x x x - Con Guardería - Trilingüe - Concertado - Logroño ?· x 4 − x 3 − x 2 − x − 2 = (x…

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    24-Jan-2019

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Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 1

TEMA 3 LGEBRA

FACTORIZACIN DE POLINOMIOS EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x4 18x 2 b) x 4 x 3 x 2 x 2 c) x 3 13x 2 ++++ 36x d) 2x 3 9x 2 8x ++++ 15 e) x 5 ++++ x 4 2x 3 e) x 3 3x ++++ 2 Solucin: a) Sacamos factor comn y tenemos en cuenta que a2 b2 = (a + b) (a b): 2x4 18x2 = 2x2 (x 2 9) = 2x 2 (x + 3) (x 3) b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 1 1 1 2

1 1 2 1 2

1 2 1 2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x 4 x 3 x 2 x 2 = (x + 1) (x 2) (x 2 + 1) (El polinomio x 2 + 1 no tiene races reales). c) Sacamos factor comn y hallamos las otras races resolviendo la ecuacin de segundo grado:

( )x x x x x xx

x x x

x

+ = +

= + = = = =

=

3 2 2

2

13 36 13 36

913 169 144 13 25 13 5

13 36 02 2 2

4

Por tanto: x 3 13x 2 + 36 x = x (x 9) (x 4) d) Utilizamos la regla de Ruffini:

2 9 8 15

1 2 7 15 2 7 15 0

5 10 15

2/34/6x

5x

4

137

4

1697

4

120497x015x7x2 2

=====+==

2x 3 9x 2 8x + 15 = 2(x 1) (x 5) (x + 3/2) e) Sacamos factor comn y hallamos las otras races resolviendo la ecuacin:

x 5 + x4 2x3 = x 3 (x 2 + x 2) =

+ + = = = ==

2

11 1 8 1 9 1 3

2 02 2 2

2

x

x x x

x

Por tanto: x 5 + x4 2x3 = x 3 (x 1) (x + 2) f) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2

1 1 1 2 1 1 2 0

1 1 2 2x

1x

2

31

2

91

2

811x02xx2

====+==+

x 3 3x + 2 = (x 1)2 (x + 2) APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente divisin sea exacta: ( ) ( )23 2 2x kx x+ : ++ : ++ : ++ : + Solucin: Llamamos P(x) = 3x 2 + kx 2. Para que la divisin sea exacta, ha de ser P(2) = 0; es decir: P(2) = 12 2k 2 = 10 2k = 0 k = 5

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 2

FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraica s:

a) 23

345

396

xxxxx

+++

b) xxx

xx23 23

3

++

c) xxx

xxx

23

223

23

+

d) xxx

xxx

++

23

23

2

133 e)

24

234

9

32

xx

xxx

Solucin:

a) ( )

( )( )( ) ( ) xxxxxxxx

xx

xxx

xx

xxx33

3

3

3

96

3

96 22

23

2

23

23

345

+=+=+

+=+

++=+

++

b) ( )

( )( )( )( )( ) 2

121

11

23

1

23 2

2

23

3

+=

+++

=++

=++

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

c) ( )

( )( )( )( )( ) 1

112

12

23

2

23

22

2

23

23

+=

+

=+

=+

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

d) ( )( ) x

x

xx

x

xxx

xxx 1

1

1

2

1332

3

23

23 =

=+

+

e) ( )

( )( )( )( )( ) 3

1

33

13

9

32

9

322

2

22

22

24

234

++=

++

=

=

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

xxx

EJERCICIO 4 : Efecta las siguientes operaciones y simplifica:

a)

+

+

1613

112

2

3

xx

xxx

xxx b)

4

1213

22

2

++

xxx

xx

c) ( )

( )222

1

3

1

12

1

+

x

x

x

x d)

( ) 11

12

1

122

+

+ xxx

e)

+

+

1123 2

xxx

xx

x

Solucin:

a) ( )( ) ( )

( )( ) =+

++

=

+

+

1x6x

xx

1x1x

1xx31x1x2

1x6x

xx

1x

x3

1x

1x22

3

2

3

( )( )( )( )

( )( )( )( )

x1x6x

1x1xx

1x1x

1x6x

1x6x

1x1xx

1x1x

x3x31xx2x22

2

2

22=

+

+++=

+

++

+

b) ( ) ( )( )

4x

3x11x

4x

12xx6x3x4x2

4x

1

4x

2x1x3

4x

2xx2

4x

1

2x

1x3

2x

x22

2

2

22

2222

+=

+++=

+=

++

c) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2

2

22

2

22

2

1x2

1x6x

1x2

x61x

1x

x3

1x2

1x

1x

x3

1x1x2

1x

1x

x3

1x

1

2

1x

+

=+

=+

+

=+

+

=+

d) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

=+

+++=+

+

+

=

+

+ 1x1x

1x1x21x

1x1x

1

1x

2

1x

1

1x

1

1x

2

1x

12

2

222

( ) ( ) ( ) ( )1x1x

2x2x2

1x1x

1x2x21x2

2

2

2

+

+=+

+++

e) ( )

