(McGRAW HILL) - Soluciones Mates Ciencias 1 Bachillerato

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    24-Jul-2015

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Matemticas 1 BachilleratoSolucionarioAutor del libro del profesorRafael ngel Martnez CasadoAutores del libro del alumnoJos Mara Martnez MedianoRafael Cuadra LpezFrancisco Javier Barrado ChamorroMATEMTICAS 1SOLUCIONARIO DE 1 DE BACHILLERATO No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.Derechos reservados 2007, respecto a la primera edicin en espaol, por:McGraw2Hill/Interamericana de Espaa, S.A.U.Edifcio Valrealty, 1. plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)ISBN: 97828424812551622Depsito legal:Editor del proyecto: Mariano Garca DazEditor: Argos Gestin de ProyectosTcnico editorial: Alfredo Horas de PradoRevisores tcnicos: Rafael ngel Martnez Casado Revisoras de ejercicios: Mara Teresa Ibez Len y Rosario Sanz MesaIlustradores: Ana Colera Caas y Pablo Vzquez RodrguezDiseo interior: Germn AlonsoMaquetacin: Argos Gestin de ProyectosImpreso en:IMPRESO EN ESPAA 2 PRINTED IN SPAIN3Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibrondicendiceUnidad 1. Resolucin de problemas ......................................................................................................................4Unidad 2. Introduccin al nmero real ..................................................................................................................9Unidad 3. Polinomios y fracciones algebraicas .....................................................................................................16Unidad 4. Ecuaciones y sistemas .........................................................................................................................22Unidad 5. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones .............................................................................................30Unidad 6. Combinatoria .....................................................................................................................................37Unidad 7. Trigonometra .....................................................................................................................................45Unidad 8. Resolucin de tringulos ....................................................................................................................52Unidad 9. Nmeros complejos ............................................................................................................................64Unidad 10. Geometra analtica ..........................................................................................................................73Unidad 11. Lugares geomtricos. Cnicas ............................................................................................................83Unidad 12. Sucesiones de nmeros reales ...........................................................................................................93Unidad 13. Funciones reales ..............................................................................................................................99Unidad 14. Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas .................................................................110Unidad 15. Lmites de funciones. Continuidad ...................................................................................................118Unidad 16. Derivadas ......................................................................................................................................127Unidad 17. Introduccin al clculo integral ......................................................................................................137Unidad 18. Distribuciones bidimensionales .......................................................................................................143Unidad 19. Probabilidad ...................................................................................................................................151Unidad 20. Distribuciones de probabilidad ........................................................................................................1574Actividades1.Lerestonueveunidadesaunnmeroymedalomismo que si lo divido por 3. De qu nmero se trata?xxx 29313 25 5 5,2.Disponemos de una cuba llena de vino y de dos recipientes concapacidadde8y5litros.Qutienesquehacerpara medir dos litros de vino? (Puedes traspasar vino de un reci-piente a otro y emplear la cuba para vaciar o coger vino).RecipientesCuba, x litros De 8 litros De 5 litrosPaso 1 x 2 5 0 5Paso 2 x 2 5 5 0Paso 3 x 2 10 5 5Paso 4 x 2 10 8 23.Con cuatro cuartos, unidos y ligados por las cuatro opera-ciones elementales, pueden obtenerse los nmeros natu-rales del 0 al 9. Por ejemplo: 024241424;12(414)/(414)Obtn los dems.254/4 1 4/435(4 1 4 1 4)/4 45(4 2 4)/4 1 455(4 ? 414)/4654 1 (414)/4754 1 424/48544/4 1 4 954 1 41(4/4)

4.Se reparte cierta cantidad de dinero entre varias personas del siguiente modo: a la primera se le da 1/4 del dinero inicial;alasegunda,1/4deloquerestams1000;a la tercera, 1/4 de lo que queda ms 2000; y as sucesi-vamente. Al nal, todos han recibido la misma cantidad. Cunto dinero recibe cada persona y cuntas son?1410001414x x x 5 1 2

x 5 16000Cada persona recibe 4000. Hay cuatro personas.Problemas propuestosTipo I: Problemas de prueba-ensayo y de recurrencia1.Cuntas cerillas se necesitan para formar una cadena de 30 tringulos como se indica en la siguiente gura? Para el primer tringulo necesitamos 3 cerillas. Para cada uno de los siguientes, 2 cerillas ms. Por tanto, se necesitan: 3 1 29 ? 2 5 61 cerillas.2.Divide cada una de las siguientes guras en cuatro guritas semejantes a la inicial. Te damos la solucin de una de ellas.3.Observa las siguientes igualdades: 151 1135411315591131517516a) Sabras decir el resultado de la suma de los diez pri-meros nmeros impares?b) Y el resultado de 11315171175179?a) 1 1 3 1 5 1 7 1 1 19 5 102 5 100. Puedeobservarsequelasumadelosnprimerosnmeros impares vale n2. Nota: Esta cuestin podraproponerse para demostrarla por el mtodo de induccin.b) 1 1 3 1 5 1 7 1 1 75 1 79 5 402 5 1600.4.Qu cifra corresponde a cada raya para que sea correcto el producto?_ _ _ 4 _ _ 3 756743 _ 56La ltima cifra del primer factor tiene que ser 8, pues es la nica que multiplicada por 7 acaba en 6.Se tiene: _ _ _ 4 _ 837 5 6743 _ 56Los sucesivos pasos son:_ _ _ 40837 5 6743 _ 56m _ _ _ 40837 5 6743856Ahora,bastacondividir6743856entre7.Seobtiene 963408.5.Vuelve a leer el Ejemplo 2 de la seccin 1.3. Contesta a la pregunta que se hizo: cmo es C?Si A es bueno, como dice la verdadB es bueno A 5 C C es bueno.Si A es malo, como dice la mentira B es malo A x C C es bueno.En cualquier caso, C es bueno.6.En qu nmero termina 228? A partir del resultado halla-do, indica en qu nmero termina 2183 y 2185.Las terminaciones posibles son 2, 4, 8 y 6.21m 2 25m 3224n 1 1m 2Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroResolucin de problemas01Fig. 1.1.Fig. 1.2.Fig. 1.3.522m 4 26m 6424n 1 2m 423m8 27m 128 24n 1 3m 824m 16 28m 256 24nm6Luego:228 termina en 6.2183 5 24 ? 45 1 3 termina en 8.2185 5 24 ? 46 1 1 termina en 2.7.En un viejo papel hemos encontrado la siguiente nota de una venta realizada. Dice as:72 pollos, a_ _pesetas el pollo5_19_pesetas.Las rayas indican nmeros que se han borrado.A cmo estara el pollo en aquellos tiempos? Como72esmltiplode9yde2,elresultadodelproducto debe ser mltiplo de 9 y par. En consecuencia, sus cifras de-ben sumar 9, 18 o 27.Terminandoelnmeroencifrapar,tenemoslassiguientes posibilidades:_190,_192, _194, _196, _198Y para que sea mltiplo de 9: 8190, 6192, 4194, 2196, 9198Deestosnmeros,elnicodivisiblepor72es6192m6192 5 72 ? 86.El precio del pollo era de 86 pts.8.Supn que tienes 9 bolas de igual aspecto y tamao. Slo hay un inconveniente: una de ellas tiene un peso ligera-mente distinto de las dems; en compensacin dispones de una balanza de platillos. Qu nmero mnimo de pesadas necesitas hacer para averiguar cul es la bola distinta?ste es un viejo y conocidsimo problema. Lo ms importante de l es el mtodo, la estrategia; y que pone de maniesto la fuerza de la lgica.En estos problemas no se trata de acertar por suerte; si as fuese,en1decada9casosacertaramosporpuroazar.Se trata de que el mtodo funcione siempre, sea cual sea nuestra suerte.Dicho esto, analiza: qu datos tengo?; qu s con certeza?Tienes 9 bolas: 8 iguales y 1 distinta; pero slo 1 distinta.Tienes,adems,unabalanzaquepuedeservirparacomparar el peso de las bolas. A partir de aqu necesitas una estrategia. Tienes varias opciones:Primera: Comparar las bolas una a una. Si la balanza queda en equilibrio las bolas son iguales; si se inclina, alguna de esas dos bolas es distinta, pero no sabes cul de ellas es la mala. Con esta estrategia, en el peor de los casos, puedes necesitar hasta 5 pesadas, que seran: En las pesadas I, II y III sabes que todas las bolas son bue-nas. En la IV, alguna de las dos es la distinta. Si la balanza se inclina como indicamos haremos otra pesada comparando la bola de la izquierda, la ms pesada, con alguna de las bolas buenas. En esta quinta pesada puede suceder: (a) que la ba-lanza quede en equilibrio, con lo cual, la bola distinta es la otra, la que estaba en el platillo derecho; adems pesa menos que las otras. (b) que la balanza vuelva a inclinarse en el mis-mo sentido, de donde la bola mala es la que hemos tomado; adems es ms pesada.2Silascuatropesadasprimerasquedaranenequilibrio,la bola mala es la ltima. Comparada con cualquiera de las otras podemos deducir si pesa ms o menos.2Si la pesada desequilibrada es la I, II o III se puede deducir antes cul y cmo es la bola mala. Segunda: Comparar las bolas dos a dos. Con este procedimiento puedes necesitar hasta cuatro pesadas. (Te dejamos que lo com-pruebes por tu cuenta).Tercera: Comparar las bolas de tres en tres.Puede suceder:(I) Pesada en equilibrio: La bola mala est entre las otras tres. Comparando estas tres bolas una a una se determina la mala.(II)Pesadainclinadaalaizquierda:Lasotrastresbolas son buenas. Quitamos tres bolas de la derecha y en su lugar ponemos las tres bolas buenas. Puede suceder: 2La balanza se queda en equilibrio la bola mala est entre las tres quitadas, y pesa menos. Ponemos dos de esas bolas, una en cada platillo: si queda en equilibrio, la bola mala es la otra; si se desequilibra, la bola mala es la de la ms ligera.Tipo II: Problemas de tipo algebraico: ecuaciones y sistemas9.Le sumo 20 unidades a un nmero y me da lo mismo que si lo multiplico por 3. De qu nmero se trata? Si x es el nmero buscado, se cumple: x 1 20 5 3x x 5 10.10. Jos Mara dobla los aos a Cristina; Carmen es tres aos mayor que Cristina; y Jos Mara, cuatro ms que Catalina. Si la suma de todas las edades es 29, cul es la edad de cada uno?Edades: Cristina 5 x; Jos Mara 5 2x; Carmen 5 x 1 3; Catalina 5 2x 2 4Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroResolucin de problemas01Fig. 1.5.Fig. 1.6.Fig. 1.4.I II III IV6x 1 2x 1 x 1 3 1 2x 2 4 5 29x 5 5La edad de Jos Mara es 10 aos. La edad de Carmen es 8 aos.La edad de Catalina es 6 aos. La edad de Cristina es 6 aos.11. Aunacubadevino,inicialmentellena,seleextraeun sexto de su capacidad ms 15 litros. Si aadiendo un cuar-to de su capacidad ste vuelve a llenarse, cuntos litros caben en la cuba?Capacidad de la cuba 5 xSe extrae: x615 1 .Se aade: x4.Como x x61541 5 x 5 180 litros.12.El triple de un nmero es la mitad de otro. Qu nmeros son?Si los nmeros son a y b, entonces: 32ab5 b a 56Hay innidad de posibilidades.13. El triple de un nmero es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56, qu nmeros son?Se tiene: b a 56y, adems, a b 1556 a 5 8; b 5 48.14.El triple de un nmero es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56 y su diferencia es 40, qu nmeros son? (Ob-servas algo extrao en el enunciado?)Lasolucineslamismaqueladelproblemaanterior.(Puede observarse que la diferencia entre los dos nmeros es 40).Nota:Conesteproblemasetratadeverquesobraundato. Afortunadamente, este dato sobrante no es contradictorio con los otros dos, lo cual permitira resolver el problema conociendo dos datos cualesquiera de los tres dados.Tipo III: Problemas de tipo geomtricos15. Un ngulo mide dos grados menos que el triple de su com-plementario. Cunto vale? Si x es el ngulo buscado, su complementario mide 90 2 x.Entonces: x 5 3 ? (90 2 x) 2 2x 5 67.16. La supercie de un tringulo issceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base. Cunto miden los otros dos lados si la suma de sus longitudes es 4 cm ms que la base?rea: Abh5?212425b?b 5 6.Lado 5 l 2 6 4 l 51 l 55.Observa: En este problema sobra un dato. Se darn cuenta los alumnos? Si no es as, que lo descubran haciendo el problema nmero 20.17. La supercie de un cuadrado es S, cul ser la supercie de un cuadrado cuyo lado es el doble del anterior?Si el lado del cuadrado pequeo es l se tiene: S l 52.Si se dobla el lado L l 52 , la supercie ser L l l S2 2 22 4 4 5 5 5 ( )m queda multiplicada por 22 5 4.Nota:Podraplantearseconotrosaumentosproporcionalesdel lado (L 5 kl) y comprobar que la razn entre las supercies es k2.18.En un cubo de arista a caben 111 litros de agua. Cuntos litros puede contener un cubo cuya arista es el doble del anterior? Es necesario conocer el valor de a?El volumen del cubo inicial es a3. El volumen del de doble arista ser: V a a 5 5 ( ) 2 83 3, que valdr 8 ? 111 5 888 litros.No es preciso conocer a.19. Dibuja una circunferencia con un lpiz y una regla.Sedibujaunpunto,queserelcentro,ysecolocalaregla como se indica, trazando una lnea.

