Trabajo de desarrollo profesional por etapas - ? a a a b n k n k k k k n k k n k k k k k ( 5 ) Con

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  • UNIVERSIDAD AUTNOMA DEL

    ESTADO DE MORELOS

    FACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERAFACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERAFACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERAFACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERA

    PRINCIPIOS FSICOS Y MATEMTICOS PARA EL ANLISIS DE SISTEMAS DINMICOS. INTRODUCCIN AL CONTROL

    Trabajo de desarrollo profesional por etapas

    QUE PARA OBTENER EL TTULO DE: INGENIERO ELCTRICO

    P R E S E N T A: ARCENIO BRITO HERNNDEZ

    CUERNAVACA, MORELOS. MAYO 2007

  • Trabajo de desarrollo

    profesional por etapas

    PRINCIPIOS FSICOS Y MATEMTICOS

    PARA EL ANLISIS DE SISTEMAS

    DINMICOS. INTRODUCCIN AL

    CONTROL

    PRESENTA: ARCENIO BRITO HERNNDEZ

    REVISORES:

    IE. IGNACIO VALOS SALINAS

    IE. GONZALO MARN SHERAD

  • i

    Prefacio

    El presente trabajo tiene por objeto presentar los fundamentos matemticos

    y fsicos que permitan el anlisis de sistemas fsicos dinmicos. Se repasan las

    tcnicas de notacin y transformacin matemtica ms comunes y se

    presentan las caractersticas de los bloques funcionales que componen los

    sistemas fsicos complejos. Se emplea la funcin de transferencia por

    transformada de Laplace en dominio complejo, y el espacio de estados para

    la representacin de ecuaciones diferenciales lineales que resultan del anlisis

    de un sistema fsico. Se modelan sistemas que involucran diferentes tipos de

    energa y se hacen notar las analogas naturales de sus modelos. Se presenta

    una introduccin terica a los sistemas de control y finalmente se estudian

    algunos dispositivos de medicin y correccin de los sistemas de control.

    Convencin de notacin

    Los cantidades variables se denotan por letras minsculas (x,v,a,f). Las

    constantes por maysculas (G, M, R). Los vectores indistintamente por

    negritas (x,v,a,f) o bien letras con flecha superior ( xr , vr , ar , fr). Los

    vectores unitarios con circunflejo superior ( nr , ). Los escalares por letras minsculas

    (x,v,a,f), los mdulos de vectores como escalares o empleando smbolos de

    absoluto ( xr , vr , ar , fr), los nmeros complejos por letras maysculas negritas

    (Z,Y), o con circunflejo ( YZ , ), los fasores con tilde superior ( IV ~,~ ), las matrices

    por negritas (M, X).

  • ii

    Agradecimientos:

    A Dios por ser alguien que esta libre de

    errores y observarnos sin indiferencia. A

    mis padres ABR., GHM por su

    presencia y apoyo natural. A quienes

    producen, transmiten y transforman el

    conocimiento que nos hace libres y nos

    aleja de la incertidumbre.

    Arcenio Brito Hernndez.

    Derechos reservados (2007). Ninguna parte del presente

    trabajo deber ser reproducida, almacenada en sistema de

    reuperacin, o transmitida en forma alguna, por ningun

    medio electrnico, mecnico, ptico, de grabacin, u otra

    forma, sin el consentimiento y permiso expreso del autor.

    Arcenio Brito Hdz (arce_brito@hotmail.com)

  • i

    Tabla de contenido

    I. MTODOS MATEMTICOS DE TRANSFORMACIN............................................................................................................... I-1

    NOTACIN SIGMA, INDUCCIN MATEMTICA ......................................................................................................................................I-3 Notacin sigma....................................................................................................................................................................... I-4

    NOTACIN REAL Y COMPLEJA...............................................................................................................................................................I-6 NOTACIN DE RAZONES DE CAMBIO Y SUMAS INFINITESIMALES......................................................................................................I-14 NOTACIN INTEGRODIFERENCIAL ......................................................................................................................................................I-21

    Ecuaciones integrodiferenciales..................................................................................................................................................I-21 ED de primer orden y primer grado ............................................................................................................................................I-21 ED de primer orden y grado superior..........................................................................................................................................I-23 ED lineal de orden superior.........................................................................................................................................................I-23

    NOTACIN MATRICIAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................................................I-25 NOTACIN VECTORIAL........................................................................................................................................................................I-36

    Algebra vectorial..........................................................................................................................................................................I-36 Geometra vectorial .....................................................................................................................................................................I-37 Clculo vectorial..........................................................................................................................................................................I-38 Electromagnetismo y las ecuaciones de Maxwell........................................................................................................................I-43

    TRANSFORMACIN DE SISTEMAS COORDENADOS ..............................................................................................................................I-46 TRANSFORMACIN FASORIAL .............................................................................................................................................................I-48

    Transformacin fasorial en circuitos elctricos de corriente alterna .........................................................................................I-51 Transformacin de fuentes de ca .................................................................................................................................................I-56 Transformacin delta y estrella ...................................................................................................................................................I-58

    TRANSFORMACIN UNIDAD ................................................................................................................................................................I-64 TRANSFORMACIN EN COMPONENTES SIMTRICAS...........................................................................................................................I-66 TRANSFORMACIN DE LAPLACE .........................................................................................................................................................I-70

    Transformacin de funciones.......................................................................................................................................................I-72 Transformacin inversa de Laplace.............................................................................................................................................I-73 Transformacin de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo .........................................................................I-75

    TRANSFORMACIN EN SERIES DE POTENCIAS ....................................................................................................................................I-78 Convergencia uniforme................................................................................................................................................................I-80 Series de potencias de convergencia uniforme............................................................................................................................I-81 Solucin de ecuaciones diferenciales por series de potencias ....................................................................................................I-84

    TRANSFORMACIN DE FOURIER .........................................................................................................................................................I-87 Serie de Fourier ...........................................................................................................................................................................I-88 La transformacin de Fourier......................................................................................................................................................I-91

    TRANSFORMACIN ZETA.....................................................................................................................................................................I-95

    II. BLOQUES FUNCIONALES DE SISTEMAS FSICOS.............................................................................................................. II-1

    INTRODUCCIN..................................................................................................................................................................................II-3 Sistema General de Unidades de Medida ..................................................................................................................................II-3

    SISTEMAS MECNICOS ......................................................................................................................................................................II-9 Fundamentos de cinemtica y dinmica traslacional ...............................................................................................................II-9 Bloques funcionales de sistemas mecnicos con movimientos traslacionales ........................................................................II-12 Fundamentos de cinemtica y dinmica rotacional ................................................................................................................II-13 Bloques funcionales de sistemas mecnicos con movimientos rotacionales ...........................................................................II-16

    SISTEMAS ELCTRICOS....................................................................................................................................................................II-18 Fundamentos de electrosttica y electrodinmica ..................................................................................................................II-19 Bloques funcionales de sistemas elctricos .............................................................................................................................II-20

    SISTEMAS FLUDICOS.......................................................................................................................................................................II-22 Fundamentos de hidrosttica e hidrodinmica .......................................................................................................................II-22 Bloques funcionales de sistemas fludicos hidrulicos............................................................................................................II-24

  • ii

    Fundamentos de fisicoqumica y termodinmica .................................................................................................................... II-26 Bloques funcionales de sistemas fludicos neumticos ........................................................................................................... II-30

    SISTEMAS TRMICOS ...................................................................................................................................................................... II-32 Fundamentos de transferencia de calor y calorimetra .......................................................................................................... II-32 Bloques funcionales de sistemas trmicos............................................................................................................................... II-34

    RELACIONES ANALOGAS DE BLOQUES FUNCIONALES DE SISTEMAS FSICOS .............................................................................. II-35

    III. MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS............................................................................................................................. III-1

    MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS ............................................................................................................................................ III-3 Modelado mediante funcin de transferencia ..........................................................................................................................III-4 Representacin del sistema mediante diagramas de bloques ..................................................................................................III-5 Modelado mediante espacio de estados ...................................................................................................................................III-7 Relacin entre funciones de transferencia y espacio de estados ...........................................................................................III-10

    SISTEMAS MECNICOS................................................................................................................................................................... III-11 SISTEMAS ELCTRICOS .................................................................................................................................................................. III-13 SISTEMAS FLUDICOS ..................................................................................................................................................................... III-17 SISTEMAS TRMICOS ..................................................................................................................................................................... III-19 SISTEMAS ELECTROMECNICOS.................................................................................................................................................... III-20

    IV. SISTEMAS DE CONTROL......................................................................................................................................................... IV-1

    CONTROL AUTOMTICO ..................................................................................................................................................................IV-3 Sistema de lazo abierto............................................................................................................................................................. IV-3 Sistema de lazo cerrado............................................................................................................................................................ IV-4 Control de un proceso industrial.............................................................................................................................................. IV-6

    COMPONENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL.................................................................................................................................IV-8 Sensores y transmisores............................................................................................................................................................ IV-8 Vlvulas de control................................................................................................................................................................... IV-9 Controladores ......................................................................................................................................................................... IV-12

    CONTROLADORES LGICOS PROGRAMABLES ...............................................................................................................................IV-17 Componentes del PLC ............................................................................................................................................................ IV-18 Operacin del PLC................................................................................................................................................................. IV-19

    V. INSTRUMENTOS DE CONTROL.................................................................................................................................................V-1

    INSTRUMENTOS DE CONTROL INDUSTRIAL ......................................................................................................................................V-3 Instrumentos de medicin.......................................................................................................................................................... V-3 Instrumentos de correccin ..................................................................................................................................................... V-13

    CLASIFICACIN DE INSTRUMENTOS DE MEDICIN .......................................................................................................................V-18 Instrumentos que miden cantidades mecnicas o termodinmicas......................................................................................... V-19 Instrumentos que miden cantidades elctricas........................................................................................................................ V-23

  • Mtodos matemticos de transformacin

    Con el objeto de tener una slida base matemtica que nos

    permita el correcto anlisis de los sistemas fsicos dinmicos, en

    este capitulo se presentan los siguientes temas de notacin y

    transformacin matemtica:

    Notacin sigma, induccin matemtica

    Notacin real y compleja

    Notacin de razones de cambio y sumas infinitesimales

    Notacin integrodiferencial

    Notacin matricial y sistemas de ecuaciones lineales

    Notacin vectorial y campos vectoriales

    Transformacin de sistemas coordenados

    Transformacin fasorial

    Transformacin unidad

    Transformacin en componentes simtricas

    Transformacin de Laplace

    Transformacin en series de potencias

    Transformacin de Fourier

    Transformacin zeta

    CCaappttuulloo 11

  • 2222 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----2222

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

  • IIII----3333 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Notacin sigma, induccin matemtica

    Nmero entero. El conjunto de nmeros enteros es },2,1,0,1,2,{ KK =Z , el conjunto de

    enteros positivos es 0|}{},3,2,1{ >==+ ZZZ K ; el conjunto de enteros negativos es

    0|}{}1,2,3,{

  • 4444 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----4444

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    [ ]

    +

    =

    =

    =

    r

    rn

    (n-r)rnr

    nrnC

    n

    /(n-r)nP(n,r)r

    1nc/repeticin CombinaciSiNo

    !!/!),(nCombinaciNoNo

    ArregloSiSi

    !!nPermutaciNoSi

    FrmulaTipoesRepeticionrelevanteOrden

    ( 3 )

    Notacin sigma

    De todas las operaciones existentes, la suma es la operacin lineal ms elemental y

    sobre la cual se pueden desarrollar cualesquiera otras (inclusive el producto). De

    manera ordinaria la suma finita se representa por nn aaaS +++= K10 ; mientras

    que la suma infinita se expresa como K+++== 210 aaaSS . Existe una manera

    reducida conocida como notacin sigma y se representa por:

    KK +++===+++==

    == nk kn

    n

    k knaaaaSSaaaaS 100100 ,

    ( 4 )

    Las propiedades fundamentales de la notacin sigma son:

    suma como producto El)3(

    )2(

    Linealidad)()1(

    0

    00

    000

    =

    =

    =

    =

    ==

    ===

    cnc

    acca

    baaa

    n

    k

    n

    k k

    n

    k k

    n

    k k

    n

    k k

    n

    k kk

    ( 5 )

    Con frecuencia es necesario realizar corrimiento de ndices con el propsito de

    que se pueda aplicar la propiedad (1), como se muestra a continuacin:

    [ ]

    = +

    ==

    ==+ +

    =

    +

    =

    ++=++=

    =+=

    +==+=+=

    1 )1(1101 )1(121 1

    2

    1

    0

    1

    2

    121

    6)1(26)1(2

    1Sen 1 si

    1Sen 1 si,66

    i

    i

    iiii

    i

    iii

    i

    i

    k

    k

    kk

    k

    k

    XCCiXCXCiS

    ikki

    ikkiXCXkCSSS

    ( 6 )

    En general si aumenta en k el ndice de la sumatoria, disminuyen en k los lmites de la

    sumatoria:

    ==+=

    kN

    kAi

    N

    Aikixix )()(

    ( 7 )

    Principio de identidad para sumas. Si

    =

    ==

    00 k

    k

    kk

    k

    k xbxa entonces ak=bk para

    toda k0; en particular si 0 entonces 00

    ==

    = kk

    k

    k axa .

  • IIII----5555 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Principio de induccin matemtica

    Sea S(n) una expresin matemtica que involucre una o ms ocurrencias de la

    variable + Znn | , si S(1) es cierta y S(k) es cierta siendo +Zkk | ; entonces

    S(n) es cierta para toda + Zn . El principio de induccin tiene su aplicacin en la

    deduccin de formulas y demostracin de teoremas.

    Ejemplo 1.1. Demostrar por induccin matemtica que: 2/)1(1

    += = nnin

    i

    .

    Solucin. La aplicacin del principio de induccin se realiza como sigue: (1) se

    muestra la certeza de S(1); (2) se plantea una hiptesis para S(k), y se

    demuestra que S(k+1) es cierto, entonces (3) S(n) queda demostrado:

    +

    =

    ++=

    +++=

    ++

    +=

    ++=++++++==+

    ++=+

    +

    ==+==

    +=++++==

    =

    +

    =

    =

    =

    2

    )1()()3(

    2

    )1)(2(

    2

    )1(2)1(

    2

    )1(2

    2

    )1(

    )1()1(321)1(

    2

    )2)(1()1(

    :quedemostar con basta cierto,ser debe tambien 1)S(k entonces hiptesis,por cierto S(k) Sea)2(

    12/22/)11(11)1()1(

    2/)1(321

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    nnnS

    kkkkkkkk

    kikkikS

    kkkS

    iS

    nnnkS(n)

    k

    i

    k

    i

    i

    n

    i

    K

    K

    Ejemplo 1.2. Demostrar por induccin matemtica que:

    6/)12)(1(1

    2 ++= = nnnin

    i

    .

    Solucin. Se aplican los pasos (1) a (3) y se tiene que:

  • 6666 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----6666

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    [ ]

    [ ]

    ++

    =

    +++=

    +++=

    ++++=

    ++++=

    ++

    ++=

    ++=++++++==+

    +++=+

    +

    ==++==

    ++=++++==

    ++=

    =

    +

    =

    =

    =

    =

    6

    )12)(1()()3(

    6

    )1)(32)(2(

    6

    )1(672

    6

    )1()1(6)12(

    6

    )1(6)12)(1(

    6

    )1(6

    6

    )12)(1(

    )1()1(941)1(

    6

    )32)(2)(1()1(

    :quedemostar con basta cierto,ser debe tambien 1)S(k entonces hiptesis,por cierto S(k) Sea)2(

    16/66/)12)(11(11)1()1(

    6/)12)(1(941

    6/)12)(1(

    2

    22

    2

    1

    22221

    1

    1

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    nnnnS

    kkkkkk

    kkkkkkkkkkkk

    kikkikS

    kkkkS

    kS

    nnnnkS(n)

    nnnk

    k

    i

    k

    i

    k

    n

    k

    n

    k

    K

    K

    Se han desarrollado formulas para sumatorias de uso frecuente cuya demostracin

    se lleva a cabo mediante induccin matemtica:

    Notacin real y compleja

    Nmero real. Un intervalo abierto I, se representa por (a,b), un intervalo cerrado

    por [a,b], siendo a, b puntos en la recta, el plano o el espacio. El conjunto }|{ xx de

    los nmeros reales o escalares () que incluye los enteros },2,1,0,1,2,{ KK =Z y

    naturales },3,2,1{ K=N , se clasifica en racionales }0,,|/{ = qZqpqpQ e irracionales

    ( e,2, ), segn puedan o no expresarse como un cociente de 2 enteros. Geomtricamente el

    conjunto de escalares representa la recta, 2 el plano y 3 el espacio. Dados Rba ,

    se efectan dos operaciones algebraicas fundamentales suma (c=a+b) y producto (d=a*b) y cumplen con las

    propiedades: cerradura ( Rdc , ), conmutativa (a*b=b*a), asociativa (a+b+c=a+(b+c)), identidad (a+0=a, a*1=a),

    aditiva inversa (a-a=0), multiplicativa inversa (a*(1/a)=1), distributiva (a*(b+c)=a*b+a*c).

    Tabla 1.1 Formulas de sumatorias frecuentes

    x

    xxx

    nn

    k

    k

    =+

    = 11

    1

    2

    )12)(1(1

    2 ++= =nnn

    kn

    k

    945

    1 6

    1 6

    =

    =k k

    2

    )1)(( ++= =

    abbak

    b

    ak

    1,

    110, es

    decreciente donde f(x)

  • IIII----15151515 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) cadena la de Regla*)(

    potencia la de Regla

    cociente del Regla

    producto del Regla

    Linealidad

    ,)(

    ,1,0

    constantes,)(),(

    1

    2

    =

    =

    =

    +=

    +=+

    ===

    ===

    dx

    dv

    dv

    duxfu

    dx

    d

    dx

    duauu

    dx

    d

    v

    dx

    dvu

    dx

    duv

    v

    u

    dx

    d

    dx

    dvuv

    dx

    duuv

    dx

    d

    dx

    dvb

    dx

    duabvau

    dx

    d

    dx

    dua

    dx

    aud

    dx

    dx

    dx

    da

    baxvvxuu

    aa

    ( 35 )

    Aplicando las propiedades de diferenciacin y la definicin de derivada se han

    desarrollado frmulas de derivacin para las principales funciones, como las

    mostradas en la tabla 1.2:

    Tabla 1.2 Derivadas de funciones elementales

    dx

    du

    uu

    dx

    d 1ln =

    dxdu

    uudx

    dcossin =

    dxdu

    uu

    dx

    d

    21

    1arcsin

    =

    dx

    du

    u

    eu

    dx

    d loglog =

    dx

    duuu

    dx

    dsincos =

    dx

    du

    uu

    dx

    d21

    1arccos

    =

    dx

    duaaa

    dx

    d uu ln= dx

    duu

    dx

    d 2sectan = dx

    du

    uu

    dx

    d21

    1arctan

    +=

    dx

    duee

    dx

    d uu = dx

    duuu

    dx

    d 2csccot = dx

    du

    uuarc

    dx

    d21

    1cot

    +=

    dx

    dvuu

    dx

    duvuu

    dx

    d vvv ln1 += dx

    duuuu

    dx

    dtansecsec =

    dx

    du

    uuuarc

    dx

    d

    1

    1sec

    2 =

    dx

    duuuu

    dx

    dcotcsccsc =

    dx

    du

    uuuarc

    dx

    d

    1

    1csc

    2 =

    Si y=f(x) una funcin continua y diferenciable en [a,b] entonces la derivada de la

    funcin inversa x=f-1(y) esta dada por, 1/f-1(x), en smbolos:

    )('

    11)(

    :entonces (y)f xinversa como tienef(x)y si

    1

    -1

    xf

    dx

    dydy

    dxfD ===

    ==

    ( 36 )

    Una funcin explicita tiene la forma y=f(x), una funcin implcita tiene la forma

    f(x,y)=0, cuando no es posible expresar explcitamente una funcin se deriva

    implcitamente y luego se factoriza para f(x) si es posible.

  • 16161616 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----16161616

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Un lmite indeterminado tiene la forma 0/0 o bien /, la regla de LHospital

    (debida a J. Bernoulli) se emplea para el clculo de lmites de formas indeterminadas y

    establece que:

    )('

    )('lim

    )(

    )(lim

    xg

    xf

    xg

    xf

    axax =

    ( 37 )

    Integral. La operacin inversa de la derivada es la antiderivada o integral y consiste en

    hallar la primitiva f(x) dada su derivada f(x) o diferencial f(x)dx y se denota por

    dxxf )(

    . La integral indefinida de dxxf )( es Cxfdxxf += )()(, C es la constante de

    integracin, cuyo origen es cualquier constante anulada al ser derivada en la primitiva Dx(C)=0.

    Sea y=f(x) una funcin continua en el

    intervalo [a,b], entonces la integral definida

    ==b

    a

    b

    a

    ydxdxxfA )( representa el rea A, bajo la curva

    engendrada por f(x) y el eje de las x desde x=a hasta x=b; geomtricamente es la suma

    (conocida como suma de Riemann) de rectngulos de anchura infinitesimal dx y altura f(i)

    desde x=a hasta x=b, 1, + iii xx , en smbolos:

    =

    =1

    00

    )(lim)(n

    i

    ix

    b

    a

    xfdxxf ( 38 )

    La integral es una suma infinitesimal, la suma es una operacin lineal, por lo tanto la

    integral es una operacin lineal, una integral definida es la suma de integrales

    definidas en rangos o lmites de integracin, cambiando el lmite de integracin

    cambia el signo de la integral, la integral de x=a hasta x=a es cero:

    ( )

    ==

  • IIII----17171717 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Sea f(x) una funcin continua en [a,b], consideremos que x[a,b], llamemos

    m=min[f(x)] y llamemos M=max[f(x)] entonces, el teorema del valor medio para la

    integral establece que, existe un valor c en el intervalo [a,b] para el cual:

    ==

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    dxxfab

    cfcfabdxxf

    bac

    Mabdxxfmab

    Rba

    )()(

    1)()()()(

    ],[

    )()()(

    ,

    ( 40 )

    Sea F(x) la antiderivada de f(x), es decir F(x)=f(x), entonces el teorema

    fundamental del clculo (el cual rene la nocin de derivada con la nocin de integral) establece que:

    === dxxfxFxfxFbFaFdxxfb

    a

    )()()()()()()( ( 41 )

    La longitud del arco s, engendrado por la grfica de una funcin y=f(x), de x1 hasta x2,

    est dado por:

    +=+=2

    1

    2/122

    1

    2/12 ])'(1[])'(1[y

    y

    x

    x

    dyxdxys ( 42 )

    Calculo de integrales. Para simplificar el clculo de integrales se han desarrollado

    extensas tablas cuyas frmulas se deducen del teorema fundamental del clculo (las

    integrales de funciones elementales se muestran en la tabla 1.3). Cuando la funcin

    no tiene semejanza con una ninguna integral de la tabla se emplean artificios de

    integracin entre cuales figuran los siguientes:

    1. Integracin por partes: Dada la funcin a evaluar f(x) descompngase de

    manera tal que sea posible aplicar la siguiente frmula de integracin por partes:

    = vduuvudv : 1) descomponer f(x) en u y dv, 2) integrar dv, 3) derivar u, 4)

    evaluar = vduuvudv . Se emplea en los casos de diferenciales que contienen:

    (a) productos; (b) logaritmos; (c) funciones trigonomtricas inversas.

    Ejemplo 1.6. Aplicar integracin por partes para (a) integrar xdxx cos , (b)

    demostrar que ( ) Czzzzzdz +++= tanseclntansecsec 21213

  • 18181818 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----18181818

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Solucin. Se aplican los tres pasos antes numerados y se tiene que:

    +++=

    +=

    ==

    ==

    =====

    ++===

    =====

    Czzzzzdz

    zdzzdzzzzdz

    zdzzdzzdzzzdzz

    zdzzzzzvduuvudv

    zzdzvzdzdvzdzzduzu

    Cxxxxdxxxvduuvudv

    xxdxvxdxdvdxduxu

    tanseclntansecsec

    secsectansecsec

    secsecsec)1(secsectan

    tansectantansec

    tansecsectansecsec(b)

    cossinsinsin

    sincoscos(a)

    21

    213

    33

    322

    22

    2. Descomposicin en fracciones parciales: Para una funcin racional propia es

    posible la descomposicin en fracciones parciales y la integracin separada de

    cada fraccin resultante.

    3. Sustitucin conveniente: Ciertas integrales requieren de emplear

    identidades o sustituciones que conduzcan a formas integrables elementales;

    la tabla 1.4 muestra un conjunto de integrales de este tipo.

    4. Formas variadas: A veces es necesario reexpresar la integral de manera

    que resulte una forma conocida o fcilmente integrable:

    Ejemplo 1.7. Integrar xdxsec .

    Solucin. Multiplicando y dividendo por xx tansec + resulta:

    ++=+

    +=

    ++

    = Cxxxxxdxxx

    dxxx

    xxxdxx tansecln

    tansec

    tansecsec

    tansec

    tansecsecsec

    2

  • IIII----19191919 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Tabla 1.3 Integrales de funciones elementales

    = vduuvudv += Cuudu cossin +=C

    a

    u

    ua

    duarcsin

    22

    Cuduu nn

    n += ++1

    11 += Cuudu sincos +=+

    Ca

    u

    aua

    duarctan

    122

    += Cuudu

    ln

    += Cuudu seclntan ++

    =

    Cau

    au

    aua

    duln

    2

    122

    += Cedueuu += Cuudu sinlncot +=

    C

    a

    u

    auau

    duarcsec

    122

    += Cbb

    dubu

    u

    ln ++= Cuuudu tanseclnsec ++= Cuuuudu

    21arcsinarcsin

    += Cauae

    duueau

    au )1(2

    += Cuuudu cotcsclncsc += Cuu-uudu21arccosarccos

    += Cdueu

    a

    eudueu aun

    an

    aunaun 1

    += Cuuduu sectansec ++= Cuu-uudu

    21lnarctanarctan

    += Cuuuudu lnln += Cuuduu csccotcsc +++= Cuuuudu21lnarccotarccot

    Cnn

    uuuduu nn +

    +

    += + 2

    1

    )1(

    1

    1

    lnln

    += Cuudu tansec2 ( ) ++= Cuuuecuuduec 1lnss 211

    = duue

    ueudueau

    a

    au

    a

    au 11 lnln

    += Cuudu cotcsc2 ( ) +++= Cuuucucuduc 1lnscs 211

    += Cuuudu

    )ln(lnln

  • 20202020 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----20202020

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Tabla 1.4 Sustituciones convenientes para integracin de funciones

    Forma condicin sustitucin integral resultante

    uduunm cossin { }02% +Zm uu 22 cos1sin = [ ] uduuu mn sin)cos1(cos 12

    uduunm cossin { }02% +Zn uu 22 sin1cos = [ ] uduuu nm cos)sin1(sin 12

    uduunm cossin { }02%, = +Znm

    uu

    uu

    uuu

    2coscos

    2cossin

    2sincossin

    21

    212

    21

    212

    21

    +=

    =

    =

    selementale formas varias

    nudumu

    nudumu

    nudumu

    coscos

    sinsin

    cossin { }nm

    Znm

    +,

    )(2

    )cos(

    )(2

    )cos(

    )sin(

    )sin(cossin

    2

    1

    21

    21

    nm

    unmI

    nm

    unmI

    unm

    unmmumu

    =

    +

    +=

    +

    +=

    ++=

    ++=

    +=

    CIInudumu

    CIInudumu

    CIInudumu

    21

    21

    21

    coscos

    sinsin

    cossin

    uduntan { }+ Zn

    )1(sectan

    tantantan22

    22

    =

    =

    uu

    uuu nn

    duuun )1(sectan 22

    uduncot { }+ Zn

    )1(csccot

    cotcotcot22

    22

    =

    =

    uu

    uuu nn

    duuun )1(csccot 22

    uduunm sectan { }02% = +Zn 1tansec 22 += uu [ ] uduuu nm 222 sec)1(tantan

    uduunm sectan { }02% +Zm

    1sectan

    tantantan22

    1

    =

    =

    uu

    uuu mm [ ] uduuuu mn tansec)1(secsec 321

    ( ) duuak

    22 { } Qk zaua

    zdzaduzau

    cos

    cossin22 =

    == ( ) zdzaza

    k coscos

    ( ) + duuak

    22 { } Qk zaua

    zdzaduzau

    sec

    sectan22

    2

    =+

    == ( ) zdzaza

    k 2secsec

    ( ) duauk

    22 { } Qk zaau

    zdzzadu

    zau

    tan

    tansec

    sec

    22 =

    =

    =

    ( ) zdzzazak tansectan

    El operador modulo se designa por % y devuelve el residuo de una divisin entera: 1=5%2.

