GeometrA Fractal Una Breve IntroducciN

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    05-Jun-2015

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  • 1. Planeta Matemtico Geometra Fractal: Una breve introduccinAutor Hugo Afonso domingo, 11 de diciembre de 2005 La geometra fractal es una parcela de las matemticas cuyos lmites reales no estn todava del todo claros. Histricamente sus orgenes se remontan a principios del siglo XX y durante el desarrollo de la Teora de la Medida con el estudio de conjuntos geomtricos con propiedades aparentemente paradjicas.En dichos conjuntos (curvas de Peano y Koch, conjunto de Cantor, tringulo de Sierpinski, etc.) pareca existir una discordancia entre su tamao real y su configuracin espacial como conjunto de puntos (curvas con rea o con longitud infinita entre dos de sus puntos, etc.).El trmino fractal fue acuado por B. B. Mandelbrot en 1977 (en su obra The Fractal Geometry of Nature) para designar ciertos objetos geomtricos de estructura irregular. Aunque Mandelbrot no dio una definicin precisa, caracteriz a los fractales mediante las tres propiedades siguientes:a) Figuras que se repiten en s mismas infinitas veces a distintas escalas (conjuntos autosemejantes).b) Figuras con dimensin no entera (dimensin fractal).c) Conjuntos que aparecen tras procesos iterativos infinitos. En su libro, Mandelbrot defendi la idea que se convertira con el tiempo en la razn del crecimiento exponencial de las aplicaciones de los fractales y de la actual popularizacin del trmino: las formas de la naturaleza son fractales y mltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Pensemos por ejemplo en una frontera entre estados. Con el paso del tiempo, esta frontera se ve sometida a cambios debido a enfrentamientos, acuerdos locales, pequeas conexiones, etc., que hacen que el trazado de sta vaya variando. El perfil de una costa sufre un proceso anlogo al de la frontera: los elementos en contacto, agua y tierra, estn sometidos durante largos perodos a interacciones (erosiones elicas y marinas, basculacin continental, etc.) que modifican permanentemente la forma de la costa. Se estudia el carcter fractal de diversas ramas y rboles, las redes de drenaje de una cuenca fluvial, la ramificacin de los bronquios en los alveolos pulmonares... Tambin se estn utilizando los fractales para transmitir imgenes digitales, o en el mercado de valores, donde la dimensin fractal proporciona el grado de predictibilidad del fenmeno. Obviamente, los fractales no existen en la realidad, as como tampoco existen rectas ni esferas, pero sirven para modelizar objetos reales difcilmente abarcables con los objetos de la geometra eucldea. La principal diferencia entre la geometra fractal y la geometra clsica es que esta ltima presenta contornos diferenciables, mientras que en la geometra fractal aparecen contornos quebrados (no diferenciables), difciles de medir. Por ejemplo, si se trata de medir el contorno de un pas, el resultado depender de la resolucin del mapa, de manera que un mayor resolucin implica mayor longitud. Es por ello por lo que se tratar de medir los fractales usando otro tipo de dimensiones (dimensin fractal), de forma que se pueda comparar la longitud del litoral de un pas con el de otro. A comienzos del siglo XX aparecieron conjuntos con paradjicas y sorprendentes propiedades. Se trata de los primeros ejemplos de lo que hoy llamamos fractales.El conjunto de CantorGeorge Cantor construy un conjunto contenido en [0,1] con longitud (medida de Lebesgue) cero pero con el mismo cardinal que [0,1] (es decir, con la potencia del continuo).El conjunto de Cantor se construye como sigue:http://www.planetamatematico.comPotenciado por Joomla! Generado: 26 March, 2009, 23:14