Girandolaregla,manteniendoelpuntoencontactocon ella, se trazan otras rectas, obtenindose un dibujo como el siguiente. La circunferencia es la envolvente de todas esas rectas, que son tangentes a la circunferencia.Tipo IV: Problemas resolubles mediante frmulas20.La supercie de un tringulo issceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base y los otros dos lados.Por el Problema 28, b 5 6.Como es un tringulo issceles la altura cae en el punto medio de la base.PodemosaplicarelteoremadePitgoras:l2 2 24 3 5 1 l 5 5 cm.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Fig. 1.7.Fig. 1.8.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroResolucin de problemas0134lFig. 1.9.721. UnciclistapartedeBadajozcondestinoaCceres,que est a 90 km de distancia. Una hora despus otro ciclista iniciaelmismoitinerario,recorriendocadahora10km ms que el primero. Si llegan a Cceres en el mismo ins-tante, qu tiempo tard cada uno?Primer ciclista: Velocidad 5 v; tiempo 5 tvt590Segundo ciclista: Velocidad 5 v; tiempo 5 t, con t5 t 2 1 yvt5901 2Como v 5 v 1 10 9019010t t 21 5 t t29 0 225 t 5 3,54 h 3 h, 32 min.22. Con un trozo rectangular de cartn, que es 4 cm ms largo que ancho, se construye una caja sin tapa de volumen 840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Qu dimensiones tena el cartn?(x 2 8) ? (x 2 12) ? 6 5 840x x220 44 0 2 2 5 x 5 22Tipo V: Reduccin a la unidad23.Tres amigos ganan por un trabajo 1105. Cunto les co-rresponde a cada uno de ellos si uno trabajo 8 das, otro 5 y el otro 4?Entotaltrabajaron17das.Acadadalecorresponden 11051765 .Unocobrar8 ? 65 5 520;otro,5 ? 65 5 325;yeltercero, 4 ? 65 5 260.24.Si 6 gatos pueden comer 6 sardinas en 6 minutos, cun-tos gatos sern necesarios para comer 100 sardinas en 50 minutos?Cada gato se come una sardina en 6 minutos.Para comerse 100 sardinas, un gato necesitara 600 minutos. Para comerse las 100 sardinas en 50 minutos se necesitarn 12 gatos.25. Cuntos litros de aceite de 2,90/L hay que mezclar con 200 litros de 3,60/L, para que la mezcla resulte a 3,40/L?Litros de 2,90 5 x.2,90x 1 3,60 ? 200 5 3,40 ? (x 1 200)x 5 80 L. 26. Cuntosmapasdelmismotamaoqueeldeescala 1: 200000 habr que hacer para reproducir la misma su-percie a escala 1: 50000?A escala 1: 200000, 1 cm2 del mapa 5 4 km2 en la realidad.A escala 1: 50000, 1 cm2 del mapa 5 5 (50000?50000 5 2500000000 cm2) 5 0,25 km2 en la realidad.Portanto,habrquehacer4/(0,25) 5 16mapasdeescala 1: 50000.Tipo VI: Estrategia hacia atrs27. Dosjugadorespuedensumaruno,dosotresalnmero que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que llegue a 37. Qu hay que hacer para ganar?La secuencia del ganador debe ser:37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1Ganarelquecomienceeljuegoysigaestasecuencia,de derecha a izquierda.28.Dos jugadores pueden sumar desde uno hasta diez al n-mero que diga el otro. Comienzan en cero y gana el prime-ro que llegue a 100. Cmo hay que hacer para ganar?Gana el que comienza y sigue esta secuencia:1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100Nota: Podra plantearse un juego con las mismas reglas, pero el que pierde es el que se vea obligado a decir 100. Cul debe ser la secuencia del ganador?29. Aqu tienes tres trozos de cartulina. Haz un corte en cada cartulina,deformaquequedenseispiezasquepuedan juntarse para formar un cuadrado.El cuadrado nal debe tener una supercie que ser la suma de las supercies de los tres trozos dados: 20 ? 10 1 20 ? 5 1 20 ? 10 5 500sersuncuadradodelado 500, que es la mediada de la diagonal (y de la hipotenusa) de los rectngulos.10 cuestiones bsicas1.Qu error se comete en las siguientes igualdades?a) (3 1 4)2 5 32 1 42; b)4 24 222xx15 1 ;c) 2 2 x x x2 2 25 5 ( )a) El cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados.b) Se simplican factores, no sumandos: 4 24222 2xx x11 5 .c) 2 2? 2 x x x x2 25 5 ( ), siempre es negativo. ( ) 2x x2 25 , siempre es positivo.2.Expresa mediante una igualdad las siguientes sentencias:a) El doble de x ms 3 es igual a y.66xx 1 4x 2 8 x212620 cm10 cm20 cm10 cm20 cm10 cmFig. 1.10.Fig.1.11.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroResolucin de problemas018b) El doble de x, ms 3, es igual a y.c) El cuadrado del doble de x es igual a la mitad de y.a) 2 ? (x 1 3) 5 yb) 2x 1 3 5 yc) ( ) 222xy53.Qu dice el teorema de Pitgoras? Porqu el tringulo de lados 3, 4 y 5 cm es rectngulo, mientras que el de lados 10, 12 y 15 cm no lo es?En el tringulo de lados 3, 4 y 5 se cumple que 52 5 32 1 42;esto es, el teorema de Pitgoras.Eneltringulodelados10,12y15nosecumpleque 152 5 102 1 122; por tanto no puede ser rectngulo.4.En un mapa a escala 1:100000, cul es la distancia real entre dos ciudades que estn separadas 3 cm en el mapa?3 ? 100000 5 300000 cm 5 3 km.5.Cmo mediras un litro de agua si tienes dos recipientes de 3 y 5 litros?(1) Llenas el recipiente de 3 litros m lo viertes en el de 5.(2) Vuelves a llenar el recipiente de 3 litros m lo viertes en el de 5 hasta que se llena. En el recipiente de 3 litros queda 1 litro.6.Una camisa vala 72 euros. Cmo calcularas con una simplemultiplicacin su valor si se ha rebajado un 16%?72 ? (1 2 0,16) 5 72 ? 0,84 5 60,487.Cunto suman los ngulos de un tringulo? Y los ngulos de un pentgono?Tringulo: 180.Unpentgonopuededescomponerseentrestringulosmsumarn 3 ? 180 5 540.8.Qu mismo nmero hay que aadir a los dos trminos de la fraccin 38 para que resulte equivalente a 78?3 78321x81xx 5 5 9.La suma de dos nmeros consecutivos es 147. Hllalos.x 1 (x 1 1) 5 147 73 y 7410. Sabiendo que 1232515129, halla sin calculadora 121 ? 125. (Recuerda que (x 2 a)(x1a)5x22a2).121 125 123 2 123 2 123 4 15129 4 15122 2? 2 1 2 2 5 5 5 5 5 ) ( ) ( 5Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroResolucin de problemas019Actividades1.Representa los nmeros reales:a) 169b) 20,47 c)13a)Como16951791, dividimos el intervalo [1, 2] en nuevepartes iguales, coincidiendo la sptima con elnmerodado.b) Hallamos el punto 20,47 mediante subdivisiones del inter-valo [21, 0] y posteriormente del [20,5, 20,4]:c)Procedemos a realizar la construccin grca de la Figura:2.Encuentra y seala en la recta real los puntos cuya distan-cia a 21 es menor que 2.Se tiene que los puntos x cuya distancia a 21 es menor que2 verican: d(x, 21) ,2| x2( 21) | 5| x11| ,2

22,x11,2 23,x ,1 x [ (23, 1)3.a)Redondea a centenas los datos: 1897,67, 987514 y123.b)Redondea a milsimas: 34,2345, 0,8765, 0,12345.c)Calcula los errores absolutos y relativos cometidos en a).a)Los redondeos a centenas sern:1897,671900; 987514987500; 123100b)dem a milsimas:34,2345 34,235; 0,8765 0,877; 0,12345 10,123c)Los errores absolutos (e) y relativos (E) cometidos en lasaproximaciones del apartado (a) sern:e(1900)5190021897,6752,33 yE(1900)52, 331897,63523318976350,0012e(987500)59875142987500514 y E(987500)51498751450,00001e(100)51232100523 y E(100)52312350,1874.Expresa en notacin cientca los nmeros indicando suorden de magnigud:a)1234?105;b) 0,0000000067012;c)0,00763?106;d) 2527,05?1023a)1,234?108 Orden de magnitud 8b)6,7012?1029Orden de magnitud 29c)7,63?103 Orden de magnitud 3d)25,2705?1021Orden de magnitud 215.i)Extrae factores: a)8a5; b) x 81104 6 3 ; c)16a27ii) Introduce factores: a)2aa22; b)2xx32 3;c)x x 1 1cx 21x 11i) Extraemos los factores:a)8a52 2 (a ) a 5 2a2a5 2 2 22b)?81 10x53 3 ? 10 10(x ) 54 6 3 3 323 3?

53 10x 3?10530 x 302323?? ?c)16a2754 a3 3 543a322??ii) Introducimos factores:a) 2aa25 (2a)a252 2 aa25a2 222 4 5b)2xx5 (2x)x52x_x 52x32 33332 33923373c)( x11)x21x115 ( x11)x21x1152 5 ( x11)x21x115 ( x11) ( x21)5x 212 26.Halla el valor simplicado de:a) ( 25)5b) a a3 4a) 15255 2 25 55b)a a3 455 5 a a a a3 3 4 4 12 37. Extrae factores y suma:a) 2 3 11032722 108Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real02Fig. 2.1.1 216/9Fig. 2.2.21 0 20,520,420,5 20,47 20,4Fig. 2.3.20 1 2 3131310 b) y 22 333 4363y x y x y 1 xy 1 c)8 7223 288 22 3387 2a)2 3 110327 22 108 52 3 1103322 3 2 53 3 23 3 52 3 110322 3 2 3 ? ?5(2110 212) 3 50 3 50 ?b)2 3 3 3 4 3 6 3y x y 12y x y 1 x y 523 3235y x y12yxy y 1x y 51 xy 12xy1x 2 y 5(3 xy1x ) y2 223223c) 8 7223 28822 3387 2558 6 223 12 222 1327 252 2 286 3 ?? 22 12 2 22 13 27 25?(48236226) 27 251427522Problemas propuestosTipo I. Relacin de orden y recta real. Operaciones1.Calcula las potencias:a)323, (23)3, (23)23, 2323b)(1/3)23, (21/3)3, 2(21/3)23c)321 (1/3)21d)2 15 55 51 01 0222e)21 121 2121( )221 1121 0

a) 3131273325 5; (23)35227 ; (23)235( )131273252 ;23235252131273b)( )133 2533527;13127( )13335 5 22 2; 2( )133235 2 23( ) 5 27c)( )313138331 21 22 2 2 5 5d)5 55 51 52 521 0 21 0 22 5 51 0 222 15 51 0 22e)( )2 12 21 11 11 11 01222 2 1 25( )2115 51 11 102012.Simplica y no dejes exponentes negativos:a)(8a21b2)22 b)(a21)2(2b)3(2ab)22c)2 ( ) ( )2 22a bab3 1324a)(8a21b2)225 822a2b24582b4a2b)(a21)2(2b)(2ab)225 2 5 5a22b32b52b51 1a2b2c)(2a)23(2b)214ab23521Ya3 1Y2b4aYb352b34a42b 8a4b2523.Simplica y da el resultado en forma radical:a) 5a1/32a1/2b) (16a22/3 b2/3)1/2c)1 262x21y1/2x21/2 y2/3a) 5a1Y32a1Y25526a1Y311Y2 510a5Y6 510 a5b) (16a22Y3b2Y3)1Y2516a1Y2a21Y3 b1Y354333baba54c) 1 262x21y1Y2x21Y2y2Y3526x26y3x23y464x3y54.Asigna cada nmero al conjunto o conjuntos que pertenez-casegn se hace en la primera lnea:N Z Q I23 x x1,1856/1225pN Z Q I23 x x1,18 x5 x6/12 x25 x x xp x5.Escribe tres nmeros entre:a)3,37 y 3,37602b) y211 51118c)36y3711,4a) 3,37, 3,374 , 3,375 , 3,376 , 3,37602b) 211 511185F51,61803,1,60804,1,61,1,62, 51,63c)36 3711,452,2506 52,2677,2,26.2,255,2,2507.6.Decide la veracidad o falsedad de las siguientes armacio-nes mediante ejemplos:Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real0211a)La suma de nmero racional e irracional es irracional.b)El producto de nmero racional e irracional es irracional.c)El producto de dos nmeros irracionales es irracional.a)La suma de nmero racional e irracional es irracional:verdad, 21p.b)El producto de nmero racional e irracional es irracional:verdad,355.c)El producto de dos nmeros irracionales es irracional:falso, 2323 ? 5 .7.Prueba que si que ab ,cdentonces aba1cb1dcd, ,Siabcd,=ad , bc (*), entonces:- aba1cb1d,ya que por (*): a(b1d) 5 ab1ad , b(a1c) 5ba1bc-y a1cb1dcd,pues por (*) de nuevo: (a1c)d 5 ad1cd , (b1d)c 5 bc 1 dc8.Demuestra que para todo nmeroa. 0 se cumple queaa1 12.Las siguientes desigualdades son equivalentes:aa1 12.a 11 2a2.a21 1 2 2a 0 .(a 2 1)2 0Como la ltima desigualdad es cierta, tambin lo ser laprimera.Nota: Puede hacerse ver la necesidad de que a sea positi-vo; pues si fuese negativo, la primera equivalencia no seracorrecta.9.Halla qu nmeros representan las abscisas A, B, C y D delagura.El intervalo [22, 0] se divide en tres partes, luego el punto Ccorresponde a 243.Por otro lado, de la construccin geomtrica, aplicando elteorema de Pitgoras, B es5 ( 2 )11232 y D se obtienesumando a B la distancia OA5 2, por tanto la abscisa quecorresponde a D es 3 1 2.10. Comprueba que la longitud del segmento AB es F, siendoM el punto medio del lado del cuadrado.De nuevo utilizamos el teorema de Pitgoras: como MB5121215452221 5 5 , la distancia AB 512521 521 51que es el valor del nmero ureo.11. Ordena los nmeros1a b, a2, 2 b, a, , b, b2, 2 a,1a)Suponiendo que 1, a , b.b)Si 0 , a , b , 1.a)2 b , 2 a , 1yb , 1ya , a , b , b2.a2no podemos situarlo.b)2 b , 2 a , a2, a , a , b , 1yb , 1ya. b2no podemos situarlo.12.Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real, los conjuntos:a) A 5 {x [ R( x , 21}b) B 5 {x [ R( x , 1/2 y x 20,5}c)C 5 {x [ R( x 1 y x . 3}d) D 5 {x [ R( 22,5 x , 1,2}a) (2, 21)b) [21/2,c) o,d) [25/2, 6/5)13. Escribe la desigualdad que cumplen los nmeros quepertenecen a los intervalos:a) (2`, 2]b) [2, 5]c) (21, 3):[0, `)d) [0, 3)"(21, 1]a) {x, x 2}b) {x,2 x 5}c) {x,21, x ,`}d) {x, 0 x 1}14. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los nmerosque verican:a) x 3 b) x 3c)50 xd)x 2 1 0a){x, 23 x 3}.[23, 3]b){x, x 23 o x 3} . (2`, 23] . [3, `)c) R2{0d)Dado que la desigualdad incluye la igualdad: {1} 5 [1, 1].15. Encuentra los intervalos unin e interseccin de:a) I 5 {x [ R, x 1 1 , 1} y J 5 [21 ,2).b) K 5 {x [ R, x21 2} y L 5 {x, x12 2}.c) M 5 (2`, 2] y N 5 {x [ R, x23 52}.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real02Fig. 2.4.Fig. 2.5.A M B122 21 0 1 2 3C1A B1DOA12a)I . J 5 (22, 0) . ([21, 2) 5 (22, 2) IJ 5 [21, 0)b)K . L 5 (2, 21] . [3, ) . [4, 0]c) M . N 5(2, 2] . {5} . {1} 5(2, 2] . {5}; M N 5{1}16. Halla y representa en la recta real los nmeros que distan de 21 menos de 2 unidadesd(x, 21) 5x2(21) 5 x11 ,2 =22, x11 , 2 =23 ,x , 1 .(23, 1)Tipo II. Notacin cientfca. Nmeros aproximados17. i)Redondea a unidades:a) 0,854b) 115,06c) 21546,7ii) Redondea a milsimas:d) 0,0996e) 56,4444f) 1,897645Al redondear a unidades, despreciamos la primera cifra deci-mal, por tanto:a)0,854 1b)115,06 115c) 21546,7 21547En el redondeo a milsimas, sta es la ltima cifra conserva-da, luego:d) 20,0996 20,1e)56,4444 56,444f)1,897645 1,89818.Indica a qu intervalo pertenecen los nmeros cuyo redon-deo a centsimas es 1,23.El intervalo sera: (1,225, 1,235) pues en l la distanciad(x, 1,23) , 0,01. Tambin debera incluirse 1,225.19. Si 1,23 es la medida de una magnitud en la que hemoscometido un error relativo mximo del 10% entre quvalores est comprendido el valor exacto de la magnitud?El error relativo es:E5 x21,23x,0,1 20,1, ,0,1x21,23xy de la primeradesigualdad:x10, x21,23 1,23, 211x1012,311123110 x . 5de la segunda desigualdad:E5 x21,23x, 0,1 21,23 , x10 2x 1x ,9x1012,39123901,23 . 5La magnitud est en el intervalo: (123/110, 123/90)20. Calcula empleando la notacin cientcaa) 1,27653?(0,00006584)3b)37?10244125000 a)1,27653?(0,00006584)3que en la pantalla de la calcula-dora da: 3,64334721353,643347?10213b)37?1024412500058,9696972105 8,969697? 1021021. La capacidad de memoria del disco duro de un ordenadorse mide en gigabytes (Gb). Cada Gb tiene 109bytes o uni-dades bsicas de almacenamiento, de forma que cada bytecontiene un smbolo (dgito, letra, etc.). Si por trminomedio una palabra est compuesta de 6 smbolos, es-tima cuntas palabras puede archivar un ordenador de 20Gigabytes (Giga 5 109).20 GB520? 109Bytes Como cada palabra ocupa 6 bytes, setiene que la memoria puede almacenar20?109651010353,3?109Algo ms de 3 millardos de palabras.Tipo III. Simplifcacin y Operaciones con radicales. 22.Reduce a una sola potencia fraccionaria:a) a?a2/3b)( a)1/2c) a a d) 21328 ?a) a1/211/35a7/6 b) a1/2 1/25a1/4c) (a?a1/2)1/25a1/211/45a3/4d) 223/2 225/25 205 123. Utilizando la calculadora, halla el valor de los radicales:a)356b)45 c)50,05d)3282,16a) 52525b) 1,4953c) 0,54928d) 2,0661324. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de: a)100,1169b)0,09100144 c) 81?144?400d)328?27?64a) 100,11695 102?169 5 102169510?135130b) 5 144 512 50,360,091000,3100,09100144c)81?144?4005 81 144 40059?12?2052160d)3 3 3 328?27?645 28 27 64522?3?4522425. Reduce a ndice comn, divide y simplica: a) 332 02Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real13b)2? 2048c)3234626a)27463232263365 5b)2? 208422? 202844 45 5 2004c) 26323645 5 26323645 5 25?3211222?6312532181226. Calcula y simplica:a) a a2 2 3 4 b) (21)3? 211135 3a)a a223 4? 5 5 5 a a a a623 88 24 3b)(21)3? 211135 35 (21)46115 11151115215 45 327. Reduce todo lo posible las sumas:a) (122 2)22(112 2)2b) ( 522)?( 512)1(2 2)2a) (122 2)22 2212824 2528 2 (112 2)2511824b) ( 522)?( 512)1(2 2)25524185928.Demuestra que 412 3 2 422 3 52Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad yresulta:( 412 32 422 3 )2522

