x (sen x - ? Hay que encontrar la funcin F( que cumpla que x) ... x 8 A(x 2) B(x 1 si x = 1: 9 =

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    19-Sep-2018

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Anlisis Matemtico. Integrales 1 Jos Mara Martnez Mediano Problemas y preguntas de tipo test Integrales indefinidas 1. Calcula las siguientes integrales: a) dxxxxx 432 32 b) dxxxx 4 33 c) dxxx 2)(sincos d) dxxx 244 Solucin: a) Se escribe el integrando como se indica: dxxxxx 432 32 = dxxxxxxx 4342432 = cxxxdxxxx ln31132 223 b) dxxxx 4 33= dxxxxx 4 334 3 = cxxdxxx 12/74/312/54/1 71234 c) Ajustando constantes: dxxx 2)(sincos = cxxdxx 32 sin31cos)(sin331 d) dxxx 244 = cxxdxxx 423 244 2. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) dxxx232 b) dxxx 21 c) dxx 3)(sen d) dxx 232 Solucin: a) Ajustando constantes: dxxx232 = cxdxxx 2ln312331 332b) dxxx 21 puede hacerse directamente (es inmediata). dxxx 21 = dxxx ))1(2(21 2/12 = cxcx 2/322/32)1(312/3)1(21 c) xdx3sen = dxxxxdxx )cos1(sensensen 22 = = cxxxdxxxdx 3coscoscossensen32 d) Se opera en el integrando: dxx 232 = cxxxdxxx 322 3649124 Anlisis Matemtico. Integrales 2 Jos Mara Martnez Mediano 3. a) Comprueba que xxxxx 32111 . b) Calcula la integral indefinida: dxxx31 . Solucin: a) xxxxxxxxxxx 322222111111 . b) Por lo visto: dxxx31 = cxxdxxxx )1ln(21ln11 22 4. Calcula las siguientes integrales: a) dxxx313 b) xdxx ln2 Solucin: a) Dividiendo el integrando (puede hacerse por Ruffini), se tiene: dxxx313 = dxxxx328932 = cxxxx )3ln(28923323b) La integral xdxx ln2 se hace por partes. Tomando: xu ln y xdxdv 2 dxxdu 1 ; 2xv Luego, xdxx ln2 = xdxxx ln2 = cxxx 2ln22 5. Calcula las siguientes integrales: a) dxx 34cos b) dxxx 3 24 c) dxex52 d) )ln4( xxdx (cambio: xt ln ) Solucin: a) dxx 34cos = dxx 34cos441 = cx 34sin41 b) Es una integral inmediata. Basta con ajustar constantes. dxxx 3 24 = dxxx 1/324221 = cx 13/1421 13/12 = cx 3 42483 c) dxex52 = dxe x2)2()2(151 = ce x 2101 Anlisis Matemtico. Integrales 3 Jos Mara Martnez Mediano d) Si xt ln dxxdt 1 . Por tanto, )ln4( xxdx = dxxx1)ln4(1 = dtt41 = cxct ln4ln4ln 6. Halla la primitiva de xxxf ln1)( que pasa por el punto (1, 3). Solucin: Hay que encontrar la funcin dxxxxF ln1)( que cumpla que 3)1( F . En primer lugar puede escribirse dxxx ln1 = xdxxxdx ln . En la segunda integral se hace xxu ln dxxdu )1(ln dxdv v = x Luego, xdxx ln = dxxxxxx )ln(ln2 = dxxxdxxxx lnln2 xdxx ln2 = 2ln22 xxx De donde, xdxx ln = 4ln21 22 xxx Por tanto: dxxxxF ln1)( = xdxxxdx ln = cxxxx 4ln212222 = cxxx 43ln21 22 . Si se desea que 3)1( F 34131ln121 22 c 49433 c . La primitiva buscada es 4943ln21)(22 xxxxF 7. Calcula la integrales indefinidas: a) dxxxx282 b) 422xdx . Solucin: Ambas pueden hacerse por el mtodo de descomposicin en fracciones simples. a) dxxxx282 . Como las races del denominador son x = 1 y x = 2: )2)(1(22 xxxx , se tiene la igualdad: 21282 xBxAxxx =)2)(1()1()2(xxxBxA Luego: )1()2(8 xBxAx si x = 1: 9 = 3A A = 3 si x = 2: 6 = 3B B = 2 Anlisis Matemtico. Integrales 4 Jos Mara Martnez