  • IIII----21212121 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Notacin integrodiferencial

    Un sistema fsico es un ente con caractersticas propias que se asla para su

    estudio basado en las leyes experimentales de la fsica. Los principio del algebra

    bsica son suficientes para la modelacin de sistemas estticos. Sin embargo las

    mquinas y procesos naturales o artificiales son en alto grado dinmicos,

    tales sistemas dinmicos se modelan mediante ecuaciones integrodiferenciales.

    Ecuaciones integrodiferenciales

    Una ecuacin es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la variable

    o funcin que interviene en ella. Una ecuacin diferencial (ED) involucra una

    funcin, sus derivadas y las variables independientes, Una ecuacin integrodiferencial

    (EID) incluye adems integrales de la funcin, de sus derivadas o de las

    variables independientes. El orden (O) se determina por la derivada mayor, el

    grado (G) se determina por el exponente de la derivada de mayor orden. La ED

    puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP) segn incluya derivadas ordinarias o

    parciales. La ED es lineal (grado 1) si lo es en la variable dependiente y todas

    sus derivadas, es homognea ( 0''' =++ yxyy ) si no hay trminos que sean

    funciones slo de la variable independiente. La primitiva o solucin es la

    funcin que satisface la ED y puede ser implcita o explicita. La solucin general

    de la ED de orden n tendr n constantes arbitrarias, la solucin particular es la

    determinacin de los valores de las n constantes arbitrarias y se obtiene de

    n+1 condiciones iniciales de la funcin y sus n derivadas.

    ED de primer orden y primer grado

    La ED de grado y orden 1 tiene la forma 0)',,( =yyxF , donde )(xyy = y su

    solucin es CyxfCyxf == ),(0),,( . Los mtodos de solucin depende de su

    forma, los siguientes son los ms comunes: formas integrables (variables

    separables, ecuaciones exactas, ecuaciones homogneas), ecuaciones lineales.

  • 22222222 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----22222222

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Formas integrables

    * Una ED de variables separables, de la forma 0')()( =+ yyQxP se resuelve

    separando variables dependientes e independientes e integrando:

    CdyyQdxxPyyQxP =+=+ )()(0')()( ( 43 )

    * Una ED de la forma 0),(),( =+ dyyxQdxyxP , es exacta si xQyP = // .

    Siendo xyxfyxP = /),(),( y yyxfyxQ = /),(),( . Entonces su primitiva es

    Cyxf =),( y se obtiene sistemticamente por integracin parcial:

    +=

    ==+

    =

    +==

    y xx

    xx

    x

    dyPdxy

    QPdxf

    dyPdxy

    QQdy

    dPdx

    yy

    f

    yPdxyxfPdxdxx

    f

    )(),(

    ( 44 )

    * Una ecuacin de la forma f(x,y) se dice que es homognea y de grado n si al

    sustituir x por x e y por y se cumple que f(x,y)= nf(x,y). Una ED de la

    forma 0),(),( =+ dyyxQdxyxP es homognea, si tanto P como Q son homogneas y del

    mismo grado. La transformacin xdvvdxdyvxy +== , reduce la ED homognea a la

    forma:

    0),(),( =+ dvvxQdxvxP

    ( 45 )

    Y se resuelve por separacin de variables. Despus de integrar se sustituye v por

    y/x para recobrar las variables originales.

    Ecuacin lineal

    Una ecuacin lineal de grado 1 de la forma )()(' xQxyPy =+ se resuelve

    considerando el factor integrante =Pdx

    e y su primitiva es:

    hp yyCxQyxQy +=+== Pdx-PdxPdx-PdxPdx

    ee)(ee)(e

    ( 46 )

    yp se denomina solucin particular o respuesta en estado estable, yh solucin homognea

    o respuesta transitoria (proviene de la ED homognea asociada 0)(' =+ xyPy ).

  • IIII----23232323 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Una ecuacin de la forma )()(' xQyxyPy n=+ se conoce como ecuacin de Bernoulli

    y se reduce a lineal mediante la transformacin nyv = 1 :

    )()1()}()1{()()(1

    1

    )()()()(

    1

    1)1(

    1

    11

    xQnxPnvdx

    dvxQxvP

    dx

    dv

    n

    xQxPydx

    dyyxQyxyP

    dx

    dy

    dx

    dv

    ndx

    dyy

    dx

    dyyn

    dx

    dv

    yyv

    nnn

    nn

    nn

    =+=+

    =+=+

    =+=

    ==

    +

    +

    ( 47 )

    ED de primer orden y grado superior

    La EDO de orden 1 y grado n, tiene la forma: 0),('),(...'),(' 11

    1 =++++ yxPyyxPyyxPy nnnn .

    Si expresamos 'yp = , entonces una ED orden 1 y grado n puede escribirse

    como un polinomio de p:

    0),(),(...),( 11

    1 =++++ yxPpyxPpyxPp nnnn

    ( 48 )

    ED que se pueden resolver respecto a p. Considerar la ED como un polinomio de

    p, factorizar 0)())(( 21 = nFpFpFp L y resolver cada ED resultante de primer

    grado ),(' yxFy k= cuya solucin es 0),,( =Cyxfk , entonces la solucin general se

    expresa como el producto de las soluciones particulares:

    0),,(),,(),,( 21 = CyxfCyxfCyxf nK

    ( 49 )

    Otros casos especiales de poca aplicacin prctica incluyen solucin respecto x e

    y. La ED de Clairaut es )(rfrxy += y su solucin es )(CfCxy += .

    ED lineal de orden superior

    La ED lineal de orden superior tiene la forma QyPyPyPyP nnnn =++++

    1

    11

    110 K

    ,

    donde yk es la k-sima derivada (de grado 1), los coeficientes Pk son funciones de la

    variable independiente Pk(x), o constantes y el trmino independiente Q una funcin

    Q(x), una constante o cero. Una EDO lineal de coeficientes constantes de grado n se

    puede tratar como un polinomio en la derivada de grado n y resolver por varios

  • 24242424 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----24242424

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    mtodos, tal ecuacin se denomina invariante en el tiempo y tiene gran

    aplicacin en los sistemas de control y en general en la descripcin fsica de

    gran variedad de fenmenos naturales.

    La ED lineal de coeficientes constantes de orden n, se resuelve por varios mtodos

    bien definidos: coeficientes indeterminados, variacin de parmetros, mtodo del operador

    D y transformada de Laplace. Los primeros dos son de ensayo y error, la

    transformada de Laplace es una formalizacin de los mtodos de operador y

    es directo y es el mtodo tradicional para el estudio de los sistemas de

    control. A continuacin se muestra la ED lineal invariante de orden superior as

    como su solucin general que consta de la suma de n soluciones linealmente

    independientes:

    xr

    n

    xrxr

    n

    n

    n

    n

    necececy

    yayayayaya

    +++=

    =+++++ K

    K

    2121

    )0(0

    )1(1

    )2(2

    )1(1

    )( 0

    ( 50 )

    A manera de ejemplo se expondr la solucin de la ED de orden 2:

    0)0(0)1(

    1)2(

    2 =++ yayaya

    ( 51 )

    La ecuacin caracterstica o auxiliar asociada se puede resolver por la frmula

    cuadrtica y se tienen 3 casos segn sus races sean reales o complejas:

    0012

    2 =++ arara

    ( 52 )

    Caso I - races reales distintas r1 r2:

    xrxr ececy 21 21 +=

    ( 53 )

    Caso II - races reales e iguales r1= r2:

    xrxr xececy 21 21 += ( 54 )

    Caso III - races complejas conjugadas r1=a+jb, r2=a-jb:

    ( )bxcbxceececy axxjbaxjba sincos 21)(2)(1 +=+= +

    ( 55 )

  • IIII----25252525 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Notacin matricial y sistemas de ecuaciones

    lineales

    Una matriz bidimensional es un arreglo rectangular m x n de celdas dispuestas en m filas y

    n columnas. Sea A una matriz mn, sea i el ndice de fila y j el ndice de columna, se

    denota por aij cualquier elemento de la matriz y la matriz por (aij). La traspuesta de

    una matriz se forma cambiando las filas por las columnas y se denota por AT

    o A, es decir: (aij)T=(aji). Las matrices de escalares se clasifican en: n-cuadrada, de

    orden n, n-matriz, nn o n2; identidad I unos en su diagonal principal (DP) ceros

    en otra parte; triangular superior MTS o triangular inferior MTI segn tenga ceros

    debajo o sobre la DP; diagonal, ceros en cualquier parte que no sea la DP;

    simtrica si AT=A; antisimtrica si AT=-A; ortogonal si AAT=ATA=I A-1=AT,

    donde A-1 es la matriz inversa de A y cumple que AA-1=I; normal aquella que

    conmuta con su traspuesta AAT=ATA (ejemplos: simtrica, antisimtrica y

    ortogonal). Sean A y B dos matrices mn y pq. La suma y resta solo est

    definida para matrices de igual dimensin m=p y n=q, se definen por

    (aij)+(bij) y (aij)-(bij); el producto por un escalar k, se define por k(aij). Un vector fila

    (ai), es una matriz n1, un vector columna (bj), es una matriz 1m y se define su

    producto escalar cuando n=m por (ai)(bj)=(ai1)+(b1j). La multiplicacin solo esta

    definida si el numero de columnas de A es igual al numero de filas de B, es

    decir n=p, la matriz resultante C ser mq, y se efecta como el producto

    escalar de cada vector fila de A denotado por [Ai] por cada vector columna de B

    denotado por [Bj], es decir (cij)= [Ai][Bj]. La divisin de A entre B se define

    por A/B=AB-1.

    El determinante de una matriz n-cuadrada A, se denota por det(A)=|A|=G, es un

    escalar (no un valor absoluto) y se obtiene por recursividad. A cada elemento aij de la n-

    matriz le corresponde un signo dado por (-1)i+j es decir: (+-+-); la submatriz de

    aij es aquella n-matriz que se obtiene eliminando la i-sima fila y la j-sima

    columna; el menor Mij de aij es el determinante de su submatriz Mij=|aij|; el cofactor o

    adjunto de aij se define por (-1)i+j*Mij. El determinante de una n-matriz es la suma de

  • 26262626 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----26262626

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus correspondientes

    cofactores, en smbolos:

    211222112221

    1211

    11

    :Ejemplo cofactor.*)1()(

    *)1(**)1(*

    }1{

    aaaaaa

    aaaacof

    aaAaaA

    nK

    ij

    ji

    ij

    n

    Kji

    ij

    ji

    ij

    n

    jKi

    ij

    ji

    ij

    ==

    ==

    +

    ==

    +

    ==

    +

    K

    ( 56 )

    Otra forma de expresar recursivamente el determinante es como sigue: Si A

    es una n-matriz, sea Aij la (n-1)-matriz obtenida a partir de A suprimiendo su

    i-simo rengln y su j-sima columna. Entonces el determinante |A| a lo largo de

    su i-simo rengln est dado por:

    )fija i(*)1(*1

    =

    +=n

    j

    ij

    ji

    ij AaA ( 57 )

    Para una matriz de 3x3 existe un mtodo conocido como regla de Sarrus y

    consiste en duplicar las filas 1 y 2 en la parte inferior de la matriz, el

    determinante es la suma de los productos de los elementos diagonales, hacia abajo

    son positivos y hacia arriba son negativos, es decir:

    331221233211132231231231133221332211

    232221

    131211

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaaaaaaaaaaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    ++= ( 58 )

    Si una n-matriz A tiene como inversa A-1 se dice que es regular o invertible (de lo contrario

    ser singular o no invertible) y satisface que AA-1=A-1A=I, y se obtiene por

    transformaciones elementales de rengln TER (mtodo de Gauss-Jordan) sobre la matriz

    aumentada de A con la matriz identidad I, A:I, de manera tal que se obtenga

    I:A-1, o bien por determinantes. Sea a0 un escalar y k un ndice {1n}, las

    TER son: (1) [Ai]=[Ak], [Aj]=[Ak]; (2) a[Ai], a[Aj]; (3) a[Ai][Ai+k], a[Aj][Aj+k];

    en general este procedimiento es iterativo. Empleando determinantes la

    inversa de A esta dada por:

    ( )0

    adj)( cof1 == AA

    A

    A

    aA

    T

    ij

    ( 59 )

  • IIII----27272727 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Para una matriz de 2-cuadrada se tiene que:

    ( )

    ==

    ==

    ==

    =

    1121

    1222

    12212211

    1

    1121

    1222

    1112

    212212212211

    2221

    1211

    -

    1

    det

    adj, cof adj

    , cof ,-det ,

    aa

    aa

    aaaaA

    AA

    aa

    aaAA

    aa

    aaAaaa aA

    aa

    aaA

    T

    ( 60 )

    Ejemplo 1.8. Determinar la inversa de A, empleando determinantes.

    =

    103

    112

    022

    A

    Solucin. (1) Se determina el determinante de A; (2) se encuentra la matriz de

    cofactores y la matriz adjunta; (3) se aplica la formula:

    ( )

    ( )

    =

    ==

    ==

    =

    =

    ===

    =

    21

    21

    41

    61

    61

    125

    61

    61

    121

    1

    ij

    663

    225

    221

    12

    1)()3(

    663

    225

    221

    Cof adJ

    622

    622

    351

    12

    22

    12

    02

    11

    0203

    22

    13

    02

    10

    0203

    12

    13

    12

    10

    11

    Cof

    :ij columnay fila laeliminar al obtenidas ssubmatrice las de tesdeterminan losson a elemento cada de cofactores Los(2)

    inversa tiene 012)5(22322213

    122

    10

    112det)1(

    A

    AadjA

    AAA

    A

    T

    Un sistemas de n ecuaciones lineales en el que los coeficientes se denotan por aij, las

    variables por xij y los trminos independientes por Yi, puede transformarse

    matricialmente en: una matriz de coeficientes n-cuadrada A, un vector columna de n-

    incgnitas X y un vector columna de n-trminos independientes Y; cuya relacin entre

    s es: AX=Y, la matriz aumentada del sistema MAS se representa por A:Y.

    nnnnnnn

    nn

    nn

    nn

    yxaxaxaxa

    yxaxaxaxa

    yxaxaxaxa

    yxaxaxaxa

    =++++

    =++++

    =++++

    =++++

    ...

    ...

    ...

    ...

    332211

    33333232131

    22323222121

    11313212111

    MMMMMMM

    YAX

    y

    y

    y

    y

    x

    x

    x

    x

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    nnnnnnn

    n

    n

    n

    =

    =

    KK

    K

    KKKKK

    K

    K

    K

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    321

    3333233

    2232221

    1131211

    ( 61 )

    La solucin X, en forma matricial esta dada por X=A-1Y. A si mismo para

    hallar la j-sima incgnita xj se emplea la regla de Cramer que consiste en sustituir

  • 28282828 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----28282828

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    la j-sima columna de la matriz de coeficientes (cuyo determinante es G) por el vector

    columna de trminos independientes y hallar su determinante denotado por j, de

    manera que xj=j/G.

    Los mtodos recursivos expuestos, son tiles para sistemas pequeos; sin

    embargo para grandes sistemas (como las matrices de admitancias de una red elctrica) se

    emplean mtodos cuya base son las TER y son en esencia iterativos. El mtodo

    de Gauss MG consiste en tomar la MAS, aplicar TER y formar una MTS y

    realizar sustitucin regresiva. El mtodo de Gauss-Jordan consiste en tomar la MAS,

    aplicar TER y formar una matriz identidad, entonces el vector de aumento tendr

    los valores de las incgnitas.

    Ejemplo 1.9. Resolver el sistema de ecuaciones lineales por transformaciones

    elementales de rengln.

    =

    9

    1

    7

    475

    121

    162

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    Solucin. Aplicando las TER a la matriz aumentada del sistema, se tiene que:

    =

    ++

    +

    +

    ++

    5

    3

    10

    5100

    3010

    10001

    5100

    10

    10401

    5100

    10

    1121

    00

    10

    1121

    14130

    10

    1121

    14130

    9320

    1121

    9475

    7162

    1121

    9475

    1121

    7162

    3

    2

    14

    29

    232

    29

    23

    255

    211

    29

    23 3

    29

    23

    52

    2323

    13

    12

    3112

    32221

    31

    21

    12

    x

    x

    xRR

    RR

    RR

    RRRR

    RRRR

    R

    Los mtodos de aproximaciones como Jacobi y Gauss-Seidel consideran ecuaciones de

    recurrencia para cada xi, cuya aproximacin xk se satisface cuando la diferencia

    entre valores inmediatos es un infinitsimo .

  • IIII----29292929 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    [ ]

    [ ] Seidel-Gauss)()1(1)1(

    Jacobi)()(1

    )1(

    )()1(,......

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    211

    +=+

    =+

    = _iSize) || (iIndex < 0)) { // THROW EXCEPTION } return _pdArray[iIndex]; } double& Vector::operator[](int iIndex) { if ((iIndex >= _iSize) || (iIndex < 0)) { // THROW EXCEPTION } return _pdArray[iIndex]; }

    1 2

  • IIII----33333333 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    matrix.ValidateSizes(rMatrix); for (int i = 0; i < matrix._iRows; i++) { matrix._pVector[i] = dNum + rMatrix._pVector[i]; } return matrix; } Matrix operator+(double dNum, const Matrix& rMatrix) { return operator+(rMatrix, dNum); } Matrix Matrix::operator-() const { Matrix matrix(*this); for (int i = 0; i < _iRows; i++) { matrix._pVector[i] = -_pVector[i]; } return matrix; } Matrix Matrix::operator-(const Matrix& rMatrix) const { return *this + (-rMatrix); } Matrix operator-(const Matrix& rMatrix, double dNum) { return operator+(rMatrix, -dNum); } Matrix operator-(double dNum, const Matrix& rMatrix) { return -operator-(dNum, rMatrix); } Matrix Matrix::operator*(const Matrix& rMatrix) const { Matrix matrix(_iRows, rMatrix._iColumns); if (_iColumns != rMatrix._iRows) { // THROW EXCEPTION } for (int i = 0; i < _iRows; i++) { for (int j = 0; j < rMatrix._iColumns; j++) { matrix[i][j] = _pVector[i] * rMatrix.GetColumn(j); } } return matrix; } Matrix operator*(const Matrix& rMatrix, double dNum) { Matrix matrix(rMatrix._iRows, rMatrix._iColumns); matrix.ValidateSizes(rMatrix); for (int i = 0; i < matrix._iRows; i++) { matrix._pVector[i] = rMatrix._pVector[i] * dNum; } return matrix; } Matrix operator*(double dNum, const Matrix& rMatrix) { return operator*(rMatrix, dNum); } Matrix operator/(const Matrix& rMatrix, double dNum) { return operator*(rMatrix, 1/dNum); } double Matrix::operator!() { double dDet = 0; int iSign = 0; if ((_iRows != _iColumns) || (_iRows == 0)) { // THROW EXCEPTION } if (_iRows == 1) { dDet = _pVector[0][0]; } else { Matrix matrixSub; for (int j = 0; j < _iColumns; j++) { matrixSub = *this; matrixSub.RemoveRow(0); matrixSub.RemoveColumn(j); iSign = (j % 2 == 0) ? 1 : -1; dDet += iSign * _pVector[0][j] * !matrixSub; } } return dDet; } Matrix Matrix::operator~() { Matrix matrix(_iColumns, _iRows); for (int i = 0; i < _iRows; i++) { for (int j = 0; j < _iColumns; j++) { matrix[j][i] = _pVector[i][j]; } } return matrix; } Vector Matrix::operator[](int iIndex) const

    2 % Clase para el manejo de matrices. arce_brito@hotmail.com [Ms Vc++ 6] % Archivo de implementacin: Matrix.cpp

    #include "Matrix.h" Matrix::Matrix() : _iRows(0), _iColumns(0), _pVector(0) { } Matrix::Matrix(const Matrix& rMatrix) : _iRows(rMatrix._iRows), _iColumns(rMatrix._iColumns), _pVector(0) { _pVector = new Vector[_iRows]; for (int i = 0; i < _iRows; i++) { _pVector[i] = rMatrix._pVector[i]; } } Matrix::Matrix(int iRows, int iColumns) : _iRows(iRows), _iColumns(iColumns), _pVector(0) { Vector vector(_iColumns); _pVector = new Vector[_iRows]; for (int i = 0; i < _iRows; i++) { _pVector[i] = vector; } } Matrix::~Matrix() { if (0 != _pVector) { delete[] _pVector; _pVector = 0; } } Matrix& Matrix::operator=(const Matrix& rMatrix) { if (this != &rMatrix) { if (0 != _pVector) { delete[] _pVector; _pVector = 0; } _iRows = rMatrix._iRows; _iColumns = rMatrix._iColumns; _pVector = new Vector[_iRows]; for (int i = 0; i < _iRows; i++) { _pVector[i] = rMatrix._pVector[i]; } } return *this; } Matrix& Matrix::operator+=(const Matrix& rMatrix) { *this = *this + rMatrix; return *this; } Matrix& Matrix::operator-=(const Matrix& rMatrix) { *this = *this - rMatrix; return *this; } Matrix& Matrix::operator*=(const Matrix& rMatrix) { *this = *this * rMatrix; return *this; } bool Matrix::operator==(const Matrix& rMatrix) { bool bEqual = true; for (int i = 0; i < _iRows; i++) { if (_pVector[i] != rMatrix._pVector[i]) { bEqual = false; break; } } return bEqual; } bool Matrix::operator!=(const Matrix& rMatrix) { return !operator==(rMatrix); } Matrix Matrix::operator+(const Matrix& rMatrix) const { Matrix matrix(_iRows, _iColumns); ValidateSizes(rMatrix); for (int i = 0; i < _iRows; i++) { matrix._pVector[i] = _pVector[i] + rMatrix._pVector[i]; } return matrix; } Matrix operator+(const Matrix& rMatrix, double dNum) { Matrix matrix(rMatrix._iRows, rMatrix._iColumns);

    1

  • 34343434 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----34343434

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    { if (0 == _pVector) { // TROW EXCEPTION } if (iIndex >= _iRows) { // TROW EXCEPTION } return _pVector[iIndex]; } Vector& Matrix::operator[](int iIndex) { if (0 == _pVector) { // TROW EXCEPTION } if (iIndex >= _iRows) { // TROW EXCEPTION } return _pVector[iIndex]; } Vector Matrix::GetRow(int iIndex) const { if (0 == _pVector) { // TROW EXCEPTION } if (iIndex >= _iRows) { // TROW EXCEPTION } return _pVector[iIndex]; } Vector Matrix::GetColumn(int iIndex) const { Vector vector(_iRows); for (int i = 0; i < _iRows; i++) { vector[i] = _pVector[i][iIndex]; } return vector; } bool Matrix::ValidateSizes(const Matrix& rMatrix) const { if (_iRows != rMatrix._iRows) { // THROW EXCEPTION } if (_iColumns != rMatrix._iColumns) { // THROW EXCEPTION } return true; } void Matrix::RemoveRow(int iIndex) { Matrix matrixCopy(_iRows-1, _iColumns); for (int i = 0, j = 0; i < _iRows; i++) { if (iIndex == i) { continue; } matrixCopy[j++] = _pVector[i]; } operator=(matrixCopy); } void Matrix::RemoveColumn(int iIndex) { Matrix matrixCopy(~(*this)); matrixCopy.RemoveRow(iIndex); operator=(~matrixCopy); }

    3

  • IIII----35353535 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    % Transformacin de una matriz cuadrada en triangular superior. arce_brito@hotmail.com [Matlab 5] % Mtodo de Gauss. Archivo mTransfTS.m % Entrada.: matriz mAY(NxN+1) % Salida..: la matriz transformada en Triangular Superior: mTS % Uso.....: mTransfTS(mAY) function [mTS] = mTransfTS(mAY) mTS=mAY; N=size(mAY,1); if size(mAY,2)~=N+1 then disp('Error! la matriz mAY debe ser NxN+1.') return; end %eliminacin del triangulo superior for c=1:N-1 for f=c+1:N %Nota mTS(f,:) hace referencia a la fila completa f de mTS mTS(f,:)=mTS(f,:)-mTS(c,:)*mTS(f,c)/mTS(c,c) end end return;

    % Solucin del sistema de ecuaciones por sustitucin hacia atrs. arce_brito@hotmail.com [Matlab 5] % Archivo: mSolveTS.m % Entrada.: matriz triangular superior mTS(NxN+1) % Salida..: un vector solucin vS(N) % Uso.....: mSolveTS(mTS) function [vS] = mSolveTS(mTS) N=size(mTS,1); vS=zeros(N,1); if size(mTS,2)~=N+1 then disp('Error! la matriz mTS debe ser (NxN+1)') return; end %sustitucin hacia atras f=N; for k=1:N c=N; sAcumulado=0; for m=1:N-f sAcumulado = sAcumulado + mTS(f,c)*vS(c); c=c-1; end vS(f)=(mTS(f,N+1)-sAcumulado) / mTS(f,f); f=f-1; end return;

    % Solucin del sistema de ecuaciones por mtodo iterativo de Jacobi. arce_brito@hotmail.com [Matlab 5] % Archivo: mJacobi.m % Entrada.: matriz de coeficientes mAY(NxN), % vector de trminos independientes vY(Nx1) % Salida..: un vector solucin vS(N) % Uso.....: mJacobi(mAY) function [Xs] = mJacobi(mA, vY) N=size(mA,1); if size(vY)~=N then disp('Error! la matriz mTS debe ser (NxN+1)') return; end %la matrices tienen unos como valores iniciales Xs=ones(N,1); XsOld=ones(N,1); %numero mximo de iteraciones MAXITER=100 %Error mximo permitido MaxErr=0.0001 deltaE=0; %formacion de la matriz D D=zeros(N,N); vdiagA=diag(mA); for k=1:N D(k,k)=vdiagA(k); end M=inv(D)*(D-mA); cuentaX=0; h=0; while cuentaX

  • 36363636 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----36363636

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Notacin vectorial

    En la fsica clsica (Newtoniana, en la que cv

  • IIII----37373737 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    vector C(C1,C2,C3), se define el triple producto escalar como A(BC) y el triple

    producto vectorial por A(BC), es decir:

    ( )

    CBABCACBA

    CCC

    BBB

    AAA

    CBACBA

    nBA

    BBB

    AAA

    kji

    ABBA

    BABABABAABBA

    BABABABABA

    BBBB

    kBkBkBBk

    BABABABA

    BBBBAAAA

    AB

    AB

    rrrrrrrrr

    rrrrrr

    rrrrrr

    rrrrrr

    rrrr

    r

    r

    rr

    rr

    )()()(

    )()(

    fuera hacia AB plano al normal es n vector el sin

    cos

    ),,()(

    ),,(

    ),,(

    ),,(

    ),,( ),,,(

    321

    321

    321

    321

    321

    332211

    332211

    321

    321

    332211

    321321

    =

    ==

    ===

    =++==

    =+=

    =

    =

    +++=+

    ==

    ( 66 )

    La magnitud de A puede determinarse a partir del producto punto, la componente de

    A sobre B compBA es un escalar, la proyeccin de A sobre B proyBA es un vector

    (cuya magnitud es la componente de A sobre B y cuya direccin es la de B).