412 31422 322 412 3 422 3 54 822 (412 3)(422 3)54 822 42222?354 822 454 8245429. Demuestra que (xy1z)2< (x21z2)(y211), y comprueba la desigualdad para x 5 2 e y5z5 3Para demostrar que (xy1z)2 0 que secumple siempre. Luego la desigualdad de partida es cierta.02Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero realTipo IV. Suma de radicales semejantes30. Reduce las sumas: a)75448924 2732 1 3 27 2 b)202722 2345126553212531c) 2 2 23128 5316 13a)75448924 2732 1 3 27 2 531 2?5 32 2 31 7 354331 5 35433193b)202722 2345126553212531 5 22?23536532535315 23535 2 ?1715535(253529543 152 23)c) 2 2 23128 5316 135 2232 2320 2132 2535?2231. Suma, simplicando todo lo posible:a) 2 x3y 22 xy313 (xy)32 16xyb) a32a2b 1 1 ab22b3(a2b)(a222ab1b2)a) x3y 2 2 xy31 2 (xy)32 3 16xy 55 xy 2 2x xy 1 2y xy xy 5(2x22y13xy24) xy 24 3xyb) a32a2b 1 1 ab22b3(a2b)(a222ab1b2) 55a2(a2b)1 1 b2(a2b) (a2b)(a2b)255(a1a2b1b) a2b52a a b 2Tipo V. Racionalizacin32. Racionaliza:a)22b)33 2 c)284 d)3 123 2e)x2x3

2a)22 22 25 52b)32?33 32 3 235 5c) 4?2164 2 21 85 5d)2?3 2 312 36326 (12 3) 35 5e)x3x2x3x45 5x

21433. Racionaliza las fracciones:a) 33 11b)5522 2 c)x1 yx2 yd)5 31232 6 2a) 33 11323223(12 3)1235 5 55 322b) 5522 25 512?45( 511)521) 2( 511) (5 55 5185c) x 1 yx 2 y5x 1 y ( )2x 2 y ( ) x 1 y ( )x1y12 xyx2y5d) 3 31232 6 23)( (31232 6) (2 31 6) (231 6) 25 531 6 61 3 321 4 3 6 2322 62225 55313 611212 18 665313 611216 2 6655 21 31 216234. Calcula:a) 201 125 802240b)242 54 150146a)Sumamos en el numerador y simplicamos:201 125 80224051 2 52 4 2? 5 510 25 52 5 42 5 22225 5 52 2b)Operamos como en a): 242 54 15014622?62 52?614 32?665 5(225112) 665 5935. Suma y simplica3322 2531322313322 253132231 5322) (2 312) (2 313) ( 323) ( 3 33 3(2 12) 323) 5(23 21 5 553 2?31232222223215 53223223 2321 53 61283215 52623 231 5 553 2421422431 3 1816 3260116 20245 53221 2112521125 ( 321)10 cuestiones bsicasEstas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 15minutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.1.En qu se diferencian los nmeros racionales de los irra-cionales? Pon un ejemplo.Los irracionales no se pueden expresar en forma de fraccin.2.Escribe sin las barras de valor absoluto la expresin:a) x11 si x .21b)x(x1x3)a) x11 5 x 11 pues al ser x .21, x 11.0b)x(x1x3) 5 x21x45x21x4pues ambas potencias son posi-tivas siempre.3.Simplica la expresin2[a2(c2a)]x2cx2a(2x)2[a2(c2a)]x2cx2a(2x)5(2a1c2a)x2cxax5(c22a2c)xax522axax5224.Redondea a milsimas:a) 23,9525 b) 0,1672c)0,9999a) 23,952523,953b)0,16720,167c)0,999915.Escribe en notacin decimal:23,21 70,05 2423,211075 2 321000000,05102450,0000056.Calcula el valora) 284b) 62182a) 28522544b) 221825 10051002Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real1502Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroIntroduccin al nmero real7. Suma23801 4523801 45 5234251 51 32554 55 2 5 68.Reduce a un solo radical:x34x2x34x25x644x2x64x25 5x45x49.Escribe con una sola raz y simplica: a 2a3a 2a35 a3a 53a456a2310. Racionaliza:2222 5 2222 55(22 5)(21 5)22(21 5)542522(21 5)52(21 5)16Actividades1.Halla: a)

(2x24)?

1412x22 x14b) (x13)22(x23)2c) (x21)?(x212)22(112x)2a) 1212x32x3110x2x212x2205 x322x2112x220b)x216x192(x226x19)512xc) (x21)?(x414x214)2(114x14x2)5x52x414x328x2252.Descompn en factores los siguientes polinomios:a)P(x)5x214x221b)P(x)5x322x223xc)P(x)56x427x31xa) x214x22150 x5 3, x 527 P(x)5(x23)(x17)b)P(x)5x322x223x5x(x222x23)5 x(x11)(x23)c)P(x)56x427x31x5x(6x327x211).Una solucin de 6x327x21150 es x 5 1.(6x327x211)/(x21) m 6 27 0 11 6 21 216 21 21 0 Se tiene: P(x)5x(x21)(6x22x21)5 6x(x21)(x21/2)(x11/3)Las races de 6x22x 215m5son x 51/2y x 521/3.3.Halla las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas:a)12xx122x21x222xx2242 1b)x21x2112 x22c)2xx132x224x112a) 23x212xx224(12x)(x22)2(2x21)(x12)12xx2245b) x322x221x211(x22)(x211)2(x21)x2115c) 2x314x226x212x214x13(2x224)(x13)22x(x11)(x11)(x13)54.Halla las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:a)x135x221x23 ?b)3x225x23?c)2x21x2232x11d)x136x2132:a) x313x22x235x215b)6x2415xc)4x221x223(2x21)(2x11)x2235d) 3(x213)x136(x213)2(x13)55.Simplica las siguientes fracciones algebraicas:a)424x214x412xb)2x326x142x14c)2x(x23)222x2(x23)(x23)4a)Es irreducible.b) 2(x12)(x222x11)2(x12)2(x323x12)2(x12)5(x21)25c) 2x(x23)22x2(x23)32x226x22x2(x23)32x(x23)222x2(x23)(x23)45 526x(x23)356.Expresa como una sola raz:a) x11xb)x2 xc)xx11d)x11xa)x11xx11x5 b) 12xx2 x 2 x xx x52xx x5 5c)x11x2xx11 x11x25 5 d) (x11)2xx11x5(x11)2x5Problemas propuestosTipo I. Operaciones con polinomios1.Calcula:a)(31x26x215x3)2(12x326x21x)b)(8x429x311)2(2x13x325x4)c)

1234x213 2x32

13x215x2 2a) 27x3130xb) 13x4212x322x 11c)541032x32 x225x12.Calcula:a)(4x15)2(21x)21(2x)2 b)(223x)225[(3x21)? (3x11)22x]c)3x6? 4x52(22x5)?(214x3)1(2x5)?(23x4)2x6?(24x2)a) (4x15)2(21x)21(2x)254x152(414x1x2)14x25113x2b) (223x)225[(3x 21) ? (3x 11) 22x] 5(4212x19x2)25(9x22122x)5236x222x19c) 12x11228x826x914x8512x1126x9224x8Nota: Los errores al efectuar las dos primeras operaciones son muyfrecuentes,sobretodocuandostassehacenfueradel contexto terico. Un error puede ser: (21x)25221x2541x2;otro: (2x)252x2.3.Halla:a)(x26)2b) (41x2)2c)(3x11)2d) (2x21)2e)

12 x15

12 x25f) (4x21)(4x11)Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomiosy fracciones algebraicas0317a) x2212x 136 b) 1618x21x4 c) 9x216x 11d) 4x224x 11 e) 14 x2225f) 16x2214.Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:a)(5x213x25)(7x326x13)b)

(x225x214)

1438x22 x2c)

231412x32 x21 ? 2

3245x21x2a) 35x5121x4265x323x2139x 215b)2141058x42 x32438214x1 x21c)233245x32 x21x2142 x2

