100412 45 trabajo_fase1 (1)

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    29-Jan-2018

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1. ________________________________________________________________________________ ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO COLABORATIVO 1 GRUPO 100412_45 ELIZABETH CABALLERO CC. 1116992731 RAMIRO RIVEROS PEREZ CC.74082764 NELSON YESID MASMELA CC. DEYBER PINZON BERNAL CC. TUTOR RAMIRO PEA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD YOPAL CASANARE ABRIL 2016 2. ________________________________________________________________________________ INTRODUCCION En el presente documento conoceremos y analizaremos conceptos bsicos de una ecuacin diferencial; descubriremos como conocer y diferenciar una ecuacin de acuerdo a su tipo, orden y linealidad; veremos la importancia de conocer y manejar los distintos mtodos para dar solucin a las mismas. Pondremos a prueba nuestro conocimiento de derivadas e integracin con el fin de poder determinar y hallar ecuaciones diferenciales de primer orden. 3. ________________________________________________________________________________ OBJETIVOS Objetivo general Resolver y analizar ecuaciones diferenciales de primer orden Objetivos especficos Conocer la clasificacin de una ecuacin diferencial Analizar las propiedades y caractersticas de una ecuacin lineal Determinar si una ecuacin diferencial es exacta 4. ________________________________________________________________________________ DESARROLLO ACTIVIDAD Temtica 1: Introduccin a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuacin diferencial y establezca si la ecuacin es lineal o no lineal, justifique su respuesta. ECUACIN OBSERVACIONES: ORDEN DE ECUACIN, LINEAL O NO LINEAL Y JUSTIFICACIN ESTUDIANTE A. 2 ( ) ( ) = ( ) Ecuacin de primer orden, lineal NELSON MASMELA B. + ( ) 3 = + 1 Es una Ecuacin de 1er orden, es una ecuacin No lineal, ya que cumple con condicin estar acompaado con funciones de x el nico problema es que el coeficiente que acompaa a dy/dx no es un coeficiente que depende de x, por lo cual hace que la funcin sea una ecuacin no lineal. ELIZABETH CABALLERO C. 2 2 + + = ( + ) Es una ecuacin de 2do orden, es una ecuacin Lineal, porque la variable dependiente es de 1er grado, los coeficientes son constantes y cumple con la condicin que sus coeficientes solo dependen de x. ELIZABETH CABALLERO D. 2 2 = 1 + ( ) segundo orden, no lineal porque el diferencial esta elevado al cuadrado NELSON YESID MASMELA E. ( 2 1) + 6 = 0 Esta ecuacin lineal es ordinaria de primer orden, pues se deja a y como la variable dependiente y se divide por dx. RAMIRO RIVEROS 5. ________________________________________________________________________________ Temtica 2: ecuaciones diferenciales de primer orden A. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variables separables (Nelson Yesid Masmela) + 2 = + 2 = (1 + 2) = 1 + 2 = ( + 3) = Primera integral Segunda integral Tercera integral (por partes) = = = 3 = 3 = = = = 1 3 = 1 3 3 + = (1 + 2) + = ( 1) = (1 + 2) + + 1 6. ________________________________________________________________________________ B. Determine si la ecuacin dada es exacta, si lo es resulvala (Elizabeth Caballero) (1 lnx) dy = (1 + lnx + y x ) dx Es exacta si dM dy = dN dx M((1 + lnx + y x )) dx+ N(1 lnx) dy = 0 dM dy = 1 y x dN dx = 1 dM dy = 1 0 x dN dx = 1 0 dM dy = dN dx = (1 ln ) = 1 = (1 ln ) Es una ecuacin exacta f(x, y) M(x, y)dx = (1 y x ) A partir de la funcin integramos f + + y x + () f + () f + () Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y) = df dy (1 lnx) = df dy + + () (1 lnx) = + ( ) 7. ________________________________________________________________________________ Despejamos( )( ) = 1 g(y) (1 lnx) dy + g(y) 1d lnx dy + g(y) lnxy + g(y) / F= ( ) +g (y) = + C. