transparencias del tema 4

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  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 1/13

    Definicin y clculo del centro de masas

    Movimiento del centro de masas

    Fuerzas internas y fuerzas externas

    Energa cintica de un sistema de partculas

    Teoremas de conservacin para un sistema de partculas

    CONTENIDO

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 2/13

    BIBLIOGRAFA

    SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas

    Cap. 9.3: Centro de masas

    Cap. 9.4: Conservacin del momento angular

    Cap. 10.1, 10.2.1, 10.2.3: Colisiones

    WOLFGANG BAUER Y GARY D. WESTFALL, FSICA PARA INGENIERA Y CIENCIAS, Volumen I,

    McGraw-Hill, 2011

    Cap. 5: Energa cintica, trabajo y potencia

    Cap. 6: Energa potencial y conservacin de la energa

    SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998

    Cap. 8: Impulso y choques

    TIPLER, PA. FSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGA Ed Revert 2005

    Cap. 8.1, 8.3-8.6: Sistema de Partculas y conservacin del momento lineal

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 3/13

    DEFINICIN. CENTRO DE MASAS

    Un sistema de partculas es un conjunto de partculas que interaccionan. El problema puede plantearse

    tratando cada partcula por separado y solucionando la segunda ley de Newton para cada una de ellas, pero

    suele ser complicado. Al hacer un tratamiento conjunto, veremos como el problema se simplifica.

    SISTEMA

    r1

    v1

    Cuerpo externo A

    ri

    r2

    v2

    Sea un sistema formado por N partculas

    Se define el CENTRO DE MASAS (CM) como una

    partcula que tiene toda la masa del sistema

    1

    N

    i

    i

    M m

    Su vector de posicin viene dado por la media ponderada

    de los vectores de posicin de las N partculas

    1 1 2 2 n nCM

    m x m x m xx

    M

    1 1 2 2 n nCM

    m y m y m yy

    M

    1 1 2 2 n nCM

    m z m z m zz

    M

    1

    1 N

    CM i i

    i

    r m rM

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 4/13

    Su velocidad y aceleracin se obtienen derivando respecto del tiempo

    CENTRO DE MASAS

    NCM

    CM i i

    i 1

    dr 1m v

    dt M

    1 1 2 2 N Nm v +m v +.....+m vv =M

    NCM

    CM i i

    i 1

    dv 1m a

    dt M

    1 1 2 2 N Nm a +m a +....+m aa =M

    El momento lineal total:

    N N

    i i CM i CM

    i=1 i=1

    p(total)= mv = v m = v M

    Es decir, el momento lineal total del sistema = al momento lineal del centro de masas

    CMp)total(p

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 5/13

    Ejemplo: En un instante dado, tres partculas de masas m1 = 1 kg, m2 = 2.2 kg, y m3 = 3.4 kg estn

    situadas formando un tringulo equiltero, y sus posiciones son: r1=(0,0), r2=(140,0)cm y r3=(70,121)

    cm. Dnde est el centro de masas del sistema? Si v1=2i m/s, v2=3j m/s y m3 est en reposo. Calcular

    la velocidad del centro de masas y el momento lineal total

    31 1 2 2 3 3

    CM i i

    i 1

    m x m x m x1x m x

    M M

    (1.0) (0) (2.2 kg)(1.4m) (3.4 kg)(0.7m)0.83 m

    6.6 kg

    31 1 2 2 3 3

    CM i i

    i=1

    m y +m y +m y1y = m y =

    M M (1.0 kg)(0)+(2.2 kg)(0)+(3.4 kg)(1.21m)= =0.623 m

    6.6 kg

    CM

    1 2i 2.2 3 j 3 00.303i j

    6.6

    1 1 2 2 3 3m v +m v +m vv =M

    6.6 (0.303i j) 2i 6.6 jCMp(total)=M v

    CENTRO DE MASAS

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 6/13

    1

    N

    i i

    i i

    F ma

    ECUACIN DE MOVIMIENTO

    SISTEMA

    jiF

    ijFAiF

    AjF

    rj

    vj

    Cuerpo externo A

    jAF iAF

    ri

    Las fuerzas que se ejercen sobre las partculas del sistema son:

    int ernas externasF F F

    ejercidas entre las

    partculas que

    forman el sistema

    ejercidas por

    partculas externas

    del sistema a

    partculas del sistema

    Next

    ij i

    i,j i

    F F F

    Si sumamos a todas las partculas

    Las fuerzas internas se cancelan: son pares de

    accin y reaccin

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 7/13

    N Next CMi ii i i i

    i i i i

    CMCM

    dpdv dpF= F = ma = m =

    dt dt dt

    dvM M a

    dt

    ext

    CMF M a

    ECUACIN DE MOVIMIENTO

    El centro de masas (CM) se mueve como una partcula que tiene toda la masa del sistema y sobre la

    que se aplica la resultante de las fuerzas externas

    Ejemplo: en una bala que

    explota, la nica fuerza

    externa es el peso. Por tanto

    El CM sigue la misma

    trayectoria parablica que

    llevaba antes de la explosin,

    porque el peso del CM no

    cambia debido a la explosin.