( ) ( )( )

1x

3x3x2

1x

1xx

1xx

x23x3

1x

xx

1xx

x21x3

1x

xx

1x

x2

x

3 22222

++=

+

++=

+

++=

+

+

RESOLUCIN DE ECUACIONES EJERCICIO 5 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

343

344

1) 22 += xxxxx 028112) 24 =+ xx 3

433

415

3)2

2 ++=+ xxx

0100214) 24 = xx ( ) ( )3

154 5)

=+ xxxx 049486) 24 = xx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 3

121637) =+ xx 358) =+ xx 3

1422

49) =

+

+ xx

xx

611

423

10) =+

+xx

45

12

12

11) =++

xx

x 124412) +=+ xx

211

1412

13) =

+xx

x 14) 099 234 =+ xxxx 15) 012112 23 =+ xxx

16) 044 234 =+ xxxx 17) 0652 23 =+ xxx 18) 044 23 =+ xxx

27

2

122 19) 1 =++

xxx ( ) xloglogxlog =+ 43 20) 2 0363721) 24 =+ xx

( ) ( ) 2212 22) lnxlnxln =+ 124523) +=+ xx 098

33 24) 12 =+ +xx

22 6

331

4

525)

xx= ( ) ( ) 1231 26) =+ xlogxlog xx 2111327) =+

042322 28) 11 =++ + xxx x

xx

x 16

161

29)+=

+

31

3

3 30)

1

12

=+

+

x

xx

032231) xx1 =+ xx 37132) = 052233) 2 =++ xx Solucin:

3

4x3xx

3

x4x4 1) 2

2 += ; 3

433

33

33

44 22 += xxxxx ; 4x3x3x3x4x4 22 =

04x4x2 =+ ; 224

2

16164==

=x ; Solucin: x = 2

028x11x 2) 24 =+ 242 zxzx :Cambio == 028z11z2 =+

==

===

=

=

24

77

2311

2

911

2

11212111

xz

xzz

2 2 7 7 :soluciones Cuatro 4321 ==== x,x,x,x

34

3xx3

4

15x 3)

22 ++=+ ;

412

433

415

44 22 ++=+ xxx ; 1233154 22 ++=+ xxx

0xx2 =+ ; ( )

==+

==+

101

0 01

xx

xxx

0100x21x 4) 24 = 242 :Cambio zxzx == 0100212 = zz

=

===

=

+=

vale) (no 4

5 25

22921

2

84121

2

40044121

z

xzz Dos soluciones: x1 = 5, x2 = 5

( ) ( )3

1xx54xx 5)

=+ ; 3

542

2 xxxx=+ ; xxxx =+ 22 15123

015x13x2 2 =+ ;

==

==

=

+=

215

430

1

41713

4

28913

4

12016913x

xx

049x48x)6 24 = 242 :Cambio zxzx == 049482 = zz

=

===

=

+=

vale) (no 1

749

25048

2

500248

2

196304248

z

xzz Dos soluciones: x1 = 7, x2 = 7

1x216x37) =+ ; ( )212163 =+ xx ; xxx 414163 2 +=+ ; 15740 2 = xx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 4

===

=

=+

=45

810

3

8177

8

2897

8

240497x

xx

Comprobacin:

vale. s 35253 === xx

vale. no 45

27

27

449

45 === xx

Hay una solucin: x = 3 3x5x8) =+ ; xx +=+ 35 ; xxx 695 2 ++=+ ; 450 2 ++= xx

==

=

=

=4

1

235

2

95

2

16255

x

xx

Comprobacin:

vale s 1312141 ==+=+= xx

vale no 43541414 ==+=+= xx Hay una solucin: x = 1

3

14

2x

x

2x

x49) =

+

+;

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )223

2214223

23223

212++

=+

+++

xxxx

xxxx

xxxx

( )414632412 222 =++ xxxxx ; 56141815 22 = xxx ; 056182 =+ xx

==

=

=

=4

14

21018

2

10018

2

22432418

x

xx

6

11

4x

2

x

310) =

++ ; ( )( ) ( )

( )( )46

41146

1246418

++=

++

++

xxxx

xxx

xxx

; xxxx 4411127218 2 +=++ ; 7214110 2 += xx

===

=

=+

=1136

2272

2

225814

22

336414

22

316819614x

xx

4

5

1x

2x

1x

2 11) =

++

;

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )114

115114214

11418

++

=+

++

+xxxx

xxxx

xxx

; ( ) ( )1523488 22 =+++ xxxx 55812488 22 =+++ xxxx ; 2140 2 += xx ;

=

==

=

+=

7

3

2104

2

1004

2

84164

x

xx

12x44x12) +=+ ; ( ) 1244 2 +=+ xx ; 1248162 +=++ xxx ; 0442 =++ xx ;

