x 2 1. x 0 2 x 2-1 (2x-1) ? donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, hallar un

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    DerivadasSelectividad CCNN Madrid

    1. [2014] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) limx0

    1-2x-ex+sen(3x)x2

    ; b) limx

    5x2+2 (x-6)

    x2-1 (2x-1)

    2. [2014] [JUN-B] Dada la funcin f(x) = a+ln(1-x) si x < 0

    x2e-x si x 0 (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide:

    a) Calcular limx

    f(x) y limx-

    f(x).

    b) Calcular el valor de a para que f(x) sea continua en todo .c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f', donde sea posible.

    3. [2013] [EXT-A] Dada la funcin f(x) = 4x-4

    + 272x+2

    , se pide:

    a) Hallar las asntotas de su grfica.b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexin.c) Esbozar la grfica de la funcin.

    4. [2013] [EXT-B] Dada la funcin f(x) = e1/x, se pide:a) Calcular lim

    x+f(x), lim

    x-f(x) y estudiar la existencia de lim

    x0f(x).

    b) Esbozar la grfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimeinto y decrecimiento de f(x) y sus asntotas.

    5. [2013] [JUN-A] Dada la funcin f(x) = x3

    (x-3)2, se pide:

    a) Hallar las asntotas de su grfica.b) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.

    6. [2012] [EXT-A] Dada la funcion f(x) = 3x+A si x 3

    -4+10x-x2 si x > 3 , se pide:

    a) Hallar el valor de A para que f(x) sea continua. Es derivable para ese valor de A?b) Hallar los puntos en los que f'(x) = 0.c) Hallar el maximo absoluto y el mnimo absoluto de f(x) en el intervalo [4,8].

    7. [2012] [JUN-A] Hallar a, b, c de modo que la funcion f(x) = x3+ax2+bx+c alcance en x = 1 un maximo relativo de valor 2, y tengaen x = 3 un punto de inflexion.

    8. [2012] [JUN-B] Dadas las funciones f(x) = 3x+ln(x+1)

    x2-3, g(x) = (ln x)x, h(x) = sen(-x), se pide:

    a) Hallar el dominio de f(x) y el limx+

    f(x).

    b) Calcular g'(e).c) Calcular, en el intervalo (0,2), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de losextremos relativos de h(x).

    9. [2011] [EXT-B] Dada la funcin f(x) =

    e1/x si x < 0k si x = 0

    cosx-1senx

    si x > 0 hallar el valor de k para que f sea continua en x = 0. Justificar la

    respuesta.

    10. [2011] [JUN-A] a) Calcular el siguiente lmite: limx+

    x

    x+ x.

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    b) Demostrar que la ecuacin 4x5+3x+m = 0 solo tiene una raz real, caulquiera que sea el nmero m. Justificar la respuestaindicando qu teoremas se usan.

    11. [2011] [JUN-B] Dada la funcin f(x) = ax4+1

    x3, se pide:

    a) Determinar el valor de a para el que la funcin posee un mnimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntosen los que f tiene un extremo relativo.b) Obtener las asntotas de la grfica de f(x) para a = 1.c) Esbozar la grfica de la funcin para a = 1.

    12. [2010] [EXT-A] Calcular los lmites: limx0

    (1+arctan x)a/x ; limx

    3x+2ex

    7x+5ex.

    13. [2010] [EXT-B] Los puntos P(1,2,1), Q(2,1,1) y A(a,0,0) con a > 3, determinan un plano que corta a los semiejes positivos de OY yOZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y elorigende coordenadas tenga volumen mnimo.

    14. [2010] [JUN-A] Dada la funcin: f(x) =x2+2

    x2+1, se pide:

    a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).b) Hallar los puntos de inflexin de la grfica de f(x).c) Hallar las asntotas y dibujar la grfica de f(x).d) Hallar el rea del recinto acotado que limitan la grfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas y = x+2, x = 1.

    15. [2010] [JUN-B] Dada la funcin: f(x) = xlnx2x

    si x > 0

    x+k si x 0 , donde ln x significa logaritmo neperiano de x, se pide:

    a) Determinar el valor de k para que la funcin sea continua en .b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.c) Obtener la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin en el punto de abscisa x = 1.

