UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO GEOMETRA ? Geometra Diferencial es una introduccin

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    09-Aug-2018

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO PROGRAMA DE POSGRADO

    PROGRAMA DE MTRA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL.

    Programa de actividad acadmica

    Denominacin: GEOMETRA DIFERENCIAL

    Clave: 62552 Semestre(s): 1,2,3,4 Campo de Conocimiento: Geometra No. Crditos: 9

    Carcter: Obligatoria de eleccin Horas Horas por semana Horas al

    Semestre Tipo: Terica Teora: 4.5 Prctica: 0 4.5 72 Modalidad: Curso Bsico Duracin del programa: Semestral

    Seriacin: Sin Seriacin ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( ) Actividad acadmica antecedente: Actividad acadmica subsecuente: Objetivo general: Geometra Diferencial es una introduccin a la Geometra Diferencial moderna y en particular, a algunos de los resultados importantes de la Geometra Riemanniana. Como herramientas fundamentales es necesario introducir el alumno a los conceptos bsicos de variedades, haces vectoriales y tensores y formas que tambin se introducen en los cursos de Topologa Diferencial y lgebra tensorial. Objetivos especficos: Desarrollar los conceptos de conexiones y geodsicas para llegar al de curvatura, que es una invariante geomtrica de suma importancia. Otro objetivo es preparar al alumno para que pueda aplicar sus conocimientos bsicos de la geometra diferencial en otras reas de la matemtica.

    ndice Temtico Horas Unidad Tema Tericas Prcticas

    1 Unidad I. 15 0 2 Unidad II. 15 0 3 Unidad III. 15 0 4 Unidad IV. 15 0 5 Unidad V. 12 0

    Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72

    Contenido Temtico

    Unidad Tema y Subtemas

    1

    Unidad I. Variedades diferenciables 1.1 Variedades, haz tangente y transformaciones diferenciables. 1.2 El teorema del rango; inmersiones, submersiones y encajes. 1.3 Campos vectoriales, orientabilidad. 1.4 Flujo asociado a un campo vectorial; derivada de Lie.

    2

    Unidad II. Haces vectoriales, formas diferenciables y tensores

  • 2.1 Haces, subhaces, secciones e isomorfismos. 2.2 Operaciones con haces. 2.3 lgebra multilineal, tensores, alternancia. 2.4 Formas diferenciales, derivada exterior. 2.5 Teorema de Stokes.

    3

    Unidad III. Conexiones y geodsicas 3.1 Mtricas y conexiones. La conexin Riemanniana. 3.2 Transporte paralelo y geodsicas. 3.3 Transformacin exponencial, lema de Gauss. 3.4 Teorema de Hopf-Rinow.

    4

    Unidad IV. Curvatura 4.1 Tensor de curvatura. 4.2 Curvaturas seccional, de Ricci y escalar. 4.3 Campos de Jacobi y puntos conjugados. 4.4 Teorema de Hadamard.

    5

    Unidad V. Variaciones de la energa (opcional) 5.1 Primera y segunda variaciones, Teorema del ndice 5.2 Teorema de Bonnet-Myers N.B. El captulo opcional no ser incluido en el Examen General.

    Bibliografa Bsica:

    - DO CARMO, M, RIEMANNIAN GEOMETRY, -------------------------------------------------------, BIRKHUSER, 1992. - DO CARMO, M, DIFFERENTIAL FORMS AND APPLICATIONS, ---------------------------------------------------------------, SPRINGER VERLAG, 1997. - LANG, S., DIFFERENTIAL AND RIEMANNIAN MANIFOLDS, SPRINGER VERLAG, ------------------------, 1995. - ONEILL, B., SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY,, ACADEMIC PRESS, -------------------------, 1983. - PETERSEN, P, RIEMANNIAN GEOMETRY, GTM SPRINGER, -------------------, 1997. - SPIVAK, M. A, COMPREHENSIVE INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY, VOL. 1 Y 2,, PUBLISH OR PERISH, ---------------------, 1979. - WARNER, F., FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLD AND LIE GROUPS, GTM SPRINGER, ---------------------, 1983. - DO CARMO, M, RIEMANNIAN GEOMETRY,, BIRKHUSER, ---------------------, 1992. - DO CARMO, M, DIFFERENTIAL FORMS AND APPLICATIONS, SPRINGER VERLAG, ----------------------, 1997. - LANG, S., DIFFERENTIAL AND RIEMANNIAN MANIFOLDS, SPRINGER VERLAG, --------------------, 1995. - GUILLEMIN, V. y A. POLLACK, TOPOLOGA DIFERENCIAL, SMM, ------------------------, 2003. - KOBAYASHI, S y K. NOMIZU, FOUNDATIONS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY, INTERSCIENCE, ----------------------, 1963. Bibliografa Complementara: - WARNER, F., FOUNDATIONS OF DIFFERENTIABLE MANIFOLD AND LIE GROUPS,, GTM SPRINGER, -------------------------, 1983. - SPIVAK, M. A, COMPREHENSIVE INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY, VOL. 1 Y 2,, PUBLISH OR PERISH, ------------------------, 1979. - PETERSEN, P., RIEMANNIAN GEOMETRY, GTM SPRINGER, -----------------------, 1997. - ONEILL, B, SEMI-RIEMANNIAN GEOMETRY, ACADEMIC PRESS, --------------------------, 1983.

    Sugerencias didcticas: Exposicin oral (X) Exposicin audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase (X) Ejercicios fuera del aula (X) Seminarios (X) Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigacin ( )

    Mecanismos de evaluacin de aprendizaje de los alumnos: Exmenes Parciales (X) Examen final escrito (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X) Exposicin de seminarios por los alumnos ( ) Participacin en clase (X) Asistencia ( )

  • Prcticas de taller o laboratorio ( ) Prcticas de campo ( ) Otros:

    Seminario ( ) Otras:

    Lnea de investigacin: Perfil profesiogrfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemticas.

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