Libro de matematicas 9no grado

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    09-Aug-2015

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  1. 1. SERIE EDUCATIVA: EDUCACIN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGENSES Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin parcial o total. Matemtica Educacin Secundaria Matemtica 9GRADO 9Educacin Secundaria GRADO h g r Programa de Apoyo al Sector de Educacin en Nicaragua P R O S E N REPBLICA DE NICARAGUA
  2. 2. Coordinacin General, Revisin y Asesora Tcnica Profesora Mara Elsa Guilln Profesora Rosala Ros Rivas Autor Profesor Enrique Prez valos Revisin Tcnica General Profesora Rosala Ros Rivas Revisin y Asesora Tcnica Cientfica Profesor Humberto Antonio Jarqun Lpez Profesor Francisco Emilio Daz Vega Profesor Primitivo Herrera Herrera Sociedad Matemtica de Nicaragua Diseo y Diagramacin Ramn Nonnato Morales Rger Alberto Romero Miguel ngel Mendieta Rostrn con la colaboracin de Andrea Rudez Iras Ilustracin Rger Alberto Romero Fuente de Financiamiento PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemtica de Nicaragua y de los docentes durante el proceso de validacin. Primera Edicin___________ Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educacin (MINED), de la Repblica de Nicaragua. Este texto es propiedad del Ministerio de Educacin (MINED) , de la Repblica de Nicaragua. Se prohbe su venta y reproduccin total o parcial. La presente publicacin ha sido reproducida con el apoyo de la Unin Europea a travs del Programa de Apoyo al Sector Educacin en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es responsabilidad exclusiva del MINED y en ningn caso debe considerarse que refleja los puntos de vista de la Unin Europea.
  3. 3. PRESENTACIN El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional, a travs del Ministerio de Educacin (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educacin Secundaria, el libro de texto de Matemtica en el cual se desarrollan los cinco pensamientos: aleatorio, numrico, variacional, mtrico y espacial. La Matemtica es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computacin, la arquitectura, la ingeniera y en la vida cotidiana. El propsito fundamental del texto, es propiciar en los estudiantes un papel ms activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con los conocimientos planteados en el libro, permitindoles que complementen lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar, profundizar en aquellos aspectos que explic su docente y prepararse para la evaluacin. El libro de texto a travs de sus contenidos y actividades, contribuye a la formacin en valores individuales, comunitarios y sociales, los que se reflejarn en el comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo. El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo con esmero, permitir que otros compaeros que estn en los grados que les anteceden tambin puedan hacer uso de l, en su proceso de aprendizaje. Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe cuidar porque no solo a usted le ser de ayuda, sino que dependiendo del cuido que le d, tambin le ser de provecho a otros, razn por la que le sugerimos lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa ser su contribucin desinteresada y solidaria, con los prximos estudiantes que utilizarn este libro. Ministerio de Educacin
  4. 4. INTRODUCCIN El presente texto corresponde a los contenidos del rea de Matemtica del Noveno Grado de Educacin Media. El texto contiene 7 unidades con los siguientes contenidos: En la Unidad I, se desarrollan los conceptos fundamentales de la Estadstica Descriptiva para datos agrupados, se calculan las medida de posicin y de variabilidad, adems, se presenta un repaso de los temas de estadstica descriptiva para datos no agrupados, los cuales han sido abordados con detalle en el Libro de Texto de Matemtica de Sptimo Grado. En la Unidad II, se estudia el conjunto de los nmeros reales y sus propiedades. Se hace nfasis en la interpretacin geomtrica de las propiedades de los nmeros reales. Se hace un repaso de las propiedades fundamentales de los nmeros naturales, enteros y racionales. En la Unidad III, se estudian los conceptos fundamentales de lgebra. Se abordan las expresiones algebraicas tales como monomio, binomio y trinomio, y las operaciones en las que intervienen. Se utiliza la geometra para la interpretacin de las propiedades bsicas de las expresiones algebraicas y la construccin de modelos algebraicos basados en situaciones de la realidad. En la Unidad IV, se estudian las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin y se introduce la divisin sinttica (o regla de Ruffini). La geometra se utiliza para la interpretacin de las propiedades de los polinomios. Se desarrollan los productos notables y su interpretacin geomtrica, adems se estudia la radicacin. En la Unidad V, se estudian sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y sus mtodos de soluciones, adems se resuelven problemas de la vida cotidiana y se hace una interpretacin grfica de las soluciones. En la Unidad VI, se desarrollan la congruencia y la semejanza de tringulos al igual que el teorema de Thales, el teorema de la altura y el teorema del cateto. Las demostraciones estn presentes, sin embargo, no representan un peso especfico significativo en el desarrollo de la teora. En la Unidad VII, se inicia con un repaso del concepto de relacin, que ya ha sido abordado con detalle en Sptimo Grado. Una caracterstica fundamental de esta unidad, es que las funciones que se estudian tienen como dominio el conjunto de los nmeros enteros o subconjuntos de nmeros enteros. Estas funciones son llamadas funciones discretas. Se abordan las funciones lineales con sus propiedades tratndolas como funciones lineales
  5. 5. discretas y las funciones cuadrticas. Se presentan diferentes interpretaciones del concepto de funcin a travs de modelos basados en situaciones de la realidad cotidiana. Tambin se estudian en esta unidad las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadrticas. Como tema novedoso se estudia las desigualdades lineales y los nmeros complejos con sus operaciones. El texto est estructurado a doble columna, siendo la columna izquierda dedicada a temas sobre historia de la Matemtica, curiosidades matemticas (tambin se incluyen curiosidades y pasatiempos en el desarrollo de los temas en la columna derecha), juegos matemticos. Tambin aparecen en la columna izquierda algunos conceptos sobre los cuales es necesario hacer especial nfasis y algunos temas que no aparecen en el programa oficial de la asignatura pero que son importantes para una debida comprensin de los conceptos. Se presentan actividades que tienen como objetivo reforzar los conocimientos, aplicarlos a la realidad y fundamentarlos desde el punto de vista matemtico y didctico-metodolgico. Los conos utilizados en el texto tienen los siguientes significados: Indican aquellas ideas y conceptos que deben ser recordados y sobre los cules se debe reflexionar. Estas ideas y conceptos son bsicos para la comprensin de los temas tratados en la unidad correspondiente. Indica aquellas actividades orientadas para el trabajo en equipo. Gran parte de estas actividades se orientan a la realizacin de construcciones, justificacin de demostraciones (en muy pocos casos) y a la resolucin de ejercicios y problemas de aplicacin a la vida real. Indica aquellas partes del texto dedicadas al planteamiento de ejercicios que deben ser resueltos por el estudiante. Todos los ejercicios propuestos se resuelven con la teora expuesta en cada una de las unidades.
  6. 6. Estadstica.................................................................2 Introduccin..........................................................2 Tablas de Frecuencias ............................................2 Frecuencia Relativa y Porcentual..............................4 Frecuencia RelativaAcumulada..................................6 Histograma.................................................................7 La Ojiva.......................................................................9 Medidas de posicin..............................................13 Los cuartiles..............................................................13 Los Deciles y los Percentiles...................................17 Lugar que ocupa la mediana.....................................17 Localizando deciles...................................................18 Los percentiles..........................................................20 Medidas de dispersin...........................................23 Laamplitud................................................................24 La desviacin media..................................................25 Lavarianza................................................................27 La desviacin tpica o estndar.................................27 El coeficiente de variacin........................................28 Ejercicios de Cierre de Unidad..............................31 Segunda Unidad: Nmeros Reales Nmeros Reales......................................................38 Introduccin.........................................................38 Potencias de base real y exponente entero.............38 Potencia de base real y exponente entero positivo..39 Producto de potencias de igual base.........................40 Potencia de una potencia..........................................42 Producto de potencias de igual exponente...............43 Potencia de un cociente............................................44 Cociente de dos potencias de igual base.................47 Potencia de base real y exponente nulo...................51 Potencia de exponente 0..........................................51 Potencias de base real y exponente racional............52 Propiedades del inverso...........................................56 Leyes de los exponentes........................................57 Potencias de base real y exponente racional............63 Raz de un nmero real positivo.............................64 Raz de un nmero negativo...................................64 Producto de dos radicales del mismo ndice.............68 Radical de un radical.............................................69 Cociente de radicales del mismo ndice...................70 Leyes de los radicales...............................................71 Definicin de potencia de exponente racional..........71 Radicales equivalentes............................................73 Introduccin y extraccin de factores en un radical.........................................................75 Radicales semejantes............................................76 Ejercicios de Cierre de Unidad..............................79 Tercera Unidad: Factorizacin Factorizacin..........................................................82 Introduccin.........................................................82 Extraccin de Factor Comn...................................82 Factor Comn Monomio.........................................86 Factor Comn Polinomio........................................88 ndice Primera Unidad: Estadstica
  7. 7. mbito de Factorizacin.........................................90 Polinomio Irreducible............................................91 Factorizacin de una Diferencia de Cuadrados........93 Factorizacin de una Suma o Diferencia de Cubos.............................................................96 Factorizacin de un Trinomio Cuadrado Perfecto....101 Factorizacin de Trinomios de la Forma x2 + bx + c.....................................................106 Factorizacin de Trinomios de la Forma px2 + qx + r.................................................................113 Factorizacin de polinomios del tipo a3 +3a2 b+3ab2 +b3 y a3 -3a2 b+3ab2 -b3 ........................119 Resolucin de Ecuaciones por Factorizacin.................121 Ejercicios de Cierre de Unidad............................................125 Cuarta Unidad: Operaciones con Radicales y FraccionesAlgebraicas Operaciones con Radicales y Fracciones Algebraicas.....................................128 Introduccin......................................................128 Operaciones con Radicales..................................128 Simplificacin de Radicales................................129 Suma de Radicales..............................................132 Multiplicacin de Radicales..................................133 Racionalizacin..................................................135 Operaciones con Fracciones Algebraicas...............141 Simplificacin de Fracciones Algebraicas .......142 Suma de Fracciones Algebraicas.......................143 Multiplicacin de Fracciones Algebraicas...............147 Divisin de Fracciones Algebraicas.......................148 Ejercicios de Cierre de Unidad...............................151 Quinta Unidad: Sistemas de Ecuaciones Lineales. Sistemas de Ecuaciones Lineales.......................154 Introduccin.......................................................154 Ecuaciones lineales en dos variables.....................154 Sistemas de Ecuaciones Lineales en dos incgnitas................................................164 Operaciones elementales sobre un sistema..............................................................166 Mtodo de Sustitucin.........................................178 Mtodo de Reduccin..........................................180 Matrices y Determinantes de 2 x 2.........................181 Matriz de un Sistema de dos Ecuaciones Lineales.......................................182 Mtodo de Cramer...............................................183 Tipos de Sistemas...............................................186 Ejercicios de Cierre de Unidad..............................189 Sexta Unidad: Congruencia y Semejanza. Congruencia.........................................................192 Introduccin.......................................................192 Relaciones de congruencia....................................193 Criterios de congruencia de tringulos .................196 Congruencia de tringulos issceles .....................199 Semejanzas .......................................................202 Semejanza de tringulo ......................................211 Criterios de semejanza de tringulo .....................213 Teorema de Pitgoras .........................................214 Teoremadelaalturayteoremadelcateto................215 Teorema del cateto .............................................216 Ejercicios de cierre de unidad ..............................217