    ( ) ( ) BB

    BABAcomp

    B

    BAcompAproy

    AB

    BAAcomp

    AAAAAAA

    BBB

    ABB

    rr

    rr

    r

    r

    rr

    rr

    rrr

    ===

    =

    =

    ++===

    2

    23

    22

    21

    cos ( 67 )

    Geometra vectorial

    La ecuacin de la recta MtAlrrr

    += queda determinada por un vector A(A1,A2,A3)

    cuya punta toca la recta y otro vector M(M1, M 2, M 3) en la direccin de la

    misma, siendo t un escalar; o bien por dos puntos P(P1,P2,P3), Q(Q1,Q2,Q3) a

    lo largo de la misma.

  • 38383838 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----38383838

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    tPQPz

    tPQPy

    tPQPx

    QQQPPPP

    tMAz

    tMAy

    tMAx

    zyxMMMAAAA

    )(

    )(

    )(

    )P-Qt(Pl

    ),,(Q ),,,(

    MtAl

    ),,(l ),,,(M ),,,(

    333

    222

    111

    321321

    33

    22

    11

    321321

    +=

    +=

    +=

    +=

    ==

    +=

    +=

    +=

    +=

    ===

    rrrr

    rrr

    rrr

    ( 68 )

    La ecuacin del plano 0321 =+++ kznynxn queda completamente determinada por

    un punto P(P1,P2,P3) y un vector normal al plano n(n1,n2,n3); o bien por tres

    puntos A, B, C no colineales (colineal = a lo largo de la misma lnea). La distancia del

    punto Q(Q1,Q2,Q3) al plano 0321 =+++ kznynxn , se denota por d.

    23

    22

    21

    332211332211

    332211

    222211

    321321321

    332211

    321

    321321

    n

    n

    ),,( ),,,( ),,,(

    0

    ),,(n ),,,(

    nnn

    kQnQnQnkQnQnQnd

    CACACA

    BABABA

    kji

    CABA

    CCCCABBBAAAA

    PnPnPnk

    kznynxn

    nnnPPPP

    ++

    +++=

    +++=

    ==

    ===

    =

    =+++

    ==

    r

    r

    r

    ( 69 )

    Clculo vectorial

    Curvas, superficies, slidos y regiones. La grfica de una funcin y=f(x), es el

    conjunto de todos los puntos en el plano (x,y) y engendra una curva, y para su

    anlisis completo basta el clculo de una variable. La grfica de una funcin

    z=f(x,y) es el conjunto de los puntos en el espacio (x,y,z) y engendra una superficie,

    y para su anlisis completo se requiere el clculo multivariable. Un slido es un

    cuerpo que ser generado haciendo girar una curva en torno a un eje fijo o bien

    desplazando linealmente una superficie normal a un plano. Una regin en la recta es un

    segmento, en el plano es un rea y en el espacio es un volumen.

    Funcin escalar multivariable y vectorial. Una funcin escalar multivariable es

    aquella que consta de 2 o ms variables independientes, por ejemplo: z=f(x,y) o

  • IIII----39393939 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    u=f(x,y,z) y se denota por 13: RRUf . Una funcin vectorial E=E(x,y,z) asigna

    vectores a cada punto del espacio, es decir es un vector cuyas componentes

    (E1,E2,E3) son funciones escalares de x,y,z: E1=f(x,y,z), E2=g(x,y,z),

    E3=h(x,y,z), se denota por 33: RRUf . En general una funcin f de dominio U, se

    define por mn RRUf : , y ser funcin de valores escalares si m=1 y funcin de valores

    vectoriales si m>1.

    Derivada parcial. La derivada parcial da la razn de cambio de una funcin en una

    direccin. Consideremos la funcin f(x,y,z), continua (en el intervalo I) y

    diferenciable, se define la derivada parcial xf/ de la funcin respecto de x

    (considerando las otras variables y,z como constantes al derivar), la derivada parcial sucesiva de

    orden k ( Nk ) tiene la forma kxf/ k , la derivada parcial iterada (o mixta) de orden 3

    es zyxf /3 (el orden de derivacin x,y,z es irrelevante), la diferencial total de f es df, en

    smbolos:

    totallDiferencia zyx

    3orden de iterada parcial Derivada zxzyx

    f

    yzx

    f

    xyz

    f

    3orden de sucesiva parcial Derivada xxxx

    f

    xx

    f

    parcial Derivada ),,(),,(

    lim),,(x

    f

    z)y,f(x,f

    333

    2

    2

    3

    3

    0

    +

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    +==

    =

    dzf

    dyf

    dxf

    df

    f

    y

    f

    x

    zyxfzyxxffzyx

    xx

    K

    ( 70 )

    Regla de la cadena. Se aplica al derivar funciones de funciones. Sea una

    funcin g(x,y,z), se tienen 2 casos: (1) que (x,y,z) sean funciones de (t1,t2,t3) o

    bien, (2) que (x,y,z) sean funciones del mismo parmetro (t), entonces:

    t

    z

    z

    g

    t

    y

    y

    g

    t

    x

    x

    g

    dt

    dg

    tzztyytxxg(x,y,z)g

    t

    z

    z

    g

    t

    y

    y

    g

    t

    x

    x

    g

    t

    g

    t

    z

    z

    g

    t

    y

    y

    g

    t

    x

    x

    g

    t

    g

    t

    z

    z

    g

    t

    y

    y

    g

    t

    x

    x

    g

    t

    g

    tzztyytxxg(x,y,z)g

    +

    +

    =

    ====

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    ====

    )( ),( ),( ,

    , ,

    )( ),( ),( ,

    333322221111

    321

    ( 71 )

    Derivada vectorial. Si u=u(t) es un funcin escalar y A=A(t), B=B(t) son

    funciones vectoriales, cuyas componentes son funciones del parmetro t, entonces:

  • 40404040 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----40404040

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) AdkAdjAdiAdADADADAD

    BADBDABAD

    BADBDABAD

    AuDAuDAuD

    BDBDBAD

    tuutBtBtBBtAtAtAA

    tttt

    ttt

    ttt

    ttt

    ttt

    rrrrr

    rrrrrr

    rrrrrr

    rrr

    rrrr

    rr

    ),,(

    )())(),(),(()(),(),(

    1321

    321321

    ++==

    +=

    +=

    +=

    +=+

    ===

    ( 72 )

    Campo escalar y vectorial. Un campo es una regin (porcin o parte) del espacio que se

    puede describir por una funcin escalar o vectorial en cada uno de sus puntos. Sea

    r=r(x,y,z) un vector de posicin que define cada punto del espacio en el que

    acta un campo. Un campo escalar o campo potencial )(rr= asigna un escalar a

    cada punto del espacio (campos escalares: temperatura, densidad), las superficies con cte= ,

    se denominan equipotenciales. Un campo vectorial )(rEE rrr

    = asigna un vector a cada

    punto del espacio (campos vectoriales: campo elctrico, campo magntico, campo gravitacional), grficamente

    los vectores que salen de la fuente campo se representan como lneas de flujo con magnitud proporcional y

    direccin igual al vector en ese punto. Un campo vectorial E en el espacio (R3), tiene

    tres componentes (E1,E2,E3), si cada componente es una funcin de k variables, se

    dice que el campo es de clase Ck. Por ejemplo E(x,y,z) es un campo cuyas

    componentes son funciones de 3 variables x,y,z y es de clase 3 (C3); E(t) es un

    campo cuyas componentes son funciones de 1 variable t, y es de clase 1 (C1).

    Gradiente, derivada direccional, divergencia, laplaciano y rotacional. Se define

    al operador nabla o del como un vector de derivadas parciales ( )zyx = /,/,/ .

    Sea r=r(x,y,z) un vector de posicin, y )(rr= un campo escalar y E=E(r) un

    campo vectorial. El gradiente =grad es el producto del operador nabla con la funcin

    escalar y genera un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de

    , el gradiente de un campo escalar, es un vector que representa tanto la magnitud como la direccin de la

    mxima rapidez de incremento del campo. La derivada direccional de en direccin del

    vector unitario de E, es EDE

    =r . La divergencia es el producto punto del

    operador nabla con una funcin vectorial EEdivrr

    = , la divergencia de un campo vectorial en un punto

    dado puede considerarse como una medida del grado en que el campo diverge o emana de tal punto. El

    laplaciano de un campo escalar , es la divergencia del gradiente de : = 2

    y es un escalar. El rotacional es el producto cruz del operador nabla con una funcin

  • IIII----41414141 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    vectorial EErotrr

    = , el rotacional de un campo vectorial en un punto dado puede considerarse como el

    grado en que el campo gira alrededor de tal punto. En smbolos:

    ( )

    ( )

    rotacional

    kji

    EErot

    laplaciano

    adivergenci )E,E,E(/,/,/EEdiv

    ldirecciona derivada E

    gradiente

    vectorialcampo ),,()r(EE

    escalar campo z)y,(x,)(

    /,/,/

    321

    2222

    321321

    ==

    +

    +

    ==

    +

    +

    ===

    =

    +

    +

    ==

    ==

    ==

    +

    +

    ===

    EEE

    zyx

    zyx

    z

    Ek

    y

    Ej

    x

    Ezyx

    D

    zk

    yj

    xigrad

    zyxE

    r

    xk

    xj

    xizyxdel

    E

    rr

    rr

    rrr

    r

    ( 73 )

    Algunas identidades bsicas del anlisis vectorial se listan a continuacin:

    ( )

    fggffggfdiv

    gfdivgffggfgff

    frotFfFrotfFfrot

    FrotdivGrotFFrotGGFdivfFFdivfGfdiv

    GrotFrotGFrotGdivFdivGFdiv

    ggffggffggfgffccfgfgf

    22

    222

    2

    **)**(

    0)()(2**)*(

    0)(*)*(

    0)()()(*)*(

    )()()()()()(

    /)/()*()(

    =

    =++=

    =+=

    ==+=

    +=++=+

    =+==+=+

    rr

    rrrrrrrrrrr

    rrrrrrrr

    ( 74 )

    Integrales dobles y triples. Sea z=f(x,y) una superficie elevada sobre el plano

    XY hacia el eje Z+; S una regin en el plano XY, limitada por dos rectas paralelas al

    eje Y: x=x1, x=x2 tales que x2>x1x, y limitada por dos curvas 1(x), 2(x) tales

    que 2(x)>1(x)x, entonces la integral doble de f sobre la regin S representa el

    volumen V del slido, cuya altura es z y su base es S, si f(x,y)=1 se obtiene el rea

    A de la regin S:

    ===

    ===

    R

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    R

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    dxdydxdydAA

    dxdyyxfdxdyyxfdAyxfV

    2

    1

    )(2

    )(1

    2

    1

    )(2

    )(1

    2

    1

    )(2

    )(1

    2

    1

    )(2

    )(1

    ),(),(),(

    ( 75 )

  • 42424242 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----42424242

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Consideremos una regin W en el espacio, cuya densidad este dada por una

    funcin f(x,y,z), entonces el volumen V y la masa m de tal regin estn dadas

    por la integral triple de f en la regin S, en smbolos:

    =

    =

    W

    W

    dxdydzzyxfm

    dxdydzV

    ),,( ( 76 )

    En general las integrales mltiples son integrales iteradas y cada integral es una

    integral parcial, no importando el orden de integracin siempre que se tomen

    los lmites apropiadamente.

    Elementos diferenciales vectoriales de longitud, rea y volumen. Un desplazamiento

    diferencial es el espacio es un vector cuyos componentes son desplazamientos

    diferenciales a lo largo de los ejes coordenados ),,( dzdydxld =r . El rea normal

    diferencial es un vector perpendicular al plano de dos elementos diferenciales de

    longitud ndSdxdzdydzdydzSd ),0,0()0,,0()0,0,( ====r . El volumen diferencial es un

    escalar dxdydzdv = .

    Integral de trayectoria, lnea y superficie. Las integrales que involucran la

    suma de contribuciones que un campo escalar o vectorial provoca a lo largo

    de una curva, a travs de una superficie o en el interior de un volumen tienen

    aplicaciones fsicas importantes. Una lnea es el contorno de una curva abierta

    (alisada o alisada por partes) o cerrada (simple o no simple con nodos). Consideremos dos

    puntos P y Q a lo largo de una curva C y un campo escalar f=f(x(t),y(t),z(t)) y un

    campo vectorial E=E(E1,E2,E3) en el espacio donde se sita tal curva (la lnea

    podra ser una espira de alambre inmersa en un campo magntico emitido por dos magnetos permanentes). Se

    define la integral de trayectoria como la suma de las contribuciones del campo

    escalar f a lo largo de la curva C. Se define la integral de lnea como la suma de los

    componentes del campo a lo largo de la curva ldErr

    desde P hasta Q. Si la curva es

    cerrada se denota la integral por el smbolo y se denomina circulacin del

    campo. La integral de superficie de un campo vectorial que pasa a travs de una

  • IIII----43434343 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    superficie S, es la cantidad neta de fluido que fluye a travs de la superficie por unidad

    de tiempo, es decir, la razn de flujo: S SdFrr .

    Teoremas del clculo vectorial. El teorema de divergencia o de Gauss-Ostrogradsky,

    establece que: el flujo neto del campo vectorial E que sale de la superficie cerrada S es

    igual a la integral de volumen de la divergencia del campo E:

    = VS dVESdErrr

    ( 77 )

    El teorema de rotacional o teorema de Stokes establece que: la circulacin del campo

    vectorial E alrededor de un contorno cerrado C es igual a la integral del rotacional de E

    sobre la superficie abierta S limitada por el contorno C:

    = SC SdEldErrrr

    ( 78 )

    Electromagnetismo y las ecuaciones de Maxwell

    Gran parte de la formalizacin matemtica del clculo vectorial proviene de

    los estudios que Maxwell hizo en la electricidad y el magnetismo para

    formular la teora electromagntica. Sus resultados se simplifican en 4 ecuaciones

    a continuacin expuestas:

    Elctrico Campo Gauss deLey )(

    Magntico Campo Gauss deLey 00)(

    Ampere deLey )(

    Faraday deLey )(

    ==

    ==

    +=

    +=

    =

    =

    VS

    S

    SSC

    C S

    dVSdDDd

    SdBBc

    Sdt

    DSdJldH

    t

    DJHb

    Sdt

    BldE

    t

    BEa

    rrr

    rrr

    rr

    rrrrr

    rr

    rr

    rrr

    r

    ( 79 )

    Donde: E es la intensidad decampo elctrico (V/m) H es la intensidad de campo magntico (A/m) B es la densidad de flujo magntico (T=Wb/m2) D es la densidad de flujo elctrico (C/m2) J es la densidad de corriente (A/m2)

    es la densidad de carga (C/m3) En (a) y (b) S es la superficie abierta limitada por el contorno cerrado C. En (c) y (d) V es el volumen limitado por la superficie cerrada S.

  • 44444444 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----44444444

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Figura 1.1 Espira inmersa en un campo

    magntico con variacin senoidal B

    Las ecuaciones de Maxwell junto con la ecuacin de conservacin de la carga y la

    ecuacin de fuerza de Lorentz brindan una descripcin completa de todas las

    iteraciones electromagnticas clsicas:

    [ ] Lorentz de fuerzaBvEqF

    carga la den conservaci

    +=

    =rrrr

    r

    tJ

    ( 80 )

    Las densidades de flujo elctrico D y magntico B se relacionan con las intensidades de

    campo elctrico E y magntico H mediante la permitividad y la permeabilidad :

    luz la de constante/1c

    relativa dadpermeabilia,dielctric constante:donde

    )H/m(104

    )F/m(36

    1010854.8

    00

    7

    00

    912

    00

    =

    ===

    ===

    rr

    r

    r

    HHB

    EED

    rrr

    rrr

    ( 81 )

    La ecuacin (a) es un caso especial de la ley de induccin de Faraday, y

    representa la fuerza electromotriz inducida (fem) en una espira cerrada estacionaria

    debida a una tasa de cambio de la densidad de flujo magntico respecto al

    tiempo y se conoce como fem de transformacin. Si un conductor se mueve a

    una velocidad v en un campo magntico B, se induce una fem conocida como fem

    movimiento. La fem total inducida de una espira que se mueve en un campo magntico, es

    la suma de la fem de transformacin y la fem de movimiento:

    +

    =+=CS

    mt ldBvSdt

    Beee

    rrsrr

    )( ( 82 )

    En trminos del flujo magntico total que pasa a travs de la espira , la ecuacin

    anterior se escribe en forma compacta como:

    == S SdBdtd

    err

    ( 83 )

    Ejemplo 1.11. Una espira cuadrada (figura 1.1) con

    lados de 10 cm (0.1 m) de longitud est en un campo

    magntico con variacin senoidal de intensidad 100

    A/m y frecuencia de 50 MHz. El plano de la espira es

    perpendicular a la direccin del campo magntico. Si

  • IIII----45454545 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    se conecta un voltmetro en serie con la espira, cul es su lectura?

    Solucin. Puesto que la espira es estacionaria, la fem inducida se debe a la fem

    de transformacin, considerando la permeabilidad del espacio libre 0 y sabiendo que

    la lectura del voltmetro ser un valor rms se tiene que:

    [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    [ ] ==

    =++=

    =

    =

    =

    ==

    ==

    ===

    V15.2792

    784.394

    cos784.39405.005.005.005.0cos4.478,39

    cos4.478,39

    cos4.478,39

    cos10502104100cos100

    1050,2

    ,Tsin100A/msin100

    05.0

    05.0

    05.0

    05.0

    670

    6

    00

    rms

    z

    z

    zz

    zz

    V

    tte

    dydxte

    adxdySd

    att

    B

    atatt

    B

    ff

    atHBatH

    r

    r

    r

    rrr

    La ecuacin (b) es la definicin matemtica de la ley de Ampere. Establece

    que la integral de lnea de la intensidad de campo magntico alrededor de un ciclo cerrado

    es igual a la corriente total encerrada. La corriente total es la suma de la corriente de

    conduccin Ic y la corriente de desplazamiento Id. En un conductor por el que fluye

    corriente a bajas frecuencias, la corriente de desplazamiento es mnima.

    +=+=SS

    dc Sdt

    DSdJIII

    rr

    rv

    ( 84 )

    La ley de fuerza de Ampere establece que un conductor por el que circula una

    corriente I inmerso en un campo magntico B, recibe una fuerza dada por:

    = C BlIdFrrr

    ( 85 )

    De esta manera para el trozo de conductor de longitud 2b mostrado en la

    figura 1.2, portador de una corriente I, situado en un campo magntico B,

    siente una fuerza en la direccin x y esta dada por:

    [ ] [ ]N2)()( xxb

    byz

    CaIBbabbIBaaIBdzBlIdF =+===

    rrr

    ( 86 )

    Figura 1.2 Fuerza en un conductor

    que conduce una corriente I en un

    campo magntico uniforme B

  • 46464646 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----46464646

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Figura 1.3 Espira inmersa

    en un campo magntico

    uniforme B, formando un

    ngulo

    Consideremos la espira de alambre mostrada en

    la figura 1.3, con 2 lados de longitud L (paralelos

    al eje X) y dos lados de longitud W, y teniendo

    capacidad para girar libremente, inmersa en un

    campo magntico constante B en direccin Z; sea an

    el vector unitario normal a su superficie; sea I la

    corriente que circula en su interior. Cuando es el

    ngulo que forma an con el vector de campo B,

    la fuerza que sienten los lados L1 y L2 de la

    espira esta dada por:

    yba aBILFF ==rr

    ( 87 )

    De esta manera los pares rF ejercidos sobre los conductores L1 y L2

    generan un par total en la espira que est dada por:

    LWAaBIATaWBILTT xxba ==== sin,sin)2/( rrr

    ( 88 )

    La anterior es la ecuacin fundamental que rige el desarrollo del par en todas las

    mquinas elctricas, para N espiras se tiene: xaBIANT sin=

    r .

    Transformacin de sistemas coordenados

    Las coordenadas de un punto P, en los tres sistemas ortogonales de mayor uso en

    la ingeniera son: rectangular (R) P(x,y,z), cilndrico (C) P(,,z) y esfrico (E)

    P(r,,). Los vectores unitarios (a1,a2,a3), de los 3 sistemas son: rectangular

    (ax,ay,az), cilndrico (a,a,az) y esfrico (ar,a,a), tienen magnitud unitaria, y su

    direccin es la de los ejes coordenados positivos del sistema; mediante estos

    el vector A con origen O(0,0,0) de componentes (A1,A2,A3), se representa

    por: A=A1a1+A1a1+A1a1.

  • IIII----47474747 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Las relaciones entre las coordenadas de los sistemas se obtienen directamente

    de la figura 1.4 aplicando las funciones trigonomtricas correspondientes y el

    teorema de Pitgoras. Por ejemplo:

    zzzyx

    x

    y

    x

    yyxr 1222122 coscostantan ==++===+=

    ( 89 )

    Las componentes de A en el sistema coordenado de vectores unitarios {b1,b2,b3} se

    pueden hallar mediante la siguiente relacin de transformacin:

    =

    3

    2

    1

    333231

    232221

    131211

    3

    2

    1

    A

    A

    A

    ababab

    ababab

    ababab

    B

    B

    B

    ( 90 )

    La ecuacin de transformacin anterior puede escribirse matricialmente

    como B=MA, siendo A y B vectores columna de las componentes, y M la matriz de

    los productos escalares de los vectores unitarios, obsrvese que A=M-1B. El listado

    siguiente proporciona las ecuaciones matriciales de transformacin coordenada para la

    conversin entre los 3 sistemas expuestos.

    Figura 3.4 Sistemas coordenados ortogonales (rectangular, cilndrico y esfrico)

  • 48484848 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----48484848

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    EC

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    CE

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    ER

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    RE

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    CR

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    RC

    z

    r

    z

    r

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    r

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    r

    0sincos

    100

    0cossin

    0sincos

    sin0cos

    cos0sin

    0sincos

    cossincossinsin

    sincoscoscossin

    0cossin

    sinsincoscoscos

    cossinsincossin

    100

    0cossin

    0sincos

    100

    0cossin

    0sincos

    ( 91 )

    Transformacin fasorial

    La trasformacin fasorial se aplica nicamente a ondas sinusoidales (coseno o seno) y

    da como resultado una notacin de variable compleja, fcilmente manejable

    mediante algebra lineal. La transformacin fasorial se emplea ampliamente en sistemas

    elctricos debido a que la energa elctrica se genera y transmite en forma de onda

    sinusoidal, la frecuencia tpica en Mxico es de f=60 Hz (=2f=2*60 377

    rad/s) .

    La transformacin fasorial se basa en la identidad de Euler, obtenida por

    observacin de series de Maclaurin de las funciones seno, coseno y exponencial:

  • IIII----49494949 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    K

    K

    K

    K

    K

    +++=

    =+++++=

    +=++=

    +=++=

    =++=

    =

    =

    +

    =

    +

    =

    !4!3!21

    !!4!3!21

    )!12()1(

    753)sin

    )!12()1(

    !7!5!3)sin(

    )!2()1(

    !6!4!21)cos(

    432

    0

    432

    0

    12753

    0

    12753

    0

    2642

    jje

    ke

    kj

    !

    j

    !

    j

    !

    jj(j

    k

    k

    j

    k

    k

    k

    kk

    k

    kk

    k

    kk

    ( 92 )

    La observacin de que la funcin ej equivale a la suma de las funciones cos()

    y jsin, condujo a Euler a la siguiente relacin conocida como identidad de

    Euler:

    sincossincos jeje jj =+=

    ( 93 )

    De las relaciones anteriores se obtiene la forma exponencial compleja para

    las funciones seno y coseno:

    )(cos

    cos2

    sincos

    sincos

    21

    jj

    jj

    j

    j

    ee

    ee

    je

    je

    +==+

    =+

    +=

    )(sin

    sin2

    sincos

    sincos

    21

    jj

    j

    jj

    j

    j

    ee

    jee

    je

    je

    =

    =+=

    +=

    Valor medio cuadrtico de la funcin senoidal

    Una funcin senoidal (seno o coseno) de frecuencia angular =2/T y de periodo

    T=2/, alterna su sentido cada T/2 segundos (con f=60Hz, T=1/f16.67

    ms); puesto que la funcin es simtrica, el valor promedio de la funcin es cero.

