Práctica 3 DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS ?· Distribuciones de variables aleatorias discretas…

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    26-Sep-2018

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  • Prctica 3.Distribuciones de variables aleatorias discretas 1

    Prctica 3

    DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

    Objetivos: En esta prctica utilizaremos el paquete SPSS para generar una muestra de una poblacin con una distribucin conocida y para calcular probabilidades conocida una distribucin determinada. ndice:

    1. Generacin de muestras aleatorias. 2. rea de la cola 3. Ejercicios complementarios

  • Prctica 3.Distribuciones de variables aleatorias discretas 2

    1. Generacin de muestras aleatorias En este apartado consideraremos la generacin de una muestra de una poblacin con distribucin conocida pero de la que no disponemos de datos. Por ejemplo, de una poblacin con distribucin Binomial con n=6 y p=0.5 vamos a generar 100 datos. En primer lugar, necesitamos crear un nuevo banco de datos (Archivo/Nuevo/Datos), al que podemos llamar Normal. SPSS genera los datos de una determinada distribucin y los sita en una columna con la longitud que tenga el banco de datos; es decir, el nmero de filas con datos que aparezcan en el Editor de datos. Dado que acabamos de crear el fichero, no contendr ningn dato, por lo que la primera operacin a realizar ser el rellenar la primera columna con datos. Para ello basta con que nos situemos en la casilla correspondiente a la columna 1, fila 100 (Datos/Ir a Caso) e insertemos un nmero cualquiera. Seleccionamos Transformar/Calcular y nos aparece la ventana de calcular variables. En el campo Variable de destino, escribimos m1 como nombre de la variable que vamos a crear. De la lista de funciones que nos ofrece el SPSS, seleccionamos RV.BINOM(n,prob) y , con el puntero la situamos en el campo Expresin numrica.

    Vemos, entonces que en lugar de n y p aparecen unos interrogantes, que sustituiremos por los valores n y p de la distribucin Binomial de la que pretendemos simular una muestra, en este caso, n=6 y p=0.5. Se activa, entonces, el botn Aceptar, y al pulsarlo, el SPSS genera una muestra que aade en la primera columna libre del editor de datos.

  • Prctica 3.Distribuciones de variables aleatorias discretas 3 La siguiente tabla muestra algunas de las funciones que proporcionan un valor aleatorio de una distribucin determinada. Los argumentos son los parmetros de la distribucin. Pueden consultar la ayuda del SPSS para obtener una lista exhaustiva de todas las funciones disponibles.

    Expresin Descripcin RV.BERNOUILLI (p) Devuelve un valor aleatorio del distribucin de

    Bernoulli, con el parmetro de probabilidad especificado.

    RV.BINOM(n,prob)

    Devuelve un valor aleatorio de la distribucin binomial, con el nmero de intentos y el parmetro de probabilidad especificados.

    RV.GEOM(prob)

    Devuelve un valor aleatorio de una distribucin geomtrica, con el parmetro de probabilidad especificado.

    RV.NEGBIN (umbral,p) Devuelve un valor aleatorio de la distribucin binomial negativa, con el umbral y la probabilidad especificados.

    RV.HYPER(total,muestra,aciertos) Devuelve un valor aleatorio de la distribucin Hipergeomtrica, con los parmetros especificados.

    RV:POISSON(media) Devuelve un valor aleatorio de la distribucin de Poisson, con el parmetro de media/tasa especificada.

    Ejercicio 1: Generar muestras de tamao 100 para las distribuciones discretas siguientes: Bernoulli (0.2), Binomial (8,0.3), Geomtrica (0.6), Binomial negativa (9,0.3), Hipergeomtrica ( 20, 8, 0.3 ), Poisson (6).

    2. rea de la Cola En este apartado vamos a ver cmo calcular el rea de la cola de una distribucin conocida. En concreto consideramos la expresin P(x a) siendo x una variable aleatoria y a un valor determinado. Utilizamos el mismo procedimiento que en apartado anterior. Seleccionamos Transformar/Calcular y nos aparece la ventana de calcular variables. En el campo Variable de destino, escribimos el nombre de la variable que vamos a crear . De la lista de funciones que nos ofrece el SPSS, consideramos las que comienzan por cdf, escogemos la que queramos y, con el puntero la situamos en el campo Expresin numrica. En la tabla siguiente se muestran algunas de las funciones que podemos utilizar:

    Expresin Descripcin RV.BERNOUILLI (c,p) Devuelve la probabilidad acumulada de que un

    valor de la distribucin de Bernoulli, con el parmetro de probabilidad especificado, sea menor o igual que la cantidad c.

