Conferencia taller ley del seno y coseno (maestros-final)hotel

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    23-Jun-2015

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1. Presenta: Prof. Rafael Ortiz Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemticas Auspiciado por el Departamento de Educacin en alianza con la Divisin de Educacin Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la Universidad de Puerto Rico, Recinto de Ro Piedras. Sufragado por fondos federales de Ttulo I -A. 1 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 2. Saludos Dinmica de presentacin Estndares desarrollados en la presentacin Taller ngulos y sus medidas Funciones trigonomtricas Tringulo rectngulo Ley del seno Ley del Coseno Post Prueba Evaluacin del taller 2 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 3. 3 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 4. 4 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 5. 5 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 6. Es la abertura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo comn que se denomina vrtice. El lado B, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo lado, lado A, se llama lado terminal del ngulo. El ngulo comienza en la posicin del lado inicial y gira alrededor del vrtice O en un plano hasta que alcanza su posicin terminal. 6 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Elementos de un ngulo: O A B 7. Una rotacin en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ngulo positivo (Figura 1) y una rotacin en el sentido de las manecillas del reloj produce un ngulo negativo (Figura 2). El tamao de la rotacin en cualquier direccin no est limitado. Dos ngulos diferentes pueden tener los mismos lados inciales y terminales (Figura 3), estos ngulos se llaman ngulos coterminales. 7 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln positivongulo Lado inicial Lado terminal Figura 1 negativongulo Lado terminal Lado inicial Figura 2 escoterminalngulos y Lado terminal Lado inicial Figura 3 8. Un ngulo en un sistema de coordenadas rectangular est en la posicin normal o estndar si su vrtice est en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo de x. Si el lado terminal de un ngulo que est en la posicin normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ngulo cuadrantal. Observa la ilustracin a continuacin. 8 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln ngulo cuadrantal Lado inicial Lado terminal Nota: Los ngulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ngulos cuadrantales (ngulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x y). Lado inicial Lado terminal ngulo en posicin normal 9. Medicin en grados Un ngulo formado por la rotacin completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ngulo formado por 1/360 de una rotacin completa tiene una medida de 1 grado (10). El smbolo 0 denota grados. Los grados se subdividen en minutos y los minutos en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta segundos. Los smbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los segundos son, respectivamente: , ', ''. Por ejemplo, un ngulo cuya medida es 34 grados 11 minutos y 56 segundos se denota por 3411'56''. Medicin en radianes Si el vrtice de un ngulo est en el centro de un crculo de radio > 0, y la longitud del arco opuesto a en la circunferencia es s, entonces medido en radianes est dado por: 9 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln s r = radianes Un radin es el tamao del ngulo central de un crculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del crculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Adems, se usa de dos maneras: para nombrar el ngulo y como medida del ngulo. Nota: La medida en radianes es un escalar (nmero sin unidades), pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se simplifican, por tanto, queda un nmero sin unidades. 10. Un ngulo llano es un ngulo que mide 1800. Un ngulo recto es un ngulo que mide 900. Un ngulo agudo es un ngulo que mide menos de 900. Un ngulo obtuso es un ngulo que mide ms de 900 pero menos de 1800. Un ngulo central es un ngulo cuyo vrtice est en el centro del crculo y cuyos lados son radios del crculo. 10 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln ngulo agudo ngulo obtuso ngulo recto ngulo central ngulo llano 11. La conversin de grados a radianes y de radianes a grados se basa en que: 180 = radianes Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes factores: 180 o 180 11 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ejemplo: Cambiar el ngulo de grados a radianes 1. 