    Una alternativa al valor promedio de la funcin senoidal, es el valor medio

    cuadrtico rms (root mean square) o valor eficaz, definido por:

    [ ] +==

    +=TT

    rms dttIT

    dtiT

    I

    tIti

    0

    2max

    0

    2

    max

    )cos(11

    )cos()(

    ( 94 )

    La evaluacin de la integral resulta fcil empleando identidades trigonomtricas:

  • 50505050 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----50505050

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    [ ]{ }

    [ ] [ ]

    [ ]

    ( ) maxmaxmaxmaxmaxmax

    /2

    0

    max/2

    0

    max

    /2

    0

    2max

    /2

    0212

    max

    212

    707.0222

    22

    2

    2

    2)2()24(

    2

    12

    2

    )22(2

    1

    2)22cos(1

    2

    )22cos(12

    1

    /2)22cos(1

    /2

    1

    Z n )()(

    )22cos(1)(cos

    IIIII

    sensenI

    I

    tsentI

    dttI

    I

    dttI

    dttII

    sennsen

    tt

    rms

    rms

    rms

    ====

    ++=

    ++=++=

    ++=++=

    =+

    ++=+

    +

    Transformacin fasorial

    La transformacin fasorial consiste en representar una funcin cosenoidal en el

    dominio del tiempo i(t), de amplitud Imax, periodo T, ngulo de fase , y frecuencia

    angular =2/T, como un nmero complejo en su forma polar I(), el cual se

    dice que esta en dominio de la frecuencia. Es decir, la transformacin fasorial

    transforma una funcin senoidal en una funcin exponencial compleja (cuya base es la

    identidad de Euler):

    maxmax

    max

    707.02

    ~)cos()(

    II

    I

    IItIti

    rms

    rms

    =

    =+=

    ( 95 )

    La transformacin fasorial inversa consiste en dado un fasor de frecuencia angular ,

    valor efectivo o valor medio cuadrtico Irms, ngulo de fase expresarlo en el dominio

    del tiempo i(t), como una funcin cosenoidal:

    rmsrms

    rms

    III

    tItiII

    414.12

    )cos()(~

    max

    max

    =

    +==

    ( 96 )

    Si la funcin esta expresada en trminos de la funcin senoidal es fcil

    convertirla en funcin cosenoidal, recordando las siguientes identidades

    trigonomtricas:

    )sin()sin()sin()sin(

    )cos()2/sin()cos()2/sin(

    )cos()2/sin()sin()sin(

    ==

    ==+

    == y

    )cos()cos()cos()cos(

    )sin()2/cos()sin()2/cos(

    )sin()2/cos()cos()cos(

    ==

    =+=

    ==

  • IIII----51515151 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Una vez transformado en fasor, el nmero complejo resultante obedece a todas las leyes y

    principios de nmeros complejos ordinarios. Por lo antes dicho es fcil obtener la

    representacin fasorial para la derivada e integral de la funcin cosenoidal, como se

    muestra a continuacin:

    ====

    +===

    ==+=

    ++

    ++

    +

    90111

    90))(

    ~)cos(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    max

    rmsrmsrms

    tj

    rmstj

    rms

    rmsrms

    tj

    rms

    tj

    rms

    tj

    rmsrms

    IIjIjj

    eIdteIidt

    IIjeIjdt

    eId

    dt

    di

    eIIItIi

    ( 97 )

    Transformacin fasorial en circuitos elctricos de

    corriente alterna

    La aplicacin ms extendida de los fasores es

    en circuitos elctricos sujetos a funciones de

    excitacin senoidales, conocidos como

    circuitos de corriente alterna ca. Considrese

    el circuito RLC serie, mostrado en la

    figura 1.5. Hallar el modelo del circuito

    y obtener su solucin.

    Aplicando la LVK a la malla y la convencin pasiva de los signos se tiene la

    siguiente ecuacin diferencial, cuya primitiva i(t), es su solucin:

    01

    )cos( =++++ idtCdtdi

    LRitVm

    Considerando que la funcin de excitacin es senoidal v(t), y el circuito es

    lineal, entonces se espera una respuesta i(t) senoidal, de esta forma aplicando

    transformacin fasorial a la ecuacin diferencial obtenida, resulta en:

    Figura 3.5 Circuito RLC serie

  • 52525252 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----52525252

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( )

    [ ]RC

    L

    CLRK

    K

    VV

    KI

    V

    CLjR

    IVRC

    LjI

    VRIICj

    LIjtVRiidtCdt

    diL

    rms

    rmsrms

    rmsrmsrmsrms

    rmsrmsrmsrmsm

    /)1(arctan

    )1(

    :donde

    )(1

    )1(

    1)1(*

    1)cos(

    1

    22

    =

    +=

    =

    =

    +

    ==+

    =+++=++

    Aplicando la transformacin fasorial inversa, resulta:

    )cos(2

    )( += tVK

    ti rms

    Al aplicar la transformacin fasorial a los circuitos elctricos con fuentes de

    excitacin senoidal (corriente alterna senoidal), el anlisis se simplifica del manejo

    de ecuaciones integrodiferenciales al manejo de expresiones con nmeros

    complejos. El trabajo se simplifica an ms al aplicar la ley de ohm fasorial, a

    los bloques funcionales elctricos pasivos (resistor, inductor y capacitor)

    sometidos a voltajes y corrientes fasoriales:

    )2/(~~~1~1~1

    )2/(1~1~~~

    ~1~~~

    ~,~

    +=====

    ====

    ===

    ==

    rms

    rms

    rmsrms

    CVVCjIIC

    jICj

    VidtC

    v

    VL

    VL

    jIILjVdt

    diLv

    VR

    IIRVRiv

    IIVV

    ( 98 )

    De las ecuaciones anteriores se tiene para los elementos pasivos que: en el

    resistor, la corriente y voltaje estn en fase; en el inductor la corriente esta 90 (/2

    rad) atrasada respecto al voltaje; en el capacitor la corriente est 90 (/2 rad)

    adelantada respecto al voltaje.

    En trminos fasoriales, se denomina impedancia (Z) a la razn del voltaje

    fasorial (V) a la corriente fasorial (I), es un numero complejo cuya parte real

    es la resistencia (R) y cuya parte imaginaria es la reactancia (X), que puede ser

    reactancia inductiva (XL) o reactancia capacitiva (XC). El inverso de la impedancia

  • IIII----53535353 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    se denomina admitancia (Y), su parte real es la conductancia (G) y su parte

    compleja la susceptancia (B). Tanto la impedancia, como la admitancia no son

    fasores, son nmeros complejos puros:

    ( )( ) ( )abXR

    abXRjXRZjBGY

    V

    IYVYI

    fCCXfLLXjXRZ

    I

    VZIZV

    CL

    /tan1/tan

    011

    1

    ,~

    ~~~

    2

    11,2,

    ~

    ~~~

    122

    122

    +=

    +

    =

    +==+=

    ==

    ====+=

    ==

    ( 99 )

    Para efectos de clculo, la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva pueden

    transformarse en impedancias complejas de la siguiente manera:

    ====

    ====

    901

    2

    11

    902

    CfCj

    CjjXZ

    LfLjLjjXZ

    CC

    LL

    ( 100 )

    El equivalente de n impedancias conectadas en serie est dado por:

    ===

    +==n

    k

    k

    n

    k

    k

    n

    k

    keq XjRZZ111

    ( 101 )

    El equivalente de n admitancias conectadas en paralelo est dado por:

    ===

    +==n

    k

    k

    n

    k

    k

    n

    k

    keq BjGYY111

    ( 102 )

    Resonancia

    Se dice que un circuito de ca RLC en serie o en paralelo, est en resonancia a

    una frecuencia de resonancia fR, cuando la reactancia inductiva (XL) es igual a la

    reactancia capacitiva (XC). En resonancia la amplitud de la corriente es mxima y

    se define como la frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial.

    RCLCf

    LCLC

    CLXX RCL 2

    1,

    2

    111

    1 2 ======

    ( 103 )

  • 54545454 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----54545454

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Potencia y factor de potencia

    La potencia compleja (S) de un elemento en circuito de ca, es el producto del

    voltaje fasorial de sus terminales (V), por el conjugado complejo de la corriente

    fasorial (I*) que circula por el elemento. Su parte real se llama potencia promedio

    o potencia real (P), se mide en watts (W), su parte imaginaria se llama potencia

    reactiva (Q), se mide en volts amperes reactivos (VAR), la magnitud de la potencia

    compleja se denomina potencia aparente (S), se mide en volts amperes (VA). El

    coseno del ngulo entre el fasor de voltaje y corriente se denomina factor de

    potencia FP=cos().

    )arccos(

    )arccos(

    )cos()cos(

    Si

    )sin(),cos(

    )sin()cos(

    )(**~~

    ~,

    ~ Sea

    22

    FPFP

    PSS

    FPFP

    PS

    S

    PFP

    QPIVSSQSP

    SjSjQPS

    IVIVIVS

    IIVV

    rmsrms

    rmsrmsrmsrms

    rmsrms

    ==

    =====

    =

    +====

    +=+=

    ===

    ==

    ( 104 )

    Cuando el fasor corriente adelanta el voltaje (>) se dice que el factor de

    potencia esta adelantado, en caso contrario (

  • IIII----55555555 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    potencia tan cercano a la unidad como sea posible. Existe una multa por factor de

    potencia menor a 0.85, los valores deseables son de 0.90 y 0.95. Como se

    puede prever el factor de potencia se corrige conectando capacitores en paralelo con la

    carga inductiva, con la intencin de que el voltaje de la carga no vare.

    La correccin del FP se puede plantear como sigue: se tiene una carga

    inductivo-resistiva conectada a la lnea de voltaje V, consumiendo una potencia

    activa P, trabajando a un factor de potencia FP1, se desea aumentar el factor de

    potencia hasta FP2, conectando una carga capacitiva en paralelo. Determinar

    la potencia reactiva del capacitor (QC) y su capacitancia (C).

    La solucin se obtiene del siguiente razonamiento: el incremento del factor de

    potencia desde FP1 hasta FP2 mediante la conexin en paralelo de una carga

    capacitiva de capacitancia C, provocar que la potencia reactiva disminuya desde

    Q1 hasta Q2, reduciendo el ngulo de fase desde 1 hasta 2, sin alterar el voltaje

    de lnea V y la potencia activa P consumida por la parte resistiva de la carga:

    [ ]

    [ ]2

    21

    11

    22

    22

    21

    11

    21

    222222

    111111

    377

    ))(tan(cos- ))(tan(cos

    377 60Hzf para

    2

    2

    11

    ))(tan(cos- ))(tan(cos

    ,)tan(,)arccos(

    ,)tan( ,)arccos(

    tancos

    sin

    sin

    Q

    cos

    PS,cos

    V

    FPFPP

    V

    QC

    fV

    QC

    fCCQ

    VX

    X

    VQ

    FPFPPQQQ

    FP

    PSPQFP

    FP

    PSPQFP

    PPQFP

    CC

    C

    C

    C

    C

    C

    ====

    ====

    ==

    ===

    ===

    =====

    ( 105 )

    Ejemplo 1.12. Cierta carga toma una corriente de 10 A con un factor de

    potencia de 0.5 en atraso desde una fuente de 120 V y 60 Hz. Calcule el

    tamao del capacitor para corregir el factor de potencia hasta 0.8.

    Solucin. Primero se calcula la potencia activa consumida a partir de la

    corriente y el voltaje, despus se sustituyen los valores en la frmula antes

    obtenida:

  • 56565656 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----56565656

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    [ ]

    [ ]==

    =

    =

    ====

    FF

    V

    FPFPPC

    WFPVI

    53.108100853.1120377

    ))8.0(tan(cos- ))5.0(tan(cos600

    377

    ))(tan(cos- ))(tan(cos

    6005.010120VIcosP

    4

    2

    11

    22

    11

    1

    Transformacin de fuentes de ca

    Leyes de circuitos. Una red elctrica de cualquier complejidad operando en

    estado estacionario sinusoidal (ca) a bajas frecuencias, se puede representar

    fasorialmente por un conjunto de elementos activos (fuentes de voltaje y corriente) y

    elementos pasivos (impedancias). Los puntos donde 2 o ms elementos tienen una

    conexin comn de denominan nodos, barras o buses. Un lazo es una trayectoria

    cerrada, una malla es un lazo que no aloja ningn otro lazo. El anlisis de

    circuitos elctricos lineales se sustenta en dos leyes de conservacin (LVK, LCK), el

    principio de superposicin (PS) y dos teoremas de transformacin (TT, TN). Ley de voltajes

    de Kirchhoff (LVK): en una malla la suma de voltajes es igual a cero. Ley de corrientes

    de Kirchhoff (LCK): en un nodo la suma de corrientes es igual a cero; estas leyes

    expresan la conservacin de la energa y la conservacin de la carga respectivamente.

    La polaridad de voltaje y circulacin de corriente en los elementos de circuito se basa

    en la convencin pasiva de los signos (en las fuentes de voltaje la corriente circula de a +, en las

    impedancias de + a -). Se dice que una red est muerta o en estado pasivo cuando no

    acta ninguna fuente de voltaje o corriente; es decir, las fuentes de corriente se

    reemplacen por circuito abierto, y las fuentes de voltaje por cortocircuito.

    Kirchhoff de corrientes deLey 0

    Kirchhoff de voltajesdeLey 0

    1

    1

    =

    =

    =

    =

    n

    k k

    n

    k k

    I

    V

    ( 106 )

    Principio de superposicin y transformacin de fuentes. En estado estable es

    posible aplicar el principio de superposicin (PS), donde las funciones de excitacin son

    las fuentes de corriente y voltaje, actuando una a la vez; la respuesta total, es la suma

    de las respuestas parciales. Una impedancia Z, se transforma en una admitancia

    Y=1/Z, e inversamente Z=1/Y. Una fuente de voltaje V, en serie con una

    impedancia Z, se transforma en una fuente de corriente I=V/Z, en paralelo con la misma

  • IIII----57575757 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    impedancia. Una fuente de corriente I, en paralelo con una impedancia Z, se transforma

    en una fuente de voltaje V=ZI, en serie con la misma impedancia.

    Teoremas de circuitos. Cuando solamente interesa conocer la respuesta en

    un elemento del circuito, se reemplaza el circuito de poco inters por un

    equivalente, esto se sustenta en dos teoremas: teorema de Thvenin (TT): toda red

    activa lineal de dos terminales a-b, equivale a la conexin en serie de una fuente de voltaje

    y una impedancia; la fuente de voltaje suministra un voltaje igual al existente entre las

    terminales de la red original en circuito abierto y la impedancia, es la impedancia

    equivalente de la red muerta vista desde las terminales a-b; teorema de Norton (TN):

    toda red activa lineal de dos terminales a-b, equivale a la conexin en paralelo de una

    fuente de corriente y una impedancia; la fuente de corriente suministra la corriente igual a

    la corriente que suministrara la red original cuando las terminales a-b estn en

    cortocircuito, la impedancia, es la impedancia equivalente de la red muerta vista desde las

    terminales a-b .

    Kirchhoff de corrientes deLey 0

    insuperposic de Principio

    1

    1

    =

    =

    =

    =

    n

    k k

    T

    n

    k k

    I

    VV

    ( 107 )

    Divisin de voltaje. Consideremos un conjunto de n impedancias conectadas en

    serie cuyo voltaje total en sus terminales es VT, y cuya impedancia equivalente es ZT,

    entonces el voltaje en la k-sima impedancia ZK, es una fraccin del voltaje total:

    ( ) TTkk VZZV = ( 108 )

    Divisin de corriente. Supongamos que una corriente IT alimenta un nodo al

    que se conectan n admitancias en paralelo, cuya admitancia equivalente es YT

    entonces la corriente que fluye por la rama que contiene la k-sima admitancia Yk

    es una fraccin de la corriente total:

    ( ) TTkk IYYI = ( 109 )

    Anlisis de nodos. Considere un circuito de ca con n nodos operando en estado

    estable, con fuentes de tensin expresadas fasorialmente Ei e impedancias Zi. El

    anlisis sistemtico de nodos consiste en hallar los voltajes en cada nodo respecto de un

    nodo de referencia (designado comnmente como tierra) y se realiza como sigue:

  • 58585858 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----58585858

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    (1) Tomar un nodo de referencia y asignarle 0, numerar los nodos, entonces

    el voltaje fasorial del i-simo nodo respecto al nodo de referencia es Vi0. (2)

    Transformar las fuentes de voltaje en serie con una impedancia, en fuente de

    corriente Ii en paralelo con una impedancia, transformar todas las

    impedancias en admitancias Yi. (3) Escribir las ecuaciones nodales matriciales de la

    red de la forma (Yij)nxn(Vi)n=(Ii)n; donde (Yij) es la matriz de admitancias

    nodal, y sus trminos de la diagonal principal Ykk (autoadmitancia o admitancia de

    excitacin) son la suma de las admitancias conectadas al nodo k, los dems trminos

    Yij (admitancia mutua o de transferencia) son el negativo de las admitancias conectadas

    entre los nodos i y j (ij). Puesto que Yij=Yji, la matriz de admitancias es simtrica. (3)

    Entonces el vector de voltajes nodales est dado por: (Vi)= (Yij)-1(Ii)

    Anlisis de mallas. Es el dual del anlisis de nodos y sistema matricial

    formado tiene la forma (Zij)nxn(Ii)n=(Vi)n, las impedancias Zkk son la suma de

    las impedancias alrededor de la malla k, mientras que Zij es la impedancia

    entra las mallas i y j. El vector de corrientes de malla est dado por: (Ii)= (Zij)-1(Vi).

    Transformacin delta y estrella

    Cuando los voltajes y corrientes se expresan fasorialmente se supone que

    implcitamente la magnitud que acompaa al fasor es un valor medio cuadrtico

    o valor efectivo, como se ha expuesto; es decir:

    2/~ maxVVVVV rmsax === ( 110 )

    Circuitos trifsicos

    Los circuitos elctricos pueden ser monofsicos o polifsicos (bifsicos, trifsicos,

    tetrafsicos etc.) segn tengan una o mas de una fase. Las fuentes polifsicas se

    forman conectando fuentes simples en configuraciones especiales, el nmero de

    fases es igual al nmero de fuentes. Son de especial inters por su amplio uso los

    circuitos trifsicos que constan de fuentes trifsicas y cargas trifsicas en configuracin

    estrella (Y) o delta () existiendo las siguientes posibilidades fuente-carga: Y-Y,

    Y-, -Y, -.

  • IIII----59595959 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Fuentes y cargas trifsicas. Una fuente trifsica es la conexin de 3 fuentes que

    cumplen dos condiciones: a) el voltaje eficaz V (V=Vrms=Vmax/2) de cada fuente

    es el mismo; b) el voltaje en cada fuente esta 120 fuera de fase respecto a las otras dos.

    La conexin trifsica puede realizarse en Y o . Cada fuente se designa como

    una fase y se representa por una letra a, b o c; el voltaje medido entre la

    terminal positiva de cada fuente y el neutro, se denomina voltaje de fase; el

    voltaje medido entre dos fases se denomina voltaje de lnea; la corriente que

    fluye a travs de una fuente se denomina corriente de fase y la corriente que

    fluye por una lnea se llama corriente de lnea. Se tienen dos secuencias de fase:

    positiva o abc y negativa o cba. La secuencia positiva (figura 1.6a) se distingue por

    que el voltaje de la fase a adelanta 120 el de la fase b y este a su vez adelanta

    120 el de la fase c; es decir: va>vb>vc. La secuencia negativa (figura 1.6b) se

    distingue por que el voltaje de la fase a se atrasa en 120 respecto al de la fase

    b y este a su vez se atrasa en 120 respecto al de la fase b; es decir:

    vc>vb>va; en ambas secuencias los ngulos medidos en sentido horario

    son positivos y en sentido antihorario negativos. En lo sucesivo se trabajara

    con la secuencia de fases positiva.

    En la configuracin estrella el punto comn se designa por n (neutro) y generalmente

    se aterriza (conexin a potencial 0); los voltajes de fase o voltajes al neutro se designan

    por van, vbn y vcn o simplemente va, vb y vc; en la conexin Y el voltaje de lnea

    adelanta en 30 el voltaje de fase y lo multiplica por 3; es decir:

    Figura 3.6 Fasores trifsicos de voltaje con secuencia de fases (a) positiva y (b) negativa

    Vcn=Vp120

    Secuencia +Van=Vp0

    Vbn=Vp240

    Vp=voltaje de

    fase rms

    Secuencia -Van=Vp0

    Vcn=Vp240

    Vp=voltaje de

    fase rms

    Vbn=Vp120

    (a) (b)

  • 60606060 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----60606060

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    0~~~~~~~~~

    1501503~~~

    90903~~~

    30303~~~

    120~1200~lnea de voltajedel Magnitud3

    =++===

    ===

    ===

    ===

    ===

    =

    ncnbnacCncbBnbaAna

    lancnca

    lcnbnbc

    lbnanab

    cnbnan

    l

    IIIIIIIII

    VVVVV

    VVVVV

    VVVVV

    VVVVVV

    VV

    ( 111 )

    En la configuracin delta no existe punto comn a las tres fases y tampoco hay

    presencia de neutro; en la conexin la corriente de lnea se atrasa en 30 respecto a

    la de fase y la multiplica por 3; es decir:

    ( ) ( )( )( )90~

    150~3030330~3~~~

    ba'' fase la de Corriente3~lnea de corriente la de Magnitud 3

    0~~~120~120~0~

    +=

    =

    ====

    ==

    =

    =++===

    lcC

    lbB

    lbaacbaaA

    lba

    l

    cabcabcabcab

    II

    II

    IIIIII

    III

    II

    VVVVVVVVV

    ( 112 )

    Las cargas trifsicas (motores, transformadores) pueden conectarse en o Y,

    resulta conveniente balancear las cargas trifsicas y mantener impedancias de

    igual magnitud por fase con el objeto de utilizar conductores de igual calibre

    para las lneas de transmisin, subtransmisin, distribucin o utilizacin.

    Anlisis de circuitos trifsicos. El anlisis de

    circuitos trifsicos con cargas balanceadas en

    configuracin Y-Y, con neutros unidos se lleva

    a cabo por fase (figura 1.7), la unin de los

    neutros mediante un hilo conductor de

    impedancia cero no afecta el circuito. En el

    circuito Y-Y es suficiente el anlisis de la fase a,

    de manera que las fases b y c se deducen de los

    resultados de esta. Sea Zs el equivalente serie de

    las impedancias de lnea y carga, entonces:

    Figura 1.7 Circuito por fase

  • IIII----61616161 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    aAaA

    s

    aaAs IZVIZV

    Z

    VIZZZ

    ~~~~

    ~~

    cargacargalinealinealineacarga ===+= ( 113 )

    Para las configuraciones que involucran en el lado de la fuente o de la

    carga es necesario realizar transformaciones iniciales para el clculo de las

    corrientes de lnea; despus se lleva el circuito a su forma original y se

    calculan los voltajes, las potencias y corrientes necesarias. Fuentes y cargas

    balanceadas pueden transformarse de a Y y viceversa mediante:

    YY

    YY

    ZZZ

    Z

    VVV

    V

    33

    ~3

    ~

    3

    ~~

    ==

    ==

    ( 114 )

    Ejemplo 1.13. Una fuente trifsica balanceada (figura 1.8) de 707 V y 60Hz,

    conectada en Y, alimenta a una carga equilibrada conectada en por medio de

    una lnea de transmisin de 3 hilos de 100 km de longitud, la impedancia de

    cada hilo de la lnea de transmisin es de 1+j2. La impedancia de la carga

    por fase es 177-j246. Si la secuencia de fases es positiva, determinar las

    corrientes de lnea y de fase, la potencia absorbida por la carga y la potencia

    disipada por la lnea de transmisin. VAB

    Figura 3.8 Circuito trifsico en conexin Y-

  • 62626262 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----62626262

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Solucin. Primero se expresa el voltaje de cada fuente como fasor, luego se

    transforma la carga en carga Y, se procede a calcular la impedancia total, suma de

    la impedancia de la lnea y la impedancia de carga, entonces se calcula la corriente de

    lnea para el sistema monofsico resultante de la fase a y se determinan las restantes

    corrientes. Luego se determina la corriente de fase en a partir de la

    corriente de lnea mediante ( ) 303/1~~ = naAB II , as mismo los voltajes de fase. La potencia disipada por fase es la potencia real y la potencia total de la carga

    es 3 veces la de una fase; de igual forma se calcula la potencia disipada en la

    lnea, en smbolos:

    ( )( )

    ( )( ) 87.156887.212087.36887.2~

    87.36887.212013.83887.2~

    en AB carga laen Corriente13.83887.23

    3013.535

    3

    30~~

    13.173587.186512087.665~87.66512013.535~

    13.535~

    a fase Yen linea de Corriente13.53513.53100

    0500~~

    o)(adelantad 6.0)13.53cos()cos(

    13.531008060)8259()21(

    Y a carga Conversin82593

    246177

    3

    rms fase de Voltaje050002

    707~

    ===

    ==

    =

    =

    =

    ===

    ==

    =

    =

    ==

    ===

    ==++=+=

    =

    ==

    ==

    BC

    BC

    na

    AB

    nc

    nb

    na

    T

    a

    l

    Z

    YLT

    Y

    a

    I

    I

    II

    I

    I

    I

    Z

    VI

    fp

    jjjZZZ

    jjZ

    Z

    V

    ( )( )

    =+=+=

    ===

    ===

    ==

    ==

    ==

    ===

    75.45007575.4425

    7515313

    75.442525.147533

    en carga de real Potencia25.1475177

    87.14893.87412013.9393.874~13.9393.87412087.2893.874~

    en carga de Voltaje87.2893.874]246177[13.83887.2~~~

    lineacargatotal

    22linea

    carga

    2

    PPP

    IP

    PP

    IP

    V

    V

    jZIV

    aA

    AB

    ABAB

    BC

    BC

    ABABAB

  • IIII----63636363 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Medicin de la potencia. La potencia en un circuito monofsico de cd es el

    producto del voltaje por la corriente en la fuente o carga en cuestin, en un

    circuito monofsico de ca la potencia activa o real es el producto de los valores

    efectivos de voltaje y corriente; en el campo se emplea un vatmetro de dos

    bobinas: bobina de corriente y bobina de potencial para medir ambos, su lectura es

    la potencia activa del circuito y se calcula por:

    *]~~Re[cosrmsrms IVIVP ==

    ( 115 )

    La potencia de un circuito trifsico Y-Y de 4 hilos (con hilo neutro) figura 1.9a, se

    obtiene conectando 3 vatmetros entre cada fase y el neutro; entonces la

    potencia total es la suma de las tres lecturas y se calcula por:

    *]~~

    Re[*]~~

    Re[*]~~

    Re[ 321321 cCcnbBbnaAan IVPIVPIVPPPPP ===++= ( 116 )

    Si la carga est balanceada la lectura ser P=3P1.

    Para un circuito trifsico de 3 hilos (que involucra una en la fuente y/o en la

    carga) figura 1.9b, no se dispone de hilo neutro; en tal caso la potencia se

    mide con dos vatmetros y la potencia total es la suma algebraica de las

    lecturas en ambos.

