Matemticas Discretas TC1003 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-022.pdf Introduccion

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Negacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 1/15Matemticas DiscretasTC1003Negacin e Implicaciones con CuantificadoresDepartamento de Matemticas / Centro de Sistema InteligentesITESMIntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 2/15IntroduccinEn esta seccin veremos la negacin deexpresiones con cuantificadores. Tambinincluiremos el concepto de prueba por vacuidad.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 3/15Negacin de una Declaracin UniversalDefinicionLa negacin de una declaracin universal de laforma x D, Q(x)ocurre cuando no es cierto que para todo x de D,P(x) es verdadera. Es decir, cuando existe almenos un elemento de D para el cual P es falsa.Es decir, que su negacin es la proposicin x D, Q(x)Escrito como equivalencia: ( x D, Q(x)) x D, Q(x)IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 4/15Negacin de una Declaracin ExistencialDefinicionLa negacin de una declaracin existencial de laforma x D, Q(x)ocurre cuando no es cierto que exista un elementode D para el cual P es cierta. Es decir, cuando Pes falsa para todos los elemento de D. Es decir,que su negacin es la proposicin x D, Q(x)Escrito como equivalencia: ( x D, Q(x)) x D, Q(x)IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.5. Algn alumno de MD no es platicador.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 5/15Ejemplo 1EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Todos los alumnos de MatemticasDiscretas(MD) son platicadores.1. Todos los alumnos de MD no son platicadores.2. Algunos alumnos de MD no son platicadores.3. Hay un alumno de MD que es platicador.4. Hay un alumno no platicador en la clase de MD.5. Algn alumno de MD no es platicador.Las respuestas correctas son 2, 4 y 5.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.1. Todos los alumnos de Matemticas Discretasacreditarn el curso.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.1. Todos los alumnos de Matemticas Discretasacreditarn el curso.2. Hay alumno de Matemticas Discretas que sies platicador entonces acreditara el curso.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.1. Todos los alumnos de Matemticas Discretasacreditarn el curso.2. Hay alumno de Matemticas Discretas que sies platicador entonces acreditara el curso.3. Todos los alumnos de Matemticas Discretasno son platicadores acreditarn el curso.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.1. Todos los alumnos de Matemticas Discretasacreditarn el curso.2. Hay alumno de Matemticas Discretas que sies platicador entonces acreditara el curso.3. Todos los alumnos de Matemticas Discretasno son platicadores acreditarn el curso.4. Todos los alumnos de Matemticas Discretas: siplatican entonces pasarn el curso.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 6/15Ejemplo 2EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde:Existe un alumno de Matemticas Discretas quees platicador y no acreditar el curso.1. Todos los alumnos de Matemticas Discretasacreditarn el curso.2. Hay alumno de Matemticas Discretas que sies platicador entonces acreditara el curso.3. Todos los alumnos de Matemticas Discretasno son platicadores acreditarn el curso.4. Todos los alumnos de Matemticas Discretas: siplatican entonces pasarn el curso.Las respuestas son 2 y 4.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.2. Algn programa tiene mas de mil lneas decdigo y no tiene bug.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.2. Algn programa tiene mas de mil lneas decdigo y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil lneas decdigo.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.2. Algn programa tiene mas de mil lneas decdigo y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil lneas decdigo.4. Algunos programas de mas de mil lneas decdigo no tiene bug.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.2. Algn programa tiene mas de mil lneas decdigo y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil lneas decdigo.4. Algunos programas de mas de mil lneas decdigo no tiene bug.5. Hay un programa que tiene mas de mil lneasde cdigo que no tiene un bug.