Sergio Yansen Nez En el clculo de los lmtes se ... Yansen Nez 12. x 0 lim 1 cos 5x x 13. x 2 lim sin x 1 cos 2x 1 14. x 0 lim 1 sin 2x 1 sin 3x x Lmites con funciones trigonomtricas

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    07-Feb-2018

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Sergio Yansen NezEn el clculo de los lmtes se utilizarn los siguientes resultados:I)x0lim sinxx = 1II)x0lim sinaxax = 1 , siendo a una constante real distinta de cero.III)xalim sinx ax a = 1IV)xalim sinkx akx a = 1, siendo k una constante real distinta de cero.Clcule, en caso de existir, los siguientes lmites:1.x0lim tan3xx2.x0lim sin2x + sin3xsin4x + sin5x3.x0lim x + sin22xx + sin23x4.x0lim 1 cosaxx , siendo a una constante real distinta de cero.5.x0lim 1 cosaxx2, siendo a una constante real distinta de cero.6.xalim sinx sinax a7.xlim sinxx 8.x 12lim sin2x 14x2 19.x 2lim cosx2x 10.x 4lim tan4x4x 11.x 4lim sin2x 14x Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez12.x0lim1 cos5xx13.x 2lim sinx 1cos2x + 114.x0lim1 + sin2x 1 sin3xxLmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen NezResolucin:1.x0lim tan3xx =x0limsin3xcos3xx =x0lim sin3xxcos3x=x0lim sin3xx 1cos3x = x0lim 3 lmite IIsin3x3x 1cos3x= 3 1 11 = 32.x0lim sin2x + sin3xsin4x + sin5x = x0lim sin2x + sin3xsin4x + sin5x 1x1x=x0limsin2xx +sin3xxsin4xx +sin5xx=x0limlmite II2 sin2x2x + 3 sin3x3x4 sin4x4x + 5 sin5x5x=2 1 + 3 14 1 + 5 1 =593.x0lim x + sin22xx + sin23x=x0lim x + sin22xx + sin23x1x1x=x0lim1 + sin22xx1 + sin23xx=x0lim1 + sin2xx sin2x1 + sin3xx sin3x=x0limlmite II1 + 2 sin2x2x sin2x1 + 3 sin3x3x sin3x=1 + 2 1 01 + 3 1 0 = 1Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez4.x0lim 1 cosaxx =x0lim 1 cosaxx 1 + cosax1 + cosax=x0lim 1 cos2axx 11 + cosax = x0lim sin2axx 11 + cosax=x0lim sinaxx sinax1 + cosax = x0lima lmite IIsinaxax sinax1 + cosax = a 1 01 + 1 = 0OJO: En algunos textos, aparecex0lim 1 cosaxx = 0 como un lmite fundamental.5.x0lim 1 cosaxx2=x0lim 1 cosaxx21 + cosax1 + cosax = x0lim 1 cos2axx2 11 + cosax=x0lim sin2axx2 11 + cosax = x0lim sinaxx sinaxx 11 + cosax=x0lima lmite IIsinaxax a lmite IIsinaxax 11 + cosax = a 1 a 1 11 + 1 =a22Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez6.xalim sinx sinax aForma 1:xalim sinx sinax a = xalim2sin x a2 cosx + a2x a = xalimlmite IVsin x a2x a2cos x + a2= 1. cos a + a2 = cosaForma 2:xalim sinx sinax aRealizando un cambio de variable: sea u = x acuando x a entonces u axalim sinx sinax a =u0lim sinu + a sinau =u0lim sinucosa + cosu sina sinau=u0lim sinucosau +cosu sina sinau=u0lim cosa sinuu + sinacosu 1u=u0lim cosa sinuu sina1 cosuuu0lim sinuu = 1 yu0lim 1 cosuu = 0 (en la actividad 3 se obtuvox0lim 1 cosaxx = 0)Por lo tanto,u0lim cosa sinuu sina1 cosuu = cosa 1 sina 0 = cosaLmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez7.xlim sinxx Forma 1:xlim sinxx = xlim sinx x = xlimlmite III1 sinx x = 1 1 = 1Forma 2:xlim sinxx Realizando un cambio de variable: sea u = x cuando x entonces u 0xlim sinxx =u0lim