  8. 8. Sptima Unidad: Funciones y Ecuaciones Introduccin..............................................................220 Funcin Lineal y Afn................................................220 Funcin Constante...................................................222 Grfica de una funcin.............................................222 Funcin Inyectiva.....................................................223 Funcin lineal..........................................................224 Funcin Afn............................................................226 Grfica de la funcin afn..........................................227 Movimientos de grficas en el Plano..........................229 Funcin Cbica........................................................231 Ecuaciones Cuadrticas..........................................236 Discriminante..........................................................238 Ecuaciones Cuadrticas y Nmeros Complejos...........241 Nmeros Complejos.................................................242 Desigualdades..........................................................249 Compatibilidadde
  9. 9. Unidad 1 El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque elico Comandante Camilo Ortega quien es considerado el Apstol de la Unidad Sandinista. La unidad de todos los nicaragenses, unidos por el Bien Comn de este pas en reconciliacin y haciendo patria siempre para este pueblo. Este parque elico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se encuentra ubicado en el sureo departamento de Rivas. Con este se busca la transformacin de la matriz energtica y la generacin de energa renovable, lo cual conlleva a un impacto de menos costos de produccin y un mayor benecio para las familias. Fuente: 19 digital 12 de Marzo 2014 Estadstica 1 - 1,9 0 5 10 15 20 25 2 - 2,9 3 - 3,9 4 - 4,9 Sismos reportados por INETER entre el 24 y 28 de Abril 2014
  10. 10. 2 Estadstica Introduccin En esta unidad abordaremos algunas de las ms importantes labores de la Estadstica, como son el diseo, la recoleccin, anlisis e interpretacin de datos obtenidos sobre algn fenmeno o comportamiento estudiado en un determinado grupo, ya sea para ayudar a la toma de decisiones o para explicar las condiciones de tal comportamiento. Tablas de Frecuencias Una de las ocupaciones primordiales de la estadstica consiste en la organizacin, descripcin y resumen de colecciones de datos, con el objetivo de presentar la informacin de forma que pueda ser analizada e interpretada de manera significativa. Las tablas de frecuencias constituyen uno de los medios para lograr este propsito. En el censo de poblacin y vivienda realizado en Nicaragua en el ao 2005, por primera vez se investig las formas de eliminar la basura en los hogares nicaragenses. Los resultados para el rea urbana del departamento de Masaya se exponen en la siguiente tabla. TABLA 1 Formas de eliminar la basura en el departamento de Masaya Categora Frecuencia absoluta (fi ) (hogares) 1: Se la lleva el camin de la basura 18 461 2: Basurero autorizado / contenedor 703 3: La queman 7 302 4: La entierran 1 678 5: Tiran a predio baldo / cauce / calle / guindo 1 568 6: Tiran al ro / laguna / quebrada / arroyo 592 7: Pagan para que la boten 2 813 8: Abono orgnico 158 9: Otro 119 Total 33 394 Qu es un censo? Un censo es un recuento de todos los elementos que componen una poblacin. En el censo de poblacin y vivienda se cuentan todas las personas y las viviendas de un grupo humano, usualmente un pas o una nacin. Ejemplo 1
  11. 11. 3 Recuerde, reflexione y concluya La tabla 1 es una tabla de frecuencias absolutas. En la primera columna se despliegan las categoras en que se han clasificado las distintas maneras de eliminar la basura y en la segunda columna se disponen las frecuencias absolutas correspondientes. Recuerde que la frecuencia absoluta de un dato es la cantidad de veces que ste se repite. Por ejemplo, la categora entierran la basura tiene una frecuencia absoluta igual a 1 678; esto significa que hay 1 678 hogares en la zona urbana del departamento de Masaya que utilizan esta forma de eliminar la basura. 1. Con el auxilio de la tabla 1, responda a las siguientes interrogantes relativasalmanejodelabasuraenelsectorurbanodeldepartamento de Masaya. Cuntos hogares queman o entierran la basura? Cuntos hogares usan la basura como abono orgnico? Cul es la forma ms usada para eliminar la basura? Cul es la menos usual? Cuntos hogares entierran la basura o la usan como abono orgnico? Cuntos hogares tiran la basura a una fuente natural de agua o a un terreno baldo o bien cauce, calle o guindo. 2. Realice una encuesta entre sus compaeros sobre la forma en que eliminan la basura en sus hogares. Con los datos recabados construya una tabla de frecuencias absolutas. 3. Reflexione sobre el tratamiento de la basura y su influencia en el medio ambiente, la salud y la economa. De acuerdo con la tabla 1, en el sector urbano del departamento de Masaya hay 7 302 hogares que queman la basura.Al observar la tabla 2 notamos que eso sucede en apenas 3 074 hogares de la parte urbana del departamento de Boaco. En base a estos datos, sera correcto afirmar que es ms popular quemar la basura en el departamento de Masaya que en Boaco? Realmente los datos suministrados no permiten sustentar tal afirmacin. Para poder establecer una comparacin se requiere de las frecuencias relativas. Recordemos: La frecuencia absoluta es la cantidad de veces que se repite un dato. Otawa (Canad) se ubica entre las ciudades ms ecolgicas del mundo. Recuerde En una serie de observaciones, la moda es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. Formas de eliminar la basura en el departamento de Boaco. Sector Urbano. TABLA 2 Categora Frecuencia 1 5 407 2 77 3 3 074 4 146 5 936 6 83 7 161 8 13 9 39 Total 9 936 La numeracin de las categoras es la misma de la tabla 1.
  12. 12. 4 Frecuencia Relativa y Porcentual Para obtener la frecuencia relativa se divide la frecuencia absoluta entre el nmero total de observaciones. En el caso de Masaya el total de hogares censados alcanza la cifra de 33 394 y la categora queman la basura tiene una frecuencia absoluta de 7 302. Por tanto, la frecuencia relativa de esta categora es igual a: 7302 33 394 0 2187,= Para expresarla en trminos porcentuales la multiplicamos por 100. Este nmero se denomina frecuencia porcentual y en nuestro caso, significa que el 21,87% casi 22 de cada 100 hogares de los hogares del rea urbana del departamento de Masaya elimina la basura quemndola. 7 33 394 100 21 87 302 = , % En el caso del departamento de Boaco, el total de hogares censados en el rea urbana es igual a 9 936 y de ellos 3 074 queman la basura, para este departamento la frecuencia relativa de la categora queman la basura es igual a: 3 074 9 936 0 309,= Por tanto, la frecuencia porcentual correspondiente es 30,9%, que resulta de multiplicar la frecuencia relativa, 0,309, por 100. As, el 30,9% (casi 31 de cada 100 hogares) de los hogares de la zona urbana del departamento de Boaco quema la basura, en tanto que el porcentaje correspondiente al departamento de Masaya es 21,87. En consecuencia, en lo que respecta a la parte urbana, la quema de la basura es ms frecuente en Boaco que en Masaya. Es importante destacar cmo determinar el porcentaje de un nmero. Por ejemplo: El 12% de 48 es 12 100 48 0 12 48 5 76( )= ( )=, , % Cul es la moda en la serie de nmeros de la siguiente tabla? Dato 1 3 1 3 3 fi 3 1 2 2 0 La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero total de datos: f f n r i = La frecuencia porcentual se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100: % fi = fr 100
  13. 13. 5 Complete la tabla 3 con las frecuencias relativas y relativas porcentuales restantes. TABLA 3: Formas de eliminar la basura en los departamentos de Masaya y Boaco. Sector Urbano. Categora fi fr %fr Masaya Boaco Masaya Boaco Masaya Boaco 1 18 461 5 407 2 703 77 3 7 302 3 074 0,22 0,31 21,87 30,94 4 1 678 146 5 1 568 936 6 592 83 7 2 813 161 8 158 13 9 119 39 Total 33 394 9 936 Una vez que haya llenado la tabla 3, responda a las siguientes preguntas: 1. Qu porcentaje de los hogares de la parte urbana del departamento de Masaya la basura se la lleva el camin, o bien la queman o la entierran? y en Boaco? 2. Qu porcentaje de los hogares se quema la basura o se usa como abono orgnico? 3. Qu porcentaje de hogares usan la basura como abono orgnico? 4. Cul es la suma de las frecuencias relativas de las cuatro primeras categoras? Qu significado tiene este valor? Compare las frecuencias relativa porcentual para determinar en qu departamento, Masaya o Boaco, una categora tiene mayor predominio. Los tiempos de degradacin de la basura dependen de las sustancias y materiales de que est hecha, as como de las condiciones de aire, luz solar y humedad. NOTACIN: fi : Frecuencia absoluta fr : Frecuencia relativa %fr : Frecuencia relativa porcentual Las botellas de plsticos son las ms resistentes a la degradacin; la naturaleza tarda entre 100 y 1 000 aos en degradarlas
  14. 14. 6 Frecuencia Relativa Acumulada En una prueba de Convivencia y Civismo practicada a 50 estudiantes de undcimo grado, la distribucin de las calificaciones fue la siguiente: TABLA 4: Distribucin de las calificaciones Nmero de Clase Clase Frecuencia: fi Frecuencia acumulada: Fi 1 50 - 59 12 12 2 60 - 69 15 12 + 15 = 27 3 70 - 79 13 27 + 13 =40 4 80 - 89 6 40 + 6 = 46 5 90 - 99 4 46 + 4 = 50 Total 50 La frecuencia relativa de la clase 1 es igual a 0,24, valor que resulta al dividir su frecuencia absoluta, 12, entre 50, que es el nmero total de observaciones. La frecuencia relativa acumulada (Fr ) de una clase se halla sumando su frecuencia relativa con las frecuencias relativas de las clases que le anteceden. La frecuencia relativa acumulada de la segunda clase se calcula dividiendo la frecuencia absoluta acumulada de la clase, 27, entre el nmero total de datos: 27 50 0 54= , Junto con sus compaeros calcule las frecuencias relativas (fr ) y las frecuencias relativas acumuladas (Fr ) de las clases restantes. Agregando los nuevos datos a la tabla 4, obtenemos la tabla siguiente. TABLA 5: Calificaciones Clase fi Fi fr Fr 50-59 12 12 0,24 0,24 60-69 15 27 0,30 0,54 70-79 13 40 0,26 0,80 80-89 6 46 0,12 0,92 90-99 4 50 0,08 1,00 Total 50 1 Explique! Puede haber una frecuencia relativa igual a 1,6? o Qu sea igual a -1? La frecuencia relativa acumulada (Fr ) es el cociente entre la frecuencia acumulada (Fi ) y el nmero total de datos. Es decir, F F n r i = Ejemplo 2
  15. 15. 7 Compare sus resultados con los valores contenidos en la tabla 4. Qu informacin nos brindan las frecuencias relativas acumuladas? La frecuencia relativa acumulada de la clase 2 es la suma de las frecuencias relativas de la clase 1 y 2. Por tanto, las dos clases en conjunto tendrn una frecuencia relativa acumulada de 0,54. Esto quiere decir que el 54% de los estudiantes que realizaron el examen obtuvieron una nota entre 50 y 69, o bien 69 o menos, similarmente el 80 % de los estudiantes obtuvieron una calificacin de 79 o menos. Las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas, siempre hacen referencia a los limites superiores de cada clase. Histograma La altura de cada barra corresponde a la frecuencia relativa de la clase respectiva (tambin se puede utilizar la frecuencia absoluta). Otra forma de representar grficamente esta distribucin es mediante un polgono de frecuencias, la cual se obtiene a partir de la grfica de barras al unir, con segmentos rectilneos, los puntos medios superiores de los rectngulos. Reflexione! Puede ser una frecuencia relativa acumulada de signo negativo o de valor mayor que 1? Explique!
