Matemática i - Copia

  • Published on
    21-Nov-2015

  • View
    567

  • Download
    4

DESCRIPTION

h

Transcript

  • Calidad que se acredita internacionalmente

    ASIGNATURA

    MATEMTICA I(TEXTO UNIVERSITARIO)

  • La matemtica como ciencia es una de las ms importantes y poderosas herramientas creada por el ser humano. Es as como la asignatura de Matemtica I, trata de temas bsicos que permite a los estudiantes desarrollar habilidades de aprendizaje y formar las competencias requeridas para seguir estudios en las diversas carreras profesionales.

    Los contenidos propuestos se dividen en tres unidades didcticas:

    - Nmeros reales

    - Funciones

    - Trigonometra analtica

    Para tener xito en el manejo del presente material de teora y ejercicios, se sugiere que el estudiante se familiarice con la parte conceptual haciendo un buen uso de la simbologa y trminos que en ella se imparte y luego desarrollar todos sus ejercicios y problemas propuestos. Es recomendable trabajar en grupo y mantener vivas relaciones de comunicacin con el docente, a fin de esclarecer dudas; as mismo el estudiante deber consultar los otros medios tecnolgicos, como pginas de internet y medios que el docente ponga a su servicio en la plataforma virtual.

    Los autores

  • Asignatura: MATEMTICA I

    PRESENTANCINNDICE Pg.TEMA N 01 : NMEROS REALES.......................................................................................................................................... 09TEMA N 02 : ECUACINES LINEALES.................................................................................................................................. 18TEMA N 03 : ECUACINES CUADRTICAS......................................................................................................................... 26TEMA N 04 : ECUACINES CON RADICALES Y VALOR ABSOLUTO................................................................................ 32TEMA N 05 : INECUACIONES LINEALES.............................................................................................................................. 36TEMA N 06 : INECUACIONES CUADRTICAS..................................................................................................................... 42TEMA N 07 : INECUACIN FRACCIONARIA......................................................................................................................... 50TEMA N 08 : INECUACIN CON VARLO ABSOLUTO.......................................................................................................... 59TEMA N 09 : FUNCIONES...................................................................................................................................................... 64TEMA N 10 : DOMINIO DE UNA FUNCIN............................................................................................................................ 71TEMA N 11 : GRFICA DE FUNCIONES............................................................................................................................... 77TEMA N 12 : GRFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.................................................................................. 94TEMA N 13 : FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ............................................................................................ 102TEMA N 14 : FUNCIN PAR E IMPAR .................................................................................. .............................................. 107TEMA N 15 : TRANSFORMACIN DE FUNCIONES ........................................................................................................... 111TEMA N 16 : EJERCICIOS DE TRANSFORMACIN DE FUNCIONES .............................................................................. 122TEMA N 17 : CUADRTICAS, MXIMOS Y MNIMOS ........................................................................................................ 131TEMA N 18 : MODELACIN DE FUNCIN ......................................................................................................................... 143TEMA N 19 : COMBINACIN DE FUNCIONES ................................................................................................................... 155TEMA N 20 : FUNCIONES DE UNO A UNO INYECTIVAS ................................................................................................. 160TEMA N 21 : FUNCIN INVERSA ....................................................................................................................................... 166TEMA N 22 : FUNCIONES POLINOMIALES ....................................................................................................................... 174TEMA N 23 : FUNCIONES RACIONALES .......................................................................................................................... 187TEMA N 24 : FUNCIONES EXPONENCIALES, LGISTICA Y LOGARTMICA ................................................................ 203TEMA N 25 : APLICACIN DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES .............................................................................. 211TEMA N 26 : FUNCIN LOGSTICA ................................................................................................................................... 218TEMA N 27 : FUNCIONES LOGARTMICAS ...................................................................................................................... 226TEMA N 28 : ECUACIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICAS ..................................................................................... 235TEMA N 29 : MODELADO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS ...................................................... 242TEMA N 30 : FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................................. 252TEMA N 31 : GRFICA TRIGONOMTRICAS .................................................................................................................. 260TEMA N 32 : FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y TRIGONOMETRA ANALTICA........................................................ 271

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 9

    Matemtica I

    Nmeros Reales1. SabereS PrevioS

    AproximAcn de nmeros decimAles Se pueden aproximar nmeros decimales por truncamiento o por redondeo. Para redondear un nmero decimal hasta un

    ordeen n se escriben las cifras anteriores a ese orden. El valor de la cifra de orden n tendr los siguientes valores.

    Se deja igual si la cifra es menor que 5 Se aumenta en una unidad si la cifra siguiente es igual a mayor que 5.

    Ejm: Aproximamos el siguiente nmero decimal a:

    Dcimos Centsimos Milsimos

    3,84777... 3,84777...

    3,8

    3,84777...

    3,85

    3,84777...

    3,848

    Completa la siguiente tabla:

    Dcimos Centsimos Milsimos

    9,88992

    1,37344...3,84777...

    3,8

    3,84777...3,85

    3,84777...

    3,848

    GenerAtriz de un nmero decimAl La generatriz de un nmero decimal es la fraccin irreducible, obtenida al dividir el numerador entre el denominador.

    Decimal exacta Decimal peridico puro Decimal perodico mixto

    abca,abc

    1000=

    a0,aaa... 0,a

    9= =

    ab0,abbb... 0,ab

    90= =

    Exacto Peridico puro Peridico mixto

    2515,25 15

    1001

    154

    614

    = +

    = +

    =

    191,19 1

    9999 19

    9911899

    = +

    +=

    =

    315 32,315 2

    990312

    2990

    382495

    = +

    = +

    =

    Completa la siguiente tabla:

    Resolucin Fraccin Generatriz

    3,32

    4,312

    Semana 01PRIMERA UNIDAD

  • Matemtica I

    Pg. 10 Calidad que se acredita internacionalmente

    operAciones con frAcciones Simplifica la siguiente expresin numrica

    1 / 23 3 33 3 1 7 7 2 275 2 2 5 5 5 8

    + + +

    27 27125 8

    98 27

    8125 8

    + + +1 / 2

    1 / 227 988

    125 125 + +

    1 / 21258

    125 +

    1 / 2{9} 9 3

    Resuelve: 1 / 33 23 5 1 1 2 2 4

    4 4 4 4 5 64 25

    + + +

    2. NmeroS realeSesquemA

    NmerosReales ( )

    NmerosRacionales ( )

    NmerosIrracionales (I)

    NmerosEnteros

    NmerosFraccionarios

    m;m,n n 0

    n

    Positivos o+

    Cero

    Negativos

    o+

    propiedAdes de los :

    Propiedad Ejemplo Descripcin

    Propiedades Conmutativas

    a+b = b+a

    ab = ba

    8 + 5 = 5 + 8

    6 . 3 = 3 . 6

    Cuando se suman o multiplican dos nmeros no importa el orden.

    Propiedades Asociativas

    (a+b)+c=a(b+c)

    (ab)c=a(bc)

    (3+7)+9=3+(7+9)

    (6.4).3=(4.3)

    Cuando se suman tres nmeros, no importa cuales dos se suman primero. Cuando multiplicamos tres nmeros no importan cuales dos se multiplican primero.

    Propiedades Distributiva

    a(b+c)=ab+ac

    (b+c)a)ab+ac

    4(3+8)=4.3+4.8

    (3+8).4=4.3+4.88

    Cuando se multiplica un nmero por una suma de dos nmeros se obtienen el mismo resultado al multiplicar el nmero por cada uno de los trminos y luego suman los resultados.

    rectA reAl: Cuando en la recta numrica se representa los nmeros racionales y los irracionales se obtiene la recta real.

    a b

    0 Reales positivosReales negativos

    Orden ascendente

    +

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 11

    Matemtica I

    Dados dos nmeros reales a y b ubicados en la recta numrica ser menor el que se encuentre a la izquierda del otro.

    Ejm.:

    - Representamos en la recta real los nmeros: -3, -0,8, 0, 2 , 52

    , , 4

    0-1-2-3 1 2 3 42

    1,41

    5/2 0,8

    2

    Ubica los puntos en la recta numrica.

    a) 5 ; -3/4; -2/3; 2,51; 3

    0

    b) 3,8; -4/5; 3 ; 4/2;

    2,14 ; 2,14052

    0

    c) 0,2

    ; 3/9; 7 ; -2; 1,73

    ; 1,73206.

    0

    intervAlos Un intervalo es la representacin de un subconjuntos de los nmeros reales, cuyos elementos estn comprendidos entre dos

    extremos a y b que pueden estar incluidos o no.

    IntervaloRepresentacin Generalizacin

    Simblica Grfica Simblica Grfica

    Cerrado1 x 2

    [ 1;2] -1 0 1 2

    {x / x ,a x b}[a;b]

    a b

    Abierto1 x 2

    1;2

    <

    +

    a +

    ]x 2

    ;2

    -1 0 1 2 ]{x / x ,x b}

    ;b

    - b

    Completa la tabla

  • Matemtica I

    Pg. 12 Calidad que se acredita internacionalmente

    Intervalo Simblicamente Grficamente

    1;3

    {x / x , 4, x 2} <

    -3 0 1 2-4

    {x / x ,x 12} >

    ]17;0

    vAlor Absoluto

    Si x es un nmero real, entonces el valor absoluto de x es: x;x 0|x|x;x 0

    = |-m| ( ) |36| 36|6| 6

    = ( )

    distAnciA entre 2 nmeros reAles

    Si a y b son nmeros reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numrica es: a(a,b)=|ba|

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    1. Marca con un aspa el conjunto al que pertenece cada nmero.

    Conjuntos Nmeros

    0,137

    3,777...

    17

    12...

    2,15252...

    5,191919...

    2. Observa la recta y escribe lo que se te pide.

    0-1-2-3 1 2 3 94 5 6 7 8-4-5-6-7-8-9

    A B C D

    a) Dos nmeros enteros entre A y D.

    b) Cuatro nmeros irracionales entre B y D

    c) Cinco nmeros irracionales entre B y D.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 13

    Matemtica I

    3. Identifica tres formas de representar intervalos en y completa:

    Inecuacin R. Simblica R. grfica

    9x

  • Matemtica I

    Pg. 14 Calidad que se acredita internacionalmente

    Grficamente:

    0-1-2-3 1 2 3-4

    4. Efectuar:

    20,2

    3 2,30,35 0,21

    2 23

    235 2

    906

    19 9

    21xx

    + = +

    +

    + = +

    +

    +

    = ++

    = +

    = +

    + = + = =

    21 = +

    + = + = =

    c. bloque iii1. La tapa de una caja de bombones tiene forma de trapecio y sus medidas se indican en el grfico.

    4 2

    cm

    4 2cm

    6cm

    10cm4cm

    4cm

    a) Cuntos centmetros de cinta amarilla se usa para decorar la caja?

    Entonces para determinar la longitud de cinta usamos el permetro del trapecio.

    P 4 2 6 4 2 4 10 (6 4 10) (4 6 4 2)= + + + + = + + + +

    P 20 8 2= +

    P=20+8(1,4)

    P=20+11,2

    P=31,2 cm

    b ) Qu cantidad de cartulina se necesita para confeccionar 8 tapas?

    Para determina la cantidad de cartulina emplearemos el rea del trapecio.

    (B b).hA2

    += b=6cm B=14cm h=4cm

    (14 6)(4)

    A2

    +=

    A=40cm2 para una tapa , como nos piden 8 tapas: 28 40 320cm = Necesitamos de 320cm2 de cartulina.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 15

    Matemtica I

    2. Un nafrago se encuentra varado en una isla con slo pan y queso. Un kilo de pan contiene 1000 cal y 25g de protenas, y un kilo de queso contiene 2000 y 100g de protenas.

    Sabiendo que una dieta normal es de al menos 3000 caloras y 100g de proteonas diarias, subraya en qu casos se cumple lo recomendado si el nafrago consume.

    a) 1kg de pan y 1kg de queso b) 3kg de pan 1/8 kg de queso

    c) 1/2 kg de pan y 1/2 de queso d) 4kg pan y nada de queso.

    a) 1kg de pan 1kg de queso

    1000 cal + 2000 cal = 3000 cal

    25g + 100g = 125g.

    b) 3kg de pan 1/8kg de queso

    3 x 1000 cal + 1/8 (2000) cal = 3250 cal

    2 x 25g + 1/8 (100)g = 87,5g

    c) 0 pan y 1 1/2 kg de queso

    1 1/2 (2000) = 3000 cal

    1 1/2 (100) = 150g

    d) 4kg pan y 0 de queso

    4(1000) = 400 cal

    4(25) = 100g

    e) 1/2 kg de pan y 1/2 kg de queso

    1/2(1000)+1/2(2000)500+1000=1500cal

    1/2 (25)+1/2(100)12,5+50=62,5g

    Obteniendo estos resultados, hacemos la comparacin con las cantidades en caloras y grasas que se debe consumir en una dieta normal.

    Dieto normal 3000 cal100 g de protenas

    Subrayando las alternativas a, c y d.

    3. Una empresa de productos lcteos muestra el siguiente cuadro de produccin de leche evaporada La Vaquita durante un ao.

    01,5

    34,5

    67,5

    9

    ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

    4,32 3,3 5,45 2,0 6,22 3,6 5,8 4,1 7,24 7,0 5,4 3,72

    a) En qu logr la mayor produccin? En setiembre

    b) En qu mes se tuvo la menor produccin? En abril

    c) Representa con un intervalo el rango de produccin en el primer semestre. [2,00; 6,22]

    d) Representa con un intervalo el rango de produccin en el seguno semestre [3,72; 7,24]

    e) Represente con un intervalo el rango de produccin de todo el ao [2,00: 7,24]

    4. El permetro del rectngulo ABCD es menos que 50cm y el permetro del rectngulo PQRS es mayor que 28cm. Determina el intervalo que representa los valores que puede tener x.

    A

    D C

    B

    x

    20cm

    P

    S R

    Q

    11cm

    x

    a) [3;5] b) [3;5> c) 28

    2x < 10 2x > 6

    x < 5 x > 3

    3 < x < 5

    x

  • Matemtica I

    Pg. 16 Calidad que se acredita internacionalmente

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    1. Si x[2; 5[; a qu intervalo pertenece 2x2?

    a) b) [6; 8] c) [6; 8[ d) e) [6; [

    2. El nmero de cada bloque es el promedio de los nmeros que estan en los dos bloques inferiores. Calcula el valor de "x".

    1,75

    213

    013

    2

    X

    a) 1/7 b) 1/2 c) 1/8 d) 0 e) 1/2

    3. Calcula el valor exacto:

    22 1 1 32,555... 1,5 4,88... 3,5

    3 2 9 2

    + + + + + +

    a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1

    4. Calcula el valor de 2M

    21 1 25M 2 (1 1) 2 2 4

    2 4 4 = + + +

    a) 2

    46 b)

    22

    6 c) 5

    36 d)

    54

    6 e) 1

    5. Qu nmero irracional representa cada punto rojo ubicado en la recta numrica?

    0-1-2-3 1 2 3

    21

    a) 8 y 5 b) 2 2 y 3 c) 2 y 3

    d) 8 y 5 e) 2 2 y 5

    b. bloque ii1. Simplifica:

    1 11 1

    2 33 2

    1 12

    2 3

    + +

    a) 5/2 b) 5 c) 5/13 d) 3/5 e) 4/5

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 17

    Matemtica I

    2. Determina los valores que puede tomar "a" en cada caso. Luego, suma todos los resultados e indica la respuesta.

    |a| + 7 =13

    |2a1|5=10

    |a+3|+9=20

    a) 1 b) 0 c) 3 d) 9 e) 5

    3. Si: P=]1; 7] { }G x / 4 x 5=

    H=[7;1] y [(PG)H] da como resultado un intervalo b

    2a;3

    . Halla a+b.

    a) 5 b) 5 c) 2 d) 2 e) 3

    4. Halla el valor de A+2B, despus de efectuar las operaciones con aproximacin al centsimo.

    1A 2 0,27 1,8 5

    38

    B 0,38 ( 3 2) ( 1,43)7

    = + +

    = + +

    a) 0,99 b) 1 c) 0,9

    d) 1,9 e) 0,98

    5. Halla el permetro de la figura sombreada con aproximacin al centsimo, si el rea total de las figura es 27cm2.

    l

    a) 21,50cm b) 22,92cm c) 20,14cm d) 23,00cm e) 25,01cm

    c. bloque iii1. Cuando los arquelogos encuentran momias, necesitan determinar aproximadamente la estatura de perosna en

    centmetros. Asi ellos necesitan tener solo la estatura de un hueso y aplicar las siguientes frmulas.

    Hueso Hombre Mujer

    Hmero (h)

    Fmur (f)

    2.89h + 70,64

    1,88f + 81,31

    2,75 h + 71,48

    1,95 f + 72,85

    1.1. Un arquelogo muy conocido hall un hmero de una mujer supuesta pobladora de una antigua civilizacin cuya longitud es de 35,04cm. Diga cul sera la estatua aproximada.

    1.2. Otro arquelogo encontr un fmur y un hmero de un hombre cuyas longitudes era de 47,18cm y 38,38cm respectivamente. Sera posible que seran del mismo poblador? Por qu?.

    2. Por medidas de seguridad, se va a cercar un lote de terreno baldo cuyos dimensiones estn en la figura. Cuntos metros de cerca sern necesarios?

    5km

    3km

    a) 8 800m b) 1652m c) 8930m d) 1500m e) 1600m

  • Matemtica I

    Pg. 18 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. Si todos los cuadrilteros en las que se ha descompuestos la figura son cuadrados. Halla lo siguiente:

    400m2

    144m2

    a) La medida del cuadrado sombreado b) El rea del cuadrado sombreado

    c) El permetro del cuadrado sombreado d) El rea total del terreno

    e) El permetro total de la figura

    4. La empresa Bellephone muestra las siguientes tarifas para ayuda a sus clientes en el clculo del costo de llamadas locales de un telfono fijo a otro fijo.

    Si el cargo po establecimiento de llamada equivale a un minuto de conversacin, encuentra el costo sin I.G.V. de una llamada de:

    a) 16 minutos a las 2 de la tarde b) 12 minutos a las 4 de la maana

    c) 20 minutos a las 21:30h d) 42 minutos a las 5:32h

    e) Cunto pagar en total?

    5. Un campo de ftbol tiene la forma de un sector circular que correspona al cuarta parte de un circulo de 12,92m de radio. Si un jugador se mueve de A a B. Qu distancia recorre? Cul es el rea del campo?

    Ecuaciones Lineales1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdosReduccin de trminos semejantes.

    Reduce:

    01. 6m + 8m 24m 02. 23 (4x+3) 12 (3x + 8 ) + 20

    03. 3m2 (2m 7) (m2 + 6m 5) 04. 3(3x 4) + 5(3 2x)

    b. ejercicios propuestosAplica productos notable sy reduce

    01. 6 + 3x2 + (2x 3) (2x + 3) 02. (y 4)2 (3y + 1)2

    03. (m + 5)(m 5) (m + 4)(m 4) 04. (4x 1)(4x + 1) + (2x 1)2

    2. ecuacioNeS liNealeS iGuAldAd AlGebrAicA

    Posee nmeros y letras (variables o incgnita). Est formada por expresiones algebraicas separadas por el signo igual.

    Las igualdades algebraicas que son ciertas para cualquier valor de la variable se llaman "identidades", y las que son ciertas para un valor o conjunto de valores se llaman ecuaciones.

    x + 5x = 6x x + 3 = 8

    identidad ecuacin

    ecuAcin Es una igualdad algebraica que contiene algn trmino desconocido llamado variable o incgnita.

    Los elementos de una ecuacin son:a) Variable o incgnita; es la letra cuyo valor es desconocido.b) Grado: es el mximo exponente de la variablec) Miembro: Son las expresiones que hay a cada lado de la igualdad.d) Trminos: Son los sumandos que forman los miembros.Identifica un elemento en las siguientes ecuaciones:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 19

    Matemtica I

    Ecuacin Variable Grado Trminos 1er. miembro 2do. miembro

    4n+3=n6

    x26x+4=0

    a36=8

    Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma ax+b=0, donde a y b son nermo reales y a0.

    ax + b =0 a; b ; a0

    resolucin de unA ecuAcin de primer GrAdo Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita que satisface la igualdad. Este valor es la solucin de

    la ecuacin. Para resolver ecuaciones podemos aplicar las propiedades de las igualdades (propiedad de monotona) o trasposicin de trminos.

    propiedAdes de lAs iGuAldAdes Las igualdades cumplen la propiedad de monotona.

    Propiedad Simbolizacin

    Si a los dos miembros de una igualdad se les uma o resta un mismo nmero, la igualdad se mantiene.

    a=ba+c=b+c

    a=bac=bc

    Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por un mismo nmero, la igualdad se mantiene.

    a=ba.c=b.c

    a=ba c=b c

    si c 0

    resolucin de unA ecuAcin de 1er. GrAdo Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita que satisface la igualdad. Este valor es la solucin de la

    ecuacin.

    Para resolver ecuaciones podemos aplicar las propiedades de las igualdades (propiedad de monooma) o trasposicin de trminos.

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Cules de las siguientes expresiones son ecuaciones y cules son igualdades numricas. Explique:

    a) x210=6 Es una ecuacin porque es una igualdad cuya incgnica es ___________

    b) 532=123 Es una igualdad numrica porque solo tiene nmeros.

    c) x 1 82

    = Es una ecuacin porque es una _____________ cuya incgnita es _____

    d) 4 m 2+ = Es una ecuacin porque es una ________ cuya incgnica es _______

    02. Identifica los elementos de las siguientes ecuaciones:

    Ecuacin Variable Grado Trminos 1er. miembro 2do. miembro

    5x+8=162x x 1 5x; 8; 16; 2x 5x+8 162x

    m25m+6=0 m 2 m2; 5m; 6 m25m+6 0

    y38=4 y 3 y3; 8; 4 y38 4

    03. Resuelve: 3x6=9 aplicando la propiedad de monotoma.

    * Sumamoa 6 a ambos miembros: 3x + 6 = 9 + 6

    3x = 3

  • Matemtica I

    Pg. 20 Calidad que se acredita internacionalmente

    * Dividimos entre 3 a ambos miembros: 3x 3 = 3 3 x = 1 C.S.= {1}

    04. Resuelve: 2x + 15 = 26 aplicando transposicin de trminos.

    * Como 15 esta sumando, pasa al otro miembros restando: 2x=2615

    2x=41* Como 2 est multiplicando, pasa el otro miembro dividendo:

    41x2

    =

    x= 20,5.

    b. bloque ii01. Resuelva la ecuacin:

    3[x 2(x 2) 4(x 5)] 3(x 4) + + =

    aplicamos la propiedad distributiva:

    3[x 2x 4 4x 29] 3x 12 + + + = +

    reducimos trminos semajantes

    3[3x 24] 3x 12+ = +

    aplicamos la propiedad distributiva

    9x 72 3x 12+ = +

    transponemos trminos

    9x 3x 12 72+ =

    reducimiento trminos semjantes

    12x = 60

    transponerse 12 para depejar la incgnita

    60x

    12x 5

    =

    =

    02. Resuelve la ecuacin:

    x 1 2x 1 x 1x

    2 3 6 8+

    =

    Eliminamos denominadores muliplicando cada trmino de la ecuacin por 24, que es el M.C..M de 2, 3, 6 y 8

    x 1 2x 1 x 124(x) 24 24 24 24

    2 3 6 8+ =

    24x 12(x+1) 8 (2x1)=4(x)3

    Aplicamos la propiedad distributiva y reducimos trminos semejantes.

    24x 12x 12 16x + 8 = 4x 3

    4x4=4x3

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 21

    Matemtica I

    Transponemos trminos y reducimos.

    4x 4x 3x 48x 1

    1x

    8

    = +

    =

    =

    La solucin de la ecuacin es 18

    03. Resuelve la ecuacin:

    (x6)(x+6) = (x2)(x+5)2

    Aplicamos productos notables:

    2 2 2

    2 2

    (x 6)(x 6) (x 2)(x 5) 2

    (x) (6) x ( 2 5)x ( 2)(5) 2

    x 36 x (3)x 10 2

    + = +

    = + + +

    = +

    transponemos trminos y reducimos en cada miembro.

    2 2x x 3x 10 2 (36)3x 24

    = + =

    despejamos la incgnita: 24

    x 83

    = =

    04. Resuelve para P en trmino de las otras variables:

    A = P + P.r.t

    factorizamos P en el 2do miembro:

    A = P(1 + rt)

    Usando propiedad Usando transposicin

    Dividimos a ambos miembros (1+rt) pasa dividiendo al

    entre (1+rt) 1er. miembro.

    A P(1 rt)1 rt 1 rt

    AP

    1 rt

    +=

    + +

    =+

    AP

    1 rt=

    +

    donde 1+rt 0 donde 1+rt 0

    c. bloque iii01. Una diseadora de jardines planifica una serie de pequeos jardines triangulares afuera de un nuevo edificio

    de oficinas. Su plan es que un lado sea un tercio del permetro y el otro, un quinto del permetro. Es espacio asignado para cada lado permitir que el tercer lado tenga 7 metros. Halla el permetro del tringulo.

    Resolucin:

    Dibujamos un tringulo y sealamos un lado con 7m. Sea P el permetro, entonces los lados restantes son un tercio de P (P/3) y un quinto de P(P/5).

  • Matemtica I

    Pg. 22 Calidad que se acredita internacionalmente

    P/3 P/5

    7m

    Permetro = suma de la longitud de los lados.

    P PP 7

    3 5= + +

    Multiplicamos a ambos miembtos por 15 (M.C.M. de 3 y 5)

    P P15P 15 7

    3 5 = + +

    Aplicamos la propiedad distributiva.

    P P15P 15 7

    3 5

    P P15P 15 15 (15)(7)

    3 515P 5P (3)P (105)

    15P (8)P 105

    = + +

    = + +

    = + +

    = +

    Reducimos trminossemejantes

    Transponemos o usando propiedades:

    1P 8P 1057P 105

    105P

    (7)P 15

    ==

    =

    =

    El permetro es 15m

    02. Un bote de excursin tarda en recorrer 360 km ro arriba, 1,5 veces del tiempo que tarda en regresar. Si el bote cruza a 15 millas por hora en aguas tranquilas. Cul es la velocidad d ela corriente?

    Resolucin:

    Sea x= velocidad de la corriente (en km por hora) (qu es lo que se pide hallar)

    15 x = velocidad del bote ro arriba (ms rpido ro abajo)

    15+x = velocidad del bote ro abajo

    tiempo ro arriba = (1,5) (tiempo ro abajo)

    se sabe que: dis tancia

    tiempovelocidad

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 23

    Matemtica I

    entonces:

    distancia ro arribavelocidad ro arriba

    =(1,5)distancia ro abajovelocidad ro abajo

    dis tancia ro arriba dis tancia ro abajo(1,5)

    velocidad ro arriba velocidad ro abajo360 360

    1,5.15 x 15 x

    360 54015 x 15 x

    =

    = +

    = +

    Multiplicamos ambos miembros por (15x).(15+x)

    360(15 x

    (15 x)

    540

    )(15 x)(15 x

    + =+

    (15 x)(15 x)

    + )

    360(15 x) 540(15 x)+ =

    Aplicamos la propiedad distributiva:

    5400 + 360x = 8100 540x

    transponemos trminos:

    360x 540x 8100 5400900x 2700

    x 3

    + = ==

    la velocidad de la corriente es de 3km por hora.

    03. Cunos litros de una mezcla que contiene 80% de alcohol debe agregarse a 5 litros de una solucin al 20% para producir una solucin al 30%?

    Resolucin:

    Sea x = cantidad de solucin al 80% usada

    80% de solucin

    Antes de mezclar

    x litros

    20% de solucin 30% de solucin

    5 litros (x+5) litros

    + =

    Despus de mezclar

    cantidad de alcohol cantidad de alcohol cantidad de alcoholen la primera solucin en la segunda solucin en la mezcla

    0,8x 0, 2(5) 0,3(x 5)0,8x 1 0,3x 1,5

    0,5x 0,5x 1

    + =

    + = ++ = +

    ==

    Se debe agregar 1 litro

  • Matemtica I

    Pg. 24 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. A un conductor de P kilogramos de masa, la ingesta de m gramos de alcohol le produce una concentracin de m

    0,7P gramos de alcohol por litros de sangre.

    Dependiente de la persona, el lmite mximo de 0,5 g/L se alcanza en una botella de cerveza o un vaso de whisky. A partir de cuntos gramos de alcohol ingerido, una persona de 60kg no puede manejar?

    Resolucin:

    Nos piden "m"

    lmite mximo de la concentracin 0,5 g/L

    Frmula para la concentracin: m g

    0,7P L=

    Entonces: m

    0,50,7P

    =

    Reemplazamos P=60 (Dato del problema).

    m0,5

    0,7.60m

    0,542

    =

    =

    21g = m

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Si se multiplica por 2 ambos miembros de la ecuacin 52x=x+m, el valor de x quedar tambin multiplicado por 3?

    02. Coloca una V o F respectivamente:

    a) Si un valor determinado de la incgnita satisface la ecuacin dada, entonces dicho valor pertenece al conjunto solucin de la ecuacin ( )

    b) Si al adoptar un valor determinado la variable no se cumple la igualdad aosciada a la ecuacin, entonces dicho valor no pertenece al conjunto solucin ( )

    c) (3+4)5+12=0 es una ecuacin ( )

    d) 1 es una raz de x3+x2+x+1=0 ( )

    03. Llena las casillas en blanco un nmeros de 1 al 9 de modo que se cumplan las operaciones horizontales y verticales.

    + 7 =9

    x

    + =5

    =8 =6

    04. La suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal de un cuadrado mgico es la misma. En el siguientes cuadrado mgico halla.

    a) x+y b) xy c) 3x-2y d) xxy

    x 18 y

    14 10 6

    12 2 16

    05. Si x es un nmero, expresa las siguientes encunciados.

    a) Un nmero aumentado en 7 unidades.

    b) Un nmero disminuido en 6 unidades.

    c) El doble de un nmero aumentado en 3.

    d) La mitad de un nmero aumentado en 1.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 25

    Matemtica I

    b. bloque ii

    01. Resuelve la siguiente ecuacin: x 3 3 5x 2x 1

    8 9 6 + +

    =

    02. Resuelve: 1 2{3 [4 (x 1)]} 6x 5[1 8(4 x)] + + = 03. Hallar "x"

    22(x 5) x(x 1) 2 x(x 4)+ + + = +

    04. Despejar "x" en:

    m(x m) n(x n)x

    n m+ +

    + =

    05. Sea V el volumen y A rea para un prisma rectangular recto. Se tienen las frmular:

    V=l.a.h,

    ha

    d

    l

    A=2la+2 l .h+2a.h

    d2= l 2+a2+h2

    Despeja de cada formula a, l, h

    c. bloque iii01. La iluminacin E de una fuente vara inversamente con el cuadrado de la distancia "d" a partir de la fuente.

    Si la iluminacin que produce un potente reflector es de un rea de 5000m2 a 15,24m, Cul es el rea de iluminacin a una distancia de 1,6 km.

    02. A partir de restos seos encontrados en las huacas del norte del Per, se han logrado determinan las estaturas promedio, de los hombres y mujeres que vivieron en aquella poca.

    Las ecuaciones presentadas en latabla estn elaboradas para inferior la estatura en etnias originarias de Amrica del Sur.