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 7/15Ejemplo 3EjemploIndique cules opciones contienen una negacinde: Cualquier programa, si tiene mas de mil lneasde cdigo tiene un bug.1. Hay un programa de mas de mil lneas decdigo.2. Algn programa tiene mas de mil lneas decdigo y no tiene bug.3. Algunos programas tiene mas de mil lneas decdigo.4. Algunos programas de mas de mil lneas decdigo no tiene bug.5. Hay un programa que tiene mas de mil lneasde cdigo que no tiene un bug.Las respuestas son 2, 4 y 5.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas. Su negacin porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmacin.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas. Su negacin porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmacin. Porconsiguiente, una afirmacin es verdadera cuandosu negacin es falsa.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas. Su negacin porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmacin. Porconsiguiente, una afirmacin es verdadera cuandosu negacin es falsa. Este hecho simple origina laprueba llamada por prueba por vacuidad:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas. Su negacin porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmacin. Porconsiguiente, una afirmacin es verdadera cuandosu negacin es falsa. Este hecho simple origina laprueba llamada por prueba por vacuidad:Una afirmacin universal es verdadera si noexiste ejemplo que haga verdadera sunegacin. Dicho de otra forma, esverdadera si no existe un contraejemplo aella.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 8/15Pruebas por VacuidadEn Lgica las afirmaciones slo pueden serverdaderas o falsas. Su negacin porconsiguiente solo puede ser falsa o verdadera;contrariamente a lo que es la afirmacin. Porconsiguiente, una afirmacin es verdadera cuandosu negacin es falsa. Este hecho simple origina laprueba llamada por prueba por vacuidad:Una afirmacin universal es verdadera si noexiste ejemplo que haga verdadera sunegacin. Dicho de otra forma, esverdadera si no existe un contraejemplo aella.x D, Q(x) es verdadera si x D, Q(x) es falsa.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 9/15Ejemplo 4Veamos un ejemplo que involucra bases de datos.Negacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 10/15EjemploConsidere los siguientes datos:Nombre Carrera Edad HobbyJuan ITEC 21 LeerMara IMA 20 MsicaToms IIS 23 FutbolLalo LATI 22 AnimeLuis IFI 21 LeerSoledad LCC 24 FutbolNuestro dominio consiste de laspersonas Juan, Mara, Toms, La-lo, Luis, y Soledad.Indique cules afirmacionesson verdaderas:1. x, si x es menor de 19aos entonces x tienecomo hobby el Anime.2. x, si x estudia Letrastiene como hobby el futbol.3. x, si x tiene como hobbycorrer, entonces x estudialetras.Negacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 10/15EjemploConsidere los siguientes datos:Nombre Carrera Edad HobbyJuan ITEC 21 LeerMara IMA 20 MsicaToms IIS 23 FutbolLalo LATI 22 AnimeLuis IFI 21 LeerSoledad LCC 24 FutbolNuestro dominio consiste de laspersonas Juan, Mara, Toms, La-lo, Luis, y Soledad.Indique cules afirmacionesson verdaderas:1. x, si x es menor de 19aos entonces x tienecomo hobby el Anime.2. x, si x estudia Letrastiene como hobby el futbol.3. x, si x tiene como hobbycorrer, entonces x estudialetras.Las tres afirmaciones sonverdaderas pues no existe unelemento en el dominio quehaga verdadera la hiptesis!IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 11/15Variantes de una Declaracin UniversalDefinicionConsidere una declaracin de la forma: x D, si P(x) entonces Q(x).IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 11/15Variantes de una Declaracin UniversalDefinicionConsidere una declaracin de la forma: x D, si P(x) entonces Q(x). Su contrapositiva es la afirmacin: x D, si Q(x) entonces P(x).IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 11/15Variantes de una Declaracin UniversalDefinicionConsidere una declaracin de la forma: x D, si P(x) entonces Q(x). Su contrapositiva es la afirmacin: x D, si Q(x) entonces P(x). Su recproca es la afirmacin: x D, si Q(x) entonces P(x).IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 11/15Variantes de una Declaracin UniversalDefinicionConsidere una declaracin de la forma: x D, si P(x) entonces Q(x). Su contrapositiva es la afirmacin: x D, si Q(x) entonces P(x). Su recproca es la afirmacin: x D, si Q(x) entonces P(x). Su inversa es la afirmacin: x D, si P(x) entonces q(x).IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x)IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x) x D, r(x) es condicin necesaria para s(x)significa:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x) x D, r(x) es condicin necesaria para s(x)significa:x