T1. Distribuciones de probabilidad discretas - RUA: Principal ? Â· 1 Estadística :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada T1. Distribuciones de probabilidad discretas

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    03-Feb-2018

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Departamento de Ciencias del Mar y Biologa Aplicada

    T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Estadstica

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Inferencia estadstica:

    Parte de la estadstica que estudia grandes colectivos a partir de una pequea parte de stos (Poblacin - Muestra)

    Caractersticas de la muestra

    Tipos de procedimientos:

    Inferencia paramtrica: Se admite que la distribucin de la pob. pertenece a una familia paramtrica de distribuciones

    Inferencia no paramtrica: No supone una distribucin de prob. y las hiptesis son ms generales (como simetra)

    Representativa de la poblacin Alcanzar objetivos precisin fijados

    Introduccin

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Muestra Poblacin

    x s 0

    5 10 15 20

    0 5 10 15 20 tiempo

    Xi

    0 5

    10 15 20

    0 5 10 15 20 tiempo

    Xi

    0 5

    10 15 20

    0 5 10 15 20 tiempo

    Xi

    Introduccin

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Descriptivos de una variable

    Media

    Varianza

    Desviacin Tpica

    x =XiFi

    i=1

    n

    !n

    S2 =(Xi ! x )

    2Fii=1

    n

    "n!1

    S = S2

    Introduccin

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Tipos de variables

    Variables cualitativas, categricas o atributos: No toman valores numricos y describen cualidades. Ej. Clasificacin en base a una cualidad. (sexo, color, etc.)

    Variables cuantitativas discretas: Toman valores enteros, por lo general contar el n de veces que ocurre un suceso. (abundancias o conteos)

    Variables cuantitativas continuas: Toman valores en un intervalo, por lo general medir magnitudes continuas. (altura, temperatura, etc.)

    Variable aleatoria: Cualquier funcin medible que asocia a cada suceso en un experimento aleatorio un nmero real

    Introduccin

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Variables aleatorias discretas (v.a.d.):

    Funcin de probabilidad: Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Para valores x1, x2, , xn, se asocia una p1, p2, , pn, donde

    y

    Funcin de distribucin: F(x) en un valor x es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado

    )( ixXP =

    =

    =)/(

    11

    n

    iip

    )()( xXPxF =

    Abundancia

    Abundancia

    Introduccin

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Variables aleatorias continuas (v.a.c.):

    Funcin de densidad: probabilidad media en entre dos valores de la variable (cuando su diferencia tiende a 0)

    Funcin de distribucin:es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado

    ==x

    duufxXPxF )()()(

    P(a < X < b) = P(a ! X ! b)

    f (x)dxa

    b" = F(b)#F(a)Temperatura

    Temperatura

    Introduccin

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Definicin: Experimento aleatorio que se hace una sola vez y cuyos resultados posibles son complementarios (xito/fracaso, si/no, presencia/ausencia, etc).

    Ejemplos: Probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda.

    Probabilidad de que un individuo nazca macho/hembra.

    Probabilidad de que al caer una tostada quede el lado de la mermelada hacia arriba.

    Modelos de dist. Discreta: Proceso de Bernoulli

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Definicin: Ejecutar n veces un experimento de Bernoulli.

    Condiciones: Condiciones no varan Experimentos independientes (prob. no condicional)

    Variables que definen al proceso: Cantidad de veces que se ejecuta (n) Prob. de xito (p), prob. de fracaso (q=1-p) Veces que se obtiene el xito en las veces que se ejecuta (k)

    Ejemplos: Lanzar una moneda 3 veces y obtener 2 caras Probabilidad de que de las 4 cras de un mamfero 3 sean hembra.

    Modelos de dist. Discreta: Binomial

    np= npq=2XB (n, p)

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Funcin de Probabilidad:

    knkqpkn

    kXP

    == )(

    Modelos de dist. Discreta: Binomial

    donde 0 k n

    Funcin de distribucin (Tabla Binomial):

    =

    =

    k

    x

    xnxqpxn

    kXP0

    )( donde 0 k n

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    De una poblacin de cetceos se sabe que el 60% son machos. Si se extrae un conjunto de 10 de ellos, cul es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 hembras?

    X = N de hembras en el conjunto n = 10 P = 0.4

    Cul es la probabilidad de que hayan 3 o menos hembras? Tabla Binomial

    Ejemplo

    042.06.04.0710

    )7( 7107 =

    == XP

    382.0)3()2()1()0()3( ==+=+=+== XPXPXPXPXP

    Modelos de dist. Discreta: Binomial

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Cul es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 machos o menos? PROBLEMA CON LAS TABLAS (p hasta 0.5)

    0.16731)2(1)3( == XPXP

    n = 10 P = 0.4 P(X>3)

    n = 10 P = 0.6 P(X

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    Modelos de dist. Discreta: Poisson

    Definicin: Probabilidad de que ocurra un nmero de sucesos en un tiempo o espacio determinado.

    Variables que definen al proceso: Nmero de sucesos medio que ocurren en un determinado tiepo o espacio ()

    Ejemplos: Nmero de peces observados en un transecto Nmero de aves avistadas durante una hora Nmero de bacterias observadas por campo de microscopio

    = ! ! 2 = "XP ()

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Funcin de Probabilidad:

    P(X = x) = e!! !x

    x!

    Modelos de dist. Discreta: Poisson

    Funcin de distribucin (Tabla Poisson):

    donde x >0

    donde 0 x k P(X ! k) =x=0

    k

    " e#! !x

    x!

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Ejemplo

    Los avistamientos de cachalotes sigue una distribucin de Poisson de media 2 avistamientos en un transecto de muestreo de 1km de recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de:

    1. No haya ningn avistamiento en el recorrido del barco:

    2. Haya menos de cinco en el mismo recorrido:

    3. Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km

    135.0!02)0(0

    2 === eXP

    947.0!42

    !32

    !2221)4(

    4322 =

    ++++= eXP

    P(X ! 5 ! ' ) = e"10 100

    0!+101

    1!+102

    2!+103

    3!+104

    4!+105

    5!#

    $%

    &

    '(= 0.067

    105' ==

    Modelos de dist. Discreta: Poisson

    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Comando a utilizar con R: dbinom(x,tamao,prob): Funcin de probabilidad

    pbinom(x,tamao,prob): F. prob. acumulada

    qbinom(prob,tamao,prob): Quantiles

    rbinom(nobs,tamao,prob): Nmeros pseudoaleatorios

    Modelos de dist. Discreta: Binomial

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    Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas

    Comando a utilizar con R: dpois(x,lambda): Funcin de probabilidad

    ppois(x,lambda): F. prob. acumulada

    qpois(prob,lambda): Quantiles

    rpois(nobs,lambda): Nmeros pseudoaleatorios

    Modelos de dist. Discreta: Poisson

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