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Universidad Cesar Vallejo

Facultad de Ciencias Empresariales

Matemtica Superior

Primera Unidad Didctica

ECUACIONES

2014

El ingreso total de una cafetera con base en la venta de x cafs especiales est dado por r = 2x y sus costos totales diarios estn dados por c = 0.5x + 300.

Cuntos cafs especiales se necesitan vender cada da para recuperar el capital invertido? En otras palabras Cundo ingreso es igual a los costos?

especiales.1.1. ECUACIONES

1.1.1. DEFINICION

Una ecuacin es una proposicin que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuacin son llamados sus lados o miembros, y estn separadas por el signo de igualdad.

Ejemplo de ecuaciones:a. x + 2 = 3b. x2 + 3 x + 2 = 0Las ecuaciones se convierten en identidades slo para determinados valores de la(s) incgnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuacin.

Ejemplo:

La ecuacin: 3X - 8 = 10 slo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuacin quedar la identidad: 10 = 10Ejemplo:

5x 9 = 1 es una ecuacin con una incgnita con una solucin, x = 2 X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de dos cuadrados es un nmero positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumndole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones, como: x=0 , y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.1.2. ECUACIONES LINEALES

1.2.1. DEFINICIN

Una ecuacin lineal en la variable x es una ecuacin que puede escribirse en la forma: ax + b = c, donde a, b y c son constantes y a ( 0

Tambin se le conoce como ecuacin de primer grado o ecuacin de grado uno, ya que la potencia ms alta de la variable que aparece en la ecuacin es la primera.Ejemplo: 5x 6 = 3x

Para resolver una ecuacin de 1er grado se recomienda que las incgnitas estn en un mismo miembro y las cantidades numricas o conocidas en el otro y as se podr despejar ms fcil.

MATERIAL DE CLASEa)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES

La mayora de los empresarios, definen sus precios de venta a partir de los precios de sus competidores, sin saber si ellos alcanzan a cubrir los costos de sus empresas. Por otra parte, no existen decisiones empresariales que de alguna forma no influyan en los costos de una empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a tomarse tengan la suficiente calidad, para garantizar el buen desenvolvimiento de las mismas. Veamos un ejemplo:

Ejemplo:

Muebles IKASA vende en su sede del centro muebles de oficina, en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se est ofreciendo en esta sede:

COSTOS FIJOS

Alquiler del local de ventas

S/ 1,900

Sueldos y jornales vendedora

S/ 800

Energa elctrica

S/ 400

Telfono

S/ 100

Impuestos

S/ 473

Honorarios Contador

S/ 827

TOTAL

S/ 4,500

COSTOS VARIABLES

Costo por unidad de cada juego de mueblesS/ 1,500

(mat. Prima y mano de obra)

Por otro lado, el juego de muebles se est vendiendo a S/. 2 000. En este primer mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20 000. Por lo tanto, cuntos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?

Solucin:

Cul es nuestra incgnita?........................................................................

As, sea x:...............................................................................................

Por lo tanto, si denotamos con C la inversin total para dicha cantidad de juegos de muebles, tendramos que Esta inversin se denomina Costo Total y es igual a:

Por otro lado, teniendo en cuenta la venta de cada par de zapatos a:

Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un total de x muebles, se obtendr un ingreso que se denomina Ingreso Total igual a:

Teniendo en cuenta ello, por los x juegos de mueble que produce y vende se obtendr una Utilidad de:

Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando:

As el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................

ACTIVIDAD

Problemas de aplicacin de ecuaciones lineales

1. Una ejecutiva de la compaa Electronic S.A. tiene un salario mensual ms un bono por fiestas patrias del 12.5% de su salario mensual. Si gana un total de 97 300 dlares al ao, cul es su salario mensual?2. Halle el nivel de ganancia de una fbrica que tiene un costo fijo de S/. 750, un costo de S/. 80 y un precio de venta de S/.95, cuando vende (a) 40 artculos y (b) 60 artculos.3. Una firma que tiene unos costos fijos de S/. 15 000 y un costo de S/. 200 por unidad. Por otro lado, se ha propuesto una ganancia de S/. 50 por cada unidad. Halle el ingreso de vender (a) l5 unidades y (b) 20 unidades Cuntos unidades debe vender si desea obtener un ingreso de S/. 80 000?4. Una fbrica recibe $25 por cada unidad de su produccin vendida. Tiene un costo de $ 15 por artculo y un costo fijo de $ l 200. Cul es el nivel de ingresos, si vende (a) 200 artculos, (b) 300 artculos y (c) 100 artculos?

