

by miguel-vilela

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  • 1. CÁLCULO DE ÁREAS SOMBREADAS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1) En la figura se tiene un cuadrado de lado ℓ = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado ℓ/3. Calcular el área de la región sombreadaSolución: a) Cálculo del área del cuadrado de ℓ = 4 cm : A= ℓ2 = (4cm)2 = 16 cm2b) Cálculo del área del cuadrado de lado ℓ/3: 4 A = cm 3216 2 cm 91,78 cm 2c) Cálculo del área de la región sombreada Área Sombreada = A - 4A = 16 cm 2 4 (1,78 cm 2 ) Área Sombreada = 16 cm 2 7,12 cm 2 8,88 cm 2 2) Calcular el área de la región sombreadaSolución: a) Cálculo del área del círculo A r2 A (4cm) 2 16 cm 2 3,14 16 cm 2 50 ,24 cm 2 b) Cálculo del área del cuadrado Si el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir, Si r = 4 cm ℓ = 8cm Entonces el área del cuadrado es: A= ℓ2 = (8cm)2 = 64 cm2c) Cálculo del área de la región sombreada Se obtiene al restar el área del círculo de la del cuadrado
  • 2. 3) Calcular el área de la región sombreada (sector circular) en donde r1 271 3cm y eltiene un tercio de 3600Solución: a) Cálculo del radio r: Si r1 31 27cm27 1r1 3271 33273 cmb) Cálculo del ángulo 1 3600 1200 3 c) Cálculo del área del sector circular:4) Calcular el área de la región sombreada (corona circular) en donde r2Solución: a) Cálculo del radio sub dos: 2Si r2424 cmr24 4 cmb) Cálculo del radio sub uno: r1 2 2 cm r1 Si r1 2r214 2 cm241 cm2 cm4 cmc) Cálculo del área del círculo de radio sub dos: A r2 A 2 3,14 (2 cm) 2 3,14 4 cm 212 ,56 cm 244 2 cm.
  • 3. d) Cálculo del área del círculo de radio sub uno:e) Cálculo del área de la corona circular5) Calcular el área de la región sombreada (trapecio circular) en donde r1Solución: a) Cálculo del radio sub uno: Si r1r11 16 4 cm1 2cmr116 11 21cm = 16 2 cm = 2 161 cmb) Cálculo del radio sub uno: r1 4 cm r2 2 cm Si r2 2 2 c) Cálculo del sector circular de radio sub uno:d) Cálculo del sector circular de radio sub dos:e) Cálculo del área del trapecio circular:1 161 2cm .
  • 4. 6) De una pizza se ha comido 641 2como indica la figura:La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene el área y la longitud del arco de la parte comida.160 cm de perímetro. CalcularSolución.- Primera forma: a) Cálculo del lado de la caja cuadrada P   Si el perímetro es P 4 4160 cm 440 cmb) Cálculo del radio de la pizza Diámetro ( D) 40 cm Si  40 cm Si D40 cmradio(r )D 2r40 cm 220 cmc) Cálculo del área total de la pizzad) Cálculo del área de la parte comida 1 1 Como la parte comida es 64 2 = 1 64 2 Entonces:1 26411 de la pizza, 8e) Cálculo del perímetro de la pizza P 2 r P 2 3,14 20 cm 125 ,6 cm f) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida  1  1 a P a 125,6cm 15,7 cm 8 8
  • 5. Solución.- Segunda forma: a) Cálculo del lado de la caja cuadrada P   Si el perímetro es P 4 4160 cm 440 cmb) Cálculo del radio de la pizza Diámetro ( D) 40 cm Si  40 cm Si D40 cmradio(r )c) Cálculo del ángulo 360 0 360 0 n 8D 2r40 cm 220 cm45 0d) Cálculo del área de la parte comidae) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida 2 3,14 20 cm 45 0  2 r ˆ a a 15,7 cm 360 0 360 0 Nota: Recuerde que tanto en Matemática como en la vida diaria el mismo problema tiene varias formas de solución. En este contexto, la Matemática cumple un rol estratégico, ya que esta ciencia permite ver soluciones en donde otros no observan.7) Calcular el área de la región sombreada en donde cm.Solución: a) Cálculo de la diagonal: 1Si d = 100 2 cmd21001 cm 10 cm1 21 d =100 cm y b = 641 2