    [ ][ ]

    [ ]

    cos3)30cos()30cos(3

    )30cos(3)120)(903(Re*]~~Re[

    )30cos(3))(303(Re*]~~Re[

    21

    2

    1

    ll

    bBbc

    aAac

    IVVIPPP

    VIIVIVP

    VIIVIVP

    =++=+=

    =+==

    +===

    ( 117 )

    Figura 3.9 Medicin de potencia en circuitos trifsicos (a) de 4 hilos; (b) de 3 hilos

  • 64646464 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----64646464

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Transformacin unidad

    En los sistemas elctricos de potencia donde se trabajan valores del orden de los

    kV y MVA resulta til para efectos de clculo y ms informativo expresar las

    cantidades elctricas como razones de sus cantidades bases eliminando as el

    uso de unidades, una cantidad por unidad se define por:

    base Cantidad

    real Cantidad unidadpor Cantidad =

    ( 118 )

    El voltaje V, la corriente I, la potencia S y la impedancia Z, se relacionan entre si de

    manera tal que la seleccin de los valores base para dos de ellos determina los valores base

    de los dos restantes. El uso de valores por unidad simplifican el circuito equivalente del

    transformador, de tal forma que las tensiones, las corrientes, las impedancias y las

    admitancias externas expresadas por unidad, no cambian cuando se refieren de uno de los

    lados del transformador hacia el otro.

    Transformacin por unidad en circuitos ca

    Para los circuitos de ca monofsicos (1) o trifsicos (3) las siguientes cantidades

    por unidad se definen de igual manera, considerando que en un circuito 1

    el voltaje y la potencia son de fase; mientras que en un circuito 3, el voltaje

    es lnea a lnea y la potencia es trifsica, P3=3P1:

    Ib

    VbZpu Zreal ,

    baseVA

    realVA VApu

    Ib base, corriente

    Vb base, voltaje baseVA

    Ib base, corriente

    real corrienteIpu

    Vb base, voltaje

    real voltajeVpu

    ===

    ==

    ( 119 )

    La impedancia por unidad para un circuito 1 y para un circuito 3 se

    definen por:

    2LL

    3

    Vb

    ZSb3Zpu

    Vb

    ZIb

    ZbIb

    ZIb

    Zbbase, impedancia

    Zreal, impedancia1Zpu

    =

    =

    ==

    ( 120 )

  • IIII----65656565 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Para cambiar un valor de impedancia por unidad Zpu1 con valores base Vb1

    y Sb1 a nuevos valores base de voltaje y potencia Vb2 y Sb2 se emplea la

    siguiente relacin de transformacin:

    =

    1

    2

    2

    2

    112

    Vb

    Sb

    Vb

    VbZpuZpu

    ( 121 )

    Ejemplo 1.14. Para el circuito 1 de 3 zonas mostrado en la figura 310,

    dividido por dos transformadores T1 y T2, cuyas capacidades nominales se

    muestran, y usando valores base de 30kVA y 240 V en la zona 1, dibujar en

    circuito por unidad y determinar la corriente de la carga. Para los

    transformadores, las resistencias de los devanados y las ramas de admitancia en

    derivacin se desprecian.

    Solucin. (1) La potencia base para toda la red es la misma Sb=30 kVA; (2) se

    determinan los voltajes base en cada zona, sabiendo que Vb1=240 V y

    conociendo las relaciones de transformacin; (3) se determinan las

    impedancias base; (4) se expresan las reactancias pu de los transformadores

    en los valores base del sistema; (5) se determinan las impedancias pu de las

    lneas de transmisin; (6) se determinan los valores del circuito necesarios (el

    circuito con valores por unidad se muestra en la figura 1.11):

    Figura 1.10 Circuito monofsico de 3 zonas

  • 66666666 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----66666666

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( ) ===

    ===

    =

    =

    ++++

    =+++

    ==

    =

    =

    +=+

    =====

    =

    =

    ==

    =========

    =======

    =

    AAIbpuII

    AVb

    SbIb

    puI

    jjpuZpuXpuXpuXj

    puVpuIpuI

    puV

    jj

    Zb

    ZpuZ

    Zb

    XpuX

    puXpuX

    Sb

    VbZb

    Sb

    VbZb

    Sb

    VbZb

    VVbV

    VVbVVb

    V

    VVbVVb

    Sb

    ac

    TT

    ss

    s

    TT

    01.269.10925001.264395.0

    250120

    000,30

    01.264395.001.26086.2

    09167.0

    )4167.0875.1()1378.02604.010.0(

    09167.0

    )(

    0917.0240

    0220)6(

    4167.0875.148.0

    2.09.0,2604.0

    68.7

    2)5(

    1378.0000,20

    000,30

    120

    11510.0

    000,20

    000,30

    480

    46010.0,10.0)4(

    48.0000,30

    120,68.7

    000,30

    480,92.1

    000,30

    240)3(

    120480460

    115;480240

    240

    480;240)2(

    VA 000,30)1(

    3cargaarg

    33

    carga

    carga2linea1carga

    3

    cargacarga

    2

    linealinea

    22

    21

    223

    3

    222

    2

    221

    1

    22

    331

    1

    221

    Transformacin en componentes simtricas

    En el estudio de componentes simtricas resulta til introducir el operador

    complejo 2

    3

    2

    11201 ja +

    ==

    , y sus siguientes identidades:

    Figura 1.11 Circuito monofsico con valores por unidad (pu)

  • IIII----67676767 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    ==+==+==+

    ====++

    ======

    18011,6011,6011

    2703,3031,,3031,01

    2101,1201,01,2401,1201

    222

    222

    432

    aaaaaa

    aaaaaa

    jaaaaaa

    ( 122 )

    Componentes simtricas de los voltajes de fase

    La transformacin en componentes simtricas es una tcnica desarrollada por C. L.

    Fortescue en 1918 para analizar sistemas trifsicos desbalanceados; consiste

    en descomponer cada voltaje o corriente de fase del sistema trifsico en tres

    componentes de secuencia (cero, positiva y negativa), de manera que cada fasor de fase

    es la suma de sus 3 componentes de secuencia (figura 1.12):

    210

    210

    210

    ~~~~

    ~~~~

    ~~~~

    cccc

    bbbb

    aaaa

    VVVV

    VVVV

    VVVV

    ++=

    ++=

    ++=

    ( 123 )

    (0) Componentes de secuencia cero. Tres fasores de magnitud igual y

    desplazamiento de fase cero (va0, vb0, vc0).

    000~~~cba VVV ==

    ( 124 )

    (1) Componentes de secuencia positiva. Tres fasores de magnitud igual,

    desplazamiento de fase 120 y secuencia positiva (va1, vb1, vc1).

    111

    12

    11

    ~1201~~

    ~2401~~

    aac

    aab

    VaVV

    VaVV

    ==

    ==

    ( 125 )

    (2) Componentes de secuencia negativa. Tres fasores de magnitud igual,

    desplazamiento de fase 120 y secuencia negativa (va2, vb2, vc2).

    12

    22

    122

    ~2401~~

    ~1201~~

    aac

    aab

    VaVV

    VaVV

    ==

    ==

    ( 126 )

  • 68686868 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----68686868

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Escribiendo matricialmente los fasores de fase en trminos de sus componentes de la

    fase a, se tiene lo siguiente:

    =

    ++=

    ++=

    ++=

    2

    1

    0

    2

    2

    12

    10

    112

    0

    210

    ~

    ~

    ~

    1

    1

    111

    ~

    ~

    ~

    ~~~

    ~~~~

    ~~~~

    a

    a

    a

    c

    b

    a

    aaac

    aaab

    aaaa

    V

    V

    V

    aa

    aa

    V

    V

    V

    VaVaVV

    VaVaVV

    VVVV

    ( 127 )

    Definiendo un vector de fase Vp, un vector de componentes para la fase a Vsa y una

    matriz 3-cuadrada de transformacin A:

    =

    =

    =

    =

    aa

    aaA

    aa

    aaA

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    a

    a

    a

    sa

    c

    b

    a

    p

    2

    21

    2

    2

    2

    1

    0

    1

    1

    111

    3

    1

    1

    1

    111

    ,~

    ~

    ~

    ,~

    ~

    ~

    ( 128 )

    De esta manera se tienen las siguientes ecuaciones de conversin entre

    fasores de fase y de secuencia para la fase a:

    psasap VAVAVV1==

    ( 129 )

    En un sistema 3 balanceado la componente de secuencia cero es cero ya que

    va+vb+vc=0. En un sistema 3 desbalanceado, los voltajes lnea a neutro pueden

    tener componente de secuencia cero; pero los voltajes lnea a lnea no tienen

    componente de secuencia cero.

    Ejemplo 1.15. Para un sistema 3 balanceado en secuencia positiva con

    van=227 volts, calcular las componentes de secuencia para la fase a.

    Solucin. Empleando las ecuaciones antes deducidas se tiene:

    Figura 1.12 Voltajes de fase en

    trminos de sus componentes de

    secuencia

  • IIII----69696969 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    ( )( )( )

    ( )( )

    ( )

    =

    ++

    ++

    ++

    =

    ++

    ++

    ++

    =

    =

    =

    =

    0

    227

    0

    240227120227227

    227227227

    1202271202270227

    ~~~

    ~~~

    ~~~

    ~

    ~

    ~120227

    120227

    0227

    ~

    ~

    ~

    31

    31

    31

    231

    231

    31

    2

    1

    0

    cba

    cba

    cba

    a

    a

    a

    sa

    c

    b

    a

    p

    VaVaV

    VaVaV

    VVV

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    V

    Componentes simtricas de las corrientes de fase

    La transformacin en componentes simtricas tambin es aplicable a

    corrientes fasoriales de fase, como se muestra a continuacin:

    =

    ===

    2

    1

    0

    1

    ~

    ~

    ~

    ,~

    ~

    ~

    a

    a

    a

    sa

    c

    b

    a

    ppsasap

    I

    I

    I

    I

    I

    I

    I

    IIAIAII ( 130 )

    En un sistema 3 conectado en Y de 4 hilos, la corriente neutra esta dada

    por: In=Ia+Ib+Ic=3Ia0; de manera que en un sistema balanceado conectado

    en Y, las corrientes de lnea no tienen componente de secuencia cero, puesto

    que la corriente de neutro es cero. De lo anterior se deduce que en un

    sistema 3 de 3 hilos o Y no aterrizado las corrientes de lnea no tienen

    componente de secuencia cero.

    Ejemplo 1.16. Una lnea 3 que alimenta una carga equilibrada conectada

    en Y con neutro aterrizado, tiene abierta la fase b. Dadas las corrientes de lnea

    desbalanceadas, calcular las corrientes de secuencia para la fase a y la corriente al neutro:

    =

    =

    12010

    0

    010

    ~

    ~

    ~

    c

    b

    a

    p

    I

    I

    I

    I

    Solucin. Empleando las ecuaciones definitorias de corrientes de secuencia se

    tiene que:

    ( )( )( )

    ( )( )

    ( )==++=++=

    =

    ++

    ++

    ++

    =

    ++

    ++

    ++

    =

    =

    0

    31

    31

    31

    231

    231

    31

    2

    1

    0

    ~3601012010010~~~~60333.3

    667.6

    60333.3

    24010010

    10010

    12010010

    ~~~

    ~~~

    ~~~

    ~

    ~

    ~

    acban

    cba

    cba

    cba

    a

    a

    a

    sa

    IIIII

    IaIaI

    IaIaI

    III

    I

    I

    I

    I

  • 70707070 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----70707070

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Transformacin de Laplace

    La transformada de Laplace es una operacin lineal que transforma una funcin en

    del dominio del tiempo f(t) en una funcin F(s) en el dominio s de los

    nmeros complejos y existe si la integral converge para t>0; se define por:

    [ ]

    [ ] [ ][ ] [ ] [ ] Linealidad)(L)(L)()(L

    )(L)(L

    Laplace deOperador ] [L)()(L)(

    2121

    0

    =

    =

    ==

    tgatfatgatfa

    Catfataf

    dtetftfsF st

    ( 131 )

    La integral converge si f(t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito en el

    rango t>0 y si es de orden exponencial conforme t, esto es existe una

    constante Rk , tal que 0)(lim =

    tfe ktt

    .

    Teoremas de la transformada de Laplace

    Los teoremas de la transformada de Laplace: (1) traslacin o retardo en el tiempo;

    (2) traslacin exponencial; (3) cambio de escala en el tiempo; (4) diferenciacin real; (5)

    valor final; (6) valor inicial; (7) integracin real; (8) diferenciacin compleja; ayudan a

    simplificar el clculo de las transformadas de funciones, derivadas e integrales:

  • IIII----71717171 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    [ ] [ ]

    [ ]( )[ ]

    [ ] [ ]

    [ ]

    frecuencia2

    )(

    :compleja integral una como define se deltafuncin la mismo as

    3,2,1)(

    )1()(L(8)

    )()()(L(7)

    )(lim)0((6)

    )(limlim(5)

    )0()(

    )0()0()0()0()()(

    L(4b)

    ),0()0()()(

    L),0()()(

    L(4a)

    0),(L(3)

    ),()()()(L(2)

    t tpara 0)()()(L)(L(1)

    22

    0

    s

    0t0t

    1

    0

    1

    12121

    122

    2

    0

    )(

    0

    0000

    ===

    ==

    +=

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    >=

    ===

  • 72727272 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----72727272

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    unitarioescaln )()(

    )(

    )( 22

    =

    ==

    tudt

    tdut

    dfedfet ftjftj

    ( 135 )

    Transformacin de funciones

    A continuacin se presentan y transforman funciones de amplio uso en la

    ingeniera de control:

    Funcin escaln:

    [ ] [ ]s

    Aee

    s

    AdtAeA

    A

    f(t)

    --st =

    ==

    >

    kk aa , no creciente

    { }1+ kk aa , no decreciente { }1+ kk aa .

    Serie. Es la suma de los trminos de una sucesin, pueden ser representadas por la

    notacin sigma y es de inters primordial saber si son convergentes o

    divergentes:

    =

    =

    =++++=++++=

    =+++++=+++++=1

    01210

    0210

    )1()2()1()0(

    )()2()1()0(

    N

    k kNN

    k kk

    aaaaaNSSSSS

    aaaaakSSSSS

    KK

    KKKK

    ( 149 )

    La serie

    =0k ka converge si la sucesin de sumas parciales

    ==

    1

    0

    N

    k kkaS , converge;

    es decir:

    LaSN

    k kNN

    N==

    =

    1

    0limlim

    ( 150 )

    Si el lmite no existe entonces la serie diverge. Una condicin necesaria para

    la convergencia de la serie es:

    0lim =

    kk

    a

    ( 151 )

  • IIII----79797979 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Una serie tiene convergencia absoluta si

    =0k ka converge; de otra forma tiene

    convergencia condicional. El orden de los sumandos de una serie de convergencia absoluta

    no altera la suma; pero si la altera en una serie de convergencia condicional.

    Series especiales

    La serie geomtrica se define por y tiene las siguientes propiedades:

    -1z para oscilante es serie la 111111

    1z que siempre 1

    1

    1

    1limlim

    1

    11

    1

    1

    0

    12

    0

    2

    =++++=

    , y absolutamente

    divergente para 1]Re[ ; se define por:

    NkS

    kkS

    N

    kN

    k

    1

    3

    1

    2

    11

    1

    1

    3

    1

    2

    11

    1

    1

    1

    ++++==

    +++++==

    =

    =

    L

    LL

    ( 153 )

    La serie harmnica alternante es absolutamente convergente para 1]Re[ > , y

    absolutamente divergente para 1]Re[ ; se define por:

    NkS

    kkS

    N

    k

    k

    N

    k

    k

    1

    3

    1

    2

    11

    )1(

    1

    3

    1

    2

    11

    )1(

    1

    1

    1

    1

    ++=

    =

    ++=

    =

    =

    +

    =

    +

    L

    LL

    ( 154 )

    La funcin zeta de Riemann se define como la suma de la serie harmnica infinita.

    ==

    1

    1)(

    k k

    ( 155 )

    Pruebas de convergencia

    Prueba de comparacin. La serie de trminos positivos ka converge, si

    existe una serie convergente kb tal que kba kk , . Similarmente, la serie

    ka diverge, si existe una serie divergente kb tal que kba kk , .

  • 80808080 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----80808080

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Prueba de integral. Si los coeficientes ak de una serie

    =0k ka , son decrecientes

    y pueden ser extendidos a una funcin decreciente de variable contina x:

    += 0 xpara)( Zaxa k , entonces la serie converge o diverge con la integral:

    0)( dxxa .

    Prueba de lmites. Estas pruebas son de cociente de raz y de Raabey se aplican

    a la serie ka . El caso mostrado indica que la serie converge absolutamente,

    de lo contrario diverge, si el lmite es la unidad, la prueba falla:

    Raabe de Prueba11lim

    raz de Prueba1lim

    cociente de Prueba1lim

    1

    /1

    1

    >

    dado, existe un N independiente de z tal que:

    dominio elen todopara)()()()(1

    zzazfzSzfN

    k kN

  • 82828282 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----82828282

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( )

  • IIII----83838383 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Desarrollo de funciones en series de potencias

    Brook Taylor demostr que toda funcin f(z) continua y diferenciable puede

    ser aproximada en la vecindad de z=a por una serie de potencias conocida

    como serie de Taylor:

    KL ++++++==

    =

    k

    kk

    k

    k azcazcazcazccazczf )()()()()()(3

    3

    22100

    ( 163 )

    Taylor descubri que k

    kckaf !)()( = es decir: !/)()( kafc kk = , de esta manera la

    serie de Taylor que representa la funcin f(z) en la vecindad de z=a esta dada

    por:

    =

    ===

    0 !)(

    0)()()(

    )(

    k

    k

    k

    af

    k

    k

    k azazczfk

    ( 164 )

    La serie de Taylor se emplea para representar la funcin con un nmero

    finito de trminos, que recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n. El

    resto de la funcin se representa por un residuo R(z):

    1)1(

    )(2

    )2()1(

    )()!1(

    )()(

    )(!

    )()(

    !2

    )()(

    !1

    )()()(

    ++

    +

    =

    ++++=

    nn

    n

    nn

    n

    czn

    afzR

    azn

    afaz

    afaz

    afafzP K

    ( 165 )

    Ejemplo 1.23. Hallar el polinomio de Taylor para xcos , en 4/=z , con 4

    trminos.

    Solucin. Aplicando la serie de Taylor en las cercanas de 4/=z se tiene:

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )[ ] ++=+

    +

    =

    ====

    ====

    ++++=

    ==

    L

    L

    L

    3612

    21

    32

    )3()2(

    )1(

    3)3(

    2)2(

    )1(

    4/4/4/170711.0

    !3

    4/

    2

    1

    !2

    4/

    2

    14/

    2

    1

    2

    1cos

    2/1)4/sin()(,2/1)4/cos()(

    2/1)4/sin()(,2/1)4/cos()(

    )(!3

    )()(

    !2

    )())(()()(

    4/,cos)(

    zzz

    zzzz

    afaf

    afaf

    azaf

    azaf

    azafafzP

    azzf

    n

    Para z=0, la serie de Taylor se conoce como serie de Maclaurin:

  • 84848484 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----84848484

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    =

    ===

    0 !

    )0(

    0

    )(

    )(k

    k

    k

    f

    k

    k

    k zzczfk

    ( 166 )

    La tabla 1.6 muestra las series de Maclaurin para varias funciones elementales, siendo

    Cz :

    Solucin de ecuaciones diferenciales por series de

    potencias

    Como hemos visto cualquier funcin puede ser aproximada por una serie de

    potencias; este hecho se aplica a la EDO de cualquier tipo que no es sino una

    igualdad de funciones:

    Ejemplo 1.24. Resolver la ED 02')3( =+ yyx , alrededor del punto x=0,

    empleando series de potencias.

    Solucin. La ED es analtica en x=0, y su solucin por hiptesis es una serie

    de la forma

    ==

    0k

    kxcy . El mtodo de solucin es el siguiente: (1) se sustituye

    cada funcin y sus derivadas por series de potencias; (2) se agrupan trminos

    convenientemente de manera tal que se pueda aplicar el principio de identidad

    para sumas; (3) se obtiene una ecuacin de recurrencia para los coeficientes; (4)

    se encuentra un patrn para los coeficientes en trminos de las n primeras

    Tabla 1.6 Series de Maclaurin para funciones elementales

    1 ,)1(0

    1

  • IIII----85858585 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    constantes arbitrarias; (5) se expresa la solucin como una serie de potencias;

    (6) se determina el radio de convergencia para la solucin.

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

  • 86868686 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----86868686

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Si tanto P como Q son analticas en x=a; entonces a es un punto ordinario, y la

    ecuacin (1) tiene dos soluciones linealmente independientes de la forma:

    ==

    0)()(

    k

    k

    k axcxy.

    [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

    [ ] ( )[ ]

    ( )[ ]

    1x menos al de es iaconvergenc de radio el tantolopor ,101en singular puntoun tieneSe )6(

    !2

    )32(531)1(

    2

    11

    !42

    531

    !32

    31

    !22

    1

    2

    11

    )5(

    !42

    531

    8642

    53

    8

    5

    07

    4!32

    31

    642

    3

    6

    3

    05

    2!22

    1

    42

    1

    4

    1)4(

    )2(

    )1(

    )1)(2(

    )1)(1(0)1)(2()1)(1(

    0)1()1)(2()1()1)(2()1()3(

    0)1)(2()1(

    :entonces 0 ,202:que observa se donde De

    0)1)(2()1(62

    0)1(62)1(

    0)1(62)1()2(

    0)1()1(

    0)1(1)1(

    )1('',',

    0en x ,01 :POTENCIAS DE SERIES POR UNA DE GENERAL SOLUCIN

    2

    2

    21201

    8

    4

    6

    3

    4

    2

    201

    88

    77

    66

    55

    44

    33

    2210

    04068

    57

    03046

    35

    02024

    22

    22

    2 2

    320021

    202

    2 21013

    2

    210214

    2322

    210

    0214

    23022

    012

    2

    2

    01

    1

    2

    22

    2

    2

    1

    1

    0

    2

  • IIII----87878787 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    0]Re[)(0

    1 >= zdttez zt

    ( 168 )

    Usando integracin por partes se demuestra la siguiente propiedad ms

    importante de la funcin Gamma:

    [ ][ ]

    )()1(

    :entonces 0,Re[z] para define sefuncin la que ya descarta se trminoEl

    )1(

    0

    1

    0

    0

    1

    00

    zzdttezz

    te

    dtztetedttez

    zt

    zt

    ztztzt

    ==+

    >

    ==+

    ( 169 )

    La frmula de Gauss para la funcin Gamma esta dada por:

    +

    +=

    =

    1

    11

    11

    1)(

    k

    z

    kzz

    z

    k ( 170 )

    La frmula de Weierstrass para la funcin Gamma esta dada por:

    Mascheroni-Euler Constante5772.0log1

    3

    1

    2

    11lim

    1)(

    1 /1

    1

    =

    +++++=

    +=

    =

    KLL kk

    ek

    zze

    z

    k

    kz

    k

    z

    ( 171 )

    Transformacin de Fourier

    Si f(t) es una funcin peridica, de periodo T0 (frecuencia angular fundamental 00 /2 T =),

    f(t)=f(t+T0); entonces la integracin de f a lo largo de un intervalo de longitud igual a

    su periodo, es independiente de los lmites de integracin siempre que: LsupLinf=T0:

    ==02/

    2/0 0

    0

    0

    0

    )()()(T

    T

    T

    T

    dttfdttfdttf

    ( 172 )

    La siguiente es una lista de integrales que simplifican el anlisis de Fourier:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )2

    cossin

    0coscossinsincossin

    ,,0cossin

    0

    0 02

    0 02

    0 000 000 00

    0 00 0

    00

    000

    00

    Tdttkdttk

    dttntkdttntkdttktk

    nkZnkdttkdttk

    TT

    TTT

    TT

    ==

    ===

    ==

    +

    ( 173 )

  • 88888888 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----88888888

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Serie de Fourier

    Una funcin de tiempo peridica f(t)=f(t+T0), de periodo fundamental T0, y frecuencia

    fundamental 0000000 /1/222/ fTTff ==== , puede ser representada por

    una serie trigonomtrica conocida como serie de Fourier (demostrada por Joseph Fourier,

    en su tratado The Analytical Theory of Heat, 1822); se define por:

    =

    =

    =

    =

    ++=+=

    2/

    2/00

    2/

    2/00

    2/

    2/0

    0100

    00

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    2sin)(

    2,

    2cos)(

    2

    )(1

    ,2

    sin2

    cos)()(

    T

    Tk

    T

    Tk

    T

    Tkkk

    dttT

    ktf

    TBdtt

    T

    ktf

    TA

    dttfT

    AtT

    kBt

    T

    kAATtftf

    ( 174 )

    Una funcin con simetra par f(-t)=f(t), conserva slo los trminos coseno de la serie;

    una funcin con simetra impar f(-t)=-f(t), conserva slo los trminos senos de la

    serie. De manera alternativa, la serie de Fourier se representa por:

    k

    k

    kkkk

    k nk

    A

    BBAMAM

    tT

    kMMtf

    12200

    10

    0

    tan,,

    2cos)(

    =

    =+==

    +=

    ( 175 )

    De la expresin anterior se observa que la serie de fourier es una sumatoria

    de las armnicas (kf0) de la frecuencia fundamental (f0). Los coeficientes Mk, se

    denominan amplitudes espectrales.

    Convergencia. Si f(t) es suave por partes, entonces su serie de Fourier converge: (a) al

    valor f(t) para todo t donde f(t) es continua; (b) al valor )]()([21 + + tftf para toda

    t donde f(t) es discontinua. Una funcin f(t) es continua por partes para toda t

    cuando es continua por partes en cada intervalo acotado y en los puntos de

    discontinuidad existen limites laterales finitos:

    )(lim)(),(lim)( uftfuftftutu +

    + ==

    ( 176 )

    Forma exponencial de la serie de fourier. La serie de Fourier se puede

    expresar en trminos de la funcin exponencial compleja considerando la

    equivalencia exponencial de las funciones seno y coseno:

  • IIII----89898989 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    kjk

    k

    T

    T

    tT

    kj

    kk

    tT

    kj

    k

    eM

    CMC

    dtetfT

    CeCtf

    =

    ==

    ==

    2,

    )(1

    ,)(

    00

    2/

    2/

    2

    0

    20

    0

    00

    ( 177 )

    Siendo Ck la amplitud espectral de los componentes espectrales tkfje 02 .