5. Una Multinacional est tratando de captar a los mejores agentes de ventas para su empresa, para ello se entera que su competencia est pagando al ao $12,600 ms una comisin del 2% sobre sus ventas anuales. Mientras que sta paga solo un comisin del 8% sobre sus ventas anuales. Para qu nivel de ventas anuales la multinacional es superior en $5500 a su competencia?, Qu le permitir hallar ello?6. Esteban piensa abrir una lavandera, calcula que por alquiler del local pagara S/. 500 y pago por energa elctrica ser S/. de 200 al mes. Segn lo calculado, el costo por prenda en detergente, agua y energa es de S/. 0.15. Si el servicio se ofrece a S/. 0.40, cuntas prendas debe lavar si desea una utilidad de $5,000 semanales?7. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que fabrica al precio de $50 cada artculo. Le cuesta $35 producir cada artculo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $15,000 al mes con el fin de operar la planta. Cuntas unidades debe producir y vender para obtener utilidades de $11,500? (Redonde a la unidad ms cercana).8. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria ms $30 por hora de trabaja adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa en funcin del nmero de horas x que dure la visita1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO2.1.1. DEFINICION

Llamadas tambin ecuaciones CUADRTICAS, son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:

donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1).

El coeficiente a se llama coeficiente cuadrtico o de segundo grado.

El coeficiente b se llama coeficiente lineal o de primer grado y

El coeficiente c se llama trmino lineal.Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuacin de segundo grado se llama completa y si b c o ambos, son ceros, la ecuacin de segundo grado se llama incompleta.

As dado: a , b y c 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuacin de segundo grado completa.

Toda ecuacin de segundo grado presenta dos races o soluciones, llammoslas, x1 y x2.

Estas races se pueden obtener mediante dos mtodos:

METODOS DE SOLUCION:

METODO DE LA FORMULA GENERAL:

De la ecuacin se deduce la formulacin clsica que despeja la variable:

Se define la cantidad subradical: b2 4ac como el discriminante (invariante Caracterstico) de la ecuacin cuadrtica y se le denota por :, luego:

Las races x1 y x2 de una ecuacin de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a0 dependen de la discriminante as:

Primer caso:

Si > 0 entonces las races x1 y x2 son reales y desiguales.

Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:

a) si es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son racionales.

b) si no es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son irracionales conjugadas.

Segundo caso:

Si = 0 entonces las races x1 y x2 son reales e iguales (races dobles) donde:

Tercer caso:

Si < 0 entonces las races x1 y x2 son complejos y conjugados.

METODO DE FACTORIZACION:

Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre y cuando se pueda.

Los pasos de este mtodo son los siguientes:

Se trasladan todos los trminos a un slo miembro dejando el otro miembro igual a cero.

Se factoriza este miembro por el mtodo del aspa simple.

Para obtener las races de la ecuacin, se iguala cada factor a cero.

Discusin de las races de una ecuacin de segundo grado.

Ejemplo1. La empresa Nail S.A. que se dedica a la produccin de zapatos, tiene un costo fijo mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Adems, se sabe que su ingreso est dado por: , donde x es el nmero de artculos que produce y vende la empresa mensualmente. ( )a) Determinar la utilidad mensual de la empresa en funcin de x.b) Hallar la utilidad que obtendr la empresa si produce y vende 200 artculos.

ACTIVIDAD

A. Resolver:

1. (x + 2)(x 1) = 0

2. (2x + 1)(4 3x) = 0

3. 10x2 x 3 = 0

4. 5x2 7x + 2 = 0

5.

6. 6x2 11x 7 = 0

7. 3x2 + 8x 6 = 0

8. -x2 11x = 0

9. (x + 3)2 = (x 1)2 + 2810.

