MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 6: Funciones

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    www.apuntesmareaverde.org.es

    Autor:JosGallegosFernndez

    Revisor:JavierRodrigo

    Ilustraciones:JosGallegosFernndez

    MATEMTICASI1Bachillerato

    Captulo6:Funciones

  • MatemticasI.BachilleratodeCiencias.Captulo6:Funciones Autor:JosGallegosFernndezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

    251 Funciones

    ndice

    1.TIPOSDEFUNCIONES.GRFICAS1.1.FUNCIONESRACIONALES

    1.2.FUNCINRAZ

    1.3.FUNCIONESEXPONENCIALESYLOGARTMICAS

    1.4.FUNCIONESTRIGONOMTRICAS

    1.5.FUNCIONESDEFINIDASATROZOS.FUNCINVALORABSOLUTO

    2.OPERACIONESCONFUNCIONES2.1.OPERACIONESBSICAS

    2.2.COMPOSICINDEFUNCIONES

    2.3.FUNCININVERSAORECPROCA

    3.CARACTERSTICASDELASFUNCIONESYSUSGRFICAS3.1.DOMINIO

    3.2.RECORRIDOOIMAGEN

    3.3.SIMETRAS

    3.4.PERIODICIDAD

    3.5.PUNTOSDEINTERSECCINCONLOSEJES

    3.6.SIGNO

    ResumenElconceptodefuncinesbastanteabstracto,loquehacecomplicadasudefinicinycomprensin.Sinembargo,susaplicacionessonmltiplesymuytiles,yaquesirvenparaexplicarmuchos fenmenosqueocurrenencampostandiversoscomolaFsica,laEconoma,laSociologaA pesar de su complejidad a nivel terico, algunas caractersticas queposeen las funciones se entienden fcilmente cuando se representangrficamente, porque resultan entoncesmuy intuitivas, y eso ha sidosuficienteparapoderanalizaryresolvermuchascuestionesenloscursosanteriores en los que hemos estudiado las funciones como tabla de valores, como grfica y con suexpresinanaltica.Eneste,vamosaintentarprofundizarmsendichaspropiedadesycaractersticas,peroestudindolasanalticamente,esdecir,desdelafrmulaquelasdefine,yaplicndolasadistintassituaciones,entrelasque se encuentra la representacin grfica,pero sin tenerquedependerde ella. Tambin vamos areconoceralgunostiposdefunciones,comolasfuncionespolinmicas,raz,logartmica,exponencial,analizandosuspropiedades.

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    252 Funciones

    1.TIPOSDEFUNCIONES.GRFICASRecuerdaque:

    EnterceroyencuartodeESOyaestudiasteelconceptoy lascaractersticasdeunafuncin.Comoesmuyimportante,vamosainsistiryaprofundizarenello.

    Unafuncinesunarelacinentredosmagnitudesdeformaqueaunvalorcualquieradeuna(variableindependiente) le hacemos corresponder, como mucho, un nico valor de la otra (variabledependiente).Paraindicarquelavariable(y)dependeoesfuncindeotra,(x),seusalanotaciny = f(x),queseleeyeslaimagendexmediantelafuncinf

    Esta relacin funcional sepuedeestablecer,muchasveces,medianteunaexpresinmatemticaofrmula,loquenospermitirtrabajardeforma cmoda con ella.Otras veces viene dadamediante una tabladonde aparecen los valores relacionados entre s. En ocasionestenemoslarelacinenformadegrficaYtambinexistenfuncionesquenosepuedenescribirmedianteunaexpresinalgebraica!

    Portanto,sepuedeasemejarconunamquinaquecogeunnmeroylo transforma en otro mediante una serie de operaciones quepodremosdescribirmedianteunafrmula.

    Ejemplos:

    Funcionesconstantes(losnmerosvistoscomofunciones):f(x) = k,paratodox

    f(x) = 2,paratodox,asf(2) = 2; f(0) = 2; f( 3 5 ) = 2;

    Funcinidentidad(transformacadanmeroenlmismo):I(x) = x,paratodox,asI(2) = 2; I() = ; I( 3 5 ) = 3 5 ;

    11'914'3

    161'2914'3

    1)14'3(31)(3)(

    3083

    56

    125

    108

    56

    125363

    56

    1)56(3

    )56(

    56

    21

    1)1(3)1(1

    01

    01)0(3)0(0

    13)(

    22

    2

    2

    2

    2

    fx

    fx

    fx

    existenoquefx

    xxxf

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    253 Funciones

    Existendistintostiposdefunciones,queanalizaremosdespus,segnsealafrmulaquelasdefine:

    TIPO FRMULA

    ALGEBRAICAS

    Polinmicas Polinomio

    Racionales Cocientedepolinomios

    Irracionales Razdeunaracional

    TRASCENDENTES

    Exponenciales Exponencial(variableenelexponente)

    Logartmicas Logaritmo(variablecomoargumentodeunlogaritmo)

    Trigonomtricas Trigonomtrica(variablecomoargumentodeunarazntrigonomtrica)

    DEFINIDASATROZOS VariasfrmulasdependiendodelosvaloresdelavariableLagrficadeunafuncinesellugargeomtricodetodoslospuntosdelplano,paresordenados,enlosque el primer valor corresponde a uno cualquiera de la variable independiente y el segundo a suimagen,esdecir,alqueseobtienealtransformarlomediantedichafuncin:

    {(x,y)x;y = f(x)}

    Serepresentadibujandotodoslospuntosanterioresyunindolosconunalnea,ysehacesobrelosejesde coordenadas (dos rectas perpendiculares: eje de abscisas para los valores que toma la variableindependiente, eje de ordenadas para los valores que toma la variable dependiente, y origen decoordenadas,puntodeinterseccindeambos).Unodelosobjetivosimportantesdeestecaptuloylossiguientesesllegararepresentargrficamentetodotipodefunciones(noexcesivamentecomplejas).

    Ejemplos:

    TIPO GRFICAS

    Polinmicas

    Racionales

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    254 Funciones

    TIPO GRFICAS

    Irracionales

    Exponenciales

    Logartmicas

    Trigonomtricas

    Definidasatrozos

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    255 Funciones

    1.1.FuncionesracionalesUna funcinmonmica es aquella en la que, la frmula que establece la relacin entre la variabledependiente y la independiente es un monomio, es decir, una expresin algebraica en la quenicamenteaparecenproductosenlapartevariable.

    Ejemplos:

    Funcinidentidad:I(x) = x

    Funcinpolinmica:f(x) = 3x2

    Volumenesferarespectoalradio:3

    34)( rrV

    Un caso particular de funcinmonmica es la funcin potencial, aquella en la que la frmula queestablecelarelacinentrelasvariablesesunapotenciadeexponentenatural.

    Ejemplos:

    Funcinidentidad:I(x) = x = x1

    f(x) = x3 readelcuadradorespectodellado:A(l) = l2

    Una funcin polinmicaes aquellaen laque, la frmulaqueestablece la relacinentre la variabledependienteylaindependienteesunpolinomio,esdecir,unasumademonomiosnosemejantes.

    Ejemplos:

    p(x) = 2x + 1

    MRUA(Movimientorectilneouniformementeacelerado):

    e t t t 2352

    reatotaldeuncilindrodealtura1respectoalradio:A(r) = 2r2 + 2r

    Actividadesresueltas Mediantelafuncinanteriorquerelacionaelreadeuncuadradoconsulado,calculaelreadeun:

    Cuadradodelado1cm: A(1) = 12 = 1 A = 1 cm2.

    Cuadradodelado05m: A(05) = 052 = 025 A = 025 m2.

    Cuadradodelado 5mm: A( 5 ) = ( 5 )2 = 5 A = 5 mm2.

    Quotrasfrmulasdereasovolmenesdefigurasconocesqueseanfuncionespolinmicas?:

    readelostringulosdebase3cmenfuncindelaaltura: hA h h 3 32 2

    (monmica)

    readelosrectngulosdealtura4menfuncindelabase: A b b b 4 4 (monmica)

    readelostrapeciosdebases6y8dmenfuncindelaaltura: hA h h 6 8 72

    reatotaldelconodegeneratriz5mmenfuncindelradio: A r r r 2 5 (polinmica)

    Volumendelapirmidecuadrangulardealtura7menfuncindellado: V l l l 2 21 773 3

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    256 Funciones

    Actividadespropuestas1. Realizaunatabladevaloresyrepresentalafuncinidentidad.

    2. Calculalasimgenesdelosnmeros ; ; ; ; ; ; 1 33 0 1 2 102 2

    porlafuncinf(x) = x2 + 2x 3

    Recuerdaque:

    Como casosespecialesdentrode las funcionespolinmicas, seencuentran las funcionesafinesy lascuadrticasqueseestudiaronencursosanteriores:

    Unafuncinafnesunafuncinpolinmicadegradomenoroigualqueuno:y = f(x) = mx + n.Surepresentacingrficaesunarecta,supendienteeselcoeficientelder(m)eindicalainclinacindelamisma(siespositivolarectasercrecienteysiesnegativodecreciente)ysuordenadaenelorigen(n)eseltrminoindependiente,quenosproporcionaelpuntodondelarectacortaalejedeordenadas.

    Ejemplo:

    GRFICA f(x) = 3x 1(polinomiodeprimergrado)

    x 2 1 1/2 0 1

    f(x) 3 1 0 1 3

    (2,3) (1,1) (1/2,0) (0,1) (1,3)

    Pendiente:3 rectadecreciente

    Ordenadaenelorigen:1 (0,1)puntodecortedelarectaconelejedeordenadas

    Casosparticularesdefuncionesafinesson:

    Funcinconstante(rectahorizontal):esaquellaquesiempretoma elmismo valor para todos los valores de la variableindependiente(lapendienteesnula):f(x) = n.