    Ejemplo 1.25. Determinar la serie de fourier para el tren de impulsos de

    longitud I, mostrado en la figura 1.13. El impulso en t=0 se define por (t)I ,

    siendo (t) la funcin delta definida por: 000 T tpara 0 (t)y Ten t 1 )T-(t === , adems

    1dt (t)-

    =

    , su longitud es el rea bajo el impulso 1. El tren de impulsos peridicos, de

    periodo T0 se define por:

    ==

    kkTtItf )()( 0 :

    Solucin. Se determina la serie de Fourier en sus formas: (1) trigonomtrica; (2)

    trigonomtrica compacta y (3) exponencial compleja:

    ==

    ==

    +=

    +=

    ===

    +=

    ++=

    =

    =

    =

    =

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    k

    tT

    kj

    k

    tT

    kj

    k

    k

    kk nk

    kk

    kk kk

    T

    Tk

    T

    Tk

    T

    T

    eT

    IeCtf

    T

    ICC

    tT

    k

    T

    I

    T

    It

    T

    kMMtf

    T

    IM

    T

    IM

    tT

    k

    T

    I

    T

    It

    T

    kBt

    T

    kAAtf

    dttT

    kt

    T

    IB

    T

    Idtt

    T

    kt

    T

    IA

    T

    Idtt

    T

    IA

    00

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    2

    0

    2

    00

    1000

    10

    0

    000

    1000

    100

    0

    2/

    2/00

    2/

    2/000

    0

    2/

    2/0

    0

    )(

    )3(

    2cos

    22cos)(

    ,0,2

    ,)2(

    2cos

    22sin

    2cos)(

    02

    sin)(2

    22cos)(

    2

    )()1(

    Figura 1.13 Tren de impulsos

    de longitud I y periodo T0.

  • 90909090 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----90909090

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Ejemplo 1.26. La funcin f(t) es un tren de pulsos rectangulares de amplitud A

    y duracin , que se repite peridicamente cada T0 segundos, como se

    muestra en la figura 1.14. Determinar la serie exponencial de Fourier para f(t):

    Solucin. Se encuentran los parmetros A0, Ak, Bk y se sustituyen en la serie

    de Fourier trigonomtrica:

    ( )

    ( ) ( )=

    +=

    ===

    ===

    ====

    =

    =

    k

    T

    ktj

    k

    kk

    T

    Tkkk

    T

    T

    eTk

    Tk

    T

    A

    T

    kt

    Tk

    Tk

    T

    A

    T

    Atf

    BTk

    Tk

    T

    Adt

    T

    kttf

    TCMA

    T

    Adttf

    TCMA

    0

    0

    0

    0

    0

    2

    0

    0

    01

    00

    0

    00

    0

    0

    0

    2/

    2/00

    0

    2/

    2/0

    000

    /

    /sin2cos

    /

    /sin2)(

    0,0,/

    /sin22cos)(

    22

    )(1

    La funcin pulso se convierte en la funcin impulso, cuando su anchura

    tiende a cero, esto es fcil mostrar mediante lmites, ya que:

    ( )1

    /

    /sinlim

    0

    0

    0=

    Tk

    Tk

    ( 178 )

    La funcin muestreo

    La funcin muestreo escrita como Sa(x), se dibuja en la figura 1.15a, tiene

    simetra par, se emplea en el anlisis espectral, se define y tiene las propiedades

    mostradas a continuacin:

    [ ]

    )12(

    )1(2)(Sa

    0)(Sa,1)0(Sa Sa(x)Max ,sin

    )(Sa

    21

    +

    =+

    =====

    nk

    kxx

    xx

    n ( 179 )

    La figura 1.15b muestra las amplitudes espectrales y la envolvente de la

    representacin en series de Fourier para el tren de pulsos rectangulares de la

    figura 1.14.

    Figura 1.14 Tren de pulsos

    rectangulares de amplitud A,

    duracin y periodo T0.

  • IIII----91919191 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    La transformacin de Fourier

    La transformada de Fourier es una operacin que transforma una funcin del

    dominio del tiempo al dominio de la frecuencia; la operacin inversa es la

    transformada inversa de Fourier y se definen por:

    2)()( )(

    2

    1)(

    2)()( )()(

    )2( )1(

    2

    2

    ===

    ===

    fdffFetfdjFetf

    fdttfefFdttfejF

    ftjtj

    ftjtj ( 180 )

    Ejemplo 1.27. Determinar la transformada de Fourier para la funcin

    ttf 0cos)( = .

    Solucin. Aplicando la ecuacin definitoria (2) e identificando la funcin

    impulso unitario, se tiene que:

    ( )

    ++=

    +==

    =+==

    +

    )()(2

    1

    2

    1cos)(

    2,

    2

    1

    2

    1cos)(

    021

    021

    )(2)(220

    000

    00

    00

    ffff

    dtedtedtetfF

    Teettf

    tffjtffjftj

    tjtj

    Basado en las integrales que definen la transformada directa e inversa de

    Fourier, se han desarrollado frmulas para funciones comunes, como la

    mostrada en a tabla 1.7:

    Figura 1.15 (a) funcin muestreo Sa(x); (b) amplitudes espectrales Ck para la representacin en

    series de Fourier del tren de pulsos rectangulares.

  • 92929292 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----92929292

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Tabla 1.7 Transformada de Fourier directa e inversa para funciones comunes

    Grfico f(t) f(t) F[f(t)]=F(j) Grfico |F(j)|

    )( 0tt 0tje

    tje 0

    )(2 0

    t0cos )(

    )(

    0

    0

    +

    +

    1

    )(2

    >

  • IIII----93939393 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Ejemplo 1.28. Emplear la tabla para determinar la transformada de

    Fourier de )(4cos3)( tutetf t = .

    Solucin. Identificando la funcin en la tabla se tiene que:

    ++

    +===

    ++

    +

    16)(

    13)(41,

    )()(cos

    222

    j

    jjF

    j

    jtute d

    d

    d

    t

    El teorema de Parseval nos permite hallar la densidad de energa o energa por unidad

    de ancho de banda (J/Hz) para una funcin f(t):

    djdttf

    =

    22 )(2

    1)( F

    ( 181 )

    Para un circuito, se define la funcin del sistema h(t) como la transformada de

    Fourier de la respuesta al impulso unitario en t=0 del circuito. En el dominio de la

    frecuencia compleja, la funcin del sistema H(j) es idntica a la funcin de

    transferencia del sistema G() y es una relacin entre la transformada de Fourier

    y la transformada de Laplace para una funcin lineal, es decir:

    ][

    ][)()(

    xL

    yL

    V

    VGjH

    i

    O === ( 182 )

    Sean dos funciones y(t) y x(t) y Y(j), X(j) sus respectivas transformadas

    de Fourier; entonces se define la convolucin de y y x como la integral cuya

    transformada de Fourier es el producto de las transformadas de Y y X, es

    decir:

    yxdtyxdtxytv

    jXjYFtvjXjYtvF

    txFjXtyFjY

    y den Convoluci)()()()()(

    :donde )]()([)()()()]([

    )],([)()],([)(1

    ==

    ==

    ==

    ( 183 )

    Si en una red lineal, se conoce la entrada al circuito x(t) y la funcin del sistema o

    respuesta al impulso h(t), entonces la salida y(t) est dada por la convolucin de

    x y h, y se define por:

    dthxty

    = )()()(

    ( 184 )

  • 94949494 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----94949494

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    Ejemplo 1.29. Para el circuito RL mostrado en la figura 1.16, determinar

    el voltaje en el inductor cuando el voltaje de entrada es un pulso exponencial

    decreciente. Emplear las propiedades de convolucin.

    Solucin. (1) Se determina la funcin del sistema mediante un anlisis senoidal

    permanente; (2) se determina la transformada de Fourier de la funcin de

    excitacin; (3) se aplica el principio de convolucin para determinar la

    respuesta del sistema:

    =+

    +

    =+

    +

    ==

    +=

    +==

    )(10)(152

    10

    3

    15

    3

    5

    24

    2)]([F)()]([F)3(

    3

    5)](5[F)2(

    24

    2)()1(

    23

    3

    tuetuejjjj

    jtvjHtv

    jtue

    j

    j

    V

    VjH

    tt

    iO

    t

    i

    O

    Figura 1.16 Circuito RL: (a) dominio del tiempo; (b) dominio de la frecuencia j.

  • IIII----95959595 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Transformacin zeta

    Las computadoras digitales, los controladores lgicos programables (PLC) y los

    microcontroladores poseen una interfaz de entrada que convierte seales continuas en

    seales discretas; el microprocesador, su ncleo cerebral, solo trabaja seales

    discretas. Una forma de considerar estas seales es como seales continuas del

    tiempo que se han muestreado a intervalos regulares; el resultado es una secuencia en

    tiempo discreto. La transformada zeta es un mtodo matemtico para analizar

    seales discretas.

    Sistemas de datos discretos

    Considrese el sistema de control mostrado en la figura 1.17, donde se usa un

    microprocesador programado para implementar la accin de control. (1) la

    entrada al sistema es una seal analgica, que se convierte en una seal

    discreta mediante un convertidor analgico-digital (ADC); (2) el microprocesador

    aplica la estrategia de control, de acuerdo a un programa almacenado en una

    memoria ROM con la cual se comunica; (3) la seal de salida digital del

    microprocesador es convertida en una seal analgica mediante un convertidor

    digital-analgico (DAC); (4) la seal analgica resultante se usa para manejar la

    unidad de correccin y as controlar la planta variable.

    Un reloj alimenta un pulso cada T segundos (periodo de muestreo), cada vez que

    el ADC recibe un pulso, este muestrea la seal de error. La entrada al

    microprocesador es entonces una serie de pulsos.

    Figura 1.17 Sistema de control con datos muestreados

  • 96969696 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----96969696

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    Figura 1.18

    Funcin rampa

    Consideremos una seal de tiempo continuo f(t) que se muestrea en

    intervalos regulares de tiempo con periodo de muestreo T y se representa

    por f*(T), para cada T, el valor de f(kT) se toma durante un intervalo corto

    t

  • IIII----97979797 Captulo Captulo Captulo Captulo 1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin1. Mtodos matemticos de transformacin

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Figura 1.19 Diagrama de bloques con amplificacin y

    retardo unitario

    y(k) y(k-1)

    Las ecuaciones en diferencias se pueden

    representar mediante los bloques

    funcionales: punto, suma, retardo unitario

    y[k-1] y amplificacin a. La figura 1.19

    muestra el bloque funcional de la

    ecuacin anterior.

    Cuando se desea diferenciar la secuencia de entrada se emplea la aproximacin

    tangencial entre dos muestras sucesivas de entrada x[k-1], x[k]. Cuando se

    desea integrar la secuencia de entrada, se emplea la aproximacin trapezoidal para

    hallar el rea bajo la curva de dos muestras sucesivas de entrada x[k-1], x[k].

    De esta forma la salida y[k] se relaciona con la derivada e integral de su

    entrada x[k], mediante las siguientes ecuaciones en diferencias:

    nIntegraci])[]1[(]1[][

    cinDiferencia][]1[][/])1[][(][

    21 ++=

    +==

    kxkxTkyky

    kyTkxkxTkxkxky

    ( 189 )

    Las ecuaciones en diferencias para funciones discretas, son el anlogo a las ecuaciones

    diferenciales para funciones continuas.

    Transformada zeta

    Sea f*(t) la funcin discreta que describe una secuencia de impulsos.

    Aplicando la transformada de Laplace y al hacer Tsez = , se obtiene una funcin

    trasformada en trminos de la variable zeta F(z):

    [ ]

    [ ] knk

    nk

    Ts

    kTsn

    k

    nTskTsTsn

    k

    zkfznfzkfzffkfZzF

    zT

    sez

    ekf

    enfekfeffkTtkftf

    =

    =

    =

    =+++++==

    ==

    =

    +++++===

    0

    1

    0

    0

    *

    ][][][]1[]0[)()(

    :entonces ln1

    si

    ][

    ][][]1[1]0[)(][L)]([LF(s)

    LL

    LL

    ( 190 )

    Ejemplo 1.30. Hallar la transformada zeta para (a) la funcin escaln unitario,

    00)(01)( =>= ttfttf ; (b) la funcin rampa, 00)()(

  • 98989898 Captulo 1Captulo 1Captulo 1Captulo 1. . . . Mtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacinMtodos matemticos de transformacin IIII----98989898

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( )

    ( )

    ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

    >

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    +++=

    +++=+++=

    +++=++++==

    >

    =

    =

    TB, y sea un material de conduccin aislado de longitud L y rea de seccin

    transversal A y sea k su conductividad, entonces la corriente de calor por conduccin

    (H) es:

    k

    LR

    R

    TTA

    L

    TTAk

    dx

    dTkA

    dT

    dQH BABA =

    =

    ===

    )()(

    ( 92 )

    Conveccin. El proceso de transferencia de calor por conveccin es

    complejo y no existe una ecuacin general, por el contrario se desarrollan

    ecuaciones particulares dependiendo de su aplicacin. Por ejemplo la

    conveccin natural de aire desde superficies verticales y planos horizontales esta

    dado por:

    n

    f

    P

    f

    ff

    f k

    cTgLb

    k

    hL

    =

    2

    22

    ( 93 )

    Siendo: h=coeficiente medio de transferencia de calor, kf=conductividad calorfica del

    fluido, cp=calor especfico a presin constante del fluido, f=densidad del fluido,

    f=coeficiente de expansin trmica del fluido, g=aceleracin debida a la gravedad,

    T=diferencia de temperaturas entre la lamina y el fluido, f=viscosidad del fluido.

    Radiacin. Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la energa radiante

    que incide sobre el. En equilibrio trmico un cuerpo emite la misma cantidad

    de energa radiante que la que absorbe. A partir de la ley de Stefan-Boltzmann,

  • 34343434 Captulo Captulo Captulo Captulo 2222. Bloques f. Bloques f. Bloques f. Bloques fununununcionales de sistemas fcionales de sistemas fcionales de sistemas fcionales de sistemas fsicossicossicossicos IIIIIIII----34343434

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    se tiene la corriente de calor por radiacin (H) para una superficie A, de un cuerpo

    a temperatura absoluta T, esta dada por:

    4TAedT

    dQH ==

    ( 94 )

    Donde es la constante de Stefan-Boltzmann, y e es la emisividad de la superficie.

    Para un cuerpo negro e=1 y e

  • IIIIIIII----35353535 Captulo Captulo Captulo Captulo 2222. Bloques funcionales de sistemas f. Bloques funcionales de sistemas f. Bloques funcionales de sistemas f. Bloques funcionales de sistemas fsicossicossicossicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Relaciones analogas de bloques funcionales de

    sistemas fsicos

    Hasta ahora nuestro esfuerzo se ha concentrado en la determinacin de los

    bloques funcionales de los siguientes sistemas fsicos: mecnicos traslacionales,

    mecnicos rotacionales, elctricos, fludicos hidrulicos, fludicos neumticos y trmicos. La

    intencin que se ha tenido en mente es presentarlos de manera tal que se

    observe una analoga natural en los modelos matemticos que los presentan,

    como se resume en la tabla 2.10.

  • 36363636 Captulo Captulo Captulo Captulo 2222. Bloques f. Bloques f. Bloques f. Bloques fununununcionales de sistemas fcionales de sistemas fcionales de sistemas fcionales de sistemas fsicossicossicossicos IIIIIIII----36363636

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    Tabla 2.10 Relaciones anlogas de los bloques funcionales de sistemas fsicos

    Bloques funcionales

    Sistema

    fsico

    Almacenamiento de

    energa potencial Disipador de energa

    Almacenamiento de

    energa cintica

    Resorte traslacional Amortiguador traslacional Masa Mecnico

    trasnacional = dtvkFr vcF

    r=

    dt

    vdmF

    r

    =

    Resorte torsional Amortiguador rotacional Momento de inercia Mecnico

    rotacional = dtkT r

    rcT =

    dt

    dIT

    r

    =

    Inductor Resistor Capacitor Elctrico

    = vdtLi1

    viR1=

    dt

    dvCi =

    Inertancia hidrulica Resistencia hidrulica Capacitancia hidrulica Fludico

    hidrulico

    = dtppIq )(

    121

    )( 21

    1 ppqR

    = dt

    ppdCq

    )( 21 =

    Inertancia neumtica Resistencia neumtica Capacitancia neumtica Fludico

    neumtico = dtppI

    m )(1

    21&

    )( 211 ppmR

    =& dt

    ppdCm

    )( 21 =&

    Sin equivalente Resistencia trmica Capacitancia trmica Trmico

    )( 211 TTqR

    = dt

    dTCqq = 21

  • Modelado de sistemas dinmicos Los sistemas fsicos se presentan en la naturaleza como

    sistemas dinmicos. El modelo matemtico que representa un

    sistema fsico se obtiene a partir de un anlisis del estado que

    guardan los bloques funcionales que componen el sistema,

    aplicando los principios de conservacin de energa, masa y

    momento (angular y lineal). El objetivo de este capitulo es

    presentar un conjunto de tcnicas que permitan la obtencin

    de modelos matemticos para los siguientes sistemas fsicos:

    Sistemas mecnicos.

    Sistemas elctricos.

    Sistemas fludicos.

    Sistemas trmicos.

    Sistemas electromecnicos.

    El modelado se presenta mediante la funcin de transferencia del

    sistema en el dominio de s, empleando la transformada de Laplace;

    se presenta una introduccin al anlisis en espacio de estados.

    CCaappttuulloo 33

  • 2222 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----2222

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  • IIIIIIIIIIII----3333 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Modelado de sistemas dinmicos

    Una ecuacin diferencial de un sistema dinmico, es un modelo matemtico que

    representa la relacin entre las variables de entrada del sistema y las variables

    de salida para una caracterstica del sistema en particular, como una funcin

    del tiempo. Una modelo de estado es una representacin matricial que relaciona

    las variables de: entrada, salida y de estado; de manera que determina el

    comportamiento del sistema en cualquier tiempo. En general las leyes de

    conservacin de la masa (M), energa (E) y momento (P) se aplican a los

    componentes del sistema para formar una ecuacin de balance que se puede

    escribir como:

    [ME] den acumulacio de tasasalida de [ME] de flujo-entrada de [ME] de flujo =

    ( 1 )

    En ingeniera de control se emplean varas tcnicas matemticas bien

    fundamentadas: (1) modelado mediante funcin de transferencia, aplicable a

    sistemas lineales invariantes con el tiempo (ED lineales con coeficientes

    constantes); (2) representacin del sistema mediante diagramas de bloques y (3)

    modelado de sistemas complejos mediante espacio de estados.

  • 4444 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----4444

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Modelado mediante funcin de transferencia

    La teora de control convencional emplea la funcin de transferencia para el

    anlisis de sistemas lineales invariantes con el tiempo sujetos a una sola

    entrada y una sola salida; y el anlisis se realiza en el dominio de la

    frecuencia (1/t). Una funcin de transferencia o ganancia G(s), de un sistema se

    obtiene al aplicar la transformada de Laplace a la ED invariante con el tiempo, que

    representa el sistema (transformando la ED del domino del tiempo al

    dominio de la los nmeros complejos) y se expresa como una razn de la

    salida o respuesta Y(s), entre la entrada o excitacin X(S); bajo la suposicin de

    que todas las condiciones iniciales son cero:

    [ ][ ])(L

    )(L

    )(

    )()()()()(

    tx

    ty

    sX

    sYsGsXsGsY ===

    ( 2 )

    El orden del sistema queda determinado por el orden de X(s) y en general el

    orden de X(s) ser siempre menor que el orden de Y(s).

    Ejemplo 3.1. Obtener la funcin de transferencia para

    el sistema mecnico mostrado en la figura cuya

    entrada es la fuerza externa u(t) y su salida el

    desplazamiento y(t).

    Solucin. Cuando se aplica la fuerza externa u(t) a la

    masa, en la direccin indicada, las fuerzas de resorte y

    amortiguamiento se oponen al desplazamiento. De esta

    manera: (1) aplicando la segunda ley de Newton, F=ma;

    (2) transformando la ED lineal e invariante resultante;

    (3) hallando la funcin de transferencia suponiendo

    condiciones iniciales iguales a cero, se tiene:

    [ ]

    ++

    ==

    =++=++

    =++=

    kbsmssU

    sYsG

    sUkbsmssYsUskYsbsYsYms

    ukydt

    dyb

    dt

    ydm

    dt

    tydm

    dt

    tdybtkytu

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    1

    )(

    )()(

    )()()()()()(

    )()()()(

    Figura 3.1 Sistema bloque-

    resorte-amortiguador

  • IIIIIIIIIIII----5555 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Representacin del sistema mediante diagramas de

    bloques

    Los diagramas de bloques son

    representaciones grficas de la

    dinmica de un sistema de control, en

    su forma ms sencilla representan

    una funcin de transferencia; y

    constan de los siguientes

    elementos (figura 3.2): (1) flechas: se emplean para representar la direccin

    del flujo de la seal; (2) punto suma: es el lugar donde dos o ms seales se

    suman o restan dependiendo del signo indicado; (3) punto de separacin: es

    el lugar donde la seal se separa en dos o ms direcciones de flujo; (4)

    bloques: son recuadros que alojan una operacin matemtica de

    transformacin para la seal de entrada.

    Los diagramas de bloques obedecen algunos principios algebraicos bsicos

    como se muestra en la figura 3.4.

    Para un sistema de lazo abierto, que consta de elementos conectados en

    serie, la funcin de transferencia global es el producto de las funciones de

    transferencia de los elementos individuales:

    n

    n

    k

    k GGGGG L211

    == = ( 3 )

    Para un sistema de lazo cerrado consideremos

    el diagrama de bloques mostrado en la figura 3.3.

    Se tienen las siguientes relaciones:

    )()(1

    )(

    )(

    )(

    )()()()()()(

    )()()(

    sHsG

    sG

    sR

    sC

    sCsHsRsBsRsE

    sEsGsC

    +=

    ==

    =

    ( 4 )

    Figura 3.2 Elementos de

    un diagrama de bloques

    G(s)

    H(s)

    E(s)

    Realimentacin

    + -

    C(s)

    B(s)

    R(s)

    Figura 3.3 Funcin de transferencia de un

    sistema de lazo cerrado

  • 6666 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----6666

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    En la ecuacin anterior G se conoce como funcin de transferencia de la

    trayectoria directa, GH se conoce como funcin de transferencia de lazo.

    Efectos de las perturbaciones

    Una perturbacin es una seal no deseada la cual afecta la salida del sistema.

    Las perturbaciones pueden venir de fuentes exgenas (medio ambiente) o

    del interior del sistema, por ejemplo ruido elctrico.

    Figura 3.5 Sistema de control en lazo cerrado con perturbacin

    Figura 3.4 Reglas algebraicas de los diagramas de bloques

  • IIIIIIIIIIII----7777 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Consideremos el sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbacin D(s),

    mostrado en la figura 3.5. La respuesta del sistema C(s) es la superposicin

    de las respuestas de la seal de entrada CR(s) y la perturbacin CD(s), esto es:

    [ ])()()()()()(1

    )()()()( 1

    21

    2 sDsRsGsHsGsG

    sGsCsCsC DR +

    +=+=

    ( 5 )

    En general los sistemas de lazo cerrado son poco sensibles a los efectos de

    las perturbaciones.

    Representacin de un sistema dinmico en diagrama de bloques

    Ejemplo 3.2. Para el circuito RC mostrado en la

    figura 3.6; cuya entrada es ei y cuya salida es eo. Hallar

    su representacin en diagrama de bloques.

    Solucin. (1) Se escriben ecuaciones que relacionen

    las variables de entrada y salida; (2) se transforman en diagramas de bloques;

    (3) se forma un diagrama de bloques general:

    Modelado mediante espacio de estados

    En la teora de control moderna se emplea el concepto de espacio de estados

    para el anlisis de sistemas dinmicos que pueden tener entradas y salidas

    mltiples y que pueden variar con el tiempo (ED no lineales); y el anlisis se

    realiza en el dominio del tiempo (t).

    El estado de un sistema queda determinado al conocer el n-vector de estado,

    cuyos componentes son n-variables de estado y que grficamente se representa

    como un punto en el n-espacio de estados. Una ecuacin de estado es una relacin

    =

    =

    C

    idte

    R

    eei

    o

    oi

    (1) (2) (3)

    Figura 3.6 Circuito RC

  • 8888 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----8888

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    entre tres conjuntos de variables que determinan el comportamiento del

    sistema: (1) variables de entrada, (2) variables de salida y (3) variables de estado. Un

    sistema dinmico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la

    entrada, estos son los integradores y sus salidas son las variables de estado dxxx ii = ' .

    Mediante el espacio de estados un sistema dinmico, se puede representar

    mediante el siguiente conjunto de ecuaciones matriciales:

    directan transmiside matriz

    salida de matriz

    entrada de matriz

    estado de matriz

    :

    )()()(

    )()()(

    =

    =

    =

    =

    +=

    +=

    FFFFEEEEDDDDCCCC

    FwFwFwFwEzEzEzEz{{{{DwDwDwDwCzCzCzCzz)z)z)z)donde

    ttt

    ttt

    ( 6 )

    Las matrices A, B, C y D son funciones del tiempo si el sistema es variante

    con el tiempo, de lo contrario son matrices constantes. El vector de entrada (u),

    vector de salida (y) y vector de estado (x), se definen por:

    =

    =

    =

    )(

    )(

    )(

    (t),

    )(

    )(

    )(

    (t),

    )(

    )(

    )(

    (t)2

    1

    2

    1

    2

    1

    tx

    tx

    tx

    ty

    ty

    ty

    tu

    tu

    tu

    nmr zzzz{{{{wwww

    ( 7 )

    Ejemplo 3.3. Representar el sistema masa-resorte-amortiguador,

    mediante ecuaciones de estado.