    Estatura en varones Estatura en mujeres

    2,28 (fmur) 66,38 3,42 + 2,59 (fmur) 49,74 3,82 +

    1,98 (tibia) 93,75 2,81 + 2,72 (tibia) 63,78 3,51 +

    a) Hallar la estaturas mxima y mnima esperadas para una mujer si se sabe que su trmino mide 42cm de longitud.

    b) Hallar la estatura mnima y mxima que pudo haber tenido un hombre moche cuyo fmur mide 0,43m.

    03. El peso esperado W (en toneladas) de una ballena adulta se relaciona con su longitud L (en pies) mediante la ecuacin W=1,70L-2,8.

    a9 Unos investigadores marinos encontraron una ballena de 9,144m. Calcula su peso, sabiendo que 1 pie equivale a 0,3048m.

    b) Una ballea pesa 19,2 toneladas. Cul es su longitud en metros?

    04. Si se espera que la poblacin P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo con la frmula P 15 3t 2= + +, en donde el tiempo t est en aos.

    a) Cul ser la poblacin al final del dcimo ao?

    b) Cunto ha aumentado la poblacin en el dcimo ao?

    05. Si se sabe que la soya contiene un 16% de protenas y el maz un 9%. cuntos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debera mezclar para obtener una mezcla de 350kg con un 12% de protenas.

  • Matemtica I

    Pg. 26 Calidad que se acredita internacionalmente

    Ecuaciones Cuadrticas1. SabereS PrevioS

    ejercicios resueltos:Factorice:

    Semana 02

    01. 3x2+9x Solucin: Factor comn monomio:

    3x(x+ )02. 25x2-16 Solucin: Diferencia de cuadrados:

    (5x+4)(5x 4)03. 36x4+24x2+4 Solucin Trinomio cuadrado perfecto:

    (6x2+ )2

    04. x23x180 Solucin: Aspa (x15)(x+12)05. 6x25x4 Solucin: Aspa (3x4)(2x+1)

    ejercicios propuestos:Factores:01. 12x420x3+16x2 02. 81x2100y2

    03. 2 1x x

    4 + 04. x26x135

    05. 12x27x10

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 27

    Matemtica I

    2. ecuacioNeS cuadrticaS definicin:

    Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son nmeros reales con a0.

    La ecuacin cuadrtica (ecuacin de segundo grado) se caracteriza por tener soluciones llamadas

    .

    La grfica de una funcin cuadrtica es una curva abierta llamada

    En la ecuacin: ax2+bx+c=0 a,b,c :Si: a0 b0 c0ax2+bx+c=0 (Ecuacin completa)Si: a0 b0 c=0ax2+bx=0 (Ecuacin incompleta)Si: a0 b=0 c0ax2+c=0 (Ecuacin incompleta)Si: a0 b=0 c=0ax2=0 (Ecuacin incompleta)

    mtodos pArA solucionAr unA ecuAcin cuAdrticA1. Por factorizacin.2. Por frmula cuadrtica.1. Por factorizacin: Este mtodo se aplica nicamente si la expresin cuadrtica es factorizable, para lo cual se debe

    tener en cuenta la siguiente propiedad: A.B=0 si y slo si A=0 B=02. Por frmula cuadrtica: Las rapices de la ecuacin cuadrtica ax2+bx+c=0, donde a, b y c

    y a0, estn dadas

    por:

    2b b 4acx

    2a

    =

    donde las races son: 2

    1b b 4ac

    x2a

    + = y

    2

    2b b 4ac

    x2a

    =

    nAturAlezA de lAs rAces: Discriminante (): LLamada discriminante a la expresin subradical contenida en la frmula cuadrtica, es decir:

    Anlisis del discriminante: Dada la ecuacin: ax2+bx+c=0 (a0)

    * Si: >0, la ecuacin admite dos soluciones reales diferentes.* Si: =0, la ecuacin admite dos soluciones reales iguales (raz nica)* Si:

  • Matemtica I

    Pg. 28 Calidad que se acredita internacionalmente

    b) 81x216=0 Solucin: - Diferencia de cuadrados: (9x+4)(9x4)=0 - Aplicamos la propiedad: 9x+4=0 9x4=0 x=4/9 x=4/9 - Las races son: 4/9 y 4/9c) x2x=72 Solucin: - Trasladamos el 72 al primer miembro de la ecuacin: x2x72=0 - Aspa: (x9)(x+8)=0 - Aplicamos la propiedad: x9=0 ; x+8=0 x=9 ; x=8 - Las races son: 8 y 9d) 6x2+7x20=0 Solucin: - Aspa: (3x4)(2x+5)=0 - Aplicamos la propiedad: 3x4=0 2x+5=0 x = x=

    - La races son: y

    b. bloque ii1. Resuelve: 4x217x+15=0 Solucin:

    - Aplicando la frmula cuadrtica, donde: a = ; b=17 y C=

    - 2( 17) ( 17) 4(4)(15)

    x2(4)

    17 49x

    817 7

    x8

    =

    =

    =

    x1= y x2=

    2. Resuelve: 29y 6 2y 2 0+ + =

    Solucin:

    - Aplicamos la frmula cudrtica, donde: a= ; b= y c=

    - 26 2 (6 2) 4(9)(2)

    y2(9)

    + =

    - 6 2

    y18

    =

    - 1 22 2

    y ; y3 3

    = =

    Por tanto la nica raz es: 2

    3

    3. Resuelve: x2+2x+2=0 Solucin:

    - Aplicamos la frmula cuadrtica, donde: a= ; b= y c=

    - 22 (2) .4(1)(2)

    x2(1)

    =

    2

    x2

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 29

    Matemtica I

    2 2x

    2

    =

    x 1=

    La ecuacin no tiene races reales, pero si tiene solucin en el campo de los nmeros complejos, donde: 1 i = (unidad imaginaria), entonces:

    x1=1+i y x2=1i

    4. Si la ecuacin: (a+1)x24x+a2=0 tiene races iguales, halle el valor de a. Solucin:

    - La ecuacin tiene races iguales, entonces el discriminante es: - b24ac=0 (4)24(a+1)(a2)=0 164( )=0 164a2+4a+8=0 0=4a24a24 0=a2a6

    0=(a )(a+ ) a=3 a=25. Resolver: x417x2+16=0 Solucin:

    - Aspa: (x2 )(x21)=0 - Diferencia de cuadrados en cada uno de los factores: (x+4)(x4)(x+1)(x1)=0 - Entonces: x1=4; x2=4; x3=1; x4=1.

    6. Resuelve: x 4 2x 11x 4 x 1

    =

    + Solucin: Comprobando: (x4)(x1)=(2x11)(x+4) Si: x=8 Si: x=6

    x25x+4=2x23x44

    x 4 2x 11x 4 x 1

    =

    +

    x 4 2x 11x 4 x 1

    =

    +

    0=x2+2x48

    12 274 9

    =

    2 110 5

    =

    0=(x+ )(x ) 3 = 3

    1 15 5

    =

    x1=8 y x2=6.

    c. bloque iii01. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial (VO) de 40 metros /s, Cuntos segundos se demora

    la pelota para alcanzar el punto ms alto de su trayectoria? (utilice la frmula: h=16t2+Vot)

    Solucin:

    Primero encontramos la altura mxima:

    El punto ms alto en su trayectoria se da una sola vez, este quiere decir que la ecuacin debe tener un solo valor, entonces: =0.

    Pasamos todos los trminos de la ecuacin (h=16t2+Vot) al primer miembro:

    16t2Vot+h=0

    16t240Vot+h=0

    El discriminante es cero

    =b24ac

    0=(40)24(16)(h)

    0=160064h

    64h=1600

    h=25m

  • Matemtica I

    Pg. 30 Calidad que se acredita internacionalmente

    - Ahora hallamos el tiempo que se demora la pelota para alcanzar la altura de 25m

    h = 16t2 + 40t

    25 = 16t2+40t

    16t240t+25=0

    (4t5)2=0

    t=5/4

    t=1,25 segundos.

    02. Un fabricante de instrumentos musicales, encuentra que su ganancia (G) generada por la fabricacin de x

    instrumentos por semana, est dada por la frmula: xG (300 x)10

    = siempre y cuando 0 x 200.

    De la cantidad de instrumentos que tiene que fabricar en una semana para obtener una ganancia de S/. 1250.00

    Solucin:

    2

    1 2

    xG (300 x)

    10x

    1250 (300 x)10

    12500 300x

    x 300x 12500 0(x 250)(x ) 0x 250 x

    =

    =

    =

    + = == =

    * Por dato: 0 x 200

    * Entonces se tiene que fabricar 50 instrumentos.

    03. Un terreno de forma rectangular, tiene 2900 metros cuadrados de ancho. Si el largo de dicho terreno mide 8 metros ms que su ancho, determine las dimensiones del terreno.

    Solucin:

    * Ancho del terreno: x

    * Largo del terreno: x+8

    * rea de un rectngulo = largo . ancho

    2900 = x(x+8)

    2900 = +

    0 = x2 + 8x

    0 = (x+58)(x50)

    * Entonces: x1=58 x2=50

    * El ancho del terreno tiene que ser un nmero positivo, entonces concluimos que: Ancho=50 metros y largo= 48 metros.

    04. Debido a una fuerte tormenta, el nivel del agua en una represa se debe reducir en una metro para que no colapse. La compuerta A reduce el nivel del agua a esa cantidad de 4 horas, miestra que la compuerta B lo reducen en 6 horas. En cuntas horas se reducir dicha cantidad de agua, si se abren las dos compuerta al mismo tiempo?

    Solucin:

    - x=el tiempo en horas que se requiere para bajar el nivel del agua en un metro en las dos compuestas abiertas.

    - Nivel del agua que baja A en una hora = 1/4 de metro.

    - Nivel de agua que baja B en una hora = 1/6 de metro.

    - Nivel de agua que bajan A y B juntas en una hora = 1/x de metro

    - Lo que efectan A y B juntas.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 31

    Matemtica I

    1 1 1

    MCM4 6 x3x 2x 125x 12

    12x

    52

    x 2 horas5

    + =

    + =

    =

    =

    =

    =

    Se necesita de 2

    25

    horas para bajar el nivel del agua en un metro con las dos compuertas abiertas.

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Resuelve: 16x2 = 25

    02. Resuelve; 3x2 5x 1=0

    03. Cul o cules de las siguientes ecuaciones:

    a) x2x=1 b) x22x+3=0 c) 3x2=2x

    no admite races reales?

    04. En la ecuacin: x210x+q=0, halle el valor de q para que las dos races de la ecuacin sean iguales.

    05. Resuelva: 4 3

    03 3x 1

    + =

    b. bloque ii

    01. Resuelve: (x2)2+3x=2(x+1)

    02. Si la ecuacin: x24x=3 tiene como conjunto solucin: {a; b}, donde a>b, halle el valor de: abba.

    03. Halle los valores que asume x en: 4x24ax=b2a2.

    04. Resuelve: 3 5

    2x x 2

    + =+

    05. Resuelve: 23x 43 3x 5 12

    x 2 x 4 x 2x 8+

    =+

    c. bloque iii01. La suma de dos nmeros es 6 y su suima de sus cuadrados es 20. Halle dichos nmeros.

    02. Una persona hizo un edredn que mide 4 metros x 5 metros. Dicha persona tiene 10 metros cuadrados de tela para crear un borde alrededor del adredn. Qu tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados)

    03. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial (Vo) de 80m/s. Despus de cuntos segundos la

    pelota golpea en el suelo, si: h=16t2+Vot?

    04. En un tringulo de 90cm2 de rea, su altura mide 8cm ms que su base. Halle la medida de su altura.

    05. Un avin vol desde Nueva York a los ngeles, una distancia de 4200 km. La velocidad para el viaje de regreso fue de 100km/h ms rapido que la velocidad de ida. Si el viaje total dura 13 horas. Cul es la velocidad del avin de NuevaYork a los ngeles?

  • Matemtica I

    Pg. 32 Calidad que se acredita internacionalmente

    Ecuaciones con Radicales y con Valor Absoluto

    1. SabereS PrevioSA. ejercicios desArrollAdos

    01. Una_________________ es un enunciado que iguala dos expresiones algebraica.

    02. Hay dos tipos de igualdades, ____________ y ___________

    03. Una ecuacin lineal en una variable es la que se puede escribir en la forma estndar ____________

    04. Cuando se resuelve una ecuacin, es posible introducir una solucin __________, que es una valor que no satisface la ecuacin original.

    05. Una ecuacin de la forma ax2+bx+c=0, a0 es una _________ _________, o ecuacin polinomial de segundo grado, en x.

    06. Los cuatro mtodos que se pueden emplear para reoslver una ecuacin cuadrtica son _________, ____________, ________ y la ___________

    2. ecuacioNeS que coNtieNeN radicaleS Operaciones como elevar al cuadrado cada lado de una ecuacin, elevar cada lado a una potencial racional o multiplicar

    cada lado por una cantidad variable pueden introducir SOLUCIONES EXTRAAS. As, cuando se emplea cualqueira de estas operaciones, la verificacin de las soluciones es necesaria.

    A. ejercicios resueltos

    Ejemplo 1: Resolver: 2x 7 x 2+ =Solucin:

    2

    2

    2x 7 x 2

    2x 7 x 2

    2x 7 x 4x 4

    0 x 2x 30 (x 3)(x 1))0 (x 3)(x 1)

    x 3 0 x 3x 1 0 x 1

    + =

    + = +

    + = + +

    = + = + = +

    + = = = =

    Ecuacin original

    Despeje el radical

    Eleve el cuadrado cada lado

    Escriba en forma general

    Factorice

    Iguale a cero el primer factor

    Iguale a cero el segundo factor

    Verfician estos valores:

    Prueba matemtica:

    2x 7 x 2

    2( 3) 7 ( 3) 2

    6 7 3 2

    1 3 21 3 2

    4 2

    + =

    + =

    + + =

    + =+ =

    = (absurdo)

    x = 3

    Semana 03

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 33

    Matemtica I

    Prueba matemtica:

    (cumple)

    x = 1 2x 7 x 2

    2(1) 7 1 2

    9 1 23 1 2

    2 2

    + =

    + =

    = =

    =

    Luego, la nica solucin es x=1 C.S.= {1}

    b. ejercicios propuestos:

    01. Resuelva la ecuacin 2x 1 2 x= Solucin:

    2x 1 2 x2x 1

    2 x0

    (4x 1)( ) 0x x

    = =

    =

    =+ =

    = =

    Ecuacin original

    Despeje el radical

    Eleve al cuadrado cada lado

    Escriba en forma general

    Factorice

    Igualando a cero cada factor

    Comprobando las soluciones vemos que:

    x = es una solucin, pero x= no lo es. Entonces la nica solucin es x=

    02. Resolver:

    2x 5 x 3 1

    2x 52x 5

    x 3 2 x 3

    0( )( ) 0x x

    =

    = =

    =

    =

    ==

    = =

    Ecuacin original

    Despeje

    Eleve al cuadrado cada lado

    Combine trminos semejantes

    Eleve al cuadrado cada lados

    Escriba en forma general

    Factorice

    Igualando a cero cada factor

    2x 5

    Comprobando las soluciones vemos que:

    Recuerde:Cuando una ecuacin contiene dos radicales, tal vez no sea posible despejarlos. En esos casos, hay que elevar cada lado a una potencia en dos pasos distintos como se muestra en el ejemplo anterior.

    3. ecuacioNeS coN valoreS abSolutoS Para resolver una ecuacin que incluya un valor absoluto recuerde que la expresin dentro, del signo, puede ser positivo o

    negativo. Esto conduce a dos ecuaciones que se deben resolver.

  • Matemtica I

    Pg. 34 Calidad que se acredita internacionalmente

    A. ejercicios resueltos:01. Resolver: |x2|=3

    Solucin:

    | x 2 | 3 =

    positivo negativo

    x 2 3x 5

    ==

    (x 2) 3x 2 3

    x 1

    = =

    =

    Ejercicio de la forma:

    |ax+b|=c

    Entonces la ecuacin tiene dos soluciones: x=5 y x=1

    Verificacin:

    Cuando: x=5 |52|=3 Cuando: x=1 |12|=3

    |3|=3 |3|=3

    3=3 (cumple) 3=3 (cumple)

    b. ejercicios propuestos:01. Resuelva la ecuacin |2x5|=3

    Solucin: De acuerdo con la definicin de valor absoluto, |2x5|=3

    equivale a:

    =3 o bien =3

    Las soluciones son x= , x=

    02. Resuelva: 2|x 3x| 4x 6 = + Solucin:

    Como la expresin variable dentro del signo de valor absoluto puede ser positiva o negativa, se deben resolver las dos ecuaciones siguientes.

    Primera Ecuacin:

    2

    2

    x 3x 4x 6

    x x 6 0(x 3)(x 2) 0x 3 x 2

    = +

    + =

    + =

    = =

    Use la expresin positiva

    Escriba en forma general

    Factorice.

    Igualando a cero cada factor

    Segunda Ecuacin:

    Use la expresin negativa

    Escriba en forma general

    Factorice.

    Igualando a cero cada factor

    2(x 3x) 4x 600

    x 3 x 2

    = +

    ==

    = =

    Verificacin:

    2x 3 |( 3) 3(3)| 4( 3) 618 18 (es correcto)

    = = +

    =

    2x 2 |(2) 3(2)| 4(2) 62 2 (no es correcto)

    = = +=

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 35

    Matemtica I

    2x |( ) 3( )| 4( ) 6(es ___________)

    = = +=

    2x |( ) 3( )| 4( ) 6(es ___________)

    = = +=

    Las soluciones son x=3 y x=

    3. aPlicacioNeSA. ejercicios resueltos

    01. Una aerolnea ofrece vuelos diarios entre Chicago y Denver. El costo mensual, C (en millones de dlares), de los vuelos es C 0.2x 1= + , donde x es el nmero de pasajeros (en miles). El costo total para el mes de junio es de 2.5 millones de dlares. Cuntos pasajeros volaron en Junio?

    Solucin:

    Dado: C=2.5

    Reemplazando en:

    2

    C 0.2x 1

    2.5 0.2x 1

    (2.5) 0.2x 16.25 0.2x 15.25 0.2x

    5.25x

    0.2x

    = +

    = +

    = += +=

    =

    = miles de pasajeros

    Respuesta: En Junio volaron pasajeros

    02. La ecuacin de la demanda para una televisin de alta definicin est modelada por:

    p 800 0.01x 1= +

    donde "x" es el nmero de unidades demandadas por mes y "p" es el precio por unidad. Aproxime la demanda si el precio es de 750 dlares.

    Solucin:

    Dato: p=750

    reemplazando en: p 800 0.01x 1

    750 800 0.01x 1

    = +

    = + Resolviendo:

    x=

    Respuesta: Aproximando la demanda es unidades.

    b. ejercicios propuestosEncuentre todas las soluciones de la ecuacin. Compruebe en la ecuacin original.

    01. 2x 10 0 =

    02. x 10 4 0 =

    03. 3 2x 5 3 0+ + =

    04. 26 11x 4 x + =

  • Matemtica I

    Pg. 36 Calidad que se acredita internacionalmente

    05. x 1 3x 1+ = +

    06. |2x 1| = 5

    07. |8x+7|=1

    08. |x| = x2+x3

    09. |x+1|=x25

    10. Considere una ecuacin de la forma x+|xa|=b donde a y b son constantes. Encuentre a y b si la solucin de la ecuacin es x=9 (Hay varias respuestas correctas)

    11. La ecuacin de la demanda para un juego de video est modelada por p 40 0.01x 1= + , donde "x" es el nmero de unidades demandadas por da y "p" es el precio por unidad. Apxoxime la demanda si el precio es de 37.55 dlares

    12. Un mtodo para determinar la profundidad de un pozo es arrojar una piedra hacia dentro y medir el tiempo

    que toma hasta que se escucha el choque contra el agua. Si "d" es la profundiad del pozo en pies y t1 el tiempo

    en segundos que requiere la piedra para llagar al agua, entonces 1d

    t4

    =

    Luego, si t2 es el tiempo que tarda el sonido en viajar, entonces d=1090t2 porque la velocidad del sonido es

    1090 pies/s. Entonces 2d

    t1090

    = . Por lo tanto, el tiempo total transcrurrido entre que se arroja la piedra y

    escuchar que choca el agua es: 1 2

    d dt t

    4 1090+ = +

    Qu tan profundo es el pozo si el tiempo es 3 segundos?

    Inecuaciones Lineales1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdosEn los ejercicios del 1 al 5 graficar en la recta numrica las siguientes desigualdades:

    01. x 5

    Solucin:

    5],5 intervalo no acotado

    02. x 2

    03. x < 3

    04. 2 < x < 2

    05. 0 < x 6

    b. ejercicios propuestosEn los ejercicios utilice la notacin de desigualdad para describir el conjunto.

    01. Todas las x en el intervalo ]2,4 Solucin:

    2 < x 4 intervalo acotado

    02. Todas las y en el intervalo 6,003. t es al menos 10 y, a lo ms , 22

    04. K es menor que 5 pero no menos que 3.

    05. Se espera que la tasa anual de inflacin r, sea al menos, 2.5% pero no mayor que 5%.

    2. iNecuacioNeS o deSigualdadeS liNealeSdefinicin:

    Resolver una inecuacin consiste en hallar el conjunto de todos los nmeros reales que satisfacen dicha inecuacin. Tal conjunto es llamado el CONJUNTO SOLUCIN (C.S) de la inecuacin.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 37

    Matemtica I

    Ejemplo 1: Resuelve la inecuacin: 4x + 5 > 6x 13

    Solucin:

    4x 5 6x 134x 5 6x 5 6x 13 6x 5

    2x 182x 18

    1 1(2x) (18)

    2 2x 9 ,9

    + >

    + >

    >

    cax + b < cax + b cax + b c

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Resuelva: 5x 7 > 3x + 9

    Solucin:

    5x 7 > 3x + 9 Escriba la desigualdad original

    2x 7 > 9 Reste 3x en cada lado

    2x > 16 Sume 7 en cada lado

    x > 8 Divida cada lado entre 2

    En conjunto de solucin: C.S.: x 8, Graficando:

    876 9 10x

  • Matemtica I

    Pg. 38 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. Resuelva la desigualdad: 3x

    1 x 42

    Solucin:

    3x1 x 4

    2

    Multiplique cada lado por 2

    Reste 2x en cada lado

    Reste 2 en cada lado

    Divide cada lado entre 5

    C.S.: x

    Graficando:

    b. bloque ii01. Resolucin de una desigualdad doble.

    Resuelve la desigualdad doble 3 6x 1 < 3

    Solucin:

    3 6x 1 33 1 6x 1 1 3 1

    2 6x 42 6x 46 6 61 2

    x3 3

    + + =

    >

    2x x 2 0 analizamos por ladiscriminante:

    2( 1) 4(1)( 2)9

    =

    = es mayor que CERO y es cuadrado perfecto

    por lo tanto:

    2(x 7) 0

    2(x 7) 0x

    tambin: =( 2) 4(1)( 7) 2

    =32 es mayor que CERO no es cuadrado perfecto

    por lo tanto 2x 2x 7 esfactorizable en

    Se representa as:

    ( ; ; ; )> <

    INECUACIONES CUADRTICAS

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Resuelve:

    a) 2014(x + 8)2 > 0 : ................................................

    b) 21

    333 x 07

    +

    : ................................................

    c) 21 1

    3x 0999 8

    >

    : ................................................

    d) 5 + 77(4x + 1)2 5 : .................................................

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 45

    Matemtica I

    02. La desigualdad cuadrtica x22x+7 0

    Resolucin: Igualamos a cero el primer miembro: x2x12=0

    Factorizando y tenemos los valores de x:

    (x 4)(x 3) 0x 4 0 x 3 0

    x 4 x 3

    + = = + =

    = =

    Ubicamos en la recta real:

    3 4FT

    IntervaloA

    IntervaloB

    IntervaloC

    T

    De cada intervalo escojemos un valor, y reemplazamos en la desigualdad y estos son: 5; 0; 5

    2

    2

    x x 12 0

    ( 5) ( 5) 12 025 5 12 0

    18 0

    >

    >+ >

    > donde este es verdadero

    2

    2

    x x 12 0

    0 0 12 012 0

    >

    > > donde este es falso.

    Y para x=5 es verdadero. Finalmente tenemos:

    3 40

    Rpta: x ; 3 4; +

    04. Resuelve: 2x 3x 2 0 + Resolucin:

    Resulta a=1

  • Matemtica I

    Pg. 46 Calidad que se acredita internacionalmente

    Se observa que el intervalo negativo es la solucin por:

    (x 2)(x 1).......0 OjO: es menor o igual que

    por lo tanto: x.................................................

    Importante:

    >

    0

    Resolucin:

    21x 5x 6 0 ; 0 + > >

    siempre

    Es cuadrado perfecto (>0)entonces x 5x+6 es2factorizable en Q

    >0

    El trinomio tiene las dos races x1=2; x2=3. Como a=1>0, el trinomio es negativo en el intervalo y positivo

    en ;2 3; + . Las soluciones de la inecuacin son entonces todos los puntos de ;2 3; +

    mejor asi:

    x ;2 3; + .

    por puntos crticos (P.C.)

    i) factorizamos el polinomio por aspa simple:

    2x 5x 6 0x 3x 2

    + >

    Tenemos: (x3)(x2)>0

    ii) Igualamos a cero cada factor: x 3 0 ; x 2 0x 3 ; x 2

    = == =

    puntos crticos

    iii) Los puntos crticos se ubican en la recta numrica:

    2 3 +

    ++

    Se observa que los intervalos positivos es la solucin por (x3)(x2)>0

    Por lo tanto: x ;2 3; +02. Resuelve: 2x 2x 9 0 Resolucin: Veamos por 2( 2) 4(1)( 9)

    40 0 =

    = >No es cuadrado perfecto

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 47

    Matemtica I

    Por lo tanto x22x9 es factorizable en .

    Por puntos crticos (P.C.)

    i) Factorizamos: x22x(1)+1210 dando forma a un T.C.P. en una parte o completando cuadrado, entonces: 22(x 2) 10 0

    diferencia de cuadrados: ...................... 0

    ii) Igualamos a cero cada factor: x 2 10 0 ; x 2 10 0x ................ ; x ..................

    + = == =

    Puntos crticos iii) Los (P.C) ubicamos en la recta real:

    + 2 10 2 10+

    ( )

    Se observa que intervalo es la solucin por:

    (x 2 10)(x 2 10).....0 +

    OjO: es mayor o igual que

    Por lo tanto: x .................................................................

    03. Resuelve: 2

    88777 x 8 99 997 1

    + +

    + >

    OjO

    Finalmente: 2

    88x 8 0 + >

    Observamos que cumple cualquier valor real, menos el 888

    entonces:

    x x ........... {..........} ..................

    Cositas:

    Resuelve:

    1. x2 3x 28 2. x2 x + 56 > 0

    3. x2 4x 1 0 4. 29 (x 8) 7 78

    + >

    04. Halle el mnimo valor de A para el cual la inecuacin: 26x x A Se cumpla para cualquier valor real de x.

    Resolucin: 26x x A 0 Simpre

    Multiplicamos por( 1)

    2x 6x A 00

    +

    Propiedad importante

    Por lo tanto: (6)2 4(1)(A) 0

    36 4A 0 4A 36

    Tenemos finalmente: A 9

    Amn.=9

  • Matemtica I

    Pg. 48 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Altura de un proyectil. Se dispara un proyectil hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad inicial

    de 128 pies por segundo, de manera que su altura en cualquier tiempo t es dada por: h=16t2+128t.

    Donde la altura "h" se mide en pies y el tiempo "t" en segundos. Durante qu intervalo la altura del proyectil exceder 240 pies?

    Resolucin:

    Por dato: h>240

    Mejor: h=16t2+128t > 240 16t2 128t + 240 < 0

    Simplificando y factorizando: (t3)(t5) >

    >

    + Si x representa el anchoentonces x>7

    2x

    x

    03. Distancia de frenado. Para un cierto modelo de automvil la distancia d que requiere para detenerse si est viajando a un velocidad millas/h se encuentra mediante la frmula.

    2

    d20

    = +

    donde d se mide en pies. Kerry desea que su distancia de frenado no exceda 240 pies. Entre qu rango de velocidad debe viajar?

    240 pies

    Resolucin: de la condicin: d 240.

    Adems se sabe que: 2

    d20

    = + reemplazamos en la condicin, tenemos 2

    24020

    +

    Reduciendo tenemos: 2 20 4800 0 + factorizando el primer miembro se tiene: .................... 0 luego por puntos crticos finalmente se obtiene:

    80 x 60 de donde se tendr entre 0 y 60 millas.

    04. Un polgono es una figura cerrada que se forma uniendo segmentos de lnea. Por ejemplo, un tringulo es un polgono de tres lados. En la figura se ve un polgono con ocho lados, que se llama octgono. Una diagonal de un polgono se define como un segmento de recta que une dos vrtices no adyacentes cualquiera. La

    cantidad "d" de diagonales de un polgono con n lados es 1d (n 1)n n2

    = . Para qu polgonos la cantidad de diagonales es mayor que 35?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 49

    Matemtica I

    vrtice

    vrtice

    n=8

    Resolucin: por dato: d > 35

    1(n 1)n n 35 ....................

    2 >

    donde tenemos: n2 3n 70 > 0 .....................

    n ; 7 10;

    slo : n 10

    +

    >

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Resuelve: 21

    7x 03

    >

    Rpta: ____________________________________

    02. Resuelve: x2 x 6 0

    Rpta: ____________________________________

    03. Resuelve: x2 13

    Rpta: ____________________________________

    04. Resuelve: x2 + 2x + 5 9x + 9

    02. Calcula "" entero si la ecuacin:

    x2 2(1)x + 47 = 0

    Tiene races complejas.

    03. La edad de PACOLO est dado por la suma de valores reales de "" que permiten que el conjunto solucin de la inecuacin cuadrtica en "x".

    x2 + (1)x 8 < 0

    Sea { } / {0} , Indica la edad de PACOLO.

    04. Resuelve:

    21 5x 2 1 2x 1 1 3 x 2 (x 2)

    5 3 3 3 + > + +

    05. Resuelve: 5 3 33

    x x (2x 5)(x 3)2 2 4

    + + >

    Luego indica la suma de los valores enteros de "x"

  • Matemtica I

    Pg. 50 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii

    01. Resuelve: abx2 (a2 + b2)x + ab < 0

    Si se sabe que: 0 < a < b

    02. Rendimiento de combustible. El nmero de millas M, que cierto auto compacto puede viajar con 1 galn de gasolina, est relacionado con su velocidad v (en millas/h) por:

    21 5M30 2

    = + para 0 70<

    es equivalente a x > 2x 6 ....... ( )

    b) La inecuacin x 3 1x 2

    b) Determine: T(2); T(3) y T(5)

    c) Qu representa las respuestas.?

    04. De acuerdo con la teora de la relatividad, la longitud L de un objeto es una funcin de su velocidad V con respecto a un observador. Para un objeto cuya longitud en reposo es 10m, la funcin esta dada por:

    2

    2V

    L(V) 10 1C

    =

    Donde C es la velocidad de la luz.

    a) Determine L(0,5C); L(0,75C) y L(0,9C)

    b) Cmo cambia la longitud de un objeto cuando se incrementa su velocidad?

    05. En cierto estado la velociidad mxima permitida en las autipistas es 65 km/h y la mnima es 40 km/h, La multa F por violar estos lmites es 15 soles por cada kilmetro arriba del mximo o abajo del mnimo.

    a) Completa las expresiones en la siguiente funcin definida por partes, donde x es la velocidad a la que conduce una persona.