Mediano Con esto: dxxdxxdxxxx2213282 = cxLxL )2(2)1(3 b) 422xdx . Como: 22422 xBxAx=4)2()2(2 xxBxA )2()2(2 xBxA 2220BABA 21A y 21B Luego, cxxdxxxxdx 2ln212ln2122/122/1422 8. Halla la integral indefinida dxx 11 mediante el cambio de variable tx . Solucin: Si tx dtdxx21 tdtdtxdx 22 . Por tanto, dttdtttdttttdttdxx 12212)1(21221111 = ctt )1ln(22 = = (deshaciendo el cambio) = cxx 1ln22 Anlisis Matemtico. Integrales 5 Jos Mara Martnez Mediano Integrales definidas 9. Halla el valor de: a) 3 2 539 dxx b) dxxx 3021 c) 1 0 13 2 dxxe x Solucin: a) 6)12(6536539 3232 xdxx b) dxxx 3021 = 371311221 302/32302 xdxxx c) Ajustando constantes: 1 0 13 2 dxxe x = eeedxxe xx 210131 0 136161661 22 10. Calcula el rea de la regin limitada por xy 4 , el eje OX y las rectas x = 1, x = 4. Solucin: La funcin xy 4 , que es una hiprbola equiltera, puede trazarse dando algunos puntos: (0,5, 8); (1, 4); (2, 2); (4, 1); (8, 0,5). La regin es la sombreada en la grfica adjunta. El rea viene dada por la integral definida: 4ln4ln44 414 1 xdxx 11. Calcula el rea de la regin limitada por la funcin xy 4 y la recta que pasa por los puntos (1, 4) y (4, 1). Solucin: La recta que pasa por los puntos (1, 4) y (4, 1) de la curva tiene por ecuacin : 414141 yx 5 xy . El recinto es el sombreado en la figura adjunta. El rea de esa regin viene dada por la integral definida: 4ln4215ln425454124 1 xxxdxxx Anlisis Matemtico. Integrales 6 Jos Mara Martnez Mediano 12. Calcula el rea comprendida entre las parbolas 12 xxy , xxy 22 . Solucin: El rea es la del recinto sombreado en la figura adjunta. (Como las grficas son parbolas pueden trazarse fcilmente). Las curvas se cortan en x = 1 y en x = 1/2, que son las soluciones del la ecuacin: xxxx 21 22 Luego: 2/1122/1122 )132())1(2( dxxxdxxxxxS = = 24123322/1123 xxx 13. Halla el rea del recinto plano comprendido entre las grficas 2xy e xy . Solucin: El recinto plano comprendido entre las grficas 2xy e xy , que puede trazarse dando algunos valores, es el adjunto. 3131323321032/31 0 2 xxdxxxS 14. Halla la superficie del recinto plano encerrado entre la curva dada por la funcin xxexf )( y el eje OX, en el intervalo [2, 0]. Solucin: En el intervalo considerado, el signo de la funcin es negativo, por tanto, la superficie buscada viene dada por: 0 2 dxxeS x La integral dxxex la haremos por partes. Tomando: u = x y dxedv x dxdu ; xev Se tiene: dxxex = dxexe xx = xx exe Luego: 0 2 dxxeS x = 202 31 eexe xx (La grfica no es imprescindible). 15. Calcula el rea encerrada entre la curva de la funcin xxxf2)(2 y el eje OX, en el intervalo [0, 2]. Solucin: Como en el intervalo de integracin la funcin es positiva, el rea pedida es: 22ln42ln44ln42)2ln(42224222022 0 2 0 2 xxxdxxxdxxxA Anlisis Matemtico. Integrales 7 Jos Mara Martnez Mediano 16. Calcula el rea encerrada entre las curvas dadas por las funciones 2)( xxf y xxxxg 22)( 23 . Solucin: Para determinar el rea interesa conocer los puntos de corte de las curvas y saber qu curva va por encima de la otra entre esos puntos de corte. Tambin es conveniente