    Solucin. El punto clave para la representacin del sistema mediante

    ecuaciones de estado es la seleccin adecuada de las variables de estado, y se

    lleva a cabo como sigue: (1) se determina la ED que representa el sistema

    dinmico y el grado de esta (n); (2) se eligen n-variables de estado, que

    pueden ser la funcin de salida y sus (n-1) derivadas; (3) se escriben

    relaciones de las variables de entrada y las variables de salida con las

    variables de estado; (4) se expresan matricialmente las ecuaciones de estado;

    (5) se representa el sistema en su forma matricial estndar identificando las

    matrices de coeficientes (A, B, C, D):

  • IIIIIIIIIIII----9999 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    [ ]

    [ ] ==

    =

    =

    +=

    +=

    =

    +

    =

    =

    +=+=

    =

    ==

    =++=++

    0,01,10

    ,10

    )()()(

    )()()()5(

    01,1010

    '

    ')4(

    1'

    1)'(

    1'

    ,')3(

    estado de variables)(')(),()()2(

    ''' )1(

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    2122

    21

    21

    2

    2

    DC

    m

    B

    m

    b

    m

    kA

    ttt

    ttt

    x

    xYu

    mx

    x

    m

    b

    m

    kx

    x

    xY

    um

    xm

    bx

    m

    kxu

    mbyky

    mx

    xx

    tytxtytx

    ukybymyukydt

    dyb

    dt

    ydm

    """"""""""""""""

    FwFwFwFwEzEzEzEz{{{{""""""""""""""""DwDwDwDwCzCzCzCzz)z)z)z)

    Representacin de EDL con coeficientes constantes en espacio de

    estados

    El mtodo antes enunciado se generalizar para representar un sistema

    dinmico que es representado por una ecuacin diferencial lineal de ensimo

    orden, en su forma normal:

    ubyayayay nnnn

    1

    )1(

    1

    )1(

    1

    )( =++++

    L

    ( 8 )

    Consideremos como variables de estado la funcin de salida y sus derivadas

    y definimos:

    )1()1(

    21 ,,,=== nn yxyxyx L

    ( 9 )

    Reescribiendo la ED en trminos de las variables definidas:

    nn xxxxxx === 13221 ',,',' L

    ( 10 )

    Por lo que matricialmente en espacio de estados la ED lineal de n-simo

    orden se representa por dos ecuaciones lineales de primer orden:

  • 10101010 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----10101010

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    [ ] 0,0001

    0

    0

    0

    ,

    1000

    0000

    0100

    0010

    ,

    '

    1121

    1

    2

    1

    ==

    =

    =

    =

    +=

    +=

    FFFFEEEE

    DDDDCCCCzzzz

    FFFFEzEzEzEz{{{{DwDwDwDwCzCzCzCzzzzz

    L

    M

    L

    L

    L

    L

    L

    M

    baaaax

    x

    x

    x

    nnnn

    n

    ( 11 )

    Asimismo la funcin de transferencia del sistema est dada por:

    nn

    nn asasas

    b

    sU

    sYsG

    ++++==

    1

    1

    1

    1

    )(

    )()(

    L ( 12 )

    Relacin entre funciones de transferencia y espacio

    de estados

    Cuando se tiene un modelo en el espacio de estados de un sistema con una

    sola entrada y una sola salida, es posible obtener la funcin de transferencia

    a partir de los parmetros A, B, C y D como se muestra a continuacin.

    [ ]

    [ ][ ]

    FFFFDDDDCCCCEEEE

    FFFFDDDDCCCCEEEEFFFFDDDDCCCCEEEEFFFFEEEEFwFwFwFwEzEzEzEz{{{{

    DDDDCCCCDDDDCCCCDDDDCCCCDDDDCCCCDwDwDwDwCzCzCzCzz)z)z)z)

    +==

    +=+=

    +==+=

    ===

    =+==+=

    1

    11

    1

    )()(

    )()(

    )()()()()(

    )()()()()()(L

    )()()()()()(

    )()()()()()()()()(L

    sIsU

    sYsG

    sIsUsUsUsI

    sUsXsYttt

    sUsIsXsUsXsI

    sUsXssXsUsXssXttt

    ( 13 )

    Ejemplo 3.4. Obtener la funcin de transferencia para el sistema masa-

    resorte-amortiguador representado en espacio de estados.

    Solucin. Aplicando la ecuacin definitoria se tiene que:

  • IIIIIIIIIIII----11111111 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    [ ]

    [ ]

    ++

    =

    ++

    =

    =+

    +=+==

    ++

    =

    +=

    +

    ++

    ==

    +=

    =++=

    +

    =

    =

    ==

    =

    =

    kbsmsm

    m

    ks

    m

    bs

    mR

    mRsm

    kR

    Rm

    bRRs

    sIsU

    sYsG

    m

    ks

    m

    bs

    R

    sm

    km

    bs

    R

    sm

    km

    bs

    m

    ks

    m

    bs

    A

    AsI

    sm

    km

    bs

    aa

    aaAmkmbsssI

    m

    bs

    m

    ks

    m

    b

    m

    ks

    ssI

    mm

    b

    m

    k

    22

    1

    22

    1

    1121

    1222

    11

    1

    111

    101

    001)(

    )(

    )()(

    111

    1 adj)(

    1 adj,/)/()det(

    110

    0

    0)(

    0,01,10

    ,10

    FFFFDDDDCCCCEEEE

    CCCC

    CCCC

    CCCC

    FFFFEEEEDDDDCCCC

    Sistemas mecnicos

    Para los sistemas mecnicos traslacionales existen tres bloques funcionales

    bsicos: masa-resorte-amortiguador; para sistemas mecnicos rotacionales los bloques

    funcionales bsicos son: momento de inercia-resorte rotacional-amortiguador

    rotacional. En anlisis de sistemas mecnicos se lleva acabo aplicando la segunda

    ley de Newton a cada masa o momento de inercia segn corresponda, con

    frecuencia es til dibujar un diagrama de cuerpo libre, en el que se muestran las

    fuerzas o torques actuando sobre cada masa:

    dt

    dIT

    dt

    xdmF

    22, ==

    ( 14 )

    Ejemplo 3.5. Obtener el modelo por funcin de

    transferencia del sistema mostrado en la figura 3.7,

    donde la fuerza externa es la variable de entrada y el

    desplazamiento la variable de salida.

    Solucin. Cuando la fuerza f(t) se aplica a la masa en

    la direccin indicada, los resortes se oponen al Figura 3.7 Sistema

    masa-resorte

  • 12121212 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----12121212

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    movimiento con fuerzas indicadas. Aplicando la segunda ley de Newton, se

    tiene que:

    [ ] ++

    ===++

    =++

    =++

    =++=

    )(

    1

    )(

    )()()()()(

    )()()()()()(L

    )()()(

    21

    221

    2

    21

    2

    212

    2

    212

    2

    2

    2

    21

    kkmssF

    sXsGsFkkmssX

    sFsXkksXmstfxkkdt

    xdm

    tfxkkdt

    xdm

    dt

    xdmxkxktf

    Ejemplo 3.6. Obtener el modelo por funcin de

    transferencia de un motor que hace girar una carga,

    donde el par externo T, es la variable de entrada y el

    desplazamiento angular la variable de salida.

    Solucin. En la figura 3.8 se muestra el modelo de

    bloques. La masa es representada por el momento de

    inercia I, con radio de giro k y es hecha girar por un par

    externo T (internamente es un par aplicado a la armadura, debido a fuerzas electromagnticas por

    iteracin con el campo magntico, xaBIANT sin=

    r ), el resorte y el amortiguador

    rotacionales generan pares que se oponen al movimiento de la masa; se

    aplica la segunda ley de Newton en forma rotacional dt

    dIT

    r

    =, y se tiene que:

    [ ] ++

    =

    ==++

    =++

    =++

    =++=

    kcsssT

    ssGsTkcsIss

    sTskscssIstTkdt

    dc

    dt

    dI

    tTkdt

    dc

    dt

    dI

    dt

    dI

    dt

    dcktT

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    )(

    )()()()(

    )()()()()(L

    )()(

    Ejemplo 3.7. Obtener el modelo por funcin de transferencia del sistema

    de suspensin de un automvil, figura 3.9a.

    Solucin. El sistema de suspensin es complejo, un acercamiento es como el

    mostrado en la figura 3.9b, una simplificacin mayor conduce al sistema

    mostrado en la figura 3.9c. En el cual el desplazamiento xi del punto P es la

    entrada del sistema y el desplazamiento xo de la masa es la salida del sistema.

    Figura 3.8 Masa que gira

    sujeta al extremo de un eje

    I

    k

  • IIIIIIIIIIII----13131313 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    La suspensin de un automvil tiene por objeto la estabilidad de este, de

    manera que se minimicen las vibraciones como resultado del relieve del

    terreno. Se compone de dos elementos principales resortes (o muelles) y

    amortiguadores adems de brazos y ejes rgidos. Refirindose a la figura 3.9c el

    sistema se modela como un sistema masa-resorte-amortiguador. En trminos de

    desplazamientos, cuando un desplazamiento xi, se aplica al punto P, la masa

    m reacciona con desplazamiento xo a partir de su posicin de equilibrio; pero

    se amortigua mediante el amortiguador de constante b y el resorte de

    constante k. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3.9d, en

    smbolos se tiene que:

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ++

    +==

    +=++=+++

    =++

    =+

    +

    =+

    +=++

    kbsms

    kbs

    sX

    sXsG

    kbssXkbsmssXkbssXkbsmssX

    sXsXksXsXbssXmsxxkdt

    dx

    dt

    dxb

    dt

    xdm

    xxkdt

    dx

    dt

    dxb

    dt

    xdm

    dt

    dxbkx

    dt

    dxbkx

    dt

    xdm

    i

    O

    iOiO

    iOiOOio

    ioo

    io

    iooi

    i

    o

    o

    o

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    )(

    )()(

    )()(0)()(

    0)()()()()(0L

    0

    Sistemas elctricos

    Los bloques funcionales bsicos de sistemas elctricos son: inductor-resistor-

    capacitor. El anlisis de sistemas elctricos se lleva a cabo aplicando las leyes de

    voltajes y corrientes de Kirchhoff (LVK, LCK), mediante dos mtodos conocidos

    Figura 3.9 (a) Suspensin de un automvil; (b) sistema de suspensin; (c) simplificacin; (d) cuerpo libre

    (a)

    (b)

    P

    (c)

    m

    kxi bx'i

    kxo bxo mx''o

    (d)

  • 14141414 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----14141414

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    como anlisis de mallas y anlisis de nodos que expresan la conservacin de

    la energa y la carga respectivamente:

    LCK0

    LVK0

    1

    1

    =

    =

    =

    =

    n

    k k

    n

    k k

    I

    V

    ( 15 )

    Ejemplo 3.8. Obtener el modelo por

    funcin de transferencia del sistema RLC

    mostrado en la figura 3.10, la variable de

    entrada es el voltaje aplicado v, la variable de

    salida es el voltaje en el capacitor vC.

    Solucin. La figura 3.10a, muestra el anlisis

    de nodos, la figura 3.10b muestra el anlisis de

    mallas, ambos conllevan al mismo resultado,

    es decir:

    ++=+

    +=

    +==

    =

    =

    =

    +=

    +=

    ++

    ===

    ++

    =++

    =++

    =++==

    ==

    ===

    CC

    C

    C

    C

    C

    C

    C

    C

    C

    CCCC

    C

    C

    C

    C

    CCC

    C

    CC

    CA

    A

    A

    A

    A

    A

    vdtvL

    R

    dt

    dvRCvv

    dt

    dvCdtv

    LR

    dt

    dvCdtv

    Li

    dt

    dvLCiLdtv

    iiLdtvdt

    iidLv

    dt

    iidLv

    dt

    iidLv

    dt

    iidLRi

    sL

    RRCs

    sV

    sVsGsV

    sL

    RRCssV

    sVsVs

    sV

    L

    RsRCsVvvdtv

    L

    R

    dt

    dvRC

    vvdtvL

    R

    dt

    dvRC

    dt

    dvCdtv

    LR

    vv

    dt

    dvCidtV

    Li

    R

    vviiiii

    1v

    1

    )()()()(

    0 :2 Malla

    )( v:1 Malla

    :mallas de Anlisis

    1

    1

    )(

    )()()(1)(

    )()()(

    )(L

    :entonces ,v vpero 01

    ,1

    ,,0:0

    :nodos de Anlisis

    11

    21

    212112

    21

    1

    AC

    321321

    Figura 3.10 Circuito R-LC, (a) anlisis

    de nodos; (b) anlisis de mallas

    (a)

    (b)

  • IIIIIIIIIIII----15151515 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Ejemplo 3.9. Escribir el circuito elctrico

    anlogo al sistema mecnico mostrado en la figura

    3.11.

    Solucin. La analoga entre elementos mecnicos y

    elctricos es como sigue: resorteinductor;

    amortiguadorresistor; masacapacitor, la fuerza F, es

    anloga a la intensidad de corriente elctrica i. Los

    elementos de la rama 1 estn en paralelo con el

    elemento de la rama 2, lo mismo ocurre en su

    circuito dual. El resultado se muestra en la figura

    3.12.

    Transformada de Laplace de impedancias

    complejas

    El anlisis de circuitos elctricos se facilita en gran medida cuando las

    impedancias del circuito se transforman por la tcnica de Laplace. La

    impedancia se define como la razn Z(s)=V(s)/I(s); para los elementos

    resistor R, inductor L y capacitor C, se tienen las impedancias complejas R, Ls y

    1/Cs respectivamente, el reciproco de la impedancia es la admitancia Y(s). El

    equivalente de impedancias en serie es su suma algebraica, el equivalente de

    admitancias en paralelo es su suma algebraica, es decir:

    = =

    ==n

    k

    n

    k

    keqkeq sYsYsZsZ1 1

    )()(),()(

    ( 16 )

    Ejemplo 3.10. Obtener la transformacin de

    Laplace del circuito RLC mostrado en la figura 3.13.

    Solucin. Se escribe la LVK para la malla y se

    transforma:

    Figura 3.12 Sistema elctrico

    Figura 3.12 Sistema mecnico

    Figura 3.13 Circuito RLC

  • 16161616 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----16161616

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ++

    =

    ++

    =

    ++

    ==

    ==

    =

    =

    ++==

    =

    ==

    ====

    1

    1

    1

    /1

    1)(

    /)(

    )(

    )()(

    )()(

    1L

    01

    )()()(

    )()()(01

    L

    1,0

    1

    1,,,0

    2 RCsLCs

    sCRILs

    sC

    sCRILssI

    sCsI

    sE

    sEsG

    sC

    sIsEidt

    Ce

    sCRLssIsE

    sC

    sIsRIsLsIsEidt

    CRi

    dt

    diLe

    idtC

    eidtC

    Ridt

    diLe

    idtC

    vRivdt

    diLvvvve

    i

    O

    OO

    iii

    Oi

    CRLCRLi

    Ejemplo 3.11. Obtener el modelo por funcin de

    transferencia del circuito mostrado en la figura 3.14,

    empleando el concepto de impedancia compleja.

    Siendo Z1(s)=Ls+R, Z2(s)=1/Cs.

    Solucin. Puesto que es un circuito de una sola

    malla, se aplica la LVK y se tiene que:

    [ ]

    ++

    =++

    =+

    ==

    +==

    1

    1

    /1

    /1

    )()(

    )(

    )(

    )()(

    )(

    )()()()()()(

    2

    21

    2

    2

    21

    RCsLCsCsRLs

    Cs

    sZsZ

    sZ

    sE

    sEsG

    sZ

    sEsZsZsIsZsE

    i

    O

    Oeqi

    Ejemplo 3.12. Obtener el modelo en espacio de estados del circuito RLC

    mostrado en la figura 3.13.

    Solucin. Se aplica el mtodo para EDL con coeficientes constantes, antes

    presentado, que consta de los siguientes pasos: (1) se obtiene la EDL y se

    escribe en sui forma normal y se obtiene el orden n; (2) se escriben las n

    variables de estado x1xn, que consta de la variable de salida y sus n-1

    derivadas; (3) se escribe la variable de entrada u, y la variable de salida y=x1;

    (4) se escribe las ecuaciones matriciales de primer orden que representan el

    estado del sistema de acuerdo al formato presentado; (5) se obtiene la

    funcin de transferencia empleando la ecuacin antes presentada:

    Figura 3.14 Circuito de impedancias

    complejas

  • IIIIIIIIIIII----17171717 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    [ ]

    ++

    =++

    ==

    =

    +

    =

    ===

    ==

    ==

    ==++

    ==

    ===

    1

    1

    /1/

    /1

    )(

    )()()5(

    01

    ,10

    110

    '

    ')4(

    saliday entrada de variables ,,)3(

    estado de variables ',)2(

    1,

    2norden de normal formasu en EDL 11

    '''

    01

    1,0

    1 )1(

    22

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    1

    21

    21

    2

    2

    RCsLCsLCLsRs

    LC

    sE

    sEsG

    x

    xy

    u

    LCx

    x

    L

    R

    LCx

    x

    xeyeu

    exex

    LCa

    L

    Ra

    eLC

    eLC

    eL

    Re

    edt

    deRC

    dt

    edLCedt

    dt

    deC

    Cdt

    deCR

    dt

    dt

    deCd

    Le

    dt

    deCiidt

    Ceidt

    CRi

    dt

    diLe

    i

    O

    Oi

    OO

    iOOO

    O

    OO

    i

    OO

    O

    i

    O

    Oi

    Sistemas fludicos

    Un lquido que fluye dentro de una tubera se dice que tiene flujo laminar si su

    nmero de Reynolds es menor que 2000, si es mayor se dice que es flujo

    turbulento. El nmero de Reynolds es una cantidad adimensional que se

    define por:

    circular ansversalseccin tr la de dimetroD

    flujo del msica velocidadG

    cm]-g/seg seg/cm-dina[poise viscosidad :donde 2

    =

    =

    ===

    =

    DGNR

    ( 17 )

    Los sistemas con flujo laminar se modelan con EDL mientras que los de

    flujo turbulento requieren EDP; los primeros son menester de nuestro

    estudio.

    Ejemplo 3.13. Para el sistema de nivel de lquidos con iteracin mostrado

    en la figura 3.15, obtener las EDL que describen el cambio de las alturas de

    los lquidos en los contenedores respecto al tiempo, si la inertancia es

    despreciable.

  • 18181818 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----18181818

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Solucin. Los elementos que componen el sistema mostrado son

    bsicamente dos tipos: los contenedores o capacitores y las vlvulas; los primeros

    tienen la propiedad de capacidad y los segundos de resistencia. Empleando las

    ecuaciones definitorias se tiene que:

    =++=

    +==

    ====

    =

    ====

    =+=

    ====

    ====

    0)()(

    :1 vlvulala de ec laen q dosustituyen ,

    0,

    )0p aatmosfricpresin a sale lquido (el:2 vlvulala Para

    /,,

    :2 contenedor el Para

    )()(

    )()(,

    :1 vlvulala Para

    /,,

    :1 contenedor el Para

    2

    22

    21

    21

    2

    2

    2

    2

    221

    1

    22

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    3322232

    2232222232

    1

    1

    21

    11

    11

    121

    1

    1

    21

    1

    221212121

    1

    121111121

    hAR

    ghh

    AR

    g

    dt

    dhh

    R

    g

    dt

    dhAhh

    R

    g

    hR

    g

    dt

    dhAq

    dt

    dhAh

    R

    gq

    hR

    gqqRghghpqRp

    dt

    dhAqqgACghp

    dt

    dpCqq

    A

    qhh

    RA

    g

    dt

    dh

    dt

    dhAhh

    R

    gq

    hhR

    gqqRghhghghpqRp

    dt

    dhAqqgACghp

    dt

    dpCqq

    Ejemplo 3.14. Para el tubo en U, mostrado en la

    figura 3.16, que contiene un lquido, obtener la EDL

    que describe el cambio de altura con el tiempo,

    cuando se incrementa la presin por el extremo del

    tubo indicado.

    Solucin. Cuando se ejerce presin por el extremo

    izquierdo del tubo, desplazndose el nivel 1 una

    Figura 3.15 Sistema de nivel de lquidos comunicantes

    Figura 3.16 Tubo en U

    conteniendo lquido

  • IIIIIIIIIIII----19191919 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    altura h, la diferencia de alturas entre niveles es 2h, y el volumen desplazado

    es V=Ah, siendo A el rea de seccin transversal. En cualquier instante, la

    diferencia depresiones entre los dos extremos debe ser igual a la cada de presin total a

    travs del sistema, si consideramos que el sistema tiene inertancia, resistencia y

    capacitancia entonces se tiene que:

    ( )

    =++

    ===

    ++====++=

    pghdt

    dhRA

    dt

    hdL

    g

    AC

    A

    LIhdh

    dhC

    A

    dt

    dhRA

    dt

    hdIAp

    dt

    dhA

    dt

    Ahd

    dt

    dVqdtq

    CRq

    dt

    dqIp

    2

    ,niveles, los entre Diferencia2

    ,1

    2

    2

    2

    2

    Sistemas trmicos

    Ejemplo 3.15. Considrese un termmetro de

    temperatura T que se sumerge en un lquido de

    temperatura TL, mostrado en la figura 3.17, determinar la

    EDL que describe la variacin de temperatura del

    termmetro.

    Solucin. El termmetro tiene una capacitancia trmica C, y existe un flujo de

    calor del lquido al termmetro q, a travs de una resistencia trmica es R, es

    decir:

    =+=

    =

    ==

    LL

    L

    L

    TTdt

    dTRC

    dt

    dTC

    R

    TT

    dt

    dTCq

    R

    TTqRqTT

    o termmetral lquido delcalor de flujo

    trmicaaresistenci

    Ejemplo 3.16. La figura 3.18 muestra un sistema trmico

    que consta de un calefactor elctrico CE en una habitacin H. El

    CE emite calor a la razn q1 y H pierde calor a la razn q2. Si

    el aire en H est a una temperatura uniforme T y que no se

    almacena calor en las paredes, obtener la EDL que describe

    como cambia T.

    Figura 3.17 Termmetro

    Figura 3.18 Calefaccin

  • 20202020 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----20202020

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Solucin. El are en H tiene una capacitancia trmica C, la temperatura

    dentro de H es T y TO fuera de ella, empleando las ecuaciones definitorias,

    se tiene que:

    ( )

    ( ) =+=

    ===

    OO

    OO

    TRqTdt

    dTRC

    dt

    dTCTT

    Rq

    TTR

    qTTRqdt

    dTCqq

    11

    2221

    1

    1,

    Sistemas electromecnicos

    Gran parte de los dispositivos de aplicacin prctica se componen de la

    agrupacin de sistemas simples, el anlisis de estos requiere la aplicacin de

    leyes de conservacin de las energas que intervienen en su operacin.

    Ejemplo 3.17. Determinar el modelo matemtico del motor de CD (a)

    controlado por armadura; (b) controlado por campo. Dibujar el circuito,

    realizar un diagrama de representativo del modelo.

    Solucin. Un motor de CD es dispositivo que transforma energa elctrica

    en energa mecnica. Se compone de partes principales un embobinado de

    campo y un embobinado de armadura; el primero genera un campo magntico de

    densidad de flujo B, por circulacin de una corriente if; cuando por el

    embobinado de la armadura de N espiras, circula una corriente ia, sobre cada

    espira de longitud L y anchura b, actan fuerzas F, que la hacen girar a velocidad

    angular ; generando un par T. En las terminales de la armadura se induce

    un voltaje denominado fuerza contraelectromotriz vb y se opone al voltaje aplicado

    va y es proporcional a .

    (a) Para el motor controlado por armadura, la corriente de campo if, es constante

    y el motor se controla ajustando el voltaje de la armadura va. El circuito de la

    armadura se puede considerar como una resistencia R, en serie con una

    inductancia La y una fuerza contraelectromotriz vb opuesta el voltaje aplicado a la

    armadura va, como se muestra en la figura 3.19. Al par de la armadura T, se

    opone el par de amortiguamiento Tm, proporcional a la velocidad de la

    armadura.

  • IIIIIIIIIIII----21212121 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    (b) Para el motor controlado por campo, la corriente de la armadura ia es

    constante y el motor se controla ajustando el voltaje del campo vf. El circuito

    del campo se puede considerar como una resistencia Rf, en serie con una

    inductancia Lf, como se muestra en la figura 3.19. Al par de la armadura, se

    opone el par de amortiguamiento, Tm proporcional a la velocidad de la

    armadura. La figura 3.20 muestra el diagrama en bloques en funcin del

    tiempo, la deduccin matemtica se muestra a continuacin:

    ====

    =+=

    =

    ====

    =+=+=

    =

    ==

    =

    ===

    =

    cikdt

    dIcTikT

    dt

    dI

    viR

    cikdt

    dIcTikT

    dt

    dI

    iRiR

    BikLbNBiFbT

    LNBiF

    ff

    fff

    aa

    aaaa

    aa

    a

    5m5

    ff

    a

    4m4

    3a

    a

    aba

    a

    a

    3b

    f

    2b

    1

    , :T

    dt

    diL :0v

    constantei :campopor controlado CDMotor

    , :T

    k-vdt

    diLv-v

    dt

    diL :0v

    kv

    constanteB constantei:armadurapor controlado CDMotor

    inducida tromitrizcontraelec fuerza Bkv

    armadura la de espiras N sobrepar

    espiras N sobre magntica fuerza

    :CD demotor del entoComportami

    Figura 3.19 Circuitos

    de la armadura y campo

    para un motor de CD.

  • 22222222 Captulo 3Captulo 3Captulo 3Captulo 3. . . . Modelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicosModelado de sistemas dinmicos IIIIIIIIIIII----22222222

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Ejemplo 3.18. Para el motor de CD del ejemplo 3.17, obtener la funcin

    de transferencia por elemento, determinar la funcin de transferencia global

    y dibujar el diagrama de bloques en el dominio de s.

    Solucin. (1) Se obtiene la transformada de Laplace de cada elemento de la

    figura 3.20 suponiendo condiciones iniciales iguales a cero; (2) se ordenan los

    trminos convenientemente y se obtiene la funcin de transferencia global.

    El diagrama de bloques en el dominio de s, se muestra en la figura 3.21; los

    clculos se muestran a continuacin:

    Figura 3.21 Diagrama en bloques en dominio de s, para el motor de CD controlado por:

    (a) armadura; (b) campo.

    Figura 3.20 Diagrama en bloques en dominio del tiempo, para el motor de CD controlado por:

    (a) armadura; (b) campo.

  • IIIIIIIIIIII----23232323 Captulo Captulo Captulo Captulo 3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos3. Modelado de sistemas dinmicos

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    ( )

    [ ][ ] [ ]

    [ ] [ ]

    ++

    =+

    +

    ==

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    +==++

    =

    ++++=

    +++

    ++=

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    =+

    ==

    +===

    ==

    +=

    =+=+=

    )1)(1(

    )/1()/1(

    1

    /1

    1

    R/1

    )(

    )()(

    c1

    /1

    1 )c/(

    /11 : Carga

    R1

    R/1

    1 )R/(

    R/1

    R

    1 :Campo

    :campopor controlado CDMotor

    )/(1)/1()/1( ),/()/1()/1(2

    )(

    )/(1)/1()/1()/()(

    )/()/1()/1(

    )1)(1/()/1()/1(1

    )1)(1/()/1()/1()(

    c1

    /1

    1 )c/(

    /11 : Carga

    R1

    R/1

    1 )R/(

    R/1

    R

    1 :Armadura

    :armadurapor controlado CDMotor

    (2)

    (s)

    (s)VH(s)

    :cinRealimenta

    1

    T(s)

    (s)G(s)(s))((s)Is

    :Carga

    (s)i

    T(s)G(s)

    :armadura la de Embobinado

    R

    1

    )()(

    (s)IG(s)R (s)I(s)IR )()()(

    :armadura la de Circuito

    (1)

    21

    5

    2

    5

    1

    f

    2

    2

    f

    1

    1

    f

    f

    f

    f

    214321422

    21432121

    2

    214

    2143

    214

    2

    2

    a

    1

    1

    a

    a

    a

    a

    3

    b

    4

    a

    a

    a

    aaaa

    ss

    ckR

    s

    ck

    ssV

    ssG

    I

    s

    c

    sI

    c

    cIs

    L

    ssLsL

    ckRkckRKss

    KsG

    ckRkss

    ckR

    ssckRk

    ssckRsG

    I

    s

    c

    sI

    c

    cIs

    L

    ssLsL

    k

    cIscsT

    k

    sLsVsVsLssILsVsV

    f

    f

    f

    ff

    ana

    nn

    eq

    a

    a

    a

    a

    eq

    a

    aa

    aba

    aaaba

  • Sistemas de Control En esta seccin se presentan los fundamentos de los sistemas

    de control de procesos industriales.

