Conferencia taller ley del seno y coseno (maestros-final)hotel

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  • 1. Presenta: Prof. Rafael Ortiz Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras. Sufragado por fondos federales de Título I -A. 1 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 2.  Saludos  Dinámica de presentación  Estándares desarrollados en la presentación  Taller  Ángulos y sus medidas  Funciones trigonométricas  Triángulo rectángulo  Ley del seno  Ley del Coseno  Post Prueba  Evaluación del taller 2 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 3. 3 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 4. 4 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 5. 5 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 6. Es la abertura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. El lado B, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo lado, lado A, se llama lado terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del vértice O en un plano hasta que alcanza su posición terminal. 6 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Elementos de un ángulo:  O  A B
  • 7. Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iníciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales. 7 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón  positivoángulo Lado inicial Lado terminal Figura 1  negativoángulo Lado terminal Lado inicial Figura 2  escoterminalángulos y  Lado terminal Lado inicial Figura 3
  • 8. Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo de x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación. 8 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón  ángulo cuadrantal Lado inicial Lado terminal Nota: Los ángulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).  Lado inicial Lado terminal ángulo en posición normal
  • 9. Medición en grados Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Los grados se subdividen en minutos y los minutos en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los segundos son, respectivamente: °, ', ''. Por ejemplo, un ángulo cuya medida es 34 grados 11 minutos y 56 segundos se denota por 34°11'56''. Medición en radianes Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio 𝑟 > 0, y la longitud del arco opuesto a 𝜃 en la circunferencia es s, entonces 𝜃 medido en radianes está dado por: 9 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón s r 𝜃 𝜃 = 𝑠 𝑟 radianes Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo. Nota: La medida en radianes es un escalar (número sin unidades), pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se simplifican, por tanto, queda un número sin unidades.
  • 10. Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 900 pero menos de 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. 10 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón  ángulo agudo  ángulo obtuso  ángulo recto  ángulo central  ángulo llano
  • 11. La conversión de grados a radianes y de radianes a grados se basa en que: 180° = 𝜋 radianes Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes factores: 180° π o 𝜋 180° 11 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ejemplo: Cambiar el ángulo de grados a radianes 1. 210° 210° 𝜋 180° = 30° ∙ 7 𝜋 30°∙6 = 7𝜋 6 Cambiar el ángulo de radianes a grados 2. 4𝜋 3 4𝜋 3 180° 𝜋 = 4𝜋 3 3∙60° 𝜋 = 4 ∙ 60° = 240°
  • 12. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iníciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos coterminales. 12 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ejemplo: Hallar dos ángulos coterminales con 200° θ 𝑐𝑜𝑡 = 𝜃 ± 360°𝑘 = 200° ± 360° 1 = 200° + 360° = 560° 200° − 360° = −160° vueltasdenumeroeleskdonde; radianesenángulospara,2 gradosenángulospara,360 mincot       k k aler      Lado terminal Lado inicial Para encontrar ángulos coterminales se utiliza la siguiente fórmula:
  • 13. Un ángulo de referencia es la medida del ángulo agudo que se forma desde el lado más cercano del eje horizontal hasta el lado terminal del ángulo original. 13 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 𝜃 𝜃𝑟 𝜃𝑟 𝜃 𝜃𝑟 𝜃 𝜃𝑟 𝜃 En el cuadrante I 𝜃𝑟 = 𝜃 En el cuadrante II 𝜃𝑟 = 𝜃 − 180° En el cuadrante III 𝜃𝑟 = 𝜃 − 180° En el cuadrante IV 𝜃𝑟 = 𝜃 − 360° Nota: Los ángulos de referencias siempre son positivos porque representan una medida. Los signos que surgen de la formula se refieren a los ángulos medidos en dirección positiva o dirección negativa.