hacer un esquema grfico de la situacin. Puntos de corte: )()( xgxf xxxx 22 232 023 23 xxx 0)23( 2 xxx 0)2)(1( xxx Las curvas se cortan cuando x = 0, x = 1 y x = 2. Posicin de las curvas en los intervalos (0, 1) y (1, 2). Se hace la diferencia )()( xfxg , que es )2)1()()( xxxxfxg . Luego: Si 0 < x < 1, 0))()(()2)1()()( xxxxfxg )(xg va por encima de )(xf Si 1 < x < 21, 0))()(()2)1()()( xxxxfxg )(xg va por debajo de )(xf Por tanto, el rea pedida viene dada por 2 1 1 0 )()()()( dxxgxfdxxfxgS 2 1 231 0 23 2323 dxxxxdxxxxS = = 214141442123410234 xxxxxx El esquema grfico, que puede obtenerse calculando y representando algunos puntos de las curvas, es el adjunto. 17. El rea de la regin plana limitada por la curva xxy cossin 2 y el eje OX en el intervalo [0, /2] vale: a) 1/3 b) 1 /4 c) Ninguna de las anteriores Solucin: Como la funcin es positiva en el intervalo de estudio, la superficie buscada es: 2/ 0 2 cossin xdxxS 310sin2sin31sin31 2/03 x La respuesta es a). 18. El rea del recinto limitado por las curvas de ecuacin 2xy e xy , vale: a) 61 b) 31 c) Ninguna de las anteriores. Solucin: Las curvas pueden representarse dando valores. Son las adjuntas. Por tanto: Anlisis Matemtico. Integrales 8 Jos Mara Martnez Mediano 3132)(21032102 xxdxxxS La respuesta es b). 19. El rea de la regin plana limitada por la curva xy 2sin y el eje OX en el intervalo [0, ] vale: a) 0 b) 2 c) Ninguna de las anteriores Solucin: La funcin corta en los puntos x = 0, x = /2 y x = . Luego: 2/ 0 2sin 2 xdxS 22cos2122/0x 20. El rea encerrada entre la curva xy 1 y el eje OX, entre x = 1 y x = e2, vale: a) e2 1 b) 4 e c) Ninguna de las anteriores. Solucin: El recinto es el sombreado de la figura adjunta. (No es necesario dibujarlo, pues la funcin es positiva en el intervalo de integracin). El rea es: 21lnlnln1 211 22 exdxxeeLa respuesta es c). Anlisis Matemtico. Integrales 9 Jos Mara Martnez Mediano Integrales impropias 21. Halla: a) 2 0 1 dxx b) 8 0 31 dxx c) 02)4(1 dxx d) 02)3(1 dxxSolucin: a) Es impropia (no es continua en x = 0). 2 0 1 dxx= 22222210202 0 tlmxlmdxxlm ctttt b) Es impropia (no es continua en x = 0). 8 0 31 dxx= 8 3/10 ttdxxlm = 682323 3 23 2083/20 tlmxlmttt c) 02)4(1 dxx=41414141)4(1002 blmxlmdxxlm bbbbb d) 02)3(1 dxx=31313131)3(1002 blmxlmdxxlm bbbbb 22. La integral impropia 2/ 0tan xdx es: a) Convergente. b) Divergente. c) Ninguna de las anteriores. Solucin: La discontinuidad se produce en /2. Por tanto: 2/ 0tan xdx = ccxdxlm0 )2/(tan ccdxxxlm0)2/( cossin = 1ln0ln)0coslncosln())ln(cos(2/82/clmxlmccc La respuesta es b). 23. La integral 2 21 dxx: a) Converge a 1. b) Converge a 1/2. c) Es divergente. Solucin: 2 21 dxx= ttdxxlm2 212121112 tlmxlmttt La respuesta es b). Anlisis Matemtico. Integrales 10 Jos Mara Martnez Mediano 24. La integral impropia 2 121 dxxa) Converge a 1/2. b) Es divergente. c) Ninguna de las anteriores. Solucin: La funcin 21)(xxf es discontinua en x = 0, luego: 2 121 dxx = 20201211 dxxdxx; las dos integrales del segundo miembro son divergentes. La primera es: 0 1 21 dxx = ttdxxlm1 201 111010 tlmxlmttt La respuesta es b). 