32452 x21x2

112132452 x21x2

5238152x51 x4238x31 x4214215x3134x2212x2125x2552524476011202x51 x42 x3212x2125x25.Divide:a)(5x421415x1x3): (32x2)b) (20x3112x4129239x2228x):(4x225)c) (2x323x12):(2x21)a)Se ordenan los trminos del dividendo y los del divisor en ordendecrecientedesusgrados.Dejamosenblancoel espacio correspondiente a 0? x3.5x41 x31 5x 2 14 2 x21 325x4115x225x22 x 2 151 x3115x21 5x2 x31 3x115x21 8x 2 14215x21 45 8x 1 31Cociente: 25x22 x 2 15 Resto: 8x 1 31Por tanto: 5x41x315x 2145(2x213) ?? (25x22x215) 1(8x 131)b)Cociente: 3x215x 26Resto: 23x 21c)Cociente: 1254x21 x2Resto: 34Tipo II. Regla de Rufni. Teorema del resto y factorizacin6.Utiliza la regla de Rufni para hacer las siguientesdivisiones:a)(x72x) entre (x12)b) (x51x22x3):(x21)c) (2x32x523x):(x23)d) (3x426):(x11)a) Recuerdaquecuandofaltauntrminoseponeuncero. Esto es:x72x 5x710x610x510x410x310x22x 10El divisor x 125x 2(22), o sea, a522. Con esto se for-ma el esquema:1 0 0 0 0 0 21 02 222 4 2 8 16 2 32 64 21261 22 4 2 8 16 2 32 63 2126Loscoecientesdelcociente,queserunpolinomiode grado sexto, en orden decreciente, valen 1, 22, 4, 28, 16, 232 y 63. El resto es 2126. Luego:C(x) 5x622x514x428x3116x2232x 163R(x) 52126 b)Cociente: x41x32x22xResto: 0c)Cociente: 2x423x327x2221x 266 Resto: 2198d)Cociente: 3x323x213x23Resto: 237.Descompn en factores el polinomioP(x)52x3210x2114x26, sabiendo que x51 es una de susraces.Si x 51 es una raz (x 21) es un factor P(x) es divisible por (x 21). Se divide por Rufni y se obtiene: P(x)52x3210x2114x265(x21)(2x228x16)52(x21)(x224x13).Losotrosdosfactoresseobtienenresolviendolaecuacin x224x1350.Sussolucionessonx 51yx 53(x 21)y (x 23) son los factores.Por tanto, P(x)52x3210x2114x2652(x21)(x21)(x23)552(x21)2(x23).8.Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una desus races es x525 y que P(2)527P(x) 5(x 2x1) (x 2x2) siendo x1 y x2 sus races.Six1525 P(x) 5(x 15)(x 2x2)SiP(2) 527 (215) (22x2) 527 x253Por tanto, P(x) 5(x 15) (x 23) 5x212x 2159.Escribe un polinomio de cuarto grado que tenga por races:a)1, 2, 3 y 4b) 1, 2 y 3 doble.c)1 y 2, las dos dobles.a) (x 21) (x 22) (x 23) (x 24)b) (x 21) (x 22) (x 23) 2c) (x 21) 2 (x 22) 2Nota: En los tres casos hay innitas soluciones. Basta multi-plicar por una constante.10. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tienepor races x51 y x526 y que P(0)5212Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomios y fracciones algebraicas0318Sea P(x) 5a(x 2x1)(x 2x2) siendo x1 y x2 sus races.Si x151 y x2526 P(x) 5a(x 21)(x 16) Por P(0) 5212 P(0) 5a(21) ? (6) 5212 a52.Luego, P(x) 52(x 21) (x 16) 52x2110x 21211. Factoriza las siguientes expresiones polinmicas:a)3x2114x25b) 4x512x422x3c)x315x218xa)Resolviendo 3x2114x 2550 se tiene: x 51/3 y x 525Por tanto, 3x2114x 2553(x 21/3)(x15)b)Sacando factor comn 2x3, se obtiene:4x512x422x352x3(2x21x 21)Resolviendo 2x21x 2150, se tiene x 51/2, x 521Por tanto, 2x21x 2152(x 21/2)(x 11)Luego,4x512x422x352x3(2x21x 21) 52x3? 2(x 21/2)(x 11) 54x3(x 21/2)(x 11)c)Sacando factor comn x, se obtiene:x315x218x 5x(x215x 18)Resolviendo x215x 1850, se tiene: x 525622524?1?825 256272Comoestaecuacinnotienesolucin,elpolinomiox215x 18 no se puede descomponer en factores simples. En consecuencia, x315x218x 5x(x215x 18)12.Factoriza los siguientes polinomios:a)P(x)525x22xb)P(x)54x4110x2c)P(x)510x32250xd) P(x)58x4180x31200x2a) P(x) 525x22x 52x (5x 11)b) P(x) 54x4110x252x2(2x215)c) P(x) 510x32250x 510x(x2225) 510x(x 15)(x 25)d)P(x) 58x4180x31200x258x2(x2110x 125) 58x2(x 15)213. Halla el valor de b y factoriza P(x)5x31bx2212x sabiendoque x522 es una de sus races.Como P(22) 51614b b524.Por tanto, P(x)5x324x2212x5x(x12)(x26)Tipo III. Fracciones algebraicas14.Simplica las siguientes fracciones algebraicas:a) 21x27x214x2b)42x3x212 c) 3x224xx3d)4x282x e) 3x2212x12f)(x21)2x221a)21x27x214x2 53?7?x27x(122x) 53x122xb)42x3x212 542x3(x24) 5 2(x24)3(x24)1352c)3x224xx353x224x2x(3x224)x35d)4x282x52(x22)x4(x22)2x5e)3x2212x1253(x224)x123(x12)(x22)x125 53(x22)f)(x21)2x2215(x21)2(x11)(x21)x21x11515. Simplica:a)x216x272x22b)4x2240x11004x22100 c)3x326x23x4124x3260x2a)x216x272x225(x21)(x17)2(x21)x1725b)4x2240x11004x22100554(x2210x125)4(x2250)4(x25)24(x15)(x25)x25x155 5c)3x326x23x4124x3260x2 553x2(x22)3x2(x218x220)3x2(x22)3x2(x22)(x110)1x1105 516. Halla, simplicando el resultado:a) 2x11x211 b)x21x22x2 c) 1x22x214x38x42d)3x22x3x23x122e) 5x23xx21x13x111f)x21x1111

2 g) x11x158xx22251h)x3x19x223x2912x23x22272a)x211x11b) 2x32x11x2c)x322x214x28x4d) 7x24x(x12)e)5x2f) 2x212(x11)2g)x21x25h) 223(x23)17. Calcula el resultado, factorizando si conviene:a) 2x226x143x226x132x213x232 b) 6x3254xx326x219x3x2212x112x225x16:a) Factorizamos los denominadores: 3x 2353(x 21);3x226x 1353(x 21)2Por tanto, el m.c.m. de los denominadores es 3(x 21)2As:2x213x232x226x143x226x13252x213(x21)22x226x143(x21)25Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomios y fracciones algebraicas03195(2x21)(x21)2(2x226x14)3(x21)2552x223x1122x216x243(x21)253x233(x21)2 553(x21)3(x21)251x21b)3x2212x112x225x166x3254xx326x219x:553(x22)2(x22)(x23)6x(x13)(x23)x(x23)2: 553(x22)2?x(x23)2(x22)(x23)?6x(x13)(x23) 53(x22)6(x13)x222(x13)518.Halla, simplicando el resultado:a) 3xx11(2x21): b)x133x22x11 c) x221xx11x12:d) x13x22x224x14x229? e) x2115xx22253x4215x3118x2x228x115: f) 5x224x224x225x1155x2120x115x121 ?a)2x21x213x b) x214x133x22c)x21x22xd) x22x23e) x222xf) x2x2219. Transforma, sin hacer la divisin, la expresin D(x)d(x)en suequivalente de la formar(x)d(x)C(x)1, en los casos: a) 2x223x15xb) x213x25x2 c) x223x15x23d)x2x21a) 2x223x15x5x52x231b) x213x25x23x25x2511c) x223x15x23x(x23)15x235x235x1 5d) x22111x21(x11)(x21)11x211x21x2x215x111 5 520.Descompn en fracciones simples:a)1x224b)2x21x213x24 c)3x12x213xa) Ax221x2245Bx1255 A(x12)1B(x22)(x22)(x12)Luego:15A(x12)1B(x22)si x 52: 154A A51/4si x 522: 1524B B521/4Con esto: 1x22451/4x221/4x122b) 2x21x213x2451/5x219/5x141c) 3x12x213x 52/3x7/3x131Tipo IV. Operaciones con otras expresiones algebraicas21. Sea P(x)5x221 y Q(x)52x22x12, halla:a) P(x)22Q(x)b) P(x)Q(x) c) Q(x)22P(x)a)3x212x25 b) 2x11x12c) x12x22.Para los mismos P(x) y Q(x) halla:a)(P(x)1P(x))2 b) (P(x))21x2?Q(x)c) (P(x)2Q(x))(P(x)1Q(x))a) (x11)2 b) 12x3c)22x31x214x2323.Halla:a)(2x2 x)2b) 2(4x23 x)2( x 23)2 c)1x1x 12xxx22a)4x224x x1x b) 7x 2 9c) x2 xx224.Dadas las expresionesx2x11xE(x)5 yx1x21xF(x)5 halla:a) E(1), F(1), E(4) y F(4) b) E(x) ? F(x) a)E(1) 50, F(1) no denido, E(4) 52/5; F(4) 52b) E(x) ? F(x) 5xx1125. Racionaliza las siguientes expresiones:a)xx11b)x1112xc)x2x21xMatemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomios y fracciones algebraicas0320a)x(x11) x b) x212x2112 xc)x1 x(x21)Tipo V. Aplicaciones26. Expresa algebraicamente:a)Cuatro veces x menos su dcima parte.b)El producto de dos nmeros consecutivos vale 462.c)El precio de una entrada de cine es x ms el 6 por 100de IVA aplicado sobre x.d) El cuadrado de la diferencia entre x e y, ms el dobledel cuadrado de x.a)x104x2 b) x ? (x 11) 5462c)6100P5x1 xd) (x 2y)212x227. La altura de un cohete viene dada por la expresinh(t)550t25t2, donde t viene dado en segundos y h(t) enmetros.a)Qu altura alcanza el cohete al cabo de 1, 2 y 5segundos?b)Yal cabode10segundos?Cmointerpretas esteltimoresultado?a)h(1)55025545 m; h(2)5100220580 m; h(5)525021255125 m.b)h(10) 50. El cohete ha cado.28.El coste total, en euros, de la produccin de x unidadesde un determinado producto viene dado por la expresinC(x)5100 x11000)2. Halla:a)El coste de producir 16, 100, y 400 unidades. A cuntosale la unidad en cada caso?b)Determina la expresin que da el coste por unidadcuando se fabrican x unidades.a)C(16)5100 161100051400 . Cada unidad sale a 1400/16587,5 C(100)5100 1001100052000 . Cada unidad sale a 2000/100520 C(400)5100 4001100053000 . Cada unidad sale a3000/40057,5 b)El coste unitario es igual al coste total entre el nmero x de unidades fabricadas. Esto es:x100 x11000xC(x)5 c(x)529. Halla la expresin que da la supercie de un tringuloissceles de permetro 8 cm en funcin de la base x. Cal-cula el valor de esa rea cuando x53.Seaeltringulodelagura,dondecadaunodeloslados iguales vale y.Como su permetro vale 8 2y 1 x 5 8 82x2y5Por Pitgoras: x2y25h21

2

x24h5 y22Sustituyendo el valor de 82x2y5

x2464216x1x24h5 2 5 1624xEl rea del tringulo es x?h2A5. Sustituyendo h por su valor, x 1624x2A(x)5 5 4x22x3Para x 53, el rea valeA(3)5 4?922753 cm2.30.Una piscina rectangular est rodeada por un pasillo enlo-sado de 1,5 m de ancho. Si la piscina es 10 m ms larga queancha, halla:a)La expresin que da el rea del rectngulo que delimitala piscina.b)La expresin que da el rea del pasillo enlosado.La situacin es como la que se muestra en la gura.a)A(x)5(x113)(x13)5x2116x139b) El rea del pasillo es la diferencia entre el rectngulo de fuera menos el rectngulo de la piscina.P(x)5(x113)(x13)2(x110)x55x2116x1392x2210x56x13931. Expresa (en funcin del primero de ellos) el producto detres nmeros positivos cuya suma es 60 y tal que el segun-do sea doble del primero.Sean x, y, z los nmeros.Se sabe que y52x; y que x 1y1z 5603x 1z 560 z 56023xEl producto de los tres nmeros es:P5xyz 5x ? 2x ? (6023x) 526x31120x232. En la pared lateral de una buhardilla se quiere poner unpanel rectangular como el que se muestra en la Fig. 3.3.Determina la supercie de dicho panel en funcin del ladox de la base.La supercie del panel es S5x (y11). Ver gura.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomios y fracciones algebraicas03Fig. 3.1.hxyFig. 3.2.x110x113x13 x1,5Fig. 3.3.1 m2,80 m6 mx21Por Tales: 62xy61,805 1,80(62x)6y5Por tanto: 1,80(62x)6S(x)5x? 11 52,8x20,3x2

10 cuestiones bsicasEstas10cuestionesdebescontestarlas,aproximadamente,en10 minutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un poco ms.1.Expresa algebraicamente:a)La mitad de x ms el cuadrado de y.b)La velocidad es el espacio partido por el tiempo.c)La mitad de la suma de B y b, por h. (rea de un trapecio.)a) x21y2;b) etv5;c) B1b2?h2.Halla: (2x23)22(2x14)? (2x24)212x 1183.Simplica2x216x2xx 134.Halla

2312x11 ? 22x1432 x225312x15.Halla el resto y el cociente de la divisin (x322x11):(x23)C(x)5x213x17; r 522.6.Calcula el valor numrico de P(x)52x329x12 para x 5 21y x 5 2. Puedes dar un factor de P(x) de la forma x2a?P(21) 59; P(2) 52. No, no tiene races enteras.7.Sin resolver la ecuacin de segundo grado asociada al po-linomio Q(x)5x217x, halla sus races.0 y 278.La expresinC(x)5x11000 10x1100xda el coste (eneuros) por unidad fabricada de un determinado producto,cuando se fabrican x unidades de l. A cunto sale la uni-dad cuando se fabrican 10000 unidades?11,1 9.Halla la expresin que da la supercie de un tringuloequiltero en funcin del lado x. 34x210. Halla un polinomio de segundo grado que tenga por racesx521 y x522.x213x12Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroPolinomios y fracciones algebraicas0322b) 2x1y52x2y51{2x1y523x53{E21E1El sistema es compatible determinado.c) x22y5324x18y5212{x22y53050{E214E1El sistema es compatible indeterminado.5.Sea el sistema4x1by5522x1y54{, calcula los valores que debetomar b para que el sistema sea:a) Compatible.b) Incompatible.a)Para que el sistema sea compatible determinado los coe-cientes de las incgnitas no han de ser proporcionales,luego:422b1 b22 .b) El sistema ser compatible indeterminado si422b1545 5,lo que nunca podr cumplirse.6.Halla la solucin dey21x25160x2y58{Despejando x en la segunda ecuacin y sustituyendo en la pri-mera: y21(y18)25 160 2y2116y2 965 0 y 5 212 ey 5 4, que dan para x los valores x524 y 12 respectivamente.Problemas propuestosTipo I. Ecuacin de primer grado y problemas relacionados1.Expresa mediante una ecuacin las siguientes relaciones:a)La suma de un nmero par, su anterior y su posteriorvale 60b)La suma de tres nmeros impares consecutivos vale213.c)El cuadrado de la suma de dos nmeros es igual al doblede su suma.a) 2n12n2212n12560 6n560b)2n2112n1112n135213 6n135213c)(a1b)25 2(a1b)2.Escribe una ecuacin lineal que no tenga solucin. Y otraque posea innitas.Sin solucin: x 13x 2154x 12Indeterminada: 22x 151 x 562x 21 (es una identidad)3.Resuelve las ecuaciones :a)1x142x1152 b)2(x12)3x21423x1165a)1x142x11522(x14) 5 2x21 x523Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas04Actividades1.De la ecuacin x21bx1c 50 se sabe que la suma de susraces es 2 y su producto 23. Encuentra dichas races y loscoecientes b y c.Planteamos las ecuaciones:b152 2c1523

b522, c523.As que la ecuacin propuesta es x222x2350, cuyas solu-ciones son 3 y 21.2.Resuelve la ecuacin 2x2112 x223522x2112 x22352