    ; si 0 x 40F(x) ; si 40 x 65

    ; si x 65

    <

    b) Determine F(30), F(5= y F(75)

    c) Qu representan las respuestas del inciso b?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 71

    Matemtica I

    Dominio de una Funcin1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos

    01. Que valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: f(x) x 1= ? Solucin:

    f(x) x 1=

    puede ser {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...+

    valores que admite x

    02. Que valores enteros admite "x" en la siguientes funcin: f(x)=x2+3.?

    Solucin:

    f(x)=x +32

    para cualquier valor entero existe un f(x)

    x f x( )32101

    127434

    03. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados sea una funcin_

    A={(2; 5), (1; 3), (2; 2ab), (1; ba), (a+b2; a)}

    Solucin:

    5=2a b3= a+b 2 = a1 = b

    04. Si f es una funcin definida por:

    f(x)=2

    1 x ; x 5; 1f(x)

    4x x ; x [0,4]

    Hallar f(3) y f(2)

    Solucin:

    2

    2

    f(3) 4x x

    4(3) (3)3

    =

    = =

    f( 2) 1 x1 ( 2)3

    = = =

    05. Dada las funciones F y G definidas en los diagramas:

    1

    f

    23

    2

    13

    3

    g

    12

    5

    23

  • Matemtica I

    Pg. 72 Calidad que se acredita internacionalmente

    Hallar:

    F(1) G(3)E

    F(G(1)) F(G(2))+

    =+

    Solucin:

    2 2E

    F(5) F(3)4

    E 13 1

    +=

    +

    = =+

    b. ejercicios propuestos01. Qu valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: f(x) 1 x= ?

    02. Qu valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: 2x 2x 1

    f(x)x

    + += ?

    03. Encontrar una funcin lineal f(x) al que: f(2)=3; f(3)=2f(4)

    04. Si g es una funcin definida por:

    2x 4; 3 x 0g(x)

    2x 6; 2 x

    < = < + Determinar g(0); g(8)

    05. Dada las funciones F definida en el diagrama.

    4

    f

    56

    1

    83

    Determina: F(4) F(6)

    MF(5) F(4)

    +=

    +2. domiNio de uNa FuNciN:

    definicin de funcin: Sea f: AB una funcin de A en B, llamaremos dominio de la funcin f, al conjunto de todas sus primeras componentes al

    cual denotaremos por:

    Dom f:

    { }Domf x A / y B (x,y) f=

    Dom f:

    x

    f

    y

    A B

    cAso:

    1. Si f(x)=2x2+x x solo numerador Domf:

    2. Si f(x)=2x2+x ]

    restriccin

    b x a Domf : b;a<

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 73

    Matemtica I

    3. Si x b 01

    f(x) Dom f : {b}x bx b

    =

    4. Si f(x) b b 0=

    5. Si nf(x) b si n impar Dom f := = ; nf(x) b si n impar Dom f := =

    6. Si 1

    f(x) b 0b

    = >

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Sea f={(1;2), (3; 4), (5;6), (7;8)}

    Dom f = { , , , }

    Solucin: x y f={(1;2), (3; 4), (5;6), (7;8)} Dom f = {1, 3, 5, 7}

    02. Se da la siguiente funcin f(x)=x24x+7; x[2,3]. Qu representa x[2,3]?

    Solucin:

    La expresin x[2, 3] representa los valores que asume x por lo tanto ser el dominio.

    2

    f

    3

    x

    Dom f: [2, 3]

    03. Encuentre el dominio de la funcin f(x)=2x

    Solucin:

    1012

    f(x)=2xx y

    2023

    x existe un "y" Dom f: .

    04. Encuentre el dominio de la funcin f(x)=2x; 1 x 5.

    Solucin:

    Dominio

    f(x) 2x 1 x 5

    x [ 1;5]

    =

    Dom f: [1;5].

  • Matemtica I

    Pg. 74 Calidad que se acredita internacionalmente

    b. bloque ii01. Encuentre el dominio:

    1f(x)

    x 3=

    Solucin:

    x 3 01f(x) Dom f : { 1}

    x 1x 3

    =

    x 3 0Domf : {3}

    x 3

    02. Encuentre el dominio:

    2

    x 2f(x)

    x 1+

    =

    Solucin:

    x 2f(x) x 1 x 1 Domf : { 1}

    (x 1(x 1)+

    +

    03. Encuentre el dominio de la funcin: f(x) x 5= Solucin:

    x 5 0f(x) x 5 Dom f : 5;

    x 5

    = +

    0 5

    04. Encuentre el dominio de la funcin: 3f(x) x 1= Solucin:

    3 como la raz es imparf(x) x 1 Dom f :existe todas las raices

    =

    x f(x)2

    12

    11,441,25

    01

    c. bloque iii

    01. Encuentre el dominio de la funcin 2 x

    g(x)3 x

    +=

    Solucin:

    2 xg(x) 2 x 0 3 x 0 Dom f : 2; {3}

    3 xx 2 x 3

    += + +

    02. Encuentre el dominio de la funcin: 4 2g(x) x 6x= Solucin:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 75

    Matemtica I

    ]4 2 2g(x) x 6x x 6x 0 Dom f : ;0 6;x(x 6) 0x 0;x 6

    = +

    = = +

    + +

    60

    ]x ;0 6; +03. Encuentre el dominio de la funcin:

    3f(x)

    x 4=

    Solucin:

    x r 03f(x) Dom f : 4;

    x 4x 4

    >= +

    >x 4 0

    Domf : 4;x 4 >

    +>

    4

    04. Encuentre el dominio de la funcin:

    2(x 1)f(x)

    2x 1+

    =

    Solucin:

    2(x 1) 1f(x) 2x 1 0 Dom f : ;

    22x 11

    x2

    += > +

    >

    1/2

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. En el producto cartesiano se define: A x B = {(a,b)} de este par cual sera el dominio y por qu?

    02. En una grfica (x) vs (y) Cul ser su dominio? y Por qu?

  • Matemtica I

    Pg. 76 Calidad que se acredita internacionalmente

    6

    5

    2

    2

    x

    y

    03. Encuentre el dominio de la funcin: f(x)=x2+1

    04. Encuentre el dominio de la funcin: f(x)=x2+1, 0 x 5.

    05. Encuentre el dominio de la funcin: 1

    f(x)3x 6

    =

    b. bloque iiEncuentre el dominio de la funcin:

    01.

    4

    2

    xf(x)

    x x 6=

    +

    02. 4f(x) x 9= +

    03. f(x) 7 3x=

    04. 2f(x) x 9=

    05. 2x

    f(x)2x x 1

    =+

    c. bloque iiiEncuentre el dominio de la funcin:

    01. 2g(x) x 2x 8=

    02. 2x

    f(x)6 x

    =

    03. 4 2

    xf(x)

    9 x=

    04. 2 2f(x) (9 x )= 05. La grfica muestra la cantidad de gasolina en le tanque del automvil en un perodo de 30 das. Determine el

    dominio de la grfica.

    5 10 15 20 25 30

    10

    can

    tidad

    de

    gaso

    lina

    en g

    alon

    es

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 77

    Matemtica I

    Grfica de Funciones1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos

    a) Cul de las siguientes curvas representa con ms fidelidad la funcin x ?

    b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representacin de x .

    b. ejercicios propuestosGrafica las siguientes funciones:

    a) f(x) x 2= b) g(x) x 2= +

    c) h(x) 5x= d) k(x) 4x 3=

    Define en cada caso el dominio y el rango de la funcin.

    Semana 06

  • Matemtica I

    Pg. 78 Calidad que se acredita internacionalmente

    2. grFicaS de FuNcioNeS: La forma ms importante de representar una funcin es por medio de su grfica. En esta seccin se investiga con mas detalle

    el concepto de graficar funciones.

    Graficacin de funciones:

    1 2 xx

    0

    (x,f(x))

    f(x)f(2)

    f(1)

    Figura 1: La altura de la grfica arriba del punto x es el valor de f(x)

    lA GrAficA de unA funcin Si f es una funcin con dominio A, entonces la grfica de f es el conjunto de pares ordenados.

    { }(x, f(x)) / x A En otras palabras, la grafica de f es el conjunto de puntos (x,y) tales que y=f(x); es decir, la grfica de f es la grfica de la

    ecuacin y=f(x).

    La grfica de una funcin f da un cuadro del comportamiento o Historia de vida de la funcin. Se puede leer el valor de f(x) de la grfica como la altura de la grfica arriba del punto x (vase figura 1)

    Una funcin f de la forma f(x) = mx + b se llama funcin lineal porque su grfica es la de la ecuacin y =mx + b, que representa una recta con pendiente m e y la ordenada al origen b. Un caso especial de una funcin lineal se presenta cuando la pendiente es m = 0. La funcin f(x) = b, donde b es un determinado nmero, se llama funcin constante porque todos sus valores son el mismo nmero, a saber, b.

    Su grfica es la recta horizontal y = b. En la figura 2 se muestran las grficas de la funcin constante f(x) = 3 y la funcin lneal f(x) = 2x + 1.

    Figura 2:

    2 4x

    0 62

    2

    4

    y=3

    y

    x0

    y=2x+1

    y

    1

    1

    La funcin constante f(x)=3 La funcin lineal f(x)=2x+1 Figura 3:

    2 4x

    0 62

    2

    4

    y=3

    y

    x0

    y=2x+1

    y

    1

    1

    La funcin constante f(x)=3 La funcin lineal f(x)=2x+1

    pruebA de lA lneA verticAl La grfica de una funcin es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: Qu curvas en el plano xy son grficas de

    funciones? Esto se contesta mediante la prueba siguiente.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 79

    Matemtica I

    pruebA de lA lneA verticAl Una curva en el plano coordenado es la grfica de una funcin si y slo si ninguna lnea vertical corta la curva ms de una

    vez.

    Se puede ver las figura 3 y 4 por qu es cierta la prueba de la lnea vertical. Si cada lnea vertical x = a corta una curva slo una vez en (a, b), entonces f(a) = b define exactamente un valor funcional. Pero si una lnea x = a corta dos veces en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede representar una funcin porque una funcin no puede asignar dos valores diferentes para a.

    Figura 4:

    x

    (a,b)

    y

    x=a

    a0x

    (a,b)

    y

    x=a

    a0

    (a,c)

    Grfica de una funcin Grfica de una funcin Figura 5:

    x

    (a,b)

    y

    x=a

    a0x

    (a,b)

    y

    x=a

    a0

    (a,c)

    Grfica de una funcin Grfica de una funcin

    Prueba de la lnea vertical

    uso de lA pruebA de lA lneA verticAl Con la prueba de la lnea vertical, se ve que las curvas de los incisos b) y c) de la figura 5 representan funciones, no as para

    el caso de los incisos a) y d).

    Figura N 6

    y

    x0

    (a)

    y

    x0

    (b)

    y

    x0

    (c)

    y

    x0

    (d)

  • Matemtica I

    Pg. 80 Calidad que se acredita internacionalmente

    Ejemplo (1)

    Graficacin de funciones

    Trace las grficas de las siguientes funciones.

    a) 2f(x) x= b) 3g(x) x= c) h(x) x= Solucin: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen

    mediante una curva lisa para obtener la grfica. Las grficas se bosquejan en la figura.

    x0 3

    3 (2,4)

    y

    ( 2,4)

    ( 1,1) (1,1)

    1 1,

    2 4

    1 1,

    2 4

    y=x2

    x0

    2

    (2,8)

    y

    ( 1, 1)

    (1,1)

    y=x3

    1

    ( 2, 8)

    0 1

    (4,2)

    y

    1 (1,1)

    (2, 2)

    y x=

    y f(x)=x2

    3

    0

    12

    1

    2

    3

    0

    14

    1

    4

    9

    y g(x)=x3

    0 0

    1

    8

    12

    1

    12

    2

    1

    2

    12

    18

    1

    8

    y f(x)=x2

    0 0

    11

    2

    3

    4

    5

    2

    2

    5

    2a) f(x) x= 3b) g(x) x= b) h(x) x=

    En la tabla siguiente se muestran las grficas de algunas funciones que se vern con frecuencia en este libro. Una forma conveniente de graficar una funcin es usar una calculadora de graficacin, como en el ejemplo siguiente.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 81

    Matemtica I

    b

    x

    f(x)=b

    y

    b

    x

    f(x)=mx+b

    y

    Funciones linealesf(x)=mx=b

    x

    f(x)=x2

    y

    b x

    f(x)=x3

    y

    x

    f(x)=x4

    y

    x

    f(x)=x5

    y

    Funciones exponencialesf(x)=x

    n

    x

    y

    x

    y

    Funciones recprocas

    nf(x) x=

    f(x) x= 3f(x) x=

    x x

    4f(x) x= 5f(x) x=

    x

    y

    x

    y

    Funciones de raz

    1f(x)

    x= 2

    1f(x)

    x=

    n

    1f(x)

    x=

    x

    f(x)=|x|

    y

    Funcin valor absolutof(x)=|x|

    x

    y

    Funcin valor mximo entero

    f(x) x=

    f(x) x=1

    1

    Algunas funciones y sus grficas

  • Matemtica I

    Pg. 82 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Trace la grfica de la funcin construyendo primero una tabla de valores.

    01. f(x) x 3, 3 x 3= + 02. g(x) x 4= +

    f(x)

    f(x)

    03. 1

    F(x)x 4

    =+

    04. H(x) |x 1|= +

    f(x)

    f(x)

    b. bloque ii Funcin cuadrtica

    La funcin cuadrtica es de segundo grado y es de forma 2f(x) ax bx c= + + con a 0 , su grfica describe una parbola, como a continuacin se muestran en los siguientes ejemplos.

    01. Graficar la funcin 2T(x) x 4x 1= + + ; obtener el dominio y el rango Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin

    x 2T(x) x 4x 1= + + -4 1 -3 -2 -2 -3 -1 -2 0 1 1 6

    - 2T( 4) ( 4) 4( 4) 1 1 = + + =

    - 2T( 3) ( 3) 4( 3) 1 2 = + + =

    - 2T( 2) ( 2) 4( 2) 1 3 = + + =

    - 2T( 1) ( 1) 4( 1) 1 2 = + + =

    - 2T(0) (0) 4(0) 1 1= + + =

    - 2T(1) (1) 4(1) 1 6= + + =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 83

    Matemtica I

    Su grfica es:

    T(x)

    x2112345 1

    2

    3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Dom=< ; >

    Rango=[ 3;+ >

    02. Graficar la funcin 2H(x) x 3= + ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la funcin para encontrar los puntos.

    x 2H(x) x 3= + -2 -1 -1 2 0 3 1 2 2 -1

    - 2H( 2) (2) 3 1 = + =

    - 2H( 1) (1) 3 2 = + =

    - 2H(0) (0) 3 3= + =

    - 2H(1) (1) 3 2= + =

    - 2H(2) (2) 3 1= + =

    Su grfico es:

    H(x)

    x211234 1

    23

    1

    2

    3

    4

    Dom=< ; >

    Rango=< ;3]3

    4

    5

    Funcin cbica

    La funcin cbica es una funcin polinomial de tercer grado, es de la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d con a0

    Para conocer su grfica se requiere ejemplificar.

    03. Graficar la funcin 3 2D(x) x 6x 12x 6= + ; obtener el dominio y el rango.

    Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.

  • Matemtica I

    Pg. 84 Calidad que se acredita internacionalmente

    x 3 2D(x) x 6x 12x 6= + 0.5 -1.375 1 1

    1.5 1.875 2 2

    2.5 2.125 3 3

    3.5 5.375

    - 2 2D(0.5) (0.5) 6(0.5) 12(0.5) 6 1.375= + =

    - 2 2D(1) (1) 6(1) 12(1) 6 1= + = - 2 2D(1.5) (1.5) 6(1.5) 12(1.5) 6 1.875= + = - 2 2D(2) (2) 6(2) 12(2) 6 2= + = - 2 2D(2.5) (2.5) 6(2.5) 12(2.5) 6 2.125= + = - 2 2D(3) (3) 6(3) 12(3) 6 3= + = - 2 2D(3.5) (3.5) 6(3.5) 12(3.5) 6 5.375= + =

    Su grfica es:

    P(x)

    x2112 1

    2

    3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Dom=< ; >

    Rango=< ; >

    3 4 5

    4

    04. Graficar la funcin L(x) 2 4 x 3= + , as como determinar su dominio y su rango Para resolver este ejemplo se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

    x L(x) 2 4 x 3= + -2 -1.9 -1 -1.5 0 -1 1 -0.5 2 0.2 3 1 4 3 5 No es nmero real

    L( 2) 2 4 ( 2) 3 2 6 3 1.9 = + = + =

    L( 1) 2 4 ( 1) 3 2 5 3 1.5 = + = + =

    L(0) 2 4 (0) 3 2 4 3 1= + = + =

    L(1) 2 4 (1) 3 2 3 3 0.5= + = + =

    L(2) 2 4 (2) 3 2 2 3 0.2= + = + =

    L(3) 2 4 (3) 3 2 1 3 1= + = + =

    L(4) 2 4 (4) 3 2 0 3 3= + = + =

    L(5) 2 4 (5) 3 2 0 1 3= + = + = no es nmero real

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 85

    Matemtica I

    Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene.

    L(x)

    x21234

    23

    1

    2

    3

    4

    3

    4

    5

    4 5

    De acuerdo al comportamiento de la funcin, los valores que hacen que sea verdadera son para x menores o iguales de 44(x 4) , por lo tanto se grfica a partir (4, 3) a la izquierda y hacia abajo, quedando la grfica de la funcin como sigue:

    L(x)

    x21234

    23

    1

    2

    3

    4

    3

    4

    5

    4 5

    Dom=< ;4 >

    Rango=< ;3]

    c. bloque iii01. Relacione la funcin con las caractersticas dadas.

    3(i)y 3x 3x=

    2(ii)y (x 3)= +

    (iii)y 3x 3= 3(iv)y x=

    2(v)y 3x 3= + (vi)y x 3= +

    (a) Simtrica respecto al eje y

    (b) Tres intersecciones con el eje x

    (c) Simtrica respecto al eje x

    (d) (-2, 1) es un punto sobre la grfica

    (e) Simtrica respecto al origen

    (f) La grfica pasa por el origen

    RESPUESTA

    i

    ii

    iii

    iv

    v

    vi

  • Matemtica I

    Pg. 86 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. DEPRECIACIN. Un hospital compra una nueva mquina para imgenes de resonancia magntica en $500 000 dlares. El valor depreciado y (valor reducido) despus de t aos est dado por y =500 000-40 000t 0 t 8. Trace la grfica de la funcin.

    03. CONSUMISMO. Una persona compra un vehculo para todo terreno (ATV) en$8000. El valor depreciado y despus de "t" aos est dado por y=8000-900t, 0 t 6. Trace la grfica de la funcin.

    04. GEOMETRA un campo de juego reglamentario de la NFI. (incluidas las zonas de extremo) de longitud x y

    ancho y tiene un permetro de 2

    3463

    ; o sea, 1040

    3 yardas.

    (a) Trace un rectngulo que d una representacin visual del problema. Use las variables especificadas para marcar los lados del rectngulo.

    (b) Demuestre que el ancho del rectngulo es 520

    y x3

    = y su rea es 520A x x3

    =

    (c) Use una calculadora de grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegrese de ajustar la imagen en la pantalla de la calculadora.

    (d) De la grfica del inciso

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 87

    Matemtica I

    4. ejercicioS ProPueStoS.A. bloque i

    01. Se da la grfica de una funcin h.

    a. Determine h(2), h(0). h(2) y h(3) b. Halle el dominio y el rango de h.

    y

    x

    3

    03 3

    h

    02. Se dan las grficas de las funciones f y g.

    a. Cul es ms grande . f(0) o g(0)? b. Cul es ms grande f(-3)og(-3)?

    c. Para qu valores de x es f(x) = g(x)?

    y

    x02 2

    g

    2

    2

    f

    03. Se da la grfica de una funcin g.

    a. Determine g(-4), g(-2), g(0), g(2) y g(4). b. Halle el dominio y el rango de g.

    y

    x

    3

    03 3

    g

    04. Se da una familia de funciones. En los incisos a) y b) grafique los miembros dados de la familia en el rectngulo de visin indicado. En el enciso c) exprese las conclusiones que pueda deducir de sus grficas.

    A. 2f(x) x c= +

    a. [ ] [ ]c 0,2,4,6; 5,5 por 10,10=

    b. [ ] [ ]c 0, 2, 4, 6; 5,5 por 10,10= c. Cmo afecta la grfica el valor de c?

  • Matemtica I

    Pg. 88 Calidad que se acredita internacionalmente

    B. 2f(x) (x c)=

    a. [ ] [ ]c 0,1,2,3; 5,5 por 10,10=

    b. [ ] [ ]c 0, 1, 2, 3; 5,5 por 10,10= c. Cmo afecta la grfica el valor de c?

    C. 3f(x) (x c)=

    a. [ ] [ ]c 0,2,4,6; 10,10 por 10,10=

    b. [ ] [ ]c 0, 2, 4, 6; 10,10 por 10,10= c. Cmo afecta la grfica el valor de c?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 89

    Matemtica I

    b. bloque iiEn los ejercicios 1-9, relacione cada funcin con su nombre.

    01. f(x) x= 02. f(x) = x 03. f(x) = 1/x

    04. 2f(x) x= 05. f(x) x= 06. f(x) c=

    07. f(x) x= 08. 3f(x) x= 09. f(x) ax b= +

    (a) funcin cuadrtica (b) funcin raz cuadrada (c) funcin cbica

    (d) funcin lineal (e) funcin constante (f) funcin valor absoluto

    (g) funcin mayor entero (h) funcin recproca (j) funcin identidad

    RESPUESTAS

    1 5

    2 6

    3 7

    4 8

    10. Toque final. Use la grfica de la funcin para contestar (a)-(e).

    8

    6

    4

    2

    2 4 624

    y=f(x)

    (a) Encuentre el dominio y rango de f.

    (b) Encuentre el cero(s) de f.

    (c) Determine los intervalos en los que f es creciente, decreciente o constante.

    (d) Calcule valores mnimo o mximo relativos de f.

    (e) f es par, impar o ninguna de stas?

  • Matemtica I

    Pg. 90 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Presin bajo el agua De acuerdo con la frmula p = kd + 1 (k constante), la presin p que experimenta un

    buzo bajo el agua esta relacionada con la profundidad d a la que se encuentra, la presin es de 1 atmsfera en la superficie; a 100 metros es, aproximadamente, 10.94 atmsferas. Determine la presin a 50 metros.

    02. Reflexin de la luz un rayo de luz viaja a lo largo de la recta x+y=1 desde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x (vea la siguiente figura). El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. Escriba la ecuacin de la recta por la que viaja la luz.

    ngulo deincidencia

    ngulo dereflexin

    x+y=1

    y

    x0 1

    1

    La trayectoria del rayo de luz del ejercicio. Los ngulos de incidencia y de reflexin se miden desde la perpendicular.

    03. Grados Fahrenheit y grados Celsius Trace la grfica de la ecuacin.

    5C (F 32)

    9=

    En el plano FC, que relaciona las temperaturas de grados Fahrenheit y Celsius. Trace en el mismo plano la grfica de la recta C=F. Hay alguna temperatura en la que el termmetro Celsius de la misma lectura numrica que el termmetro Fahrenheit? Si la respuesta es afirmativa, determnela.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 91

    Matemtica I

    4. Via frrea los ingenieros civiles calculan la pendiente del firme para una va frrea como la razn de la distancia que se sube o baja entre la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas denominan esta razn inclinacin del firme de la va, y casi siempre la escriben como porcentaje. A lo largo de la costa, la inclinacin de las vas comerciales suele ser inferior a 2%. En las montaas puede llegar hasta 4%. Las inclinaciones de las autopistas son, por lo general, menores que 5%.

    La parte ms empinada de la va frrea metropolitana. Washington Cog, en New Hampshire, tiene una inclinacin excepcional, de 37.1%. a lo largo de esta parte del trayecto, los asientos delanteros de los vagones del tren estn 14 pies arriba de los traseros. Qu tan apartadas estn las filas de asientos delanteros y traseros?

    05. Funcin peso La grfica da el peso de cierta persona como una funcin de la edad. Describa en palabras cmo el peso de esta persona ha variado con el tiempo. Qu cree que sucedi cuando esta persona tena 30 aos de edad?

    0 10 20 30 40 50 60 70

    50

    100

    150

    200

    Edad (aos)

    Peso

    (lib

    ras)

  • Matemtica I

    Pg. 92 Calidad que se acredita internacionalmente

    06. Carrera con obstculos Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros con obstculos. En la grfica se ilustra la distancia como una funcin del tiempo para cada corredor. Describa en palabras lo que indica la grfica acerca de esta competencia. Quen gan esta carrera? Cada corredor termina la carrera? Qu cree que le sucedi al corredor B?

    0 20 r(s)

    100

    y(m)

    CBA

    07. Terremoto en la grfica se muestra la aceleracin vertical del suelo desde el terremoto de Northridge en 1994 en Los ngeles, medida mediante un sismgrafo. (Aqu t representa el tiempo en segundos.)

    a. En qu tiempo t el terremoto produjo primero movimientos notables de la tierra?

    b. En qu tiempo t al parecer termin el terremoto?

    c. En qu tiempo t el terremoto alcanz la mxima intensidad?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 93

    Matemtica I

    0 5 25 30

    50

    100

    (cm/s )2

    a

    t(s)

    08. Consumo de energa En la figura se muestra el consumo de energa en San francisco para el 19 de setiembre de 1996 (p se mide en megawatts; t se mide en horas comenzandoa la medianoche).

    a. Cul fue el consumo de energa a las 6 A.M.? a las 6 P.M.?

    b. Cundo fue mnimo el consumo de energa?

    c. Cundo fue mximo el consumo de energa?

    0 3 6 9 12 15 18 21

    200

    400

    600

    800

    P(MW)

    t(h)

  • Matemtica I

    Pg. 94 Calidad que se acredita internacionalmente

    Grfica de Funciones Definidas por Partes1. SabereS PrevioS Contesta lo que se pide en cada seccin:

    Observa las siguientes grficas y escribe en las lneas la palabra:

    Funcin Relacin

    Segn sea el caso, justifica tu respuesta.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2 3 4 5 6123456

    Justificacin:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2 3 4 5 6123456

    Justificacin:

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2 3 4 5 6123456

    Justificacin:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 95

    Matemtica I

    Bosqueje la grfica d la funcin definida por partes.

    01. {0six 21six 1f(x) =

    03. {3six 2x 1six 2f(x)

  • Matemtica I

    Pg. 96 Calidad que se acredita internacionalmente

    2. grFica de FuNcioNeS deFiNidaS Por ParteS Una funcin por partes se define mediante frmula distintas en diferentes partes de su dominio. Como se podra esperar, la

    grfica de tal funcin consiste en trozos separados.

    Ejemplo 1

    Grfica de una funcin definida por partes

    Bosqueje la grfica de la funcin

    { 2x six 12x 1six 1f(x) + >= Solucin Si x1, entonces f(x)=x2, as que la parte de la grfica a la izquierda de x = 1 coincide con la grfica de y=x2. Si

    x > 1, entonces f(x) = 2x + 1, de modo que la parte de la grfica a la derecha de x=1 coincide con la recta y=2x+1. Esto permite trazar la grfica en la figura 8.

    El punto slido en (1,1) indica que este punto esta incluido en la grfica; el punto abiertoen (1, 3) indica que este punto est excluido de la grfica.

    1

    1

    f(x)=2x 1si: x>1

    f(x)=x2

    si: x 1

    Ejemplo 2 grafica de la funcin valor absoluto

    Trace la grfica de la funcin valor absoluto f(x) x=

    Solucin recuerde que: x si x 0

    xx si x 0

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 97

    Matemtica I

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Grafique las siguientes funciones.

    01. { 2 3 13 1( ) x si xx si xf x +

    03.

    1 1

    ( ) 1 1

    1 1

    si x

    f x x si x

    si x

    < = >

    04. 2

    2 1( )

    1

    si xf x

    x si x

    = >

  • Matemtica I

    Pg. 98 Calidad que se acredita internacionalmente

    b. bloque iiGrafique las siguientes funciones

    01. 2

    2

    1 2( )

    2

    x si xf x

    x si x

    =

    > 02.

    0 2( )

    3 2

    si xf x

    si x

    = >

    03.

    2 1( )

    1 2

    x si xf x

    si x

    = >

    04. 2

    4 2

    ( ) 2 2

    6 2

    si x

    f x x si x

    x si x

    < = + >

    c. bloque iii Se da la grfica de la funcin definida por partes. Determine una frmula para la funcin en la forma indicada.

    01.

    y

    x

    2

    02

    2

    ( ) 2 2

    2

    si x

    f x si x

    si x

    < = >

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 99

    Matemtica I

    02.

    y

    x

    2

    01

    1

    ( ) 1 2

    2

    = < >

    si x

    f x si x

    si x

    3. Tarifas elctricas Westside Energy cobra a sus clientes una tarifa base de 56.00 por mes, ms 10 centavos por

    kilowatt-hora (kWh) por los primeros 300kWh empleados y 6 centavos por kWh para todo consumo mayor de

    300kWh. Suponga que un cliente utiliza x kWh de electricidad en un mes.

    a) Exprese el costo mensual E como una funcin de x.

    b) Grafique la funcin E para 0 600x

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    Evalu la funcin definida por partes en los valores indicados.

    01.

    2 0( )

    1 0

    x si xf x

    x si x

    si xf x

    x si x

    ( 2), ( 1), (0), (1), (2) f f f f f ( 3), (0), (2), (3), (5)f f f f f

  • Matemtica I

    Pg. 100 Calidad que se acredita internacionalmente

    03.

    2 2 1

    ( ) 1 1

    1 1

    x x si x

    f x x si x

    si x

    + = < >

    04. 2

    3 0

    ( ) 1 0 2

    ( 2) 1

    x si x

    f x x si x

    x si x

    3( 4), , ( 1), (0), (25)

    2

    f f f f f

    ( )( 5), 0 , (1), (2), (5)f f f f f

    c. bloque iiiGrafique las siguientes funciones

    01. 22 1

    ( ) 1

    + = >

    x si xf x

    x si x 02.

    2

    0

    ( ) 9 0 3

    3 3

    = < >

    x si x

    f x x si x

    x si x

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 101

    Matemtica I

    03.

    2

    3

    2 1( )

    ( 1) 1

    x x si xf x

    x si x

    >=

    04. Determine si los nmeros 1, 5 y 8 estn en el rango de la funcin.

    2 , 2 2

    ( ) 3, 2

    4, 2

    x x

    f x x

    x x

    RESPUESTA

    f(1) SI NO

    f(5) SI NO

    f(8) SI NO

    c. bloque iii01. Impuesto sobre la renta. En cierto pas, el impuesto sobre la renta T se evala de acuerdo con la siguiente

    funcin de ingreso x:

    0 0 10000

    ( ) 0.08 1 000 20000

    1600 0.15 20000

    si x

    T x x si x

    x si x

    = < +

    b. Determine T(2) , T(3) y T(5)

    c. Qu representan las respuestas del inciso b)?

  • Matemtica I

    Pg. 102 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Multas por exceso de velocidad. En cierto estado la velocidad mxima permitida en las autopistas es 65 millas/h y la mnima es 40. La multa F por violar estos lmites es $15 por cada milla arriba del mximo o abajo del mnimo.

    a) Complete las expresiones en la siguiente funcin definida por partes, donde x es la velocidad a la que conduce una persona.

    0 40

    ( ) 40 65

    65

    si x

    F x si x

    si x

    <

    0 40

    ( ) 40 65

    65

    si x

    F x si x

    si x

    <

    b) Determine F(30), F(50) y F(75)

    c) Qu representan las respuestas del inciso b)?