  16. 16. 8 Otra forma de representar la grfica de un polgono de frecuencias, es utilizando la frecuencia relativa. Procedimiento: 1. En el eje vertical se colocan las frecuencias relativas. 2. En el eje horizontal en cada intervalo se indica la clase. Polgono de Frecuencias Relativas. Histograma de Frecuencias Relativas Acumuladas. La distribucin de frecuencias relativas acumuladas tambin podemos representarla mediante una grfica de barras, como se observa en la siguiente ilustracin. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 Frecuencias Relavas Acumuladas 0,24 0,54 0,80 0,92 1,00 Con su Ars Conjectandi (el Arte de la Conjetura) la teora de probabilidades adquiere autonoma cientfica. Jacob Bernoulli (1 654 - 1 705)
  17. 17. 9 La Ojiva Tambin podemos representar la distribucin de frecuencias relativas acumuladas mediante un grfico de lnea llamado Ojiva. Esta se construye de la siguiente manera: 1. En el eje horizontal en lugar de las clases se colocan los lmites superiores. 2. En el eje vertical se escriben las frecuencias. La ojiva comienza con el lmite superior de la primera clase. La ojiva elaborada anteriormente se contruye generalmente de la siguiente manera: La ojiva es el polgono de frecuencias acumuladas, es decir, en ellas se permite ver cuntas observaciones se encuentran por debajo de ciertos valores en lugar de mostrar los nmeros asignados a cada intervalo. Creador de la Inferencia Estadstica. Ronald Fisher (1 890 - 1 962)
  18. 18. 10 Compruebe lo aprendido 1. Con la informacin contenida en la tabla 5, responder a las siguientes preguntas: Si la nota mnima para aprobar es 60, Qu porcentaje de estudiantes reprob la clase? Cul es el porcentaje de estudiantes que aprobaron el examen? Qu porcentaje de estudiantes obtuvo una calificacin entre 50 y 79? y entre 60 y 89? Qu porcentaje obtuvo calificaciones mayores que 69? Qu porcentaje obtuvo calificaciones menores o iguales que 79? 2. De acuerdo con el censo del ao 2005, la poblacin de Nicaragua en ese entonces era de 5 142 098. La tabla muestra la distribucin de la poblacin adolescente de Nicaragua segn ese mismo censo. TABLA 6: Distribucin de la edad de adolescentes Edad Nmero de habitantes 15 125 986 16 121 047 17 113 325 18 113 324 19 109 903 Total 583 585 Calcule las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas. Disee una tabla de frecuencias en la que incluya las frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Trace una grfica de barras para la distribucin de frecuencias relativas y una ojiva para la distribucin de frecuencias acumuladas. Matemtico belga que aplic los mtodos estadsticosalasCiencias Sociales, padre de la Estadstica Moderna. Lamber Adolphe Jacques Qutelet (1 796 - 1 874)
  19. 19. 11 Cul era la poblacin entre las edades de 15 y 19 aos? Qu porcentaje de esa poblacin estaba conformada por jvenes entre las edades de 17 y 18 aos inclusive? Qu tanto por ciento de esa misma poblacin eran mayores de 18 aos? Y de menor o igual edad? Segn el censo del 2005, qu tanto por ciento de la poblacin de Nicaragua eran jvenes de entre 15 y 19 aos? Y de entre 17 y 19 aos? 3. En los grupos de noveno grado de un colegio de secundaria, se realiz una encuesta sobre los colores preferidos para el uniforme de la banda musical. Con los datos de los 200 estudiantes encuestados se hizo el siguiente diagrama de sector circular. Qu porcentaje de estudiantes no eligi el color rojo? Cuntos estudiantes no eligieron el celeste? Cuntos eligieron el celeste o el amarillo? Cuntos no eligieron ni el amarillo ni el rojo? Haga una tabla de frecuencias. Cuntos eligen el rojo? Cuntos eligen amarillo? Cuntos eligen el verde y el amarillo? Reforzamiento. El nmero de empleados de una empresa se distribuye porcentualmente de acuerdo a su tiempo de trabajo. 1. Menos de 5 aos, 20%. 2. Entre 5 y menos de 10 aos, 50%. 3. Entre 10 y menos de 15 aos, 15%. 4. Entre 15 y menos de 20 aos, 10%. 5. Ms de 20 aos, 5%. Construye un diagrama de sector circular para la situacin.
  20. 20. 12 Actividad en grupo 1. El poema A Roosevelt de Rubn Daro contiene 1 660 letras. La letra a se repite 184 veces, de modo que su frecuencia relativa es Organcense en grupos de 2 3 estudiantes y determinen cules son las frecuencias relativas de las otras letras vocales del alfabeto. Investiguen cul es la vocal ms utilizada en el idioma espaol. Construyan una tabla de frecuencias para el nmero de letras de las palabras usadas en el poema. Cul es la letra de mayor frecuencia? Representen la distribucin de frecuencias relativas mediante una grficadebarrasytracenunaojivaparaladistribucindefrecuencias acumuladas. 2. La moneda de un crdoba, en una de sus dos caras tiene el escudo de Nicaragua y, en la otra, el nmero uno; comprubenlo ustedes mismos observando una moneda. Lancen una moneda de un crdoba 20 veces, registren los resultados y con los datos recabados llenen la siguiente tabla de frecuencias: Resultado fi fr Nmero Escudo Repitan la experiencia en grupos de 5 o 6 estudiantes y construyan una nueva tabla donde relacione los datos anteriores y los nuevos. Construyan una tabla con los datos de toda la clase. Observe y analice. Qu pasa a medida que se consideran ms datos? Repitan la experiencia usando un dado en lugar de una moneda. Hay que unirse, no para estar juntos, sino para hacer algo juntos Juan Donoso Corts
  21. 21. 13 Medidas de posicin Las medidas de posicin dividen a un conjunto de datos ordenados en partes con la misma cantidad de individuos. Entre los ms populares estn los cuartiles, los deciles y los percentiles. La mediana es parte de ellos y se ubica al centro de los datos. La Mediana Una prueba de Matemtica practicada a siete estudiantes di como resultado las siguientes calificaciones : 68 72 73 81 85 87 91. En esta lista ordenada el dato central es 81, ya que hay la misma cantidad de datos menores que 81 y mayores que 81. El dato central de una lista ordenada, cuando existe, se denomina mediana. As, la mediana de las siete calificaciones es 81. Escriba la lista de las calificaciones menores que 81 y la lista de las mayores que 81. Para cada una de ellas determine la mediana. Compruebe lo aprendido 1. Considere el siguiente conjunto de datos: 7 12 18 21 25 32 41 43 50 51 60. Encuentre la mediana Escriba la parte inferior a la mediana y la parte superior. Indique la mediana de cada una de estas partes. 2. Suponga un conjunto de datos como el siguiente: 12 23 108 32 10 51 18 20 67 59 21 83 76 44 70. Ordene los datos de menor a mayor. Anote la lista de datos menores que la mediana y la de los mayores que la mediana. Para cada una de ellas determine la mediana. 3. Considere ahora el siguiente conjunto ordenado de datos: 7 8 10 18 23 40. Hay un dato central en esta lista? Los cuartiles son valores que dividen a los datos ordenados en cuatro partes con la misma cantidad de datos. 117 115 101 97 96 95 93 Mitad Superior Mitad Inferior Mediana
  22. 22. 14 Incorpore un nuevo nmero a la lista de modo que el nmero agregado sea la mediana del nuevo conjunto de datos. Cuntos datos de la lista original estn bajo dicho nmero? Cuntos estn sobre l? De cuntas maneras podemos elegir el nmero a incorporar a la lista original para satisfacer las condiciones indicadas? Tendra usted preferencia por alguno de ellos? Analicemos la siguiente situacin: Las cantidades de carreras anotadas por los lderes histricos en la liga de beisbol profesional de Nicaragua son las siguientes: 117, 115, 101, 97, 96, 95 y 93. Al ordenar los datos en orden creciente advertimos que la mediana, el dato central, deja el mismo nmero de datos por debajo y por arriba de ella. 93 95 96 97 101 115 117 mediana As, la mediana determina dos subconjuntos: el de datos menores que la mediana y el de datos mayores que la mediana. La mediana de la mitad inferior, 95, se denomina primer cuartil y se denota por Q1 . 93 95 96 97 101 115 117 Primer cuartil mediana La mediana de la mitad superior es el llamado tercer cuartil Q3 . El segundo cuartil Q2 , es la mediana de todos los datos. 93 95 96 97 101 115 117 Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil Si cambiamos los extremos por otros valores, variarn los cuartiles? y si agregamos valores mayores que 117 o menores que 93? De qu manera podramos agregar ms datos sin hacer variar los cuartiles? El elemento mnimo de un conjunto numrico es el menor de todos los elementos que pertenecen al conjunto. Cul es el mximo?
  23. 23. 15 Los cuartiles junto con los valores extremos, el mximo M y el mnimo m, pueden usarse para exponer en forma resumida la informacin que nos brindan los datos. En nuestro ejemplo, el resumen de los 5 nmeros es: m Q1 Q2 Q3 M 93 95 97 115 117 Podemos mostrar esta sntesis en una grfica de caja - brazos, la cual se dibuja mediante el siguiente procedimiento. Paso 1. Tracemos una recta numrica que contenga a los valores mximo y mnimo y a los cuartiles. Paso 2. Marquemos el valor ms bajo, el ms alto, y los cuartiles. Paso 3. Dibujemos una caja que vaya del primer al tercer cuartil. Paso 4. Marquemos la mediana con un segmento vertical que divida la caja en dos. 113 115 117
  24. 24. 16 Paso 5. Tracemos dos segmentos horizontales, uno que se extienda desde la caja hasta el dato mnimo y otro que vaya de la caja al valor mximo. Finalmente obtenemos la grfica caja-brazos o caja-bigotes. Con un poco de reflexin se puede responder a los siguientes planteamientos: Dada una grfica caja-brazos, cules de las siguientes medidas se pueden determinar: la mediana, la moda, la media aritmtica, la amplitud? Por qu en la grfica caja-brazos que construimos la mediana no se encuentra en el centro de la caja? Cambiar la caja si sustituimos el nmero 93 por otro de menor valor? Haga una descripcin de los pasos necesarios para determinar los cuartiles. Si la cantidad de datos que superan a la mediana es un nmero par, cmo se calcula el tercer cuartil? La amplitud de una serie de datos es la diferencia entre el dato mximo y el mnimo. Recuerde: Si la cantidad de datos es par, la mediana es la media aritmtica del par de datos centrales.