210 210 180 = 30 7 306 = 7 6 Cambiar el ngulo de radianes a grados 2. 4 3 4 3 180 = 4 3 360 = 4 60 = 240 12. Dos ngulos diferentes pueden tener los mismos lados inciales y terminales, estos ngulos se llaman ngulos coterminales. 12 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ejemplo: Hallar dos ngulos coterminales con 200 = 360 = 200 360 1 = 200 + 360 = 560 200 360 = 160 vueltasdenumeroeleskdonde; radianesenngulospara,2 gradosenngulospara,360 mincot k k aler Lado terminal Lado inicial Para encontrar ngulos coterminales se utiliza la siguiente frmula: 13. Un ngulo de referencia es la medida del ngulo agudo que se forma desde el lado ms cercano del eje horizontal hasta el lado terminal del ngulo original. 13 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln En el cuadrante I = En el cuadrante II = 180 En el cuadrante III = 180 En el cuadrante IV = 360 Nota: Los ngulos de referencias siempre son positivos porque representan una medida. Los signos que surgen de la formula se refieren a los ngulos medidos en direccin positiva o direccin negativa. 14. 14 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ejemplo: Encuentre l ngulo de referencia para 3 5 2 r 3 r 150180r 0 30r O x y r 3 5 3 5 ) a 0 708) b O x y r 870 Los ngulos 870 y 150 son coterminales [porque 870 2(360) = 150]. Por lo tanto, el lado terminal de este ngulo esta en el cuadrante II. El ngulo de referencia es el ngulo agudo formado por el lado terminal de 5 3 que esta en el cuadrante IV. 15. 15 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 16. Sea U una circunferencia unitaria, esto es, perteneciente a un circulo trigonomtrico. La ecuacin de dicha circunferencia es 2 + 2 = 1. Dado cualquier nmero real , se llama a cualquier ngulo en posicin estndar cuya medida en radianes es . Obsrvese la figura de la derecha; () denota el punto de interseccin del lado terminal de con U. 16 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln El nmero real , que es la longitud del arco de U, es la medida en radianes del ngulo . Se puede asociar a cada , un punto nico () de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonomtricas se pueden definir a partir de las coordenadas , de () . 17. Si es un numero real y (, ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a entonces: = cos = = = csc = 1 sec = 1 17 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln El nmero real , que es la longitud del arco de U, es la medida en radianes del ngulo . Se puede asociar a cada , un punto nico () de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonomtricas se pueden definir a partir de las coordenadas , de () . 18. Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonomtricas de y (3 5 , 4 5 ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . = = 4 5 cos = = 3 5 = = 4 5 3 5 = 4 3 = = 3 5 4 5 = 3 4 csc = 1 = 1 4 5 = 5 4 sec = 1 = 1 3 5 = 5 3 18 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Se aplica la definicin de las razones trigonomtricas y luego se simplifica si es posible. 19. = : En este caso las coordenadas de P son = 1 y = 0; y las funciones trigonomtricas se deducen a partir de su definicin. La cotangente y la cosecante no estn definidas para t = 0 (la divisin por 0 no existe). 0 = 0 cos 0 = 1 0 = 0 1 = 0 0 = 1 0 =indefinido sec = 1 1 = 1 csc 0 = 1 0 =indefinido 19 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 20. = : El arco = 3 , el segmento biseca el ngulo , por lo tanto = . Como el tringulo tiene los segmentos y iguales que el radio r. Los ngulos , y son iguales a 60, se tiene que: el tringulo es un tringulo equiltero. El segmento = = 1; por lo tanto el segmento = = 1 2 . El segmento = = 1 1 2 2 = 3 2 por lo tanto el segmento = 3 2 . = 1 2 cos = 3 2 = 1 2 3 2 = 3 3 = 3 2 1 2 = 3 sec = 1 3 2 = 2 3 3 csc = 1 1 2 = 2 20 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 21. = : 4 es la mitad de 2 ; por lo tanto el segmento biseca el primer cuadrante. Se tiene el tringulo issceles , con los segmentos y iguales, esto es = . Como 2 + 2 = 1 es la ecuacin de la circunferencia unitaria, entonces sustituimos y por x y despejamos para x. Se obtiene = 2 2 . = 2 2 cos = 2 2 = 2 2 2 2 = 1 = 2 2 2 2 = 1 sec = 1 2 2 = 2 csc = 1 2 2 = 2 21 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 22. = : En el triangulo , los segmentos , y son iguales al radio por lo tanto los ngulos , y son iguales a 60, en el tringulo equiltero tiene que el segmento biseca el segmento que es igual al radio y este a su vez es igual a 1; por lo tanto el segmento = = 1 2 . El segmento = = 3 2 . = 3 2 cos = 1 2 = 3 2 1 2 = 3 = 1 2 3 2 = 3 3 sec = 1 1 2 = 2 csc = 1 3 2 = 2 3 3 22 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 23. = : En este caso las coordenadas de P son = 0 y = 1; y las funciones trigonomtricas se deducen a partir de su definicin. La tangente y la secante no estn definidas para = (la divisin por 0 no existe). = 1 cos = 0 t = 1 0 = indefinido = 0 1 =0 sec = 1 0 = indefinido csc = 0 1 = 0 23 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 24. 