    Funciones Crecientes y Decrecientes 1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos Analiza la forma que tienen las siguientes grficas y de la clasificacin que se da. Posteriormente escribe en las lneas

    las que piensas que cumplen cada una de ellas. Clasificacin:

    - Creciente

    - Decreciente

    - Constante

    - Continua

    - Discontinua

    A) B)

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 103

    Matemtica I

    C) D)

    E) F)

    b. ejercicios propuestos Se da la grfica de una funcin. Determine los intervalos en los que la funcin es

    a)creciente y b)decreciente.

    1

    10

    01.Creciente:

    Decreciente:

  • Matemtica I

    Pg. 104 Calidad que se acredita internacionalmente

    1

    10

    02.Creciente:

    Decreciente:

    1

    10

    03.Creciente:

    Decreciente:

    1

    10

    04.Creciente:

    Decreciente:

    2. FuNcioNeS crecieNteS y decrecieNteS Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambiantes. En esta seccin se aprende cmo determinar

    si una funcin es creciente o decreciente, y cmo hallar la tasa a la cual sus valores cambian cuando cambia la variable.

    funciones crecientes y decrecientes Es muy til saber dnde sube la grfica de una funcin y donde baja. La grfica mostrada en la figura 1 sube, baja, luego

    sube de nuevo conforme se va de izquierda a derecha: sube de A a B, baja de B a C, y sube de nuevo de C a D. se dice que la funcin f es creciente cuando su grfica sube y decreciente cuando su grfica baja.

    y

    0 a b c dx

    A

    B

    C

    D

    f es creciente

    f es decrecientef es creciente

    y=f(x)

    - f es creciente en [ ] [ ]a,b y c,d- f es decreciente en [ ]b,cSe tiene la siguiente definicin.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 105

    Matemtica I

    definicin de funciones crecientes y decrecientes f es creciente en un intervalo I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 f(x2) siempre que x1

  • Matemtica I

    Pg. 106 Calidad que se acredita internacionalmente

    20 201

    10

    Grfica de f(x)=x2/3

    b. bloque ii Si la grfica de una funcin sube o se eleva conforme nos movemos de izquierda a derecha (por el eje x), decimos

    que la funcin es creciente; si desciende o baja a medida que nos movemos de izquierda a derecha, decimos que es decreciente. En la teora se dan las definiciones formales de funciones crecientes y funciones decrecientes, y se explica cmo encontrar los intervalos en los que una funcin es creciente y en los que es decreciente.

    Los siguientes son ejemplos que se ilustran analticamente, se le sugiere al estudiante comprobar geomtricamente

    (hacer su grfica de cada funcin)

    Funcin Donde crece Donde decrece

    2y x= 0 x < x 0 < 3y x= x < < Ningn punto

    y 1 / x= Ningn punto x 0y0 x < < < < 2y 1 / x= x 0 < < 0 x< <

    y x= 0 x < Ningn punto 2 / 3y x= 0 x < x 0 <

    c. bloque iii

    01. Altura del csped. Una persona poda el csped todos los mircoles por la tarde. Bosqueja una grfica aproximada de la altura de csped como una funcin del tiempo en el curso de un periodo de cuatro semanas comenzando en un domingo.

    02. Cambio de temperatura Se coloca un pastel congelado en un horno y se calienta durante una hora. Luego se saca y se deja enfriar antes de comerlo. Trace una grfica aproximada de la temperatura del pastel como una funcin del tiempo.

    03. Cambio diario de temperatura Las lecturas de temperatura T (en F) se registraron cada dos horas desde la medianoche hasta el medioda en Atlanta, Georgia, el da 18 de marzo de 1996. El tiempo t se midi en horas desde la media noche. Trace una grfica aproximada de T como una funcin de t.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 107

    Matemtica I

    t T 0 2 4 6 8 10 12

    58 57 53 50 51 57 61

    4. Crecimiento de la poblacin La poblacin P (en miles) de San Jos, California de 1988 a 2000 se muestra

    en la tabla (se da las estimaciones de medio ao). Dibuje una grfica aproximada de P como una funcin del tiempo t.

    t P 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000

    733 782 800 817 838 861 895

    Funcin Par e Impar 1. SabereS PrevioS

    2. FuNcioNeS Par e imPar Si una funcin f satisface f( x) f(x) = para todo nmero x en su dominio, entonces f se llama funcin par. Por ejemplo, la

    funcin 2f(x) x= es par porque.

    2 2 2 2f( x) ( x) ( 1) x x f(x) = = = =

    La grfica de una funcin impar es simtrica con respecto al origen (vase figura 2) esto significa que si se ha trazado la

    grfica de f para x 0 , entonces se puede obtener la grfica completa simplemente reflejando esta porcin en el eje y.

    Si f satisface f( x) f(x) = para todo nmero x en su dominio, entonces f se llama funcin impar. Por ejemplo, la funcin 3f(x) x= es impar porque.

    3 3 3 3f( x) ( x) ( 1) x x f(x) = = = =

    La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje y (vase figura 1). Si se ha trazado la grfica de f para x 0, entonces se puede obtener la grfica completa.

    Si se gira esta porcin 180 respecto al origen (esto es equivalente a reflejar primero en el eje x luego en el eje y)

  • Matemtica I

    Pg. 108 Calidad que se acredita internacionalmente

    Figura 1:

    x x

    f(x)=x2

    y

    0x

    xx

    f(x)=x3

    y

    0x

    f(x)=x es una funcin par2

    f(x)=x es una funcin impar3

    Figura 2:

    x x

    f(x)=x2

    y

    0x

    xx

    f(x)=x3

    y

    0x

    f(x)=x es una funcin par2

    f(x)=x es una funcin impar3

    funciones pAr e impAr

    Sea f una funcin.

    f es par si 2H(x) x 3= + para todo x en el dominio de f.

    f es impar si f(-x) = -f(x) para toda x en el dominio f.

    x x

    f( x)

    y

    0x

    xx

    y

    0x

    La grfica de una funcin pares simtrica con respecto al eje y

    La grfica de una funcin impar essimtrica con respecto al origen

    f(x)

    f( x)

    f(x)

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Funciones par e impar

    Determine si las funciones son par, impar o ni par ni impar.

    a) 5f(x) x x= + b) 4g(x) 1 x= c) 2h(x) 2x x=

    Solucin

    a) 5f(x) ( x) ( x)= +

    5 5x x (x x)= = +

    f(x)= Por lo tanto, f es una funcin impar.

    b) 4 4g( x) 1 ( x) 1 x g(x) = = = por lo tanto g es par.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 109

    Matemtica I

    c) 2 2h( x) 2( x) ( x) 2x x = = Puesto que h(x)h(x) y h(x)h(x), se concluye que h no es par ni impar.

    Las graficas de las funciones del ejemplo se muestran en la figura. La grfica de f es simtrica respecto al origen,

    y la grfica de g es simtrica con respecto al eje y. La grfica de h no es simtrica respecto al eje y al origen.

    01,751,75

    2,5 f(x)=x +x5

    2,5

    022

    2,5

    g(x)=1 x42,5

    031

    2,5

    h(x)=2x x2

    2,5

    b. bloque ii Determine si la funcin f es par, impar o ninguna. Si f es par o impar, use la simetra para bosquejar su grfica.

    01. 2f(x) x=

    02. 2f(x) x x= +

    03. 3f(x) x x=

    04. 3f(x) 1 x=

    c. bloque iii Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una calculadora graficadora, sela para verificar de manera

    visual su respuesta.

    01. 2x

    f(x)x 1

    =+

  • Matemtica I

    Pg. 110 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. 2

    4

    xf(x)

    x 1=

    +

    03. x

    f(x)x 1

    =+

    04. f(x) x x=

    05. 2 4f(x) 1 3x x= +

    06. 3 5f(x) 1 3x x= +

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i Determine si la funcin f es par, impar o ninguna. Si f es par o impar, use la simetra para bosquejar su grfica.

    01. 3f(x) x=

    02. 4 2f(x) x 4x=

    03. 3 2f(x) 3x 2x 1= + +

    04. 1

    f(x) xx

    = +

    05. f(x) 3 3cos x= +

    b. bloque ii En los ejercicios determine si la funcin es par, impar o ninguna de stas.

    01. 5f(x) x 4x 7= +

    02. 4 2f(x) x 20x=

    03. 2f(x) 2x x 3= +

    04. 5 2f(x) 6x=

    05. 4 2f(x) x x 6=

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 111

    Matemtica I

    Transformacin de Funciones1. SabereS PrevioS:

    A. ejercicios propuestos El trazo de una grfica de una funcin aparentemente complicada se expedita si se reconoce que en realidad la grfica

    que se pide es una transformacin de la grfica de una funcin ms sencilla, esta ayuda de graficado se basa en los conocimientos adquiridos por el estudiante, acerca de las grficas de algunas funciones bsicas.

    Recordemos las siguientes funciones bsicas:

    Semana 07

    01. Sea: f(x)=x , cuya grfica es:

    y

    x

    02. Sea: f(x)=x2 , cuya grfica es:

    y

    x

    03. Sea: f(x)=x3 , cuya grfica es:

    y

    x

    04. Sea: f(x)=1/x , cuya grfica es:

    y

    x

    b. ejercicios propuestos:Rellene en los cuadros en blanco, la frmula de la funcin correspondiente a cada grfica:

    01.

    y

    x

    02.

    y

    x

  • Matemtica I

    Pg. 112 Calidad que se acredita internacionalmente

    03.

    y

    x

    04.

    y

    x

    .

    2. traNSFormaciN de FuNcioNeS En esta seccin relacionamos a las grficas mediante transformaciones, que son funciones que transforman nmeros reales

    en nmeros reales. Al actuar sobre las coordenadas x y y de los puntos, las transformaciones cambian la grfica de forma predecible. Las transformaciones rgidas dejan sin cambio el tamao y la forma de una grfica; ella incluyen traslaciones horizontales, traslaciones verticales, reflexiones o cualquier combinacin de stas. Las transformaciones no rgidas, que, por lo general, distorsionan la forma de una grfica, incluyen compresiones y alargamientos horizontal y vertical.

    Supongamos que y=f(x) es una funcin y que c es una constante positiva.Entonces, la grfica de

    i) y=f(x)+c es la grfica de f, desplazada c unidades verticalmente

    ii) y=f(x) c es la grfica de f, desplazada c unidades verticalmente

    iii) y=f(x+c) es la grfica de f, desplazada c unidades horizontalmente

    iv) y=f(x c) es la grfica de f, desplazada c unidades horizontalmente

    En general, las coordenadas x no cambian debido a un desplazamiento vertical. Observe la siguiente figura:

    y

    x

    (x,y+c)

    c

    (x,y)

    y=f(x)+c

    y=f(x)

    a) Desplazamiento vertical hacia arriba

    y

    x

    (x,y c)

    c

    (x,y)

    y=f(x) c

    y=f(x)

    b) Desplazamiento vertical hacia abajo

    De igual modo, en un desplazamiento horizontal, las coordenadas y de los puntos en la grfica desplazada son iguales que en la grfica original. Vea la siguiente figura.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 113

    Matemtica I

    y

    x(x,y)

    y=f(x+c)

    (x c,y)

    a) Desplazamiento horizontal hacia la izquierda b) Desplazamiento horizontal hacia la derecha

    y=f(x)

    x(x,y)

    y=f(x c)

    (x c,y)+

    y=f(x)

    cc

    Otra forma de trasformar rgidamente la grfica de una funcin es con una reflexin respecto a un eje coordenado.

    Supongamos que y=f(x) es una funcin. Entonces, la grfica de:

    i) y= f(x) es la grfica de f, reflejada en el ii) y=f( x) es la grfica de f, reflejada en el i) y= f(x) es la grfica de f, reflejada en el ii) y=f( x) es la grfica de f, reflejada en el

    y

    x

    y=f(x)

    y= f(x)

    0

    y

    x0

    y=f(x)

    y=f( x)

    trAnsformAciones no rGidAs Si una funcin f se multiplica por una constante c>0, cambia la forma de la grfica, pero se conserva aproximadamente, su

    forma original. La grfica de y=cf(x) es la de y=f(x) deformada de manera vertical: la grfica de f se estira (o se alarga, o se elonga) verticalmente, o se comprime (o se aplana) de manera vertical, dependiendo del valor de c. El estiramiento o la compresin de una grfica son ejemplos de transfornaciones no rgidas.

    estirAmiento y AcortAmiento verticAl de GrficAs Para graficar y=cf(x):

    Si c>1, alargue verticalmente la grfica de y=f(x) por un factor de c.

    Si 0

  • Matemtica I

    Pg. 114 Calidad que se acredita internacionalmente

    y=cf(x)

    y=f(x)

    0

    c > 1

    y

    0 < c < 1

    y=f(x)

    y=cf(x)

    0x

    AcortAmiento y AlArGAmiento horizontAl de GrficAsLa grfica de y=f(cx):

    Si c>1, acorte la grfica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.

    Si 0

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 115

    Matemtica I

    y

    x

    y

    x

    02. Describa cmo puede transformarse la grfica de y=|x| a la grfica de la ecuacin dada.

    a) y=|x|4 b) y=|x+2|

    Solucin:

    a) La ecuacin est en la forma y=f(x)4 , un desplazamiento de unidades hacia

    . Cuya grfica sera:

    b) La ecuacin est en la forma y=f(x+2) , un desplazamiento de unidades haca

    .Cuya grfica sera:

  • Matemtica I

    Pg. 116 Calidad que se acredita internacionalmente

    03. Reflexiones

    Graficar: a) y x= b) y x= Solucin:

    El punto de partida es la grfica de f(x) x=

    x

    (1,1)

    y x=

    y

    a) La grfica de y x= es la reflexin de la grfica de f(x) x= en el

    b) La grfica de y x= es la reflexin de la grfica de f(x) x= en el

    a) Reflexin en el eje x b) Reflexin en el eje y

    04. Estiramiento y acortamiento vertical

    Use la grfica de f(x)=x2 para trazar la grfica de cada funcin.

    a) g(x)=3x2 b) 21

    h(x) x3

    = Solucin:

    a) La grfica g se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la grfica de f por 3. Es decir, para obtener la grfica de g se alarga la grfica de f verticalmente por un factor de 3. El resultado es la parbola ms estrecha en la figura.

    b ) La grfica h se obtiene al multiplicar la coordenada y de cada punto sobre la grfica de f por 1/3. Es decir, para obtener la grfica de h se acorta verticalmente la grfica de f verticalmente por un factor de 1/3. El resultado es la parbola menos estrecha en la figura.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 117

    Matemtica I

    x

    f(x)=3x2

    4

    10

    g(x)=x2

    21h(x) x3

    =

    05. Alargamiento y acortamiento horizontal

    La grfica de y=f(x) se muestra en la figura adjunta. Trace la grfica de cada funcin.

    a) y=f(2x) b) 1

    y f x2

    =

    x0

    1

    y

    1

    Solucin Con base en los principios descritos en el cuadro pginas atrs, se obtiene las grfica mostradas en la figura (a) y (b).

    x0

    1

    y

    1/2 1x

    0

    1

    y

    1 21

    Figura (b): Figura (a): y=f(2x)1

    y x2

    =

    b. bloque ii01. Desplazamiento vertical y horizontal.

    Graficar: y=(x+1)21

    Solucin:

    De acuerdo a la ecuacin planteada, la grfica de y=(x+1)2-1 es la grfica de desplazada

    unidad hacia la , seguida de un desplazamiento de

    unidad hacia . Entonces su grafica ser:

  • Matemtica I

    Pg. 118 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. Combinacin de transformaciones

    Graficar: y 2 2 x 3= Solucin:

    El estudiante debe reconocer que la funcin dada es producto de cuatro transformaciones de la funcin bsica f(x) x= , a continuacin:

    - Se estira verticalmente esa grfica, por un factor de 2, para obtener

    - Se refleja esta segunda grfica en el eje x, para obtener:

    - Luego de esta tercera grfica se desplaza 3 unidades hacia la derecha para obtener

    - Por ltimo, la cuarta grfica se desplaza 2 unidades hacia arriba, para obtener

    Ahora, compruebe con esta secuencia de grficas:

    (0,0)

    y x=

    (0,0)

    y 2 x=

    (0,0)

    y 2 x=

    y yy

    x x x

    a) Punto de partida b) Estiramiento vertical c) Reflexin en el eje x

    (3,0)

    y 2 x 3=

    y

    x

    d) Desplazamiento hacia la derecha

    (3,2)

    y 2 2 x 3=

    y

    x

    d) Desplazamiento hacia arriba

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 119

    Matemtica I

    c. bloque iii01. Combinacin de transformaciones en orden

    La grfica de y=x2 se somete a las transformaciones siguientes, en orden:

    a) Un desplazamiento horizontal de 2 unidades hacia la derecha.

    b) Un alargamiento vertical en un factor de 3.

    c) Una traslacin vertical de 5 unidades hacia arriba.

    Determine la ecuacin de la grfica resultante.

    Solucin:

    Al aplicar, en orden, las transformaciones, tenemos:

    02. Combinar los procedimientos de graficacin

    hacer la grfica de la funcin: 3

    f(x) 1x 2

    = + Solucin:

    Utilizamos los pasos siguientes para obtener la grfica de f:

    Paso 1 Funcin recproca.

    Paso 2 Alargamiento vertical de la grfica de 1

    yx

    = por un factor de 3.

    Paso 3 Desplazamiento horizontal a la derecha, 2 unidades, reemplazar x por x2.

    Paso 4 Desplazamiento vertical una unidad hacia arriba en 1 unidad.

    Vese los pasos seguidos ahora en forma grfica.

    (1,1)

    20x

    y

    2

    2

    ( 1, 1)

    12,

    2

    (a)

    (1,3)

    30x

    y

    2

    2

    ( 1, 3)

    32,

    2

    (b)

  • Matemtica I

    Pg. 120 Calidad que se acredita internacionalmente

    (3,3)

    60x

    y

    2

    3

    (1, 3)

    34,

    2

    (c)

    (3,4)

    40x

    y

    4

    4

    (1, 2)

    54,

    2

    (d)

    4

    Corrimiento verticalhacia arriba en 1 unidad

    Corrimiento horizontalhacia la derecha en 2 unidades

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    01. Escriba la funcin cuya grfica sea la de y=x3, pero ahora:

    a) Desplazada hacia la derecha en 4 unidades y hacia abajo 3 unidades.

    02. Escriba la funcin cuya grfica sea la de y=x5, pero ahora:

    a) Desplazada 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la izquierda.

    03. Escriba la funcin cuya grfica sea la de y x= , pero ahora: a) Reflejada en el eje y

    04. Escriba la funcin cuya grfica sea la de 3y x= , pero ahora: a) Alargada verticalmente en un factor de 15 unidades

    05. Escriba la funcin cuya grfica sea la de y=|x|, pero ahora:

    a) Acortada verticalmente por un factor 1/4 unidad, y despus reflejada en el eje x

    b. bloque ii01. Suponga que se da la grfica de f. Describa cmo se puede obtener la grfica de cada funcin a partir de la

    grfica de f.

    a) 2f(x) x 4= + b) h(x) x 2=

    c) g(x) 4 2 x= d) g(x) 2|1 x|=

    e) h(x) x 2= 02. Se dan las grficas de f y g. Encuentre una frmula para la funcin g.

    a)

    0

    g

    1

    f(x)=x2

    1

    y

    x

    g=

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 121

    Matemtica I

    b)

    0

    g

    1

    f(x)=x3

    1

    y

    x

    g=

    03. En el problema aparece la grfica de una funcin f. Utilcela como el primer paso para hacer la grfica de cada una de las siguientes funciones.

    x

    y

    a) y=f(x)+2 b) y=f(x)2

    c) y=f(x+2) d) y=f(x5)

    e) y=f(x) f) y=f(x)

    04. Se da la grfica de g. Bosqueje la grfica de la siguiente funcin: y=g(x+1)

    g

    y

    x1

    10

    a) Bosqueje la grfica de y=1/x mediante la graficacin de los puntos.

    b) Use la grfica de f para trazar las grficas de la siguiente funcin:

    1y

    x 3=

    +

    c. bloque iii01. Se da la grfica de g. Utilcela para graficar cada una de las siguientes funciones

    a) y=g(2x) b) 1

    y g x2

    =

  • Matemtica I

    Pg. 122 Calidad que se acredita internacionalmente

    g

    y

    x10

    1

    02. En el ejercicio transforme la funcin y=|x+2|, mediante:

    a) Un alargamiento vertical en un factor de 2 y

    b) Una compresin horizontal en un factor de 1/3.

    03. En los ejercicios determine la ecuacin de la reflexin de f con respecto a:

    f(x) 2 x 3 4= +

    a) el eje x b) el eje y.

    04. Reflexin de funciones impares. Pruebe que la grfica de una funcin impar es la misma cuando se refleja con respecto al eje x que cuando se refleja con respecto al eje y

    05. Complete el cuadrado de la expresin cuadrtica. Despus haga la grfica de la funcin con la tcnica de desplazamiento.

    2f(x) x 2x= +

    Ejercicios de Transformacin de Funciones1. ejercicioS reSueltoS

    A. bloque iEn los problemas del 1 al 12, relacione cada grfica con una de las siguientes funciones:

    Solucin

    a) 2y x 2= + b) 2y x 2= + c) y |x| 2= + d) y |x| 2= +

    e) 2y (x 2)= f) 2y (x 2)= + g) y |x 2|= h) y |x 2|= +

    i) 2y 2x= j) 2y 2x= k) y 2|x|= l) y 2|x|=

    3

    33

    y

    x

    y

    x33

    31. 2.

    3

    1

    3

    33x

    3

    yy3. 4.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 123

    Matemtica I

    33

    3

    y

    x

    3

    33x

    1

    5

    5.

    6.

    33

    3

    x

    3

    7.

    66

    8

    x

    4

    8.

    44

    4

    x

    4

    9.

    33

    3

    x

    3

    10.

    44

    4

    x

    4

    11.

    33

    3

    x

    3

    12.

    Solucin:

    Completamos relacionando el siguiente cuadro:

    A B C D

    E F G H

    I J K L

    02. En los problemas deduzca la ecuacin de la grfica final despus de aplicar las transformaciones indicadas, a la grfica de y=f(x)

    la grfica de f desplazada 2 unidades hacia arriba. la grfica de f desplazada 5 unidades hacia abajo. la grfica de f desplazada 6 unidades hacia la izquierda. la grfica de f desplazada 1 unidad hacia la derecha.

  • Matemtica I

    Pg. 124 Calidad que se acredita internacionalmente

    la grfica de f desplazada 1 unidad hacia arriba y 4 unidades hacia la izquierda. la grfica de f desplazada 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la derecha. la grfica de f reflejada en el eje x. la grfica de f estirada verticalmente un factor de 15 unidades. la grfica de f comprimida verticalmente un factor de 1/4 unidad, y despus reflejada en el eje x.

    Solucin:

    Completamos el cuadro con las formulas requeridas:

    a) b) c)

    d) e) f)

    g) h) i)

    03. Haga la grfica de cada funcin usando el criterio de transformacin:

    a) g(x)=x3+2 b) f(x)=(x+2)3

    c) h(x) x 1= +

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 125

    Matemtica I

    b. bloque ii01. Se dan las grficas de f y g. Encuentre una frmula para la funcin g.

    a)

    y

    x

    g

    f(x)=|x|

    0

    g=

    b)

    y

    g

    0 g=

    f(x) x=

    x

    c)

    y

    g

    0 g=

    2f(x) x=

    x

    02. Se da la grfica de y=f(x). Compare cada ecuacin con su grfica.

    a) 1

    y f(x)3

    =

    b) y=(x+4)

    c) y=f(x4)+3

    d) y=f(x)

    Solucin:

    y

    0

    f(x)

    x36

    3

    3 6

    3

    6 1

    2

    4

    3

  • Matemtica I

    Pg. 126 Calidad que se acredita internacionalmente

    Completamos el cuadro comparando las grficas con sus frmulas.

    a. b.

    c. d.

    03. En el ejercicio la grfica es la de una funcin y=f(x), que puede obtenerse mediante la transformacin de la grfica de y=x. Escriba una frmula para la funcin f.

    x

    y

    Respuesta:

    04. Bosqueje la grfica de la funcin f(x)=12(x3)2. Solucin:

    Comensando con la grfica y=x2, se desplaza primero a la derecha 3 unidades para obtener la grfica de y=(x3)2.

    Luego se refleja en el eje x y se alarga por un factor de 2 para obtener la grfica de y=2(x3)2. Por ltimo, se desplaza

    1 unidad hacia arriba para obtener la grfica de f(x)=12(x3)2, mostrada en la figura.

    x

    y

    1

    1

    (3,1)

    2y (x 3)=

    2f(x) 1 2(x 3)=

    2y 2(x 3)=

    2y x=

    05. Explique cmo se obtiene la grfica de g a partir de la grfica de f.

    a) f(x) x, g(x) 2 x= =

    b) 1

    f(x) x, g(x) x 22

    = =

    1

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 127

    Matemtica I

    Respuesta:

    c. bloque iii01. Se da una funcin f y se aplica a su grfica las transformaciones indicadas (en el orden dado). Escriba la

    ecuacin para la grfica transformada final y su grfica.

    f(x) x= ; desplace 3 unidades a la izquierda, alargue verticalmente por un factor de 5 y refleje en el eje x. Solucin:

    Paso 1 : Paso 2 :

    Paso 3 : Paso 4 :

    La grfica final ser:

    02. Bosqueje la grfica de la funcin, no mediante la graficacin de puntos, sino indicando con la grfica de una funcin estndar y aplicando trasnformaciones.

    1y 1

    x 3= +

    Solucin: a) Paso 1: b) Paso 2:

  • Matemtica I

    Pg. 128 Calidad que se acredita internacionalmente

    c) Paso 3:

    03. Se da la grfica de h. Utilcela para graficar cada una de las funciones siguientes:

    a) y=h(3x) b) y=h(1/3x)

    y

    h

    0 33

    Solucin:

    a) Grfica de y=h(3x) b) Grfica de: 1

    y h x3

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 129

    Matemtica I

    04. La grfica es la de una funcin y=f(x), que puede obtener mediante la transformacin de la grfica de y x=. Escriba una frmula para la funcin f.

    x

    y

    Respuesta:

    05. En el ejercicio propuesto determine la ecuacin de la reflexin de f con respecto a:

    a) el eje x y b) el eje y.

    f(x) 2 x 3 4= +

    Solucin

    a) La ecuacin con respecto al eje x:

    b) La ecuacin con respecto al eje y:

    2. ejercicioS ProPueStoS A. bloque i

    01. Suponga que se da la grfica de f. Describa cmo se pueden obtener las grficas de las siguientes funciones a partir de f.

    a) y=f(x)+8 b) y=f(x+8) c) y=1+2f(x)

    d) y=f(x-2)-2 e) y=f(-x) f) y=-f(-x)

    g) y=-f(x) h) y=f(2x).

    02. Se da la grfica de f. Trace las grficas de las siguienes funciones.

    a) y=f(x-2) b) y= -f(x) c) y=3-f(x)

    d) y=1/2f(x)1 e) y=f(2x) f) y=f(x)

  • Matemtica I

    Pg. 130 Calidad que se acredita internacionalmente

    x

    y

    1

    10

    03. a) Cmo se obtiene la grfica de y=f(x-3)+2 a partir de la grfica de f?

    b) Cmo se obtiene la grfica de y=f(-x) a partir de la grfica de f?

    b. bloque ii01. Use la grfica de la funcin y=f(x) que se indica en la figura, para graficar las siguientes funciones:

    a) y=f(x)+2 b) y=f(x)2 c) y=f(x+2)

    d) y=f(x5) e) y=f(x) e) y=f(x)

    x

    y

    02. En los ejercicios describa una grfica bsica y una sucesin de transformaciones que pueden usarse para producir una grfica de la funcin dada.

    y=2(x3)24

    y=(3x)24

    03. En los ejercicios planteados se obtiene una grfica G a partir de una grfica y mediante la sucesin de transformaciones indicadas. Escriba una ecuacin cuya grfica sea G.

    a) y=x2; un alargamiento vertical en un factor de 3, luego un desplazamiento de 4 unidades hacia la derecha.

    b) y=x2; un corrimiento de 4 unidades a la derecha, luego un alargamiento vertical en un factor de 3.

    c. bloque iii 01. En el ejercicio propuesto transforme la funcin dada mediante:

    a) un alargamiento vertical en un factor de 2 y

    b) un acortamiento horizontal en un factor de 1/3.

    1f(x)

    x 2=

    +

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 131

    Matemtica I

    02. En los ejercicios describa una grfica bsica y una sucesin de transformaciones que pueden usarse para producir una grfica de la funcin dada.

    y 3 x 1y 2|x 4| 1

    = += + +

    03. En los ejercicios planteados se obtiene una grfica G a partir de una grfica y mediante la sucesin de transformaciones indicadas. Escriba una ecuacin cuya grfica sea G.

    a) y=|x|; un desplazamiento de 2 unidades hacia la izquierda, seguido de un alargamiento vertical en un factor de 2 y finalmente un desplazamiento de 4 unidades hacia abajo.

    b) y=|x|: un corrimiento de 2 unidades hacia la izquierda, luego un alargamiento en un factor de 1/2, y por ltimo un desplazamiento de 4 unidades hacia abajo.

    04. Los ejercicios planteados son con respecto a la funcin f, cuya grfica se muestra a continuacin.

    y

    x1 2 3 44 3 2 1

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    4

    a) Bosqueje la grfica de y=2+3f(x+1)

    b) Bosqueje la grfica de y=f(x+1)+1

    Cuadrticas, Mximos y Mnimos1. SabereS PrevioS Una funcin cuadrtica es una funcin polinomial de grado 2. Recuerde que la grfica de la funcin cuadrtica f(x)=x2

    es una parbola. Veremos que la grfica de toda funcin cuadrtica es una parbola que se abre hacia arriba o hacia

    abajo. Esto es porque la grfica de cualquier funcin cuadrtica puede obtenerse a partir de la funcin cuadrtica f(x)=x2 mediante una sucesin de traslaciones, reflexiones, alargamientos y acortamientos.

    A. ejercicios desArrollAdosTransformacin de la funcin cuadrtica

    01. Describa cmo transformar la grfica de f(x)=x2 en la grfica de la funcin dada.Bosqueje su grfica manualmente.

    a) 2g(x) (1 / 2)x 3= + b) 2h(x) 3(x 2) 1= +

    Solucin:

    a) La grfica de g(x)=(1/2)x2+3 se obtiene mediante una compresin vertical de la grfica de f(x)=x2 en un factor de 1/2, lo que refleja el resultado con respecto al eje x, y trasladando la grfica reflejada 3 unidades hacia arriba. Consulte la figura.

  • Matemtica I

    Pg. 132 Calidad que se acredita internacionalmente

    b) La grfica de h(x)=3(x+2)21 se obtiene mediante un alargamiento vertical de la grfica de f(x)=x2 en un factor de 2 y trasladando la grfica resultante 3 unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Consulte la figura.

    5

    5

    y

    x

    5

    5

    y

    x

    b. ejercicios propuesto

    2. FuNcioNeS cuadrticaS, mximoS y mNimoS Una funcin cuadrtica es una funcin f de la forma:

    f(x)=ax2+bx+c

    donde a, b y c son nmeros reales y a0.

    Su grfica corresponde geomtricamente a una parbola cncava hacia arriba o hacia abajo.

    GrficA de lA funcin cuAdrticA

    Para graficar la funcin f(x)=ax2+bx+c en el plano cartesiano, se debe tener en cuenta que:

    - Su grfica es una parbola.