    Ejemplos: Grficasdef(x) = 3; f(x) = 1; f(x) = 0; f(x) = 2.

    Portanto, larectanotiene inclinacin,esdecir,esparalelaalejedeabscisas.

    ObservaqueLaecuacindelejedeabscisasesy = f(x) = 0.

    Funcin lineal o de proporcionalidad directa: es aquella quetiene ordenada en el origen igual a 0 (pasa por el origen decoordenadas),esdecir,esmonmicadegrado1:f(x) = mx.

    Ejemplos: Grficasdef(x) = 3x(yeseltripledex);f(x) = 2x(yeselopuestodeldobledex);I(x) = x(funcinidentidad:yesigualax).

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    257 Funciones

    Unafuncincuadrticaesunafuncinpolinmicadesegundogrado:y = f(x) = ax2 + bx + c.

    Lagrficadeestetipodefuncionessellamaparbola.

    Sielcoeficientelderocuadrticoespositivo(a > 0),laparbolaestabiertahaciaelejeYpositivo(convexa).

    Sielcoeficiente lderocuadrticoesnegativo(a < 0),la parbola est abierta hacia el eje Y negativo(cncava).

    Losotroscoeficientesdelpolinomioafectanalaposicinqueocupalaparbolarespectoalosejes.

    Enunafuncincuadrticahayunaramaquecreceyotraquedecrece.Elpuntodondeseproduceesecambio se llamavrtice yeselmayor (mximo)omenor (mnimo) valorque toma la funcin.Eselpuntomssignificativoenunaparbolay,poreso,esimportantesabercalcularlo.Paraello,ledamosa

    lavariableindependienteelvalorbxa

    2

    ,ylosustituimosenlafuncinparacalcularsuimagen.Dicho

    valor es fcil de recordar: es lomismo que aparece en la frmula de las ecuaciones de 2 gradoquitndolelarazcuadrada.

    Ejemplo: GRFICA

    polinomio 2 grado

    y x x 2 6 5

    x 3 1 5 0 6

    f(x) 4 0 0 5 5

    (3,4) (1,0) (5,0) (0,5) (6,5)

    Coeficientelder:1>0 parbolaconvexa

    Vrtice:

    a 1b 6

    b 6x 3 y 4

    2a 2(3,4)

    Ordenadaenelorigen:5 (0,5)puntodecorteconelejedeordenadas.

    Puntosdeinterseccinconelejedeabscisas:(1,0)y(5,0)

    2 56 36 20 6 40 6 512 2

    x x x

    y = 2x2 + x 3 2 > 0

    y = 2x2 + 4x

    2 < 0

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    258 Funciones

    Lasfuncionespolinmicasdegradomayorquedossonmscomplejasdedibujar,aunque lasgrficastambintienencaractersticasllamativas:

    Una funcin racional es aquella en la que, la frmula que establece la relacin entre la variabledependientey la independienteesunaexpresinracionalofraccinalgebraica,esdecir,unadivisindedospolinomios.

    Ejemplos:

    Funcindeproporcionalidadinversa: f xx

    1 tg t

    t

    11 xh x

    x

    3

    22

    4

    Recuerdaque:

    Cuando los polinomios que forman la fraccin algebraica son, como mucho, de grado 1 (el deldenominadorobligatoriamente),lagrficadelafuncinesunacurvallamadahiprbola.

    Ejemplo: GRFICA

    Lagrficadelafuncindeproporcionalidadinversaes:

    x 3 2 1 1/2 1/5 1/5 1/2 1 2 3

    f(x) 1/3 1/2 1 2 5 5 2 1 1/2 1/3

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    259 Funciones

    1.2.FuncinrazUnafuncinrazesaquellaenlaquelavariabledependientesecalculahaciendounarazalavariableindependiente.

    Ejemplos:

    f x x g t t 3 h t t 4 j x x 5 Esimportanterecordarquelarazesunaoperacinuntantoespecialpuestoquenosiempresepuedeobtener,porejemplocuandoelradicandoesnegativoyelndicepar.Lafuncinrazcuadradatieneunnicoresultadoreal,elqueasigna lacalculadora(noconfundircon lassolucionesdeunaecuacindesegundogrado,quesondos).

    Grficamente,loanteriorsetraduceen:

    RACESDENDICEPAR RACESDENDICEIMPAR

    f x x

    f x x

    f x x 3

    f x x 3

    Actividadespropuestas3. Copiaentucuaderno lassiguientesgrficasdefuncionese indicasiel ndiceesparo imparen las

    representacionesdelassiguientesfuncionesraz:

    FUNCINNDICE

    FUNCINNDICE

    Par Impar Par Impar

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    260 Funciones

    1.3.FuncionesexponencialesylogartmicasUnafuncinexponencialesaquellaen laque lavariabledependientesecalculaelevandounnmeroconocidoalavariableindependiente.

    Actividadesresueltas Silacantidaddebacteriasdeunadeterminadaespeciesemultiplicapor1,4cadahora,podemosescribir lasiguientefrmulaparacalcularelnmeroydebacteriasquehabralcabodexhoras(comenzandoporunasolabacteria):y=f(x) = 14x.

    Nmerodebacteriasencadahora(Tabladevaloresdelafuncin):

    Horastranscurridas(x)

    Nmerodebacterias(y)

    0123456...

    114196274384538753...

    Grficadelafuncin

    Observaqueenesteejemplonosehadadoa laxvaloresnegativos,yaquenotienesentidounnmerodehorasnegativo.En lasfuncionesexponencialesengeneral,lavariable independientespuedetenervaloresnegativos,perosusimgenessiempresonpositivas.

    Actividadespropuestas4. Realizaen tu cuadernouna tablade valores y la grficaparaun caso similar, suponiendoqueel

    nmerodebacteriasseduplicacadahora.

    5. Vuelvearepetirotravezelejercicioanteriorsuponiendoqueelnmerodebacteriasquedadivididopor2cadahora.

    Observarsque,enelprimer caso, los valoresde yaumentanmuchomsdeprisa yenseguida sesalen del papel. Mientras que los valores de x aumentan de 1 en 1 los valores de y se vanmultiplicando por 2. Esto se llama crecimiento exponencial. En el segundo caso, como en lugar demultiplicarsetratadedividir,tenemosundecrecimientoexponencial.

    6. Entucuaderno,representaconjuntamentelasgrficasdey=f(x) = x2.(funcinpotencial)yf(x) = 2x.(funcin exponencial), con valores de x entre 0 y 5.Observa la diferencia cuantitativa entre elcrecimientopotencialyelcrecimientoexponencial.

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    261 Funciones

    Distintasfuncionesexponenciales:Lasgrficasde las funcionesexponenciales f(x) = axsediferenciansegnelvalorde labasea:Sondistintassi0

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    262 Funciones

    Actividadespropuestas

    7. Utilizandolacalculadora,hazentucuadernounatabladevaloresyrepresentalasfuncionesf(x) = exyg(x) = e-x.

    8. Unapersonahaingresadounacantidadde5.000eurosaintersdel2%enunbanco,demodoquecadaaosucapitalsemultiplicapor102.a. Escribeentucuadernounatabladevaloresconeldineroquetendrestapersonaalcabode1,

    2,3,4,5y10aos.

    b. Indicalafrmuladelafuncinqueexpresaelcapitalenfuncindelnmerodeaos.

    c. Representa en tu cuaderno grficamente dicha funcin. Piensa bien qu unidades debersutilizarenlosejes.

    9. Un determinado antibitico hace que la cantidad de ciertas bacterias semultipliquepor1/3cadahora.Silacantidadalas9delamaanaesde10millonesdebacterias:(a)Hazuna tabla calculandoelnmerodebacteriasquehay cadahora,

    desdelas3delamaanaalas12demedioda(observaquetienesquecalculartambinhaciaatrs).

    (b)Representagrficamenteestosdatos.

    Funcinlogaritmo:En captulos anteriores ya hemos estudiado los logaritmos, pero ahora vamos a estudiar la funcinlogartmica.

    Unafuncinlogartmicaesaquellaenlaquelavariabledependientesecalculahaciendoellogaritmo,enunabaseconocida,delavariableindependiente.

    Ejemplos:

    Funcinlogaritmo:

    f(x) = log(x)

    Funcinlogaritmoneperiano:

    g(x) = ln(x)Funcinlogaritmodebase

    12:

    h(t) = log05(t)

    Hayunafuncindistintaparacadavalordelabasea.

    CultivodelabacteriaSalmonella

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    263 Funciones

    Latabladevaloresylagrficadelafuncin xy 2log sonlassiguientes:

    x x2log 01050712345...

    3310050010162023...

    Latabladevaloresylagrficadelafuncin xy 21log sonlassiguientes:

    x x21log 01050712345...

    3310050010162023...

    Observaque:

    Lasgrficasdef(x) = loga(x)yg(x) = log1/a(x)sonsimtricasrespectodelejeOX:

    Relacinentrelasfuncionesexponencialylogartmica:Segn ladefinicindel logaritmotenemos lasiguienterelacin:y = loga(x) x = ay.Portanto, llevanintercambiadoellugardelaxylay.

    Enconsecuencia,sipartimosdeunnmeroyleaplicamoslafuncinlogartmica,yluegoalresultadoleaplicamoslafuncinexponencialvolvemosalnmerodepartida.Lomismoocurresiprimeroaplicamoslafuncinexponencialydespuslalogartmica.