  • 14. 14 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ejemplo: Encuentre l ángulo de referencia para 3 5 2   r 3   r  150180r 0 30r O x y r  3 5 3 5 )   a 0 708) b O x y r  870 Los ángulos 870° y 150° son coterminales [porque 870° – 2(360°) = 150°]. Por lo tanto, el lado terminal de este ángulo esta en el cuadrante II. El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por el lado terminal de 5𝜋 3 que esta en el cuadrante IV.
  • 15. 15 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 16. Sea U una circunferencia unitaria, esto es, perteneciente a un circulo trigonométrico. La ecuación de dicha circunferencia es 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Dado cualquier número real 𝑡, se llama 𝜃 a cualquier ángulo en posición estándar cuya medida en radianes es 𝑡. Obsérvese la figura de la derecha; 𝑃(𝑡) denota el punto de intersección del lado terminal de 𝜃 con U. 16 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida en radianes del ángulo 𝜃. Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .
  • 17. Si 𝑡 es un numero real y 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a 𝑡 entonces: 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 cos 𝑡 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = 𝑦 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = 𝑥 𝑦 csc 𝑡 = 1 𝑦 sec 𝑡 = 1 𝑥 17 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida en radianes del ángulo 𝜃. Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .
  • 18. Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de 𝑡 y (−3 5 , 4 5 ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 = 4 5 cos 𝑡 = 𝑥 = −3 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = 𝑦 𝑥 = 4 5 −3 5 = −4 3 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = 𝑥 𝑦 = −3 5 4 5 = −3 4 csc 𝑡 = 1 𝑦 = 1 4 5 = 5 4 sec 𝑡 = 1 𝑥 = 1 −3 5 = −5 3 18 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se simplifica si es posible.
  • 19. 𝒕 = 𝟎: En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0; y las funciones trigonométricas se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe). 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 cos 0 = 1 𝑡𝑎𝑛 0 = 0 1 = 0 𝑐𝑜𝑡 0 = 1 0 =indefinido sec 𝑡 = 1 1 = 1 csc 0 = 1 0 =indefinido 19 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 20. 𝒕 = 𝝅 𝟔 : El arco 𝑃𝑃′ = 𝜋 3 , el segmento 𝑂𝐴 biseca el ángulo 𝑃𝑂𝑃′ , por lo tanto 𝒕 = 𝝅 𝟔 . Como el triángulo 𝑃𝑂𝑃′ tiene los segmentos 𝑂𝑃 y 𝑂𝑃′ iguales que el radio r. Los ángulos 𝑂𝑃𝑃′ , 𝑂𝑃′ 𝑃 y 𝑃𝑂𝑃′ son iguales a 60°, se tiene que: el triángulo 𝑃𝑂𝑃′ es un triángulo equilátero. El segmento 𝑃𝑃′ = 𝑟 = 1; por lo tanto el segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 1 2 . El segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1 − 1 2 2 = 3 2 por lo tanto el segmento 𝑂𝐴 = 3 2 . 