sinu + u =u0lim sinuu =u0lim 1 lmite IIsinuu = 1 1 = 18.x 12lim sin2x 14x2 1Forma 1:x 12lim sin2x 14x2 1=x 12limsin 2 x 122x 12x + 1 =x 12limsin 2 x 122 x 12 2x + 1=x 12limlmite IVsin 2 x 122 x 12 12x + 1 = 1 11 + 1 =12Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen NezForma 2:Realizando un cambio de variable: sea u = x 12cuando x 12 entonces u 0x 12lim sin2x 14x2 1=u0limsin 2 u + 12 14 u + 122 1=u0lim sin2u + 1 14 u2 + u + 14 1=u0lim sin2u4u2 + 4u=u0lim sin2u4uu + 1 = u0limlmite IIsin2u2u 12u + 1 = 1 120 + 1 =129.x 2lim cosx2x Realizando un cambio de variable: sea u = x 2cuando x 2 entonces u 0x 2lim cosx2x = u0limcosu + 2 2 u + 2 =u0limcosucos 2 sinu sin22u=u0lim sinu2u = u0lim 12 lmite Isinuu = 12 1 = 12Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez10.x 4lim tan4x4x x 4lim tan4x4x =x 4limsin4xcos4x4x =x 4lim sin4x4x 1cos4xComox 4lim 1cos4x =1cos = 1, entonces se analizar x 4lim sin4x4x Realizando un cambio de variable: sea u = x 4cuando x 4 entonces u 0u0limsin 4 u + 44 u + 4 =u0lim sin4u + 4u = u0lim sin4ucos + cos4u sin4uu0lim sin4u4u = u0lim 1 lmite IIsin4u4u = 1 1 = 1Luego,x 4lim sin4x4x 1cos4x =x 4lim sin4x4x x 4lim 1cos4x = 1 1 = 1Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez11.x 4lim sin2x 14x Realizando un cambio de variable: sea u = x 4cuando x 4 entonces u 0x 4lim sin2x 14x = u0limsin 2 u + 4 14 u + 4 =u0limsin 2u + 2 14u=u0limsin2ucos 2 + cos2u sin2 14u = u0lim cos2u 14u=u0lim 14 1 cos2uu = 14 en la actividad 3 se obtuvox0lim1 cosaxx =0u0lim 1 cos2uu = 14 0 = 012.x0lim1 cos5xx =x0lim1 cos5xx 1 + cos5x1 + cos5x=x0lim12 cos5x2x 11 + cos5x=en la actividad 3 se obtuvox0lim1 cosaxx =0x0lim 1 cos5xx x0lim 11 + cos5x= 0 11 + 1 = 0Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez13.x 2lim sinx 1cos2x + 1Realizando un cambio de variable: sea u = x 2cuando x 2 entonces u 0u0limsin u + 2 1cos 2 u + 2 + 1=u0limsinucos 2 + cosu sin2 1cos2u + + 1=u0lim cosu 1cos2ucos sin2u sin + 1 = u0lim cosu 1cos2u + 1=u0lim cosu 11 cos2u cosu + 1cosu + 1 1 + cos2u1 + cos2u=u0lim cosu 1cosu + 11 cos2u1 + cos2u 1 + cos2ucosu + 1=u0lim cos2u 11 cos22u1 + cos2ucosu + 1=u0lim sin2usin22u1 + cos2ucosu + 1=u0lim sin2usin22u1 cos2ucosu + 1Comou0lim 1 cos2ucosu + 1 =1 11 + 1 = 1, entonces se analizar u0lim sin2usin22uu0lim sin2usin22u=u0lim sinusin2u sinusin2u 1u21u2=u0limsinuusin2uusinuusin2uu=u0limsinuu2 sin2u2usinuu2 sin2u2u=12 1 12 1 =14Por lo tanto,u0lim sin2usin22u1 cos2ucosu + 1 =14 1 = 14Lmites con funciones trigonomtricasSergio Yansen Nez14.x0lim1 + sin2x 1 sin3xx=x0lim1 + sin2x 1 sin3xx 1 + sin2x + 1 sin3x1 + sin2x + 1 sin2x=x0lim1 + sin2x2 1 sin3x2x 11 + sin2x + 1 sin3x=x0lim 1 + sin2x 1 sin3xx 11 + sin2x + 1 sin3x=x0lim 1 + sin2x 1 + sin3xx 11 + sin2x + 1 sin3x=x0lim sin2x + sin3xx 11 + sin2x + 1 sin3x=x0lim sin2xx +sin3xx 11 + sin2x + 1 sin3x=x0lim 2 lmite IIsin2x2x +3 lmite IIsin3x3x 11 + sin2x + 1 sin3x= 2 1 + 3 1 11 + 1 =52Lmites con funciones trigonomtricas

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