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    264 Funciones

    Ejemplo:

    Partiendodelnmero3,utilizandolacalculadoraaplicamosunafuncinlogartmica:log53=06826(recuerdalafrmuladecambiodebase).Siacontinuacinaplicamoslafuncinexponencial:506826

    =3yobtenemoselnmerodelprincipio. Hacindolo en sentido inverso, partiendo del nmero 3 aplicamos primero una funcinexponencial: 53 = 125. A continuacin aplicamos la funcin logartmica: log5125 = 3 y tambinhemosobtenidoelnmerodelprincipio.

    Grficamente,lapropiedadanteriorsetraduceenquesusgrficassonsimtricasrespectoalabisectrizdelprimerytercercuadrantes.

    Estosedebeaquesielpunto(a, b)esdelagrficadeunadeellas,elpunto(b, a)pertenecealagrficadelaotra.

    Ejemplos:

    Actividadresuelta Representalafuncinf(x) = log2(x)usandounatabladevalores.Acontinuacin,apartirdeellaysincalcularvalores,representa lasfuncionessiguientes:g(x) = 2x,h(x) = log1/2(x)y,utilizandotambing(x) = 2x,representak(x) = (1/2)x.

    Solucin:

    Porlasimetrarespectoalabisectrizdelprimercuadrante:

    PorlasimetrarespectoalejeOX:

    PorlasimetrarespectoalejeOY:

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    265 Funciones

    Actividadespropuestas

    10. Representaentucuaderno,mediantetablasdevalores,lasgrficasdelassiguientesfunciones:a) ( ) logf x x 3 b) /( ) logf x x 1 3 c) ,( ) logf x x 1 5

    Compruebaqueentodosloscasospasanporlospuntos(1,0),(a,1)y(1/a,1),dondeaeslabase.

    11. Identifica las frmulas de las siguientes funciones a partir de sus grficas, sabiendo que sonfuncioneslogartmicas:

    a) b)c) d)

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    266 Funciones

    1.4.FuncionestrigonomtricasEnelcaptulodeTrigonometrahemosestudiadolasrazonestrigonomtricasysuspropiedades,ahoravamosaestudiarlasfuncionestrigonomtricas.

    Unafuncintrigonomtricaesaquellaenlaquelavariabledependientesecalculaaplicandounarazntrigonomtricaalavariableindependiente.

    Lasfuncionessenoycoseno:Estasdosfuncionesseincluyenenelmismoapartadoporquesonmuyparecidas.

    Sugrficaeslallamadasinusoide,cuyonombrederivadellatnsinus(seno).

    Yasabesqueen losestudiosdeMatemticassesueleutilizarcomounidadparamedir losnguloselradin. Por tanto es necesario conocer estas grficas expresadas en radianes. Las puedes obtenerfcilmenteconlacalculadora.Fjateensussimilitudesyensusdiferencias:

    Grficadelafuncinf(x) = sen x

    Grficadelafuncinf(x) = cos x

    Yasabescuntovale,=3,14Tenloencuentaaldibujarlasgrficas.

    Puedes observar que ambas funciones tienen lamisma grfica pero desplazada en2radianes en

    sentidohorizontal.Esdecir:sen (x + /2) = cos x

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    267 Funciones

    Lafuncintangente:Estafuncinesdiferentealasotrasdos.Poresaraznlapresentamosseparadamente.

    Recuerdaque:

    Comorazonestrigonomtricas:tg x = sen x / cos x.Grficadelafuncinf(x) = tg x

    Recordemosquenoexistelatangenteparalosngulosde/2,3/2,5/2puesparaesosvaloresseanulaeldenominador.

    Lafuncincotangente:Recuerdaque:

    Comorazonestrigonomtricas:cotg x = 1 / tg x = cos x/ sen x.Grficadelafuncin f(x) = cotg x

    Recordemosquenoexistelacotangenteparalosngulosde0,,2,3puesparaesosvaloresseanulaeldenominador.

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    268 Funciones

    Lasfuncionescosecanteysecante:Estasdosfuncionesseincluyenenelmismoapartadoporquevuelvenasermuyparecidas.

    Yasabesquecomorazonestrigonomtricas:cosec x = 1/sen x y sec x = 1/ cos x.Grficadelafuncinf(x) = cosec x

    Recordemosquenoexistelacosecanteparalosngulosde0,,2,3puesparaesosvaloresseanulaeldenominador.

    Grficadelafuncinf(x) = sec x

    Recordemosquenoexistelasecanteparalosngulosde/2,3/2,5/2puesparaesosvaloresseanulaeldenominador.

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    269 Funciones

    1.5.Funcionesdefinidasatrozos.FuncinvalorabsolutoUnafuncindefinidaa trozosesaquellaen laque la frmulaqueestablece larelacinentre lasdosvariablesnoesnica,sinoquedependiendodelosvaloresquetomelavariableindependiente,losdelavariabledependientesecalculanenunauotrafrmula.

    Piensaenlasiguientesituacin:Paralatarifadeuntelfonomvilsepagaunfijode10almesyconesosongratislos500primerosminutos.Apartirdeall,sepagaa5cntimosporminuto.

    Esevidentequeesdiferenteelcomportamientoantesde500minutosydespus.Paravaloresmenoresque500,elgastoessiempre10;paravaloresmayores,losminutosquegastamosporencimade500son (x500)y,por tanto, loquepagamosporesosminutoses005(x500),pues lomedimoseneuros,mslos10quepagamosdefijo.

    Analticamente: Grficamente:

    ' ,

    ,x x

    f xx

    10 0 05 500 50010 500

    Otrosejemplos:

    Funcinvalorabsoluto:

    si

    si x x

    f x xx x

    00

    si

    si si

    x xg x x x

    x x

    2

    3 11 1 3

    2 2 3

    si

    si

    si

    t t

    h t ttt t t

    2

    21 2 1

    2 2 1

    Actividadespropuestas12. Representagrficamentelafuncinvalorabsoluto.13. Representalassiguientesfuncionesatrozos.Seindicanlospuntosquetienesquecalcular.

    a) x si x

    f(x) x si x si x

    2 1 42 4 05 0

    Puntos: ; ; ; ; ; ; ; 1 36 4 0 2 0 1 42 2

    b)

    si xx

    g(x) x si x

    x si x

    1 3

    3 2

    2

    Puntos: ; ; ; ; ; ; ; 1 95 3 0 2 0 2 42 4

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    270 Funciones

    14. Funcionesdeofertaydemanda:Losdatosde la tabla indicanen laprimera fila, losprecios,eneuros,porsacodenaranjas,enlasegundafila,lascantidadesdemandadasdenaranjasporsemanas,yenlatercerafila,lascantidadesofrecidas:

    Precioporsaco(euros) 8 6 4 2

    Cantidaddemandada(milesdesacosporsemana) 50 100 200 400

    Cantidadofrecida(milesdesacosporsemana) 300 250 200 100

    a) Dibujaunagrficaconlosdatosdeestatabla,representandoenelejeverticallosprecios,yenel eje horizontal las cantidades demandadas y ofrecidas. Une con un trazo continuo ambascurvas.

    Lacurvacantidaddemandadaprecioesunejemplodefuncindedemanda.Observaqueesunafuncin decreciente, pues al aumentar los precios el consumidor demanda menor cantidad delproducto.Ilustraelcomportamientodelosconsumidores.

    Lacurvacantidadofrecidaprecioesunejemplodefuncindeoferta.Observaqueesunafuncincreciente,puesalaumentarlosprecioselvendedoraumentalaproduccinyofrecemayorcantidaddelproducto.Ilustraelcomportamientodelosvendedores.

    b) Determina de forma aproximada en la grfica anterior el punto de interseccin de ambasgrficas.

    A esepunto se ledenominapunto de equilibrio. Lademanda y laofertadeterminan elprecio y lacantidaddeequilibrio.Enesepuntoseigualanlascantidadesofrecidasydemandadas.

    A un precio mayor la cantidad ofrecida excede la cantidad demandada, y al haber depsitos demercanca no vendida la competencia entre vendedores har que el precio baje hasta el punto deequilibrio.Hayunexcedente.

    Aunpreciomenor la cantidaddemandadaesmayorque laofrecida, los compradoresquierenmsnaranjas,yesoelevaelpreciohastaelpuntodeequilibrio.Hayundficit.

    Esteproblema ilustraunosconceptosqueseutilizanenTeoraEconmica.Esunmodelo idealqueseexplicaenunmercadoconcompetenciaperfecta,conmuchoscompradoresymuchosvendedores,enlosquelademandaylaofertadeterminanelprecio.