Comprobacin: vlida es s422 ==x

2

11

1x

4

x

1x213) =

+ ;

( )( )( ) ( )

( )( )12

11112

812

1122=

+

xxxx

xxx

xxxx

; ( ) xxxxx 111181322 22 =++ xxxxx 11118264 22 =++ ; 21370 2 = xx ;

===

=

=+

=71

142

2

141513

14

22513

14

5616913x

xx

14) Sacamos factor comn: ( ) 09999 23234 =+=+ xxxxxxxx : 9x9xx osFactorizam 23 +

x2 9 = 0 x = 3

22

4

2

16164x ==

=

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 5

( )( )( )

==+==

==+=

=++=+

303

303

101

0

033199 234

xx

xx

xx

x

xxxxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 3310 4321 ==== x,x,x,x 15) Factorizamos:

( )( )( )

==+====

=+=+303

404

101

034112112 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 341 321 === x,x,x

16) Sacamos factor comn: ( ) 04444 23234 =+=+ xxxxxxxx :44 osFactorizam 23 + xxx

( )( )( )

==+==

==+=

=++=+

202

202

101

0

022144 234

xx

xx

xx

x

xxxxxxxx

Por tanto las soluciones de la ecuacin son: 2x,2x,1x,0x 4321 ==== 17) Factorizamos:

( )( )( )

==+====

=+=+202

303

101

0231652 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 2x,3x,1x 321 === 18) Factorizamos:

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 6

( )( )( )

==+==+

===++=+

404

101

101

041144 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 411 321 === x,x,x

2

7

2

122 19)

xx1x =++ ;

27

2

12

22 =++

xx

x

Hacemos el cambio de variable: 2x = y : 271

2=++

yy

y ; 0273722 222 =+=++ yyyyy

==

==

=

=

31

622

657

6

257

6

24497y

yy

1222 === xy x

58123

331

31

231

22 ,loglog

loglogxy x ======

Hay dos soluciones: x = 1; x2 = 1,58 20) log (x 3)2 + log 4 = log x ; log [4(x 3)2 ] = log x ; 4(x 3)2 = x 4(x2 6x + 9) = x

4x2 24x + 36 = x 4x2 25 x 6 + 36 = 0 ;

==

==

=

=

49

8184

8725

8

4925

8

57662525x

xx

49

;4 :soluciones dosHay 21 == xx

2 036x37x1) 24 =+ ; 036z37zzxzx :Cambio 2242 =+==

==

===1

36

23537

2122537

2144136937

z

zz

1111

63636362

2

====

====

xxxz

xxxzHay cuatro soluciones: x1 = 6, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 6

2 ( ) ( ) 2lnx2ln1xln2 2) =+ ; ( ) ( ) 221 2 lnxlnxln =+ ; ( ) ( ) 22

12

21 22 =+=+

xx

lnx

xln

( ) 01241241 222 =+=++=+ xxxxxxx ; 122

2

442==

=x ; Hay una nica sol: x = 1

2 ( ) 3xx401x4x44x51x24x51x24x53) 222 =++=++=++=+

===

==+=43

86

1

871

8491

84811

x

xx

Comprobacin:

vlida Es12391 +===x

vlida es No21

123

21

41

43 =+==x

Hay una solucin: x = 1

2 09

833 4) 1xx2 =+ + ; ( ) 0

98

3332

=+ xx

:3 cambio el Hacemos yx = 08y27y909

8y3y 22 =+=+

==

===

=

=

31

186

38

1848

182127

18

44127

18

28872927

y

yy

89,013log8log

18log38

log38

338

33 ====== xyx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 7

131

331 === xy x

Hay dos soluciones: x1 = 1; x2 = 0,89

2 22222

2

222x49x46156x415

x12

6

x12

x4

x12

15

x6

3

3

1

x4

55) =====

=

===

23

23

49

492

x

xxx

23

;23

:soluciones dosHay 21 == xx

2 ( ) ( ) 12x3log1xlog 6) =+ ; ( )2310110231

1231 =+=

+=

+

xxxx

xx

log

2921

292120301 ===+ xxxx

( ) ( ) ( )130x53x40121x44x49x9

121x44x41x911x21x311x21x311x21x3x2111x327)

22

222

+=+=

+=====+

===

==

=4

1382610

82753

872953

8

0802809253x

xx

Comprobacin:

vlida Es10220119119310 ==+=+=x

vlida es No2

134

132

231

1129

1149

34

13 ==+=+=x

Hay una solucin: x = 10

2 042322 8) x1x1x =++ + ; 0423222

2 =++ xxx

; Hacemos el cambio: 2x = y

04322

=++ yyy ; 8080864 ==+=++ yyyyy ; 382 == xx

( )( )( )

( )( ) ( )

03x14x806x28x1606x28x166x12x6x16x16x6

1x2x6x16x16x61xx6

1x6

1xx6

1xx16

1xx6

x6

x

1x

6

16

1x

x29)