2x2115 x22312 2x2115x22314 x223x254 x223 x4516(x223) x4216x214850, ecuacinbicuadrada que se resuelve haciendox25t, t2216t14850 t54 y t512 x562 y x56 12562 3 3.Resuelve las ecuaciones:a) x223x24x21150b)xx111112x53xc) xx111253x11xa) x223x24x21150 se verica si el numerador es cero:x223x2450, que resuelta da por soluciones x5 21 y x5 4,ambas aceptables.b)Quitamos denominadores en la ecuacin, quedando:x (12x)1x 1153(x 11)(12x) 2x2x2115 23x 213 2x212x 225 0, ecuacin que nosaporta las soluciones x5 216 52

c)Operando:xx113x11x11125 53x12x113x11x5

23x 21 2x 5 3x 214x 1 1 2x5 21 x5 21/2.4.Discute, sin llegar a resolver, la compatibilidad de los sis-temas:a) 4x22y52122x1y55{ b)2x1y52x2y51{c)x22y5324x18y5212{Transformamos cada uno de los sistemas por el mtodo dereduccin:a) 4x22y52122x1y55{4x22y521053 2E21E1{El sistema es incompatible.23El primer coche que sali de Sevilla, ha circulado durante 2horas y 20 min, o sea, 2113h 573h y ha recorrido 90?735210 kilmetros.El segundo coche ha recorrido esos mismos kilmetros en 2horas, luego su velocidad ha sido:21025105 km/h.Tipo II. La ecuacin de segundo grado y problemas afnes9.Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrticas:a)3x21 x 5 0b) 3(x11)25 27c)4x224x 2 35 5 0d) 22(x25)22 8 5 0e) (122x)21 3x 5 2(x12)21 2a)Si sacamos factor comn: x (3x 11)50 x 50o3x 1150,que nos da los valores solucin x 50 y x 5132 .b) Pongamos (x 11)25273 59 x 1156 9563 y nos re-sultan las soluciones, para 13: x 1153 x 52; y para 23:x 11523x 524c)Aplicamos la frmula general:x52(24)6 (24)224?4?352?4546248, es decir,x57 y x525/2.d)Como en el caso b), si despejamos (x 25)2nos queda:822(x25)25 524 lo que es imposible pues el primer miem-bro siempre es positivo. Esta ecuacin carece de solucinreal.e)(122x)213x 52(x 12)212 2x29x 950

x596 153410. Cunto tiene que valer c en la ecuacin 3x215x1c50para que posea dos, una o ninguna solucin?El discriminante de la ecuacin es: D525212c

2512c , tiene 2 soluciones2512c 5 solucin doble2512c . solucin imaginaria11. En x21bx2250, qu tipo de soluciones te vas a encon-trar para cualquier valor de b?El discriminante D5 b218.0 2 soluciones reales12.Qu valor o valores de c hacen que la ecuacin5x222x1c 50 tenga solucin doble?Para que tenga solucin doble: D54220c50 c51/513. Dos operarios realizan una obra en 12 das, trabajandoconjuntamente. Uno de ellos emplea 10 das ms que elotro si trabaja slo. Cuantos das necesita cada obreropara completar la obra en solitario?Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas04b) 2(x12)3x21423x1165quitamos denominadores como ena) quedando: 3x2328x21656x112 x5221/114.Halla la solucin:a)x3x13 5 13b)12x2x 5c)x1255x22a)Como x13 5 2x23 la igualdad es cierta si:x 13 5 x3x50 13o2x 235x318492x52 52 13 b)Anlogamente al caso anterior, de 12x2x 5 deducimosdos ecuaciones :x 512x213x 52x 512x2x521c) Para este caso:x1255x22 x53x125435x22 x5 25.Tres operarios trabajan en total 96 horas semanales en unacadena de produccin. Si el tiempo dedicado por uno deellos a este n son los 3/5 del tiempo empleado por otroy ste los 5/8 del dedicado por el tercero, cuntashorassemanales permanece cada trabajador en la cadena?Llamemos x las horas semanales de trabajo del tercer opera-rio, entonces el segundo dedica58 xy el primero5835x538 x;as que,58 x1x596 2x596 x54838 x1horas. El segun-do operario trabaja 30 h y el primero 18 h.6.Halla tres mltiplos consecutivos de 3, cuya suma sea 54.Si el primer mltiplo de 3 es 3x, el siguiente ser 3x 13 y elsiguiente 3x 16.Imponiendo la condicin de la suma:3x 13x 1313x 16554 9x 55429545x 55. Luego losmltiplos consecutivos son: 15, 18 y 21.7.Se mezclan 50 litros de aceite de girasol de 0,99 /l conaceite de 0,78 /l, obtenindose una mezcla de 0,9 /l.Cuntos litros se han empleado del aceite ms barato? Llamemos x los litros empleados del aceite de 0,78 . El valormonetario de los 501x litros de mezcla es: (501x) ? 0,9 ,que coincidir con el valor, en euros, de los lquidos que lacomponen: x ? 0,78150? 0,99 es decir,(501 x)? 0,95 x ? 0,78150? 0,99 7505 20x x 5 37,5 litros8.Un automvil parte de Sevilla a una velocidad constantede 90 km/h. Veinte minutos despus parte otro coche ensu bsqueda, alcanzndole a las dos horas. A qu veloci-dad circul el segundo coche?24Trabajando solo un operario tardax das y el ms lentox110. En un da, el primero har1xde su trabajo y el segun-do1x110; si trabajan conjuntamente hacen112de obra porda, luego:1x1101x1121 5x1101xx(x110)112512(2x110)55x(x110) 24x11205x2110 x2214x212050ecuacin que resuelta da por soluciones 20 y 26 das, siendovlida nicamente la positiva. As, cada trabajador emplea 20y 30 das en hacer la obra.14.La suma de los cuadrados de la edad actual de un mu-chacho y de la que tendr dentro de dos aos es de 580.Cuntos aos tiene el chico?Si tiene actualmentex aos, dentro de dos tendrx12aos.Las condiciones del problema imponen que x21(x12)25580,que desarrollando, reduciendo trminos semejantes y divi-diendo por 2 nos da la ecuacin:x212x228850, con soluciones x5 218 y x516. La negativano es vlida.15. Dos fuentes llenan un depsito en 6 h y una sola de ellas lollenara empleando 12 h ms que la otra. Cunto tiempotardar cada una en colmar el depsito?Observacin: Este problema es similar al resuelto n. 2, perodar lugar a una ecuacin de segundo grado.Sean x las horas que tarda en llenar el depsito la fuente conmayor caudal. En una hora, cada fuente rellena 1/x y 1/(x 112)del depsito, respectivamente, y las dos conjuntamente, 1/6del mismo; por tanto:1x 11x 112 516Al quitar denominadores nos resulta:6(x 112) 16x 5x(x 112) 6x 17216x 5x2112x x2572 x 56 72 566 2 cuya solucin positiva es lanica admisible, por lo que las fuentes tardarn en llenar eldepsito 6 2

y 6 2

112 horas.Tipo III. Ecuaciones reducibles a cuadrticas, racionales y polinmicas. 16. Resuelve las ecuaciones:a) x2245 12 b) x56 x2c)xx2x2 x 5d) 21x2653xa) x2245 12 x224512 x2516 x564b) x2x56 x265 x (x26)25( x )2

x2213x 13650 que la solucin positiva, nica vlida es x 59c) x5x2x2x, vamos a quitar denominadores y pasamos al primer miembro todos los trminos: 2xx x 5 x 2x( x 1) 5 0 x 5 0 o x 5 1 x 5 1 es la solucinvlida.d)Elevando al cuadrado se obtiene:21x 265(3x)221x 2659x2

Simplicando: 3x227x 1250.Las soluciones son: x 54924?3?2 7665 7665,es decir: x152 yx2513.Ambas soluciones son vlidas, segn puedes comprobar17. Halla la solucin y comprueba los resultados:a) 3x 2151 3x1b) x 13 x 235 2x 23c) 3x 221 12x 2x 215a)Dejamos la raz en el primer miembro y elevamos alcuadrado: 3x215(123x)2.Desarrollando y agrupando:3x215119x226x 9x229x1250que tiene por soluciones x151323y x25 . Slo es admisible1/3 como solucin.b)En2x23 x235x13aislamos la raz en el segundo miem-bro: x2353 x23 (x23)259(x23) x2215x13650cuyas soluciones 3 y 12 son ambas vlidas.c)Elevamos los dos miembros al cuadrado:2x2153x22112x12 (3x22)(12x)

052 (3x22)(12x) 054(3x22)(12x) que nos propor-ciona x51 y x52/3 (sta no es vlida) como soluciones.18.Calcula las soluciones de:a) x429x250b) x428x211650c)2x41x22350d) x423x21250a) x429x250 x2(x229)50 x2(x13)(x23)50 que dalas soluciones x50, x53 y x523b) x428x211650es una ecuacin bicuadrada que haciendox25t, nos queda: t228t 1165(t 24)250 dando por razt 54 y por tanto, x56 4 562c)2x41x22350tambin es bicuadrada por lo que con x25tqueda 2t21t 2350 que proporciona t 51 nica solucinpositiva y x561.d) 36 9282x25 5x56 2 y x561

2119. Halla las races de las ecuaciones:a)(x221)(x213x)50b) x412x32x214x2650c)2x423x31x50a)Si descomponemos en factores los trminos de la ecuacin(x221)(x213x)50 (x11)(x21)x(x13)50x51,x521, x50 y x523 son las soluciones.b)Tanteamos las races dex412x32x214x2650dividien-do por Rufni, que nos da:Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas04251 2 21 4 261 1 3 2 61 3 2 6 023 23 0 261 0 2 0soluciones reales son x 51 y x 523, quedando el polino-mio x21250 que tiene races imaginarias.c) En 2x423x31 x 50sacamos factor comn x: x(2x323x 11)50; el polinomio del parntesis nos da las ra-ces x 51 y x 521/2, que junto a x 50 del factor comntenemos las races de la ecuacin propuesta.2 23 0 11 2 21 212 21 21 01 2 12 1 021/2 212 020.Resuelve:a)124x2x22150b)52x22150 c) x223x12x1150d)223x21412x5 e) x22x11x14x125f)8x2113x2115a)124x2x22150, el numerador debe anularse 124x 50x 51/4b)52x22150, como 50 esta ecuacin nunca puede anularse.c) x223x12x1150equivale a que el numerador se anule:x223x 1250 x 52 y x 51d) Para quitar denominadores, multiplicamos en cruz:223x21412x52212x 512x 24 10x 52 x 51/5e)Multiplicamos en cruz:x14x12x22x115 x2245x215x 145x 528 x 528/5f)Quitamos el denominador: (3x211)(x211)58 3x41 4x21158 3x414x22750; esta ecuacin bicuadrada quecon el cambio habitual x25t nos da como soluciones vli-das en x 5 61.Tipo IV. Ecuaciones de dos incgnitas y sistemas lineales. 21. Resuelve por sustitucin: a) {2x23y526x2y51b)x1y252y11x2y2512x

a)

2x23y526x2y51

2x23y52y56x21

2x23(6x21)52y56x21

216x5223y56x21116x511658y56 2152b)

x1y5222yx2y5222x

x5223y3x2y52 x1y252y11x2y2512x{ x5223y3(223y)2y52

x5223y4210y502545x5223 525y522.Resuelve por reduccin: a) x2y353 1y3521 x2

b) x112y21350 1x1y22251

a) x2y353 1y3521 x2

x2y353 1x21x52

x2y353 143x5

y59225743x5

E21E1b) Si en el sistemax112y21350 1x1y22251

quitamos denominadoresqueda:{3x12y521x1y55y{x521210x1y55{x52112111y55{x5211y516E123E223.Halla el valor de los parmetros a y b en52 x2ay52313 x1ay5b 2

,para que x52, y53 sea solucin del sistema.Sustituyamos en el sistema las soluciones:

523a52313a5b83a523228b582 523224.Aade a la ecuacin 6x22y523 otra ecuacin, de formaque resulte un sistema:a)Determinado. b) Indeterminado. c) Incompatible.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas0426a)Para que el sistema sea determinado aadimos una ecua-cin que tenga coecientes no proporcionales a los de ladada, por ejemplo, x 1y50b)En este caso la segunda ecuacin es proporcional a la pri-mera: 2x 22/3y521c)La segunda ecuacin debe decir algo contradictorio con laprimera: 6x 22y5125. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x1y1z51x2y1z5212x13y24z59

Lo resolvemos por el mtodo de Gauss.x1y1z51x2y1z5212x13y24z59

x1y1z5122y522y26z57E222E1E32E1

x112151x51y51126z57 z521La solucin es: x 51; y51; z 51.26. Resuelve los sistemas: a)2x2y1z534x12y23z511x12y1z51

b)z22x24y12y2z51151x22z53

a)En el sistema2x2y1z534x12y23z511x12y1z51

ponemos en primer lugar la segunda ecuacin yx12y1z5126y27z575y1z521E222E1E424E1

x12y1z51229z5295y1z5216E215E3

y el sistema escalonado nos da las soluciones:x52z521y50

b)En el sistemaz22x24y12y2z51151x22z53

multiplicamos la segundaecuacin por 2 y la cambiamos por la primera quedando:x22z562y2z511z2512x24y1

x22z562y2z51192 z521124y1 E222E1

x22z56z51192 z521124y12E32E2

92z5154207710y5 5

225x574527. Dos nmeros se diferencian en 53 unidades. Al dividir elmayor entre el menor, se obtiene de cociente 2 y resto 21.Calcula cada nmero.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas04Sea el nmero mayor e y el menor. Se cumple:x2y553x52y121

x 585; y53228.Se mezclan dos tipos de pipas de girasol, de 6,6 y 8,7euros/kg, respectivamente, obtenindose 200 kgs. Al se-carse, pierden un 12% de su peso, vendindose el conjun-to a 9,6 euros/kg. Qu cantidad de cada clase de pipasse tena en un principio si el valor de la venta ha sido elmismo?Sean x e y los kilos originarios de cada tipo de pipas.Nos dicen que x 1y5200.Adems, al perderse un 12%50,12 de peso, nos quedar 0,88por cada kilogramo, en total 200? 0,885176 kilos.El valor de esas pipas es: 176? 9,651689,6 .El valor inicial era 6,6x 18,7y .Como son iguales: 6,6x 18,7y51689,6.Se obtiene el sistema siguiente, que resolveremos porsustitucin:x1y52006,6x18,7y51689,6

y52002x6,6x18,7y51689,6

y52002x6,6x18,7(2002x)51689,6

y52002x6,6x28,751689,621740

y52002x22,1x5250,4

y52002xx5 524

50,42,1Se mezclaron, entonces, 24 kg de un tipo e y52002245176kilos del otro tipo de pipas.29. Halla las dimensiones de un rectngulo sabiendo que ellado mayor es53del menor y que si ste aumenta en 2 m larelacin se convierte en32.Sea x el lado mayor e y el menor. Se verica:x 553y en sus dimensiones originales y al aumentar el peque-o en 2 m se cumple que:32x5 (y12).Estas relaciones forman el sistema

x5 y3253x5 (y12),cuya solucin es: x 530 m, y518 m.30.Un cicloturista recorre 87 km en 4,5 h. La primera partede la ruta es cuesta arriba y su velocidad es de 15 km/h,mientras que la segunda parte es descendente y su veloci-dad se eleva a 42 km/h. Halla la longitud de cada tramo.Si denominamos por x los km del tramo ascendente e y los deltramo descendente. La relacin de la cinemtica: espacio5velocidad? tiempo, (e5vt) nos proporciona las relaciones:x 515? t, y542? (t 24,5), pues 4,5 h es el tiempo empleadoen todo el recorrido.Adems, el total de kilmetros establece que x 1y587, luegose tiene el sistema:27