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial hallando el factor integrante 6 + (4 92) = 0 (6) = 6 (4 92) = 18 Las derivadas parciales no son iguales Procedemos a hallar el factor integrante = 18 6 6 = 12 6 = 2 = 2 = 2ln = ln 2 = 2 2(6) + 2(4 92) = 0 63 + (43 92 2) = 0 63 = 32 3 ( , ) = 32 3 + ( ) 92 2 + ( ) = 43 92 2 ( ) = 43 8. ________________________________________________________________________________ Integrando ( ) = 4 ( , ) = 32 3 + 4 + E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial (Ramiro Riveros) ( 2 + 22) = 0 (1) = 1 Respuesta Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Ramiro Riveros Prez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIN MATEMTICA RAZON O EXPLICACION Despejemos dy/dx para verificar si es homognea: Se remplaza en la ecuacin y=ay y x=ax Luego, la ecuacin diferencial es homognea; dividimos entrex2: Ahora: Se deriva con respecto a: 9. ________________________________________________________________________________ Se separa las variables: Integrando: Resolvemos: Se remplaza en la integral: Se reemplaza (**) en (*): ln|1 + 2| = 2 ln|| + ln|1 + 2| = |2| + ln |1+2| = ln|2|+ 1 + 2 = 2 1 + 2 = 2 Entonces: = 1 + ( ) 2 = 2 2 2 = 2 1 2 = 2( 2 1) = 2 1 Reemplazamos y resolvemos: 1 = (1)(1)2 1 1 = 1 = 2 Hallando el valor de la contaste = 2 1 Ecuacin diferencial. 10. ________________________________________________________________________________ Elizabeth Caballero Ramiro Riveros Nelson Masmela Deyber Pinzon EVALUACIN Y ANLISIS DE SOLUCIN PLANTEADA Enunciado 1: Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solucin salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solucin dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentracin de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando ser de 1/2kg/L la concentracin de sal en el tanque. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA (0) = 1000 = ( ) = 6 ( ) = 6 ( ) (0) = ( ) () = 1 2 = ( ) Debido a que el volumen es constante el caudal de entrada y de salida es el mismo = = 6 1 = 6 / La salida de sal que sale por minuto seria = ( ) = 6 ( ) = 6 ( ) / 11. ________________________________________________________________________________ La frmula general para hallar la cantidad de soluto en un tiempo nos quedara. = . () ( ) + 0 Reemplazamos los valores conocidos = 6(1) 6() (6 6) + 1000 Resolvemos = 6 6() (0) + 1000 Quedara la ecuacin diferencial = 6 6() 1000 Organizamos dejando a Q de un lado de la ecuacin + 6() 1000 = 6 Simplificamos + 3() 500 = 6 Utilizamos mtodo de factor integrante 1 500 = 500 Multiplicamos toda la ecuacin por el factor integrante 500 ( ) + 500 ( 3 500 ) = 500 (6) Derivamos 12. ________________________________________________________________________________ ( 500 ) = 6. 500 Integramos con respecto a t ambos lados ( 500 ) = 6. 500 Resolvemos ( 500 ) = 6. 500 (500)+ Reescribimos ( 500 ) = 3000. 500 + Multiplicamos a ambos lados por 500 ( ) = 3000 + . 500 Reemplazamos los valores de (0) (0) ( ) = 3000 + . 0 500 Hallamos el valor de c. (0) = 3000 + .1 0 = 3000 + = 3000 Reemplazamos el valor de c en la ecuacin. ( ) = 3000 3000( 500 ) Hallamos el valor de t despejando la ecuacin y sustituyendo los valores de () 13. ________________________________________________________________________________ 1 2 = 3000 3000( 500 ) Ahora t es = 500 ln ( 5999 6000 ) 0,083 RAZON O EXPLICACION Respuesta: Cuando t valga 0,083 min, entonces en el tanque habr una concentracin de 12 KgL de sal. De esta manera deducimos la ecuacin diferencial ( ) = 6 6( ) 1000 = (1 ) 3 500 1 1 = 3 500 1 1 = 3 500 ln(1 ) = 3 500 + ln(1) = ( 3 500 +) 1 = 3 500 = 3 500 1 ( ) = 1 3 500 = 0 14. ________________________________________________________________________________ Porque (0) = 0 Entonces ( ) = 1 3 500 Como ( ) = 1 2 1 2 = 1 3 500 3 500 = 1 2 3 500 = ln 1 2 = 500 3 ln 1 2 = 115,52 Enunciado 2: Un objeto de masa 3 Kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con =9,81 2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad =3 . Determinar el momento en el que el objeto golpear el suelo. Solucin a evaluar: Datos: M=3kg Reposo= 500 m g=9,81 m/s2 b=3 Ns/m 15. ________________________________________________________________________________ Al realizar el diagrama de fuerzas, nos damos cuenta que hay dos fuerzas actuando