Unidad II Distribuciones de Probabilidad ?· Unidad II Distribuciones de Probabilidad Última revisión:…

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  • Antologa de Probabilidad y Estadstica II

    Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 11

    Unidad II

    Distribuciones de Probabilidad

    ltima revisin: 25-Septiembre-2009

  • Antologa de Probabilidad y Estadstica II

    Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 12

    II.1 Variables aleatorias discretas y continuas

    En gran nmero de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemtico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un nmero real a cada uno de los resultados posibles del

    experimento. De este modo se establece una relacin funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y nmeros reales.

    Formalmente se dice que una variable aleatoria (v.a.) X es una funcin real definida en el espacio

    muestral asociado a un experimento aleatorio, .

    X : R

    Una variable aleatoria es una funcin que asocia un nmero a cada elemento del espacio muestral. Se

    llama recorrido o rango de la variable al conjunto de valores que toma. Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al

    experimento, es:

    = {cc, cs, sc, ss},

    donde (c representa "sale cara" y s, "sale sello"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el nmero de caras obtenidas. De este modo se definira la variable aleatoria X como la funcin:

    X : R

    dada por

    cc 2

    cs, sc 1

    ss 0

    El recorrido o rango de esta funcin, RX, es el conjunto:

    RX = {0, 1, 2}

    Para comprender de una manera ms amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la

    definicin de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si est formado por un nmero finito de

    elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y as sucesivamente.

    Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la funcin de cuanta.

    Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo

    de nmeros reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extrada de una determinada poblacin es una variable continua ya que, tericamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2.50 m, es posible.

  • Antologa de Probabilidad y Estadstica II

    Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 13

    En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a

    cada resultado del experimento un nmero, con el fin de poder realizar un estudio matemtico.

    Ejemplos

    Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada

    elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un nmero real, el correspondiente al nmero de caras (v. a. discreta).

    Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (v. a. discreta).

    Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria, ya que puede adquirir un infinito nmero de posibilidades al obtener la medida(v. a. continua).

    Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantacin y pesarlas. La ley que asocia a cada sanda su peso es una variable aleatoria, ya que si pesamos las sandias pueden

    adquirir un pese determinado entre infinitas posibilidades (v. a. continua)

    II.2 Distribucin binomial

  • Antologa de Probabilidad y Estadstica II

    Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 14

  • Antologa de Probabilidad y Estadstica II

    Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 15

    Ejemplo. La probabilidad de que Adrin logre anotar una canasta por su equipo de baloncesto en cualquier momento es de p = 8/32. Suponga que realiza 12 intentos de anotar. Encuentre la

    probabilidad de que alcance a anotar en 5 ocasiones de los 12 intentos que realiza.

    Solucin:

    Adrin =

    5 = 792 1/4

    5 3/4 7 p = 8/32

    q = 24/32; q = 1-p

    n = 12 veces 5 =

    12

    5 8/32 5 24/32 7

    = . x = 5 ocasiones exitosas