54,52y42x15x1y587x515?ty542?(4,52t)x1y587

14x15y5945x1y587La solucin que proporciona es x 51703km e y5913km31. Discute, segn los diferentes valores de a, el sistema: x356 2y51y251 ax2

El sistema es incompatible si 5 521/3 1/521/26156 aay por tanto determinado si a diferente de 5/6. Nunca serindeterminado.32. Dado el sistema122x13x1by52y5a

, halla a y b para que el siste-ma sea determinado, indeterminado e incompatible.El sistema es incompatible cuando 2131/2ba25 que ocurre sib523/2 y a22/3Determinado es si b23/2, cualquiera que sea el valor de a.33. La suma de las tres cifras de un nmero es 8. Si se cambianla cifra de las decenas por la de centenas, el nmero resul-tante es 90 unidades mayor. Adems, la diferencia entrela cifra de unidades y el doble de la de decenas nos da lacifra de las centenas. Halla el nmero.Sea el nmero xyz, cuyo valor ser: 100x 110y1z. En estascondiciones, pondremos las relaciones entre sus cifras:x 1y1z 58, z 22y5x.Respecto al valor del nmero, las condiciones del enunciadonos dan: 100y110x 1z 5100x 110y1z 190. Estas ecuacio-nes forman el sistema:

x1y1z58z22y5x100y110x1z5100x110y1z190

x1y1z58x12y2z5090x290y5290

x1y1z58x12y2z50x2y521que podemos resolver escalonadamente,resultando:

x1y1z58x2y5215x55, es decir x 51, y52, z 55.El nmero es 125.34.Una empresa ha invertido 73000 en la compra de orde-nadores porttiles de tres clases A, B y C, cuyos costes porunidad son de 2400 , 1200 y 1000 respectivamente.Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y quela cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma quela invertida en los de tipo B, averiguar cuntos aparatos hacomprado de cada clase.Supongamos que el nmero de ordenadores que se compran delas clases A, B y C son x, y, z respectivamente.Cantidad invertida: 2400x 11200y11000z 573000 12x 16y15z 5365N de ordenadores: x 1y1z 555Relacin entre cantidades: 2400x 51200 y 2x 5y. As te-nemos el sistema:

12x16y15z5365x1y1z555 y52x(sustituyendo y 5 2x)

48x110z5730 E1210E23x1z555

18x51803x1z555 x 510, y520, z 52535. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculadosun total de 350 alumnos. El nmero de matriculados enprimer curso coincide con los de segundo ms el doble delos de tercero. Los alumnos matriculados en segundo msel doble de los de primero superan en 250 al quntuplode los de tercero. Calcula el nmero de alumnos que haymatriculados en cada curso.Si el nmero de alumnos de 1, 2 y 3 son x, y, z, respectiva-mente, se tiene:

x1y1z53502x1y55z1250x5y12z

x1y1z53502x1y25z5250x2y22z50

x1y1z53502y27z5245022y23z52350E322E1E22E1z550, y5100, z5200,

x1y1z535011z55502y13z53502E31E236. En la fabricacin de cierta marca de chocolate se emplealeche, cacao y almendras, siendo la proporcin de lechedoble que la de cacao y almendras juntas. Los preciosde cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 ;cacao, 4 ; almendras, 13 . En un da se fabrican 9000kilos de ese chocolate, con un coste total de 25800 .Cuntos kg se utilizan de cada ingrediente?Sean x, y, z los kilos de leche, cacao y almendras, respectiva-mente, que se emplean cada da.Debe cumplirse:x 1y1z 59000x 52(y1z)0,8x 14y113z 525800Queda el sistema:

x1y1z590000,8x14y113z525800x22y22z50

E212E1E324E1

x1y1z5900023,2x19z52102003x518000Despejando x en la segunda ecuacin y sustituyendo en la ter-cera y en la primera ecuacin, se obtiene: x 56000;y52000; Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas0428Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas04z 51000. Se utilizan 6000 kg de leche, 2000 kg de cacao y1000 kg de almendras.Tipo V. Sistemas no lineales. 37. Resuelve el sistema

x y5y5x2y representa grcamentelas soluciones.Lo resolvemos por igualacin:

x y5y5x2

x5x2x x54x42x50 x(x321)50 x 50, x 51Para x 50, y50; para x 51, y51. O sea, los puntos solucinson (0, 0) y (1, 1).38.Resuelve los sistemas:a)y1x6565xy56

b)2x213y2511xy52

c)y2x5x21x21y252

d)x2y54x22y2524

a) y1x6565xy56

x1y556xy56xx5

55 x225x1650,con soluciones x 53 y x 52, lo que induce y52 e y53,respectivamente.b)2x213y2511xy52

, despejamos y52/x en la 2 ecuacin ysustituimos en la 1: 2x2112112x5 2x4211x21125 0,ecuacin bicuadrada que nos proporciona las 4 soluciones,x 562 y x 56 3 /2 y sus correspondientes de y561 ey564/ 3 .c) y2x5x21x21y252

x214x21124x52 y52x21x21(2x21)252

5x224x2150nos da x 51 y x 521/5 como soluciones, induciendo losvalores de y51 e y527/5d) {x2y54x22y2524

x541y(41y)22y2524desarrollando la segunda ecuacin obtenemos, 1618y524y51 x 5539. Las longitudes de la altura y la base de un rectngulo cuyarea mide 20 cm2son dos nmeros enteros consecutivos.Cunto mide la altura?Llamemos x y x 11 las longitudes de los lados del rectngulo,por ello: x(x 11) 520 x21 x 22050 x 54 como nicasolucin aceptable.40.Encuentra las dimensiones de un rectngulo de permetro110 m y rea 700 m2.Designemos por x e y las longitudes de los lados, entoncespuede plantearse el sistema:

2x12y5110xy5700

x1y555xy5700despejamos y en la 1 ecua-cin y sustituimos en la 2: x(552 x)5700 x2255x 170050 x 535, x 520 que inducen los valores de y 520 e y 535.10 cuestiones bsicasEstas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 10 mi-nutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.1.Encuentra tres soluciones de la ecuacin2x15y510 yhaz una representacin grca de la misma.x55y210 tres pares de valores solucin pueden ser: y52,x 50; y51, x 525; y53, x 55.2.Son equivalentes los sistemasx53y2x2125

yy21532x5y22

?No, ya que x 53, y54 es solucin del primer sistema y no loes del segundo.3.Aade una ecuacin al sistemax1y50y521

de modo que re-sulte incompatible.Por ejemplo, una ecuacin contradictoria con la primera:x 1 y 554.Resuelve el sistema{ x22y521y1152x

x22y521y1152x2y2152y21 y50, x521

x52y212y215x5.Encuentra grcamente la solucin del sistemax5211yx1y51

La solucin puede verse es x 50 e y51Fig. 4.1.yx112 21x y 5y 5 x2(1, 1)(0, 0)Fig. 4.2.22 21xy1231 2x 5 1 2 y x 1 y 5 129Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroEcuaciones y sistemas046.Resuelve la ecuacin (x12)(3x21)50.(x 12)(3x 21) 50 3x215x 2250 x 522, x 51/37.Halla las soluciones vlidas de x31x2x250.x31x2x250 x31 x25 x2(x 11) 50 x 521 (x 50 o puedeadmitirse).8.Resuelve la ecuacinx25x.x25x x 52x x 54x2x(4x 21)50x 50 yx 5 1/4 son las soluciones, ambas vlidas.9.Razona si los sistemasx212512y2x2y51

yx212512y2x2y51y53x21

sonequivalentes sabiendo que x5y51 es solucin del primero.No, ya que la tercera ecuacin del segundo sistema no es satis-fecha por x 5 y 5110. Un padre tiene 36 aos y su hija 6. Dentro de cuntosaos la edad del padre ser triple que la de la hija?Si esto ocurrir dentro de x aos, las edades respectivas se-rn: 361 x y 61 x;y la relacin entre ellas, el triple: 361 x 53(61 x).La solucin de esta ecuacin es x 59 aos.30a)Como x2245(x22)(x12) podemos formar la tabla:2` 22 21 2 `x12 2 1 1 1x11 2 2 1 1x22 2 2 2 1(x22)(x12)x112 1 2 1Donde vemos la solucin [22, 21)21 ( x21)2>(21)2x21 >1 x >2;peropara que exista la raz x 21 > 0 x > 1, as que la so-lucin ser: [1, `)>[2, `)5 [1, `)b) ,1 2x123( 2x12)2, 3 2x12 , 9 x,7292225;de nuevo, para que exista el numerador 2x12> 0x >21. As pues, la solucin global es[21, `)>(2`, 7/2) 5 [21, 7/2)8.Halla la solucin grca del sistema2x2y . 15x110y < 30

{2x2y . 15x110y < 30

{2x2y . 1x12y < 6Actividades1.Un vendedor de libros tiene un contrato con una editorial,por el cual percibe 300 euros de sueldo jo ms 90 eurospor enciclopedia que venda. Recibe una oferta de trabajode otra editorial, por la que le ofrecen 140 euros por cadaventa, pero sin remuneracin ja. Cuntas enciclopediasdebe vender para que le convenga, econmicamente, cam-biar de editorial?Si x es el nmero de enciclopedias vendidas, para la primeraeditorial cobra: 300190? x y para la segunda, 140? x. Si que-remos que300190x ,140x esta condicin se cumple si x .300140290562.Halla el conjunto de soluciones del sistema2x13,552x,7

2x13,552x,7

52752,x

22,x ,15232x, 513.Halla la solucin de las inecuaciones:a) x222x23,0;b)2x212x22 21 c)x223< 12d)2x212,a) x,0 b) x> 25c) x> 2/3 d)2x212,