    15. Losdatosdelatablaindicanenlaprimerafila,losprecios,eneuros,delalquilerdeunpisode70m2,en lasegundafila, lacantidaddepersonasquedeseanalquilarunpiso,yen latercerafila, lospisosvacosenunadeterminadaciudad:

    Preciodeunpiso(euros) 1500 1000 500

    Cantidaddemandada(personasquedeseanalquilar) 10 100 500

    Cantidadofrecida(pisoslibres) 600 200 50

    a) Dibujaunagrficadelascurvasdeofertaydemanda.

    b) Determinadeformaaproximadaelpuntodeequilibrio

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    271 Funciones

    2.OPERACIONESCONFUNCIONES

    2.1.OperacionesbsicasLa funcin suma,diferencia,productoo cocientedeotrasdos es aquellaque aplica cadaelementooriginal en la suma, diferencia, producto o cociente de los elementos imagen por cada una de lasfunciones. La expresin algebraica se obtiene sumando, restando, multiplicando o dividiendorespectivamentelasexpresionesalgebraicasdelasfuncionesoriginales:

    OPERACIN EJEMPLO: ; xf x g xx x

    2 3

    1

    f g x f x g x x x xf g x f x g x

    x x x x

    22 3 3 2 21 1

    f g x f x g x x x x xf g x f x g x

    x x x x x x

    22 3 2 3 3 2 21 1 1

    f g x f x g x Casoparticular:

    k f x k f x k

    f g x f x g xx

    2 x3

    x x

    f x f x funcin opuesta de fx x

    61 1

    2 21 1 1

    Grficamente,unafuncinysuopuestasonsimtricasrespectodelejedeabscisas

    ,

    f xf x g xg g x

    0

    f xf xxx xg g x xx

    2

    22 2

    3 31

    2.2.ComposicindefuncionesExisteunaoperacinespecficadelasfuncionesquesellamacomposicinyconsisteen: 1Aplicamosunafuncinaunnmero. 2Aplicamosotrafuncinalresultadoobtenido.Ejemplo:

    ; xf x g xx x

    2 3

    1

    donde ponga en ,

    ponemos

    (se lee primero la funcin que actaantes, NO de izquierda a derecha)

    (se lee

    compuesto con

    compuesto con

    x f

    xg xxg f

    f g

    x xf g f g x f g x fxx x

    x

    g f

    31

    3 2 2 231 3

    1

    donde ponga en ,

    ponemos

    primero la funcin que actaantes, NO de izquierda a derecha)

    x g

    f xx

    x xg f x g f x gx

    x

    2

    6232

    2 1 x

    x2 x

    62

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    272 Funciones

    Comoquedapatenteenelejemploanterior,lacomposicindefuncionesNOesconmutativa,aunques

    esasociativa(sinvariarelorden): f (g h) = (f g) h.Adems,podemosobservarque,alhacercualquieroperacinconfunciones,aparecenexpresionesdelostiposestudiados,aunquemscomplejasalestartodasmezcladas.Apartirdeahora,losdistintostiposdefuncionestendrnfrmulasparecidasalasdelossiguientesejercicios:

    Actividadespropuestas16. Realizalasoperacionesindicadasconlassiguientesfunciones:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) log

    x xx x x

    p x x q x x x r x x s x x xx x xf x g x h x j x

    x x x x

    k x e l x m x n x e

    x xa x L x b x c x L d x xx

    2 3 2

    2

    2 2

    14 1

    23

    5 3 2 7 6 32 4 3 1

    3 4223

    1 12 13 2 4

    a) ( )( )p q x b) ( )( )q r x

    c) ( )( )q r s x d) ( )( )s q x

    e) ( )( )q r x f) ( )( )r p x

    g) ( )( )f p x h) ( )( )j f x

    i) ( )( )g k x j) ( )( )m a x

    k) ( )( )b d x l) ( )( )r m x

    m) ( )( )p q x n) ( )( )q r x

    o) ( : )( )q r s x p) ( : )( )p q x

    q) ( )( )f p x r) ( )( )j f x

    s) ( : )( )g k x t) ( )( )a b x

    u) ( )( )p q x v) ( )( )a b x

    w) ( )( )r s x x) ( )( )f p x

    y) ( )( )j f x z) ( )( )g k x

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    273 Funciones

    2.3.Funcininversaorecproca

    Lafuncininversa(orecproca)deunafuncinfesotrafuncin, f 1 ,talque:f f If f I

    1

    1

    .

    Paraque lafuncin inversaestbiendefinida(seafuncin)esnecesarioqueen lafuncindepartida,cadaimagentengaunnicooriginal.Paraobtenerla,seguiremoslossiguientespasos:

    PASOS EJEMPLO: f(x) = 1

    2xx

    1Llamamosyaf(x)xy

    x

    2

    1

    2Despejamosxenfuncindeyy(x 1) = 2x yx y = 2x yx 2x = y

    y(x 2) = y 2

    y

    yx

    3Cambiamoslospapelesdexey x xy f xx x

    1

    2 2

    Estonosiempreesposiblerealizarlo,yaquenosiempresepuededespejarlaxoelresultadoalhacerlonoesnico,encuyocasoculseralainversa?Porejemplo:

    ??????

    f x xy x x y y x x

    f x x

    12 3 2

    13 1

    Siexiste,lainversaesnicay,grficamente,unafuncinysuinversasonsimtricasrespectoalarectay = x(bisectrizdel1ery3ercuadrantes),queeslagrficadelafuncinidentidad.

    Ejemplos

    xf xx

    21

    xf x g xx

    1

    2

    Lasfuncioneslogaritmoyexponencial(delamismabase)sonfuncionesinversas.

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    274 Funciones

    Actividadespropuestas17. Calculaentucuadernolasinversasqueexistandelasfuncionesdelejercicioanterior:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) log

    x xx x x

    p x x q x x x r x x s x x xx x xf x g x h x j x

    x x x x

    k x e l x m x n x e

    x xa x L x b x c x L d x xx

    2 3 2

    2

    2 2

    14 1

    23

    5 3 2 7 6 32 4 3 1

    3 4223

    1 12 13 2 4

    FUNCIN INVERSA FUNCIN INVERSA

    a) ( )p x b) ( )q x

    c) ( )r x d) ( )s x

    e) ( )f x f) ( )g x

    g) ( )h x h) ( )j x

    i) ( )k x j) ( )l x

    k) ( )m x l) ( )n x

    m) ( )a x n) ( )b x

    o) ( )c x p) ( )d x

    18. Calculalafuncininversade:

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    275 Funciones

    Inversasorecprocasdelasfuncionestrigonomtricas:De mismo modo que se puede definir la funcin logaritmo como funcin inversa de la funcinexponencialpues:

    y = logax x = ay

    sepuedendefinirlasfuncionesinversasdelasfuncionestrigonomtricas,quesedenominanarco:

    y = arcsenx x = sen(y)

    y = arccosx x = cos(y)

    y = arctgx x = tg(y)

    Pero ahora se nos presenta unadificultadqueantesno tenamos.Laimagen de un valor de una funcintrigonomtrica proviene demuchos(infinitos) valores de la variableindependiente.

    Portanto,noexistelafuncininversadelafuncinseno,porejemplo.Parapoderladefiniresprecisoseleccionarun intervalodeldominiodondeestonoocurra.Servirael intervalo(0,2)?Observaqueno.Enlagrficadelmargenlarectaquehemosdibujadocortaen3puntosalagrficaeneseintervalo.Servira el intervalo (0, )? Tampoco! Ahora vemos dos puntos de corte. Piensa qu intervalotomaras.

    Sitomamosel intervalo [/2,/2]observaqueahoras,acadavalorde laimagen correspondeunnicovalorde lavariable.En lagrficadelmargentienesrepresentadaencolorrojoalafuncinsenoenelintervalo(/2,/2)y su funcin inversa en color azul, la funcin arco seno. Tambin se hadibujado la recta y = x para poder observar que son simtricas respecto adicharecta.

    Portanto:y = arcsenx, x [1, 1] x = sen(y), y [/2,/2]

    Analicemos ahora la funcin coseno. No existe lafuncin inversa de la funcin coseno. El intervalo[/2, /2] no sirve. Tenemos dos puntos deinterseccinconnuestrarecta.Piensaquintervalotomaras.Serviraahoraelintervalo(0,)?

    Vamosaprobarlo.Almargenpuedesverenrojolagrficadelafuncincosenoentre(0,)yenazul,ladesuinversa,lafuncinarcocoseno.Portanto:

    y = arccosx, x [1, 1] x = cos(y), y [0,]

    Actividadpropuesta19. Realizaelprocesoanteriorparalafuncinarcotangente:y = arctgx x = tg(y), y [/2,/2]

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    276 Funciones

    3.CARACTERSTICASDELASFUNCIONESYSUSGRFICAS

    3.1.DominioEldominioocampodeexistenciadeunafuncin,Dom(f),eselconjuntodevaloresquetienenimagen:

    Dom(f) = {x ; y , y = f(x)}.

    Actividadresuelta

    TIPO DOMINIO Ejemplos

    Polinm

    icas

    Constante: ( )p x 3 Funcinafn: ( ) (identidad) ; ( ) xI x x p x x 2 1 2 1

    3 3 3

    Funcincuadrtica: ( ) ; ( )p x x x p x x 2 22 3 6 Funcinpolinmicageneral: ( ) x x x xp x 4 3 22 4 5 6 3

    Racion

    ales

    {polos}Polos=cerosdeldenominador

    ( )

    ( )

    ( ) ; ;

    xf x x Sol Dom fx

    g x x Sol Dom gx

    x xh x x x Sol Dom gx x

    22

    22

    2

    3 1 12 1 02 1 2 2

    2 1 01

    2 6 0 2 3 2 36

    Irracion

    ales ndice

    par {x ; radicando 0}

    ( ) , ,

    ( ) , , , ,

    ( )

    f x x x Sol Dom f

    x xg x Sol Dom gx x

    h x x x Sol Dom h

    42 2

    6 4 4

    3 6 3 6 0 2 2

    1 1 0 2 1 2 2 1 24 4

    1 1 0

    ndiceimpar

    {puntos problemticos del radicando}

    ( ) , ,

    ( )

    xf x x x Sol Dom fx

    g x x Dom g

    2 232

    7 4

    1 4 0 4 0 2 2 2 24

    1

    Expo

    nenciales

    {puntos problemticos del exponente}

    ( )

    ( )

    ( ) , ,

    x

    x

    x

    f x e Dom f

    g x x x Sol Dom g

    h x x Sol Dom h

    2 3

    2

    5 2

    1 0 0 0 02

    2 27 5 2 05 5

    Logartm

    icas

    {x ; argumento > 0}

    .