𝑠𝑒𝑛 𝝅 𝟔 = 1 2 cos 𝝅 𝟔 = 3 2 𝑡𝑎𝑛 𝝅 𝟔 = 1 2 3 2 = 3 3 𝑐𝑜𝑡 𝝅 𝟔 = 3 2 1 2 = 3 sec 𝝅 𝟔 = 1 3 2 = 2 3 3 csc 𝝅 𝟔 = 1 1 2 = 2 20 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 21. 𝒕 = 𝝅 𝟒 : 𝜋 4 es la mitad de 𝜋 2 ; por lo tanto el segmento 𝑂𝑃 biseca el primer cuadrante. Se tiene el triángulo isósceles 𝑂𝐴𝑃, con los segmentos 𝑂𝐴 y 𝐴𝑃 iguales, esto es 𝑥 = 𝑦. Como 𝑥2 + 𝑦2 = 1 es la ecuación de la circunferencia unitaria, entonces sustituimos y por x y despejamos para x. Se obtiene 𝑥 = 2 2 . 𝑠𝑒𝑛 𝝅 𝟒 = 2 2 cos 𝝅 𝟒 = 2 2 𝑡𝑎𝑛 𝝅 𝟒 = 2 2 2 2 = 1 𝑐𝑜𝑡 𝝅 𝟒 = 2 2 2 2 = 1 sec 𝝅 𝟒 = 1 2 2 = 2 csc 𝝅 𝟒 = 1 2 2 = 2 21 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 22. 𝒕 = 𝝅 𝟑 : En el triangulo 𝑃𝑂𝐵, los segmentos 𝑂𝑃, 𝑂𝐵 y 𝑃𝐵 son iguales al radio 𝑟 por lo tanto los ángulos 𝑃𝑂𝐵, 𝑂𝑃𝐵 y 𝑃𝐵𝑂 son iguales a 60°, en el triángulo equilátero 𝑃𝑂𝐵 𝑠𝑒 tiene que el segmento 𝐴𝑃 biseca el segmento 𝑂𝐵 que es igual al radio y este a su vez es igual a 1; por lo tanto el segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1 2 . El segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 3 2 . 𝑠𝑒𝑛 𝝅 𝟑 = 3 2 cos 𝝅 𝟑 = 1 2 𝑡𝑎𝑛 𝝅 𝟑 = 3 2 1 2 = 3 𝑐𝑜𝑡 𝝅 𝟑 = 1 2 3 2 = 3 3 sec 𝝅 𝟑 = 1 1 2 = 2 csc 𝝅 𝟑 = 1 3 2 = 2 3 3 22 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 23. 𝒕 = 𝝅 𝟐 : En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1; y las funciones trigonométricas se deducen a partir de su definición. La tangente y la secante no están definidas para 𝒕 = 𝝅 𝟐 (la división por 0 no existe). 𝑠𝑒𝑛 𝝅 𝟐 = 1 cos 𝝅 𝟐 = 0 t𝑎𝑛 𝝅 𝟐 = 1 0 = indefinido 𝑐𝑜𝑡 𝝅 𝟐 = 0 1 =0 sec 𝝅 𝟐 = 1 0 = indefinido csc 𝝅 𝟐 = 0 1 = 0 23 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 24. 24 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables t  (x, y) sen t cos t tan t cot t sec t csc t 0 0°  0,1 0 1 0 No existe 1 No existe 6  30°  2 1 2 3 , 2 1 2 3 3 3 3 3 32 2 4  45°  2 2 2 2 , 2 2 2 2 1 1 2 2 3  60°  2 3 2 1 , 2 3 2 1 3 3 3 2 3 32 2  90°  1,0 1 0 No existe 0 No existe 1
  • 25. Ejemplo para resumir las funciones trigonométricas 25 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 26. 26 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón a) cos(135°)= b) tan(390°)= Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones 45° El lado terminal de 135° esta en el segundo cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es 45° y el coseno es negativo en este cuadrante. El coseno de 45° es 2 2 . − 2 2 3 3 135° y x O x y 390o 30° El lado terminal de 390° esta en el primer cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es 30° y la tangente es positiva en este cuadrante. La tangente de 30° es 3 3 .