    - Tiene simetra con respecto a la recta b

    x2a

    = .

    - El signo de a indica la concavidad de la curva. Si a>0, la parbola es cncava hacia arriba; y, si a0, la grrfica de f tiene dos intersecciones con el eje x. Si =0, la grfica de f interseca al eje x en un solo punto. Por ltimo, si

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 133

    Matemtica I

    bx

    2a= bx

    2a=

    c) (a>0) (

  • Matemtica I

    Pg. 134 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Grafica de una funcin cuadrtica: 2f(x) x 5x 6= Solucin:

    Grfica de f : (a>0) es una curva cncava hacia arriba.

    Eje de simetra : 5x2

    =

    Vrtice : 5 49

    V ,2 4

    =

    Intersecciones con el eje x: (1,0); (6,0)

    Interseccin con el eje y: (0, 6).

    y

    5 49V ,

    2 4 =

    5x

    2=

    ( 1,0)

    (0, 6)

    (6,0) x

    02. Hallar valores mximos y mnimos de funciones cuadrticas

    Hallar el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica

    a) f(x) = x2 + 4x

    Solucin:

    a) Esta es una funcin cuadrtica con a=1 y b=4. Por lo tanto, el valor mximo o mnimo ocurre en:

    b 4x 2

    2a 2 1= = =

    Puesto que a>0, la funcin tiene el valor mnimo.: 2f( 2) ( 2) 4( 2) 4 = + = Su grfica sera:

    x

    y

    El valor mnimo ocurre en x=2

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 135

    Matemtica I

    03. Hallar el valor mximo o mnimo de la funcin cuadrtica

    b) g(x) = 2x2 + 4x 5

    Solucin:

    b) Este es una funcin cuadrtica con a=2 y b=4. As, el valor mximo ocurre en:

    b 4x 1

    2a 2 ( 2)= = =

    Puesto que a

  • Matemtica I

    Pg. 136 Calidad que se acredita internacionalmente

    b. bloque ii01. Determina si cada afirmacin es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

    a) La grfica de la funcin:

    2 2f(x) 5x 4x 2x= es cncava hacia arriba

    b) La grfica de la funcin:

    2 2f(x) (3x x) 20x 7x= + + es cncava hacia abajo a) La grfica de la funcin:

    2 2f(x) (3x 2) 5x 1= + + + es cncava hacia abajo .02. Dado que f es una funcin cuadrtica con mx f(x)=f(3)=5, encuentra el eje, el vrtice, el rango y las

    intersecciones con el eje x.

    Solucin:

    03. Halla la frmula de la funcin cuadrtica que:

    pasa por el punto (1;1) y su vrtice es el punto (2;3)

    Solucin:

    04. Halla los posibles valores de m para que se cumpla la condicin pedida: f(x)=x2+mx+3 corta al eje x en dos puntos.

    Solucin:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 137

    Matemtica I

    05. Exprese la funcin f(x)=x2+6x5 en la forma f(x)=a(xh)2+k. Graficar:

    Solucin:

    Primero sacamos el coeficiente de x3 en los dos primeros trminos de factor comn:

    2 2 2f(x) (x 6x h h ) 5= +

    El trmino 6x corresponde a 2hx. Asi que 6x=2hx, de donde h=3.

    El trmino que falta para completar cuadrados es (3)2=9

    2

    2

    (x 3)

    2

    f(x) (x 6x 9 9) 5

    f(x) ((x 3) 9) 5

    = +

    =

    se aplica la ley distributiva

    2

    2

    f(x) (x 3) 9 5

    f(x) (x 3) 4

    = +

    = +

    La grfica de esta funcin puede ser obtenida por una reflexin de la grfica de y=x2 en torno al eje x, luego una traslacin horizontal hacia la derecha de tres unidades y por ltimo una traslacin vertical de cuatro unidades hacia arriba.

    x

    y

    4

    3

    c. bloque iii Muchos problemas del mundo real tienen que ver con hallar un valor mximo o mnimo para una funcin que modela

    una determinada situacin. En el ejemplo siguiente se encuentra el valor mximo de una funcin cuadrtica que modela cantidad de millas recorridas de un automvil.01. La mayor parte de los automviles obtienen su mejor millaje de combustible cuando viajan a velocidad

    relativamente modesta. El millaje M para cierto automvil nuevo se modela mediante la funcin:

    21M(s) s 3s 3128

    = + , 15 s 70

    donde s es la velocidad en millas/h y M se mide en millas/gal. Cul es el mejor millaje de combustible para el automvil y a qu velocidad se obtiene?

    Solucin:

    40

    015 70

    El millaje mximo de combustible ocurre a 42 km/h

  • Matemtica I

    Pg. 138 Calidad que se acredita internacionalmente

    La funcin M es una funcin cuadrtica con 1a28

    = y b=3. As, su valor mximo ocurre cuando.

    b 3s 42

    12a 228

    = = =

    El mximo es 21M(42) (42) 3(42) 31 3228

    = + = . As que el mejor millaje de combustible del automvil es 32

    millas/gal, cuando est viajando a 42 millas/h.

    02. Un fabricante puede producir un artculo en $10 y luego lo vende a x dlares.

    a) Si se estima que los consumidores comprarn 60x artculos al mes, expresa la funcin G (ganancia total) en funcin de x.

    b) Grafica la funcin

    c) Cundo estarn las ganancia al mximo?

    Solucin:

    a) Si la ganancia por artculo es de x10, entonces la funcin ganancia estar dada por:

    2

    cantidad de gananciaGanancia Total

    artculos vendidos por artculo

    G(x) (60 x)(x 10)

    G(x) x 70x 600

    =

    =

    = +

    b) La grfica de G(x) es:

    $200

    $400

    $600

    10 20 30 40 50 60

    c) La ganancia mxima estar dada por el vrtice de la parbola. Asi, b 70

    352a ( 2)

    = =

    Esto significa que cuando el frabricante produzca 35 artculos obtendr la mxima ganancia, lo que corresponde a un total de:

    2G(35) 35 70(35) 600

    $625

    = +

    =

    03. En una tienda donde se venden calculadoras se ha encontrado que cuando las calculadoras se venden en un precio de p dlares por unidad, el ingreso R como una funcin del proceso p es:

    R(p)=750p2+15 000p

    Cul debe ser el precio unitario para poder maximizar el ingreso? Si se cobra ese precio, Cul ser el ingreso mximo?

    Solucin:

    El ingreso R es:

    2 2R(p) 750p 15,000p ap bp c= + = + +

    La funcin R es una funcin cuadrtica con a=750, b=15 000 y c=0. Ya que a

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 139

    Matemtica I

    Vase la figura 11 para una ilustracin

    80,000

    70,000

    60,000

    50,000

    40,000

    30,000

    20,000

    10,000

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24P

    (10, 75 000)

    precio por calculadora (dlares)

    Ingr

    eso

    (dl

    ares

    )

    R

    04. Un proyectil es disparado desde un acantilado a 500 pies por encima del agua con una inclinacin de 45 respecto a la horizontal, la velocidad del disparo es de 400 pies por segundo. La altura h por encima del agua est dada por.

    2

    2

    32xh(x) x 500

    (400)

    = + +

    donde x es la distancia horizontal del proyectil desde la base del acantilado.

    a) Encontrar la altura mxima del proyectil

    b) A qu distancia desde la base del acantilado chocar el proyectil con el agua?

    Solucin:

    Ilustrando la situacin:

    2500

    2000

    1500

    1000

    500

    0 500 1000 2000 3000 4000 5000x

    h(x)

    45

    a) La altura del proyectil est dada por una funcin cuadrtica:

    22

    2

    32x 1h(x) x 500 x x 500

    5000(400)

    = + + = + +

    estamos buscando el valor mximo de h y, puesto que ste es obtenido en el vrtice, calculamos.

    b 1 5000x 2500

    2a 2( 1 / 5000) 2

    = = = =

    La altura mxima del proyectil es:

  • Matemtica I

    Pg. 140 Calidad que se acredita internacionalmente

    b) El proyectil chocar con el agua cuando su altura sea cero. Para determinar la distancia x recorrida necesitamos resolver la ecuacin.

    21h(x) x x 500 05000

    = + + =

    Usamos la frmula cuadrtica con:2 1b 4ac 1 4 (500) 1.4

    5000

    4581 1.4x

    54582( 1 / 5000)

    = =

    = =

    Desechamos la solucin negativa y encontramos que el proyectil chocar con el agua a una distancia de

    5458 pies a partir de la base del acantilado.

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    01. En los problemas del 1 al 8 asocie cada grfica con una de las siguientes funciones:

    a) y=x21 b) y=x21 c) y=x22x+1 d) y=x2+2x+1

    e) y=x22x+2 f) y=x2+2x g) y=x22x h) y=x2+2x+2

    3

    2

    y

    x

    1.

    12

    2

    2

    y

    x

    2.

    2

    2

    2

    y

    x

    3.

    2

    2

    3

    2

    y

    x

    4.

    21

    2

    2

    y

    x

    5.

    3

    2

    1

    y

    x

    6.

    31

    1

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 141

    Matemtica I

    y7.

    1

    2

    y

    x

    8.

    3

    2

    3

    3

    2

    02. Graficar las siguientes funciones utilizando la frmula del vrtice y cortes con los ejes.

    a) 2f(x) x 2x 2= + b) 2f(x) 1 3x 2x= + c) f(x) x(2x 1)= +

    d) f(x) (x 4)(x 1)= + e) f(x) 5x 6 (x 2)(x 1)= + f) 2f(x) 2(x 2) x= + +

    03. Encuentre los mximo o mnimos de las siguientes funciones cuadrticas segn corresponda:

    a) 2f(x) 2x 3= + b) f(x) (x 3)(x 1) 8x= + + + c) 2f(x) 3 10x 5x=

    d) 2f(x) 2x 3x= e) 2

    1 3f(x) (x 1)

    2 2= +

    04. En los ejercicios escriba una ecuacin para la parbola que se muestra. Utilice el hecho que uno de los puntos dados es el vrtice.

    ( 1, 3)

    (1,5)

    (2, 7)

    (1,5)

    b. bloque ii01. Halla la frmula de la funcin cuadrtica que su grfico corta al eje y en (0;3) y su vrtice es el punto (1;2)

    02. Halla los posibles valores de m para que se cumpla la condicin pedida: 2g(x) 2x x m= , no cort el eje x03. En el problema, deduzca una funcin cuadrtica, f(x)=ax2+bx+c, que datisfaga las condiciones indicadas:

    Su grfica pasa por (2, 1) y los ceros de f son 1 y 3.

    04. En el problema, trace la regin del plano xy que est acotada entre las grficas de las funciones indicadas.

    Determine los puntos de interseccin de las grficas: y=x2+2x+2, y=x22x+2

    05. Halle los valores mximo y mnimo de la funcin cuya grfica se muestra.

    1

    1

    0

    y

    x1

    1

    0

    y

    x

  • Matemtica I

    Pg. 142 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de naranjas, la produccin promedio ser de 300 naranjas

    por rbol y que por cada rbol menos que se siembre la produccin aumentar en 3 naranjas por rbol.

    a) Cul es el nmero de rboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la mxima cosecha posible del terreno?

    b) Cul es la produccin mxima posible?

    02. Ingreso. Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierto artculo est dado por

    la funcin R(x)=80x0.4x2, donde el ingreso R(x) se mide en dlares. Cul es el ingreso mximo y cuntas unidades se tienen que fabricar para obtener ese mximo?

    03. Productos farmacuticos. Cuando cierto frmaco se toma oralmente, su concentracin en el torrente sanguneo

    del paciente despus de t minutos est dada por C(t)=0.06t0.0002t2, donde 0t240 y la concentracin se mide en mg/L. Cundo se alcanza la concentracin mxima y cul es esa concentracin mxima?

    04. Se va a construir un corral rectangular con 100 metros de malla:

    Carca

    existe

    nte

    a) Si x representa el ancho del corral, exprese su rea A(x) en trminos de x.

    b) Considerando las limitaciones fsicas. Cul es el dominio de la funcin A?

    c) Grafica la funcin para este dominio.

    d) Determina las dimensiones del rectngulo que va a formar el rea mxima.

    05. La trayectoria que sigue un acrbata de circo cuando es disparado por un can est dada por la grfica de la

    funcin: 21f(x) x x30

    = tanto el caon como la malla estn a 3 metros del altura (observa la figura)

    f(x)

    x

    a) A qu distancia del can debe estar el centro de la malla para que el acrbata caida en ese lugar?

    b) Cul es la altura mxima, con respecto al suelo, que alcanza el acrbata?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 143

    Matemtica I

    Modelacin de Funciones1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos En cada ejercicio dado. Expresa la cantidad dada en trminos de la variable indicada.01. La suma de tres enteros consecutivos: n=entero intermedio de los tres. Solucin:

    Suma: (n 1)+n+(n+1)=3nentero intermedio (dato)

    02. El promedio de tres calificaciones de exmenes, si las primeras dos califiicaciones son 13 y 16; S=tercera calificacin Solucin:

    13 16 S 29 SPr omedio

    3 3+ + +

    = =

    03. El inters obtenido despues de un ao de una inversin al 1

    2 %2

    de inters simple anual; x=cantidad de soles invertido.

    Solucin:

    2,5Inters 2,5%x x 0,025x soles

    100= = =

    04. El rea en mtros cuadrados de un rectngulo, cuyo largo es tres veces su ancho; W=ancho del rectngulo en metros. Solucin:

    W3W2Area l arg o ancho 3W W 3W= = =

    05. La concentracin en gramos por litro de sal en una mezcla de 3 litros de salmuera que contiene 25g de sal a la cual se le ha aadido agua pura, x=volumen de agua pura adicionado en litros.

    Solucin:

    sus tancia pura 25Concentracin

    volumen total de la mezcla 3 x= =

    +

    b. ejercicios propuestosEn cada ejercicio, exprese la cantidad dada en trminos de la variable indicada.01. El promedio de cuatro calificaciones de tarea acadmica, si cada una de las tres primeras es 12; r=cuarta calificacin.02. La renta total pagada por un departamento, si la renta es de 860 al mes; n=cantidad de meses.03. El permetro en cm de un rectngulo cuyo largo es 5cm mayor que su ancho; W=ancho del rectngulo en cm.04. La distancia en kilmetros que recorre un automvil en 45 minutos; S=velocidad del vehculo en kilmetros por hora.05. El valor en soles que hay en una bolsa que contiene el doble de monedas de 10 cntimos que de monedas de 5

    cntimos, cuatro monedas ms de 20 cntimos que de monedas de 10 cntimos y la misma cantidad de monedas de 50 cntimos que de monedas de 20 y 10 cntimos combinadas: p=cantidad de monedas de 5 cntimos.

    2. modelaciN de FuNcioNeS:normAs pArA modelAr con funciones1. Exprese el modelo en palabras: Identifique la cantidad que quiere modelar y exprsela el palabras, como una

    funcin de otras cantidades en el problema.2. Elija la variable: Identifique las varibales empleadas para expresar la funcin en el paso 1. Asigne un smbolo, como

    x, a una variable y exprese las otras variables en trminos de este smbolo.3. Establezca el modelo: Exprese la funcin en el lenguaje del lgebra al escribirla como una funcin de la nica v

    ariable elegida en el paso 2.4. Use el modelo: Emplee la funcin para contestar las preguntas planteadas en el problema. (Para hallar un mximo

    o un mnimo, use los mtodos algebraicos o grficos descrito en la seccin anterior).

    Semana 08

  • Matemtica I

    Pg. 144 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i01. La longitud de un lote de edificacin rectangular es tres veces su ancho. Determine una funcin que modela su rea

    en trminos de su ancho W. Solucin: * Exprese el modelo en palabras: se sabe que el rea de un lote rectangular es:

    rea = * Elija la variable: Hay dos cantidades variable : longitud y ancho. Dado que la funcin que se desea modelar

    depende del ancho, sea:

    x = Luego, expresando la otra dimensin del lote en trminos de x:

    Ancho

    Longitud

    En palabras En lgebra

    ancho

    longitud

    * Establezca el modelo: El modelo es la funcin A que da el rea del lote restangular en trminos del ancho.

    rea = longitud ancho

    A = (x)

    A =(x)

    02. Una caja rectangular tiene una base cuadrada. Su altura es la mitad del ancho de la base. Determine una funcin que modele su volumen V en trminos de su ancho x.

    Solucin: * Exprese el modelo en palabras: La funcin objetivo es el volumen de la caja rectangular: volumen = profundidad ancho altura * Elija la variable: El volumen que se desea modelar depende del ancho de la base, entonces; siendo x=ancho de

    la base, las otras dimensiones de la caja se expresan en trminos de x.

    Ancho Pr

    ofun

    dida

    d

    En palabras En lgebra

    ancho

    profundidad

    Altura

    altura

    * Establezca el modelo: La funcin volumen en trmino de x es:

    Volumen = profundidad ancho altura

    V = (x)

    V =(x)03. Una seorita de 1,5m de estatutra est parada cerca de una lmpara del alumbrado pblico que tiene 3,6m de altura,

    como se muestra en la figura. Determine una funcin que modele la longitud L de su sombra en trminos de su distancia "d" desde la base de la lmpara.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 145

    Matemtica I

    5 pies

    dL

    12 pies

    Solucin: * Exprese el modelo en palabras: La funcin objeto es la longitud L en funcin a la distancia "d". Aplicando semejanza de tringulos:

    altura del alumbrado sombra del alumbradoaltura de la seorita sombra de la seorita

    =

    * Elija la variable: las cantidades intervinientes estn designadas en la figura: En palabras En lgebra

    longitud de la sombrea de la seorita

    distancia desde la base de la lmpara hasta los zapatos de la seorita

    * Establezca el modelo: De la iguadad:

    altura del alumbrado sombra del alumbradoaltura de la seorita sombra de la seorita3,61,5

    =

    +=

    Despejando L se tiene: L= d04. El nmero de manzanas que produce cada rbol en un huerto depende de la densidad de rboles plantados. Si se

    plantan "n" rboles en una hectrea de terreno, entonces cada rbol produce (18006n) manzanas.

    a) Encuentre una funcin que modele el nmero de manzanas producidas por hectrea A(n), en trminos de "n".b) Determina la produccin mxima de manzanas por hectrea.c) Determina el nmero de rboles que se deben plantar por hectrea para la produccin mxima. Solucin:a) * Exprese el modelo en palabras: El modelo que se desea es una funcin que proporciona el nmero de manzanas por

    hectreas A(n), siendo este:

    A(n) =

  • Matemtica I

    Pg. 146 Calidad que se acredita internacionalmente

    * Elija la variable: Las cantidades variables vienen establecidos en el enunciado del problema:

    En palabras En lgebra

    nmero de rboles por hectrea

    nmero de manzanas por rbol

    * Establezca el modelo: N de manzanas por hectrea = N de rboles x N de manzanas por rbol:

    A = (n)

    A = 6n + 1800 n(n) 2

    * Use el modelo: Se usa el modelo para contestar los incisos b y c. Se necesita hallar el valor mximo de la funcin A(n)=1800n6n2. Puesto que esta es una funcin cuadrtica con a=6 y b=1800, el mximo ocurre en:

    1800n 150

    2( 6)= =

    b 70n 35

    2a 2( 1)= = =

    b) Produccin mxima A(150)=1800 150 6(150)2 = 135 000 manzanas por hectrea.

    c) Nmero de rboles n=150.

    b. bloque ii01. Una compaa productora de cereal fabrica cajas para empacar su producto. Por razones estticas, la caja debe tener

    las siguientes proporciones: su amplitud es tres veces su profundidad y su altura es cinco veces su profundidad. a) Determine una funcin que modele el volumen de la caja en trminos de su profundidad. b) Determine el volumen de la caja, si su profundidad es 4,5cm

    c) Para qu profundidad el volumen es 90cm3?

    d) Para qu profundidad el volumen es mayor que 60cm3? Solucin:a) El modelo que se desea establecer es la funcin que modela el volumen de la caja: * Exprese el modelo en palabras: se sabe que el volumen de una caja rectangular es:

    volumen =

    * Elija la variable: hay tres cantidades variables: ancho, profundidad y altura.. Puesto que la funcin que se desea depende de la profundidad, entonces sea:

    x =

    Luego, se expresa las otras dimensiones de la caja en trminos de "x".

    En palabras En lgebra

    profundidad

    ancho

    altura

    ancho

    profundidad

    altura

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 147

    Matemtica I

    * Establezca el modelo. El modelo es la funcin V que da el volumen de la caja en trminos de la profundidad:

    Volumen = profundidad ancho altura

    V = (x)

    V =(x)

    * Use el modelo, se usa el modelo para contestar las preguntar de los incisos b); c) y d)

    b) Si la profundidad es 4,5cm, el volumen es V(4,5) = ( )3 = cm3

    c) Se necesita resolver la ecuacin: V(x) = 90

    es decir: 15x3 =

    x = cm El volumen es 90cm3 cuando su profundidad es cerca de 1,82 cm. (Esta ecuacin se puede resolver tambin la manera grfica, como se muestra en la figura adjunta)

    400

    y=15x3

    y=90

    30

    d) Se requiere resolver la desigualdad V(x) > 60; es decir:

    > 60 x > 1,5902. Un agricultor tiene 140m de cerca para un terreno de hortalizas de firma rectangular: a) Encuentre una funcin que modele el rea del terreno que puede cercar.

    b) Para qu intervalo de amplitudes, el rea es mayor o igual que 825m2?

    c) Puede cercar un terreno con rea de 1250m2? d) Determina las dimensiones del rea ms grande que puede cercar.Solucin:a) * Exprese el modelo en palabras: El rea de un terreno rectangular es:

    rea = ancho largo

    * Elija la variable: Hay dos cantidades variables, ancho y largo. Puesto que la funcin que se desea modelar depende

    solo de una variable, se: x = Luego se expresa la longitud en trminos de x, el permetro se fija en 140m, asi que la longitud se determina una vez

    que se elige. Si se permite que

    sea la longitud, como en la figura adjunta, entonces 2x + 2 =140, de modo que

    =70x. En resumen.

    En palabras En lgebra

    ancho

    largo

    l

    l

    xx

    * Establezca el modelo: El modelo es la funcin A que proporciona el rea del terreno para cualquier ancho x.

    rea = ancho largo

    A = ( ) (x)A = 70x x(x)

    2

  • Matemtica I

    Pg. 148 Calidad que se acredita internacionalmente

    El rea que se puede cercar se modela mediante la funcin:

    1500

    75

    y=1250

    1005

    y=70x-x2

    * Use el modelo:

    b) Se resuelve la desigualdad: A(x) 825

    825

    Resolviendo: x

    c) De la figura anterior se puede observar que la grfica de A(x) siempre est por debajo de la recta y=1250, de modo

    que no se obtiene un rea de 1250m2; por lo tanto no se puede cercar el rea mencionada.

    d) Se necesita hallar el valor mximo de la funcin A(x)=70xx2. Como es una funcin cuadrtica con a= y

    b= el mximo ocurre en:

    bx 35

    2a 2( )= = =

    Por lo tanto, el rea mximo que se puede cercar tiene un ancho de 35m y una longitud de 7035=35m.03. Un equipo de ftbol juega en un estadio con una capacidad de 15000 espectadores sentados. Con el precio de la

    entrada establecido en S/. 14, la asistancia promedio a juegos recientes ha sido 9500. Una encuesta de mercado indica que por cada sol que baje el precio la entrada, la asistencia promedio se incrementa en 1000.

    a) Encuentre una funcin que modele el ingreso en trminos del precio de la entrada.b) Qu precio de la entrada individual es tan alto que nadie asiste y por lo tanto no se genera ingreso alguno?c) Determina el precio que maximiza el ingreso por la venta de entradas. Solucin:a) El modelo que se requiere es una funcin que proporciona el ingreso para cualquier precio de la entrada. * Exprese el modelo en palabras: Se sabe que: ingreso = precio de la entrada asistencia * Elija la variable: Hay dos cantidades variables: precio de la entrada y asistencia. Puesto que la funcin que se desea depende del precio,

    sea:

    x = precio de la entrada

    Luego:

    En palabras En lgebra

    precio de la entradacantidad que disminuye el precio de la entradaincremento de la asistenciaasistencia

    x14 x1000(14 x)9500+1000(14 x)=23500 1000x

    * Establezca el modelo: El modelo es la funcin R que proporciona el ingreso para un determinado precio de la entrada x.

    Ingreso = precio de la entrada asistencia

    R = ( ) (x)R = , cuya grfica es:(x)

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 149

    Matemtica I

    15000

    2550 000

    5

    * Use el modelo

    b) Se desea hallar el precio x de la entrada para el cual R(x) = 0

    = 0 Resolviendo: x=0 y x=23,5 Por lo tanto, de acuerdo con el modelo, el ingreso bajara a cero si el precio de la entrada es de S/. 23,50 o ms alto

    (el ingreso tambin es cero si el precio del boleto es cero)c) Dado que R(x) es una funcin cuadrtica con a=1000 y b=23500, el mximo ocurre en:

    b 23500x 11,75

    2a 2( 1000)= = =

    Luego ingreso mximo: R( ) = 23 500 ( )1000( )2 = S/. 04. Un fabricante elabora una lata de metal que contiene 1 litro de aceite. Qu radio reduce al mnimo la cantidad de

    metal en la lata? Solucin: El modelo que se desea es una funcin que da el rea de superficie de la lata: * Exprese el modelo en palabras: se observa que para una lata cilndrica:

    rea superficial = rea de la parte superior y la base + rea de los lados

    r

    h h

    2 r

    r

    r

    * Elija la variable: Hay dos cantidades variables: radio y altura. Puesto que la funcin que se desea depende del radio, sea:

    r = radio de la lata

    expresando la altura en trminos del radio:

    V = r2h; pero V=1L=1000cm3

    entonces: r2h=1000

    despejando h h = Expresando las reas de la parte superior, la base y lateral en trminos de r.

  • Matemtica I

    Pg. 150 Calidad que se acredita internacionalmente

    En palabras En lgebra

    radio de la lata

    altura de la lata

    rea de la parte superior y la base

    rea lateral (2 rh)

    r

    * Establezca el modelo El modelo es la funcin S que proporciona el rea de superficie de la lata como una funcin radio r.

    rea de superficie = rea de la parte superior y la base + rea lateral

    S = + (r)

    S = (r)2 20002 r

    r +

    * Use el modelo: Se emplea el modelo para hallar el rea de la superficie mnima de la lata. Se grafica S(r) y se observa

    que el valor mnimo de S es muy prxima a 554cm2 y ocurre cuando el radio es cercano a 5,4cm.

    1000

    150

    2 2000S 2 rr

    = +

    c. bloque iii01. De cada esquina de una pieza de cartn de 8 15 cm se corta un cuadrado de x cm por lado y los lados se dobla hacia

    arriba para formar una caja sin tapa (ver figura adjunta)

    a) Encuentre una funcin que modele el volumen V de la caja como una funcin de x.

    b) Determine el dominio de V como una funcin de (observe que el modelo impone restricciones sobre x)

    c) Grafique V como una funcin de x, en el dominio determinado en b) y determina el volumen mximo que puede tener la caja.

    d) Determina el lado de los cuadrados cortados para producir la caja con volumen mximo. Solucin:a) El modelo que se desea es una funcin que proporciona el volumen de la caja * Exprese el modelo en palabras:

    Volumen = profundidad ancho altura

    * Elija la variable: Hay tres cantidades variables ancho, profundidad y altura, cuando se doblan hacia arriba, la profundidad de la caja ser x.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 151

    Matemtica I

    xx

    xxx ancho

    longitud

    En palabras En lgebra

    profundidad

    ancho

    altura

    * Establezca el modelo:

    Volumen = profundidad ancho altura

    V = (x)

    V =(x)

    * Use el modelo:b) La frmula para V es un polinomio cuyo dominio son todos los nmeros reales. Sin embargo, la profundidad x

    debe ser no negativa, as como el ancho de la base 82x, luego Dom: [ ; ] (los extremos proporcionan una caja sin volumen, que es tan factible matemticamente como otros conceptos cero).

    c) La grfica se muestra en la figura adjunta y el volumen mximo es alrededor de 90,74cm3.

    d) Cada cuadrado debe tener lados de 5/3 cm.

    Mximox=1,66666 y=90,740741

    [0,4] por [0; 100]

    El valor mximo aparece en el punto (5/3; 90,74)

    02. Las semillas de quinua estn cayendo de un recipiente, a travs de un agujero a una razn constante de 8cm3/mn, formando una pila de forma cnica en el suelo a donde cae. Conforme crece la altura del cono siempre permenece igual a su radio.a) Encuentre una funcin que modele el volumen como una funcin de la altura.

    b) Si ahora el cono es de 12cm. Cul ser su altura dentro de una hora?

    Solucin:

    a) * Exprese el modelo en palabras: se sabe que el volumen de cono es:

    Volumen =

    r

    h

    * Elije la variable:

    Hay 2 cantidades variables: radio y altura. Puesto que la funcin que se desea depende de la altura, expresamos la otra variable en funcin a sta. Por dato del problema la altura y el radio son iguales: (r=h)

    * Establezca el modelo:

    3

    (h)1

    V h3

    =

    * Use el modelo

  • Matemtica I

    Pg. 152 Calidad que se acredita internacionalmente

    b) Cuando h=12cm, el volumen es V=(/3)(12)3.

    V=576 cm3

    una hora ms tarde, el volumen habra aumentado en: =480cm3

    el volumen total de la pila en ese punto ser:

    V=(576 + 480)cm3

    usamos la funcin modelada para determinar la altura.

    3

    576 4803(576 480)

    h

    h 12,98cm

    = + +

    =

    =

    03. Una pecera de 1,5 pies de altura tiene un volumen de 6 pies cbicos.a) Determine una funcin que modele el ancho "y" de la base en trminos del largo "x" de la base. Adems,

    grafique esta funcin.

    b) Determine una funcin que modele la cantidad de material necesario (en pies cuadrados) para construir la pecera en trminos de x.

    Solucin:

    * Escribiendo los modelos en palabras:

    volumen = largo x ancho x altura

    rea de la pecera = rea laterales + rea de la base.

    * Identificando las variables: las variables consideradas son:

    1,5

    y

    x

    ancho = ylargo = x

    * Planteando el modelo:

    a) Volumen = largo x ancho x altura: 6 = x . y . 1, 5

    12

    4

    14

    1 2 4 13

    4y

    x=

    cuya grfica es

    b) rea = reas laterales + reas de la base

    A = 2(x.1,5)+2(y.1,5)+xy

    A=3x+3y+xy

    (x)

    4A 3 x 4

    x = + +

    Obs.: A(x) es la cantidad de material necesario para construir la pecera.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 153

    Matemtica I

    04. Un avin vuela a una velocidad de 350 km/h a una altitud de 1km y pasa directamente sobre una estacin de radar en el instante t=0.a) Exprese la distancia horizontal "d" (en km) que el avin recorre como funcin del tiempo "t".

    b) Exprese una funcin que modele la distancia "S" entre el avin y la estacin de radar en trminos de la distancia horizontal "d".

    c) Aplique la composicin de funciones para expresar S como funcin de t.

    Solucin:

    Escribiendo los modelos en palabras.

    distancia = velocidad x tiempo

    teorema de Pitgoras: a2=b2+c2 (a: hipotenusa, b y c: catetos)

    * Identificando variables: velocidad = 350 km/h.