    ( )

    ( ) log , ,

    ( ) log

    ,( ) log , ,

    ,

    x x

    f x L x x x x Sol Dom f

    x xg x Sol Dom gx x x x

    h x Sol Dom h

    x Solj x x Sol Dom j

    x Sol

    2 2

    2 2

    2

    0 5

    2 1 2 1 0 1 1

    0 3 33 3

    5 5 0

    0 00 0

    0 0

    Trigon

    omtricas

    Seno {puntos problemticos del argumento}

    sen

    sen

    sen ; ;

    f x x Dom f

    g x x x Sol Dom g

    xh x x x Sol Dom hx

    0 0

    2 22

    0

    2 4 0 4 0 2 2 2 24

    Coseno {puntos problemticos del argumento}

    cos

    cos , ,

    cos

    f x x Dom f

    g x x x Sol Dom g

    xh x x x Sol Dom hx

    4

    2 232

    1 1 0 1 1

    3 1 0 1 01

    Tangente {ceros del denominador}

    sentgcos

    costg ,

    ,

    /

    /

    xf x x Dom f k kx

    x x kg x x Dom g k k

    x Sol

    22

    2

    002

    20 0

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    277 Funciones

    Definidasatrozos

    valores que no toma la variabley puntos problemticos de cadafrmula incluidos en su rango

    ( )

    ( )???

    ,

    ( )

    Valores variablex x xf x Dom f

    Puntos problemticos No hayLx x

    Valores variablex xg x

    x Puntos problemticos ya que y x

    Dom g

    xx

    h x x x

    2 00

    11 11 11 0 0 1

    01 0

    1 2

    2 1 2

    ,

    , ,

    Valores variablePuntos problemticos

    x x

    Dom h

    11 0

    1

    1 0

    Comosepuedeverentodoslosejemplosanteriores,laclaveparacalculareldominiodeunafuncineslocalizartodosaquellospuntosqueNOtienenimagen,quesonmsfcilesdeidentificaryaquesonlosque provocan algn tipo de problema a la hora del clculo de la imagen, es decir, aparece algunaoperacinquenosepuederealizarenelconjuntodelosnmerosreales.Ylasnicasoperacionesquenosepuedenhacerenson:

    a) Ladivisinporcero.

    b) Larazdendiceparyradicandonegativo.

    c) Ellogaritmodeunnmeronegativoodecero.

    Portanto,cuandonosencontremosconalgunadeesasoperaciones(DIVISIN,RAZDENDICEPARoLOGARITMO), tendremos que estudiar detenidamente si hay algn(os) valor(es) que provoquenproblemas,yestolopodremoshacer,segnlasituacin,resolviendounaecuacinounainecuacin.Encasocontrario,tendremosaseguradoqueeldominiodelafuncinestodoelconjuntodelosnmerosreales()

    Grficamente,lopodemosintuirviendosilarectavertical(paralelaalejedeordenadasOY)quepasaporunpuntodelejeOXestalque:

    corta a la grfica: dicho valor de la variable independiente pertenece al dominio porque tieneimagen(queserelvalordelaordenadaquenosproporcionaelpuntodecortederectaygrfica)

    NOcortaalagrfica:dichovalornoestareneldominio.

    Ejemplo

    Dom f= {2}

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    278 Funciones

    Actividadespropuestas20. Calculaentucuadernoeldominiodelassiguientesfunciones:

    FUNCIN DOMINIO FUNCIN DOMINIO

    a) ( ) xf xx

    2

    25 1

    3 b) ( ) xj x

    x

    33

    c) ( ) xg xx

    3 23

    d) ( )xk x

    x

    2

    22 1

    4

    e) ( )xh xx

    11 f) ( ) xl x

    x

    23

    g) ( ) xi xx

    2

    211 h) 3

    11

    xx

    xm )(

    21. Calculaentucuadernoeldominiodecadaunadelassiguientesfunciones:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) lo

    x xx x x

    p x x q x x x r x x s x x xx x x xf x g x h x j x

    x x x x

    k x e l x m x n x e

    x xa x L x b x c x L d xx

    2

    32 3 24

    2

    2 2

    114 1

    2 2

    5 3 2 7 1 32 4 3 1 2

    3 1 4223

    124 2 4 g x

    3 5

    FUNCIN DOMINIO FUNCIN DOMINIO

    a) ( )p x b) ( )q x

    c) ( )r x d) ( )s x

    e) ( )f x f) ( )g x

    g) ( )h x h) ( )j x

    i) ( )k x j) ( )l x

    k) ( )m x l) ( )n x

    m) ( )a x n) ( )b x

    o) ( )c x p) ( )d x

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    279 Funciones

    3.2.RecorridooimagenElrecorridodeunafuncin,Im(f),eselconjuntodevaloresquesonimagendealgnoriginal,esdecir,elconjuntodevaloresquetomalavariabledependiente y = f(x).Engeneralnoresultafcilcalcularlaimagendeunafuncin,aunque:

    Actividadesresueltas Avecessepuedededucirdealgunapropiedaddelafuncin:

    a. Funcinafn: Imf x ax b f

    b. Imf x x f 2 0 (alelevarunnmeroalcuadradosiempresalepositivoo0)

    c. Funcinexponencial: Imxf x a f

    d. Funcinlogaritmo: log Imaf x x f Silafuncintieneinversa,laimagensereldominiodelainversa:

    ( )

    Dom Im Dom

    x x yf x y x xy x yx x y

    x xxy y x y x x y f xx x

    f e f f

    1

    1

    7 1 7 1 7 1 3 4 7 13 4 3 4 3 4

    4 1 4 13 7 4 1 3 7 4 13 7 3 7

    4 73 3

    Grficamente, lo podemos intuir trazando rectas horizontales (paralelas al eje de abscisas) yviendosicortana lagrficade lafuncin.UnpuntodelejeOYtalque larectahorizontalquepasaporlnocortaalagrfica,noestarenlaimagen:

    Im , ,f 6 0

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    280 Funciones

    3.3.SimetrasUnafuncinparesaquellaenlaqueseobtienelomismoalsustituirunnmeroquesuopuesto:

    f(x) = f(x) x Dom f

    Estapropiedad se traduceenque la funcines simtrica respecto alejedeordenadas,esdecir, sidoblamoselpapelpordichoeje,lagrficadelafuncincoincideenamboslados.

    Ejemplo

    Lafuncincuadrticaf(x) = x2espar:

    f(x) = (x)2 = x2 = f(x)

    Actividadesresueltas Compruebaquelasfuncionesvalorabsolutoycosenosonpares.

    FUNCIN DEMOSTRACIN GRFICA

    f x x f x x x f x

    cosf x x cos cosf x x x f x

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    281 Funciones

    Unafuncinimparesaquellaenlaqueseobtieneloopuestoalsustituirunnmeroquesuopuesto:

    f(x) = f(x) x Dom f

    Estapropiedadsetraduceenquelafuncinessimtricarespectoalorigendecoordenadas,esdecir,sitrazamosunsegmentoquepartedecualquierpuntodelagrficaypasaporelorigendecoordenadas,alprolongarlohaciaelotroladoencontraremosotropuntodelagrficaalamismadistancia.

    Ejemplo

    Lafuncindeproporcionalidadinversa

    f xx

    1esimparporque:

    f x f x

    x x

    1 1

    Actividadesresueltas Compruebaquelasfuncionespotenciadeexponente3ysenosonfuncionesimpares.

    FUNCIN DEMOSTRACIN GRFICA

    f x x 3

    Engeneral,cualquierpolinomioconslogradosimpares

    f x x

    x f x

    3

    3

    senf x x

    sen

    sen

    f x x

    x f x

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    282 Funciones

    3.4.PeriodicidadUna funcinperidicaesaquellaen laque las imgenesde la funcin se repiten siempreque se leaadealavariableindependienteunacantidadfija,llamadaperiodo().

    Matemticamente,estoseexpresadelasiguienteforma:

    ; f(x + ) = f(x) x Dom f

    Grficamentesebuscauntrozodeldibujoque,silorepetimosenambossentidos,nosproporcionelagrficacompleta:

    Ejemplos:

    Losmstpicossonlasfuncionestrigonomtricas:

    sen senperidicas de periodo

    cos cos

    tg tg peridica de periodo

    x x

    x x

    x x

    22

    2

    Lagrficadeunelectrocardiograma:

    Seobservaclaramenteque lagrficaserepitea intervalos iguales,yaque los latidosdelcoraznsonrtmicos.

    Actividadesresueltas Qusignificara,enlagrficaanterior,quelosintervalosderepeticinnofueraniguales?Si no tenemos un periodo fijo, querra decir que el corazn no est funcionando de formartmicay,portanto,diramosquesehaproducidounaarritmia.

    Cmo influira en la grfica anterior el que el periodo sea ms o menos grande? Qusignificadotendra?Si el periodo es ms grande, es decir, los intervalos de repeticin se encuentran msdistanciados,tendramosunritmode latidoms lento(menospulsacionesporminuto), loqueseconocecomobradicardia.

    Sielperiodoesmenor,pasarajustotodolocontrario,estoes,elcoraznestaralatiendomsrpidodelonormal(mspulsacionesporminuto)ytendramosunataquicardia.

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    283 Funciones

    3.5.PuntosdecorteconlosejesElpuntodecortedefconelejedeordenadas(OY)seobtienedandoa lavariable independienteelvalor0,siempreycuandodichovaloresteneldominio:(0, f(0)),si f(0) o 0 Dom f . Encasocontrarionohabr.Recordemosque,porlapropiadefinicindefuncin,siexistef(0)esnico).LosCEROS o puntos de corte de f con el eje de abscisas (OX) son losque seobtienendando a lavariabledependienteelvalor0:{(x, 0);x Dom f y f(x) = 0}.