  • 27. 27 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 28. Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo de 90°. El teorema de Pitágoras aplica, la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa. 28 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Razones trigonométricas del ángulo 𝜃 seno cosecante 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 coseno secante 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 tangente cotangente 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 Cateto opuestoal ángulo Cateto adyacente al ángulo 
  • 29. Ejemplo: Hallar las seis razones trigonométricas para el ángulo 𝜃 del triángulo de la derecha. 29 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 35 12  Solución: Primero buscamos la hipotenusa. ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 12 2 + 35 2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 1369 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 1369 = 37 Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si es posible. seno coseno 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 35 37 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 12 37
  • 30. Ejemplo: Hallar las seis razones trigonométricas para el ángulo 𝜃 del triángulo de la derecha. 30 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 35 12  Solución: Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si es posible. tangente cotangente 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 35 12 𝑐𝑜𝑡 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 12 35 cosecante secante 𝑐𝑠𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 37 35 𝑠𝑒𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 37 12
  • 31. 31 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón  Ángulo de elevación )  Ángulo de depresión ) Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual Horizontal
  • 32. Ejemplo: Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis? 32 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Solución 70 m 120m120m 90m 160m + H= 90 +70 = 160 H = 120m 70 m O 53 o 37 H=
  • 33. 33 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). Dirección La dirección de B respecto de A es E30N o N60E o La dirección de C respecto de A es o S56 O S34O o o o Rumbo El rumbo de Q respecto de P o 47 El rumbo de M respecto de P o 27 al este del sur al oeste del norte E N S O A O 30 B O 56 C EO S N P Q o 47 o 27 M
  • 34. Ejemplo: Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 40 2 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ? 34 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Observa que el triángulo color rojo es notable.X = 20 Solución 34 x 24 3216 40 20 12 16 40 o 53 o 37 40 2 o 45 o 45 O N S F E 60
  • 35. 35 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 36. 36 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 37. Los triángulos que no contienen un ángulo recto son triángulos oblicuos. Un triangulo esta determinado por tres de sus seis partes (lados y ángulos conocidos). LAL Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos LLA Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos AAL Conocidos dos ángulo y un lado ALA Conocidos dos ángulos y el lado entre ellos LLL Conocidos tres lados 37 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 𝛼 𝛽 𝛾 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼 𝛾 𝛽 𝑏 𝑐 𝑎
  • 38. Actividad 38 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Buscar el Manual de práctica Ir a las paginas 5
  • 39. Considera el triangulo BAD y determina su altura. sen 𝛼 = ℎ 𝑐 ℎ = 𝑐 ∙ sen 𝛼 Al considerar el triangulo BCD y buscar su altura se obtiene. sen 𝜋 − 𝛾 = ℎ 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∙ sen 𝛾 = ℎ 𝑎 − −1 ∙ sen 𝛾 = ℎ 𝑎 ℎ = 𝑎 ∙ sen 𝛾 39 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 𝐷 𝛼 𝛽 𝛾 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 ℎ Ahora se iguala la altura obtenida de cada triángulo 𝑐 ∙ sen 𝛼 = 𝑎 ∙ sen 𝛾 La razón entre el seno de un ángulo y la medida de su lado opuesto se obtiene dividiendo ambos lados de la igualdad por 𝑎 ∙ 𝑐 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 La ecuación se conoce como Ley del Seno
  • 40. Si ABC es un triángulo oblicuo como los anteriores, entonces 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 40 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 𝛼 𝛽 𝛾 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐶 𝛼 𝛾 𝛽 𝑏 𝑐 𝑎 𝐴 𝐵 𝐶 En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo.
  • 41. 41 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón 48° 57° 𝛽 47 𝑐 𝑎 𝐴 𝐵 𝐶 Ejemplo: Resuelve el triangulo ABC dado que 𝛼 = 48°, 𝛾 = 57° 𝑦 𝑏 = 47 Como la suma de todos los ángulos en un triangulo es 180°. 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° 𝛽 = 180° − 48° − 57° = 75° Dado que conocemos el lado b y los tres ángulos, se puede encontrar 𝑎 utilizando la Ley del seno donde intervengan 𝑎, 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽 Se despeja para 𝑎 𝑎 = 47 𝑠𝑒𝑛 48° 𝑠𝑒𝑛 75° Se sustituye 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽 𝑎 ≈ 36 Aproximar al entero mas cercano Después para hallar el valor de 𝑐, basta sustituir 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 con 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐 de la solución precedente de 𝑎, y resulta que 𝑐 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐 = 47 𝑠𝑒𝑛 57° 𝑠𝑒𝑛 75° 𝑐 ≈ 41
  • 42. 42 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Cuando conocemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, no siempre el triangulo que se representa es único. 𝑏 𝛼 𝑎 𝐴 𝐶 𝑐 ℎ 𝑏 𝛼 𝑎 𝐴 𝐶 𝑐 ℎ 𝑏 𝛼 𝑎 𝐴 𝐶 𝑐 𝑎ℎ 𝑏 𝛼 𝑎 𝐴 𝐶 𝑐 ℎ No hay triángulo, si 𝑎 < ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado 𝑎 no es lo suficientemente largo para cerrar el triángulo. Un triángulo rectángulo, si 𝑎 = ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado 𝑎 es lo suficientemente largo para formar un triángulo rectángulo. Dos triángulos, si 𝑎 < 𝑏 y ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 𝑎. El lado 𝑎 es lo suficientemente largo para formar dos triángulos diferentes. Un triángulo, si 𝑎 > 𝑏. El lado 𝑎 es mas largo que 𝑏 y forma un triángulo.