24 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Valores de las funciones trigonomtricas para arcos notables t (x, y) sen t cos t tan t cot t sec t csc t 0 0 0,1 0 1 0 No existe 1 No existe 6 30 2 1 2 3 , 2 1 2 3 3 3 3 3 32 2 4 45 2 2 2 2 , 2 2 2 2 1 1 2 2 3 60 2 3 2 1 , 2 3 2 1 3 3 3 2 3 32 2 90 1,0 1 0 No existe 0 No existe 1 25. Ejemplo para resumir las funciones trigonomtricas 25 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 26. 26 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln a) cos(135)= b) tan(390)= Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones 45 El lado terminal de 135 esta en el segundo cuadrante por lo tanto el ngulo de referencia es 45 y el coseno es negativo en este cuadrante. El coseno de 45 es 2 2 . 2 2 3 3 135 y x O x y 390o 30 El lado terminal de 390 esta en el primer cuadrante por lo tanto el ngulo de referencia es 30 y la tangente es positiva en este cuadrante. La tangente de 30 es 3 3 . 27. 27 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 28. Los tringulos rectngulos son aquellos que tienen un ngulo de 90. El teorema de Pitgoras aplica, la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa. 28 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Razones trigonomtricas del ngulo seno cosecante = = coseno secante = = tangente cotangente = = Cateto opuestoal ngulo Cateto adyacente al ngulo 29. Ejemplo: Hallar las seis razones trigonomtricas para el ngulo del tringulo de la derecha. 29 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 35 12 Solucin: Primero buscamos la hipotenusa. 2 = 2 + 2 2 = 12 2 + 35 2 2 = 1369 = 1369 = 37 Despus se busca cada razn trigonomtrica y se simplifica si es posible. seno coseno = = 35 37 = = 12 37 30. Ejemplo: Hallar las seis razones trigonomtricas para el ngulo del tringulo de la derecha. 30 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 35 12 Solucin: Despus se busca cada razn trigonomtrica y se simplifica si es posible. tangente cotangente = = 35 12 = = 12 35 cosecante secante = = 37 35 = = 37 12 31. 31 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln ngulo de elevacin ) ngulo de depresin ) Los ngulos verticales son ngulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos lneas imaginarias llamadas horizontal y visual Horizontal 32. Ejemplo: Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ngulos de elevacin de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m A qu altura estn los ovnis? 32 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Solucin 70 m 120m120m 90m 160m + H= 90 +70 = 160 H = 120m 70 m O 53 o 37 H= 33. 33 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Los ngulos horizontales son ngulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). Direccin La direccin de B respecto de A es E30N o N60E o La direccin de C respecto de A es o S56 O S34O o o o Rumbo El rumbo de Q respecto de P o 47 El rumbo de M respecto de P o 27 al este del sur al oeste del norte E N S O A O 30 B O 56 C EO S N P Q o 47 o 27 M 34. Ejemplo: Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la direccin N530O luego recorre 40 2 km en la direccin SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. A qu distancia se encuentra el insecto de F ? 34 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Observa que el tringulo color rojo es notable.X = 20 Solucin 34 x 24 3216 40 20 12 16 40 o 53 o 37 40 2 o 45 o 45 O N S F E 60 35. 35 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 36. 