    Actividadresuelta

    Tipo PUNTOSCORTEEJES Ejemplos

    Polinom

    ios OY , ( )f0 0

    ,

    ,

    ,x x x x

    p x x x p

    q x x q

    t x t

    2

    4 3 22 4 2

    2 5 0 0 0 0

    3 1 0 1 0 1

    4 4 0 2 0 2

    OX Solucionesdelaecuacin

    ( ) ; ( , ); ,

    ( ) No hay( ) ; ( , )x x x x

    p x x x x x Sol

    q x x x Solt x Sol

    2 2

    2 2

    4 3 22 4 5 6 3

    5 52 5 2 5 0 0 0 0 02 2

    1 1 01 1 1 0

    Racion

    ales

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    ( ) ( ) ???

    ( ) ( ) ( , )

    ( ) ( ) ,

    f x f No hayxx xg x g

    xxh x h

    x

    2

    2

    1 100

    3 27 00 0 0 02 2 2

    4 5 5 5 50 06 6 6 6

    OX Numerador=0

    ( )

    ( ) , ( , ); ( , )

    ( ) ,

    f x falsedad No hayxx xg x x x Sol

    xxh x x Sol

    x

    22

    2

    1 1 0

    3 27 3 27 0 0 9 0 0 9 02 2

    4 5 5 54 5 0 06 4 4

    Irracion

    ales OY

    , ( )f si Dom f0 0 0

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ,

    f x x f No hay

    xg x gx

    23 3

    2

    2 3 0 3

    1 1 1 10 08 8 2 2

    OX Radicando=0

    ( ) ,

    ( ) , ( , );( , )

    f x x x Sol

    xg x x Solx

    223

    2

    3 32 3 2 3 0 02 2

    1 1 0 1 1 1 0 1 08

    Expo

    nenciales

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    ( ) ( ) ???

    ( ) ( ) ,

    xx

    x

    f x e f e No hay

    g x g

    2 1 13 0

    2 1 1

    0

    2 0 2 2 0 2

    OX NUNCA ( )( )

    x xx x

    x x

    f x e e Nunca

    g x Nunca

    2 1 2 13 3

    2 1 2 1

    0

    2 2 0

    Logartm

    icas

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    ( ) log( ) ( ) log( ) ???

    ( ) log ( ) log ,

    f x x f No hay

    xg x g

    2

    3 3

    3 2 0 2

    2 27 0 9 2 0 23

    OX Argumento=1

    ( ) log( ) ( , )

    ( ) log , , ; ,

    f x x x Sol

    x xg x Sol

    2 2

    3

    3 2 3 2 1 1 1 0

    2 27 2 27 1 2 3 2 3 2 3 0 2 3 03 3

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    284 Funciones

    PUNTOSCORTEEJES Ejemplos

    Trigon

    omtricas

    Seno

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    sen ,

    sen ,

    f x x

    g x x

    0 0

    204 2

    OX sen x x k k 0

    sen , / , ; , ; , ; ...

    sen , /

    f x x k k

    kg x x k

    0 0 0 0 2 0

    4 1 04 4

    Coseno

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    cos ,

    cos ,

    f x x

    g x x

    0 1

    204 2

    OX cos x x k k 0 2

    cos , / , ; , ; , ; ...

    cos , /

    f x x k k

    kg x x k

    3 50 0 0 02 2 2 2

    4 1 04 4

    Tangente

    OY , ( )f si Dom f0 0 0

    tg ,

    tg ,

    f x x

    g x x

    0 0

    0 14

    OX tg x x k k 0

    tg , / , ; , ; , ; ...

    tg , /

    f x x k k

    kg x x k

    0 0 0 0 2 0

    4 1 04 4

    Definidasatrozos OY

    , ( )f si Dom f0 0 0 Sustituyendoenlafrmulacuyorangocontieneal0.

    ( ) ( ) ( , )ln

    ( ) ( ) ???

    x x xf x f

    x xx x

    g x f No hayx

    x

    2 0 0 0 0 00

    1 1101 01

    OX Cadafrmula=0Slovalenlassolucionesincluidasenelrangocorrespondiente

    , ,( )

    lnx x Sol yx x x

    f xx x

    22 0 0 1 0 0 100

    ( , )

    ln ( , )

    ( )

    x Sol y

    x x x Sol yg x

    xx

    0 0 0

    0 1 1 0 1 0

    1 1 1 0 1 11 1

    No hay

    Sol No hayx

    11 0

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    285 Funciones

    Actividadespropuestas22. Calculaentucuadernolospuntosdecorteconlosejesdelasfuncionessiguientes:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) l

    xx x

    xx

    xp x x q x x x r x x s x x x f xx

    x x xg x h x j x k x e l x m xx x x

    x xn x e a x L x b x c x L d xx

    2

    32 3 24

    1124

    2 2

    2 21

    2 45 3 2 7 1 33

    3 1 2 221 4 3

    124 2 4 og x

    3 5

    FUNCINPUNTOSCORTEEJES

    FUNCINPUNTOSCORTEEJES

    Ordenadas Abscisas Ordenadas Abscisas

    a) ( )p x b) ( )q x

    c) ( )r x d) ( )s x

    e) ( )f x f) ( )g x

    g) ( )h x h) ( )j x

    i) ( )k x j) ( )l x

    k) ( )m x l) ( )n x

    m) ( )a x n) ( )b x

    o) ( )c x p) ( )d x

    23. Estudialassimetrasylospuntosdecorteconlosejesdelassiguientesfunciones:

    ( ) x x xf x 24 3 1 12 4 8 1 ( )h x x x 3 4 ( ) xk x e 2 22

    ( )g x x x 4 27 1 ( )j x x x 15 3 9 ( )l x

    x

    111

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    286 Funciones

    3.6.SignodeunafuncinLos intervalosdesignodeunafuncinproporcionanuna informacinmuytilpara larepresentacingrfica.Paraestudiarlos,hayquetenerencuenta:

    1Lospuntosquenoestneneldominio,yaquenotienenimageny,portanto,hayqueestudiarelcomportamientodelafuncinenunentornodedichospuntos.

    2Losceros,puestoquecuandolafuncinvaleceropuedeserquehayauncambiodesignoenesepunto.

    3Enlasfuncionesdefinidasatrozos,lospuntosdondecambialadefinicin,yaquelasfrmulassondiferentesantesydespusdeesospuntos,loquepuedeprovocaruncambiodesigno.

    TIPO SIGNO Ejemplos

    Polinom

    ios

    CerosRectaEstudiodelsigno:*darvaloreso*lossignossealternansihaytantasracescomogradoysondistintas.

    ( )p x No hay ceros 3::

    :( )

    :

    ( )

    Positivo NuncaNegativo

    Positivo Nuncaq x Hay infinitos ceros

    Negativo Nunca

    r x No hay ceros

    0

    12

    ::

    ( )

    PositivoNegativo Nunca

    s x x

    4 8

    2

    : ,

    : ,

    ( )

    Positivo

    Negativo

    t x x x

    2

    3 2

    2

    2

    2 30

    : ,

    : , ,

    ( )

    Positivo

    Negativo

    f x x x

    2

    0 3 2

    0 3 2

    2 11

    ::

    PositivoNegativo Nunca

    1

    Racion

    ales

    CerosypolosRectaEstudiodelsignodandovalores

    ( ) xf xx x

    2 1 2 03

    2

    : ,

    : ,

    ( )

    Positivo

    Negativo

    g x No hay ceros ni polosx

    2

    1 2

    1 2 0

    21

    ::

    PositivoNegativo Nunca

    Irracion

    ales

    ndicepar

    POSITIVOsiempreentodosudominiomenosenlosceros.

    : , ,( )

    :Positivoxf x

    x Negativo Nunca

    42

    2 1 214

    ndiceimpar Signodelradicando

    ( ) xf xx

    3

    214 2 1 2

    : , ,

    : , ,

    ( )

    Positivo

    Negativo

    g x x

    7 4

    2 1 2

    2 1 2

    1::

    Positivo NuncaNegativo

    Expo

    nenciales

    POSITIVOsiempreentodosudominio.

    :( )

    :

    : ,( )

    :

    x

    x

    Positivof x

    Negativo Nunca

    Positivog x

    Negativo Nunca

    2

    5 2

    012

    2 57

    Logartm

    icas 0

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    287 Funciones

    TIPO SIGNO EjemplosTrigon

    omtricas

    Seno

    + ,k k k 2 2 1

    ,k k k 2 1 2 2

    Coseno

    + ,k k k

    4 1 4 12 2

    ,k k k

    4 1 4 32 2

    Tangente

    + , kk k

    2 12

    ,k k k

    2 12

    Definidasatrozos Ceros,puntos

    problemticosypuntosdondecambialadefinicinRectaEstudiodelsigno,utilizandolafrmulacorrespondiente.

    ( )NadaLx x

    f xx x x

    2

    23 2 0 1 2 3

    : , ,

    : , ,

    ( )

    Positivo

    Negativo

    xg x x

    x x

    1 2 3

    0 1 2 3

    1 1

    1 1 1 1

    : ,

    : ,

    Positivo

    Negativo

    1

    1

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    288 Funciones

    Actividadespropuestas24. Calculaentucuadernoelsignodelassiguientesfunciones:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) lo

    x xx x x

    p x x q x x x r x x s x x xx x x xf x g x h x j x

    x x x x

    k x e l x m x n x e

    x xa x L x b x c x L d xx

    2

    32 3 24

    2

    2 2

    114 1

    2 2

    5 3 2 7 1 32 4 3 1 2

    3 1 4223

    124 2 4 g x

    3 5

    FUNCINSIGNO

    FUNCINSIGNO

    POSITIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO

    a) ( )p x b) ( )q x

    c) ( )r x d) ( )s x

    e) ( )f x f) ( )g x

    g) ( )h x h) ( )j x

    i) ( )k x j) ( )l x

    k) ( )m x l) ( )n x

    m) ( )a x n) ( )b x

    o) ( )c x p) ( )d x

    25. Interpretagrficamentelosintervalosdesignodelejercicioanterior,siguiendoelejemplo:

    Ceros:

    Polos:

    fx x

    fxf x xxx f

    xf

    22

    32 0 0

    12 24 04 1

    23

    lagrficadelafuncindebeirporlazonanosombreada:

    2 1 0 1 2 3

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    289 Funciones

    CURIOSIDADES.REVISTA

    -10

    10

    30

    50

    70

    90

    110

    130

    150

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    05

    101520253035404550

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    ElcrecimientoexponencialExisten muchos fenmenos en la naturaleza que siguen uncrecimientoexponencial.