25. La integral impropia 1 1 dxx a , donde a > 0: a) Converge siempre. b) Diverge siempre. c) Ninguna de las anteriores. Solucin: 1 1 dxx a =aaablmaxlmdxxlm abbabbab11111 1 La respuesta es a). 26. La integral impropia 2 0 1 dxx: a) Converge a 2. b) Converge a 22 c) Es divergente Solucin: 2 0 1 dxx = 22)2222102020 tlmxlmdxxlm ttttt La respuesta es b). 27. El rea del recinto limitado por los ejes de coordenadas y la curva xey viene dada por 0 dxe x . Su valor es: a) 1 b) e1 c) No es convergente: vale . Solucin: 1)()( 0000 eelmelmdxelmdxe tttxttxtx La respuesta es a). Anlisis Matemtico. Integrales 11 Jos Mara Martnez Mediano 28. El valor de 0 dxxe x es: a) +1 b) c) Ninguna de las anteriores. Solucin: 0 dxxe x = 11)()(00 bbbbxxbbxbebelmexelmdxxelm La integral definida se hace como sigue. Tomando: u = x y dxedv x dxdu ; xev Luego: dxxe x = dxexe xx = cexe xx La respuesta es a). 29. La integral 1 2 dxe x : a) Converge a 2e . b) Converge a 2e . c) Es divergente Solucin: 1 2 dxe x = 22121212 )( eeelmelmdxelm tttxttxt La respuesta es b). 30. La integral impropia 1 2dxx p , converge si: a) p > 1 b) 0 < p < 2 c) Ninguna de las anteriores. Solucin: 1 2dxx p = 1111111 1 2ppblmpxlmdxxlmpbbpbbpb Este lmite existe cuando 0 < p < 1. (Si p > 1, 1pb ). La respuesta es c). Anlisis Matemtico. Integrales 12 Jos Mara Martnez Mediano Matemticas Empresariales I Las integrales que siguen se han propuesto en exmenes de licenciatura (Hoja 6.2) 1. (E11) Dadas las funciones )ln()( xxf y xxg 21)( , halla el rea del recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las grficas de f(x) y g(x). Solucin: El recinto determinado por las funciones dadas es el sombreado en la figura adjunta. (Tanto la funcin logartmica como la recta son de representacin inmediata.) El rea viene dada por la integral: dxxx 2 1 )21(ln = = dxxdxx 2 1 2 1 )21(ln = = 2122ln xxxx = 12ln2 La primitiva )ln()( xxf se encuentra por partes, haciendo: xu ln dxxdu 1 dxdv v = x De donde: xxxdxxxdxx lnlnln La primitiva xxg 21)( es inmediata: 2)21( xxdxx . 2. (E10) El valor de adxx1 3 38 : a) Si a = 2 b) Si a = 2 c) Para ambos valores de a; esto es, si a = 2 Solucin: Una primitiva del integrando es inmediata. Basta con escribir: dxxdxx 33 88 = 22 428xx Por tanto; adxx1 3 38 31444212 axa 3442 a a = 2. La respuesta es a). Otra solucin puede ser a = 2, aunque hay que descartarla, ya que la funcin 38)(xxf no es continua en el intervalo [2, 1]. (Resultara una integral impropia.) 3. (S09) El rea del recinto limitado por 14)(2xxf y el eje OX en el intervalo [0, p], vale 38 si: Anlisis Matemtico. Integrales 13 Jos Mara Martnez Mediano a) p = 1 b) p = 2 c) Ninguna de las anteriores Solucin: La funcin es positiva que en el intervalo de integracin. Por tanto, el rea buscada vale: ppxxdxxpp 12121430302 38123 pp 032123 pp p = 2 La respuesta es b). 