x2.22 x.242.Halla el intervalo solucin de las inecuaciones:a)x3x225x 0. Marcamos en la recta x51 y x52:La solucin es x(2`,21][2, 1`)13. Resuelve:a) x428x2116 < 0 b)2x41x223>0c)x423x212,0 d) x412x32x214x26.0En todos los casos se descompone en factores; hay que obser-var que las tres primeras expresiones son bicuadradas.a) x428x21160 x(2`,21][1, 1`)c)x423x212,0 (x221)(x222),0 x(2 2,21][1, 1 2)d) x412x32x214x 26.0 (x21)(x13)(x212).0 x(2`,23][1, 1`)14.Halla la solucin de:a)23x22Ac>Ac)50,9350,729, suponiendo que los sucesos Ason independientes y por tanto los Ac.b) En este caso, la probabilidad de no sufrir accidente en las7 ocasiones es 0,975 0,478.7.La poblacin estudiantil de un IES se reparte, entre 3 y4 de Secundaria y 1 y 2 de Bachillerato, segn el 32, 30,21 y 17%, respectivamente. Los porcentajes de alumnasen esos cursos son: 52%, 55%, 59% y 64%. Elegido unalumno al azar, qu probabilidad hay de que sea varn?De acuerdo con el diagrama del rbol y designando porH5 {ser varn} y M5 {ser mujer}, tenemosP(H) 5 0,32 ? 0,4810,3 ? 0,4510,21 ? 0,4110,17 ? 0,36 5 0,43598.Del total de vehculos que circulan por una autova, un8% son motocicletas y el resto, automviles. La probabi-lidad de que se pare a repostar, en cierta gasolinera, uncoche es del 5%, siendo del 12% que lo haga una moto.Si en cierto instante est repostando un vehculo, quprobabilidad hay de que sea una moto?Sean M, A y R los sucesos circular enmoto, automvil yrepostar en la gasolinera, entonces la probabilidad pedidase calcula:P(M/R)5 50,1730,08?0,120,08?0,12 1 0,92?0,05Problemas propuestosTipo I: Sucesos. Probabilidad de Laplace1.En una ciudad hay tres peridicos A, B y C. Describe, median-te las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones:a)Ser lector de algn peridico.b)Leer A y C y no leer B.c)Leer slo uno de ellos.d)Leer al menos dos diarios.e)Leer, como mximo, dos diarios.a) Situacin recogida por el suceso unin: ABCb)Leer los diarios A y C y excluir B, se contempla en ACBC.c) Leer slo el diario A o B o C, se expresa por:(ABCCC)(ACBCC)(ACBCC)Actividades1.Halla el espacio muestral de los experimentos:a)Tirar tres monedas. b)Tirar dos dados con seis caras numeradas del 1 al 6.a) E5 {CCC, CCX, CXC, CXx, XCC, XCX, XxC, Xxx}b) Al tirar un dado pueden obtenerse seis puntuaciones: 1, 2,3, 4, 5, 6. Por cada una de ellas, el otro dado proporcionaotras seis, luego el total de resultados es 6? 6 5 36:E 5{(1,1) (1,2) ... (1,6) (2,1)...(2,6)...(6,1)...(6,6)}2.En el experimento de lanzar tres monedas, halla la pro-babilidad de los sucesos A5{sacar ms caras que cruces},B5{sacar al menos una cruz} y C5{sacar como mximodos cruces}.El espacio muestral consta de ocho elementos (ver Ejerciciode aplicacin 1). LuegoP(A) 548 512pues los casos favorables son: CCC,CCX, CXC,XCC.P(B) 5 1 2P(no sacar cruces) 51187825P(C) 578ya que los casos favorables son todos menos XXX.3.En un banco hay dos alarmas A y B. En caso de atraco, la pro-babilidad de que se activen A, B o ambas, es: P(A)50,75,P(B)50,85, P(A>B)50,65. Calcula la probabilidad de que:a)Se active alguna de las dos;b)Se active slo una de ellas;c)No se active ninguna.a) P(AB) 5P(A) 1P(B) 2P(A>B) 5 0,75 1 0,85 2 0,65 5 0,95b) P[(A2B)(B2A)] 5P(A2B) 1P(B2A) 55P(A) 2P(AB) 1P(B) 2P(AB) 55 0,75 2 0,65 1 0,85 2 0,64 5 0,3c) P[(AB)C] 5 12P[(AB)] 5 1 2 0,95 50,054.Si de una urna, que contiene 3 bolas blancas y 4 negras,hacemos tres extracciones con reposicin (volviendo ameter la bola despus de cada extraccin), halla la proba-bilidad de:a) sacar dos blancas solamente; b) sacar, al menos, una blanca;c) sacar ms blancas que negras.a) P(2 blancas exactamente) 53? ? ? 0,315373747b) P(al menos 1 blanca) 5 1 2P(4 negras) 551? ? ? 0,813474747c) P(ms blancas que negras) 55P(3 blancas) 1P(2 blancas y 1 negra) 553? ? ? 0,394373747373737? ? 15.Sabiendo que la probabilidad de los sucesos siguientes es:P(A)50,6, P(B)50,9 y P[(AB)c]50,46, qu se puededecir sobre la independencia de A y B?, de Acy B?Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19152Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19d) Asegurar la lectura de dos diarios, sin excluir el tercero sepone: (AB)(AC)(BC)e) Supone ser lector de uno o de dos diarios como mximo:ABC2 (ABC)2.Escribe el espacio muestral derivado del experimento:repartir al azar tres cartas en tres buzones. Construyeel suceso A5{slo una carta llega a su destinatario} y sucontrario.Los sucesos elementales son 6 y podemos representarlos por:E5{C1(i), C2(j), C3(k)} siendo C1(i}, C2(j), C3(k) introducir la carta1, 2 y 3 en el buzn i, j, k, respectivamente e i, j, k cualquiera delas 6 permutaciones formadas con 1, 2 y 3.A5{C1(1), C2(3), C3(2); C1(3), C2(2), C3(1); C1(2), C2(1), C3(3)} yAcest formado por los otros 3 sucesos elementales.3.Una urna contiene dos bolas blancas y dos negras. Se ha-cen cuatro extracciones con reemplazamiento. Encuentra:a)Los sucesos A: slo ha salido una bola negra; B: lasegunda extraccin es bola negra.b) P(A), P(B), P(AB), P(AB), P(A2B).Si n designa bola negra y b bola blanca.a) A5 {bbbn, bbnb, bnbb, nbbb};B5 {nnnn, nnnb, nnbn, bnnn, nnbb, bnbn, bnnb, bnbb}b) P(A) 5416145 ; P(B) 5816125Como AB5 {bnbb} P(AB) 5116Por tanto: P(AB) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(AB) 55416816116111612 5P(A2B) 5P(A) 2P(AB) 5141163162 54.Un dado numerado de 1 a 6 se ha lastrado de modo quela probabilidad de obtener un nmero es proporcional adicho nmero. Si se lanza una vez, halla la probabilidad deque salga una puntuacin impar.La probabilidad de sacar la numeracin i es P(i) 5k? i, i 5 1,2, ..., 6, ademsP(123456) 5 1 P(123456) 5P(1) 1P(2) 1P(3) 1P(4) 1P(5) 1P(6) 5 1k1 2k1 3k1 4k1 5k1 6k5 1 21k5 1 k5121P(135) 5P(1) 1P(3) 1P(5) 5 12113211521 5921 5375.Se sabe de los sucesos A y B que P(A)52/5, P(B)51/3 yP(AcBc)51/3. Halla P(AB) y P(AB)P(AcBc) 5P[(AB)c] 5 1 2P(AB) 5 1/3 P(AB) 5 2/3Y por la probabilidad de la unin:2/3 5 2/5 1 1/3 2P(AB) P(AB) 5 1/156.Sean A y B dos sucesos tales que:P(AB)53/4, P(BC)52/3, P(AB)51/4.Halla: P(A), P(B) y P(ACB).P(B) 5 1 2P(Bc) 5 1/33/4 5P(A) 1 1/3 2 1/4 P(A) 5 2/3P(ACB) 5P(B2A) 5P(B) 2P(AB) 5 1/3 2 1/4 5 1/127.Son compatibles dos sucesos A y B si se sabe queP(ACBC)1?S porque P(ACBC) 5 1 2P(AB) 1 P(AB) . 0,luego AB, y por tanto son compatibles.8.De una baraja espaola de 40 cartas se eligen al azar, si-multneamente, cuatro cartas. Halla la probabilidad:a)De que se hayan elegido al menos dos reyes.b)De que tres de las cuatro cartas sean del mismo palo.a) Hallemos la probabilidad del suceso pedido recurriendo alsuceso contrario:Con Cm, n designamos las variaciones de m elementos to-mados de n en n:P(al menos 2 reyes) 5 1 2P(0 reyes ) 2P(1 rey) 55C36,4C40,412 24? 5C36,3C40,4536?35?34?3340?39?38?3736?35?3440?39?38?3712 24?4? 5 1 2 0,957 5 0,043b) P(slo 3 del mismo palo) 55C40,45 50,1584?C10,3?C30,14?4?10?9?8?3040?39?38?379.A un Congreso asisten 130 personas, de las que 85 hablancastellano; otro conjunto, ingls y 35, ambos idiomas. Sise escogen 2 personas al azar, qu probabilidad hay deque se entiendan sin traductor?Del enunciado se deduce que 50 personas slo hablan cas-tellano y llamandox las que slo hablan ingls, resulta:50 1 35 1x5 130 x5 45.As, acudiendo al suceso contrario:P(se entiendan 2 personas) 5 1 2P(una slo hable castellanou otra slo ingls) 55013045129122? 57310. Diez personas se sientan en una la de 10 butacas. Calculala probabilidad de que las dos mayores estn juntas.Las diferentes formas de sentarse en un banco 10 personasson las permutaciones P105 10!. Los casos favorables a la dis-posicin P1 P23 4 5 6 7 8 9 10 son P85 8! que se repiten 9veces hasta la disposicin 1 2 3 4 5 6 7 8 P1 P2.Todos estos casos se multiplican por 2, que corresponde alcambio entre P1y P2. Entonces,P(2 mayores juntas) 510!1558!?9?211. Un cartero reparte tres cartas al azar entre tres destinata-rios. Calcula la probabilidad de que, al menos, una de lastres cartas llegue a su destino correcto.El suceso contrario al considerado, es que no se repartaninguna carta correctamente, lo que ocurre en estas dossituaciones:153C3(1) C1(2) C2(3)oC2(1) C3(2) C1(3), siendo Ci(j) introducir lacarta Cien el buzn j. Por consiguiente,P(acertar en al menos una carta) 55 1 2P(no acertar en ninguna) 5 1 2 2/6 5 4/6.12. Se distribuyen tres bolas indistinguibles en dos urnas A y B.a)Escribe todas las conguraciones posibles, esto es: des-cribe el espacio muestral asociado a este experimento.b)Calcula la probabilidad de que la urna A contenga exac-tamente 0, 1, 2 o 3 bolas.a) Si indicamos con a o b cada una de las bolas que hay en laurna A o en la B, respectivamente, el espacio muestral es:E5 {aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb}b) P(0 bolas en A) 5P(bbb) 5 1/8; P(1 bola) 5 3/8;P(2 bolas) 5 3/8; P(3 bolas) 5 1/813. De una baraja de 40 naipes, se extraen dos cartas simult-neamente. Calcula las siguentes probabilidades.a)Sean del mismo palo.b)Una de oros y otra de copas.Utilizaremos la regla de Laplace y el clculo combinatorio:a) P(del mismo palo) 545 5313102

402

b) P(oros y copas) 5 5539101

101

402

14.Se lanzan cuatro monedas simtricas. Cul es la probabi-lidad de obtener al menos dos caras?P(al menos 2 caras) 5 1 2P(0 caras) 2P(1 cara) 55 1 2 1/16 1 4/16 5 1 2 5/16 5 11/16Tipo II. Probabilidad condicionada15. Calcula la probabilidadP(AB)sabiendo que P(A)50,3,P(B)50,5 y P(A/B)50,2. P(AB)5P(B)? P(A/B)50,5? 0,250,1 entonces,P(AB) 50,310,520,150,716. Sean A y B dos sucesos con P(A)50,5, P(B)50,3 yP(AB)50,1. Calcular las probabilidades P(A/B); P(A/AB);P(AB/AB); P(A/AB).P(B)P(A/B)55 5P(A>B) 0,10,313P(A/A>B)55 5P(A>B)P(A>A>B)P(A>B)P(A>B)1P(A>B/A Sc> Sc) S> Sc) Sc> S )]51 2 3 1 2 3 1 2 350,9?(0,1)210,1?0,9?0,11(0,1)2?0,953?0,9?(0,1)250,027c)P(S < S < S )512P(Sc> Sc> Sc)5120,00150,9991 2 3 1 2 321. Un archivador tiene 9 cajones. Una carta tiene una probabi-lidad de 1/9 de estar en el archivador y si est, tiene igualprobabilidad de estar en cualquier cajn de los nueve.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19154a) Cul es la probabilidad de que est en el cajn noveno?b) Abrimos ocho cajones y no est la carta qu probabili-dad hay de que est en el noveno cajn?a) P(est la carta en el 9 cajn) 5P(est en archivador).P(est 9 cajn) 519 ?19 5181b) P(est en el 9 cajn/no est en los 8 anteriores) 55P(est en archivador)51922.Se tira un dado dos veces y se consideran los sucesosA5{sacar suma 7} y B5{al menos una puntuacin es ml-tiplo de 3}. Son A y B sucesos independientes?A5{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} P(A)5636P(A)5 516P(B) 5 1 2P(sacar 1,2,4,5 en los dados) 554646495912? 512 5P(AB) 5P({(3,4),(4,3)})5236 5118 P(A) ? P(B) y los sucesosno son independientes23.Una prueba consta de dos ejercicios. Por aos anteriores,se sabe que aprueban el primer ejercicio el 60% de losalumnos, en tanto que slo lo hacen el 25% en un segundoejercicio. Adems, la probabilidad de aprobar el segundoejercicio habiendo superado el primero es 0,4.a)Qu porcentaje de alumnos aprueban los dos ejercicios?b)De los alumnos que aprueban el segundo ejercicio, quporcentaje aprueba el primero?a) P(aprb.1aprb. 2) 5P(aprb.1) ? P(aprb.2/aprb.1) 55 0,6 ? 0,4 5 0,24b) P(aprb.1/aprb.2) 50,240,25 50,96, 96 %24.Sean A y B dos sucesos tales que P(A)50,40, P(B/A)50,25y P(B)5b. Halla:a) El menor valor posible de bb) El mayor valor posible de ba) Como P(AB) 5P(A) ? P(B/A) 5 0,4 ? 0,25 5 0,1 y AB B,la menor probabilidad de B es 0,1 cuando B A.b) P(AB) 5 0,4 1 b 2 0,1 5 0,3 1b y como el valor mximode la probabilidad es 1 b5 0,7.Tipo III. Probabilidad total25. Para regular la conduccin de agua desde el punto A al B,se dispone de tres vlvulas de funcionamiento indepen-diente. (Fig. 19.1). La probabilidad de que est abiertacada vlvula es 0,9. Halla la probabilidad de que, en unmomento dado, no circule agua de A a B.El agua discurre si las dos vlvulas V2y V3estn abiertas o loest la V1. As,P[(V2>V3)V3)1P(V1)2P(V1>V2> V3)550,9?0,910,920,9?0,9?0,950,981 yP(no discurra agua) 5 1 2 0,981 5 0,01926. Un determinado da, cierto individuo tiene una probabi-lidad0,1 de ir al cine de su barrio y un 0,85 de que seproyecte una pelcula blica en l. Si no va al cine y ve latelevisin, la probabilidad de que emitan una pelcula deese gnero en la TV es 0,05.a)Cul es la probabilidad de que no vaya al cine y vea unapelcula blica?b)Y de que no vea una pelcula blica ese da?Sea C5{ir al cine} y B5{ver pelcula blica}:Sugerencia: Construir un diagrama de rbola) P(CCB) 5P(CC) ? P(B/CC) 5 0,9 ? 0,05 5 0,045b) P(BC) 5P(C) ? P(BC/C) 1P(CC) ? P(BC/CC) 55 0,1 ? 0,15 1 0,9 ? 0,95 5 0,8727. En cierta comunidad, un 20% de sus integrantes est enparo teniendo, de entre ellos, un 10%estudios superiores.De los empleados, el 25% alcanzan ese nivel de estudios.Elegido un individuo al azar, halla la probabilidad de:a)Que est en paro y no tenga estudios superioresb)Que tenga estudios superiores.c)Que teniendo estudios superiores est en paro.Sea P5 {estar en paro} y ES5 {tener estudios superiores}.Sugerencia: Construir un diagrama de rbola) P(PESC) 5P(P) ? P(ESC/P) 5 0,2 ? 0,9 5 0,18b) P(ES) 5 0,2 ? 0,1 1 0,8 ? 0,25 5 0,22c) P(P/ES) 5 P(P>ES) 0,2?0,1 1P(ES) 0,22 115 528.Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente,otra tiene dos caras y la otra est cargada de modo quela probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona unamoneda al azar y se lanza al aire. Halla la probabilidad deque salga cara.Diagrama de rbol:P(Cara) 5131312?13131118? 5 ?11 129. Tres cajas tienen las siguientes composiciones: A5{5 bo-las blancas y 2 negras }, B5{7 bolas blancas y 1 negra}y C5{2 bolas blancas y 8 negras}. Se escoge al azar unacaja y se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calculala probabilidad de que las bolas sean del mismo color.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19Fig. 19.1.AV2V3BV1Fig. 19.2.1/31/31/3m1CXCXCXm2m31/21/21/32/310155P(igual color) 5P(bb) 1P(nn) 551357462716137867132101981079