222222

22222

=++=++=++=

++=+

+=

++

+

+=

+

==

=====

23

1624

41

164

161014

1610014

169619614

x

xx

23

;41

:soluciones dosHay 21== xx

( ) 11x1xx1x

1xx33

3

1

3

330)

22

+++

+== ; 012111 22 =+=+ xxxxx : 1

22

2

442==

=x

Hay una nica solucin: x = 1

0322

2)31 x

x

1=+ As,.2 :Cambio zx = 032 =+ z

z032 2 =+ zz 0232 =+ zz

===

=====0121

1222

213

2893

xz

xzz

x

x

32) ( )

==+==+=+=

3x

2x

2

2411x06xxx37x2x1x37x1 222

vale)(no

33) 0x1205250522405222 xxxxx2x ====+=+

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 8

SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO 6 : Halla la solucin de los siguientes sistemas, an altica y grficamente:

a)

=+

=+

422

323yx

yx

b)

+=

=

xxy

xy

3

0242

c)

=+=

06

22

xy

xxy d)

=+

=+

73

223

1

yx

yx e)

=+=

062

32

xy

xxy

Solucin: a)

Resolvemos el sistema analticamente: xyyx

yx

yx

yx

yx

yx

=

=+

=+

=+

=+

=+

=+8

8

1832

28

22

618

63

62

422

323

2x +3(8x) = 18; 2x + 24 3x = 18; x = 6 ; x = 6 y = 8 6 = 2 ; Solucin: x = 6; y = 2

Interpretacin grfica:

==+

+====+

xyyx

xxx

yyx

8422

632

32

63

2183

23

Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

b)

Lo resolvemos analticamente:2xx0;x3x2x4

2x4y

x3xy

02x4y222 =+=+

+=

+=

=

==

===

=

+=

21

102

231

2

91

2

811

yx

yx

x

==

==

2y

1x y

10y

2x:

2

2

1

1 Solucin

Interpretacin grfica: 2). 1,( y 10) (2, puntos los en cortan se parbola la y recta La 324

2

+=+=

xxyxy

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 9

c)

Resolvemos analticamente el sistema:06;062

206

222

22

==+=

=+=

xxxxx

xxyxy

xxy

==

===

=

+=

82

33

251

2

251

2

2411

yx

yx

x

==

==

8y

2x y

3y

3x:

2

2

1

1 Solucin

Interpretacin grfica: 8). 2,( y 3) (3, puntos los en cortan se recta la y parbola La 6

22

==xy

xxy

d)

Resolvemos analticamente el sistema:

=+=+

=+

=+

=+

=+

73

12322

736

126

36

22

73

223

1

yx

yx

yx

yx

yx

yx

( ) 143732;37731432 =+=

=+=+ xxxy

yxyx

437137;1;77;211492;149212 =======+ yxxxxxx Solucin: x = 1; y = 4

Interpretacin grfica: 4).(1, punto el en cortan se rectas dos Estas 37733

2141432

==+

==+

xyyx

xyyx

e)

Lo resolvemos analticamente:065;0623

3062

322

22

=+=+=

=+=

xxxxx

xxyxy

xxy

==

===

=

=

22

03

215

2

15

2

24255

yx

yx

x

=

=

=

=

2

2 y

0

3:

2

2

1

1

y

x

y

x Solucin

Interpretacin grfica: 2) 2,( y 0) 3,( puntos los en cortan se recta la y parbola La6232

==

xyxxy

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 10

EJERCICIO 7 : Halla las soluciones de estos sistemas:

a)

=++

+=

xyyx

xy

4

13 b)

=

=

32

03

yxyx

x c)

=+

=+

4

332

yxyx d)

=

=+

3

62

yx

yx

e)

=+

=+

2511

521

yx

yx f)

==+

22

12

ylogxlog

ylogxlog g)

=+=+

6322

lnylnxln

yx

h)

=

=+ 82

022xy

ylogxlog

i) ( )

=+=

1

22

yxlog

xy j)

==++

2

822 1

logxlogylog

yx

k)

==

1

9

ylogxlog

yx l)

==2

322

xy

xy

m)

=+=+

13

213

yx

yx n)

=

=

126111

yxyx )

=+

=

622

02yx

yx

=+

=

6511

12o)

yx

yx

==+

6

13p) 22

xy

yx

+=

=

12

5q)2 yyx

xy

Solucin:

a) xxxx

xy

xyyx

xy

+=++++=

=++

+=

13413

13

4

13 ( )21254;1254 +=++=+ xxxx

1;44;41454 222 ==++=+ xxxxx ;

==

==

41

vlida no1

1

yx

x

x

Hay una solucin: x = 1; y = 4

b)9xx6;3

3

xx2

3

xy

3yx2

0xy3

3yx2

0y

x

x

3

22

22

==

=

=

=

=

=

3326

2

36366;960 2 ===

=+= yxxx Solucin: x = 3; y = 3

c) ( )( ) ( )