  25. 25. 17 Los Deciles y los Percentiles. Los deciles son valores que dividen a una conjunto ordenado de datos en diez partes con igual cantidad de trminos. Hay distintos mtodos para calcular los deciles y, en general, las medidas de posicin. Los valores que resultan al aplicar dos mtodos distintos pueden diferir, aunque la diferencia se torna despreciable a medida que aumenta la cantidad de datos. Lugar que ocupa la mediana Un primer paso para determinar una medida de posicin, es encontrar el lugar que ocupa en relacin al conjunto de datos. Examinemos el caso de la mediana. Si el nmero de datos es igual a 3, como en la serie 5, 7, 8, la mediana ocupa la posicin nmero. 2 3 1 2 = + Si la cantidad de datos es 5, como en 4, 6, 8, 10, 15, la mediana ocupa la posicin nmero. 3 5 1 2 = + Cuando hay 7 datos, como en la serie 2, 5, 8, 9, 12, 17, 20, la mediana se localiza en posicin nmero. 4 7 1 2 = + Cul es la posicin de la mediana si la serie consta de 9 datos? Cul sera la posicin de la mediana de una secuencia de observaciones, si sta consta de n datos? Si observamos los casos particulares considerados, la posicin de la mediana se calcula dividiendo entre dos el nmero de datos aumentado en uno. Es decir, cuando una serie tiene n datos, la posicin de la mediana es: n +1 2
  26. 26. 18 Localizando deciles En forma similar se determinan las posiciones de los deciles, solamente que en este caso hay que dividir entre 10. Si hay n datos, la posicin del primer decil es: Pos D n 1 1 10 ( )= + Para hallar la posicin del segundo decil, multiplicamos la del primer decil por dos: Pos(D2 ) = 2 Pos(D1 ) De manera similar, la posicin del tercer decil es la del primero multiplicada por 3: Pos(D3 ) = 3Pos(D1 ) Cul es la posicin del cuarto decil? y la del noveno? Con qu cuartil coincide el quinto decil? Indique las posiciones de todos los deciles. En general, en un conjunto de n datos ordenados, la posicin del k - simo decil es: Pos(Dk ) = kPos(D1 ) (k = 1,2,...9) Las facturas de 30 abonados del servicio de energa elctrica de un barrio capitalino registraron cifras contenidas en la segunda columna de la tabla 7. Hallar los deciles primero, quinto y octavo. Lo primero que se debe hacer es ordenar los datos en orden creciente, pero este paso lo podemos saltar ya que los datos estn dispuestos de esa manera. La cantidad de datos es n = 30, as que la posicin del primer decil es: n + = + = 1 10 30 1 10 3 1, Este resultado se interpreta de esta manera: debe tomarse el dato que ocupa la posicin nmero 3, ms una dcima, 0,1, de la distancia que hay al siguiente dato. En la serie dada, el dato de la posicin nmero 3 es 281; la distancia entre ste y el siguiente dato es: 289 - 281 = 8 Ejemplo 3 El k-simo decil se denota con el smbolo. Dk
  27. 27. 19 Luego, el primer decil es: D1 = 281 + 0,1(8) = 281 + 0,8 = 281,8 La posicin del quinto decil es la del primer decil multiplicada por 5, es decir, Pos(D5 ) = 5Pos(D1 ) = 5 (3,1) = 15,5 Por tanto, el quinto decil es el dato que est en la posicin nmero 15, es decir 336, ms cinco dcimas, 0,5, de la diferencia 338-336. As, D5 = 336 + (0,5) 2 = 336 + 1 = 337 Observemos que este valor coincide con la mediana. Esta coincidencia no es casual, para una serie ordenada cualquiera de n datos, la posicin del quinto decil es: 5 1 10 1 2 + = + que, como sabemos, es la posicin de la mediana. La posicin del octavo decil es la posicin del primer decil multiplicada por ocho, es decir, D8 = 8 Pos (D1 ) = 8 (3,1) = 24,8 El octavo decil es el dato de la posicin 24 ms 8 dcimas de la distancia de ste al dato de la posicin 25, es decir: D8 = 365 + 0,8 (369 - 365) = 365 + 3,2 = 368,2 Calcule los restantes deciles y responda a las siguientes preguntas. Qu tanto por ciento de los datos son menores que el decil nmero dos? Qu tanto por ciento son mayores? Qu porcentaje de los datos excede al sexto decil? Qu tanto por ciento est constituido por datos menores que el sexto decil? Si se premiara a los abonados que presenten facturas cuyo monto no exceda el sptimo decil, Qu porcentaje de ellos alcanzaran el premio? Tabla 7: Factura de 30 abonados Posicin Cantidad C$ 1 238 2 245 3 281 4 289 5 290 6 295 7 295 8 310 9 314 10 319 11 321 12 322 13 331 14 332 15 336 16 338 17 350 18 356 19 356 20 356 21 359 22 361 23 364 24 365 25 369 26 402 27 407 28 409 29 412 30 415
  28. 28. 20 Los percentiles Los percentiles son valores que dividen a una coleccin ordenada de datos, en cien partes con igual cantidad de trminos. Las posiciones de los percentiles se calculan en forma anloga a las de los deciles, pero en lugar de dividir entre diez se divide por 100. As, para una serie de n observaciones el primer percentil ocupa la posicin Pos P n 1 1 100 ( )= + Luego, la posicin del k-simo percentil ser: Pos (Pk ) = k Pos P1 A una prueba clasificatoria para optar a una especialidad en medicina, se presentaron 200 candidatos. El criterio para clasificar establece que se admitirn aquellos postulantes cuyos puntajes superen los 74 puntos y que adems se ubiquen por encima del percentil ochenta. Las primeras 152 calificaciones fueron menores de 75 puntos y las restantes 48 calificaciones fueron las siguientes: 75, 75, 76, 77, 78, 79, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 84, 85, 86, 86, 86, 87, 87, 87, 87, 88, 88, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 96, 96, 96. Determine cules son las calificaciones de los postulantes que clasificaron. Puesto que la serie completa de las calificaciones consta de 200 trminos, la posicin del primer percentil es: Pos P n 1 1 100 200 1 100 2 01( )= + = + = , Luego, la posicin del percentil ochenta ser: Pos (P80 ) = 80 Pos (P1 ) = 80 (2,01) = 160,8 Por tanto, el percentil ochenta es el dato que ocupa la posicin nmero 160 ms ocho dcimas de la distancia que hay al siguiente dato. Como hay 152 calificaciones que no superaron los 74 puntos, la primera calificacin de la lista dada es la nmero 153, luego la calificacin nmero 160 se encuentra a siete posiciones ms adelante, es decir la calificacin de 79 puntos que precede a la nota de 80 puntos. Por tanto, el percentil ochenta es: P80 = 79 + 0,8 (80 - 79) = 79,8 El k-simo percentil se denota con el smbolo. Pk Por ejemplo, P25 representa al percentil veinticinco. Ejemplo 4
  29. 29. 21 Puesto que los que clasifican para ser admitidos en la especialidad ofertada deben superar este valor, los postulantes que tienen puntajes mayores o iguales a 80 son los que sern admitidos. Por tanto, clasifican los que sacaron las 40 calificaciones ms altas. Actividad en grupo De acuerdo al ejemplo 4, resuelva los siguientes ejercicios. Calcule los percentiles 25 y 75. Determine cules calificaciones se encuentran por encima del percentil 75. Qu tanto por ciento de las calificaciones estn por debajo del percentil 25? y Por encima? Qu tanto por ciento de las calificaciones estn entre el percentil 25 y el percentil 75? Cul percentil coincide con la mediana? Compruebe lo aprendido 1. Los datos que aparecen en la siguiente tabla corresponden a las extensiones territoriales de los 31 municipios de los departamentos de Chinandega, Len y Managua. Las cifras estn dadas en Km2 . 66,61 222,64 60,58 70,67 104,54 1 274,91 149,01 617,34 120,31 71,50 39,99 724,71 779,88 820,19 416,24 431,48 692,97 691,57 598,39 85,70 227,60 393,67 207,17 51,11 225,72 297,40 668,30 357,30 60,79 975,30 562,01 Realice los siguientes ejercicios: a. Ordene los datos de menor a mayor. b. Calcule los tres cuartiles y las extensiones territoriales mxima y mnima. Una manera sencilla de entender el concepto de percentil es cuando un pediatra observa la tabla de crecimiento y peso de un nio registrado en el MINSA. Si el peso de un nio est en el percentil 25, significa que el 25% de lactantes varones de dicha edad pesa menos que l y un 75% pesa ms que l.
  30. 30. 22 c. Qu tanto por ciento de los datos estn entre el primero y tercer cuartil? d. Dnde se ubican los extremos de la caja en una grfica caja- brazos? e. La grfica caja-brazos para estos datos, ser larga? f. Si una grfica caja-brazos tiene una caja larga, qu indica esto acerca de los datos? y Si la caja es corta? g. De dnde a dnde se extienden los brazos de la grfica caja- brazos? h. Trace la grfica caja-brazos para los datos de la tabla ubicada en la pgina 21. i. En qu parte de la grfica caja-brazos se encuentra la mediana? j. Qu significado tiene la posicin de la mediana en el recuadro de la grfica? k. Los brazos de la grfica, tienen igual longitud, o tienen distinto largo? l. Qu nos indica sobre los datos las longitudes de los brazos de la grfica? m.Calcule los deciles segundo, sexto y sptimo. n. Determine los percentiles 25 y 75. Qu tanto por ciento de las extensiones territoriales de los municipios de los departamentos de Chinandega, Len y Managua, estn por encima del percentil 75? Qu tanto por ciento est por debajo? o. Qu tanto por ciento de las extensiones territoriales estn entre el percentil 25 y el 75? 2. Midan las tallas y los pesos de sus compaeros de clase. Registren tambin las edades. Con los datos recabados encuentren los cuartiles, y los percentiles 25, 50 y 75. 3. Investiguen cul es el peso ideal segn la edad y la talla de una persona. Haga un grfico que refleje esta informacin. Comparen con los registros realizados por sus compaeros de clase. Public el error probable de una media y todos sus artculos bajo el pseudnimo de Student, por ello su logro ms famoso se llama distribucin t de Student. William Sealy Gosset (1 876 - 1 937) Recuerde Si la suma de dos nmeros es cero, cada uno de ellos es el opuesto o inverso aditivo del otro.
  31. 31. 23 Medidas de dispersin Las medidas de ubicacin o posicin, como la media o la mediana, en muchas situaciones no solamente resultan insuficientes, sino que pueden incluso conducir a errores de interpretacin. Al respecto, nos dice George Bernard Shaw: La estadstica es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos carros y yo ninguno, los dos tenemos uno Las medidas de ubicacin como la media y la mediana sirven para describir el centro de los datos, pero no permiten describir la extensin de stos ni su variabilidad. Por eso se requieren otras medidas denominadas medidas de dispersin. Las medidas de dispersin nos resumen la informacin de la muestra o serie de datos, dndonos as informacin acerca de la magnitud del alejamiento de la distribucin de datos en relacin a un valor central o de concentracin de los datos. La estadstica nos permite tener una visin del comportamiento de una serie de sucesos o eventos a los que denominamos "variables", as tenemos varias herramientas estadsticas como lo son la media aritmtica, la mediana y la moda. Pero estas medidas no son suficientes para describir un conjunto de datos, necesitamos conocer la variabilidad de los datos, es decir, como se dispersan los datos reales en comparacin a las medidas de tendencia central, para esto contamos con esta nueva herramienta. Las medidas de dispersin, son indicadores de variabilidad y cuya importancia reside en la necesidad de tomar decisiones, basadas en estadsticas bsicas. Los principales estadsticos de medidas de dispersin son: 1. Amplitud o rango 2. Desviacin media 3. Varianza 4. Desviacin estndar o desviacin tpica 5. Coeficiente de variacin Ejemplo de Rango Si tenemos una produccin de camisas y sabemos que diariamente se producen un promedio de 500 camisas, y si un da se produce un mnimo de 415 camisas y otro da se produce un mximo de 573 camisas, entonces el rango de produccin es de 158 camisas, es decir, podemos tener una produccin de 158 camisas a partir del valor mnimo. Rango es la diferencia entre el valor mximo y mnimo valor de una serie de datos y nos da una idea de la posible dispersin que se puede tener de los datos. R = Dato mayor - Dato menor. El inverso aditivo de 5 es -5, ya que, 5 + (-5) = 0. Por la misma razn, el opuesto de -5 es 5. El valor absoluto de un nmero real a se denota por | a | Si a 0, entonces, | a | = a Pero si a < 0, | a | = -a
  32. 32. 24 La amplitud La amplitud en una coleccin de datos es la distancia entre los extremos, es decir, la diferencia entre el dato mximo y el mnimo. En el conjunto 3, 5, 6, 7, 21, 43, 54, 24, 28, los valores mximo y mnimo son 54 y 3, respectivamente. Por tanto, la amplitud en la serie es la distancia entre estos valores, es decir, | 3 - 54 | = 54 - 3 = 51 Cul es la amplitud en la serie 34, 51, 23, 56, 32, 109, 46, 52? Supongamos que unos excursionistas deben decidir si atraviesan o no un ro a pie. Se les informa que, segn una muestra tomada recientemente, la profundidad media del ro es igual a 0,35 m. Es suficiente este dato para tomar una decisin acertada? Cul sera su decisin en cada uno de los siguientes casos? 1. La amplitud en la muestra es igual a 0,52 m. 2. La amplitud en la muestra es igual a 1,65 m. El conocimiento de la profundidad media del ro no es suficiente para dar garantas de seguridad al cruzar el ro a pie; podra suceder que en el tramo en que se pretende atravesar el ro, el valor de la profundidad vare considerablemente respecto a la media. Caso 1. Supongamos que la amplitud de las profundidades del ro es igual a 0,52 m. Esto significa que la distancia entre las profundidades extremas, la mxima M y la mnima m, es igual a 0,52, medida en metros. Esto es M - m = | M - m | = 0,52, es decir M = 0,52 + m. Puesto que la profundidad mnima m es menor que la profundidad media de 0,35, la suma 0,52 + profundidad mnima = 0,52 + m = M es menor que 0,52 + profundidad media = 0,52 + 0,35. Por lo tanto, M es menor que 0,87. Mnima Media Mxima 0,35 Profundidad del ro Ejemplo 5 Ejemplo 6