11?? 1 1 5 0,43230.En cierta oristera recibieron cantidades iguales de rosasy gladiolos, cuyo color es blanco o amarillo. El 60% de losgladiolos es de color amarillo, mientras que el 70% de lasrosas es de color blanco.a)Si elegimos una rosa, qu probabilidad tenemos de quesea de color amarillo?b)Si cogemos dos gladiolos, cul es la probabilidad deque sean de distinto color?c)Qu proporcin de ores son de color blanco?a) P(Amarilla/rosa) 5 0,3b) P(BlancoAmarillo) 1P(AmarilloBlanco) 55 2 ? 0,6 ? 0,4 5 0,48c) P(Blancas) 51212?0,71 ?0,450,5550,55%Tipo IV. Probabilidad Bayes31. Un joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. Laprimera le sirve el 60% de los relojes, de los cuales el0,4%son defectuosos; la segunda, le proporciona el resto,siendo defectuosos el 1,5%. Un da, el joyero, al vender unreloj, observa que ste no funciona. Halla la probabilidadde que el reloj proceda de la primera casa proveedora.Aplicando Bayes:P(1 casa/ reloj defectuoso) 550,6?0,00410,4?0,0150,6?0,00450,93732. Imagina que hay una epidemia de clera. Un sntoma muyimportante de la enfermedad es la diarrea pero este sn-toma tambin se presenta en personas con intoxicacin e,incluso, en personas que no tienen nada serio. La proba-bilidad de tener diarrea teniendo clera, intoxicacin y noteniendo nada serio es 0,99, 0,5 y 0,004 respectivamente.Por otra parte, se sabe que el 2% de la poblacin tieneclera, el 0,5%, intoxicacin y el resto, 97,5%, nada serio.Se desea saber:a)Elegido al azar un individuo de la poblacin, qu pro-babilidad hay de que tenga diarrea?b)Se sabe que determinado individuo tiene diarrea, cules la probabilidad de que tenga clera?Sean D, C, I, N los sucesos que designan, respectivamente:tener diarrea, clera, intoxicacin y nada serio.a) P(D) 5P(C) ? P(D/C) 1P(I) ? P(D/I) 1P(N) ? P(D/N) 55 0,02 ? 0,99 1 0,005 ? 0,5 1 0,975 ? 0,004 5 0,0262b) Por Bayes: P(D/C) 50,02620,2?0,9950,755733. Dos urnas tienen las siguientes composiciones: la primera,7 bolas blancas, 5 negras y 3 verdes y la segunda, 10 blan-cas, 4 negras y 6 verdes. Se traspasa una bola, escogida alazar, de la 1 urna a la 2 y a continuacin se extrae, unabola de esta urna que resulta ser verde. Cul es la proba-bilidad de que la bola traspasada fuera blanca?El traspaso de bola de la 1 a la 2 urna da lugar a las siguien-tes composiciones:A15{11b, 4n, 6v} con probabilidad 7/15A25{10b, 5n, 6v} con probabilidad 5/15A35{10b, 4n, 7v} con probabilidad 3/15, entonces si V es elsuceso extraer bola verde en la segunda ocasin:P(A1/V)5143157/15?6/217/15?6/2115/15?6/2113/15?7/2134.Un bien es producido en tres fbricas diferentes F1, F2 yF3, a razn de 100, 140 y 160 unidades diarias. Adems,se sabe que un 30%, 45% y 20%, respectivamente, de lascantidades producidas son para exportar. Si se elige unaunidad del bien al azar, qu probabilidad hay de que seapara exportar? Sabiendo que es para la exportacin, quprobabilidad hay de que se haya fabricado en F1?El rbol nos ayudar a hallar los trminos de la frmula deBayes:P(Exp)51472025?0,301 ?0,451 ?0,2050,3215P(F1/Exp)5140,31250,3 ?P(F1> Exp)P(Exp)5 50,2435. Los hombres y mujeres que se presentan a cierta oposicinestn en la relacin 3/4. Si un 25% de los hombres y un20% de las mujeres ha suspendido, qu probabilidad hayde que, si se elige al azar una persona suspensa, sea hom-bre?Sean H5{hombre}, M5{mujer} y S5{suspender}. Entonces,por Bayes:P(S) 5P(H) ? P(S/H) 1P(M) ? P(S/M) 53747?0,251 ?0,250,22 yP(H/S)5470,220,2 ?P(H>S)P(S)5 50,5236. Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraeuna bola y se reemplaza por tres de ese color. A continua-cin se saca otra bola y resulta ser blanca. Halla la proba-bilidad de que la bola extrada en la primera ocasin fuerablanca tambin.Segn sea la primera bola extrada tenemos las posiblesurnas:U15{6 bolas b y 6 bolas n} con probabilidad410yU25{4 bolas b y 8 bolas n} con probabilidad610. Es decirMatemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19Fig. 19.3.1/42/57/20F1ExpExpExpF2F30,300,200,45156Luego, por la frmula de Bayes:P(1 b/2 b) 5P(U1/2 b)52512?2512?3513?P(U1)?P(2b/U1)P(U1)?P(2b/U1)1P(U2)?P(2b/U2)15 50,510 cuestiones bsicasEstas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 15 mi-nutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.1.Forma el espacio muestral del experimento consistente entirar un dado y una moneda a la vez.E5 {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1X, 2X, 3X, 4X, 5X, 6X}2.Representa mediante un diagrama de Venn dos sucesos A yB tales que P(A)50,6, P(B)50,5 y P(AB)50,30.3.Para los sucesos del experimento anterior halla.a) P(AB);b) P(AC); c)P(BC);d) P[(AB)C]a) P(A) 5 0,6 1 0,5 2 0,3 5 0,8b) 0,4c) 0,5d) 0,74.Para el mismo experimento halla:a) P(A/B); b) P(B/A)a) P(A/B) 5P(AB)/P(B) 5 0,3/0,5 5 0,6 (son independientes)b) 0,55.Halla la probabilidad deAB sabiendo queP(A)50,4,P(B)50,7 y que A y B son dos sucesos independientes.P(AB) 50,4? 0,750,28 P(AB) 50,410,720,2850,826.Tiramos una moneda tres veces consecutivas. Qu pro-babilidad hay de que salgan dos caras seguidas, pero notres?Casos favorables: CCX, XCC P(CCX, XCC) 5 2/8 5 1/47.Un cajn contiene 6 pantalones y otro semejante, 6 ca-misas a juego de aqullos. Si se elige un pantaln y unacamisa al azar, qu probabilidad existe de que formenpareja?Es como obtener dobles en el lanzamiento de dos dados. Vale1/68.De una baraja espaola de 40 cartas extraemos 3. Halla laprobabilidad de:a)Sacar 3 copas.b) Al menos una copa.a)P(3 copas) 51040939838b) P(al menos 1 copa) 5 1 2P(0 copas) 5304029392838129.Se ha realizado un estudio sobre la relacin entre el taba-co y el cncer de pulmn. La tabla siguiente presenta losresultados obtenidos.Fumadores (F) No fumadores (N) TotalCon cncer (C) 30 10 40Sin cncer (S) 150 210 360Total 180 220 400Halla las siguientes probabilidades:a) P(de tener cncer)5P(C)b) P(F)c)P(de tener cncer si se es fumador)5P(C/F)d) P(de ser fumador si se tiene cncer)5P(F/C)a) P(C)5 40/400 5 0,1b) 180/400 5 0,45c) 30/180 5 1/6d) 30/40 5 0,7510. Construye el diagrama de rbol correspondiente a la tablaanterior. Utilizndolo, determina la probabilidad de serfumador y tener cncer: P(FC).P(FC) 51804003018030400?5 50,075Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroProbabilidad19Fig. 19.4.4/106/10b: U1bbnnn: U26/126/124/128/12Fig. 19.5.A .B0,3 0,30,2BA0,2Fig. 19.6.30180FC F y CCSSN10220130400180400240400?30180157a)P(42,X,71) 55

P , Z , 5P(23,6 , Z , 2,2)542260571260550,986120,000250,9859b)282605P(X,28)5P Z, 5P(Z,26,4)50

c)662605P(X.66)5P Z. 5P(Z.1,2)50,1151

6.En el ejemplo 6, cul sera la altura mxima del 15% delos muchachos de menor altura?El valor dez0tal queX21688

P < Z050,15 resulta ser,aproximadamente,z0521,035 (la media entre los valores 1,03 y 1,04).As, X516828? 1,0355159,72160 cm.7.El 46% de los residentes en cierta localidad son hinchasdel equipo local de ftbol. Elegidos 60 habitantes al azar,qu probabilidad hay de que 35 de ellos sean hinchas delclub local?B(60, 0, 46)3N(276, 386) yP(X535) 5P(24,5,X ,35,5) 50,979820,963350,0165.Problemas propuestosTipo I: Distribuciones de probabilidad1.Una variable aleatoria X toma los valores i 51, 2, ..., 5con probabilidad P(X5 i)5 m ? i. Calcula el valor de m y laprobabilidad P(X,3).La suma de las probabilidades ha de ser la unidad, entonces:m12m13m14m15m51 m51/15Por otro lado, P(X,3) 5P(X51) 1P(X52) 51/1512/15553/1551/52.Construye la distribucin de probabilidad de la mayor pun-tuacin obtenida al lanzar dos dados.La variable puede tomar los valores X51, 2, 3, 4, 5, 6, conprobabilidades:P(X51) 5136, suceso elemental (1,1)P(X52) 5336, sucesos elementales: (1,2), (2, 1), (2,2)P(X53) 5536, sucesos elementales: (1,3), (2, 3), (3,3), (3,1),(3,2)P(X54) 5736, sucesos elementales: (1,4), (2, 4), (3,4), (4,4),(4,1), (4,2), (4,3)P(X55) 5936, sucesos elementales: (1,5), (2, 5), (3,5), (4,5),(5,5), (5,1), (5, 2), (5,3), (5,4)P(X56) 51136, sucesos elementales: (1,6), (2, 6), (3,6), (4,6),(5,6), (6,6), (6, 1), (6,2), (6,3), (6, 4), (6,5)Actividades1.Encuentra la distribucin de probabilidad de la variablealeatoria X que mide la diferencia entre las puntuacionesobtenidas al lanzar dos dados.La diferencia de puntuaciones queda medida por la variableX: 0, 1, 2, 3, 4, 5 que asignando probabilidades a cada valorse tiene:X 0 1 2 3 4 5P(X) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/362.Para una variable X5B(10, 0,2), calcula las probabilidadessiguientes:a) P(X58); b) P(X,9);c) P(3, X 3,35) 5120,999650,000433. De una urna que contiene una bola blanca y 2 bolas negrasse hacen extracciones sucesivas de una bola con reempla-zamiento. Llamamos X alnmero de bolas blancas extra-das.a)Si se hacen cinco extracciones, cul es la distribucinde probabilidad de X? Cunto valen su media y su des-viacin tpica? Cul es el valor de P(X > 2)?b) Si se hacen 288 extracciones, cul es la probabilidadde que salgan ms de 90 bolas blancas?El experimento es de tipo binomial, conP(blanca)135p5 .Para n55, ser13

B5, .Para n5288, ser13

B288, .a)Para la13

B5, , se tiene: P(X5r) 5nr

13

r23

52rP(X50) 550

13

023

5532243P(X51) 551

13

123

4580243P(X52) 552

13

223

3580243P(X53) 553

13

323

2540243P(X54) 554

13

423

1510243P(X55) 555

13

523

051243Media:1353m55? 5.Desviacin tpica:1323s5 5? ? 5103P(X > 2) 5P(X52) 1P(X53) 1P(X54) 1P(X55) 52431312435 58014011011b) La binomial13

B288, se puede aproximar mediantela normal de mediam5288? 59613y1323s5 288? ? 58: N(96, 8).Con esto,P(X.90) 5P(X .90,5), haciendo la correccinde continuidad.As,P(X .90,5) 58PZ . 590,5296

P(Z.20,6875) 50,7549.34.Un tirador de competicin tiene una probabilidad de hacerblanco de 0,8. Efecta dos series de tiradas de 20 lanza-mientos cada una. Halla la probabilidad de que en algunade las tiradas haya conseguido al menos 17 blancos.Matemticas 1 Bachillerato ? Solucionario del LibroDistribuciones de probabilidad20162El nmero de blancos sigue B(20, 0,8) que se aproxima porN(16, 1,79)P(X>17)5 P(X>16,5)5 P(Z>0,28)5 0,3897, as que laprobabilidad pedida es.P(De la unin) 5P(X>17 en la 1 tirada) 1P(X>17 enla 2 tirada) 2P(X>17 en la 1 tirada ) ? P(X>17 en la 2tirada) 50,389710,38972(0,3897)250,627535. En cierta comunidad el porcentaje de individuos con estu-dios medios es del 35%. Elegidos 8 individuos al azar, cal-cula la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluidos)tengan estudios medios, aplicando:a) La distribucin binomial.b) La aproximacin normal a la binomial.Estamos ante una binomial B(8, 0,35), por ello:a) P(X53)1P(X54)1P(X55)50,278610,187510,0808550,5469b)La normal que mejor aproxima la binomial dada esN(8?0,35, 8? 0,35? 0,65 )5 N(2,8, 1,35). EntoncesP(3,X,5) 5P(2,5,X ,5,5) 5P(20,22,Z,2) 55P(Z,2) 2P(Z,20,22) 50,977220,412950,564336. Un Club del Ocio, del que forman parte 65 socios, ha or-ganizado una partida mltiple de ajedrez, contando con lapresencia de un Gran Maestro. La probabilidad de que unsocio se apunte a la partida es del 40%. Averigua cuntostableros han de disponerse si se desea que la probabilidadde que todo el que quiera participar disponga de tablerosea mayor del 90%.La distribucin de socios que se apunten a la partida mlti-ple sigue una B(65, 0,4) que aproximaremos por N(26, 3,95);llamemos n el nmero de tableros disponibles que deseamossatisfagan que:P(X0,9 P(X 0,9n10,5226

.Como P(Z1,283,95n10,5226se cumplirque la probabilidad supera 0,9, as que n > 25,515,1530,6por lo que ser suciente disponer de 31 tableros.10 cuestiones bsicasEstas 10 cuestiones debes contestarlas, aproximadamente, en 20 mi-nutos. Si fallas ms de dos te recomendamos que estudies un pocoms.1.La variable discreta X es tal que P(X50)50,6 y P(X5 a)550,4. Si la media de la distribucin es m52cul es elvalor el valor de a?250? 0,61a? 0,4 a552.Una variable X se distribuye como una B(6, 0,1), calcula laprobabilidad P(X52).P(X52) 50,0984, obtenido de la tabla de la binomial3.Calcula el valor de k para que la funcinf(x)5{ k si 0 , x , 100 en otro casosea de densidad de cierta variable. (Recuerda: El rea pordebajo de la curva debe valer 1.)Como ek dx5[kx] 5010010k? (1020) 51 k51/104.Cita 3 procesos cuyo comportamiento puede ajustarse alas condiciones llamadas normales.a)La altura de un colectivo de personas;b)Los dimetros de los cojinetes fabricados por un torno;c)El ndice de aceptacin de un poltico.5.Si Z es N(0, 1) calcula:a) P(Z,1,52);b) P(Z.20,5)a)0,9357b)0,69156.Calcula elvalor de la probabilidad P(12,X,22) siendo Xuna variable que se distribuye segn una N(17, 5).P(12,X,22) 5P(21,Z,1) 52? 0,341350,68267.Para la N(0, 1) calcula el valor de k tal que:a) P(Z,k)50,8599;b) P(Z,k)50,0287a)1,08b) 21,908.Las calicaciones, X, de un examen eliminatorio han resul-tado distribuirse como una normal N(65, 18). Si la proba-bilidad P(X,k)50,9192 Cunto vale k?

PZ

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