36 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 37. Los tringulos que no contienen un ngulo recto son tringulos oblicuos. Un triangulo esta determinado por tres de sus seis partes (lados y ngulos conocidos). LAL Conocidos dos lados y el ngulo entre ellos LLA Conocidos dos lados y un ngulo opuesto a uno de ellos AAL Conocidos dos ngulo y un lado ALA Conocidos dos ngulos y el lado entre ellos LLL Conocidos tres lados 37 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 38. Actividad 38 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Buscar el Manual de prctica Ir a las paginas 5 39. Considera el triangulo BAD y determina su altura. sen = = sen Al considerar el triangulo BCD y buscar su altura se obtiene. sen = sen = 1 sen = = sen 39 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ahora se iguala la altura obtenida de cada tringulo sen = sen La razn entre el seno de un ngulo y la medida de su lado opuesto se obtiene dividiendo ambos lados de la igualdad por . = La ecuacin se conoce como Ley del Seno 40. Si ABC es un tringulo oblicuo como los anteriores, entonces = = 40 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln En cualquier tringulo, la razn entre el seno de un ngulo y el lado opuesto a ese ngulo es igual a la razn entre el seno de otro ngulo y el lado opuesto a ese ngulo. 41. 41 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 48 57 47 Ejemplo: Resuelve el triangulo ABC dado que = 48, = 57 = 47 Como la suma de todos los ngulos en un triangulo es 180. + + = 180 = 180 48 57 = 75 Dado que conocemos el lado b y los tres ngulos, se puede encontrar utilizando la Ley del seno donde intervengan , , . = = Se despeja para = 47 48 75 Se sustituye , 36 Aproximar al entero mas cercano Despus para hallar el valor de , basta sustituir con de la solucin precedente de , y resulta que = = 47 57 75 41 42. 42 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Cuando conocemos dos lados y un ngulo opuesto a uno de ellos, no siempre el triangulo que se representa es nico. No hay tringulo, si < = . El lado no es lo suficientemente largo para cerrar el tringulo. Un tringulo rectngulo, si = = . El lado es lo suficientemente largo para formar un tringulo rectngulo. Dos tringulos, si < y = < . El lado es lo suficientemente largo para formar dos tringulos diferentes. Un tringulo, si > . El lado es mas largo que y forma un tringulo. 43. Ejemplo: Cuantos tringulos se forman si sabemos que = 5, = 25 = 65? 43 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Solucion: Se dibuja el posible tringulo y calculamos su altura. Luego comparamos la medida del lado a y la altura. = = 25 65 23 como 23 es mayor que 15 no se forma tringulo. b = 25 h 65 a = 15 A 44. Prctica 44 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Buscar el Manual de prctica Ir a las paginas 6-9 y 12 45. Instalacin de un panel solar En la figura se ilustra un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ngulo de 25 con la horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para que el panel haga un ngulo de 45 con la horizontal. Ley del Seno 45 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 46. Inclinacin de la torre de Pisa Originalmente esta torre estaba perpendicular al suelo y meda 179 pies de altura, debido al hundimiento del suelo, ahora se ha inclinado a cierto ngulo de la perpendicular, como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte alta de la torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, el ngulo de elevacin es de 53.3. a) Calcula el ngulo . b) Calcula la distancia d que se ha movido el centro de la parte superior de la torre con respecto a la perpendicular. Ley del Seno 46 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 47. Agrimensura Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en los extremos opuestos de un ro, un agrimensor traz un segmento de recta AC de 240 yardas de longitud paralelo a una de las orillas, determino que las medidas de BAC y ACB son 63 20 y 54 10 respectivamente, (ver la figura). Calcula la distancia entre A y B. Ley del Seno 47 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 48. Altura de un globo de aire caliente Los ngulos de elevacin de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 2410 y 4740, respectivamente. Segn nos muestra la figura, los puntos A y B estn a 8.4 millas entre s y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo. Ley del Seno 48 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 49. Altura de un poste Cuando el ngulo de elevacin del Sol es de 64, un poste de telfonos inclinado a un ngulo de 9en direccin opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calcula la longitud del poste. Ley del Seno 49 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 50. 50 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 51. 