  • 43. Ejemplo: ¿Cuantos triángulos se forman si sabemos que 𝑎 = 5, 𝑏 = 25 𝑦 𝛼 = 65°? 43 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Solucion: Se dibuja el posible triángulo y calculamos su altura. Luego comparamos la medida del lado a y la altura. ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 25𝑠𝑒𝑛 65° ≈ 23 como 23 es mayor que 15 no se forma triángulo. b = 25 h 65° a = 15 A
  • 44. Práctica 44 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Buscar el Manual de práctica Ir a las paginas 6-9 y 12
  • 45. Instalación de un panel solar En la figura se ilustra un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal. Ley del Seno 45 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 46. Inclinación de la torre de Pisa Originalmente esta torre estaba perpendicular al suelo y medía 179 pies de altura, debido al hundimiento del suelo, ahora se ha inclinado a cierto ángulo 𝜃 de la perpendicular, como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte alta de la torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, el ángulo de elevación es de 53.3°. a) Calcula el ángulo 𝜃. b) Calcula la distancia d que se ha movido el centro de la parte superior de la torre con respecto a la perpendicular. Ley del Seno 46 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 47. Agrimensura Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en los extremos opuestos de un río, un agrimensor trazó un segmento de recta AC de 240 yardas de longitud paralelo a una de las orillas, determino que las medidas de ∡BAC y ∡ACB son 63 °20′ y 54° 10′ respectivamente, (ver la figura). Calcula la distancia entre A y B. Ley del Seno 47 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 48. Altura de un globo de aire caliente Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 24°10′ y 47°40′, respectivamente. Según nos muestra la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo. Ley del Seno 48 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 49. Altura de un poste Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfonos inclinado a un ángulo de 9°en dirección opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calcula la longitud del poste. Ley del Seno 49 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 50. 50 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 51. 51 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón C h A B m n c b a 𝛽 𝛾 𝛼 H Ley del Coseno La altura de un triángulo lo divide en dos triángulos rectangulares. Para buscar una ecuación que resuelva el triángulo trabajaremos en el triángulo ABC. En los triángulos ABH y ACH podemos escribir por Pitágoras la altura h de cada uno, que es ℎ2 = 𝑐2 − 𝑚2 y ℎ2 = 𝑏2 − 𝑛2 repectivamente. La altura h es común en los dos triángulos, por lo tanto podemos decir que: 𝑐2 − 𝑚2 = 𝑏2 − 𝑛2 𝑐2 − 𝑎 − 𝑛 2 = 𝑏2 − 𝑛2 𝑐2 − 𝑎2 + 2𝑎𝑛 = 𝑏2 Sabemos que 𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛾 , se sustituye y se obtiene: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾 Ecuación conocida como, Ley del Coseno
  • 52. 52 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Dado el triángulo si representamos otra vez La altura en términos de otro ángulo obtendremos tres distintas fórmulas. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛾 Esta fórmula la utilizamos cuando conocemos: dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre estos si tenemos los tres lados C h A B m n c b a 𝛽 𝛾 𝛼 H
  • 53. 53 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ejemplo: Resuelva el triángulo dado 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 𝑦 𝛾 = 100°. Solución: Si utilizamos la Ley de seno al igualar cualesquiera dos razones nos quedaría una ecuación con dos desconocidas por lo cual debemos utilizar la Ley del coseno. 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑐2 = 52 + 32 − 2(5)(3)cos(100°) 𝑐 ≅ 6.26 𝑐𝑚, continuamos con ley de seno 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 , asi 𝛼 ≅ 𝑠𝑒𝑛−1 (0.7866) α1 = 51.87° 𝑦 α2 = 180° − 51.87 = 128.13° α1= 51.87° 𝑦 α2 = 128.13°, Pero α2 no es sirve dado que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 > 180° 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100° 6.26 Así finalizamos hallando 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛾 = 28.13°
  • 54. Práctica 54 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Buscar el Manual de práctica Ir a las paginas 14-19
  • 55. Calcular las diagonales de un paralelogramo Un paralelogramo tiene lados de longitudes 30cm y 70cm y uno de los ángulos mide 65°. Calcular la longitud de cada diagonal al cm más cercano. 55 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 56. Hallar la longitud de un cable Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste). 56 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno 73° 107°
  • 57. Dimensiones de un terreno triangular El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 75° y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado. 57 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 58. Distancia de vuelo Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130° y luego 80 millas en dirección 245°. A qué distancia aproximadamente se encontrará del punto A? 58 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 59. Distancia en un parque de béisbol Un parque de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y está a 90 pies una de la otra; el montículo del lanzador se halla a 60.5 pies del plato. Calcula la distancia del montículo del lanzador a cada una de las otras tres bases. 59 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 60. Ejercicios adicionales 60 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 61. Ángulos de un terreno triangular Un terreno triangular que tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud. Calcule la medida del ángulo más pequeño entre los lados. 61 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 62. Distancia entre vehículos Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 84° en dirección. Si viajan a 60 millas y 45 millas por horas, respectivamente, a que distancia aproximada se hallaran uno del otro al cabo de 20 minutos? 62 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 63. Uso de rumbos Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R, y luego de R a P en dirección S70°O. Calcula la distancia recorrida. Ley del Seno 63 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 64. Rumbo de una lancha de motor Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta con lados de 2 km, 4 km y 3 km, respectivamente. Recorrió el primer lado en direccio N20°O y el segundo en direccion S𝜃°O, donde 𝜃° es la medida de un ángulo agudo en grados. Calcula, al minuto más cercano, la dirección en que recorrió el tercer lado. 64 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón Ley del Coseno
  • 65. Tiempo perdido por error de curso de vuelo En un vuelo de la ciudad A a la ciudad B el piloto sigue un curso con un margen de error de 10°, como muestra la figura. Después de volar una distancia de 50 millas, el piloto corrige el rumbo girando en un punto C y volando otras 70 millas más hasta B. Si la velocidad del avión fue constante de 250 millas por hora, cuánto tiempo de vuelo se perdió debido al error? Ley del Seno 65 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 66. Calcular distancias en el mar El capitán de un barco en alta mar divisa dos faros alineados a la orilla del mar. Se sabe que los faros quedan separados entre sí por 3 millas. El capitán determina que los ángulos formados entre la línea de observación de los faros y la línea directa a la orilla son de 15° y 35°, (ver la fígura) a) Cuán lejos queda el barco del faro A? b) Cuán lejos queda el barco del faro B? c) Cuán lejos queda el barco de la orilla? Ley del Seno 66 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 67. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones adicionales de trigonometría en general
  • 68. Prof. Rafael Ortiz Evaluaciones trigonométricas Halle el valor exacto para las seis funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃. 𝜃 7 25
  • 69. Prof. Rafael Ortiz Resuelva el triángulo Determine el valor exacto de 𝛼, 𝛽, 𝑎 𝑦 𝑏 en el siguiente triángulo. 30° 𝛽 12 b a
  • 70. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Utilice el siguiente triángulo para determinar el valor de cada una de las siguientes expresiones 𝛼 𝛽 7 x y a) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽 b) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛼 c) 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot 𝛽 d) 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 e) 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 f) 𝑠𝑒𝑐𝛼 cos 𝛽