  • 6. b) Cálculo de la base: 1 21 Si b = 6464 1bcm1 2641 2264 18 cmc) Cálculo de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:d2a2b2d2ab2a (10 cm) 2 (8 cm) 2 100 cm 2 64 cm 2 36 cm 2 6 cm d) Cálculo del área de la región pintada, la misma que es un triángulo:A=b a 28 cm 6 cm 248 cm 2 224 cm 219) Si d = 6 2 2 cm. Calcular el área de la región sombreadaSolución: a) Cálculo de la diagonal 1Si d = 6 2 2 cmd6221 cmd6 2 cmb) Cálculo del lado del cuadrado Por Pitágoras d 2 26 2 cm 222d236 2 cm 2 2c) Cálculo del área del cuadrado2 236 cm 2d2 2 6 cm
  • 7. d) Cálculo del área del triángulo sin sombreare) Cálculo del área sombreadaEJERCICIOS DE REFUERZO 1) ¿El área de un rectángulo equilátero cuya diagonal mide 2 cm es? a) 2 cm2 b)4 cm2 c) 1 cm2d) 3 cm2 a)2) El área de la figura es:a) 10 cm2b) 12 cm2c) 14 cm2d) 16 cm2 b)3) En la figura se tiene un cuadrado de lado 2a. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado a/2, entonces el área sombreada es:a) 2 a2b) 3 a2c) 6 a2d) 8 a2 b)4) El centro de un cuadrado de 2 cm de lado coincide en el vértice de otro cuadrado congruente. ¿Cuál es el área en cm2, de la parte común de estos dos cuadrados?a) 1 cm2b) 1,5 cm2c) 2 cm2d) 2,5 cm2 a)
  • 8. 5) Calcular el área sombreada de la siguiente figuraa) 13/2 cm2b) 13 cm2c) 15/2 cm2d) 7,5 cm2 a)6) El lado del cuadrado es 6 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) (36-π) cm2b) (44-π) cm2c) 4(9-π) cm2d) (36-4π) cm2 a) 7) El radio de la circunferencia es 2 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) (36-π) cm2b) (44-π) cm2c) 4(4-π) cm2d) (5-4π) cm2 c)c) 40π cm2d) 32π cm28) Si r=4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 46π cm2b) 44π cm2d)
  • 9. 9) El lado del cuadrado es 4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 4 cm2b) 6 cm2c) 8 cm2d) 16 cm2 c)10) Calcular el área de la región sombreadaa) 18 cm2b) 36 cm2c) 16 cm2d) 49 cm2 b)11) Calcular el área de la región sombreadaa) 64π cm2b) 32π cm2c) 16π cm2d) 8π cm2 b)12) El área de la región sombrea es:a) 4 cm2b) 6 cm2c) 8 cm2d) 10 cm2 c)
  • 10. 13) Con 625 baldosas cuadradas de 20cm de lado se desea embaldosar una sala cuadrada. ¿Cuál es largo de la sala? a) 25 m b) 5 m c) 4 m d) 10 m b) 14) Se desea recortar un espejo de forma circular de radio 30 cm a partir de un cuadrado. ¿Cuál es el área del menor cuadrado?a) 3600 cm2b) 240 cm2c) 900 cm2d) 1000 cm2 a)c) 16(5-π) cm2d) 26(4-π) cm2 a)15) Calcular el área de la región sombreadaa) 16(4-π) cm2b) 4(16-π) cm216) Calcular el área de la región sombreada (corona circular) en dondea) 12π cm2b) 16π cm2c) 5π cm2cmd) 4π cm2 a)
  • 11. 17) Calcular el área de la región sombreada (trapecio circular) en donde r1= 4 cma) 2π cm2b) 4π cm2c) 3π cm2d) 6π cm2 c)18) Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 4(4-π) cm2b) 4(π-1) cm2c) 4(5-π) cm2d) 4(π-2) cm2 a)19) Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 16(π-1) cm2b) 4π cm2c) 3π cm2d) 8(π-2) cm2 d)20) Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 16(π-2) cm2b) 8(π-2) cm2c) 4(π-2) cm2d) 2π-4 cm2 b)
  • 12. 21) Calcular el área de la región sombreada en donde d =10 cm y b =8 cm.a) 24 cm2b) 44 cm2c) 48 cm2d) 12 cm2 a)22) El diámetro de la circunferencia es 4 cm. Calcular el área de la región sombreadaa) 8 cm2b) 16 cm2c) 32 cm2d) 64 cm2 a)23) En la figura, el perímetro del cuadrado es 4 2 . El área sombreada es:a) 4π-2b) 3π-2c) 2π-1d) π-2 d)REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AYALA, ORLANDO, (2006), Matemática Recreativa, M & V GRÁFIC. Ibarra, Ecuador SUÁREZ, MARIO BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador. SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática, Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador. SUÁREZ, Mario, (2004), Ed. GráficasHacia un Interaprendizaje Holístico de Álgebra y Geometría, Planeta, Ibarra, Ecuador.
  • 13. SUAREZ IBUJÉS MARIO ORLANDO mgsmariosuarez@gmail.com mosuarez@utn.edu.ec Telf: 06 2632 166 085619601
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