( )( )xx

xxxx

xxxx

xy

xx

yx

yx

=

+

=

=

+

=+

=+443

43

442

4

34

32

4

332

;

08113;312328 22 =+=+ xxxxxx

==

===

=

=

=31

34

38

616

6511

6

2511

6

9612111

yx

yx

x

=

=

=

=

3

1 y

3438

:solucionesdosHay2

2

1

1

y

x

y

x

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 11

d) xx

xx

yx

xy

yx

yx

=

+=

=+

=

=

=+

23

326

3

26

3

62 ( ) ( ) 09134;1249;23 2222 =+=+= xxxxxxx

==

==

=

=

=41

vlida no49

818

8513

8

2513

8

14416913

yx

x

x

===

23

49

23

49

23 que puesto vlida, es no 49

solucin La x

La nica solucin del sistema es x = 1, y = 4.

e) ( )

xyxyxy

yx

xyxy

yx

yx

yx 1155

225

522

25

2511521

===

+=

=+

+=

=+

=+

2520;225;2

25 22 +=+=+= xxxxx

x

===

==

=

=

=

221

42

21

2

435

4

95

4

16255

yx

yx

x

=

=

=

=

2

21

y

21

2 :soluciones dosHay

2

2

1

1

y

x

y

x

f) ( )

==+

==+

22222

2212

ylogxlogylogxlog

ylogxlogylogxlog

1005

22

224

===

=

=+

xxlogxlog

ylogxlog

ylogxlog

Sustituyendo en la primera ecuacin este valor, queda: 10112 ===+ yylogylogxlog Por tanto, la solucin es x = 1, y = 10.

g) ( ) ( ) 655

65

622

6322 5

=

=

==+

==

=+= ++

xx

xy

xyyx

lnxylnlnylnxln

yxyx

=

=+==2

2425565065 22 xxxxx

===

====

325y2x

235y3x

2

15

2

15

Hay dos soluciones: x1 = 3, y1 = 2 ; x2 = 2, y2 = 3

h)

=+=

==

==

++ 32228202 2

32

2

2 xyyxylogxlogylogxlog

xyxy 032232322

2

=+=

==

xxxxxy

yx

=

===

=

+=

vlida) (no 3

11

242

2

162

2

1242

x

yxx Hay una nica solucin: x = 1, y = 1

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 12

i) ( ) ( ) 102122

12

22

22

=+=+

=

=+=

yyyylog

xy

yxlogxy

=

==

=

+==+

4

3

271

2

491

2

48110122

y

yyyy

7293 === xy 142164 === xy

Hay dos soluciones: x1 = 7, y1 = 3 ; x2 = 14, y2 = 4

j) x2y2

x

y

822

2logx

ylog

822

2logxlogylog

822y1xy1x

y1x

=

=

=+

=

=+

==+

+++

( ) 8222822 221 =+=++ xxxx ; 082822 :Cambio 22 =+=+= zzzzzx

=

==

=

+=

4

2

262

2

362

2

3242

z

zz

21222 ==== yxz x

vale No424 == xz El sistema tiene una nica solucin: x = 1, y = 2

k)

=

+=

=

+=

=

+=

=

=

yx

yx

yx

yx

yx

log

yx

ylogxlog

yx

10

9

10

9

1

9

1

9 10199109 ====+ xyyyy

1;10 :solucin unaHay == yx

l) 32

23

23 2

22222

=

=

=

== x

xx

y

xy

xyxy ; 430343

4 242422

=== xxxxxx

043 :Cambio 22 == zzzx

=

=====

=

+=

vale no1

2444

253

2

253

2

16932

z

xxzz

12

12

====

yx

yx

1;21;2 :soluciones dosHay

22

11

====

yxyx

m) 2311331

21313

213 =+

==+

=+=+ xx

xyyx

yxyx

113

3313313 =+=+=+ xxxxxx

( ) xxxxxxx +=++=+=+ 222 012111 ( )

==

==+

21

vlida no001

yx

xxx

Hay una nica solucin: x = 1; y = 2

n) ( ) ( )12612612

66

12

6111

=

==

=

=xxxx

yx

xyxy

yx

yx 672026612 22 +== xxxxxx

===

===

=

=

223

46

32

417

4

17

4

48497yx

yxx

2y;2

3x ; 3y;2x :soluciones dosHay 2211 ====

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 13

) ( ) 622622

2

622

02 22

=+

=+

=

=+

= yyyyyx

yxyx Hacemos el cambio: 2y = z

=

==

=

+==+

3

2

251

2

251

2

2411062

z

zzzz

21222 ==== xyz y

vlida no323 == yz Hay una solucin: x = 2; y = 1

y21x) +=o

( )

( ) ( )0623101051266

2152166566

566511

22 =++=+

+=++=+

=+=+

yyyyyy

yyyyxyxy

xyxyyx

===

====52

103

206

32

201723

2024052923

xy

xyy

036x13xx1336x13x

36x

x

6y 2424

22 =+=+=+=p)