    En Biologa se presenta cuando la tasa de variacin de unapoblacinesproporcionala lapoblacinen cada instante,estoocurrecuandonohay factoresque limitanelcrecimientocomoocurreconciertaspoblacionesdebacterias.

    Tambinapareceenciertotipodereaccionesqumicascuandolavelocidaddedescomposicindeunasustanciaesproporcionalasu masa, la ms importante de estas reacciones es ladesintegracin radiactiva que se utiliza para asignar fecha aacontecimientosqueocurrieronhacemuchotiempoyhasidouninstrumentoindispensableenGeologayArqueologa.

    Lacatenaria

    La curva 1

    2kx kxy e e

    k

    se denominacatenaria, tiene la forma que toma un hiloflexible y homogneo suspendido entre sus dosextremosyquecuelgaporsupropiopeso.

    La constante k es el cociente entre el peso porunidaddelongitudylacomponentehorizontaldelatensinqueesconstante.

    La forma catenariaminimiza las tensiones, poresarazn,unacurvacatenariainvertidaseusaenarquitectura, ya queminimiza los esfuerzos decompresin sobre dicho arco, ha sido utilizada,sobretodo,porGaud.

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    290 Funciones

    JohnNapier

    JohnNapierEn tiempodeMaricastaa (bueno,no tanto,enelRenacimiento,en1550)nacienEscocia, JohnNapier,hijodeuna familianoble,ricaycalvinista. Por eso pudo dedicarse a lo que le gustaba, las Ciencias,llegando a ser conocido por sus vecinos como la maravilla deMerchiston por sus muchos inventos en diferentes campos: encultivos,fertilizantes,armasparacombatira losespaoles(Curiosaparadoja! El nico prontuario neperiano que se ha localizado en elmundoespropiedaddelacatlicamonarquaespaolaalaqueNeperquera combatir). Uno de estos inventos fueron los logaritmos. Yasabes,loslogaritmosneperianossellamanasensuhonor.

    Puertaconlaspotencias

    baconeperiano

    LoslogaritmosdeNeper

    baconeperianoEn elMuseo Arqueolgico deMadrid hay dosbacosconfeccionadosenelsigloXVIIsiguiendolas indicaciones del libro de John NapierRabdologapublicadoen1617.Esnicoenelmundo. No queda ningn otro ejemplarcompletocomoste.Puedesverunmuebledemadera de palosanto, con incrustaciones demarfil, con dos puertas, en una aparece eltringulodeTartaglia,yen laotra, lastablasdelaspotencias.Enlseguardandosbacos,eldelos huesos de Napier y, en los cajones, elbacopromptuario.

    ParasabermssobreNapieryloslogaritmosvisita:http://cifrasyteclas.com/2013/11/25/yotambienvivienganadoellogaritmoneperianonousabalabasee/Quizs,luegoyanollamesaloslogaritmosneperianosas,sinologaritmosnaturales.

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    291 Funciones

    Cmoseusan?

    LoshuesosdeNapierConsta de 60 varillas demarfil con formade prisma cuadrangular que llevangrabadaslastablasdemultiplicardel1al9.Permiten multiplicar nmeros de variascifrasporunnmerodeunacifra,sintenerque saberse las tablasdemultiplicar. Slohayque saber sumar.Sebasaen la formade multiplicar introducida por los rabesdel mtodo de la celosa. Ejemplaresparecidos s se conservan varios puesdebieron ser muy usados.

    Regletasdelbacopromptuario

    bacopromptuarioEn loscajonesdelmueblede lafiguraarribaa la izquierdaestelsegundobacode losqueseguardanenelMuseoArqueolgico,quepermitemultiplicarnmerosdehasta20cifraspornmerosdehasta10cifras,quepueden inclusoampliarse. Hay regletas de dos tipos: 100 verticales connmerosysimilaresa loshuesosdeNapier,con lastablasdemultiplicar escritaspor elmtodo de la celosa, y 200horizontales que constan de un nmero (multiplicando) yperforaciones triangulares, que se superponen a lasanteriores.Con slo sumar losnmerosquepermitenverlas tablillas perforadas se pueden multiplicar nmerosgrandes (sin saber la tabla demultiplicar). Este baco esnicoenelmundo.

    TablasdelogaritmosUtilizandoun instrumento similaraestebaco,Napiercon laayudadeHenryBriggselabor laprimeratabladelogaritmos,poderosaherramientadeclculodurantesiglos.

    Parasabermsvisita:http://matemirada.wordpress.com/miscelaneamatematica/

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    292 Funciones

    RESUMENTIPOSDEFUNCIONES FRMULA

    ALGEBRAICAS

    Polinmicas Polinomio

    Racionales Cocientedepolinomios

    Irracionales Razdeunaracional

    TRASCENDENTES

    Exponenciales Exponencial(variableenelexponente)

    Logartmicas Logaritmo(variablecomoargumentodeunlogaritmo)

    Trigonomtricas Trigonomtrica(variablecomoargumentodeunarazntrigonomtrica)

    DEFINIDASATROZOS Variasfrmulasdependiendodelosvaloresdelavariable

    OPERACIN EJEMPLO: ; xf x g xx x

    2 3

    1

    Funcinsuma f g f g x f x g x

    Funcinresta f g f g x f x g x

    Funcinproducto f g : f g x f x g x

    Funcincociente f g :

    ,

    f xf x g xg g x

    0

    x xf g xx x

    23 2 21

    x xf g xx x

    23 2 21

    f g xx

    61 f xx

    g x

    2

    2 23

    Funcincompuesta

    donde ponga en ,

    ponemos

    (se lee primero la funcin que actaantes, NO de izquierda a derecha)

    (se lee

    compuesto con

    compuesto con

    x f

    xg xxg f

    f g

    x xf g f g x f g x fxx x

    x

    g f

    31

    3 2 2 231 3

    1

    donde ponga en ,

    ponemos

    primero la funcin que actaantes, NO de izquierda a derecha)

    x g

    f xx

    x xg f x g f x gx

    x

    2

    6232

    2 1 x

    x2 x

    62

    Funcininversa f 1 :

    f f If f I

    1

    1

    Si existe, la inversa es nica ysugrficayladelafuncinsonsimtricas respecto a la de lafuncinidentidad.

    1Llamamosya f x 2Despejamosxenfuncindey3Cambiamoslospapelesdexey

    xg x y y x xx

    yx y x yx x yyx y y x

    yxf x

    x

    1

    3 1 313 3

    33

    3

    CARACTERSTICASDELASFUNCIONES

    1)Dominio Conjuntodevaloresquetienenimagen.

    2)Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas(OY) , ( )f f 0 0 0 Operacin

    numrica

    No hayf 0 NadaAbscisas(OX)CEROS , , ... , ; , ; ...f x x x x x 1 2 1 20 0 0 Ecuacin

    3)SimetraPar f x f x Operacin

    algebraicaImpar f x f x

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    293 FuncionesFAMILIASDEFUNCIONES

    Racional Irracional Exponencial Logartmica Definidaatrozos

    Dominio(D) polos

    ndicepar ndiceimpar

    puntos

    problemticosexponente

    /argumentox

    0

    ValoresdelavariablePuntosproblemticosdecadafrmula

    {valoresquenotomalavariableypuntosproblemticosincluidosenelrango}

    /radicandox

    0

    puntos

    problemticosradicando

    Puntosdecorteconlosejes

    OY

    , ( )

    si

    f

    f D

    0 0

    0

    , ( )

    si

    f

    f D

    0 0

    0

    , ( )

    si

    f

    f D

    0 0

    0

    , ( )

    si

    f

    f D

    0 0

    0

    , ( )

    si

    f

    f D

    0 0

    0 , ( ) si f f D0 0 0

    sustituyendoenlafrmulacuyorangocontieneal0

    OX Numerador=0 Radicando=0 Radicando=0 Nohay Argumento=1Cadafrmula=0Solucionesquepertenecenasurango

    SignoCerosypolosEstudiodelsignoenlarectareal

    Positivosiempresalvoenlosceros

    Signodelradicando

    Positivoentodosudominio

    0

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    294 Funciones

    CARACTERSTICAS sen x cosec / senx x 1Dominio , /k k

    Periodofundamental , 0 2 , 0 2

    Recorrido ,1 1 , , , 1 1 1 1

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 0

    Abscisas , k k 0

    Signo

    Positivo ,k k k 2 2 1 ,k k k 2 2 1

    Negativo ,k k k 2 1 2 2 ,k k k 2 1 2 2

    Simetra Impar Impar

    DIBUJO

    Dominio , ..., , , , , ,... 2 0 2

    Periodofundamental , 0 2 , 0 2

    Recorrido ,1 1 , , , 1 1 1 1

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 0

    Abscisas ..., , , , , , , , , , ,... 2 0 0 0 0 0 2 0

    Signo

    Positivo ... , , ... 2 0 ... , , ... 2 0

    Negativo ... , , ... 0 2 ... , , ... 0 2

    Simetra Impar Impar

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    295 Funciones

    CARACTERSTICAS cos x s oc c se /x x 1Dominio , /k k

    2

    Periodofundamental , ,

    Recorrido ,1 1 , , , 1 1 1 1

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 1 ,0 1

    Abscisas ,k k

    02

    Signo

    Positivo ,k k k

    4 1 4 12 2

    ,k k k

    4 1 4 12 2

    Negativo ,k k k

    4 1 4 32 2

    ,k k k

    4 1 4 32 2

    Simetra Par Par

    DIBUJO

    Dominio , ..., , , , , ...