Problemas de aplicacin: 1. El taller artesanal La pastorcita S.A. est especializado en la produccin de cierto tipo de muebles finos. Los costos de fabricacin, C en soles, estn relacionados con el nmero de muebles fabricados, x, a travs de la siguiente expresin:

El precio de venta de cada juguete es de 8,000 soles.

a) Plantear la ecuacin de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos.

b) Plantear la ecuacin de utilidades, entendidos como diferencia entre ingresos y costos de fabricacin.

c) Cuntos juguetes debe fabricar para tener 650,000 de utilidades? 2. La empresa El Porvenir. S.A. ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en soles) que genera la fabricacin y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones: y Determina, justificando las respuestas:

a)La ecuacin que define las utilidades anuales.

b) El nmero de unidades que hay que vender para que la utilidad sea 300,000.

ACTIVIDADES FINALES

I. Coloca V si es verdadero o F si es falso, em ls siguientes proposiciones, justifica tu respuesta

1.Una ecuacin lineal tiene una sola raz( )

Porque, ...........................................................................................................................

.........................................................................................................................................

2.La solucin de la ecuacin: 25 x = x, es el conjunto vaco ( )

Porque, ...........................................................................................................................

.......................................................................................................................................

3.En la ecuacin: 2 x + 4 = 2 ( x + 2 ), el conjunto solucin son todos los reales.( )

Porque, ...........................................................................................................................

4.En la ecuacin x + 3 = x + 3, se cumple que .( )

Porque, ...........................................................................................................................

5.El conjunto solucin de: es

( )

Porque, ...........................................................................................................................

6.Para el valor de la ecuacin tiene nica solucin.( )

Porque, ...........................................................................................................................

.........................................................................................................................................

7. Para la ecuacin no tiene soluciones reales. ( )

Porque, ...........................................................................................................................

.........................................................................................................................................

8.La ecuacin cuadrtica puede tener soluciones imaginarias. ( )

Porque, ...........................................................................................................................

ECUACIONES

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7. Resolver la ecuacin se reduce a 1er grado en x.

ax2 + 2x + a = 5x2 3ax + 4 ; (a ( R)

a)1 b)16 c)15/17 d)1/17 e)1/912. En la ecuacin : x2 + 6x m = 0 Hallar m, si una raz es -2.

a) -2 b) -6 c) -8 d) -4 e) 413. Si en la ecuacin: x2 5ax + 3a=0 ; una de las races es 2. Indicar el valor que adopta a .

a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7

14. Resolver para x :

a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x ) a) a+2ab+b b) a+b c)

c) ab e)

15. Hallar x :

a) a+bb) a-b c) ab d) e)

16. Resolver para x :

a)1 b)ab c)a-b d)2(a-b) e)2(a+b)17. El martes gan el doble de lo que gan el lunes, el mircoles el doble de lo que gan el martes, el jueves el doble de lo que gan el mircoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sbado S/. 10 ms que el viernes. Si en los 6 das he ganado S/. 911 Cunto gan el mircoles?18. Se compran 25 lpices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $ 20 y cada lpiz cuesta el doble de cada goma, ms $ 8. Cunto cuesta cada material?19. Compr el cudruple del nmero de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos ms y 5 vacas mas tendra el triple de nmero de caballos que el de vacas. Cuntos caballos y cuntas vacas compr?

20. (x + 2)(x 1) = 021. 10x2x3=0 23. 5x27x+2=024. 6x211x7=0 25. x2+8x6=026. -x2 11x = 0 27. 2x2 x = 028. (x + 3)2 = (x 1)2 + 2829. Alberto tiene 3 aos ms que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado en el cuadrado de la edad de Juan equivale a 317 aos. Hallar ambas edades.30. Hallar el mayor de cinco nmeros enteros consecutivos; sabiendo que la diferencia de la suma de los tres menores con la suma de los dos mayores es 28.32. Resolver : 2x2 3x 1 = 0 .tc "1. Resolver\:"

tc ""Sealar una raz.tc "Sealar una raz."tc ""

a) b)

c) d) e) tc "d)

e)"tc ""33. Resolver: tc "2. Resolver\:"

tc ""5x2 + 2 = 8x . tc "5x2 + 2 = 8x"Sealar la menor raz.tc "Sealar la menor raz."