03613:As. :Cambio 22 =+= zzzx

==

=====24

39

2513

22513

214416913

xz

xzz

==

==

==

==

32

32

23

23

:4

4

3

3

2

2

1

1

yx

yx

yx

yx

Soluciones

( ) ( ) 1x52x5x 2 +=q) 12101025 +++= xxxx 3,42168 ==== yxxx

SISTEMAS DE ECUACIONES. MTODO DE GAUSS EJERCICIO 8 : Obtn, mediante el mtodo de Gauss, la solucin de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

=++==++

25822723

zyxzyxzyx

b)

=+=+=+

4

832

623

zyx

zyx

zyx

c)

=++=+

=+

62623

42

zyxzyxzyx

d)

=+=+

=+

13232222

zyxzyxzyx

e)

=+=+

=+

3273622

zyxzyxzyx

f)

=+=+

=+

421322

2

zyxzyx

zyx

g)

=+=+=+

627362

zyxzyxzyx

h)

=+=+

=+

92253

72

zyxzyxzyx

i)

===++

11362

zyxzyxzyx

Solucin:

a)

0

1

3

0237

13

29

3

932

155

723

13

12

1

25

822

723

=

=

=

==

=+=

=

=+

=

=++

+

=++

=

=++

z

y

x

yxz

xy

x

yx

x

zyx

zyx

zyx

zyx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 14

b)

=

=+

=+

=+

=+

=+

+

=+

=+

=+

0x7

2zx5

6z2yx3

23

2

1

2zx2

2zx5

6z2yx3

13

12

1

4zyx

8z3yx2

6z2yx3

2z

2y

0x

2z2x36y

2x52z

0x

===

=+=

==

=

c) 1z,1y,3x

14zx2y

3z2x

1z

2z2

2zx

4zyx2

13

12

1

6zyx2

6z2yx3

4zyx2

===

=++=

=+=

=

=

=

=++

++

=++

=+

=+

:Solucin

d)

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

=+

5)(:3

32

1

5z5y5

4z4y5

2zy2x

123

122

1

1z3yx2

2z2yx2

3zy2x

3

1

2

1z3yx2

3zy2x

2z2yx2

1z

0y

2x

2zy23x

0z1y

1z

1zy

1z

3zy2x

===

=+=

=+=

=

=

=

=+

e)

( )

=+

=+

=+

=+

=+

=+

5:3

32

1

1555

1335

622

123

12

1

32

73

622

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

120 :

0246226

2133

12

2

3

22

622

===

==+=

==+=

=

=

=

=

=+

z,y,xSolucin

zyx

zy

z

zy

z

zyx

f)

=

=+

=+

=+

=+

=+

2

354

2

13

122

1

42

1322

2

y

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

11222

15

835

43

2

=+=+=

=+=+=

=

zyx

yz

y

121 : === z,y,xSolucin

g)

=+

=

=+

=+

=+

=+

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

3

372

1

0

1147

62

13

132

1

62

73

62

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 15

h)

=

=

=+

=+

=+

=+

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

3

322

1

52

1252

72

123

12

1

922

53

72

212 :

241727

14525

2

52

2

72

===

==+=

=+=+=

=

=

=

=+

z,y,xSolucin

zyx

zy

z

zy

z

zyx

i)

=

=

=++

=

=

=++

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

3

322

1

732

534

62

13

12

1

1

13

62

311 :

161626

12

97237

339

732

93

62

===

=+==

=

+=

+=

==

=

=

=++

z,y,xSolucin

zyx

zy

z

zy

z

zyx

INECUACIONES EJERCICIO 9 : Resuelve:

21

23

12a)

++

x

xx f) .

7Resuelve 0

3x

x++++

g) 22 5 2 16x x x+ + + + h) 22

0xx++++ i) 2 3 6 8 2x x x+ > + > + > + >

Solucin:

( ) ( )1x3x6121x22) + x21>

+ >

2Resolvemos la ecuacin 5 14 0:x x+ = 2

5 25 56 5 92 2

7

x + = =

Solucin: x (-,-7) U (2,+)

-7 2

EJERCICIO 10 : Resuelve e interpreta grficamente: a) 2x 3 < 5 b) 042 x c) 513 >+ x d) x2 ++++ x 6 0 e) 2x ++++ 4 2 f) 2x ++++ 1 > 5 Solucin: a) Resolvemos la inecuacin: 482532

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 17

c) Resolvemos la inecuacin: 26363513 + xxxx

}{ ( )22 : ,x/xSoluciones =< La interpretacin grfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y = 3x + 1, va por

encima de la recta y = 5; es decir, 3x +1>5:

d)

=

==

=

+==+

3

2

251

2

251

2

2411062

x

x

xxx

La parbola y = x2 + x 6 corta al eje X en 3 y en 2. En el intervalo [3, 2], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuacin son los puntos del intervalo [3, 2].

e) Resolvemos la inecuacin: 2x + 4 2 2x 6 2x 6 x 3

Soluciones: { x / x 3 } = [3, + ) La interpretacin grfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta y = 2x + 4 va por debajo (coincide) con la recta y = 2. Es decir, 2x + 4 2

f) Resolvemos la inecuacin: 2x + 1 > 5 2x > 6 x > 3 Soluciones: {x / x > 3} = (3, +) Interpretacin grfica: para valores de x mayores que 3, la recta y = 2x + 1

va por encima de la recta y = 5. Es decir, 2x + 1> 5.