2. Planeta Matemtico Se parte del intervalo E0=[0,1], que se divide en tres partes iguales, eliminando la parte central y obteniendo: E11=[0,1/3] , E12=[2/3,1] Cada uno de estos intervalos se divide a su vez en tres intervalos iguales, de los cuales prescindimos del intervalo central, obtenindose: E21=[0,1/9] ,E22=[2/9,1/3] , E23=[2/3,7/9] , E24=[8/9,1] Si continuamos este proceso indefinidamente, en la etapa k-sima habremos obtenido 2k intervalos cerrados Ekj (j=1.2,..., 2k) de longitud 3-k cada uno de ellos. Se define Ek como la unin de Ekj j=1,2,3,...Es obvio que Ek+1 est contenido en Ek , k=0,1,2,... Se define el conjunto de Cantor como la interseccin de Ek k=1,2,3... . La curva de KochEn 1904 Helge von Koch construy la curva que hoy lleva su nombre y que tiene la propiedad de tener longitud infinita y adems no es derivable en ninguno de sus puntos. En su construccin, se parte del segmento unidad [0,1] y se divide en tres partes, sustituyendo la parte central por los dos segmentos que junto con dicha parte, formaran un tringulo equiltero. Se obtiene as una poligonal P1 de longitud 4/3. Con cada uno de los cuatro segmentos se repite la operacin anteriormente descrita, obteniendo una poligonal P2 de longitud 16/9. Se procede indefinidamente de esta forma obteniendo en la etapa n una poligonal Pn de longitud (4/3)n. La curva de Koch se define como la curva lmite a que converge la sucesin Pn cuando n tiende a infinito. Obsrvese que la longitud de la curva es infinito, pues (4/3)n tiende a infinito con n. Ms an, la longitud de la parte de la curva comprendida entre dos puntos cualesquiera de la misma es infinita. El tringulo y el tetraedro de SierpinskiAlrededor de 1915, Waclaw Sierpinski construy un conjunto cuyo permetro es infinito y su rea cero. Su construccin es la siguiente. Partiendo de un tringulo cualquiera, se dibuja un nuevo tringulo uniendo los centros de sus lados y se elimina de la figura inicial. El resultado ser tres tringulos semejantes al inicial de rea (cada uno) cuatro veces menor que el rea inicial. Se repite la operacin con los http://www.planetamatematico.comPotenciado por Joomla!Generado: 26 March, 2009, 23:14 3. Planeta Matemtico tres tringulos y, en general, con los tringulos que se vayan formando. El resultado ser el tringulo de Sierpinski. Si el tringulo inicial tiene rea 1, en el primer paso la figura tendr rea 3/4, en el segundo tendr 9/16, y, en general, la figura n-sima tendr rea (3/4)n. El tringulo de Sierpinski tiene rea nula, pues (3/4)n tiende a cero cuando n tiende a infinito. Sin embargo, si el permetro del tringulo inicial es p, el del primer paso ser 3p/2, el del segundo 9p/4, y, en general, la figura n-sima tendr permetro (3/2)np, por lo que el permetro del tringulo de Sierpinski es infinito, ya que (3/2)np tiende a infinito con n.El tetraedro de Sierpinski se construye de manera anloga. En un tetraedro regular se marcan los puntos medios de las aristas y al unirlos se forman tetraedros de lado mitad. Se quita la figura central. En cada uno de los cuatro tetraedros restantes volvemos a repetir el proceso sucesivamente. Las curvas de Peano y HilbertEn 1890, Peano construy una curva continua que pasa por todos los puntos del cuadrado unidad [0,1] x [0,1]. Era el primer ejemplo de una curva que llena un espacio. Aos ms tarde, Hilbert construy otra del mismo tipo con una construccin geomtrica ms simple de describir. La curva de Hilbert se construye como sigue. Se divide el cuadrado unidad en cuatro cuadrados iguales y unimos los centros de dichos cuadrados por segmentos. Cada uno de dichos cuadrados se divide de nuevo en cuatro cuadrados y se conectan sus centros comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho. Se contina de esta forma indefinidamente uniendo los centros de los cuadrados que resultan en cada etapa. La curva lmite de tales poligonales llena el cuadrado unidad y recibe el nombre de curva de Hilbert. Bibliografa BARNSLEY, M. F.1988 The sciences of Fractal Images. Nueva York, Springer Verlag. GARMENDIA, A. ; SALVADOR, A.1993 Fractal: Punto fijo de aplicaciones contractivas. Badajoz, VI JAEM. http://www.planetamatematico.comPotenciado por Joomla!Generado: 26 March, 2009, 23:14 4. Planeta Matemtico GUZMAN, M. DE MARTIN, M. A. ; MORAN, M. ; REYES, M.1993 Estructuras fractales y sus aplicaciones. Barcelona, Labor.. MANDELBROT, B.1988 Los objetos fractaies. Barcelona, Labor. http://www.planetamatematico.comPotenciado por Joomla! Generado: 26 March, 2009, 23:14