    16. [2009] [EXT-A] Dada la funcin f(x) =

    ln(1+ax)-bxx2

    si 1+ax > 0 y x 0

    - 12

    si x = 0, se pide:

    a) Hallar los valores de los parmetros a, b para los cuales la funcin f es continua en x = 0.b) Para a = b = 1 estudiar si la funcin es derivable en x = 0, aplicando la definicin de derivada.

    17. [2009] [EXT-B] a) Dada la funcin f(x) = x1-x2

    , hallar el punto o los puntos de la grfica de f(x) en los que la pendiente de la recta

    tangente sea 1.b) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto x = 0.c) Sea g una funcin derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2. Demostrar que existe almenos un punto c en el intervalo (0,2) tal que g'(c) = 1.

    18. [2008] [JUN-A] Estudiar los siguientes lmites:(a) lim

    x+ex-x2 .

    (b) limx+

    4x+5x

    3x+6x

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    19. [2008] [JUN-A] Obtener los mximos y mnimos relativos, y los puntos de inflexin de la funcin:f(x) = x ln(x) 2

    siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x.

    20. [2007] [JUN-A] Se considera la funcin f(x) = x2+m, donde m>0 es una constante.a) Para cada valor de m hallar el valor de a>0 tal que la recta tangente a la grfica de f en el punto a,f(a) pase por el origen decoordenadas.b) Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente ala grfica de f(x).

    21. [2007] [JUN-B] Dibujar la grfica de la funcin f(x) = |x|2-x

    indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y

    asntotas.

    22. [2006] [EXT-A] a) Calcular los valores de a y b para que la funcin f(x) = 3x+2 si x < 0

    x2+2acosx si 0 x < ax2+b si x

    sea continua para todo valor

    de x.b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior.

    23. [2006] [JUN-A] a) Dibujar la grfica de la funcin f(x) = 2xx+1

    indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y

    asntotas.

    b) Demostrar que la sucesin an= 2nn+1

    es montona creciente.

    c) Calcular limx

    n2 an+1-an .

    24. [2005] [EXT-A] Dada la funcin f(x) = 1x

    , se pide:

    a) Hallar la ecuacin de la recta tangente a su grfica en el punto a,f(a) , para a > 0.b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en a) con los dos ejes coordenados.c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mnima.

    25. [2005] [EXT-B] Dada la funcin f(x) = ln x2

    x-1 donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, hallar un punto a,f(a) tal

    que la recta tangente a la grfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.

    26. [2005] [JUN-B] Calcular los siguientes lmites:a) lim

    xx2+x - x2-x .

    b) limx

    x arctg ex - 2

    .

    27. [2004] [EXT-A] Sabiendo que una funcin f(x) tiene como derivada f'(x) = (x-4)2 x2-8x+7 :a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.b) Hallr los mximos y mnimos relativos de f.c) Es el punto x = 4 un punto de inflexin de f? Justificar razonadamente la respuesta.

    28. [2004] [JUN-A] Calcular la base y la altura del tringulo isosceles de permetro 8 y rea mxima.

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    29. [2004] [JUN-B] Dada la funcin f(x) = 1-x2, se pide:a) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto a,f(a) , donde 0 < a < 1.b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivcamente.c) Determiar el valor de a (0,1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a,f(a) es el doble de la distancia entre elpunto B y P a,f(a) .

    30. [2003] [JUN-A] Calcular los siguientes lmites (donde "ln" significa logaritmo neperiano):

    a) limx0

    ln cos(3x)ln cos(2x)

    b) limx0

    4+x - 4-x4x

    31. [2003] [JUN-B] a) Dibujar la grfica de la funcin g(x) = ex-x.

    b) Calcular el dominio de definicin de f(x) = 1ex-x

    y su comportamiento para x 8 y x -8.

    c) Determinar (si existen) los mximos y mnimos absolutos de f(x) en su dominio de definicin.

    32. [2002] [EXT-A] Se considera la funcin real de variable real definida por f(x) = 3 x-2 si x 2

    x(x-2) si x < 2a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.b) Hallar la ecuacin cartesiana de la recta tangente a la grfica de f en el punto (3,1).