51 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln C h A B m n c b a H Ley del Coseno La altura de un tringulo lo divide en dos tringulos rectangulares. Para buscar una ecuacin que resuelva el tringulo trabajaremos en el tringulo ABC. En los tringulos ABH y ACH podemos escribir por Pitgoras la altura h de cada uno, que es 2 = 2 2 y 2 = 2 2 repectivamente. La altura h es comn en los dos tringulos, por lo tanto podemos decir que: 2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 2 2 + 2 = 2 Sabemos que = , se sustituye y se obtiene: 2 = 2 + 2 2 Ecuacin conocida como, Ley del Coseno 52. 52 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Dado el tringulo si representamos otra vez La altura en trminos de otro ngulo obtendremos tres distintas frmulas. 2 = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2 Esta frmula la utilizamos cuando conocemos: dos lados del tringulo y el ngulo comprendido entre estos si tenemos los tres lados C h A B m n c b a H 53. 53 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ejemplo: Resuelva el tringulo dado = 5, = 3 = 100. Solucin: Si utilizamos la Ley de seno al igualar cualesquiera dos razones nos quedara una ecuacin con dos desconocidas por lo cual debemos utilizar la Ley del coseno. 2 = 2 + 2 2 2 = 52 + 32 2(5)(3)cos(100) 6.26 , continuamos con ley de seno = , asi 1 (0.7866) 1 = 51.87 2 = 180 51.87 = 128.13 1= 51.87 2 = 128.13, Pero 2 no es sirve dado que + + > 180 = 5 100 6.26 As finalizamos hallando = 180 = 28.13 54. Prctica 54 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Buscar el Manual de prctica Ir a las paginas 14-19 55. Calcular las diagonales de un paralelogramo Un paralelogramo tiene lados de longitudes 30cm y 70cm y uno de los ngulos mide 65. Calcular la longitud de cada diagonal al cm ms cercano. 55 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 56. Hallar la longitud de un cable Un poste vertical de 40 pies de altura est en una cuesta que forma un ngulo de 17 con la horizontal. Calcula la longitud mnima de cable que llegar de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste). 56 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 73 107 57. Dimensiones de un terreno triangular El ngulo de una esquina de un terreno triangular mide 75 y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado. 57 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 58. Distancia de vuelo Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en direccin 130 y luego 80 millas en direccin 245. A qu distancia aproximadamente se encontrar del punto A? 58 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 59. Distancia en un parque de bisbol Un parque de bisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y est a 90 pies una de la otra; el montculo del lanzador se halla a 60.5 pies del plato. Calcula la distancia del montculo del lanzador a cada una de las otras tres bases. 59 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 60. Ejercicios adicionales 60 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 61. ngulos de un terreno triangular Un terreno triangular que tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud. Calcule la medida del ngulo ms pequeo entre los lados. 61 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 62. Distancia entre vehculos Dos automviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84 en direccin. Si viajan a 60 millas y 45 millas por horas, respectivamente, a que distancia aproximada se hallaran uno del otro al cabo de 20 minutos? 62 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 63. Uso de rumbos Un punto P a nivel del suelo est a 3.0 kilmetros al norte del punto Q. Un corredor avanza en direccin N25E desde Q al punto R, y luego de R a P en direccin S70O. Calcula la distancia recorrida. Ley del Seno 63 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 64. Rumbo de una lancha de motor Una lancha de motor naveg a lo largo de una ruta con lados de 2 km, 4 km y 3 km, respectivamente. Recorri el primer lado en direccio N20O y el segundo en direccion SO, donde es la medida de un ngulo agudo en grados. Calcula, al minuto ms cercano, la direccin en que recorri el tercer lado. 64 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln Ley del Coseno 65. Tiempo perdido por error de curso de vuelo En un vuelo de la ciudad A a la ciudad B el piloto sigue un curso con un margen de error de 10, como muestra la figura. Despus de volar una distancia de 50 millas, el piloto corrige el rumbo girando en un punto C y volando otras 