  33. 33. 25 En conclusin, el ro tiene una profundidad mxima de menos de 0,87 metros y, si los excursionistas son personas adultas de talla normal, pueden cruzar el ro sin preocuparse por la profundidad de ste. Caso 2. Consideremos ahora el problema en que la amplitud de las profundidades del ro es de 1,65 metros. Como en el caso anterior, la profundidad mxima es igual a la suma de la amplitud y la profundidad mnima, M = amplitud + m = 1,65 + m la cual tiene un valor menor que la suma de la amplitud y la profundidad media, amplitud + media = 1,65 + 0,35 = 2,00 Por tanto, la profundidad mxima M tiene un valor menor que 2,00. Por otra parte, M es mayor que la media de 0,35 metros. Vemos que en este caso la profundidad mxima se encuentra entre 0,35 y 2 metros de profundidad. Este intervalo es muy grande para las circunstancias del problema planteado, de modo que habra mucha incertidumbre en la toma de una decisin. Como hemos comprobado la amplitud puede brindar informacin valiosa a la hora de decidir un asunto. Sin embargo, en muchos casos su utilidad resulta muy limitada. Otras medidas de dispersin son la desviacin media, la varianza, la desviacin tpica o estndar y el coeficiente de variacin. La desviacin media Anteriormente definimos la amplitud como la distancia entre el dato ms alto y el ms bajo. Similarmente, la desviacin media puede tratarse como una distancia, pero con la ventaja de que, a diferencia de la amplitud, que slo toma en cuenta dos datos, sta medida considera toda la informacin. La desviacin de un dato x respecto a la media x, es la diferencia x - x entre l y la media. Esta puede ser negativa si el dato es menor que la media, o positiva, cuando el dato es mayor que la media o igual a cero cuando el dato es igual a la media. Matemtico britnico, primero en explicar el fenmeno de regresin a la media e introducir el concepto de correlacin. Sir Francis Galton, (1 822 - 1 911)
  34. 34. 26 Parecera natural definir la desviacin media de un conjunto de datos como el promedio de las desviaciones, sin embargo, esto no proporcionara ninguna informacin til ya que, cmo se muestra en el siguiente ejemplo, la suma de las desviaciones es igual a cero. Compruebe la validez de este resultado para otras series. Puede usted presentar un razonamiento convincente que nos indique que este resultado es vlido para cualquier serie de datos?. Una forma de solventar el problema de la nulidad de la suma de las desviaciones es considerar, no las propias desviaciones, sino sus valores absolutos, es decir las distancias entre la media y cada uno de los datos. Esto da lugar a la siguiente definicin. La desviacin media de un conjunto de datos es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos respecto a la media. En smbolos, desviacin media: DM = n i k = 1 , donde n es la cantidad de los datos. Entre menor es la desviacin media, ms agrupados estn los datos alrededor de la media y sta los representa con mayor fidelidad. Por el contrario, entre mayor es la desviacin media, ms alejados estn los datos de la media y por tanto hay mayor dispersin. En una pequea empresa los salarios devengados por siete empleados, expresados en miles de crdobas son los siguientes: 2,8; 2,9; 2,9; 2,9; 3,5. Calcular la desviacin media. De acuerdo con la definicin, para calcular la desviacin media se requiere determinar primero la media aritmtica. Para los datos dados sta es: x = + + + + = 2 8 2 9 2 9 2 9 3 5 5 3 , , , , , Salarios x x - |x - | 2,8 3 -0,2 0,2 2,9 3 -0,1 0,1 2,9 3 -0,1 0,1 3,5 3 -0,1 0,1 15 3 0,5 0,5 |x - x| = 1,0 La desviacin tpica o estndar, es una medida de dispersin usada en estadstica que nos indica cuanto tienden a alejarse los valores concretos del promedio de una distribucin. Ejemplo 7 Recuerde que la media aritmtica se calcula usando la siguiente frmula: x f X n i i k i = = 1 O bien x X X X n k = + + +1 2 ... x x x
  35. 35. 27 Las distancias entre los datos y la media aparecen registradas en la cuarta columna de la tabla de la pgina anterior. Su promedio, es decir su suma dividida entre la cantidad de datos, nos proporciona la desviacin media: desviacin media = n i k = 1 = 1,0 5 = 0,2 Observe que la suma de las desviaciones es igual a cero como se dijo anteriormente. Encuentre la desviacin media para la serie 3, 2, 1, 0, 4, 7. La varianza (S2 ) Si en la frmula del clculo de la desviacin media cambiamos las desviaciones por sus cuadrados, obtenemos el indicador estadstico denominado varianza. Es decir, S x x n i i k 2 2 1 1 = ( ) = Observe indicacin en la columna izquierda. x x x - x (x - x)2 2,8 3 -0,2 0,04 2,9 3 -0,1 0,01 2,9 3 -0,1 0,01 2,9 3 -0,1 0,01 3,5 3 0,5 0,25 Total 0,32 La desviacin tpica o estndar (S) Si extraemos la raz cuadrada a la varianza obtenemos la desviacin tpica o estndar, que es la medida de dispersin ms utilizada. La desviacin tipica o estandar de un conjunto de datos es la raz cuadrada positiva del promedio de los cuadrados de las desviaciones, es decir: Desviacin tpica: S x x n i i k = ( ) = 2 1 1 Para el clculo de la varianza se utiliza la siguiente ecuacin: S x x n i i k 2 2 1 1 = ( ) = n: significa nmero de datos. De acuerdo a la tabla de la derecha, el resultado de la varianza es: S x x n i i k 2 2 1 1 = ( ) = S 5 - 1 2 = 0,32 S2 = 0,08
  36. 36. 28 Para los salarios de la empresa del ejemplo 7, la desviacin estndar es igual a: Desviacin estndar: S= = 0 32 5 1 0 08 0 283 , , , En el lenguaje corriente decimos que dos objetos estn cercanos si se encuentran a poca distancia. Lo mismo decimos de una serie de datos y su media, si la desviacin estndar es pequea significa que los datos estn agrupados alrededor de la media. Por el contrario, si la desviacin estndar es muy grande entonces los datos estn muy dispersos. El coeficiente de variacin El coeficiente de variacin, CV, es el cociente entre la desviacin estndar y la media: CV S x = El coeficiente de variacin, es una medida de la dispersin relativa de una serie de datos. Cuando CV, est cerca de cero, la media representa adecuadamente a la distribucin de los datos, pero cuando su valor excede a 0,75, la media pierde representatividad. Para el ejemplo abordado anteriormente, el coeficiente de variacin es igual a: CV= = 0 283 3 0 094 , , , lo cual significa que la media representa significativamente a los salarios de los cinco trabajadores. Compruebe lo aprendido 1. De acuerdo con datos preliminares del Instituto Nacional de Informacin de Desarrollo, los rendimientos agrcolas en el cultivo del caf en seis de los departamentos de la zona de Pacfico de Nicaragua en el ao 2 013, en: (quintales/manzana): 4,77 ; 3,45; 5,20; 6,27; 4,30; 5,05. Hallar el rendimiento medio, la amplitud, la desviacin media, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin. Ejemplo 8 Medidas de tendencia central: Son estadsticos alrededor de los cuales se concentran gran parte de los valores de la distribucin MEDIANA (Me ) o x Es una medida de centralizacion que se caracteriza por lo siguiente: deja tras de s el 50% de la distribucin. El smbolo de la mediana x MODA (Mo ) de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta LA MEDIA ARITMTICA (x) Es un estadstico que nos da una idea de entorno a qu valor se encuentran concentrados los valores de una variable estadstica, aunque en ocasiones no resulte un valor demasiado representativo. El smbolo de la media es x y se lee como "equis barra". x : media aritmtica para una muestra . : media aritmtica para una poblacin. Recuerde.
  37. 37. 29 2.La siguiente tabla contiene los parmetros de la anidacin de las tortugas carey, registrados por un equipo de investigacin en el ao 2008, Cayos Perlas, Nicaragua, de acuerdo con un censo realizado por dos equipos de campo de la Wildlife Conservation Society (Sociedad para la Conservacin de la Vida Silvestre, WCS por sus siglas en ingls). Determine el coeficiente de variacin e indique cul de los promedios representa mejor a los datos. Anidacin de tortugas carey en el 2008, Cayos Perlas, Nicaragua. Tamao de la nidada Promedio Desviacin Estndar Profundidad del nido-nidadas in situ (cm) 167,2 28,4 Profundidad del nido-nidadas reubicadas 41,6 4,5 Longitud del rastro 36,7 6,1 Distancia LMA al nido 8,8 6,3 Lnea de Marea Alta 5,1 3,5 Trabajo en equipo Organcense en equipos y midan con un cronmetro el tiempo que tarda cada uno de los miembros del equipo en realizar la lectura del poema de Rubn Daro: Yo persigo una forma. Luego renan los datos de toda la clase y calculen: a.La media aritmtica. b.La amplitud. c.La desviacin media. d.La desviacin estndar. e.El coeficiente de variacin. f. Indiquen si la media representa adecuadamente a los datos. Matemtico britnico fundador de la Bioestadstica. Karl Pearson (1 857 - 1 936)
  38. 38. 30 Yo Persigo una Forma Yo persigo una forma que no encuentra mi estilo, botn de pensamiento que busca ser la rosa; se anuncia con un beso que en mis labios se posa al abrazo imposible de la Venus de Milo. Adornan verdes palmas el blanco peristilo; los astros me han predicho la visin de la Diosa; y en mi alma reposa la luz como reposa el ave de la luna sobre un lago tranquilo. Y no hallo sino la palabra que huye, la iniciacin meldica que de la flauta fluye y la barca del sueo que en el espacio boga; y bajo la ventana de mi Bella-Durmiente, el sollozo continuo del chorro de la fuente y el cuello del gran cisne blanco que me interroga. Rubn Daro Obra pictrica de Alejandro Arstegui
  39. 39. 31 Ejercicios de Cierre de Unidad 1. El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional otorg prestamos a 30 campesinos para la siembra y produccin de frijoles. El nmero de manzanas de tierra financiada a travs de ALBA-CARUNA fueron: 80, 80, 80, 80, 75, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 67, 65, 65, 65, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 56, 56, 55, 55, 55, 55, 55, 66. a.Elabore una tabla de frecuencias. b.Determine los cuartiles y los deciles. c.Trace una grfica caja-brazos. 2. En una prueba de velocidad de escritura practicada a 32 estudiantes del Instituto Miguel de Cervantes, se obtienen los resultados, medidos en segundos: 13, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 25, 27, 30. Calcule: a.La velocidad de escritura promedio. b.La desviacin estndar. c.El coeficiente de variacin. d.Realice un comentario sobre los resultados. 3. La estacin meteorolgica de San Carlos, Ro San Juan, registr en el ao 2008, en el perodo mayo-octubre, las siguientes precipitaciones pluviales: 310,8; 353,4; 264,8; 271,6; 265,3; 267,6 en cm3 . Calcule: a.La precipitacin promedio. b.La amplitud. c.La desviacin estndar.
  40. 40. 32 4. Estos son los registros de las velocidades de los vientos en los meses del ao 2013, obtenidos en las estaciones meteorolgicas de Chinandega y Managua (A.C. Sandino). Calcule: Velocidad de los vientos en km/h Mes Chinandega Managua Enero 2,5 3,0 Febrero 2,2 3,0 Marzo 2,5 3,0 Abril 2,2 3,0 Mayo 2,1 2,3 Junio 1,6 1,7 Julio 1,7 2,3 Agosto 1,7 2,1 Septiembre 1,8 2,5 Octubre 2,0 2,2 Noviembre 1,6 2,1 Diciembre 1,9 1,5 a.Las velocidades medias. b.Las desviaciones estndar. c.Los coeficientes de variacin. 5. Se le pregunt a 20 estudiantes en un congreso de la FES sobre la cantidad de horas que haban dormido la noche anterior. Las respuestas fueron las siguientes: 5, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 5, 9, 6, 8, 8, 6, 9, 8, 8, 7, 7, 6. Obtenga: a.La media aritmtica y la moda. b.La amplitud. c.La desviacin media. d.La desviacin estndar. e.Una representacin caja-brazos.
  41. 41. 33 6. A continuacin se presentan la cantidad de familias beneficiadas con el plan techo que impulsa el Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional en 30 comarcas del departamento de Rivas: 84 70 75 75 68 56 60 60 68 75 61 66 67 74 56 75 56 75 54 62 61 54 51 67 53 70 71 69 54 59 Obtenga: a.Los cuartiles. b.Una representacin caja-brazos. c.La desviacin media. d.La desviacin estndar. 7. Las horas extra mensuales que trabajaron 7 empleados de ENATREL son: 4,20,24,48,42,48 y 48. Encuentre: a.El nmero medio de horas extra trabajadas. b.La mediana. c.La moda. d.La desviacin media. e.La desviacin estndar. f. El coeficiente de variacin.