a)

b)

c) d)

e)

tc "a)

b)

c)

d)

e) "tc ""34. Resolver : tc "3. Resolver\:"

tc ""x2 = 7x + 2 .tc "x2 = 7x + 2"Sealar la mayor raz.tc "Sealar la mayor raz."

a)

b)

c) tc "a)

b)

c)" d)

e)

35.Calcular k si el discriminante de la ecuacin:

2x2 + 7x + k = 1 , es igual a 17.tc "9.Calcular k si el discriminante de la ecuacin\: 2x2 + 7x + k = 1 es igual a 17" a) 2 b)4 c) 5 tc "a)2b)4c)5"d) 7 e) 6tc "d)7e)6"tc ""36.Determinar el valor negativo de p en la ecuacin:

X2 - px + p = 0 si su discriminante es 12.tc "10.Determinar el valor negativo de p en la ecuacin\:x2 - px + p = 0 si su discriminante es 12."

a) -2 b) -6 c) 4 tc "a)2b)4c)5"d) -12 e) 337. Una firma tiene un costo de $4000 para personal, planta y equipo y un costo de $300 para cada unidad adicional producida. Cul es el costo total C de fabricar (a) 25 unidades y (b) 40 unidades? 38. En el mes de diciembre la panadera Don Mario tiene un aumento del 12.5% en sus ingresos por la venta de los panetones Don Mario. Si en el mes de diciembre obtuvo un ingreso total de s/. 40 750 Cul sera el ingreso si no vendiera los panetones Don Mario en el mes de diciembre?39. Utilidad. La editorial Novaro Peruvian produce y vende Comics. El precio de venta de cada Comic es de S/. 10,50, sus costos fijos son de S/.4500 mensuales y el costo para el material y la mano de obra es de S/. 3 por cada unidad producida. Cuntos comics debe producir y vender la editorial para obtener una ganancia de S/. 9 000?40. Utilidad. Lucas incursiona en el ensamblado y venta de bicicletas. Para ello determina que el costo variable de cada bicicleta $180; mientras que el costo fijo de fabricacin mensual es de $4200. Si Lucas decidi vender cada bicicleta a $300 cuntas bicicletas debe vender para obtener una utilidad de $2400?41. Venta. Un vendedor de autos usados compr dos automviles por $ 2900. Vendi uno con una ganancia del 10% y el otro con una prdida de 5%, y an obtuvo una ganancia de $185 en la transaccin completa. Encuentre el costo de cada automvil.42. Salario. Un empresario est estableciendo un pequeo negocio. Sus costos fijos son de $ 720 semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. l desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de mano de obra, y que su producto se venda a solo el 40% sobre el costo total. Qu salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artculos por semana a qu precio debe venderlos?43. La pyme INKAR PER S.A.C importa manzanas chilenas por cajas a un costo unitario de $15. Si los costos fijos correspondientes a alquiler mensual en el mercado mayorista son de $300 y por otro lado gastos de transporte y personal suman $800 por mes.

Por otro lado, esta empresa vende cada caja de manzanas en el mercado mayorista a $20, determine el nmero de cajas que debe comprar y vender al mes de tal manera que obtenga utilidad igual a $15 000.44. La ganancia mensual de una empresa que fabrica y vende jabones est dada por la siguiente formula X2 - 50X 6 000, siendo x la cantidad mensual de cajas de jabn vendidas. Cuntas cajas de jabn debe vender para que la ganancia mensual sea mayor que S/. 30 000?45. La ganancia mensual de una empresa que fabrica y vende lmparas est dada por la siguiente formula X2 - 50X 20 000, siendo x la cantidad mensual de lmparas vendidas. Qu cantidad de lmparas debe vender para que la ganancia mensual sea mayor que S/. 10 000?46. El costo de produccin de x artculos est dado por: C= X2+30X 100 400. Si cada artculo es vendido a S/. 80, Cuntos artculos deben ser vendidos para obtener por lo menos una ganancia de S/. 25 400?

MATEMTICA SUPERIOR

para Ciencias Empresariales

2. ECUACIONES LINEALES Y CUADRTICAS

EMBED PBrush

DOS RACES

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 4

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