D, s(x) r(x)IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x) x D, r(x) es condicin necesaria para s(x)significa:x D, s(x) r(x) x D, r(x) slo si s(x) significa:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x) x D, r(x) es condicin necesaria para s(x)significa:x D, s(x) r(x) x D, r(x) slo si s(x) significa:x D, r(x) s(x)IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 12/15De nuevo con suficiente y necesarioEn en contexto de los cuantificadores de nuevo: x D, r(x) es condicin suficiente para s(x)significa:x D, r(x) s(x) x D, r(x) es condicin necesaria para s(x)significa:x D, s(x) r(x) x D, r(x) slo si s(x) significa:x D, r(x) s(x)De nuevo, ante la duda procurar pensar enejemplos concretos: Tener visa, tener pasaporte.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 13/15Ejemplo 5EjemploIndique en cules casos la afirmacin estcorrectamente negada:IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 13/15Ejemplo 5EjemploIndique en cules casos la afirmacin estcorrectamente negada:1. Afirmacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es irracional.Negacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es racional.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 13/15Ejemplo 5EjemploIndique en cules casos la afirmacin estcorrectamente negada:1. Afirmacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es irracional.Negacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es racional.2. Afirmacin: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negacin: Existe un nmero entero n, tal que n2 es para y n esimpar.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 13/15Ejemplo 5EjemploIndique en cules casos la afirmacin estcorrectamente negada:1. Afirmacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es irracional.Negacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es racional.2. Afirmacin: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negacin: Existe un nmero entero n, tal que n2 es para y n esimpar.3. Afirmacin: Existe un entero n, tal que n2 divisible por 4 y n no esdivisible por 4.Negacin: Para cualquier entero n, si n2 es dividible por 4,entonces n es divisible por 4.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 13/15Ejemplo 5EjemploIndique en cules casos la afirmacin estcorrectamente negada:1. Afirmacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es irracional.Negacin: El producto de cualquier nmero irracional porcualquier nmero racional es racional.2. Afirmacin: Para cualquier entero n, si n2 es par n es par.Negacin: Existe un nmero entero n, tal que n2 es para y n esimpar.3. Afirmacin: Existe un entero n, tal que n2 divisible por 4 y n no esdivisible por 4.Negacin: Para cualquier entero n, si n2 es dividible por 4,entonces n es divisible por 4.Son verdaderos slo 2 y 3.Negacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 14/15EjemploDe acuerdo a diagrama:acgbdfikehjIndique cules afirmacinesnegadas son verdaderas:1. t, Circulo(t) Gris(t)2. t, tal que Cuadrado(t) Gris(t)3. t, tal que Cuadrado(t) DerechaDe(d, t)4. t,Estrella(t) Gris(t)Negacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 14/15EjemploDe acuerdo a diagrama:acgbdfikehjIndique cules afirmacinesnegadas son verdaderas:1. t, Circulo(t) Gris(t)2. t, tal que Cuadrado(t) Gris(t)3. t, tal que Cuadrado(t) DerechaDe(d, t)4. t,Estrella(t) Gris(t)Las afirmaciones 1,2 y 3 sonfalsas: por tanto, al negarlasdan afirmaciones verdaderas.IntroduccionNegacion de Negacion de Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Prueba porVacuidadEjemplo 4Variantes deCondicionalDe nuevoEjemplo 5SumarioNegacin e Implicaciones con Cuantificadores Matemticas Discretas - p. 15/15Temas Vistos Negacin de una expresin con cuantificadores Equivalencias lgicas relativas a negacin decuantificadores Prueba por vacuidad Variantes de la condicional con cuantificadoresuniversalesIntroduccinNegacin de una Declaracin UniversalNegacin de una Declaracin ExistencialEjemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Pruebas por VacuidadPruebas por VacuidadPruebas por VacuidadPruebas por VacuidadPruebas por VacuidadPruebas por VacuidadEjemplo 4Variantes de una Declaracin UniversalVariantes de una Declaracin UniversalVariantes de una Declaracin UniversalVariantes de una Declaracin UniversalDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioDe nuevo con suficiente y necesarioEjemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Temas Vistos

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