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 18

SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones :

a) ( )

++

642

0214

x

x b)

>++ 7} = {x / 7 < x < 2} = (7, 2)

c) ( )

( ) 21

6322

09330121

09130121

>

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 19

EJERCICIO 13 : Se mezcla cierta cantidad de caf de 1,2 euros/k g con otra cantidad de caf de 1,8 euros/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/k g. Cuntos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Solucin: Llamamos x a la cantidad de caf utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. As: x + y = 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla) 1,2x + 1,8y = 60 1,4 (este es el precio total de la mezcla)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

=+=

=+=+

84)60(8,12,1

60

848,12,1

60

xx

xy

yx

yx

204060x60y40x24x6,010884x8,1x2,184x8,1108x2,1 =======+ Se han utilizado 40 kg del primer tipo y 20 kg del segundo tipo. EJERCICIO 14 : La edad de un padre hace dos aos era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once aos, el padre tendr el doble de la edad del hijo. Cul es la edad actual de cada uno? Solucin: Llamamos x a la edad actual del padre e y a la edad actual del hijo. As:

Hace dos aos, la edad del padre era el triple de la edad del hijo: ( )232 = yx Dentro de once aos, el padre tendr el doble de edad que el hijo: ( )11211 +=+ yx

Resolvemos el sistema de ecuaciones:( )( )

+=+=

+=+=

+=+=

2221143

43

22211

632

11211

232

yy

yx

yx

yx

yx

yx

414454y3x15y11422y2y3 ====+= El padre tiene 41 aos y el hijo, 15 aos. EJERCICIO 15 : Un grifo tarda en llenar un estanque dos horas m s que otro grifo. Si se abren los dos grifos a la vez, el estanque se llena en 2,4 ho ras. Cunto tiempo tardar el primer grifo en llen ar el estanque? Y el segundo grifo solo? Solucin: Llamamos x a las horas que tarda uno de los grifos en llenar el estanque. Como el otro grifo tarda dos horas ms, tardar x + 2. Es decir:

estanque del 2x

1 llena hora una enhoras 2grifo 2

estanque del x1

llena hora una enhoras grifo 1er

++

x

x

o

Entre los dos llenan, en una hora: estanque del 2

11+

+xx

Como los dos grifos juntos tardan 2,4 horas en llenar el estanque, en una hora llenarn estanque. del 4,2

1

Por tanto:4,2

12

11 =+

+xx

Resolvemos la ecuacin: ( ) ( ) 8,4x8,2x0x2xx4,28,4x4,22xxx4,22x4,2 22 =+=+++=++

==

==+=vale) (no 2,1

4

22,58,2

204,278,2

22,1984,78,2

x

xx

Uno de los grifos tardara 4 horas en llenarlo y el otro grifo tardara 6 horas.

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 20

EJERCICIO 16 : Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cad a uno pone 15 euros, faltan 20 euros. Cuntos amigos son y cul es el precio total que tienen que pagar? Solucin: Llamamos x al nmero de amigos e y al precio total de la cena. Si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros, es decir: 20x 5 = y Si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros, es decir:15x + 20 = y

Resolvemos el sistema de ecuaciones:5255

20155202015520

==+=

=+=

xx

xxyx

yx

Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros.

EJERCICIO 17 : Averigua un nmero sabiendo que la suma del dobl e de su inverso ms el triple de

dicho nmero da como resultado .2

25

Solucin:

Llamamos x al nmero buscado y planteamos la ecuacin:2

253

2 =+ xx

xx 2564 2 =+ 04256 2 =+ xx

==

=

=

=

=

61

122

4

122325

12

52925

12

9662525

x

x

x 61

y 4 :soluciones dosHay

EJERCICIO 18 : Un grupo de amigos tiene que pagar una factura d e 500 euros. Si fueran dos amigos ms, cada uno de ellos tendra que pagar 12,5 euros menos. Cuntos amigos son? Solucin:

euros. 500

pagar que tiene uno Cada amigos. de nmero al x Llamamosx

Si fueran x + 2 amigos (dos amigos ms), cada uno tendra que pagar:

menos) euros 12,5 ( euros 512500

,x

( ) 5005125002 euros, 500 son total en Como =

+ ,x

x

Resolvemos la ecuacin: 500250001

5,12500 =+x

x 0250001

5,12 =+x

x

02500015,12 2 =+ xx 00001255,12 2 =+ xx

=

==

=

+=

vale) (no 10

8

2522525

25

5062525

25

5000062525

x

x

x

Son, por tanto, 8 amigos. EJERCICIO 19 : Cristina tiene 8 aos ms que Carlos, y hace 2 a os tena el doble de edad que l. Cuntos aos tiene actualmente cada uno? Solucin: Llamamos x a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la informacin:

La edad de Cristina hace 2 aos era el doble que la de Carlos, es decir: ( )226 =+ xx Resolvemos la ecuacin: 426 =+ xx 10 = x Por tanto, Carlos tiene 10 aos y Cristina, 18.