sobre el objeto. Una fuerza constante debida al empuje hacia abajo de la gravedad y una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del objeto, actuando en forma opuesta al movimiento del objeto. Por lo tanto, el movimiento del objeto se realizar a lo largo de un eje vertical. Elegimos como origen el punto desde donde el objeto fue lanzado inicialmente. Definimos () la distancia que ha cado el objeto hasta el instante . Las fuerzas que actan sobre el objeto a lo largo de este eje son: El peso, 1== donde es la aceleracin de la gravedad. Fuerza debida a la resistencia del aire, 2= () con >0 De esta manera, la fuerza neta que acta sobre el sistema es =+() Aplicando la segunda ley de Newton tenemos: Al resolver la ecuacin anterior por el mtodo de variables separables, podemos colegir que Como 16. ________________________________________________________________________________ (0)=0 , que es una de las condiciones iniciales del problema (cuando el tiempo es cero el objeto tiene una velocidad inicial), el valor de la constante se halla reemplazando en la ecuacin anterior =0 ; =0 De donde Reemplazando la ecuacin 2 en la ecuacin 1 se deduce que la ecuacin de la velocidad Como hemos considerado que 0=0 cuando =0, determinamos la ecuacin del movimiento integrando (), respecto al tiempo. Reemplazando por los valores iniciales =0 =0 De donde Reemplazando la ecuacin 4 en la ecuacin 3 tenemos De donde la ecuacin del movimiento es Utilizando este modelo con 0=0, =3, =3 =9,81 y reemplazando en la ecuacin de movimiento, obtenemos 17. ________________________________________________________________________________ Entonces Como el objeto se libera a 500 m sobre el piso, podemos determinar el momento en que el objeto golpea el suelo haciendo ()=500, y despejando . As, escribimos O lo que es lo mismo Como esta ltima ecuacin no se puede resolver de manera explcita en trminos de . Podra tratar de aproximarse mediante el mtodo de aproximacin de Newton, pero en este caso, no es necesario. Como ser muy pequeo para cercano a 51,97 (51,971022) simplemente ignoramos el trmino y obtenemos como aproximacin =49,968 = 1 2 = ()la formulael rozamientoesnegativoyaque escontraa a la fuerzade gravedad. . = () = ()el diferencial estamal expresadoporque laaceleracinnodebe seren funcinde ladistanciasinode la velocidad. 1 ( ) = 1 ( ()) = ( ( ())/) / ( ) = Integramos 1 ( ) . 1 1 (1 . ) . = 1 ( ) 18. ________________________________________________________________________________ = 1 . = ln (1 )= ( ) + b + 1 v = k = 0 = = , Despejamos k k = 1 = X(t)= . = = 2 2 = 2 2 = 9.8 + 9.8 500 9.8 = + 51.02 = + El objeto golpeara el piso en 51.02 segundos 19. ________________________________________________________________________________ CONCLUSIONES Con el desarrollo del presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el mtodo o caso que se debe utilizar para dar la solucin general a una ecuacin diferencial de primero orden. En la resolucin del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos bsicos y terminologas de las ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicando diferentes casos en la resolucin de los problemas analizando propiedades y caractersticas de una ecuacin lineal. Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en todos los estudios de ingeniera y otras reas. Se reconocieron los diferentes casos de solucin de las ED de primer orden. Se plantearon mtodos situacin y solucin a ED de primer orden. 20. ________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFIA 1. MANUAL EDITOR DE ECUACIONES, Microsoft Word, Universidad tecnolgica de Chile, INACAP SEDE VIRTUAL, www.inacap.cl. 2. Garca, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 2-30. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11 017467 3. Alonso, A., lvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos. Delta Publicaciones. 1-4. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923. 4. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introduccin. Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105 84022