    3 32 2 2 2

    Periodofundamental , ,

    Recorrido ,1 1 , , , 1 1 1 1

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 1 ,0 1

    Abscisas ..., , , , ,, , ., , ..

    3 30 0 0 02 2 2 2

    Signo

    Positivo ... , , ... 3 5

    2 2 2 2 ... , , ...

    3 52 2 2 2

    Negativo ... , , ... 3 32 2 2 2

    ... , , ... 3 32 2 2 2

    Simetra Par Par

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    296 Funciones

    CARACTERSTICAS sen / otg c sx xx / tco gtg / es s ncox x x x 1 Dominio /k k

    2 /k k

    Periodofundamental , 2 2 , 2 2

    Recorrido , ,

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 0

    Abscisas , k k 0 ,k k

    02

    Signo

    Positivo , kk k

    2 12

    , kk k

    2 12

    Negativo ,k k k 2

    2 1 ,k k k

    22 1

    Simetra Impar Impar

    DIBUJO

    Dominio ..., , , , ,...

    3 32 2 2 2

    ..., , , , , ,... 2 0 2

    Periodofundamental , 2 2 , 2 2

    Recorrido , ,

    Puntosdecorteconlosejes

    Ordenadas ,0 0

    Abscisas , ,..., , ,, , ... 0 0 0 0 ..., , , , ,, , ., , ..

    3 30 0 0 02 2 2 2

    Signo

    Positivo ... , , , ... 30

    2 2 2 ... , , , ...

    302 2 2

    Negativo ... , , , ... 3 02 2 2 ... , , , ...

    3 02 2 2

    Simetra Impar Impar

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    297 Funciones

    EJERCICIOSYPROBLEMAS.

    1. Esbozalagrficadelafuncinf:dadapor,

    ( ).

    si

    si

    x xf x

    x x x

    3

    2 2 11

    2. Realizalasoperacionesindicadasconlassiguientesfunciones:

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )

    ( ) ; ( ) log ; ( ) ; ( ) log

    x xx x x

    p x x q x x x r x x s x x xx x xf x g x h x j x

    x x x x

    k x e l x m x n x e

    x xa x L x b x c x L d x xx

    2 3 2

    2

    2 2

    14 1

    23

    5 3 2 7 6 32 4 3 1

    3 4223

    1 12 13 2 4

    a) ( )( )s q x b) ( )( )r p x

    c) ( )( )p q x d) ( )( )p q r s x

    e) ( )( )q r s x f) ( )( )p q r s x

    g) ( )( )g h x h) ( )( )s g x

    i) ( )( )n k x j) ( )( )g d x

    k) ( )( )b d x l) ( )( )c s x

    m) ( )( )s q r x n) ( )( )r p x

    o) ( : )( )q p x p) ( : )( )s q x

    q) ( )( )g h x r) ( : )( )s g x

    s) ( )( )n k x t) ( : )( )g d x

    u) ( )( )s q x v) ( )( )r p x

    w) ( )( )q p x x) ( )( )g h x

    y) ( )( )s g x z) ( )( )n k x

    3. Considera lafuncinf:definidapor ( ) .xf xx

    21

    Determina lossiguienteselementos:su

    dominio,puntosdecorteconlosejes,signoysimetras.

    4. Dibujaelrecintolimitadoporlossemiejespositivosdecoordenadasylascurvas , y x y x 2

    21

    e y x 1 .

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    298 Funciones

    5. Consideremoslassiguientesfunciones:

    ( )f x x x x 3 23 3 1 ( ) xh x 12 ( ) x x xk x 1 12 30 12 ( )m x x 4 5 2

    ( ) xg xx

    27 ( )j x L x 5 1 ( ) xl x

    x x x

    2

    3 29

    7 15 9 ( )n x x x

    1

    2 34 4 1

    a) Calcularlassiguientescomposiciones: ; ; ; ; ; ; ; ; ; f h g h g j k h g h j m j l h m h j h l m

    b) Calcular , , , , f x h x k x j x n x 1 1 1 1 1 y verificar que son las inversas de , , , y f x h x k x j x n x .Porqu y g x m x 1 1 nosoninversas?

    c) Calculartodoslosdominios.d) Calcularlospuntosdecorteconlosejesdetodaslasfunciones.

    6. Unobjeto se lanzaverticalmentehaciaarribadesdeundeterminadopunto.Laalturaenmetrosalcanzadaalcabodetsegundos,vienedadapor ( ) .h t t t 25 4 Calculalaalturadesdelaqueselanzaelobjetoyalaqueseencuentradespusde1segundo.Determinaenquinstantealcanzarla alturamxima y cul es. Por ltimo, calcula el instante en que caer al suelo y representagrficamentelasituacinconlosdatosobtenidosanteriormente.

    7. Considera lasfuncionesf, g:[0,2], ( ) ( )f x sen x 2 y ( ) ( ).g x sen x 2 Dibuja laregindelplanolimitadaporlasgrficasdefydeg.

    8. Sea lafuncindadapor f x x ax bx c 3 2 .Determinaa, bycsabiendoquees imparyquepasaporelpunto ,1 2 .

    9. Seanlasfuncionesdefinidasmediante ( ) f x x x 2 y ( )g x x 4 .Esbozalasgrficasdefygsobrelosmismosejesycalculalospuntosdecorteentreambas.

    10. El gasto por el consumo de luz (en cntimos de euro) de una vivienda, en funcin del tiempo

    transcurrido(enhoras),nosvienedadoporlaexpresin f t t t t 21 2 10 0 125

    .

    a) Representegrficamentelafuncin.b) Culeselconsumoalas6horas?Ydespusde12horas?

    11. Consideralafuncindefinidapor log xf xx

    22

    .Calculasudominio.

    12. Dibujaelrecintolimitadoporlascurvas ,xy e 2 xey y .x 0

    13. Lasgananciasdeunaempresa,enmillonesdepesetas,seajustanalafuncin xf xx

    50 1002 5

    ,

    donde x representa losaosdevidade laempresa,cuando 0x .Calculaeldominio,corteconlosejes,signoysimetrasdedichafuncin.

    14. Consideralafuncindefinidapor g x ln x (dondelndenotaellogaritmoneperiano).Esbozaelrecintolimitadoporlagrficadegylarectay=1.Calculalospuntosdecorteentreellas.

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    299 Funciones

    15. Calculaeldominiodelassiguientesfunciones: 2L)(x

    xxf ( xL indicalogaritmoneperianodex);

    xxxg cos)1()( 3 y xexxxh 154)( 3 .

    16. Sea la funcin ( )si

    si si

    x xf x x x x

    x x x

    2

    2

    2

    1 13 12 9 1 3

    2 16 30 3. Dibuja su grfica y, a la vista de ella,

    indicasudominio,suspuntosdecorteconlosejesysusigno.17. Estudiaeldominio,puntosdecorteconlosejesysignodelassiguientesfunciones:

    a) b)

    c) d)

    18. El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversin de xmillones de euros

    produceunagananciadef(x) millonesde,siendo:si

    ( )si

    x x xf x

    xx

    2 8 8 0 550 25 5

    5 52

    .Razona

    culeselrangodevaloresdelavariable,lospuntosproblemticosdecadaunadelasfrmulasy,finalmente,eldominiodelafuncin.

    19. Unobjetose lanzaverticalmentehaciaarribademodoque laalturah(enmetros)a laqueseencuentraencadainstantet(ensegundos)vienedadaporlaexpresin ( )h t t t 25 40 .a) Enquinstantealcanzalaalturamxima?Culesesaaltura?b) Representegrficamentelafuncinh(t).c) Enqumomentodesucadaseencuentraelobjetoa60metrosdealtura?d) Enquinstantellegaalsuelo?

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    300 Funciones

    AUTOEVALUACIN

    1. Sealaculdelassiguientesgrficasnocorrespondeaunafuncin:

    a) b) c)

    d)

    2. Lafrmuladelacomposicin f go delasfunciones f x x 2 1 y g x x 2 2 es:

    a) x 22 3 b) x 22 3 c) x x 24 4 1 d) x x 24 4 1

    3. Lafrmuladelafuncininversaorecprocade xf xx

    12es:

    a) xx

    21 b)

    xx

    12

    c)x

    x

    2 11

    d) x

    x

    2 1

    1

    4. Lagrficadelafuncin f x x x 2 2 3 es:

    a) b) c)

    d)

    5. Eldominiodelafuncin x

    xf x e 2 1 es:

    a) b) {1} c) {1,1} d) {0}

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    301 Funciones

    6. Elrecorridodelafuncin es:

    a) , 1 b) , 1 c) , 1 d) {4}

    7. Lospuntosdecorteconelejedeabscisasdelafuncin lnf x x x 2 3 3 son:

    a) Notiene b) , ; ,1 0 2 0 c) , ; ,1 0 2 0 d) , ln0 3

    8. Lanicafuncinimparentrelassiguienteses:

    a) b) c)

    d)

    9. Elintervalodondelafuncin esnegativaes:

    a) ,1 1 b) , 1 c) , 1 d) , 0

    10. LanicafuncinNOperidicadelassiguienteses:

    a) senf x x b) tgg x x c) xh x e d) cosecj x x

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