    Nota: la explosin es una

    fuerza interna Distancia (m)

    Altu

    ra (

    m)

    Movimiento del centro de masas

    Movimiento del

    fragmento 1

    Movimiento del

    fragmento 2

    La lnea roja representa la trayectoria del CM

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 8/13

    CONSERVACIN DEL MOMENTO LINEAL

    ext CMCM

    dpF M a

    dt

    0

    0

    ext

    CM

    Si F

    dp

    dt

    CMp cte

    0

    0

    0

    ext

    x x

    ext

    y y

    ext

    z z

    (CM)

    (CM)

    (CM)

    Si F p cte

    Si F p cte

    Si F p cte

    Si la resultante de Fuerzas es cero, el centro de masas o est quieto, o se mueve con movimiento

    rectilneo y uniforme

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 9/13

    N

    ji,

    jii

    N

    1i

    exter

    ii

    N

    1i

    ii

    N

    1i

    i0 FrFrFrL

    dt

    d

    dt

    Ld

    MOMENTO ANGULAR

    El momento angular total del sistema respecto el punto O es:

    Si tenemos en cuenta que

    Las fuerzas internas no modifican el momento angular de un sistema de partculas

    Si todas las fuerzas son internas, o la suma del momento de las fuerzas externas es cero, el momento

    angular total se conserva

    N

    1i

    iiii

    N

    1i

    i

    N

    1i

    i0 )v(mrprLL

    0i0 MFr

    dt

    Ld

    N

    1i

    0

    N

    1i

    exter

    ii0 Fr

    dt

    LdM

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 10/13

    TRABAJO Y ENERGA

    ENERGA CINTICA

    La energa cintica de un sistema de partculas es la suma de la energa cintica de cada una de las

    partculas

    ENERGA POTENCIAL

    Cada fuerza conservativa, sea interna o externa, tiene asociada una energa potencial

    TRABAJO

    El trabajo total es la suma de los trabajos de todas las fuerzas que se ejercen a las partculas, tanto

    internas como externas. El trabajo realizado por las fuerzas internas no tiene porqu ser cero.

    externas ernas CIN

    TOTALW W Eint

    Ejemplo: energa potencial gravitatoria de un sistema de partculas

    N N

    i i i i CM

    i 1 i 1

    (gravitatorio)U mgh g mh gMh

    2N NCIN CIN CIN

    TOTAL i i i CM

    i 1 i 1

    1E E m v E

    2

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 11/13

    TEOREMAS DE CONSERVACIN

    CONSERVACIN DE P TOTAL

    CONSERVACIN DE L TOTAL

    CONSERVACIN DE LA ENERGA

    Al igual que para una partcula, para un sistema de partculas es siempre interesante evaluar si, bajo las

    condiciones del problema se cumple:

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 12/13

    COLISIONES

    Una colisin es una interaccin entre dos o ms objetos en la que se intercambian momento lineal y energa, de manera que se modifica su estado de movimiento.

    Las fuerzas que se ejercen las partculas (fuerzas internas), son relativamente intensas y de corta duracin. Su valor no tiene que ser constante durante el tiempo que dura el choque. Es muy difcil cuantificarlas.

    IMPULSO f

    i

    t

    tI= Fdt=p

    I F t media

    Cambio del momento lineal de una partcula

    Se puede definir una fuerza media tal que:

    F internas >>>F externas

    F externas 0

  • SISTEMA DE PARTCULAS FSICA I

    B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Fsica. UC3M Tema 4 13/13

    COLISIONES

    Si durante la colisin Fext =0, de los teoremas de conservacin se obtiene:

    0TOTAL TOTALdp

    p ctedt

    0TOTAL TOTALdL

    L ctedt

    1 2 3TOTALp p p p .... 1 2 3 1 2 3ANTES DESPUS

    p p p ... p p p ...

    1 2 3TOTALL L L L .... 1 2 3 1 2 3ANTES DESPUS

    L L L ... L L L ...

    ANTES DESPUESernas CIN CIN CIN

    TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint

    Choque elstico:

    Choque inelstico: ANTES DESPUES

    ernas CIN CIN CIN

    TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint

    Choque completamente inelstico:

    Las partculas quedan pegadas despus del choque. No se conserva la CIN

    TOTALE

    CIN ernas

    TOTALE Wint