70 millas ms hasta B. Si la velocidad del avin fue constante de 250 millas por hora, cunto tiempo de vuelo se perdi debido al error? Ley del Seno 65 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 66. Calcular distancias en el mar El capitn de un barco en alta mar divisa dos faros alineados a la orilla del mar. Se sabe que los faros quedan separados entre s por 3 millas. El capitn determina que los ngulos formados entre la lnea de observacin de los faros y la lnea directa a la orilla son de 15 y 35, (ver la fgura) a) Cun lejos queda el barco del faro A? b) Cun lejos queda el barco del faro B? c) Cun lejos queda el barco de la orilla? Ley del Seno 66 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 67. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones adicionales de trigonometra en general 68. Prof. Rafael Ortiz Evaluaciones trigonomtricas Halle el valor exacto para las seis funciones trigonomtricas para el ngulo . 7 25 69. Prof. Rafael Ortiz Resuelva el tringulo Determine el valor exacto de , , en el siguiente tringulo. 30 12 b a 70. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Utilice el siguiente tringulo para determinar el valor de cada una de las siguientes expresiones 7 x y a) cos b) cos c) cot d) 2 + 2 e) f) cos 71. Prof. Rafael Ortiz Evaluaciones trigonomtricas Halle el valor exacto de las restantes funciones trigonomtricas para el ngulo agudo si = 5 8 1) = 5 8 2) cos = 3) = 4) = 5) csc = 6) = 72. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodrguez Evaluaciones trigonomtricas Sea 5, 12 un punto contenido en el lado terminal del ngulo en posicin estndar . Halle el valor exacto de las seis funciones trigonomtricas para 1) = 2) cos = 3) = 4) = 5) csc = 6) = 73. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas 2 x Utilice el siguiente tringulo para mostrar que la igualdad dada es cierta. 2 1 + 2 = 1 4 4 2 2 74. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Halle el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones considerando x contenido en una revolucin positiva. 1) 22 = 0 2) 22 = 6 3) 2 + 3 + 2 =1 75. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodrguez Aplicaciones trigonomtricas Use identidades trigonomtricas para verificar las siguientes identidades 1) 1 + = + 2) 1+ + 1+ = 2 76. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Halle el valor exacto de las siguientes expresiones trigonomtricas sin el uso de la calculadora 1) 2120 180 135 405 2)1200 + 1080 3)10315 150 225 77. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Calcule , si se sabe que: + = 7 8 78. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodrguez Aplicaciones trigonomtricas Calcule 3 3 , si se sabe que + = 1 2 . 79. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ngulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60. 8.66m 60 80. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Una torre de 40 metros de altura est situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ngulo de depresin a la orilla opuesta al lago es de 30. Cul es el ancho del lago? 30 40m 81. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Dos puntos A y B estn sealados en la orilla de un lago. Un topgrafo se encuentra en un punto C tal que AC=120 metros y BC= 80 metros, y determina que ACB mide 52. Cul es la distancia entre A y B? B C A 52 82. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodrguez Aplicaciones trigonomtricas Los puntos A y B son los extremos de un tnel que pasar debajo de una montaa. Desde un punto C, lejos de la montaa, un topgrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480 metros, CB mide 320 metros y el ngulo C mide 72. Cul es la longitud del tnel? B C A 72 83. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Dos guardabosques separados 3 km en los puntos A y B observan un incendio en un punto C del bosque. El guardabosques A mide un ngulo de 44.3 mientras el guardabosques B mide un ngulo de 76.5. A qu distancia est el fuego desde un camino recto que va de A a B? B A C 44.3 3 km 84. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonomtricas Dos casa quedan ubicadas en puntos extremos de la falda de una montaa. Para medir la distancia entre ellas un agrimensor se aleja 40 pies de la casa A hasta un punto C y luego camina 60 pies hasta la casa B. Si el ngulo ACB mide 60, qu distancia separa ambas casa? A B C 60 85. Post Prueba 85 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln 86. Fin 86 Prof. Fredes Rodrguez Prof. Miguel L. Coln