4. (F09) El rea comprendida entre las dos parbolas 2xy e 32 2 xy , vale: a) 427 b) 4 c) Ninguna de las anteriores, su valor es: ______ Solucin: La regin es la sombreada en la siguiente figura. Las curvas se cortan en los puntos (1, 1) y (1, 1), que son las soluciones del sistema 32 22xyxy Como 2xy va por debajo de 32 2 xy en el intervalo (1, 1), el rea viene dada por: 4)2(23)33()32( 1131121122 xxdxxdxxxA La respuesta es b). 5. (S08) La superficie finita comprendida ente la grfica de 44)( 2 xxxf y los ejes de coordenadas vale: a) 4/3 u2 b) 8/3 u2 c) 16/3 u2 Solucin: Hay que trazar la curva para comprobar que la funcin no corta al eje en el intervalo de integracin. (Tambin podra indicarse que 22 244)( xxxxf nunca es negativa). Por tanto: 38423)44(2023202 xxxdxxxS u2 La respuesta es b). 6. F08. Haz un esbozo de la funcin xxxxf 96)( 23 y calcula el rea encerrada entre la curva de )(xf y el eje OX. Solucin: xxxxf 96)( 23 09123)( 2 xxxf x = 1; x = 3. Si x < 1, )(xf > 0 )(xf crece. Si 1 < x < 3, )(xf < 0 )(xf decrece En x = 1 hay mximo. Si x > 3, )(xf > 0 )(xf crece En x = 3 hay mnimo. Algunos valores: (1, 1), (0, 0), (1, 4), (3, 0), (4, 4) El esbozo es el siguiente. La funcin corta al eje en los puntos x = 0 y x = 3; por tanto, el rea Anlisis Matemtico. Integrales 14 Jos Mara Martnez Mediano pedida vale 3 0 23 )96( dxxxxS = 427292430234 xxx 7. (F07) La curva 122 xxy y la recta de ecuacin 22 xy limitan un recinto finito en el plano cuya rea es: a) 4/3 b) 7/3 c) Ninguna de las anteriores, su valor es ____ Solucin: Como tanto la parbola como la recta pueden dibujarse dando valores, el esquema grfico no presenta dificultades. Se obtiene la figura adjunta; el recinto es el coloreado. El rea viene dada por: 312312 )34())12(22( dxxxdxxxx = 3123323 xxx = 3432310 La respuesta es a). 8. (S07) La curva 122 xxy y la recta que pasa por los puntos A(1, 0) y B(3, 4) limitan un recinto finito en el plano, cuya rea vale: a) 2 unidades cuadradas (u2) b) 5/3 u2 c) 4/3 u2. Solucin: La recta que pasa por los puntos A(1, 0) y B(3, 4) es: 040131 yx 22 xy Como tanto la parbola como la recta puede dibujarse dando valores, el esquema grfico no presenta dificultades. Se obtiene la figura siguiente; el recinto es el coloreado. El rea viene dada por: 3123312312 323)34())12(22( xxxdxxxdxxxx = 3432310 La respuesta es c). Anlisis Matemtico. Integrales 15 Jos Mara Martnez Mediano 10. (F06) El rea del recinto plano encerrado entre la curva de ecuacin xxy 42, y el eje OX, vale: a) 2/5 b) 8/3 c) Ninguna de las anteriores, el rea vale _____ Solucin: El rea encerrada curvas es la sombreada. 388126421244023402 xxdxxxA u2 La respuesta es b). 11. (F05) El rea encerrada entre las grficas de la recta 2 xy y la parbola 2xy , vale: a) 47 u2 b) 411 u2 c) Ninguna de las anteriores, su valor es: ____ Solucin: El rea encerrada entre ambas curvas es la sombreada en la siguiente figura. La parbola y la recta se cortan en los puntos las soluciones del sistema 22xyxy, que son (1, 1) y (2, 4); puntos de abscisas x = 1 y x = 2. Por tanto, el rea pedida viene dada por la integral 2931221384232222132212 xxxdxxx u2 La respuesta es c).

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