    * Planteando el modelo:

    Radar

    S

    d

    1km

    a) distancia = velocidad x tiempo

    d = 350 x t

    d = 350 t

    b) Por el T. de Pitgoras:

    2 2 2

    2

    s 1 d

    S 1 d

    = +

    = +

    c) Reemplazando en la expresin anterior:

    2

    (t)S 1 (350t)= +

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i01. Un cartel es 30cm ms largo que su ancho. Encuentra una funcin que modele su rea "A" en trminos de su ancho

    "W".02. La altura de un cilindro es cuatro veces su radio. Encuentre una funcin que modele el volumen "V" del cilindro en

    trminos de su radio r..03. Un rectngulo tiene un permetro de 60m. Encuentre una funcin que modele el rea "A" en terminos de la longitud

    "x" de una de sus lados.04. Halle una funcin que modele el rea "A" de un crculo en trminos de su circunferencia "C".

    05. Una caja rectangular con un volumen de 250cm3 tiene una base cuadrado. Encuentra una funcin que modele su rea superficial "S" en trminos de la longitud "x" de un lado de su base.

    b. bloque ii01. Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur a 15 millas/h y el otro navega hacia el este

    a 20millas/h. Encuentre la funcin que modele la distancia "D" entre los barcos en trminos del tiempo "t" (en horas) transcurrido desde su partida.

    02. La suma de dos nmeros positivos es 60. Encuentre una funcin que modele su productos "P" en trminos de "x", uno de los nmeros.

    03. Un tringulo rectngulo tiene un cateto dos veces ms grande que el otro. Encuentra una funcin que modele su permetro "P" en trminos de la longitud "x" del cateto ms corto.

    04. Encuentre dos nmeros positivos cuya suma sea 100 y la suma de cuyos cuadrados sea un mnimo.05. Entre los rectngulos que tiene un permetro de 20m, encuentre las dimensiones del que tiene el rea ms grande.

  • Matemtica I

    Pg. 154 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Un agricultor tiene 2400 m de cerca y desea carcar un campo rectngular que bordea un ro recto. No necesita cercar

    a lo largo del ro (vese la figura). Cules son las dimensiones del campo con el rea ms grande que puede cercar?. Encuentre una funcin que modele el rea del campo en trminos de uno de sus lados.

    A

    02. Un granjero con 750m de cerca quiere cercar un rea rectangular y dividirlo despus en cuatro corrales con cerca paralela a un lado del rectngulo (vese la figura)

    a) Encuentre una funcin que modele el rea total de los cuatro corrales. b) Determine el rea total ms grande posible de los cuatro corrales.03. Un alambre de 10cm de largo se corta en dos trozos, uno de longitud "x" y el otro de longitud "10x", como se muestra

    en la figura. Cada trozo se dobla en la forma de un cuadrado. a) Encuentre una funcin que modele el rea total encerrada por los dos cuadrados. b) Halle el valor de "x" que reduce al mnimo el rea total de los dos cuadrados.

    10cm

    x 10 x

    04. Una sociedad dedicada a observar aves elabora y vende alimentadores simples para pjaros con el fin de reunir fondos para sus actividades de conservacin.

    El costo del material para cada alimentador es 5/6 y venden un promedio de 20 por semana a un precio de S/. 10 cada uno. Han estado considerando subir el precio as que llevan a cabo un estudio y encuentran que por cada incremento de un nuevo sol pierden dos ventas por semana.a) Encuentre una funcin que modele la ganancia semanal en trminos del precio por alimentador.

    b) Qu precio debe cobrar la sociedad por cada alimentador con el fin de maximizar las ganancias? Cul es la ganancia mxima?

    05. Una ventana Normanda tiene la forma de un rectngulo rematado con un semicrculo, como se ilustra en la figura, se construir una ventana normanda con permetro de 30m.a) Encuentre una funcin que modele el rea de la ventana

    b) Determine las dimensiones de la ventana que admite la mayor cantidad de luz.

    x

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 155

    Matemtica I

    Combinacin de Funciones1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos Con frecuencia se definen funciones mediante sumas, restas, productos y cocientes de diversas expresiones por

    ejemplo si:

    01. 3h(x) x x 1= +

    Se puede considerar que: 3f(x) x yg(x) x 1= =

    02.. 1

    P(x) (3x 1)x

    = +

    Se puede considerar que: f(x) (3x 1)= y 1

    g(x)x

    =

    03. R(x) x 1 2 x= +

    Se puede considerar que f(x)= y g(x)=

    04. 2 3S(x) x x= +

    Se puede considerar que f(x)= y g(x)=

    05. 41T(x) x

    3x 1= +

    +

    Se puede considerar que f(x)= y g(x)=

    A. ejercicios propuestos Ahora tienes cinco funciones en las que debes extraer dos funciones f y g:

    01. h(x) 3x 1 2x= 02. h(x) 3x x 2= +

    03. h(x) x 2 . x 4= 04. h(x) ln x log(x 2)= + +

    05. h(x) cos x senx= +

    2. combiNaciN de FuNcioNeS En esta seccin se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir nuevas. Consideremos dos funciones

    reales, f,g : si DfDg; entonces:

    Terminologa Valor de la funcin Dominio

    (f g)(x) (f g)(x) f(x) g(x) = f gx D D

    (f.g)(x) (f.g)(x) f(x).g(x)=

    f(x)

    g ( )f f(x)

    xg g(x)

    =

    f gD D { }f gD nD x Dg / g(x) 0

    Semana 10

  • Matemtica I

    Pg. 156 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Sean las funciones: 3

    f(x) yg(x) x 2x 2

    = = ++

    ; encuentre.

    1. (f g)(x)+ Resolucin:

    Determinamos el dominio de f y g:

    fD = gD =

    Entonces f gD D = Luego:

    3

    (f g) f(x) g(x)x 2

    + = + = ++

    (f g)D + =

    2. (f g)(x) Resolucin:

    Determinando el dominio de f y g:

    fD = ; gD =

    Entonces f gD D = Luego :

    (f g)(x) f(x) g(x) ______ x 2 = = +(f g)(x) f(x) g(x) ______ x 2 = = +

    (f g)D =

    3. (f.g)(x) Resolucin:

    Encontramos el dominio de f y g (ver ejercicios anteriores)

    f gD D = Luego:

    3(f.g)(x) f(x).g(x) . x 2

    x 2= = +

    +

    (f.g)D =

    4. f

    (x)g

    Resolucin:

    Sabemos que: f gD D { }f gD nD x Dg / g(x) 0 Entonces tenemos: { }fD 2 yDg 2,8= =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 157

    Matemtica I

    Luego:

    3f f(x) 3x 2(x)g g(x) x 2 (x 2) x 2

    += = = + + +

    fg

    D 2,

    =

    5. (f+g)(7) Hallando: (7)(f g)+

    (7) (7)(f g) f+ = +

    = ______ 7 2= + +

    (7)(f g)+ =

    b. bloque ii

    Sean las funciones : { }f (1;3),(2;6),(4;8),(6;2) yg(x) 4 x= = Calcular:

    1. (f g)(x)+ 2. (f g)(x) 3. (f.g)(x) 4. f

    (x)g

    Resolucin:

    Determinamos el dominio de: f gD D

    { }f gD 1;2;4;6 ;D : 4 x 0=

    x

    luego: f gD D ={ }ahora podemos calcular:

    1. (f+g) (x)

    (f g)(1) f(1) g(1) 3 4 (3 )+ = + = + = +

    (f g)(2) f(2) g(2) (6 2)+ = + = + = +

    (f+g)(4)= + = 8 + = 8

    Luego (f g)(x) {(3 3), ;8}+ = +

    2. Calculando: (f-g)(x)

    (f g)(1) f(1) g(1) 3 (3 3) = = =

    (f g)(2) f(2) g(2) (6 2) = = =

    (f g)(4) g(4) 0 8 = = =

    Luego : (f g)(x) ;(6 2); =

    3. Calculando: (f.g)(x)

    (f.g)(1) f(1).g(1) 3 4 1 = = =

    (f.g)(2) f(2). . 4 2 6 2= = =

    f(4).g(4) . 0= = =

    Luego: { }(f.g)(x) 3 3;6 2;0=

  • Matemtica I

    Pg. 158 Calidad que se acredita internacionalmente

    4. Calculando: f

    (x) g(x) 0g

    =>

    luego x 4

    f f(1) 3(1)

    g g(1) 4 1

    = = =

    f 6(2)

    g g(2)

    = =

    f(4)

    g

    =

    no se puede tomar por la _____

    Luego f 3 6(x) ;g 3 2

    =

    c. bloque iiiDe las funciones:

    2 3

    2 1; 1 3 1; 8( ) ; ( )

    2; 0 3 ; 10

    x x x xf x g x

    x x x x

    + + = < >

    2 3

    2 1; 1 3 1; 8( ) ; ( )

    2; 0 3 ; 10

    x x x xf x g x

    x x x x

    + + = < >

    Encuentre 3 funciones de la forma (f+g)(x) y luego calcula (f+g)(3)

    Resolucin: determinamos: f gD D

    1. Si: f GD 1; y D=

    Entonces: f gD D =Luego:

    ( )( ) 2 1 3 1f g x x x+ = + + + =

    2. Si: f gD 1; y D 10;8= =

    Entonces: f gD D =

    Luego: 3( )( ) 3 2 1f g x x x+ = + = + +

    3. Si: ]f gD ;0 y D ;8= =

    Entonces: f gD D ;0f gD nD =

    Luego: (f+g)(x)= +3x+1=

    4. Si: f gD ;0 yD 10;8= =

    f gD D = no se aplica (f+g)(x)

    Ahora calculamos : (f +g)(3)

    Para lo cual utilizamos (f +g)(x) = 5x+2 (ejercicio 1)

    Porque f gD D [ ]f gD nD 1;8=

    Luego: (f + g)(3) = 5(3)+2 = 17

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 159

    Matemtica I

    4. ejercicioS ProPueStoS A. bloque i

    1. Verdadero o falso:El dominio de la funcin (f/g)(x) consiste en todos los nmeros que pertenecen a los dominios de f y g. justifique su respuesta.

    2. Verdadero o falso: El dominio de la funcin producto consiste en todos los nmeros que pertenecen al dominio

    de f o al dominio de g. justifique su respuesta.

    Si : f={((1; 4), (2;5), (3; 6), (4;-6), (5;-5)} y g={(0;8), (1;3), (2;0), (3;7), (4;0), (5;10)}

    3. Calcula: (f+g) y (f-g)

    4. Calcula: (f.g) y (f/g)

    b. bloque ii

    Encuentre: f

    f g; f g; f.g; ysusdomin iosg

    + y sus dominios

    01. 2 2f(x) x x,g(x) x 3= + =

    02. f(x) x 5;g(x) 6 x= + =

    03. f(x) 3 2x;g(x) x 4= = +

    04. 3x x

    f(x) ;g(x)x 2 x 5

    = = +

    05. x 3x

    f(x) ;g(x)x 2 x 4

    = = +

    c. bloque iiiEncuentre: f+g; fg; f.g; f/g y sus dominios

    1. Si { }f (2;0),(3;4),(4;7),(6;2) ;g(x) x 5= =

    2. Si { } 2f ( 3;2),(0;0),(2;4),(3; 1),(4;3) ;g(x) 9 x= =

    3. Si [ ] 2f(x) x 3 ;x 1;4 ;g(x) (x 3) 1;x 3;= = +

    4. Si 7;x 10 3x 1;x 1 1

    f(x) ;g(x)x 1;x 11 x;x 3

    7;x 10 3x 1;x 1 1f(x) ;g(x)

    x 1;x 11 x;x 3

    5. Si 2

    2

    x 1;x 1x ;six 1f(x) ;g(x)

    x 1 ;six 1 x 1;x 1

    + > = = <

    2

    2

    x 1;x 1x ;six 1f(x) ;g(x)

    x 1 ;six 1 x 1;x 1

    + > = = <

  • Matemtica I

    Pg. 160 Calidad que se acredita internacionalmente

    Funciones Uno a Uno (Inyectivas1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdosIdentifica el dominio en cada caso:

    01. Sea f={(1;1), (1;1), (2;4), (2,4)}

    Df={1; 1; 2; 2}

    02.. De la figura:

    { }Df 1;3;5;7= 1357

    621014

    A Bf

    03. Del grfico

    2 2

    2f

    x

    y

    Df=[2;2]

    04. Sea 4f(x) x 2Df : x 2 0;x=

    05. Sea 21

    f(x) dfx

    = = Df=

    b. ejercicios propuestosAhora completa los espacios en blanco.

    01. Sea { }f (2; 2);(3; 3);(4;2)=

    Dominio de f=

    02. Sea { }g (1; 1);(2; 1);(3; 1)= Completa la figura

    123

    A Bg

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 161

    Matemtica I

    03. De la funcin: f(x) 4 x=

    Dominio de f=

    04. De la funcin 3h(x) x=

    Dominio de h =

    05. De la funcin: 2g(x) x 2x 1= +

    Dominio de g=

    2. FuNciN uNo a uNo (iNyectiva- biuNvoca - uNivaleNte)

    La funcinf: A B

    Inyectiva(uno a uno)

    es

    x x1 2 x = x1 2

    entonces entonces

    f(x ) f(x )1 2 f(x ) f(x )1 2=

    Asi tenemos que:

    4331

    16941

    A Bf

    416

    35

    4215

    A Bg

    f es uno a uno g no es uno a uno

    Prueba de la recta horizontal: Una funcin es inyectiva o uno a uno si y slo si toda recta horizontal interseca la grfica de f cuando mucho en un punto.

    Interpretacin geomtrica de la funcin uno a uno (inyectiva)

  • Matemtica I

    Pg. 162 Calidad que se acredita internacionalmente

    y

    f

    x

    f(x )1

    x1 x2

    f(x )2y

    f

    xx =x1 2

    f(x )=f(x )1 2

    1 2 1 2x x f(x ) f(x ) 1 2 1 2x x f(x ) f(x )= =

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Una funcin uno a uno se le conoce tambin como

    a) b)

    c)

    02. Para determinar que la grfica de una es un o a uno debemos trazar una lnea

    y a lo mas debe intersecar en

    03. En las siguientes funciones

    { }f (1;0),(2;2),(3;6);(4;8)=

    { }g (4;3),(5;2),(7;4);(5;3)=

    La funcin es no inyectiva porque

    04. Se da la grfica de una funcin. Determine si f es uno a uno

    y

    x

    Rpta:

    a) y

    x

    Rpta:

    b)

    0 0

    y

    x

    Rpta:

    c)

    0

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 163

    Matemtica I

    y

    x

    Rpta:

    a) y

    x

    Rpta:

    b)

    0 0

    y

    x

    Rpta:

    c)

    0

    b. bloque ii Bosquejar la grafica de la funcin, luego decidir si es inyectiva.

    01. 3f(x) x=

    y

    x0

    f

    Luego f es:

    02. h(x) |x 2|;x 2;= Obteniendo la grfica.

    y

    x0

    h

    2

    Luego h es:

    03. ( )2h(x) x 3 1= + Obteniendo la grfica

    y

    x

    13

    V( 3; 1)

    Luego h es:

    04. 2g(x) x 1= Obteniendo la grafica.

    y

    1

    1x

    Luego g es:

    03. 21

    h(x)x

    = (analizar en forma grupal)

  • Matemtica I

    Pg. 164 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iiiDetermine analticamente si la funcin es inyectiva.

    01. 3

    f(x) 5x8

    =

    Aplicando el criterio: Si 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x= =

    Luego 13 3

    5x 8 8

    =

    1 25x 5x=

    02. 2x 3

    f(x)x 4

    +=

    Descomponemos en fracciones parciales:

    2x 3 f(x) 2

    x 4 x 4+

    = = +

    Ahora aplicamos: si f(x1)= f(x2)x1=x2

    1 2

    5 52 2

    x 4 x 4+ = +

    1

    5x 4

    =

    Simplificando tenemos:

    2 1x 4 x 4 =

    =

    Luego f es

    03. 4f(x) x 5;0 x 2= +

    Aplicando el criterio si: 1 2f(x ) f(x ) = =

    4 41 2x 5 x 5+ = +

    4 41 2x x=

    Igualando a cero 4 41 2x x 0 =

    Por diferencia de cuadrados: ( ) ( )=0

    2 21 2(x x )()() 0+ =

    1 2x x = , entonces f es:

    04. 2f(x) x x 3= + +

    De: 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x= =

    2

    1 1 2x x 3 x+ + = +

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 165

    Matemtica I

    1 2x x =

    Elevando al cuadrado; y desarrollando:

    2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 1x 2x x x x 3 x 3 2 (x 3)(x 3) + = + + + + +

    2

    1 2 2x x 3 (x 3)()+ = +

    Elevamos al cuadrado y desarrollando tenemos:

    2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1x x 6x x 9 x x 3x 3x 9+ + = + + +

    2 22 1x x= +

    2

    2 10 (x x )=

    Luego : =

    f es

    05. 3f(x) 2x 4= Si: 1 2 1 2f(x ) f(x ) x x= =

    Entonces tenemos:

    322x 4=

    Simplificando tenemos:

    3 31 2x x=

    Igualando a cero:

    3 3 3 3 2 21 2x x 0obs.a b (a b)(a ab b ) = = + +

    Luego: 1 2(x x )() 0 =

    De donde encontramos que =

    f es

    4. ejercicioS ProPueStoS:A. bloque i

    01. Compruebe que toda funcin creciente y toda funcin decreciente son funciones inyectivas.

    02. Una funcin 2f(x) x= no es inyectiva. Qu se puede hacer para que f sea inyectiva? En los siguientes grficos identifica si f es uno a uno.

    03.

    y

    xf

    0

  • Matemtica I

    Pg. 166 Calidad que se acredita internacionalmente

    04.

    y

    x

    f

    0 05.

    y

    x

    f

    0

    b. bloque iiAnalice si las siguientes funciones son inyectivas.

    01. f(x) 3x 5= 02. x

    g(x) 23

    = +

    03. x 2

    h(x)3 1

    +=

    04. f(x) x=

    05. 3g(x) x 2= +

    c. bloque iiiDetermine si la funcin f es uno a uno.

    01. 3f(x) x= 02. f(x) x 3 ;si : x 3= +

    03. 2x

    f(x)x 1

    =+

    04. 2f(x) x 5 : x 0= +

    05. 2f(x) x 3 : x 0= +

    Funcin Inversa1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdosEn los ejercicios del 1 al 5 despejamos y en la ecuacin.

    01. x 3y 6=

    Asi x 6 3y =

    x 6 3y3 3

    =

    x2 y

    3 =

    02. x 0,5y 3= +

    Asi:

    1x 3 0,5y y

    2 = =

    2x 6 y =

    03. 3y 2

    xy 1

    =

    +

    Asi: y 1

    x(y 1) 3y xy+ =

    xy x 3y 2+ = x 2 3y xy+ =

    x 2 y(3 x)+ =

    x 2

    y3 x

    +=

    04. 2x y 4=

    As: 2x 4 y+ =

    x 4 y + =

    05. x y 3;y 3= +

    As: 2x y 3= +

    2x 3 y =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 167

    Matemtica I

    b. ejercicios propuestosAhora tienes los ejercicios del 6 al 10 en la cual debes despejar y en la ecuacin:

    01. 3

    x y 42

    = 02. 2y 1xy 4

    +=

    03. 4y 5

    x3y 2

    +=

    04. 2x y 6= +

    05. x y 3;y 3=

    2. FuNciN iNverSa Qu sucede cuando invertimos las coordenadas de todos los pares ordenados de una funcin? Obviamente ser otro

    conjunto de pares ordenados; pero la nueva relacin tambin ser funcin? En las siguientes lneas explicaremos con

    mayor detalle.

    definicin

    Sea una funcin definida por, { }ff (x, y) / x D= con dominio fD y rango fR entonces diremos que existe la funcin inversa de f, si y slo si f es inyectiva, denotada como 1 *f of .

    Luego: { }1 1ff (y,x) / x D dondex f (y) y f(x) = = =

    Donde 1 1Df Rf yRf Df = =

    Grfico de lA funcin inversA

    x y=f(x)

    A B

    f

    Df=Rf1

    y

    x

    f(x,x)

    0

    (x,f(x))

    x

    y=x

    Diagrama sagital de la funcin inversa Diagrama geomtrica de la funcin inversa

    f1

    Rf=Df1

    f: A B

    propiedAd fundAmentAl de lA funcin inversA

    Si f : A B es una funcin inyectiva y 1f : B A es la funcin inversa de f entonces:

    1

    1 1

    f (f(x)) x, x Df

    f(f (x)) x, x Df

    =

    =

    Ejemplo: halla la inversa de la funcin: f(x)=3x-4

    As: 1 1f(f (x)) x 3f (x) 4 x = =

    Despejando tenemos 1f (x) =

  • Matemtica I

    Pg. 168 Calidad que se acredita internacionalmente

    lineAmientos pArA determinAr lA inversA de unA funcin1. Comprobar que funcin uno a uno en su dominio.

    2. Despejar x de la ecuacin y=f(x) en trminos de y, para obtener una ecuacin de la forma 1x f (x)=3. Comprobar las dos condiciones siguientes:

    a. 1f (f(x)) x, Df = b. 1 1f(f (x)) x, Df =

    3. ejercicioS ProPueStoS:A. bloque i

    01. Para que una funcin tenga inversa es una condicin necesaria que la funcin sea:

    02. Una funcin f no inyectiva su inversa

    En los ejercicios 3y4 confirme que f y g son inversas.

    03. x 2

    f(x) 3x 2yg(x) f(f(x)) x3+

    = = =

    1 1 x 23f (x) 2 x f (x)3

    x 3g(x)

    3

    + = =

    +=

    04. x 3

    f(x) yg(x) 4x 34+

    = =

    As: 1f(f (x)) x =

    1f (x) 3x

    4

    +=

    1f (x) =

    g(x)=4x-3

    b. bloque iiDetermina algebraicamente la funcin inversa de:

    01. f(x) 3x 5= +

    i. Comprobamos que f es inyectiva: Si 1 2f(x ) f(x )=

    As tenemos: 1 23x 5 3x 5+ = + Prop. cancelativa

    1 23x 3x=

    =

    f es inyectiva

    ii. Despejando x:

    y 5

    y 3x 5 3

    = + =

    Intercambiamos variables 1x 5

    f (x)3

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 169

    Matemtica I

    iii. Comprobando: 1f(f (x)) x =

    13f (x) 5 x + =

    Despejando 1f (x) =

    02. 3x 2

    f(x)2x 5

    +=

    i. Verificando la inyectividad: Si 1 2 1f(x ) f(x ) x= = __________ luego:

    1 2

    1 2

    3x 2 3x 22x 5 2x 5

    + +=

    Multiplicando en aspa:

    =

    Efectuando y simplificando tenemos

    2 119x 19x=

    Luego: = f es inyectiva.

    ii. Despejando x: 3x 2

    y2x 5

    +=

    = 3x + 2 intercambiando x y

    1 5x 2x f (x)2x 3

    += =

    iii. Comprobando: 1f(f (x)) x =

    1

    2

    3f (x) 2x

    2f (x) 5

    +=

    13f (x) 2 + =

    1 5x 2f (x)2x 3

    +=

    03. 2 1f(x) x x;x

    2= +

    2 1f(x) x x;x2

    = +

    i. Verificando que f es inyectiva si:

    Completando para un TCP

    2

    2

    1 1f(x) x x

    4 4

    1 1f(x) x

    2 4

    = + +

    = +

    Aplicando la propiedad:

    2 2

    1 21 1 1 1

    x x2 4 2 4

    + = +

    2 2() ()=

  • Matemtica I

    Pg. 170 Calidad que se acredita internacionalmente

    1 2

    1 1x x

    2 2+ = +

    Pero 1

    x2

    sumando 12

    1

    x 02

    +

    Luego: 1 21 1

    x x2 2

    + = +

    1 2x x= ; entonces f es:

    ii. Despejando x:

    21 1y x

    2 4 = +

    1

    y4

    + =

    1 x2

    = , tomamos el signo (+) porque 1

    x 02

    +

    1f (x)=

    iii. Comprobando que 1f(f (x)) x =

    21 1 1f (x) x

    2 4 + =

    Despejando 1f (x) :

    1f (x) =

    04. f(x) 2x 1= i. Comprobando que f es inyectiva.

    Si: 1 2x x =

    As tenemos : ( ) ( )2 21 22x 1 2x 1 = elevando al cuadrado 1 22x 1 2x 1pero;2x 1 0 =

    ( ) ( )1 22x 1 2x 1 = simplificando

    = ; luego f es ii. Despejando x:

    y 2x 1=

    =x elevando al cuadrado

    = 1f (x)

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 171

    Matemtica I

    iii. Comprobando: 1f(f (x)) x =

    12f (x) 1 x =

    Despejando 1f (x)

    1f (x) =

    c. bloque iii01. Por sus servicios un medico cirujano requiere una cuota de retencin de 450 nuevos soles mas s/. 50 por hora.

    Sea x el nmero de horas que el galeno pasa trabajando en una clnica.

    a) Encuentre una funcin f que modele la cuota del mdico como funcin de x

    b) Encuentre 1f (x)

    c) Encuentre 1f (1430) interprete el resultado. Resolucin

    a) f(x) = 450 +

    b) Despejando x: y = 450 + 50x

    intercambiando: x y

    y 450x

    50

    =

    1y 450 f (x)50

    =

    c. Calculamos 11430 450

    f (1430)50

    =

    1f (1430) 19,6 =

    Interpretacin: por 19,6 horas de trabajo percibe el mdico un monto de s/. 1430

    2. La demanda D para cierto artculo es una funcin del precio p en soles, dada por la expresin.

    (p)D 7p 154= +

    a) Determine 1D

    b) Determine 1D (38) Cul es su interpretacin?

    Resolucin:

    a) Hallando 1D :

    As 17D (p) 154 P + =

    Despejando 1 154 PD (p)7

    =b. Hallando

    1 154 38D (38) 16,57

    7 = =

    Interpretacin: al precio de s/. 16.57 la demanda es de 38 artculos.

    3. Escalas de temperatura: la relacin entre las escalas Fahrenheit (F) y Celsius(C) esta dada por.

    9F(c) C 32

    5= +

    a) Encuentre 1F . Qu representa 1F ?

    b) Determine 1F (86) . Qu representa su respuesta?

  • Matemtica I

    Pg. 172 Calidad que se acredita internacionalmente

    Resolucin

    a) Encontrando 1F : 9

    y C 325

    = +

    (y 32) =

    59

    =C

    =1F (C)

    1F (C) , representa la temperatura Celsius cuando la temperatura Fahrenheit es

    b. Calculando: 5

    F(86) (86 32)9

    =

    F(86) =

    Interpretacin: cuando la temperatura es 80F, es de

    4. Flujo de sangre: Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad v es mayor a la largo del eje

    central y disminuye a medida que se incrementa la distancia r desde el eje central (vase la figura). Para una

    arteria con radio 0.5cm, v est dada como una funcin de r por.

    2V(r) 18500(0.25 r )=

    a) Encuentre 1V Qu representa 1V ?

    b) Determina 1V (30) , Qu representa su respuesta?

    r

    Resolucin:

    a) Encontrando 1 2V :y 185000(0.25 x ) =

    2y 0.25 x18500

    =

    x =

    1 rv (r) 0.2518500

    =

    b) Calculando 1v (30) 0.2518500

    =

    1v (30) 0.498 =

    Interpretacin: a una distancia de desde el eje central, la velocidad es

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 173

    Matemtica I

    4. ejercicioS ProPueStoS.A. bloque i

    01. Dos funciones f y g son inversas entre si y h es inversa con g. entonces f y h Sern inversas entre s? Justifique su respuesta.

    02. Mencione los tres pasos fundamentales para que cualquier funcin se obtenga su inversa.

    Use la propiedad de la funcin inversa para mostrar que f y g son inversas entre s.

    03. f(x) = x 6 y g(x) = x + 6

    04. f(x) =2x 5 y g(x) = x 5

    2+

    05. f(x) = 5x y g(x) = 5 x

    b. bloque iiEncuentre la funcin inversa de f.

    01. 3f(x) x 1= + 02. 2f(x) 4 x ;0 x 2=

    03. f(x) x 1 1= + + 04. 2f(x) x 4x 1;x 4; 3= +

    05. 2f(x) x 2x 1;x 2=

    c. bloque iii01. Ley de Torricelli. Un recipiente contiene 100 galones de agua, que salen de una fuga en el fondo, lo que causa

    que el recipiente se vace en 40 minutos. La ley de Torricelli proporciona el volumen de agua que permanece en el recipiente despus de t minutos como.

    2tV(t) 100 1

    40 =

    a) Encuentre 1V Qu representa 1V ?

    b) Determine 1V (15) Qu representa su respuesta?02. Tasas de intercambio. El valor relativo de las monedas circulantes fluctua da con da. Cuando se escribi este

    problema, un dlar americano vala 2.84 soles.

    a. Encuentre una funcin f que proporciona el valor f(x) en nuevos soles de x dlares americanos.

    b. Encuentre 1f Qu representa 1f ?

    c. Cuntos seran 17530 nuevos soles en moneda americana actual?

    3. Impuesto sobre la renta. En cierto pas, el impuesto por ingresos menores o iguales que 20000 euros es 10%.

    Para ingresos de ms de 20000 euros, el impuesto es 2000 euros ms 20% de la cantidad sobre 20000 euros.

    a) Encuentre la funcin f que proporcione el impuesto sobre la renta por un ingreso x. exprese f como una funcin definida por partes.

    b) Encuentre 1f Qu representa

    1f ?

    c) Cunto ingreso requerira pagar un impuesto de 10000 euros?

    4. Funcin de demanda. La cantidad vendida de un artculo se llama demanda del artculo. La demanda D para

    cierto artculo es una funcin del precio dada por :

    (p)D 3P 150= +

    a) Encuentre 1D Qu representa 1D ?

    b) Determine 1D (30) Qu representa su respuesta?

    5. Costo de una pizza. Justifs pizza fijo como precio base de la pizza grande 14 soles mas 2 soles por cada

    ingrediente. Por tanto, si usted ordena una pizza grande con x ingredientes, el precio lo dar la funcin f(x) = 14

    + 2x. encuentre 1f Qu representa la funcin?

  • Matemtica I

    Pg. 174 Calidad que se acredita internacionalmente

    Funciones Polinomiales1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos01. Factorizar P(x)=x3+x2x1

    Resolucin:

    Agrupando convenientemente como se indica:

    3 2P(x) x x x 1= +

    2 2

    2

    P(x) x (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)P(x) (x 1)(x 1)(x 1)

    P(x) (x 1) (x 1)

    = + + + = + +

    = +

    02. Factorizar 2P(x) 3x 10x 8= + + Resolucin:

    Descomponiendo los extremos:

    23x 10x 83x 4 4xx 2 6x

    10x

    + +

    +

    La forma factorizada es (3x+4)(x+2)

    P(x)=(3x+4)(x+2)

    03. Factorizar: 3P(x) x 7x 6= + Resolucin:

    i. Los posibles ceros racionales son:

    {1, 2, 3, 6}

    Veamos: P(1)=17+6=0

    (x1) es un factor.

    ii. El otro factor por la regla de Ruffini:

    [P(x)(x1)]

    1 0 7 6x 1 1 1 6

    1 1 6 0q(x)

    =

    Recordar que P(x)(x1)q(x)

    P(x)(x1)(x2+x6)

    2P(x) (x 1)(x x 6)x 3x 2

    P(x) (x 1)(x 3)(x 2)

    +

    = +

    Semana 11

    2x 1 (x 1)(x 1) + Tome

    nota

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 175

    Matemtica I

    04. Factorizar: 3 2P(x) 2x 5x 23x 10= Resolucin:

    i. Los posibles ceros racionales son:

    1,2,5,10 1 51,2,5,10, ,

    1,2 2 2 =

    1,2,5,10 1 51,2,5,10, ,

    1,2 2 2 =

    1,2,5,10 1 51,2,5,10, ,

    1,2 2 2 =

    Para x=2 P(2)=0

    Luego por la regla de Ruffini:

    2 5 23 10x 2 4 18 10

    2 9 5 0q(x)

    =

    2P(x) (x 2)(2x 9x 5)2x 1x 5

    P(x) (x 2)(2x 1)(x 5)

    = +

    = + +

    05. Factorizar: 5 3 2P(x) 4x 29x 24x 7x 6= + +

    Resolucin:

    i) Los posibles ceros racionales son:

    1,2,3,6 1 3 1 31,2,3,6 , ; ;

    1,2,4 2 2 4 4 =

    1,2,5,10 1 51,2,5,10, ,

    1,2 2 2 =

    1,2,3,6 1 3 1 31,2,3,6 , ; ;

    1,2,4 2 2 4 4 =

    Podemos hacer directamente la divisin por Ruffini, consecutivamente.