    Qu es un sistema de control automtico?

    Sistema de control lazo abierto y lazo cerrado.

    Tipos de seales de transmisin.

    Componentes de un sistema de control

    Dimensionamiento de vlvulas

    Tipos de controladores por realimentacin

    Controladores lgicos programables PLCs

    CCaappttuulloo 44

  • 2222 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----2222

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

  • IVIVIVIV----3333 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 3333

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    pH

    Presin

    Punto de

    roco

    Tempe-

    ratura

    Humedad

    Velocidad

    Nivel

    Conduc-

    tividad

    Caudal

    Varia-

    bles

    Figura 4.1 Cantidades variables comnmente

    controladas

    Control automtico

    El control de sistemas industriales existe por la necesidad de mantener constantes

    algunas cantidades variables (figura 4.1), cuyo valor deseado se denomina

    punto de control; a expensas de las perturbaciones o trastornos del medio

    o inherentes al sistema.

    Un sistema de control automtico puede

    definirse como aqul que compara el valor de la

    variable o condicin a controlar con un

    valor deseado y toma una accin de

    correccin sin que el operador intervenga

    en absoluto.

    Los sistemas de control se clasifican en dos

    grupos: en lazo abierto y en lazo cerrado. El

    sistema de lazo abierto carece de realimentacin, el

    sistema de lazo cerrado posee realimentacin, la seal

    de realimentacin es aquella que sale del

    controlador con la finalidad de realizar

    ajustes en la seal de entrada de manera

    que se estabilice segn convenga.

    Sistema de lazo abierto

    Los sistemas de control de lazo abierto son en general basados en

    secuencias definidas y finitas o bien por temporizadores. Los componentes

    bsicos de un sistema de control de lazo abierto son los siguientes (vase

    figura 4.2):

  • 4444 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----4444

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    1.- Elemento de control. Es el elemento que determina que accin se va a tomar

    dada la entrada al sistema.

    2.- Elemento de correccin. Este elemento responde a la entrada que viene del

    elemento de control e inicia la accin para producir el cambio en la variable

    controlada al valor requerido.

    3.- Proceso. Es el lugar donde se controla la variable.

    Con los sistemas de control de lazo abierto los tipos de control ms

    conocidos son de dos posiciones (ON/OFF) o secuencias de acciones

    conmutadas por tiempo.

    Sistema de lazo cerrado

    Con el sistema de control de lazo cerrado se tiene una seal de

    realimentacin hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para

    modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de

    los cambios en las condiciones de operacin .

    Los componentes de un sistema de control de lazo cerrado son los

    mostrados en la figura 4.3. La entrada del sistema es el valor requerido de la

    variable, y la salida es el valor real de la variable.

    Figura 4.2 Elementos de un sistema de control de lazo abierto

    Entrada Elemento

    de control

    Controlador

    Elemento de

    correccin

    Proceso

    Salida

    Variable

    controlada

    (1) (2) (3)

  • IVIVIVIV----5555 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 5555

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    1.- Elemento de comparacin. Compara el valor requerido o de referencia de la

    variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y

    produce una seal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la

    salida y el valor requerido.

    ( 1 )

    2.- Elemento de control. Decide que accin tomar cuando se recibe una seal de

    error. A menudo se utiliza el trmino controlador para un elemento que

    incorpora el elemento de control y la unidad de correccin.

    3.- Elemento de correccin. Se utiliza para producir un cambio en el proceso al

    eliminar el error, y con frecuencia se denomina actuador.

    4.- Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a

    controlar la variable.

    5.- Elemento de medicin. Produce una seal relacionada con la condicin de la

    variable controlada, y proporciona la seal de realimentacin al elemento de

    comparacin para determinar si hay o no error.

    Todo sistema de control de lazo cerrado posee realimentacin; que es el medio

    a travs del cual una seal relacionada con la variable real obtenida se

    realimenta para compararse con la seal de referencia. Se tiene una

    realimentacin negativa cuando la seal realimentada se sustrae del valor de

    referencia:

    error = valor de referencia - valor medido

    Figura 4.3 Elementos de un sistema de control de lazo cerrado

    Entrada

    Valor de

    referencia

    Elemento

    de control

    Elemento de

    correccin

    Proceso + -

    Elemento de

    medicin

    Variable

    controlada

    Salida

    Seal de

    error

    Controlador

    (1) (2) (3) (4)

    (5)

  • 6666 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----6666

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    ( 2 )

    La realimentacin positiva se presenta cuando la seal realimentada se adiciona

    al valor de referencia:

    ( 3 )

    Control de un proceso industrial

    El bucle o lazo para un proceso industrial esta formado por los siguientes

    elementos (figura 4.4): proceso, transmisor, controlador y vlvula de

    control.

    El proceso consiste en un sistema que ha sido desarrollado para llevar a

    cabo un objetivo de terminado: tratamiento del material mediante una serie

    de operaciones especficas destinadas a llevar a cabo una transformacin.

    El transmisor (figura 4.5) es un instrumento que capta la variable del

    proceso y la transmite a distancia a un instrumento receptor indicador,

    registrador, controlador o una combinacin de estos.

    error = valor de referencia - valor de realimentacin

    error = valor de referencia + valor de realimentacin

    Figura 4.4 Elementos de un sistema de control industrial

    Controlador

    Punto de

    consigna

    Elemento final

    de control

    Proceso

    Medida y

    transmisin

    Variable

    manipulada

    Fluido de

    control

    Error

    Entrada del

    producto

    Variable

    regulada

    Salida del

    producto

    Perturbaciones

  • IVIVIVIV----7777 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 7777

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Los tipos de seales de transmisin pueden ser una de las indicadas en la

    tabla 4.1:

    Tabla 4.1 Seales de transmisin

    No. Seal Rango

    1 Neumtica 3-15 PSI, 0.2-1 Bar, 0.21-1 Kg/cm2

    2 Electrnica 4-20 mA CD, 0-20mA CD, 1-5 VCD

    3 Digital 0 y 1 en grupos de 8, 16 y 32 bits

    4 Hidrulica Para transmisin de grandes potencias

    5 Telemtrica Para transmisin de grandes potencias

    El controlador permite al proceso cumplir su objetivo de transformacin

    del material y realiza dos funciones esenciales:

    Compara la variable medida con la de referencia o deseada (punto de

    consigna) para determinar el error.

    Estabiliza el funcionamiento dinmico del bucle de control

    mediante circuitos especiales para reducir o eliminar el error.

    Los procesos presentan dos caractersticas principales que deben

    considerarse al automatizarlos:

    Los cambios en la variable controlada debido a alteraciones en las

    condiciones del proceso y llamados generalmente cambios de carga.

    El tiempo necesario para que la variable del proceso alcance un

    nuevo valor al ocurrir un cambio de carga. Este retardo se debe a

    una o varias propiedades del proceso: capacitancia, resistencia y

    tiempo de transporte.

    Transmisor

    Receptor

    Indicador

    Registrador

    Controlador

    Variable del

    proceso

    Medio De

    Transmisin

    Seal De

    Transmisin

    Figura 4.5 Elementos que intervienen en la transmisin

  • 8888 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----8888

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    La vlvula o elemento final de control esta en contacto directo con la

    variable de campo y es la que ejecuta la accin de control de acuerdo a lo

    indicado por el controlador.

    Componentes de un sistema de control

    Los cuatro componentes bsicos de los sistemas de control son los sensores, los

    transmisores, los controladores y los elementos finales de control; tales

    componentes desempean las tres operaciones bsicas de todo sistema de control:

    medicin (M), decisin (D) y accin (A).

    Sensores y transmisores

    Con los sensores y transmisores se realizan las operaciones de medicin en

    el sistema de control. En el sensor se produce un fenmeno mecnico,

    elctrico o similar, el cual se relaciona con la variable de proceso que se

    mide; el transmisor, a su vez, convierte este fenmeno en una seal que se

    puede transmitir y, por lo tanto, sta tiene relacin con la variable del

    proceso.

    Existen tres trminos importantes que se relacionan con la combinacin

    sensor/transmisor S/T:

    (1) La escala del instrumento la definen los valores superior e inferior de la

    variable a medir del proceso; esto es, si se considera que un S/T se calibra

    para medir la presin entre 20 y 50 psi de un proceso, se dice que la escala

    de la combinacin S/T es de 20-50 psi.

    (2) El rango del instrumento es la diferencia entre el valor superior y el

    inferior de la escala, para el instrumento citado aqu el rango es de 30 psi. En

    general, para definir la escala del instrumento se deben especificar un valor

    superior y otro inferior; es decir, es necesario dar dos nmeros; mientras que

    el rango es la diferencia entre los dos valores.

  • IVIVIVIV----9999 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 9999

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    (3) El valor inferior de la escala se conoce como cero del instrumento, este

    valor no necesariamente debe ser cero para llamarlo as; en el ejemplo dado

    ms arriba el cero del instrumento es de 20 psi.

    Para un instrumento la ganancia es la relacin del rango de salida respecto

    al rango de entrada:

    psi

    mA08.0

    200psi

    16mA

    0psi-200psi

    4mA-20mA :Ejemplo,

    entrada de rango

    salida de rango==== GG

    ( 4 )

    Vlvulas de control

    La seleccin de la vlvula se realiza tomando en cuenta la accin que esta

    debe realizar en caso de que la energa que la acciona falle, como medida de

    seguridad. Existen dos tipos abierta en falla (AF) y cerrada en falla (CF); la

    primera se cierra y la segunda se abre cuando el suministro falla. La mayora

    de las vlvulas de control se operan de manera neumtica y, consecuentemente, la

    energa que se les aplica es aire comprimido. Para abrir una vlvula cerrada

    en falla se requiere energa y; por ello, tambin se les conoce como vlvulas

    de aire para abrir (AA). Las vlvulas abiertas en falla, en las que se

    requiere energa para cerrarlas, se conocen tambin como de aire para

    cerrar (AC).

    Dimensionamiento de la vlvula de control

    El dimensionamiento de la vlvula de control es el procedimiento mediante

    el cual se calcula el coeficiente de flujo de la vlvula, CV; se define como la

    cantidad de agua en galones U.S. que fluye por minuto a travs de una vlvula

    completamente abierta, con una calda de presin de 1 psi en la seccin transversal de la

    vlvula.

    La ecuacin bsica para dimensionar una vlvula de control que se utiliza con

    lquidos es la misma para todos los fabricantes:

    ( 5 )

  • 10101010 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----10101010

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Las ecuaciones para dimensionar una vlvula de control que se utiliza con gas,

    vapor y vapor de agua difiere de fabricante en fabricante, para fluidos

    comprensibles, debido a como se exprese el flujo crtico. El flujo crtico es la

    condicin que se presenta cuando el flujo no es funcin de la raz cuadrada

    de la cada de presin en la seccin de la vlvula, sino nicamente la presin

    de entrada a la vlvula. Este fenmeno ocurre despus de que el fluido

    alcanza la velocidad del sonido en la vena contracta; cuando el fluido se

    encuentra en la condicin del flujo crtico, los decrementos o incrementos

    en la presin de salida de la vlvula no afectan al flujo, sino nicamente a los

    cambios en la presin de entrada. As se tienen las siguientes ecuaciones:

    ( 6 )

  • IVIVIVIV----11111111 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 11111111

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    El trmino y se utiliza para expresar la condicin crtica o subcrtica del flujo y se

    define por:

    ( 7 )

    El dimensionamiento de la vlvula mediante el clculo de CV se debe hacer

    de manera tal que, cuando la vlvula se abra completamente, el flujo que

    pase sea ms del que se requiere en condiciones normales de operacin; es

    decir, debe haber algo de sobrediseo en la vlvula para el caso en que se requiera

    ms flujo, un factor de 2 es buena eleccin en la mayora de los casos:

    ( 8 )

    Consideraciones de cada de presin en la vlvula

    Una regla usual consiste en especificar la cada de presin de diseo en la

    vlvula al 25 % de la cada dinmica total de presin en todo el sistema de

    conductores, o a 10 psi, la que sea mayor; pero el valor real depende de la

    situacin y del criterio establecido en la compaa. Como se supone, la cada

    de presin de diseo tambin tiene efecto sobre el desempeo de la vlvula,

    tal como se ver en la siguiente seccin.

    Ejemplo 4.1. Dimensionar una vlvula que ser usada con gas; flujo

    nominal 25,000 lbm/hr; presin de entrada 250 psi; cada de presin de

    diseo 100 psi. Gravedad especfica del gas 0.4, temperatura de flujo 150F,

    peso molecular 12. Usar una vlvula de acoplamiento (Cf=0.92).

  • 12121212 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----12121212

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Solucin. Sustituyendo los valores en las ecuaciones se tiene que:

    Controladores

    El controlador es el cerebro del circuito de control; es el dispositivo que

    toma la decisin (D) en el sistema de control y, para hacerlo:

    (1). Compara la seal del proceso que llega del transmisor, la variable que se

    controla, contra el punto de control y

    (2). Enva la seal apropiada a la vlvula de control, o cualquier otro

    elemento final de control, para mantener la variable que se controla en el

    punto de control.

    Figura 4.6 Diferentes tipos de controladores de procesos

  • IVIVIVIV----13131313 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 13131313

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Considrese ahora el circuito de control de nivel que se muestra en la figura

    4.7, si el nivel del lquido rebasa el punto de fijacin, el controlador debe

    abrir la vlvula para que el nivel regrese al punto de control. Puesto que la

    vlvula es de aire para abrir (AA), el controlador debe incrementar su seal

    de salida (ver las flechas en la figura) y, para tomar esta decisin, el

    controlador se debe colocar en accin directa. Algunos fabricantes denominan

    a esta accin incremento; es decir, cuando hay un incremento en la seal que

    entra al controlador entonces existe un incremento en la seal de salida del

    mismo. Para determinar la accin del controlador, el ingeniero debe

    conocer: (1) los requerimientos de control del proceso; (2) la accin de la

    vlvula de control u otro elemento final de control.

    Tipos de controladores por realimentacin

    Control proporcional. El controlador proporcional es el tipo ms simple

    de controlador, con excepcin del controlador de dos estados; la ecuaci6n

    con que se describe su funcionamiento es la siguiente:

    ( 9 )

    Figura 4.7 Circuito de

    control para nivel de

    lquido

  • 14141414 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----14141414

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Muchos fabricantes de controladores no utilizan el trmino ganancia para

    designar la cantidad de sensibilidad del controlador, sino que utilizan el

    trmino Banda Proporcional, PB. La relacin entre la ganancia y la banda

    proporcional se expresa mediante:

    ( 10 )

    En la figura 54.8 se explica grficamente la definicin de PB; en ella se ve

    que una PB del 100% significa que, cuando la variable que se controla vara

    en rango un lOO%, la salida del controlador vara 100% en rango; una PB

    de 50% significa que, cuando la variable que se controla vara un 50% en

    rango, la salida del controlador vara en rango 100%. Tambin se debe notar

    que, en un controlador proporcional con PB del 200 % , la salida del

    controlador no se mueve sobre el rango completo; una PB del 200%

    significa muy poca ganancia o sensibilidad a los errores.

    Figura 4.8 Definicin de la banda proporcional BP.

  • IVIVIVIV----15151515 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 15151515

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    La funcin de transferencia para este controlador es:

    ( 11 )

    En los casos en que el proceso se controla dentro de una banda del punto

    de control, los controladores proporcionales son suficientes; sin embargo,

    en los procesos en que el control debe estar en el punto de control, los

    controladores proporcionales no proporcionan un control satisfactorio.

    Control proporcional integral (PI). La mayora de los procesos no se

    pueden controlar con una desviacin, es decir, se deben controlar en el

    punto de control, y en estos casos se debe aadir inteligencia al controlador

    proporcional, para eliminar la desviacin. Esta nueva inteligencia o nuevo

    modo de control es la accin integral o de reajuste y en consecuencia, el

    controlador se convierte en un controlador proporcional-integral

    ( 12 )

    Donde I = tiempo de integracin o reajuste minutos/repeticin. Por lo

    tanto, el controlador PI tiene dos parmetros, KC, y I, que se deben ajustar

    para obtener un control satisfactorio. A continuacin se muestran las

    ecuaciones con que algunos fabricantes describen la operacin de sus

    controladores:

    ( 13 )

    La funcin de transferencia de este controlador est dada por:

    ( 14 )

  • 16161616 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----16161616

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    En general: los controladores proporcionales-integracionales tienen dos

    parmetros de ajuste: la ganancia o banda proporcional y el tiempo de

    reajuste o rapidez de reajuste; la ventaja de este controlador es que la accin

    de integracin o de reajuste elimina la desviacin.

    Controlador proporcional-integral-derivativo (PID). Algunas veces se

    aade otro modo de control al controlador PI, este nuevo modo de control

    es:la accin derivativa, que tambin se conoce como rapidez de derivacin o

    preactuacin; tiene como propsito anticipar hacia dnde va el proceso,

    mediante la observacin de la rapidez para el cambio del error, su derivada.

    La ecuacin descriptiva es la siguiente:

    ( 15 )

    Donde D es la rapidez de desviacin en minutos. Por lo tanto, el controlador

    PID tiene tres parmetros, K, o PB, I o IR y D, que se deben ajustar para

    obtener un control satisfactorio. Ntese que slo existe un parmetro para

    ajuste de derivacin, D, el cual tiene las mismas unidades, minutos, para

    todos los fabricantes.

    Los controladores PID se utilizan en procesos donde las constantes de

    tiempo son largas. Ejemplos tpicos de ello son los circuitos de temperatura

    y los de concentracin.

    La funcin de transferencia de un controlador PID ideal es:

    ( 16 )

    Los valores tpicos de estn entre 0.05 y 0.1. En general, los controladores

    PID tienen tres parmetros de ajuste: la ganancia o banda proporcional, el

    tiempo de reajuste o rapidez de reajuste y la rapidez derivativa. La rapidez

    derivativa se da siempre en minutos. Los controladores PID se recomiendan

    para circuitos con constante de tiempo larga en los que no hay ruido. La

    ventaja del modo derivativo es que proporciona la capacidad de ver hacia

    dnde se dirige el proceso.

  • IVIVIVIV----17171717 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 17171717

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    Controlador proporciona/ derivativo (PD). Este controlador se utiliza en

    los procesos donde es posible utilizar un controlador proporcional, pero se

    desea cierta cantidad de anticipacin . La ecuacin que los define y la

    funcin de transferencia estn dadas por:

    ( 17 )

    Una desventaja del controlador PD es que opera con una desviacin en la

    variable que se controla; la desviacin solamente se puede eliminar con la

    accin de integracin, sin embargo, un controlador PD puede soportar

    mayor ganancia, de lo que resulta una menor desviacin que cuando se

    utiliza un controlador nicamente proporcional en el mismo circuito.

    Controladores lgicos programables

    Un Controlador Lgico Programable es

    una computadora industrial que controla mquinas

    y procesos. Un PLC interacta con el exterior,

    por medio de mdulos de entradas y salidas,

    el programa de controlador reside en su

    memoria, la informacin de sus entradas, es

    empleada para actualizar los estados de sus

    salidas, es decir un PLC implementa un

    control de lazo cerrado para manejar maquinas y procesos. El proceso

    conjunto de un PLC mostrado en la figura 4.9 es muy simple, el PLC mide o

    censa seales provenientes de mquinas o procesos, entonces a travs de su

    programa interno proporciona realimentacin a la mquina o proceso

    controlada. Los PLCs proporcionan muchos beneficios respecto a los

    sistemas de control electromecnicos. Uno de los mejores beneficios es que

    hacen ms fcil y menos costosos los cambios en un sistema de control.

    Figura 4.9 Operacin del PLC.

  • 18181818 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----18181818

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    Componentes del PLC

    Un PLC esta conformado por dos componentes principales (figura 4.10): (1)

    el sistema de Entradas Salidas (E/S); (2) la Unidad Central de Procesamiento

    (CPU).

    EL sistema de entradas/salidas es la parte

    del PLC que interacta fsicamente con el

    mundo externo. La unidad Central de

    Procesamiento, es donde el PLC

    almacena datos y realiza el proceso de

    cmputo.

    El Sistema de entradas/salidas se conforma de dos componentes, la

    interfaz de entrada y la interfaz de salida (figura 4.11):

    Interfaz de entrada: Es el banco de terminales de entrada que fsicamente

    conectan los dispositivos de entrada, tales como botones, sensores,

    interruptores de lmite al PLC. Con el objetivo de traducir la informacin

    desde los dispositivos de entrada de manera que la unidad de procesamiento

    entienda.

    La interfaz de salida: Es el banco de

    terminales que fsicamente conectan los

    dispositivos de salida, tales como

    arrancadores, solenoides, vlvulas al PLC.

    Con el objetivo de traducir la informacin

    proveniente de la unida de procesamiento

    de manera que entiendan los dispositivos de

    salida.

    La Unidad Central de Procesamiento se conforma de los siguientes

    componentes (figura 4.12): (1) sistema de memoria; (2) procesador; (3) fuente

    de alimentacin.

    Figura 4.10 Componentes del PLC.

    Figura 4.11 Interfaz I/O de PLC.

  • IVIVIVIV----19191919 Captulo Captulo Captulo Captulo 4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control4. Sistemas de Control 19191919

    Principios fsicos y matemticos para el anlisis de sistemas dinmicos. Introduccin al control - Mayo 2007

    El sistema de memoria almacena el programa de control del PLC, as

    como los datos recibidos o enviados al sistema de entrada/salida. Tambin

    conserva en memoria cuales dispositivos de E/S estn conectados a que

    interfaces de E/S.

    El procesador es la parte computarizada del CPU que ejecuta el programa

    de control. Manipula los datos almacenados en el sistema de memoria y

    determina cual es el estado de las terminales de

    salida dado el estado de las terminales de

    entrada.

    La fuente de alimentacin provee la potencia

    para ambos el sistema de potencia y el

    procesador. De manera que puedan trabajar

    eficientemente.

    Operacin del PLC

    Todos los PLCs, incluyendo el MicroLogix 1000, ejecutan una secuencia

    continua de tres pasos llamada un escaneo (figura 4.13a), que consiste en lo

    siguiente: (1) lectura de los datos de entrada que el PLC recibe desde los

    dispositivos de entrada; (2) ejecucin del programa de controlo almacenado

    en la memoria del PLC; (3) actualizacin de los dispositivos de salida basado

    en el resultado alojado por la ejecucin del programa de control.

    El escaneo puede ser dividido en dos partes, el escaneo de

    entradas/salidas y el escaneo del programa (figura 4.13b). Durante el

    escaneo E/S, el PLC lee las entradas y actualiza las salidas. Durante el

    escaneo de programa, el PLC ejecuta el programa de control.

    Figura 4.12 CPU del PLC.

  • 20202020 Captulo 4Captulo 4Captulo 4Captulo 4. . . . Sistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de ControlSistemas de Control IVIVIVIV----20202020

    Universidad Autnoma del Estado de Morelos - Facultad de Ciencias Qumicas e Ingeniera - Ingeniera Elctrica

    El tiempo de escaneo es la cantidad especfica de tiempo que requiere el

    PLC para ejecutar ambos escaneos. Un MicroLogix 1000 puede ejecutar un

    escaneo en milisegundos. Sin embargo cuando el PLC est en lnea con un

    dispositivo programador, el MicroLogix experimenta dos retardos durante

    su escaneo (figura 4.14c), que son los siguientes:

    Retardo por servicio de comunicacin. Es el tiempo requerido para

    enviar los datos al dispositivo de programacin o monitoreo. Que puede ser

    un PC o un programador manual.

    Retardo por seguridad de transmisin de datos. Es el tiempo requerido

    para operaciones como manejo de memoria y actualizacin de informacin

    de temporizadores.

    La norma IEC 1131

    La norma IEC 1131 trata de unificar los lenguajes de programacin para

    PLCs en un entorno integrado de programacin mltiple similar a la

    tendencia actual de multilenguaje en entornos de PC. Se consideran como

    lenguajes vlidos los siguientes: (1) Instruction List, IL; (2) Structured Text, ST;

    (3) Function Block Diagram, FBD; (4) Sequential Function Chart, SFC; (5) Ladder

    Diagram, LD.

    Figura 4.13 Escaneo del PLC.

    (a) (b) (c)

  • !!!

    #%

    x

    0 V

    y

    Error

    + V

    Instrumentos de control industrial

    Instrumentos de medicin

    !

    !

    Salida [Volts] = K x Posicin de entrada ( 1 )

    #&

    ! % !

    !

    % &

    Ve = K *(x-y) ( 2 )

  • (

    Salida Voltaje de ca

    Secundario 1 Voltaje de salida como la diferencia entra los dos voltajes secundarios

    Secundario 2

    Primario

    Ncleo ferroso

    El movimiento desplaza el ncleo de su posicin central

    Voltaje de ca de entrada al primario

    ) # +() +,

    ( %

    . ! !

    %/

    !

    &,,&

    +

    =

    ( 3 )

    ##

    0/#

    !

    ! .%

  • !!!

    #%

    (

    1 2 3 4

    Diafragma

    Presin aplicada

    Voltaje de salida

    CD

    1 2

    3 4

    %%

    ! 123

    231

    )!

    )

    )

    %!

    =

    ( 4 )

    #/

    2411

    0,%

    5

  • 1

    1)(#(.

    + ) (#

    + , ( % 2

    2 +, &

    %!

    (#

    +)

    + !, . %

    )!

    %&

    ==

    ( 5 )

    # & % # %

    &

    +,(#+,(.

    Devanado giratorio

    N

    S

    Salida

    Anillos deslizantes

    CA aplicada

    Salida

    (a) (b)

  • !!!

    #%

    (

    LED Sensor luminoso

    ==

    ( 6 )

    #

    )

    1

    2

    !

    )

    ! )

    !!+,

    ,%!

    %

    ( % ! !

    )

    %

    61

    67 (

    %

    4111

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    Estator

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    que forman la jaula de

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    Anillos term inales que conectan los

    extremos de los conductores para

    formar los circuitos a travs de los

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    Clasificacin de instrumentos de medicin

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    Nucleo de

    hierro suave

    Solenoide

    Lanzadera

    Puerto

    de escape

    Puerto

    de salida

    Suministro de presin

    Resorte de retorno

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    Instrumentos que miden cantidades mecnicas o

    termodinmicas

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    IMPRESO 28 MAYO DE 2007. CUERNAVACA MORELOS, MXICO.

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