9551005x20y ===

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 21

EJERCICIO 20 : En un examen tipo test, que constaba de 40 pregu ntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valor con un punt o, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuacin total que obtuvo Pablo f ue de 32,5 puntos, cuntas preguntas acert? Solucin:

Llamamos x al nmero de preguntas que acert.

xx

40Fall Acert

:As

Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuacin total fue: ( ) 5,32x405,0x =

Resolvemos la ecuacin: 5,32x5,020x =+ 5,52x5,1 = 355,1

5,52x ==

Por tanto, acert 35 preguntas. EJERCICIO 21 : Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastndose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenan un 1 5% de descuento, y otro de ellos tena un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mi smo, cunto ha tenido que pagar por cada jersey? Solucin: Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos. Los que tienen un 15% de descuento valdrn ahora 0,85x. El que est rebajado un 20% costar 0,8x. Por tanto, el total que ha pagado es: 3 0,85x + 0,8x + x = 108,75

2,55x +0,8x + x =108,75 4,35x = 108,75 euros 2535475108

==,,

x

Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros. El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros. Por cada uno de los tres que tenan rebaja de un 15% ha tenido que pagar 21,25 euros. EJERCICIO 22 : Un comerciante compr dos artculos por 30 euros y los vendi por 33,9 euros. En la venta del primer artculo obtuvo un 10% de benefici o y en la venta del segundo artculo gan un 15%. Cunto le cost cada uno de los artculos? Solucin: Llamamos x al precio del primer artculo e y al precio del segundo. As:

( ) 933301511130

93315111

30

,x,x,

xy

,y,x,

yx

=+=

=+=+

12;6,005,0;9,3315,15,341,1 ===+ xxxx ; .y 181230 == El primer artculo le cost 12 euros y el segundo, 18.

EJERCICIO 23 : La suma de dos nmeros es 12 y la de sus inverso s es 83

. Cules son esos

nmeros?

Solucin: Llamamos x e y a los nmeros que buscamos.

As:( ) ( )xxxx

xy

xyxy

yx

yx

yx

=+

=

=+

=+

=+

=+

1238128

12

388

12

8311

12

096363;3368896 22 =+=+ xxxxxx

==

===

=

==+

84

48

2412

2

1612

2

12814412;032122

yx

yx

xxx

Los nmeros son el 4 y el 8.

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 22

EJERCICIO 24 : Alberto compr 3 bolgrafos y 2 cuadernos, pagan do en total 2,9 euros. Una semana despus, los bolgrafos tenan un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habra tenido que pagar 2,42 euros. Cunto le cost a Alberto cada bolgrafo y cunto cada cuaderno? Solucin: Llamamos x al precio de cada bolgrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja.

As:2

39,242,27,14,2

9,22342,2285,038,0

9,223 xyyx

yxyx

yx =

=+=+

=+=+

4222

3927142 ,

x,,x, =

+ 4222

1593442 ,

x,,x, =

+ 84,41,593,48,4 =+ xx 09030 ,x, =

130 == y,x Antes de la rebaja, cada bolgrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro. EJERCICIO 25 : En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envo que hacen; pero si el envo es defectuoso, pierden por l 8 euros. En un da hicieron 2 100 envos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. Cuntos envos vlidos y cuntos def ectuosos hicieron ese da? Solucin: Llamamos x al nmero de envos vlidos e y al nmero de envos defectuosos. As:

( ) 68891002861002

6889861002

=

=

==+

xx

xy

yxyx

8921;4882614;68898800166 ===+ xxxx ; 20889211002 ==y Por tanto, el nmero de envos vlidos fue de 1 892 y el de envos defectuosos, 208. EJERCICIO 26 : Se mezcla cierta cantidad de caf de 6 euros/kg con otra cantidad de caf de 4 euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que e l precio del caf mezclado es de 4,5 euros/kg, cuntos kilogramos se han mezclado de cada clase? Solucin: Llamamos x a la cantidad de caf (en kg) del primer tipo e y a la cantidad de caf (en kg) del segundo

tipo. As: ( ) 368468

3646

8

85446

8

=+=

=+=+

=+=+

xx

xy

yx

yx

,yx

yx

6282;42;364326 =====+ yxxxx Se han mezclado 2 kg de caf de 6 euros/kg con 6 kg de caf de 4 euros/kg.

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