    RV.BINOM(c,n,p)

    Devuelve la probabilidad acumulada de que el nmero de xitos en los n intentos, con una probabilidad de xito p para cada intento, sea menor o igual que la cantidad c.

  • Prctica 3.Distribuciones de variables aleatorias discretas 4 RV.GEOM(c,p)

    Devuelve un valor aleatorio de una distribucin geomtrica, con el parmetro de probabilidad especificado.

    RV.NEGBIN (c,umbral,p) Devuelve la probabilidad acumulada de que el nmero de intentos para obtener un xito, con el parmetro umbral especificado y la probabilidad de xito p, sea menor o igual que la cantidad c.

    RV.HYPER(c,total,muestra,aciertos) Devuelve la probabilidad acumulada de que el nmero de objetos con la caracterstica especificada sea menor o igual que la cantidad c, cuando los objetos de muestra son seleccionados aleatoriamente de un universo, de tamao igual a un total, en el que los aciertos tienen la caracterstica especificada.

    RV:POISSON(c,media) Devuelve la probabilidad acumulada de que un valor de la distribucin de Poisson, con el parmetro de tasa o media especificado, sea menor o igual que la cantidad c.

    Por ejemplo para obtener el valor de P(x 5) para una variable x con distribucin Binomial(6, 0.5), seleccionaremos la funcin CDF.BINOM(c,n,p) y reemplazaremos el primer campo por 5, el segundo por 6 y el tercero por 0.5. Es importante notar que el valor de P(x a) coincide con el de P(x < a) si la funcin de distribucin es continua como en el caso de la Normal o la t de Student, pero no coincide si es discreta como en el caso de la Binomial.

    Ejercicio 2: Obtener el valor de P(x 3), P(x 5) y P(x = 9) para una distribucin Binomial de

    parmetros n =20 y p =0.3. Obtener el valor de P(x 1), P(x 2) y P(x >2) para una distribucin de Poisson de

    media 5.

  • Prctica 3.Distribuciones de variables aleatorias discretas 5 3. Ejercicios

    1. Un agente de seguros vende plizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 aos ms es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 aos vivan:

    a. Al menos 3 individuos b. Como mucho 2.

    2. El nmero medio de automviles que llega a una estacin de suministro de gasolina es de 210 por hora. Si dicha estacin puede atender a un mximo de 10 automviles por minuto, determinar la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la estacin de suministro ms automviles de los que puede atender.

    3. La proporcin de individuos de una poblacin con renta superior a los dos millones de pesetases de 0,005%. Determinar la probabilidad de que entre 5000 individuos consultados haya como mucho 2 con ese nivel de renta, supuesto que todos los consultados respondan.

    4. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad sangunea es 0,4. Si se sabe que 15 personas han contrado esta enfermedad, cul es la probabilidad de que:

    a. sobrevivan al menos 10? b. sobrevivan entre 3 y 8 inclusive? c. sobrevivan exactamente 5?

    5. Supongamos que repetimos indefinidamente el lanzamiento de una moneda. Entonces considerando la variable aleatoria: Nmero del lanzamiento en que aparece cara por primera vez , calcular la probabilidad de que:

    a. La cara aparezca en el lanzamiento 3. b. La cara aparezca entre el lanzamiento 6 y 8, ambos inclusive. c. La cara aparezca entre los seis primeros lanzamientos. d. La cara aparezca despus del lanzamiento3.

    6. Dado el experimento aleatorio consistente en extraer simultneamente 4 bolas de una urna que contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 1 negra, consideramos la variable aleatoria: Nmero de bolas blancas en la muestra de tamao 4. Calcular la probabilidad de:

    a. Hayan 2 bolas blancas b. Hayan al menos tres bolas blancas c. El nmero de bolas blancas est entre 2 y 4 ambos inclusive.

    Prctica 3

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