    33. [2002] [EXT-B] Sea f(x) una funcin real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f(0) =1; f(1) = 2; f'(0) = 3; f'(1) = 4. Se pide:a) Calcular g'(0), siendo g(x) = f x+f(0) .

    b) Calcular limx0

    2 f(x) 2-f(x+1)ex-1

    34. [2001] [EXT-B] Sea P(x) un polinomio de grado 4 tal que:i) P(x) es una funcin par.ii) Dos de sus races son: x = 1, x = - 5.iii) P(0) = 5.Se pide:a) Hallar sus puntos de inflexion.b) Dibujar su grfica.

    35. [2001] [JUN-B] a) Determinar los extremos relativos de la funcin f(x) = x2-4x+2. Dibujar su grfica.b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

    36. [2000] [EXT-A] Sea la funcin f(x) = 2x + sen2x.a) Determinar si tiene asntotas de algn tipo.b) Estudiar su monotona y la existencia de extremos relativos.

    37. [2000] [EXT-A] Dados tres nmeros reales cualesquiera r1, r2, r3, hallar el nmero real x que minimiza la funcin:

    D(x) = r1-x2 + r2-x

    2 + r3-x2.

    38. [2000] [JUN-A] Sea f(x) = ax3+bx2+cx+d un polinomio que cumple f(1) = 0, f'(0) = 2, y tiene dos extremos relativos para x = 1 yx = 2.a) Determinar a, b, c y d.b) Son mximos o mnimos los extremos relativos?

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    39. [2000] [JUN-B] a) Si es posible, dibujar de forma clara la grfica de una funcin continua en el intervalo [0,4] que tenga almenos un mximo relativo en el punto (2,3) y un mnimo relativo en el punto (3,4).b) Si la funcin fuera polinmica, cul ha de ser como mnimo su grado?

    Soluciones

    6. a) 8; deriv: -{3} b) 5 c) max: (5,21); min: (8,12) 7. -9, 15, -5 8. a) 3,+ ; 3 b) 1 c) (,0); max: 2

    ,1 ; min: 32

    ,1 9. 0 10. a) 1 11. a) 3; max: -1; min: 1 b) x

    = 0; y = x c) 1 2 3 4-1-3

    1

    3

    -2

    -4

    X

    Y

    12. ea; 25

    13. 92

    14. a) crec: (0,+) b) 33

    c)

    1 2 3-1

    1

    3

    -2

    X

    Y

    d) 12+4

    15. a) 0 b) (0,0), (1,0) c) y = 12

    x- 12

    16. a) a=b=1 b) si

    17. a) (0,0), - 3, 32

    , 3,- 32

    b) y = x 18. (a) + (b) 0 19. max: 1e2

    ; min: 1 ; p.i: 1e

    20. a) m b) 14

    21. 1 3 5 7-1-3-5

    135

    -3

    X

    Y

    22. a) 1, 2 b) derivable en

    -{0} 23. a) Dom: -{1}. Crec: . Asint: x = -1, y = 2.

    1 2 3-1-3

    1

    3

    -2

    X

    Y

    c) 2 24. a) x+a2y-2a = 0 b) 2a,0 , 0,2a

    c) 1 25. (2,ln4) 26. a) -1 b) no 27. a) crec:

    (-,1)(7,+) b) max: 1; min: 7 c) si 28. 83

    , 4 33

    29. a) 2ax+y-a2-1 = 0 b) A 0,a2+1 , B a2+12a

    ,0 c) 22

    30. a) 94

    b) 18

    31. a)

    1 2-1-2

    123

    X

    Y

    b) ; 1e8-8

    ; 1e-8+8

    c)

    max: (0,1) 32. a) Cont: ; der: -{2} b) y = 13

    x 33. a) 2 b) 8 34. a) 1 b) 35. a) min: (2,-2) 1 2 3

    1

    -1-2

    X

    Y

    b) y = -2x+1; y = 6x-23 36. a) no b)

    crec: ; sin extremos; p.inf: 2

    k 37. r1+r2+r3

    3 38. a) 1

    3, -3

    2, 2, -5

    6 b) 1: max; 2: min. 39. b) 5

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