  42. 42. 34 8. Se atienden a 70 personas con problemas de visin en la Misin Milagros que impulsa el Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional, con sede en Ciudad Sandino cuyas edades en aos cumplidos son: 41 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 43 35 30 35 47 53 49 50 49 38 43 28 41 47 41 53 32 54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21 42 21 39 39 34 43 39 28 54 33 35 43 48 48 27 53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 a.Construye una tabla de frecuencias de 5 intervalos. b.Calcule la media arimtica. c.Determine la desviacin estndar. 9. Los pesos en libras de los jugadores del equipo de ftbol Walter Ferreti son los siguientes: 167 172 165 165 178 165 143 180 156 149 156 a.Determine el peso medio del equipo. b.Halle la mediana. c.Elabore una grfica caja-brazos. d.Halle la desviacin media. e.Calcule la desviacin estndar. 10.Se entrega un bono de patio que impulsa el Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional el cual consiste en entregar un nmero determinado de gallinas por familia. Los datos se indican a continuacin: 19, 20, 21, 22, 18, 21, 19, 19, 20, 21, 21, 19, 18, 21, 22, 18, 19, 20, 21, 20, 19, 20, 21, 19, 19, 22, 17, 18, 21, 19, 21, 18, 20, 20, 21, 19, 20, 19, 20, 21, 18, 19, 20, 19, 21, 20, 19, 19, 23, 23. a.Construye una tabla de frecuencias con datos no agrupados. b.Determine el percentil 25 y el percentil 70 con los datos originales. Qu significado tienen estos valores?
  43. 43. 35 11.Segn el INTUR los datos de la estada promedio (EP) en das y el gasto diario promedio (GP) en dlares por turista en Nicaragua en los meses del primer semestre del ao 2012 y del ao 2013. 2012 2013 Mes EP GP EP GP Enero 6,6 49 7,6 41,2 Febrero 6,7 50,1 7,2 53,2 Marzo 7,7 47,3 7,2 49,8 Abril 6,4 52,8 7,1 50,9 Mayo 6,6 51,8 6,7 59,1 Junio 8 40,8 7,7 47,5 Para cada uno de los aos 2012 y 2013 obtenga: a. La media semestral de las estadas por das, la media de los gastos promedios en dlares, la desviacin estndar de las estadas, la desviacin estndar de los gastos promedios. b. Compare los resultados del ao 2012 con los del ao 2013. Describa una conclusin relevante. 12.Un dentista observa el nmero de caries en cada uno de los 100 nios de un colegio. La informacin obtenida est en la siguiente tabla: Nmero de Caries fi fr 0 25 0,25 1 20 0,2 2 x z 3 15 0,15 4 4 0,05 Obtener los valores de x, z y el nmero medio de caries.
  44. 44. 36 13.Lea, analice y resuelva los siguientes ejercicios a.La tabla adjunta Edad (en aos) 15 16 17 18 19 Estudiantes 50 40 60 50 20 muestra las edades de 220 estudiantes de un colegio. Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La moda es 17 aos. II. La mediana es mayor que la media (promedio). III.La mitad de los estudiante del colegio tiene 17 18 aos. Alternativas Slo I Slo II Slo I y III Slo II y III I, II y III b.El grfico de sectores circulares de esta figura muestra las preferencias de 30 estudiantes en actividades deportivas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones son correctas? I. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de ftbol es de 40%. II. La frecuencia relativa, expresada en %, del grupo de bsquetbol es de 30%. III.La mitad del grupo no prefiri ftbol ni tenis. Alternativas Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III Ftbol 12 Bsquetbol 9 Tenis 3 Atletismo 6
  45. 45. Unidad 2 Conjunto de Nmeros Reales El Gobierno de Reconciliacin y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto como es la construccin del puente Santa Fe y paralelo a la construccin del puente tambin se construy la carretera ubicada en la costa Sur del Ro San Juan de Nicaragua hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitar que las exportaciones de la zona central del pas puedan salir en esa direccin hacia Puerto Limn en Costa Rica, adems de la entrada y salida de nicaragenses hacia el pas vecino del Sur. Fuente: 19 digital. Abril 2014.
  46. 46. 38 Nmeros Reales Introduccin Esta unidad contina con el estudio de las propiedades de los nmeros reales y sus operaciones, concentrando su atencin en las potencias de base real y exponente racional. El uso de las potencias nos permite expresar en forma abreviada y operar con facilidad cantidades muy grandes o muy pequeas que aparecen en campos como la Fsica, la Qumica y la Astronoma. Potencias de base real y exponente entero En grados anteriores se abord el estudio de las potencias con exponente entero y base racional. En esta oportunidad estudiaremos las potencias con exponente entero y en las que la base es un nmero real cualquiera, como por ejemplo el nmero , ms adelante abordaremos el caso cuando el exponente es racional de la forma 1 n . Recuerde, reflexione y concluya Calcule el valor de las siguientes potencias de base entera a.33 b.(-3)3 c.64 d.93 e.(-2)4 f. (-2)5 g.(-4)3 h.(-5)3 i. (-5)6 j. -54 Qu tipo de nmero dan los resultados? Cuando la base es negativa y el exponente es impar, cmo es el resultado? y Si el exponente es par? Escriba cada potencia como un producto de factores iguales a.25 b.64 c.(-4)8 d.(-5)7 e.1710 El tomo de hidrgeno tiene una masa aproximadamente igual a la fraccin de un kilogramo representada por 17 precedido de 26 ceros y una coma decimal. Su escritura, con este tamao de letra, no cabe en este espacio. En notacin exponencial es 1,7 10-27 kg Recuerde El smbolo denota el conjunto de los nmeros naturales. Si A es un conjunto y x es cierto objeto, se usa la expresin x A, para indicar que x es elemento de A. Notacin exponencial En muchos lenguajes de programacin se usa el smbolo para denotar las potencias. Por ejemplo, en lugar de 23 se escribe 2 3
  47. 47. 39 Escriba cada uno de los siguientes productos como una potencia y calcule su valor a) 2 2 2 2 2 2 2 2 b) (-5)(-5)(-5)(-5)(-5)(-5) c) 112112112112112 d) 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 Escriba en forma de potencia cada uno de los siguientes nmeros de manera que la base sea la menor posible. a) 125 b) 10 000 c) 64 d) 15 625 Al calcular (-3)4 y -34 , se obtiene el mismo resultado? Potencia de base real y exponente entero positivo La definicin de potencia de base entera y exponente entero positivo se traslada al caso de base real. Es decir, que una potencia de base real y exponente entero positivo no es ms que la abreviatura de un producto de factores iguales. Si a es un nmero real y n es un entero positivo, la expresin: an es el producto de n factores, todos iguales al nmero a. Es decir, an = a a ... a n - veces Los puntos suspensivos en la parte derecha de esta igualdad sealan que se debe continuar multiplicando por a hasta completar exactamente n factores. En particular, a1 = a, a2 = a a, a3 = a a a. En la expresin an , a se llama base y n es el exponente. Este ltimo indica cuantas veces se toma la base como factor. Sabas qu? Los italianos utilizaban las letras p y m, iniciales de las palabras piu (ms) y minus (menos) para indicar respectivamente la suma y la resta. Con el tiempo se impuls la notacin "+" y "-" para denotar la suma y la resta. El texto ms antiguo que se conoce en el que aparecen estos signos denotando la suma y la resta es un libro de aritmtica comercial del alemn Johann Widman publicado en 1 489
  48. 48. 40 Escriba la potencia (0,7)5 como un producto de factores iguales. El exponente 5 indica cuntas veces se repite la base. Siendo la base igual a 0,7 tenemos que: (0,7)5 = (0,7) (0,7) (0,7) (0,7) (0,7). Escriba el siguiente producto como una potencia y calcule su valor. (-0,5) (-0,5) (-0,5) (-0,5) El factor que se repite en este producto es -0,5. Luego este nmero yacer como base y, el nmero de veces que se repite, cuatro, ser el exponente. Por tanto, (-0,5) (-0,5) (-0,5) (-0,5) = (-0,5)4 . Por otra parte al agrupar tenemos que (-0,5)4 = [(-0,5) (-0,5)] [(-0,5) (-0,5)], es decir, (-0,25)2 = (-0,25) (-0,25) = 0,0625 Efectuar el producto de las potencias tercera y quinta de . La tercera y quinta potencia del nmero son 3 y 5 respectivamente. Por tanto, 3 5 = ( ) ( ) = 8 veces Luego, 3 5 3 5 8 = =+ En general, para multiplicar potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. As tiene lugar la siguiente regla: Producto de potencias de igual base Para todo nmero real a, y para cualesquiera nmeros naturales m,n se cumple: am an = am + n Primera ley de los exponentes Para efectuar el producto de potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
  49. 49. 41 Escribir el producto de 311 por 57 como un mltiplo de una potencia de . Agrupamos primero los coeficientes y luego las potencias de involucradas para obtener: (311 )(57 ) = (3)(5)(11 7 ) = 1511+7 = 1518 Qupropiedaddelamultiplicacinpermiterealizaresteagrupamiento? Escribir cada producto indicado como un trmino con una potencia de ,e o a. 1. 2. 3 2 5 6 4 11 a a 3. ( )( )4 2512 3 e e Escribir a15 como una potencia con base a5 . El exponente 15 seala que a se debe tomar 15 veces como factor. Si agrupamos los factores de cinco en cinco, tendremos tres grupos cada uno de ellos con cinco factores iguales al nmero a. Tenemos as: a15 = (a a a a a) (a a a a a) (a a a a a). Es decir, a15 = a5 a5 a5 = (a5 )3 . 3 - veces Por tanto, a15 = (a5 )3 . Ejemplo 4 Ejemplo 5
  50. 50. 42 Por la simetra de la igualdad y descomponiendo 15 en sus factores primos, obtenemos que a15 = (a5 )3 = a5(3) . Esta propiedad tambin tiene validez general, es decir, podemos cambiar 5 y 3 por nmeros naturales arbitrarios m y n, mantenindose inalterable la validez de la regla. As tiene lugar la siguiente propiedad: Potencia de una potencia Si a es un numero real y m y n son nmeros naturales, entonces (am )n = am n Escribir cada expresin dada como una potencia con la base indicada. 1. a3 a3 a3 a3 ; con base a2 . 2. b24 ; con base b4 . Suponga que a, x {0,1}. Encuentre todos los posibles nmeros enteros m y n que hacen posible la igualdad. 1. (am )n = a12 2. (em )n = e125 3. [(0,12)m ]n = (0,12)18 Escriba el siguiente producto como el mltiplo de una potencia. 3 Tenemos un primer factor 3 y a continuacin el producto de siete factores idnticos a , luego, 3 = 3( ) = 37 Expresar (3)7 como un mltiplo de una potencia de . Por definicin de potencia: (3)7 = 3 3 3 3 3 3 3, Ahora reagrupemos los factores (3)7 = (3 3 3 3 3 3 3)( ). Importante! Sean a + y p,q + . Si a 0 y a 1, entonces, a ap q = p = q Por ejemplo, si 2x = 212 entonces base igual exponente igual: x = 12 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Segunda ley de los exponentes Para efectuar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.