    4 0 29 24 7 6x 1 4 4 25 1 6

    4 4 25 1 6 0x 2 8 24 2 6

    4 12 1 3 0x 3 12 0 3

    4 0 1 0x 1/ 2 2 1

    4 2 0

    =

    =

    =

    =

    Luego: P(x)=(x+1)(x+2)(x3)(x1/2)(4x+2)

    Que es idntico a: P(x)=(x+1)(x+2)(x3)(2x1)(2x+1)

    b. ejercicios propuestosFactorizar los siguientes polinomios:

    01. P(x)=x59x3

    02. P(x)=x3+3x24x12

    03. 4 3 21P(x) (2x 3x 16x 24)8

    = +

    04. P(x)=x42x38x+16

    05. P(x)=x62x3+1

  • Matemtica I

    Pg. 176 Calidad que se acredita internacionalmente

    2. FuNcioNeS PoliNomialeSdefinicin:

    Una funcin polinomial P de grado n es una funcin de la forma:

    n n 1n n 1 1 oP(x) a x a x ... a x a

    = + + + +

    Donde:

    anxn : Trmino principal

    an : Coeficiente principaln : Entero no negativo

    an 0

    a0, a1, a2, ...., an: coeficientes

    a0 : coeficiente constante o trmino constanteEjemplo:

    1. P(x)=4x5+x2+x+5

    Trmino principal :

    Coeficiente principal :

    Grado :

    2. P(x)=(x+4)(x+2)(x1)

    Trmino principal :

    Coeficiente principal :

    Grado :

    3. 23

    P(x) 6x x 64

    =

    Trmino principal :

    Coeficiente principal :

    Grado :

    GrficA de funciones polinomiAles La grfica de una funcin polinomial de grado n tiene las siguientes propiedades:

    1. P es una funcin continua, por lo tanto su grfico no tiene interrupciones, huecos ni saltos.2. La grfica de P es una curva suave con esquinas redondeadas y no tiene esquinas agudas.3. La grfica de P tiene como mximo n interceptos al eje x4. La grfica de P tiene como mximo (n-1) puntos donde cambia su direccin.

    comportAmiento extremo y el trmino principAl

    El comportamiento extremo del polinomio P(x)=anxn+an1x

    n1+...+a1x+a0, se determina por el grado n y el signo del

    coeficiente principal an, como se indica en las siguientes grficas:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 177

    Matemtica I

    I. P tiene grado impar

    y cuando

    y cuando

    y

    x

    y cuando

    y cuando

    y

    x

    coeficiente principal positivo Coeficiente principal negativoII. P tiene grado par:

    cuando

    y

    x

    y

    x

    x cuando

    x

    cuandox

    cuandox

    Coeficiente principal Coeficiente principal

    ceros reAles de polinomios: Sea P una funcin polinomial y sea C un nmero real. Si P(C)=0, entonces C es un cero real de P. Los enunciados siguientes

    son equivalentes:

    1. C es un cero de P.2. x=C es una solucin de la ecuacin P(x)=03. xC es un factor de P(x)4. x=C es una interseccin en x de la grfica de P. Ejemplo: P(x)=(x+4)(x+2)(x1) ceros reales de P: 4, 2, 1

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Complete los espacios vacos:

    01. Las grficas de las funciones polinomiales son lo que significa que no tienen discontinuidades, huecos o separaciones.

  • Matemtica I

    Pg. 178 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. Si: x=2 es una raz de una funcin polinomial P, entonces los tres enunciados siguientes son vlidos:

    a) x=2 es una de la ecuacin polinomial P(x)=0

    b) es un factor del polinomio P(x)

    c) (2,0) es una de la grfica de P.

    Bosqueje la grfica de la funcin polinomial y muestre el comportamiento extremo apropiado:

    03. 31

    P(x) x 5x3

    = +

    Resolucin:

    cuando

    y

    x

    x

    y cuando,

    Grado: (Impar)

    CoeficientePrincipal

    a 0n

    P(x)

    04. 27P(x) 5 x 3x

    2=

    Resolucin:

    Reordenando el polinomio P(x)

    2 7P(x) 3x x 52

    = +

    P(x)Grado: (Par)

    Coeficiente Principal: ; an

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 179

    Matemtica I

    cuando

    y

    x

    x

    y cuando,

    b. bloque ii Factorice el polinomio, determine los ceros, el comportamiento extremo y luego bosqueje la grfica de las siguientes

    funciones polinomiales.

    01. P(x)=x3+2x28x

    Resolucin:

    Factorizando:

    2P(x) x(x 2x 8)x 4x 2

    P(x) x(x 4)(x 2)

    = +

    = +

    Luego los ceros del polinomio son:

    Puntos adicionales:

    x P(x)4 02 161 9

    0 01 52 0

    Puntos Adicionales Diagrama de Signos:

    4 20

    + +Abajo del eje x

    Arriba del eje x

    Punto de pruebax=3 P(3)>0

    cuando

    y

    x

    x

    y cuando,

    (1;-5)

    20

    (-1;9)

    (-2;16)

    -4

  • Matemtica I

    Pg. 180 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. P(x)=x3+x2+12x

    Resolucin:

    Factorizamos:

    2P(x) x(x x 12)x 4x 3

    P(x) x(x 4)(x 3)

    =

    = +

    Luego los ceros del polinomio son:

    Diagrama de signos:

    3 40

    + + Abajo del eje x

    Punto de pruebax=5 P(5)0

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 181

    Matemtica I

    cuando

    y

    x

    x

    y cuando,

    0 21

    04. P(x)=2x4x3+3x2

    Resolucin:

    Factorizamos:

    2 2

    2

    P(x) x (2x x 3)2x 3x 1

    P(x) x (2x 3)(x 1)

    = +

    = +

    Luego los ceros del polinomio son:

    Diagrama de signos:

    3/2 10

    + + Abajo del eje x

    Punto de pruebax=2 P(x)

  • Matemtica I

    Pg. 182 Calidad que se acredita internacionalmente

    x x36 2x

    x

    a) Exprese el volumen V de la caja como una funcin de "x".

    b) Determine el dominio de V(x) (use el hecho de que la longitud y el volumen deben ser positivos)

    c) Elabore una tabla donde se muestre la altura de la caja x y los volumenes correspondientes, V. Use la tabla para estimar las dimensiones que produzcan un volumen mximo.

    d) Emplee un graficador para trazar V y use la grfica para estimar el valor de x donde V(x) es mximo. Compare su resultado con el del inciso (C).

    Resolucin:

    a) Clculo del volumen, del grfico:

    3 2

    2

    V w h

    V (36 2x)(36 2x).x 4x 144x 1296x

    V (36 2x) .x

    =

    = = +

    =

    b) Dominio: x 0;18 c)

    x V(x)1 11562 20483 27004 31365 33806 34567 3388

    mx

    mx

    Luego :V(x) (36 2x)(36 2x).xV(x) 24.24.6

    V(x) 3456

    = =

    =

    d)

    V(x)

    3600

    00 18

    x

    02. Un analista de mercado que trabaja para un fabricante de aparatos pequeos encuentra que si la empresa produce y vende x licuadroas anualmente, la ganancia total (en dlares) es:

    P(x)=8x+0,3x20,0013x3372

    Grafique la funcin P(x) en un rectngulo de visin apropiado y emplea la grfica para contestar las siguientes preguntas. (utilice un graficador)

    a) Cuando se fabrican slo algunas licuadoras, la empresa pierde dinero (ganancia negativa) (por ejemplo, P(10)=2633, as que la empresa pierde $ 263,30 si produce y vende slo 10 licuadoras)

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 183

    Matemtica I

    b) La ganancia se incrementa de manera definida cuando se producen o venden ms licuadoras? Si no, Cul es la ganancia ms grande posible que podra tener la empresa? (utilice un graficador)

    Resolucin:

    Reordenando el polinomio:

    P(x)=0,0013x3+0,3x2+8x372

    Donde: P(x) : ganancia total (en dlares)

    x : Nmero de licuadoras

    Graficando en un rectngulo de visin apropiado:

    P(x) (ganancia)

    x (nmero delicuadorasanualmente)

    3280

    251

    a) Para determinar sin prdidas la empresa debe producir aproximadamente 251 licuadoras.

    b) No, la ganancia mxima posible aproximadamente es $ 3276

    03. Se observa que la poblacin de conejos en una isla pequea est dada por la funcin:

    P(t) = 120t 0,4t4 + 1000

    donde t es el tiempo (en meses) desde que comenzaron las observaciones en la isla.

    a) Cundo se obtiene la mxima poblacin y cul es esa poblacin mxima?

    b) Cundo desaparece la poblacin de conejos de la isla?

    Resolucin:

    Reordenando el polinomio: P(t)=0,4t4+120t+1000

    Donde: P(t): Poblacin de conejos

    t : tiempo (meses)

    Grficamente en un rectngulo de visin apropiada: (utilice un graficador)

    P(t)

    8,4

    1500

    1000

    0t

    a) La poblacin mxima aproximadamentes es 1379 conejos en un tiempo aproximado de 4,3 meses.

    b) La poblacin de conejos de la isla desaparece aproximadamente a los 8,4 meses.

  • Matemtica I

    Pg. 184 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. El crecimiento de un roble rojo se aproxima mediante la funcin:

    P(x)=0,003t3+0,137t2+0,458t0,839

    donde P(x) es la altura del rbol (en pies) y t (2 t 34) es su edad (en aos)

    a) Emplea un graficador para trazar la funcin (sugerencia: Use una ventana que comprende los intervalos 10 x 45 y 5 y 60).

    b) Estime la edad del rbol cuando crece ms rpido. A este punto se le denomina "punto de reduccin del crecimiento", debido a que el aumento en tamao ser menor con cada ao adicional. (utilice un graficador)

    Resolucin:

    a)

    P(x)

    t

    60

    10 45

    5

    b) t15 aos.

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    Complete los espacios vacos:

    01. El comportamiento extremo del polinomio P(x) se determina por el y el

    .

    02. La grfica de P(x) tiene como mximo puntos donde cambia su direccin. Determine los ceros, el comportamiento extremo y luego bosqueje la grfica de las siguientes funciones polinomiales.

    03. P(x)=(x1)(x+1)(x2)

    04. P(x)=x43x3+2x2

    05. 21

    P(x) x(x 5)5

    =

    b. bloque ii Factorice el polinomio, determine los ceros, el comportamiento extremo y luego bosqueje la grfica de las siguientes

    funciones polinomiales.

    01. P(x)=x4x320x2

    02. P(x)=2x3x2+x

    03. P(x)=x56x3+9x

    04. P(x)=x42x3+8x16

    05. P(x)=x3+x2x1

    c. bloque iii01. Se construye una caja abierta de una pieza de cartn de 20cm por 40cm cortando cuadrados de longitud lateral

    x de cada esquina y doblando hacia arriba los lados, como se muestra en la figura.

    a) Exprese el volumen V de la caja como una funcin de x.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 185

    Matemtica I

    b) Cul es el dominio de V? (use el hecho de que la longitud y el volumen deben ser positivo)

    c) Dibuje una grfica de la funcin V y emplla para estimar el volumen mximo para tal caja.

    x

    40cm

    20cm

    x

    02. Una caja de cartn tiene una base cuadrada. Cada lado de la la base tiene x pulgadas de longitud, como se muestra en la figura. La longitud total de los 12 lados de la caja es 144 pulgadas.

    a) Muestre que el volumen de la caja est dado por la funcin V(x)=2x2(18x).

    b) Determine el dominio de V(x) (use el hecho de que la longitud y el volumen deben ser positivos).

    c) Dibuje la grfica de la funcin V(x) y utilcele para estimar el volumen mximo para tal caja.

    03. Un tanque industrial de propano se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro. La longitud de la parte cilndrica del tanque es cuatro veces el radio de los componentes hemisfricos (vea la figura)

    4r

    rPROPANE

    a) Escribe una funcin que represente el volumen total, V del tanque en trminos de r.

    b) Determine el dominio de la funcin

    c) Emplea un graficador para trazar la funcin.

  • Matemtica I

    Pg. 186 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Un contratista, constructor de techos, fabrica canaletas a partir de una lmina de aluminio de 12 pulgadas. Planea emplear una prensa de aluminio para formar la canaleta, para doblar las placas de aluminio y formar los costados de la canaleta de la misma altura (vea la figura).

    12 2x xx

    a) Sea x la altura de la pared lateral de la canaleta. Escriba una funcin A que represente el rea de la seccin transversal.

    b) La longitud de la lmina de aluminio es de 16 pies. Escriba una funcin, V que represente el volumen de un tramo de canaleta en trminos de x.

    c) Determina el dominio de la funcin del inciso (b).

    d) Emplee un graficador para trazar V. Use la grfica para estimar el valor x para el que V(x) es mximo.

    05. La tabla muestra los precios medios (en miles de dlares) de casas nuevas de partculares en Estados Unidos,

    en el medio oeste, y1 y en el sur y2 del 1997 a 2003. Los datos se pueden aproximar mediante los modelos siguientes:

    y1=0,139t84,42t2+51,1t39

    y2=0,056t31,73t2+23,8t+29

    En los modelos, t representa el ao, con t=7 correspondiendo a 1997.

    Ao t y1 y27 150 130

    8 158 136

    9 164 146

    10 170 148

    11 173 155

    12 178 163

    13 184 168

    a) Emplee un graficador para traza los datos y graficar el modelo para y1 en la misma pantalla. Qu tanto se acerca el modelo en la representacin de los datos?

    b) Emplee un graficador para traza los datos y graficar el modelo para y2 en la misma pantalla. Qu tanto se acerca el modelo en la representacin de los datos?..

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 187

    Matemtica I

    Funciones Racionales1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos

    01. Encuentre los ceros del polinomio P(x)=x3+6x2+11x+6.

    Solucin:

    D6=+1, 1, +2, 2, +3, 3, +6, 6 .... (Posibles ceros del polinimio)

    x=1, anula el polinomio P(x).

    1 6 11 61 1 5 6

    1 5 6 0

    P(x)=(x+1)(x2+5x+6).... (aplicamos aspa simple)

    P(x) (x 1)(x 2)(x 3)= + + +

    Por lo tanto los ceros son x=1, x=2 y x=3

    02. Encuentre los ceros del polonomio G(x)=2x3+x213x+6

    Solucin:

    6

    2

    D ( 1, 2, 3, 6)D ( 1, 2)

    =

    .............(Posibles ceros del polinimo)

    x=2, anula el polinomio G(x)

    2 1 13 62 4 10 6

    2 5 3 0

    Aplicamos aspa simple:

    3 2

    2

    P(x) 2x x 13x 67

    (x 2)(2x 5x 3)(x 2)(2x 1)(x 3)

    = + +

    = +

    = +

    P(x) (x 2)(2x 1)(x 3)= +

    Por lo tanto los ceros son x=2, x=0,5 y x=3

    03. Calcule f(2,9) en:

    2

    2

    x 5x 14f(x)

    x 1( 2.9) 5( 2,9) 14

    f( 2.9)( 2.9) 1

    f( 2.9) 4.689473684210527....f( 2.9) 4.6895f( 2.9) 4.7

    =

    +

    = +

    =

    =

    =

    Semana 12

  • Matemtica I

    Pg. 188 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Calcular g(1,1) en:

    3 2

    3 2

    x 2x 2g(x)

    x 2( 1,1) 2( 1,1) 2

    g( 1,1)( 1,1) 2

    g( 1,1) 0,36483870967741944...g( 1,1) 0,3648g( 1,1) 0,4

    =

    =

    =

    = =

    05. Factorizar el numerador y denominador de la funcin:

    3

    2

    x xf(x)

    x 5x 6

    = +

    Solucin:

    2x(x 1)f(x)

    (x 3)(x 2)x(x 1)(x 1)

    f(x)(x 3)(x 2)

    =

    +

    =

    b. ejercicios propuestos

    01. Encuentre los ceros del polinomio: P(x)=x45x2+4.

    02. Encuentre los ceros del polinomio: P(x)=x45x35x2+23x+10

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 189

    Matemtica I

    03. Calcule f(3.01) en: 3 2

    2

    2x 4x 6x 3f(x)

    3x 2x 5+

    =

    04. Calcule h(2.99) en: 4 3 2

    3 2

    x 2x 3x 4x 1h(x)

    2x 2x x 6 + +

    =+ +

    05. Factorice el numerador y denominador de la funcin: 2

    2

    1 xf(x)

    x x 6

    =

    2. FuNcioNeS racioNaleSdefinicin:

    Una funcin racional tiene la forma: P(x)

    r(x)Q(x)

    = ; Q(x) 0

    donde P y Q son polinomios. Se supone que P(x) y Q(x) no tiene factor en comn. Aunque las funciones racionales se construyen de polinomios, sus grficas se ven bastante diferentes de las grficas de funciones polinomiales.

    AsntotAs El dominio de una funcin racional consiste en los nmeros reales excepto aquellos para los que el denominador es cero.

    Al graficar una funcin racional, se debe poner atencin especial al comportamiento de la grfica cerca de esos valores. Se comienza por graficar una funcin racional muy simple.

  • Matemtica I

    Pg. 190 Calidad que se acredita internacionalmente

    Ejemplo 1: Una funcin racional simple:

    Bosqueje una grfica de la funcin racional: 1

    f(x)x

    =

    Solucin:

    La funcin f(x) no est definida en x=0

    Ahora tabulando veamos que sucede en las tablas que se muestra a continuacin.

    10100

    100 000

    x

    0.10.010.00001

    f(x)

    10100

    100 000

    x

    0.10.010.00001

    f(x) Primero le asignamos

    valores enteros a x tanto

    hacia el - y +

    Tiende a Tiende a 0 Tiende a Tiende a 0

    10100

    100 000

    x

    0.10.010.00001

    f(x)

    10100

    100 000

    x

    0.10.010.00001

    f(x)Ahora asignamosvalores a x muycercanos a cero(asntota) por la

    izquierda y por la derecha

    Tiende a 0

    Tiende a Tiende a 0+

    Tiende a

    Luego al ubicar los puntos en el sistema de coordenadas y tarzar la grfica de la funcin f(x) tendremos:

    x

    2

    1

    12

    12

    1

    2

    12

    1

    2

    2

    1

    12

    1f(x)

    x=

    2

    0 2x

    y

    f(x) 0cuando x

    f(x)

    cuando x 0

    f(x)

    cuando x 0+

    f(x) 0cuando x

    1f(x)

    x=

    En el ejemplo 1 se us la siguiente notacin de flechas.

    Smbolo Significa

    x a

    x a+x

    x

    x tiende a "a" por la izquierda

    x tiende a "a" por la derecha

    x tiende a menos infinito; es decir, x disminuye sin cota

    x tiende a infinito; es decir, x se incrementa sin cota

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 191

    Matemtica I

    cAsos de AsntotAs verticAles La recta x=a es una asntota vertical de la funcin y=f(x) si y tiende a cuando x tiende a "a" por la derecha o la izquierda.

    x

    y

    y cuando x a+

    x

    y

    y cuando x a

    aa

    x

    y

    y cuando x a+

    x

    y

    y cuando x a

    aa

    cAsos de AsntotAs horizontAles La recta y=b es una asntota horizontal de la funcin y=f(x) si y se aproximada a "b" cuando x se aproxima a .

    x

    y

    y b cuando x

    b

    x

    y

    y b cuando x

    b

  • Matemtica I

    Pg. 192 Calidad que se acredita internacionalmente

    existenciA de unA AsntotA inclinAdA u oblicuA Si r(x)=P(x)/Q(x) es una funcin racional en la que el grado del numerador es uno ms que el grado del denominador, se

    puede usar el algoritmo de la divisin para expresar la funcin en la forma:

    R(x)r(x) ax b

    Q(x)= + +

    donde el grado de R es menor que el grado de Q y a0. Esto significa que cuando x , R(x)/Q(x)0, por lo tanto para valores grandes de |x|, la grfica de y=r(x) se aproxima a la grfica de la recta y=ax+b. En esta situacin se dice que y=ax+b es una asntota inclinada, o una asntota oblicua.

    lAs funciones rAcionAles y sus AsntotAs Sea r la funcin racional:

    n n 1n n 1 1 0

    m m 1m m 1 1 0

    a x a x ... a x ar(r)

    b x b x ... b x b

    + + + +=

    + + + +

    Donde n y m son los grados del numerador y denominador respectivamente.Las asntotas verticales de r son las rectas x=a, donde "a" es un cero del denominador.a) Si nm, entonces r no tienen asntota horizontal.Entonces decimos que existe asntota oblicua o inclinada (y=ax+b)

    GrficA de funciones rAcionAles y sus AsntotAs:1. Factorizar: Factorizar el numerador y el denominador.2. Intersecciones: Hallar las intersecciones con el eje x determinando los ceros del numerador, y las intersecciones con

    el eje y del valor de la funcin en x=0.3. Asntotas verticales: Hallar las asntotas verticales determinando los ceros del denominador, y luego ver si y+

    o y en cada lado de cada asntota vertical usando valores de prueba.4. Asntota horizontal: Encontrar la asntota horizontal (si existe) dividiendo numerador y denominador entre la

    potencia ms alta de x que aparece en el denominador; luego, permita que x.5. Bosqueje la grfica: Grafique la informacin que se denomin en los cuatro primeros pasos. Luego, trace tantos

    puntos adicionales como sea necesario para llenar el resto de la grfica de la funcin.

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Escribe los puntos intersectos con los ejes en la siguientes funcin racional:

    3 2x 4x 12xR(x)

    x 3+

    =+

    Solucin:

    a) Sabemos que los puntos intersectos con eje "x" son los ceros del polinomio numerador.

    x3+4x212x = =

    Entonces los puntos intersecto con el eje "x" son: , ,

    b) Sabemos que el punto intersecto con el eje "y" se da cuando a "x" le asignamos el valor de "cero" en la funcin.

    3 2(0) 4(0) 12(0)

    R(0)(0) 3

    + = = =

    +, entonces el intersecto con el eje "y" es

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 193

    Matemtica I

    02. Encuentre las asntotas que tiene la funcin racional 2

    2

    x 4x 12R(x)

    x 4x 3+

    =+ +

    a) Asntota Vertical: Sabemos que las asntotas verticales de una funcin racional se encuentra en los ceros del polinomio denominador.

    De: x2+4x+3 =

    Obtenemos las asntotas verticales en: y ,

    b) Asntota Horizontal: Sabemos que la asntota horizontal se encuentra dividiendo los coeficientes principales de los polinomios numerador y denominador respectivamente.

    Entonces: 1

    11

    = , la asntota horizontal es la recta y=1.

    03. Graficar la funcin racional: 2

    2

    2x 7x 4r(x)

    x x 2+

    =+ Solucin:

    Se factoriza el numerador y el denominador, se determinan las intersecciones y asntotas y se bosqueja la grfica.

    Paso 1 : Factorizar y =

    Paso 2: Intersecciones con el eje x: las intersecciones x son los ceros del numerador, y

    Intersecciones con el eje y: para hallar la interseccin y, se sustituye x=0 en la forma original de la funcin:

    2

    2

    2(0) 7(0) 4r(0)

    (0) (0) 2+

    = = =+

    La interseccin y es 2.

    Paso 3: Asntotas verticales: las asntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la funcin no est definida. De la forma factorizada se puede observar que las asntotas verticales son las

    rectas y

    Comportamiento cerca de asntotas verticales: Se necesita saber si y y y en cada lado de cada asntota vertical. Para determinar el signo de y para valores de x cerca de las asntotas verticales, se usan valores de prueba.

    Cuando x 2 2 1- 1+

    el signo de (2x 1)(x 4)

    y(x 1)(x 2)

    +=

    + es

    ( )( )( )( ) +

    por lo tanto y

    Paso 4: Asntota Horizontal: Los grados del numerador y el denominador son los mismos y

    coeficiente principal del numeradorcoeficiente principal del denominador

    = =

    As, la asntota horizontal es la recta ,

  • Matemtica I

    Pg. 194 Calidad que se acredita internacionalmente

    Paso 5: Valores Adicionales Grfica

    x

    6

    3

    1

    1,5

    2

    3

    y

    5

    0 3x

    y

    2

    2

    2x 7x 4r(x)

    x x 2+

    =+

    04. Graficar la funcin racional: 2x 4x 5

    r(x)x 3

    = Solucin:

    Factorizar: y =

    Intersecciones con x: : y

    Intersecciones con y: :

    Asntota horizontal: : , porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

    Asntota vertical: : , del cero del denominador

    Comportamiento cerca de la asntota vertical: : cuando x3 y :

    cuando x3+.

    Asntota inclinada: Puesto que el grado del numerador es uno ms que el grado del denominador, la funcin tiene una asntota inclinada. Al dividir (vese el cuatro) se obtiene:

    8r(x) x 1

    x 3=

    Por lo tanto, : es la asntota inclinada. 2

    2

    x 4x 5 x 3

    x 3x x 1

    x 5x 3

    8

    +

    A.O: y=x1

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 195

    Matemtica I

    Ms Valores Grafica:

    x

    2

    1

    2

    4

    6

    y

    5

    2 3x

    y

    y=x 1

    4x 5r(x)

    x 3

    =

    Asntotainclinada

    b. bloque ii

    01. Emplea las transformaciones de funciones para graficar la funcin: 2

    r(x)x 3

    =

    Solucin:

    Sea 1

    r(x)x

    = , entonces se puede expresar r en trminos de f como sigue:

    2r(x)

    x 31

    2x 3

    r(x) 2(f(x 3))

    = =

    =

    Factor 2

    Puesto que f(x)=1x

    1

    3x

    yAsntotavertical

    x=3

    0Asntota

    horizontaly=0

    2r(x)

    x 3=

    02. Grafique la funcin racional: 2

    2

    2x 4x 5r(x)

    x 2x 1 +

    = + Solucin:

    Asntota vertical: Primero se factoriza el denominador:

    2

    2

    2x 4x 5r(x)

    (x 1) +

    =

    Entonces la asntota vertical es la recta:

    Ahora evaluemos el comportamiento de la funcin cerca a la asntota vertical:

  • Matemtica I

    Pg. 196 Calidad que se acredita internacionalmente

    514

    30230 002

    x

    00.50.90.99

    y

    514

    30230 002

    x

    11.51.11.01

    y

    Tiende a 1

    Tiende a Tiende a 1+

    Tiende a

    cuando cuandoy

    Asntota Horizontal: la asntota horizontal es el valor: =

    esto es por tener igual grado en los polinomios del numerador y denominador.

    Por lo tanto la recta (asntota horizontal) es:

    Graficando:

    2

    2

    2x 4x 5r(x)

    x 2x 1 +

    = +

    1

    1x

    y

    y 2 cuandox

    01 2

    5

    y 2 cuandox

    03. Grafique la funcin racional:

    2

    2

    3x 2x 1r(x)

    2x 3x 2

    =+

    Solucin:

    Intersecciones con los ejes:

    Intersecto con el eje "x": Los puntos son: y

    Intersecto con el eje "y": El punto es:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 197

    Matemtica I

    Asntota verticales. primero se factoriza

    r(x) =

    Luego las asntotas verticales son las rectas: y

    Comportamiento de la funcin r(x) cerca de las asntotas verticales:

    Cuando x

    el signo de y = es

    por lo tanto y

    Asntotas Horizontales: Los grados del numerador y el denominador son los mismo y

    coeficiente principal del numeradorcoeficiente principal del denominador

    = =

    As, la asntota horizontal es la recta

    Grafica:

    x

    y

    2

    2

    3x 2x 1r(x)

    2x 3x 2

    =+

    04. Grafique la funcin racional: 25x 21

    r(x)x 10x 25

    +=

    + + Solucin:

    Factorizar: y =

    Intersecciones con x: :

    Intersecciones con y: :

    Asntota horizontal: : , porque r(0) = =

  • Matemtica I

    Pg. 198 Calidad que se acredita internacionalmente

    Asntota vertical: : , de los ceros del denominador

    Comportamiento cerca de la asntota vertical:

    Cuando x

    el signo de y = es

    por lo tanto y

    Asntota Horizontal , porque el grado del numerado es menor que el grado del denominador.

    Valores Adicionales grfica

    x

    15

    10

    3

    1

    3

    5

    10

    y

    1

    0 5x

    y

    2

    5x 21r(x)

    x 10x 25+

    =+ +

    05. Emplea las transformaciones de funciones para graficar la funcin: 3x 5

    s(x)x 2

    +=

    + Solucin:

    3x 5 1s(x) 3

    x 2 x 21

    s(x) 3x 21

    3x 2f(x 2) 3

    += =

    + +

    = +

    = ++

    = + +

    Reordene los trminos

    Puesto que f(x)=1x

    02x

    y

    3x 5s(x)

    x 2+

    =+

    3

    Asntota horizontaly=3

    Asntota verticaly= 2

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 199

    Matemtica I

    c. bloque iii01. Resistencia Elctrica: Cuando 2 resistencias R1 y R2 se conectan de parelelo su resistencia combinada R est

    dada por la frmula.

    1 2

    1 2

    R RR

    R R

    =+

    Suponga que un resistor fijo de 8 ohms se conecta en paralelo con un resistor variable, como se muestra en la figura. Si la resistencia del resistor variable se denota por x, entonces la resistencia combinada R es una funcin de x. Grafique R y d de una interpretacin fsica de la grfica.

    8 ohms

    x

    Al sustituir R1=8 y R2=x en la frmula, se obtiene la funcin.

    8xR(x)

    8 x=

    +

    Puesto que la resistencia no puede ser negativa, esta funcin tiene significado fsico slo cuando x>0. La funcin se grafica en la figura usando el rectngulo de visin [0,20] por [0,10]. La funcin no tiene asntota vertical cuando x est restringida a valores positivos. la resistencia combinada R se incrementa cuando aumenta la resistencia x. Si se ampla el rectngulo de visin a [0,100] por [0,10], se obtiene la grfica de la figura. Para x grande, se estabiliza la resistencia combinada R, y se aproxima ms y ms a la asntota horizontal R=8. Sin importar cun grande sea la resistencia variable x, la resistencia combinada nunca es mayor que 8 ohms.