  • 71. Prof. Rafael Ortiz Evaluaciones trigonométricas Halle el valor exacto de las restantes funciones trigonométricas para el ángulo agudo 𝛼 si 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 5 8 1) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 5 8 2) cos𝛼 = 3) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 4) 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 5) csc𝛼 = 6) 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
  • 72. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodríguez Evaluaciones trigonométricas Sea −5, 12 un punto contenido en el lado terminal del ángulo en posición estándar 𝜃 . Halle el valor exacto de las seis funciones trigonométricas para 𝜃 1) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2) cosθ = 3) 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 4) 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 5) cscθ = 6) 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
  • 73. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas 𝜃 2 x Utilice el siguiente triángulo para mostrar que la igualdad dada es cierta. 𝑐𝑜𝑠2θ 1 + 𝑡𝑎𝑛2θ = 1 4 4 − 𝑥2 2
  • 74. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones considerando x contenido en una revolución positiva. 1) 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 2) 2𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 6 3) 𝑐𝑜𝑠 π 2 + 3𝑥 + 2 =1
  • 75. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodríguez Aplicaciones trigonométricas Use identidades trigonométricas para verificar las siguientes identidades 1) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 2) 𝑠𝑒𝑛𝛼 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 + 1+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛𝛼
  • 76. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Halle el valor exacto de las siguientes expresiones trigonométricas sin el uso de la calculadora 1) 𝑠𝑒𝑛2120°𝑐𝑜𝑠 −180° 𝑡𝑎𝑛 −135° 𝑐𝑜𝑡 405° 2)𝑠𝑒𝑛1200° + 𝑐𝑜𝑠 −1080° 3)10𝑐𝑜𝑡315°𝑠𝑒𝑛 −150° 𝑐𝑜𝑠225°
  • 77. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼, si se sabe que: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 7 8
  • 78. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodríguez Aplicaciones trigonométricas Calcule 𝑠𝑒𝑛3 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3 𝛼 , si se sabe que 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 2 .
  • 79. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60°. 8.66m 60°
  • 80. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión a la orilla opuesta al lago es de 30°. ¿Cuál es el ancho del lago? 30° 40m
  • 81. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un topógrafo se encuentra en un punto C tal que AC=120 metros y BC= 80 metros, y determina que ACB mide 52°. ¿Cuál es la distancia entre A y B? B C A 52°
  • 82. Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodríguez Aplicaciones trigonométricas Los puntos A y B son los extremos de un túnel que pasará debajo de una montaña. Desde un punto C, lejos de la montaña, un topógrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480 metros, CB mide 320 metros y el ángulo C mide 72°. ¿Cuál es la longitud del túnel? B C A 72°
  • 83. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Dos guardabosques separados 3 km en los puntos A y B observan un incendio en un punto C del bosque. El guardabosques A mide un ángulo de 44.3° mientras el guardabosques B mide un ángulo de 76.5°. ¿A qué distancia está el fuego desde un camino recto que va de A a B? B A C 44.3° 3 km
  • 84. Prof. Rafael Ortiz Aplicaciones trigonométricas Dos casa quedan ubicadas en puntos extremos de la falda de una montaña. Para medir la distancia entre ellas un agrimensor se aleja 40 pies de la casa A hasta un punto C y luego camina 60 pies hasta la casa B. Si el ángulo ACB mide 60°, qué distancia separa ambas casa? A B C 60°
  • 85. Post Prueba 85 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
  • 86. Fin 86 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón
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    1. Presenta: Prof. Rafael Ortiz Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de…