  51. 51. 43 Luego, al aplicar la definicin de potencia en la parte derecha, se obtiene (3)7 = 37 7 = 2 187 7 . Expresar el siguiente producto como una potencia. e e e e Al agrupar e con obtenemos: e e e e = (e )(e )(e )(e ) Qu propiedades de la multiplicacin permiten realizar este agrupamiento? La parte derecha de esta igualdad es la cuarta potencia de (e ) luego, (e )(e )(e )(e ) = (e )4 La parte izquierda de la expresin dada, la podemos escribir como el producto de las potencias e4 y 4 , de modo que: e4 4 = (e )4 Esta igualdad es caso particular de la siguiente regla: Producto de potencias de igual exponente Si a y b son nmeros reales y n es un entero positivo, entonces an bn = (ab)n En efecto, sean a y b nmeros reales cualesquiera. Por definicin de potencia tenemos que: an bn = (a a ... a)(b b ... b). n - veces n - veces En cada uno de los grupos de la parte derecha de la igualdad hay n factores. Agrupemos cada factor a del primer grupo con exactamente un factor del segundo grupo. Obtenemos: an bn = (ab) (ab) ... (ab) n - veces Tercera ley de los exponentes Para multiplicar dos potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y el producto resultante se eleva al mismo de las potencias originales. "Dios hizo los nmeros enteros, el resto es obra del hombre." Leopold Kronecker Ejemplo 8
  52. 52. 44 La parte derecha por definicin de potencia es igual a (ab)n . Por tanto, an bn = (ab)n que es lo que se quera demostrar. Escribir en forma abreviada el producto (0,1)4 (0,2)4 34 . Por la propiedad asociativa de la multiplicacin (0,1)4 (0,2)4 34 = (0,1)4 [(0,2)4 (34 )] Luego, al utilizar en la parte derecha la tercera ley de los exponenetes se obtiene: (0,1)4 (0,2)4 34 = (0,1)4 [(0,2)4 (34 )] = (0,1)4 [(0,2)(3)]4 de donde, por la misma ley, (0,1)4 (0,2)4 34 = [(0,1) (0,6)]4 = 0,064 Compruebe lo aprendido. Escriba el producto de (0,345)7 por (0,345)4 en forma de una potencia. Cuntos factores iguales a 0,345 contiene? Escribir el cociente a b 4 4 como una potencia. Por la definicin de potencia y de acuerdo con la multiplicacin de fracciones, obtenemos: a b a a a a b b b b a b a b a b a b a b 4 4 4 = = = En general, vale la siguiente ley: Potencia de un cociente Si a y b son numeros reales, con b 0 , si n es un entero positivo, entonces a b a b n n n = Encuentre el valor del cociente de 23 y 0,53 . Por la ley arriba enunciada 2 0 5 2 0 5 3 3 3 , , = La tercera ley de los exponentes tambin puede formularse as: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de las bases, afectadas con el mismo exponente de la potencia original. (ab)n = an bn Cuarta ley de los exponentes La potencia de un cociente, es igual al cociente del numerador y del denominador, afectados con el mismo exponente de la potencia original. Recuerde: Si a, b, c, d con b 0 y d 0, entonces: a b c d a c b d = Ejemplo 9 Ejemplo 10
  53. 53. 45 Puesto que 0,5 = 1 2 , al sustituir en 0,5 por 1 2 la parte derecha de la igualdad, se obtiene: 2 0 5 2 1 2 3 3 3 , = , pero, 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 4= = = , por tanto, 2 0 5 4 64 3 3 3 , = = a) Exprese el nmero 23 000 000 a travs de una potencia de 10. b) Sin usar calculadora encuentre el valor del cociente. ( , ) ( , ) 0 5 0 1 4 4 a.Puesto que 23 000 000 = 23 1000 000 y 1 000 000 = 106 , 23 000 000 = 23 106 b.Por la propiedad de la potencia de un cociente tenemos que: 0 1 0 5 0 1 0 5 4 4 4 , , , , ( ) ( ) = pero 0,1 = 1 10 y 0,5 = 5 10 . Por tanto, al sustituir en la parte derecha de la igualdad obtenemos: 0 1 0 5 1 10 5 10 4 4 4 , ( , ) ( ) = Ahora bien, el cociente dentro del parntesis en la parte derecha es igual a 1 10 10 5 2 10 = . Luego, 0 1 0 5 2 10 4 4 4 , , ( ) ( ) = , Recuerde: Si n es un nmero natural, la potencia 10n , en notacin decimal, es igual a 1 seguido de n ceros. Por ejemplo 106 = 1 000 000 Cmo pasar de un decimal exacto a fraccin? En el numerador se pone el nmero decimal sin coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como decimales haya. Por ejemplo 1,32 = 132 100 Ejemplo 11
  54. 54. 46 pero, 2 10 2 10 16 10 000 0 0016 4 4 4 = = = , por tanto, 0 1 0 5 0 0016 4 4 , , , ( ) ( ) = Exprese los siguientes cocientes como una sola potencia. 1. e e e e 2 030 2 010 2 030 2 010 20 = = 2. 13 13 13 13 23 1 2 23 1 2 23 23 2 ( ) = ( ) = = La solucin de cada ejercicio es: 1. e e e e 2 030 2 010 2 030 2 010 20 = = 2. 13 13 13 13 23 1 2 23 1 2 23 23 2 ( ) = ( ) = = Simplifique el cociente 3 5 Por la ley del producto de potencias de igual base se tiene que 5 = 3 2 en consecuencia, 3 5 3 3 2 1 = Al desarrollar la parte derecha de esta igualdad como un producto de dos fracciones se llega a que: 3 5 3 3 2 2 1 1 1 = = por tanto, 3 5 2 1 = Observe que el resultado anterior se puede expresar de la siguiente manera: 3 5 5 3 1 = Simplificar una expresin donde hay potencias de nmeros reales significa cambiarla por otra en la que cada nmero real base, aparece una vez y todos los exponentes son positivos. Ejemplo 12 Ejemplo 13
  55. 55. 47 Este ejemplo se puede generalizar como veremos a continuacin. Sea a un nmero real no nulo y sean m y n nmeros enteros positivos. Caso 1. Supongamos que m > n , y sea p = m - n. Entonces p es un entero positivo y como m = p + n se tiene que: am = ap + n Por la regla para multiplicar potencias de igual base tenemos que: ap + n = ap an luego, a a a a a a a a a m n p n n p n n p = = = 1 Pero, como p = m - n. Al sustituir p por m - n, obtenemos que a a a m n m n = Caso 2. Asumamos que m < n entonces n - m > 0, an = an - m am y, en consecuencia, a a a a a a a a a m n m n m m n m m m n m = = = 1 1 As, en este caso, a a a m n n m = 1 De esta manera verificamos la validez de la quinta ley de los exponentes. Cociente de dos potencias de igual base Sean a un nmero real diferente de cero y m y n nmeros enteros positivos. a) Si m > n, entonces : a a a m n m n = b) Si m < n, a a a m n n m = 1 Reforzamiento: Resuelva aplicando las propiedades de los exponentes: c d c d 2 8 6 5 a d m a d m 3 7 6 8 4 1 (2x4 y2 )-3
  56. 56. 48 Simplifique cada una de las siguientes fracciones. Suponga que x, y, p, q son nmeros reales distintos de cero. a. x y x y 5 6 3 5 b. x y x y 2 6 4 2 c. 5 4 2 3 2 7 9 p q q p ( ) ( ) i a.Desarrollando la fraccin como un producto de fracciones y aplicando la regla para evaluar un cociente de potencias de igual base, obtenemos: x y x y x x y y x y x y 5 6 3 5 5 3 6 5 5 3 6 5 2 = = = b.En forma anloga, tenemos que: x y x y y x y x 2 6 4 2 6 2 4 2 4 2 = = c.Por potencia de un producto y por la ley para elevar una potencia a un exponente se tiene que: 5 25 4 2 3 2 7 9 8 6 7 9 p q q p p q q p ( ) ( ) = Al multiplicar las fracciones de la derecha y reordenar los factores en el numerador y denominador se llega a que: 25 258 7 9 6 7 6 9 8 p q p q q p = por tanto, 25 258 7 9 6 p q p q q p = Ejemplo 14
  57. 57. 49 Compruebe lo aprendido. I. Utilice la propiedad de la potenciacin apropiada para resolver correctamente cada ejercicio. 1.(1,21)3 2.(0,013)4 3.(0,02)5 4. 3 4 3 5. 0 2 0 3 3 3 , , ( ) ( ) 6. 0 5 10 4 4 ,( ) 7. 25 0 5 3 ,( ) 8.(-0,1)7 9. 0 004 0 0002 3 3 , , 10. 1 33 2 66 1 33 2 66 2 2 4 , , , , ( ) 11.[(0,11)3 ]4 + (0,2)2 12. 6 9 6 9 2 3 1 4 ( ) Recuerde La divisin a b c d de dos fracciones, se realiza multiplicando la primera fraccin por la segunda fraccin invertida, esto es: a b c d a b d c =
  58. 58. 50 II. Exprese como una potencia: a. x3 y3 b. u5 v5 c. p3 7 ( ) d. z w 5 5 e. e e 7 5 f. a7. a2008 g. x y x y 3 5 3 5 h. a b b 3 4 2 10 ( ) i. a x b a x b 2 3 3 3 2 2 j. m uv m m uv 2 3 4 3 5 1( ) ( ) k. 6 36 2 4 3 4 5 6 8 x y z w x y z w III.Simplifique a. 5 10 2 3 4 3 5 ab c b b a ( ) b. p p 6 4 c. m m 5 8 d. u v u v 6 8 2 6 e. u v u v 6 8 2 6 f. x y xy 3 4 7 g. a b c a b c 4 3 6 2 7 4 h. x y z y z x 5 3 4 5 7 2 i. a b ab c b c 4 3 2 2013 3 4 ( ) ( ) ii IV.Exprese como mltiplo de una potencia de 10 a) 17 000 b) 510 000 c) 312 000 000 000 000 000
  59. 59. 51 V. Suponga que a es un nmero real y que n denota un nmero natural arbitrario. Qu valores toman las potencias 0n y 1n ? Si a es positivo, es an un nmero positivo? Si a es un nmero negativo, en qu casos es an un nmero negativo? Cundo es positivo? VI.Sea a un nmero real tal que a 0 , a 1. En cada caso determine todos los valores de m y n tales que: a.[(2,3)m ]n = (2,3)114 b.[(-12)m ]n = (-12)2013 c.(0,001m )n = (0,001)322 d.[(1,32)m ]n = (1,32)25 Potencia de base real y exponente nulo Consideremos de nuevo la ley de los exponentes: Para todo nmero real a no nulo, se cumple: a = a a =10 m m Potencia de exponente 0 Al elevar cualquier nmero real no nulo al exponente cero el resultado es 1 Si m > n. Si admitimos que m coincida con n, tendramos m - n = 0, y am = an , lo cual sugiere definir, para todo real a 0, a = a a =10 m m Esto nos conduce a la siguiente definicin: Para todo nmero real a 0, a0 = 1 Por ejemplo 2013 = 1 (56 000 000)o = 1 Explique Por qu toda potencia de 5, con exponente entero positivo, termina en 25?
  60. 60. 52 Evale la expresin: 22 0,2 013 + 46,7 68 222,56 2 23 000 123 0 ( )( ) Como la cantidad dentro del parntesis es no nulo, podemos elevarla a cero; el resultado es 1, de acuerdo con la definicin de potencia real y exponente nulo. Sea p un nmero diferente de cero. Simplifique la expresin: [(2p)56 ]0 (2p)56 Por definicin de potencia de exponente nulo: [(2p)56 ]0 = 1 y 560 = 1 Luego, [(2p)56 ]0 (2p)56 = 1 (2p)1 = 1 2p = 2p Potencias de base real y exponente racional Recuerde, reflexione y concluya Para decidir si un nmero es inverso de otro, basta multiplicar los nmeros. Si el resultado es 1, la respuesta es afirmativa. Si el producto no es 1, entonces ninguno de los nmeros es el inverso del otro. Por ejemplo, 1 2 es el inverso de 2 Ya que 1 2 2 = 1. Por la misma razn, 2 es en inverso de 1 2 . En general, decir que, 1 a es el inverso de a, Recuerde El inverso multiplicativo de un nmero real no nulo, o el inverso, de un nmero, es aquel nmero que multiplicado por este da 1. 1 a es el inverso de a, por tanto: 1 1 a a = Ejemplo 15 Ejemplo 16
  61. 61. 53 equivale a afirmar que a es el inverso de 1 a ,ya que en ambos casos estamos aseverando que el producto de a y 1 a es igual a 1. Una de las propiedades de los nmeros reales establece que todo nmero real a, no nulo, tiene inverso multiplicativo. El inverso de a se denota por a-1 . Esto nos define las potencias de nmeros reales para cuando el exponente es -1. Por ejemplo, 1 8 =8 -1 Ya que el inverso de 1 8 es 8, puesto que 8 1 8 = 1. Compruebe lo aprendido. Escriba a la par del concepto, la simbologa correspondiente. 1. El inverso multiplicativo de 0,23 2. El inverso multiplicativo de 3. El inverso del inverso de 4. El inverso de a-1 Cocientes de nmeros reales. El concepto de inverso permite definir cocientes de nmeros reales. En el caso del cociente a b de dos enteros a y b, se cumple: a b a b = 1 Definicin: Si a y b son nmeros reales, donde b 0, el cociente de a y b se define como: a b a b= 1 Por ejemplo 0,1 2 debe interpretarse como el producto de 0,1 por el inverso de 2 . Es decir, 0 1 2 0 1 2 1, ,= ( )
  62. 62. 54 Compatibilidad de la multiplicacin con la igualdad. Si a = b, k , entonces a k = b k Compatibilidad de la divisin con la igualdad. Si a = b, k , entonces a k b k = El inverso de 2 no es racional, pues de serlo, tambin lo sera 2 . Si a,b,c y d son nmeros reales con b 0 y d 0, y si adems se tiene que a = c y b = d, entonces: a = c y b-1 = d-1 de donde, por la compatibilidad de la multiplicacin con la igualdad, se obtiene que: a b-1 = c d-1 , es decir, a b c d = Por tanto la toma de cociente tambin es compatible con la relacin de igualdad. Consideremos un nmero real arbitrario a 0. Como a-1 representa el inverso de a, esto equivale a decir que: a es el inverso de a-1 , obtenemos que: a = (a-1 )-1 Si a y b son nmeros reales distintos de cero, entonces, por definicin a a-1 = 1 y b b-1 = 1 A partir de estas igualdades, utilizando la compatibilidad de la multiplicacin con la igualdad, y agrupando adecuadamente, demuestre que a-1 b-1 es el inverso de a b .
  63. 63. 55 Compruebe lo aprendido. Indique en qu parejas de nmeros, cada uno el inverso del otro 1. 5 y 1 5 2. 3 4 y 8 3. 1 8 y 8 4. 2 5 5 2 y Cul es el inverso de 1 3 ? y De 7 4 ? Si a y b son enteros distintos de 0, cul es el inverso de b? y El de a b ? Halle el valor entero de x tal que (7x)2013 = 14 (324 000 000)0 En los siguientes ejercicios complete y justifique su respuesta 9-1 1) 1 7 -1 2) 9 5 1 3) 4 7 1 4) 2 8 3 1 + 5) Escriba cada cociente como el producto de un nmero entero y el inverso de otro nmero entero: 1. 2 5 2. 19 7 3. 1 989 2 014 4. 23 18 5. 42 71 3 1 5 1 6)
  64. 64. 56 Verifique que: a b a b = 1 1 1 por tanto, a b 1 1 es el inverso de a b . Al terminar este ejercicio habremos demostrado que para cualesquiera nmeros reales a 0 y b 0, se cumplen las siguientes propiedades: Propiedades del inverso 1. (a-1 )-1 = a 2. (ab)-1 = a-1 b-1 3. a b a b b a = = 1 1 1 De la definicin de cociente se llega al caso particular de que, para todo nmero real a 0: 1 1 1 a a= es decir que: En forma anloga definimos las potencias de exponente n, para n natural arbitrario. Definicin. Para todo nmero real a 0 y para todo entero positivo n: a a n n = 1 Expongamos algunos casos particulares de esta definicin: 1. 0 18 1 0 18 3 3 , , ( ) = ( ) 2. =12 12 1 3. 1 4 42013 2013 = Matemtico britnico que en 1 993 logr demostrar el clebre Teorema de Fermat (formulado en 1 637) que establece que la ecuacin an + bn = cn con a,b,c enteros, a,b > 0 y n 3 no tiene solucin. Tuvieron que pasar ms de 300 aos para que este teorema pudiera ser demostrado. Andrew Wiles EL VALOR DE LA PERSEVERANCIA Ejemplo 17
  65. 65. 57 Evale sin hacer uso de la calculadora: (0,25)-3 . Por definicin, 0 25 1 0 25 3 3 , ( , ) ( ) = pero, 0 25 25 100 25 25 4 1 4 1 4 1 64 3 3 3 3 3 ,( ) = = = = = Al sustituir en la primera igualdad obtenemos 0 25 1 1 64 64 3 ,( ) = = Evale la expresin: 0 03 0 2 3 , , sin utilizar calculadora Hasta aqu hemos definido las potencias de base real y exponente entero. Puede probarse, sin mucha dificultad, que para estas potencias tambin valen las leyes de los exponentes siempre que los cocientes y las potencias involucradas existan. Leyes de los exponentes 1. am an = am + n 2. (am )n = amn 3. an bn = (a b)n 4. a b = a b n n n 5. a a = a m n m-n ; a a = 1 a m n n-m Observaciones Si un exponente es negativo, la base debe ser diferente de cero. En cada cociente el denominador debe ser distinto de cero. Ejemplo 18
  66. 66. 58 Exprese el nmero como una fraccin a b , donde a y b son nmeros enteros, b 0 1. 3 2 4 Solucin: = 3 2 3 2 4 1 4 Potencia de una potencia = - 2 3 4 Inverso de un cociente = ( ) 1 2 3 4 Propiedad del Opuesto = ( ) 1 2 3 4 4 Potencia de un producto = 2 3 4 4 Potencia de un cociente = 16 81 Desarrollando potencia 2. 5 3 3 5 3 2 6 4 Al multiplicar y reordenar trminos obtenemos: 5 3 3 5 5 3 3 5 5 5 3 3 3 2 6 4 3 6 2 4 3 4 6 2 = = Luego, por la ley 5, 5 5 3 3 1 5 3 3 4 6 2 4 3 6 2 = = 1 5 31 4 = 81 5 Simplifique 4x a 2a x 4 - 6 3 4 Ejemplo 19 Ejemplo 20
  67. 67. 59 Reordenando trminos y expresando el cociente como un producto de fracciones tenemos que: 4 2 4 2 4 3 4 6 4 4 3 6 x a a x a x a x = = 4 2 4 3 4 6 a a x x = 2a x 4 3 4 6 1 = 2a x2 Qu propiedades de las operaciones con nmeros reales son necesarias aplicar para llegar al resultado? Por la ley 5, si n es un entero positivo y a 0, entonces 1 0 0 a a a a an n n n ( ) = = = Adems, por definicin de potencia de exponente negativo a a n n = 1 Por tanto, para simplificar fracciones cuyo numerador y denominador son producto de potencias podemos trasladar primero los factores que tienen exponente negativo, del denominador al numerador, o viceversa, segn sea el caso. Por ejemplo, x z y y x z = 3 2 5 5 3 2 Simplifique la expresin x y z x y z 5 5 2 2 3 7 Por la ley 5 de los exponentes, dejamos cada variable en el lugar donde tiene mayor exponente. El nuevo exponente ser igual al exponente mayor menos el menor: x y z x y z x y z x y z 5 5 2 2 3 7 5 2 3 5 7 2 3 2 9 ( ) ( ) = = Ejemplo 21
  68. 68. 60 Tambin se puede trasladar primero los trminos que tienen signo negativo cambiando el signo del exponente, y luego aplicar las reglas 1 y 5. As, x y z x y z x y x y z z 5 5 2 2 3 7 5 3 2 5 7 2 = = + x y z 5 2 5 3 7 2 = x y z 3 2 9 Compruebe lo aprendido. I. Exprese como potencia de a, o de x, o bien de y. 1. 1 6 a 2. x 3. 1 1 7 2 x x 4. y y 5 16 II. Simplifique expresando el resultado con exponentes positivos. 1. a a6 12 2. 28 12 2 7 3 4 x y x y 3. x y x 12 5 4 4. 2 86 3 4 2 xy y( ) ( ) 5. x y x 12 5 4 6. 56 16 4 5 u v v u s s 7. x y y x 3 7 3 3 8. 1 2 1 2 a a+( ) 9. 1 3 95 2 3 7 x y x ( ) Reforzamiento. Aplique las propiedades de los exponentes y simplifique las siguientes expresiones: 10 10 5 3 4 2 5 20012 0x x x ( ) ( ) ( ) u v wz w v u z ( )3 2 4 3 2 5 3 . b b b b +( ) +( ) 1 3 2 3 2 1 . ( ) ( ) 4 32 4 7 3 1 2 h q h q
  69. 69. 61 Actividad en grupo Utilizando las propiedades de las operaciones con nmeros reales y las leyes de los exponentes constate la certeza de las siguientes expansiones: 1. (a + b)0 = 1 2. (a + b)1 = 1a + 1b 3. (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 4. (a + b)3 = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 5. (a + b)4 = 1a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4 Las diagonales de la tabla siguiente estn compuestas por los coeficientes de estas expansiones. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 1 4 1 El tringulo que conforman estos nmeros se denomina tringulo de Pascal. Noten que en la tabla de arriba los valores de la primera fila y la primera columna son todos iguales a uno. Observen cmo se relaciona cada uno de los restantes nmeros con los nmeros adyacentes de la diagonal anterior. Puede que se tenga una mejor visin del tringulo de Pascal, si a la tabla de arriba se le aplica un giro de 45 grados a favor de las manecillas del reloj. En tal caso las diagonales del tringulo inicial se convierten en filas del tringulo resultante. Matemtico, fsico, filsofo y telogo francs. Considerado el padre de las computadoras. Blaise Pascal (1 623 - 1 662)
  70. 70. 62 Si observamos con detencin nos daremos cuenta que los coeficientes del desarrollo de (a + b)n presentan las siguientes caractersticas: 1. Los trminos primero y ltimo tienen coeficiente a la unidad. 2. Los coeficientes organizados de varios desarrollos del binomio (a + b)n , con n tomando valores consecutivos a partir de cero, dan origen a la formacin de un tringulo con las siguientes propiedades: a.Cada coeficiente distinto de uno, es la suma de los coeficientes adyacentes de la fila anterior. b.Trazando una lnea central en el tringulo, los nmeros equidistantes de cada fila, son iguales. Es decir, hay simetra con respecto a la lnea central. c.El nmero de coeficientes de cada caso es igual al exponente aumentado en uno. Escriba los valores de la siguiente fila del tringulo de Pascal. Los valores correctos son los coeficientes de la expansin de (a + b)5 . En la expansin de (a + b)n , el exponente de a despunta con el valor de n y luego, en cada nuevo trmino va disminuyendo de uno en uno hasta llegar a cero, entre tanto, el exponente de b, arranca con el valor de cero y va aumentando de uno en uno hasta alcanzar del valor de n en el ltimo trmino. Un Matemtico es un quijote moderno que lucha en un mundo real con armas imaginarias. P. Corcho "El valor de la felicidad eterna es infinito." Blaise Pascal Importante! La raz n-sima de un nmero negativo a, existe si n es impar. En tal caso =a an n
  71. 71. 63 Determinar los valores de las filas 7 y 8 del tringulo de Pascal y encuentren las expansiones de (a + b)7 y (a + b)8 . En el siguiente segmento vamos a considerar las potencias con base real y exponente fraccionario del tipo 1 n , donde n es un entero no nulo. Potencias de base real y exponente racional Recuerde, reflexione y concluya I. Qu nmero elevado a 6, da como resultado 15 625? Para responder a esta pregunta descompongamos el nmero 15 625 en sus factores primos. La descomposicin que muestra en la parte izquierda indica que: 15 625 = 56 . Por tanto el nmero buscado es 5. II. Qu nmero elevado al cubo es igual a 343? III.Complete encontrando la base que corresponda de manera que se obtenga una proposicin verdadera. 1. ( )3 = 64 2. ( )5 = 32 3. ( )2 = 1 316 4. ( )3 = 1 331 5. ( )7 = 0 6. ( )13 = 1 IV.Indique cules de los siguientes nmeros son iguales a una potencia de algn nmero entero. a) 5 607 b) 1 316 c) 147 d) 1 728 e) 2 401 Matemtico francs, gran divulgador del mtodo cientfico, realiz estudios en las 4 grandes divisiones de la Matemtica: Aritmtica, lgebra, Geometra y Anlisis. Jules-Henri Poincar (1 854- 1 912) 15 625 5 3 125 5 625 5 125 5 25 5 5 5 1