    10

    200

    10

    1000

    8xR(x)

    8 x=

    +

    a) b)

    02. Crecimiento Poblacional: Suponga que la poblacin de conejos de la granja del seor Jenkins sigue la frmula.

    3000tp(t)

    t 1=

    +

    donde t 0 es el tiempo (en meses) desde el comienzo del aos.a) Trace una grfica de la poblacin de conejos.b) Qu sucede finalmente con la poblacin de conejos? Solucin:

    a) y

    x

    28.302,8

    28.302,8

    1

    y

    x

    7075,7

    0,25

    3000tP(t)

    1 1=

    + 0,5 0,75

    7075,7

    b) La poblacin de conejos: ___________________________________________

  • Matemtica I

    Pg. 200 Calidad que se acredita internacionalmente

    03. Concentracin de frmacos: Se administra un frmaco a un paciente y se monitorea la concentracin c del frmaco en el torrente sanguneo. En el instante t0 (en horas desde la administracin del frmaco), la concentracin (en mg/L) se determina por:

    2

    30tC(t)

    t 2=

    +

    a) Trace la grfica de concentracin del frmaco.

    b) Qu sucede eventualmente a la concentracin del frmaco en el torrente sanguneo?

    Solucin:

    y

    x

    y

    x230t

    C(t)t 2

    =+

    b) La concentracion "c" del frmaco ____________________________________

    04. Vuelo de un cohete: Suponga que se lanza un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial (medida en m/s). Entonces la altura mxima h(en metros) que alcanza el cohete se expresa mediante al funcin.

    2

    2

    Rh( )

    2gR

    =

    donde R=6.4 x 106 m es el radio de la Tierra y g=9.8 m/s2 es la aceleracin debida a la gravedad. Use un dispositivo de graficacin para trazar la grfica de la funcin h. (Note que h y deben ser positivas, as que el rectangulo de visin no necesita contener valores negativos). Qu representa fsciamente la asntota vertical?.

    Solucin:

    a)

    V

    h

    11200

    b) La asntota representa: _______________________________________

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 201

    Matemtica I

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    01. Escribe los puntos intersectos con los ejes en la siguiente funcin racional:

    3 2

    2

    x 5x 6xf(x)

    x 7x 12 +

    =+ +

    02. Encuentre las asntotas en la funcin racional:

    2

    2

    x 6x 8g(x)

    x 8x 15+ +

    = +

    03. Graficar empleando transformaciones:

    3g(x)

    x 1=

    +

    04. Graficar empleando transformaciones:

    2x 3h(x)

    x 2

    =

    05. Graficar empleando los intersectos con los ejes, asntotas y tabla de tabulacin:

    4x 4r(x)

    x 2+

    =+

    b. bloque ii01. Graficar empleando transformaciones:

    x 2f(x)

    x 3+

    =+

    02. Graficar empleando los intersectos con los ejes y sus asntotas:

    2x 6g(x)

    3 6x+

    =

    03. Graficar empleando los intersectos con los ejes y sus asntotas:

    2

    18h(x)

    x 6x 9=

    +

    04. Graficar empleando los intersectos con los ejes y sus asntotas:

    2x 2xr(x)

    x 1+

    =

    05. Graficar empleando los intersectos con los ejes y sus asntotas:

    2x 5x 4S(x)

    x 3+ +

    =

    c. bloque iii01. Concentracin del frmaco. Se monitorea la concentracin de frmacos en el torresnte sanguneo de un paciente

    al que le fueron administrados frmacos en el instante t0 (en horas desde la administracin del frmaco), la concentracin (en mg/L) se determina por:

    2

    5tc(t)

    t 1=

    +

    Indique la funcin c con un dispositivo de graficacin.

    a) Cul es la concentracin ms alta de frmaco que se alcanza en el torrente sanguneo del paciente?

    b) Qu sucede con la concentracin del frmaco despus de un perodo largo?

    c) Cunto le toma a la concentracin disminuir debajo de 0.3 mg/L?

    02. Distancia de foco. Para que una cmara con una lente de longitud focal fija F se enfoque en un objeto localizado a una distancia x de la lente, la pelcula se debe colocar a una distancia y detrs de la lente,donde F, x y y se relacionan por:

    1 1 1x y F

    + =

    (Vase la figura) Suponga que la cmara tiene una lente de 55mm(F=55).

    a) Exprese a y como una funcin de x y grafique la funcin.

  • Matemtica I

    Pg. 202 Calidad que se acredita internacionalmente

    b) Qu sucede con la distancia de enfoque y cuando el objeto se aleja de la lente.

    c) Qu sucede con la distancia de enfoque y cuando el objeto se acerca a la lente?

    x Fy

    03. La resistencia S de una viga de madera de ancho x y profundidad y se expresa mediante la frmula S=13,8xy2. Se cortar una viga de un tronco de dimetro 10 pulg, como se muestra en la figura.

    a) Exprese la resistencia S de esta viga como una funcin de x solamente.

    b) Cul es el dominio de la funcin S?

    c) Dibuje una grfica de S.

    d) Qu ancho hace que la viga tenga la mayor resistencia?

    10 pulg.y

    x

    04. Se construir un pequeo cobertizo para plantas delicadas con un plstico delgado. Tendr extremos cuadrados y las partes superior y posterior sern rectangulares, con el frente y el fondo abiertos, como se muestra en la figura. El rea total de los cuatro lados de plstico ser de 1200 pulg2.

    a) Exprese el volumen V del cobertizo como una funcin de la profundidad x.

    b) Dibuje una grfica de V.

    c) Qu dimensiones maximizarn el volumen del cobertizo?

    y

    x

    x

    05. Crecimiento poblacional. Suponga que la poblacin de cuyes de la granja "El Bosque Escondido" sigue la

    frmula: 3000t

    p(t)t 1

    =+

    donde t0 es el tiempo (en meses) desde el comienzo del ao.

    a) Trace una grfica de la poblacin de cuyes.

    b) Qu sucede finalmente con la poblacin de cuyes?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 203

    Matemtica I

    Funciones Exponenciales, Logstica y Logartmica

    1. SabereS PrevioS Una mirada a la idea de Funcin Exponencial: En este captulo se estudia una nueva clase de funciones llamadas funciones exponenciales. Por ejemplo.

    f(x)=2x

    es una funcin exponencial (con base 2). Observe la rapidez con la que crecen los valores de esta funcin:

    3

    10

    30

    f(3) 2 8

    f(10) 2 1024

    f(30) 2 1073741824

    = =

    = =

    = =

    Compare esto con la funcin g(x)=x2, donde g(30)=302=900. La ecuacin es, cuando la variable est en el exponente, incluso un cambio pequeo en la variable puede causar un cambio radical en el valor de la funcin.

    A pesar de este incomprensiblemente enorme crecimiento, las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos, desde bacterias hasta elefantes. Para entender cmo crece una poblacin, considere el caso de una sola bacteria, que se divide cada hora. Despus de una hora se tendran dos bacterias,

    despus de dos horas 22 o 4 bacterias, despus de tres horas 23 u 8 bacterias, etc. Despus de "x" horas se tendran 2x

    bacterias. Esto da lugar a modelar la poblacin de bacterias mediante la funcin f(x)=2x.

    0 1 2 3 4 5 6

    El principio que gobierna el crecimiento poblacional es el siguiente: mientras ms grande sea la poblacin, mayor es el nmero de descendientes. Este mismo principio est presente en muchas otras situaciones de la vida real. Por ejemplo, mientras ms grande sea su cuenta de banco, ms intereses obtiene. En consecuencia, las funciones exponenciales se usan tambin para calcular el inters compuesto.

    Se usan funciones logartmicas, que son el inverso de las funciones exponenciales, como ayuda para contestar preguntas como. cundo mi inversin crecer a la cantidad de $100 000?. En enfoque en el modelado se explora cmo ajustar modelos exponenciales y logartmos a datos.

    2. FuNciN exPoNeNcialdefinicin:

    La funcin exponencial con base a se define para todos los nmeros reales x por: f(x)=ax.

    donde: a > 0 y a 1

    Se supone que a 1 porque la funcin f(x)=1x=1 es slo una funcin constante. A continuacin se dan algunos ejemplos de funciones exponenciales:

    x x xf(x) 2 g(x) 3 h(x) 10= = =

    Base 2 Base 3 Base 10

    evAluAcin de unA funcin exponenciAl:

    Sea f(x)=3x y evale lo siguiente:

    a) f(2) b) 2

    f3

    c) f() d) ( )f 2

  • Matemtica I

    Pg. 204 Calidad que se acredita internacionalmente

    Solucin: Se usa una calculadora para obtener los valores de f.

    a) f(2) = =

    b) 2

    f3

    =

    c) f() =

    b) ( )f 2 = GrficA de unA funcin exponenciAl

    Se grafican primero las funciones exponenciales al trazar los puntos. Se ver que las grficas de tales funciones tienen una forma fcilmente reconocible.

    La funcin exponencial: f(x)=ax (a>0, a1)

    tiene dominio y rango 0, . La recta y=0 (el eje x) es una asntota horizontal de f. La grfica de f tiene una de las formas siguientes.

    y

    x0

    (0,1)

    f(x)=a para a > 1x

    y

    x0

    (0,1)

    f(x)=a para 0

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 205

    Matemtica I

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Bosqueje la grfica de la funcin: f(x)=3x.

    Solucin:

    Primero se calculan los valores de f(x) y se trazan los puntos para bosquejar la grfica:

    y

    x0

    1

    x

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    f(x)=3x

    y=3xx1

    y3

    =

    1

    02. Bosqueje la grfica de la funcin:

    x1g(x)

    3 =

    Primero se calculan los valores de g(x) y se trazan los puntos para bosquejar la grfica:

    y

    x0

    1

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    y=3xx1

    y3

    =

    1

    x1g(x)

    3 =

    x

    03. Graficar la familia de funciones:

    a) 2x b) 3x c) 5x d) 10x

    e)

    x12

    f)

    x13

    g)

    x15

    h)

    x110

  • Matemtica I

    Pg. 206 Calidad que se acredita internacionalmente

    y

    x

    0

    y=2x

    x1y

    3 =

    1

    2

    x1y

    2 =

    x1y

    5 =

    x1y

    10 =

    y=3x

    y=5xy=10

    x

    04. Encuentre la funcin exponencial f(x)=ax cuya grafica se da:

    y

    x0

    5

    21 1

    (2,25)

    Solucin:

    Puesto que f(2)=a2= , se ve que la base es a= . Por lo tanto, f(x) =

    b. bloque ii

    01. Encuentre la funcin exponencial f(x)=ax cuya grfica se da.

    y

    x0

    1

    33

    13,

    8

    Puesto que f(3)=a3 = , se ve que la base es a = , por lo tanto, f(x) =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 207

    Matemtica I

    02. Use la grfica de f(x)=2x, para bosquejar: g(x)=1+2x.

    Solucin:

    Para obtener la grfica de g(x)=1+2x, se empieza con la grfica de f(x)=2x y se desplaza 1 unidad hacia arriba. Observe de la figura 3(a) que la recta y=1 es ahora una asntota horizontal.

    y

    x0

    2

    21

    y=2x

    Asntotahorizontal

    y=1+2x

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    x =

    03. Bosqueje la grfica de la funcin: h(x)=2x.

    Solucin:

    x0 21

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    x =

    1

    1

    y=2x

    y= 2x

    04. Bosquejar la grfica de la funcin: g(x)=3e0,5x.

    Solucin:

    x

    3

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    x

    y=3e0.5x

    0.5xf(x) 3e=

    6

    9

    12

    y

  • Matemtica I

    Pg. 208 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Modelo Exponencial para la Diseminacin de un Virus: Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en

    una ciudad pequea con 10 000 habitantes. Despus de t das, el nmero de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la funcin.

    0.97t

    10 000(t)

    5 1245e =

    +

    a) Cuntas personas infectadas hay inicialmente (en el tiempo t=0)?

    b) Calcule el nmero de personas infectas despus de un da, dos das y cinco das.

    c) Grafique la funcin v y describa su comportamiento.

    Solucin:

    a) Puesto que 0(0) 10 000 /(5 1245e ) 10 000 / = + = = , se concluye que 8 personas

    tienen incialmente la enfermedad.

    b) Utilice una calcular para evaluar (1) , (2) y (5) , y despus redondee para obtener los siguientes valores.

    Das Personas infectadas

    1

    2

    3

    c) De la grfica en la figura 8, se puede observar que el nmero de personas infectadas primera se eleva en forma lenta; leugo aumenta con rapidez entre el da 3 y el da 8, y luego se estabiliza cuando estn infectadas cerca de 2000 personas.

    V

    t0

    2000

    812

    3000

    0 12

    0,97t

    10000(t)

    5 1245e =

    +

    02. Clculo del inters compuesto:

    Una suma de $ 1000 se inierte a una tasa de inters de 12% anual. Calcule las cantidades en la cuenta despus de tres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao, por trimestre, mensualmente o diario.

    Solucin:

    Se usa la frmula de inters compuesto con P=$1000, r=0,12 y t=3.

    Anual

    Semianual

    Trimestral

    Mensual

    Diaria

    1

    2

    4

    12

    365

    1(3)0.121000 1

    1 +

    = $

    = $

    = $

    = $

    = $

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 209

    Matemtica I

    03. Clculo del inters compuesto de manera continua:

    Calcule la cantidad despus de tres aos si se invierten $1000 a una tasa de inters de 12% por ao, capitalizados de forma continua.

    Solucin:

    Se usa la frmula del inters capitalizable en forma continua con P=$1000, r=0.12 y t=3 para obtener.

    A(t)=Pert

    A( ) = = =$

    04. Frmacos. Cuando se administr cierto frmaco a un paciente, el nmero de miligramos que permanecen en el torrente sanguneo del paciente despuus de t horas se modela mediante.

    D(t)=50e-0,2t

    Cuntos miligramos del frmaco permanecen en el torrente sanguneo del paciente despus de tres horas?

    Solucin:

    D(3) = 50e 0,2

    D(3) =

    D(3) = (emplee 4 decimales)

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Use la calculadora para evaluar las funciones con los valores indicados (redondee sus respuestas a cuatro decimales):

    x 1 3f(x) 3 ; f( 1.5); f( 3), f(e), f4

    + =

    5f

    4

    02. Bosqueje la grfica utilziando tablas de valores, para:

    x1f(x)

    5 =

    03. Bosqueje la grfica utilizando tablas de valores, para:

    xg(x) 3e=

    04. Grafique la funcin:

    x 3k(x) 5 =

    05. Grafique la funcin:

    1/ xh(x) 2=

    b. bloque ii

    01. Use la calculadora para evaluar las funciones con los valores indicados (redondee sus respuestas a cuatro decimales):

    x 1f(x) 4 ; f(0,5), f( 2), f( ), f3

    =

    02. Bosqueje la grfica utilizando tablas de valores, para:

    xf(x) (1,1)=

    03. Bosqueje la grfica utilizando tablas de valores,para:

    0,5xg(x) 2e=

    04. Grafique la funcin:

    xeh(x)

    x=

    05. Grafique la funcin:

    x 1k(x) 5 2+=

  • Matemtica I

    Pg. 210 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Decaimiento radiactivo. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que

    permanece despus de t das se expresa mediante la funcin:

    0.015tm(t) 13e= 0,015t

    donde m(t) se mide en kilogramos.

    a) Encuentre la masa en el tiempo t=0.

    b) Cunta masa permanece despus de 45 das?

    02. Decaimiento radiactivo. Los mdicos emplean el yodo radiactico como trazador para diagnosticar ciertos trastornos de la glndula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante despus de t das se determina emdiante la funcin.

    0.087tm(t) 6e= 0,087t

    donde m(t) se mide en gramos.

    a) Encuentre la masa en el tiempo t=0

    b) Cunta masa queda despus de 20 das?.

    03. Mezclas y concentraciones. Un barril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A continuacin se bombea hacia el barril agua salada con una concentracin de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante sale a la misma tasa. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante.

    0,04 tQ(t) 15(1 e )=

    donde t se mide en minutos y W(t) se mide en libras.

    a) Cunta sal est en el barril despus de 5 min?

    b) Cunta sal esta en el barril despues de 10 min?

    c) Dibuje una grfica de la funcin Q(t).

    d) Use la grfica del inciso c) para determinar el valor al que se aproxima la cantidad de sal en el barril cuando t se vuelve grande. En esto lo que esperara?

    04. Poblacin de aves. La poblacin de cierta especie de ave est limitada por el tipo de hbitad requerido para anidar. La poblacin se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico.

    0,044 t

    5600n(t)

    0,5 27,5e=

    +

    donde t se mide en aos.

    a) Encuentre la poblacin incial de aves.

    b) Dibuje la grfica d ela funcin n(t)

    c) Qu tamao tiene la poblacin cuando el tiempo avanza?

    05. Inters compuesto. Una inversin de 5000 dlares se deposita en una cuenta en la que el inters se capitaliza mensualmente. Complete la tabla llenando las cantidades a las que crece la inversin en los tiempos indicados o las tasas de inters.

    r=4% t=5 aos

    Tiempo (aos) Cantidad Tasa por ao Cantidad

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1%

    2%

    3%

    4%

    5%

    6%.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 211

    Matemtica I

    Aplicacin de las Funciones Exponenciales1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos01. Use una calculadora para evaluar la funcin en los valores indicados. Redondee sus respuestas a tres decimales.

    2x 15f(x)

    3

    =

    5 1

    f(x) 2x 1; f(2,1), f , f( )3 2

    =

    ; f(e)

    Solucin:

    2(2,1) 1

    2(2,5) 1

    2(e) 1

    2 1

    5f(2,1) 5,128

    3

    5f(0,5) 1

    3

    5f(e) 9,644

    3

    5f( ) 14,862

    3

    = =

    = =

    = =

    = =

    02. Graficar la funcin exponencial y=8x en el intervalo[1, 1] usando una tabla de valores:

    Solucin:

    x y

    23

    18

    14

    1

    13

    12

    0 1

    13

    2

    23

    4

    81

    x

    y

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    023

    13

    1 13

    23

    1

    1 23

    13

    0 1

    323

    1

    1

    23

    45

    6

    7

    8

    Semana 13

  • Matemtica I

    Pg. 212 Calidad que se acredita internacionalmente

    03. Graficar la siguiente funcin exponencial e indicar su dominio, asntota y punto de corte. Si: f(x)=4.2x.

    Solucin:

    Tabulamos y graficamos la funcin:

    x f(x)

    0

    x

    y

    8

    6

    4

    2

    0 1

    4

    1 8

    2 16

    1 2

    2 1

    3 0,50

    246

    (0,4)

    asntota: y=n

    Dominio =

    Asntota: y=0

    corte OY: (0,4)

    04. Graficar las siguientes funciones: x 3y g(x) 2 = = e xy h(x) 2 1= = , partiendo de xy f(x) 2= = .

    Solucin:

    Como g(x)=f(x3), es posible obtener la grfica de g desplazando la grfica de y=2x tres unidades hacia la

    derecha. Adems, dado que h(x)=f(x)1, la grfica de h se puede elaborar desplazando la de y=2x una unidad abajo.

    x

    y

    f

    1

    h

    2 0 1 2 3 4 5

    1

    2

    3

    4

    1

    g

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 213

    Matemtica I

    05. Encuentre la funcin exponencial f(x)=ax cuya grfica se muestra.

    x

    y

    1

    03 3

    (2,9)9

    Solucin:

    Siendo el punto (2,9)=(x,y) x= 2 y y=9.

    Reemplazamos en la funcin:

    9 = a2, la base de la funcin es a = 3.

    La funcin exponencial es: f(x)=3x.

    b. ejercicios propuestos01. Use una calcula para evaluar la funcin en los valores indicados. Redondee sus respuesta a tres decimales.

    2x3g(x)

    4 =

    3 2g(x) 2x; g(0,7); g( 7 / 2); g(1 / ); g

    4 3 =

    02. Elabore la grfica de la funcin exponencial g(x) utilizando una breve tabla de valores si: g(x)=3x2.

    03. Elabora la grfica de la funcin exponencial utilizando una breve tabla de valores si:

    x1y

    2 =

    04. graficar la siguientes funcin exponencial e indicar su dominio, asntota y punto de corte si: f(x)=2.3x.

    05. Encuentre la funcin exponencial f(x)=ax cuya grfica se muestra.

    x

    y

    1

    03 3

    11,

    5

  • Matemtica I

    Pg. 214 Calidad que se acredita internacionalmente

    2. aPlicaciN de laS FuNcioNeS exPoNeNcialeS Al concluir esta leccin, debers ser capaz de modelar situaciones que puedan ser representadas mediante funciones

    exponenciales, aplicar los modelos para resolver problemas.

    Las funciones exponenciales tiene muchas aplicaciones en ciencias, matemticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aqu algunas:

    - Inters compuesto

    - Inters compuesto continua

    - Crecimiento y decaimiento exponencial

    a) Inters compuesto

    En el inters compuestos los intereses producidos por un capital P, se van acumulando a ste. de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.

    Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman perodos de capitalizacin o de acumulacin. Si son t aos, r es el inters anual en porcentaje el capital final obtenido viene dado por la formula:

    El inters compuesto se calcula mediante la frmula.

    ntrA(t) P 1

    n = +

    Donde: A(t) = cantidad despus de t aos P = principal r = tasa de inters por ao t = nmero de aos n = nmero de veces que el inters se compone por aob) Inters compuesto continua

    El inters compuesto en forma continua se calcula mediante la formula:

    A(t)=Pent

    donde: A(t) = cantidad despus de t aos P = principal r = tasa de inters por ao t = nmero de aosc) Crecimiento y Decaimiento exponencial: Muchos problemas que implican el crecimiento exponencial o el

    decrecimiento exponencial se pueden resolver usando la frmula general:

    rtf(t) Ae=

    Que muestran en qu forma depende del tiempo t la cantidad de una sustancia determinada.

    Donde: f(t) = cantidad final de la sustancia

    A=la cantidad inicial de la sustancia

    r= es una constante (en una situacin dada)

    r>0 significa que y es un valor creciente (aumenta) con el tiempo.

    r

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 215

    Matemtica I

    Capitalizacin n Cantidad despus de 3 aos

    Anual 1 1(3)0.121000 1 $1404.93

    1 + =

    Semianual 2 2(3)0.121000 1 $1418.52

    2 + =

    04. Calcular el inters compuesto de manera continua

    Calcule la cantidad despus de tres aos si se invierten $ 1000 a una tasa de inters de 12% por ao, capitalizados de forma contnua.

    Solucin: Se usa la frmula del inters capitalizable en forma continua con P=$1000, r=0.12 y t=3 para obtener.

    A(3)=1000e(0.12)3=1000e0.36=$1433.33

    b. bloque ii01. Calcule la cantidad despus de cinco aos si se invierten 2000 dlares a una tasa de inters de 9% por ao,

    capitalizados de forma continua.

    Solucin:

    Se usa la formula capitalizable de forma continua con P=2000, r=0,09 y t=5 para obtener: A(5)=2000e(0,09)

    5=2000e0.45=3136.624 dlares.

    02. Una sustancia radiactiva se desintegra (y se convierte en otro elementos qumico) de acuerdo con la frmula:

    y=Ae-0.2x, donde y es la cantidad remanente despus de x aos. Si tenemos la cantidad inicial A=80 gramos. Qu cantidad quedar despus de 3 aos?

    Solucin:

    Como A=80 tenemos: y=80e0.2x. Necesitamos resolver esta ecuacin para la cantidad y, cuando x=3.

    0.2x

    0.2(3)

    0.6

    y 80e

    80e

    80e43.920

    =

    =

    ==

    habr alrededor de 43.9 gramos despes de 3 aos.

    03. Una inversin de $5000 gana intereses con el inters anual del 8.4% compuesto mensualmente. Conteste usted lo siguientes:

    a) Qu cantidad se tendr despus de un ao?

    b) Qu suma de dinero habr despus de 10 aos?

    Solucin:

    a) Como el interes anual es r=8.4%=0.084 y el inters compuesto se determina mensualmente, 0.084/12=0.007.

    Sustituimos con P=5000 y n=12, en n.tr

    A P 1n

    = +

    A=5000(1+0.007)12=5000(1.007)12=5436.55

    La cantidad que permanece en depsito, despus de un ao, es $ 5437.

    b) usamos la frmula: n.tr

    A P 1n

    = +

    donde P=500, P=5000, r/n=0.007, n=12, y t=10.

    A=5000(1.007)12(10)=5000(1.007)120=11547.99.

  • Matemtica I

    Pg. 216 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Una persona de 6000 soles en su tarjeta de crdito cobra una tasa de inters anual de 36%. Si no realiza ningn

    pago y el banco capitaliza los intereses trimestralmente. Cunto deber en 2 aos?

    Solucin:

    Un ao tiene cuatro trimestres n=4, por lo que sustituyendo en la frmula se tiene:

    4(2)

    80.36C 6000 1 6000(1 0.09) 6000(1,9925) 11,955.374

    = + = + = =

    soles

    02. Un cultivo de bacterias, con un nmero inicial de 1000 bacterias, dobla su tamao cada hora. Encuentra una frmula para el nmero N(t) de bacterias presentes despus de t horas. Cuntas bacterias estarn presentes despus de 8 horas.

    Solucin:

    Despus de una horase tiene N(1)=1000(2)

    Despus de 2 horas este nmero se dobla N(2)=1000(2)(2)=1000(22)

    Despus de 3 horas, se dobla de nuevo N(3)=1000(23)

    ............. ....

    Continuando de esta manera, obtenemos la frmula N(t)=1000(2t)

    As que despus de 8 horas la cantidad de bacterias es N(8)=1000(28)=256,000

    03. Supongamos que una cantidad de azcar se coloca en agua, y que el 10% se disuelve cada minutos. Sea Q(t) la cantidad de azcar presente despus de t minutos. Si inicialmente hay 5 kilos de azcar, es decir Q(0)=5, encuentre aproximadamente cuanta azcar estar presente despus de 15 minutos.

    Solucin

    Cada minutos se disuelve el 10% de azcar, asi que el 90% permanece sin disolver.

    Despus de un minuto la cantidad presente de azcar es Q(1)=5(0,9)

    Despus de 2 minutos, el 90% de Q(1) es Q(2)=5(0.9)(0.9)=5(0.9)2

    ............. ....

    Continuando de esta manera, obtenemos la frmula Q(t)=5(0.9)t

    As que despus de 15 minutos, la cantidad de azcar es Q(15)=5(0,9)151.03 kilos

    04. La poblacin proyectada P de una ciudad est dada por P(t)=100.000e0.05t. Donde t es el nmero de aos despus de 1990. Predecir la poblacin para el ao 2010.

    Solucin:

    El nmero de aos desde 1990 a 2010 es 20, asi que t=20.

    Entonces

    P=100.000e0.05(20)=100.000e1=100,000e=271.828

    05. Un elemento radioactivo decae de tal manera que despus de t das el nmero de N miligramos presentes, est

    dado por N=100e0.062t.

    a) Cuntos miligramos estn presentes inicialmente?

    b) Cuntos miligramos estn presentes despus de 10 das?

    Solucin:

    a) Para calcular la cantidad inicial debemos de considerar el tiempo igual a cero, calcular N cuando t=0. As,

    si t=0, entonces N(0)=100e0.062(0)=100 miligramos estn inicialmente presentes.

    b) Cuando t=10

    N=100e0.062(10)=100e0.02100(0.53794)53.8

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 217

    Matemtica I

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Calculo del inters compuesto:

    Una suma de $ 1000 se invierte a una tasa de inters de 12% anual. Calcule las cantidades en la cuenta despus de tres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao, por trimestre, mensualmente o diario.

    Solucin:

    Se usa la frmula de inters compuesto con P=$1000, r=0.12 y t=3.

    Capitalizacin n Cantidad despus de 3 aos

    Trimestral 4 4(3)0.121

    4 + =

    Mensual 12(3)0.121000 1 $1430.77

    12 + =

    Diaria 3650.12

    1000 1365

    + =

    02. Un profesionista invierte 50 000 dlares, en un banco que paga el 8% de inters anual de manera continua, cunto de capital tendr en 12 aos?

    03. Frmacos. Cuando se administr cierto frmaco a un paciente, el nmero de miligramos que permanecen en el torrente sanguneo del paciente despus de t horas se modela mediante.

    0.2tD(t) 50e=

    Cuntos miligramos del frmaco permanecen en el torrente sanguneo del paciente despus de tres horas?

    04. Decaimiento radiactico. Una sustancia readiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que permanece despus de t das se expresa mediante la funcin:

    0.015tm(t) 13e=

    donde m(t) se mide en kilogramos.

    a) Encuentre la masa en el tiempo t=0

    b) Cunta masa permanece despus de 45 das?

    05. Se depositan US$ 1000.00 en un banco a una tasa de inters del 8% anual en forma continua. Cul ser el monto acumulado en 3 aos?

    06. Se invierten 4000 dlares a una tasa de inters de 16% por ao, capitalizable trimestralmente. Encuentre la cantidad debida al final del nmero de aos dado.

    a) 4 aos

    b) 6 aos

    b. bloque ii01. Decaimiento radiactico. Los mdicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticas ciertos

    trastornos de la glndula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante despus de t das se determina mediante la funcin.

    0.087tm(t) 6e=

    donde m(t) se mide en gramos.

    a) Encuentre la masa en el tiempo t=0

    b) Cunta masa queda despus de 20 das?

    02. Una inversin P gana el 9% de inters anual. Compuestos continuamente. Despus de 3 aos, el valor de la

    inversin es de $ 5000. Encuentre usted la cantidad inicial P. (sugerencia: resuelva para P la frmula A=Pert).

    03. Mezclas y concentraciones. Un barrril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A continuacin se bombea hacia el barril agua salada con una concentracin de 0.3 lh/gal y la mezcla resultante sale a la misma

  • Matemtica I

    Pg. 218 Calidad que se acredita internacionalmente

    tasa. la cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante.

    0.04tQ(t) 15(1 e )=

    donde t se mdie en minutos y Q(t) se mide en libras

    a) Cunta sal esta en el barril despus de 5 min?

    b) Cunta sal sta en el barril despus de 10min?

    04. Paracaidismo. Una paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resistencia del aire que esperimenta es proporcional a su velocidad y la constante de proporcionalidad es 0.2. Se puede demostrar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como: V(t)=80(1e0,2t)

    donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/s).

    a) Encuentre la velocidad inicial del paracidista.

    b) Calcule la velocidad despus de 5 s y despues de 10 s

    c) Dibuje la grfica de la funcin de velocidad v(t).

    c. bloque iii01. Para una inversin de 100 000 dlares a una tasa del 20% anual determine los montos que se obtiene en el

    plazo de 5 aos, si la tasa se capitaliza:

    a) Trimestral

    b) Bimestral

    c) Semestral

    02. Una pyme solicito un prstamo al banco de 1000 000 nuevos soles a una tasa de inters del 4% capitalizable bimestralmente, acordando pagar el prstamo dentro de 7 aos. Cul ser el monto a pagar?

    03. Una pyme solicito un prstamos al banco de 1000 000 nuevos soles a una tasa de inters del 4% anual en forma continua acordando pagar dentro de 7 aos. Cul ser el monto a pagar? (comparar con el resultado del ejercicio anterior).

    04. Se depostan US$ 500-.00 en un banco a una tasa de inters del 48% anual capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado en 2 aos?

    05. Supongamos que un autmvil deprecia su valor en un 15% anual. Si nuevo cost 24.000 euros. Cunto valdr

    a los 6 aos? (se recomienda usar la funcin f(t)=Aert.

    Funcin Logstica1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos01. Completa la tabla redondeando a tres dcimas.

    f(x)=10.e0,5t

    t=2 t=4 t=6 t=8 t=10

    f(t)

    =10.e0,5t

    27.18

    3

    200.85

    5

    1484.13

    2

    02. Completa la tabla siguientes redondenado a tres dcimas.

    x 1 10 100 1000 10000

    x11

    x

    0.000 0.366 0.368

    03. Completa la tabla siguiente redondeando a tres dcimas (tiempo en meses)

    t 1 mes 6 meses 1 ao 2 aos 5 aos

    f(t)=50.e0,02t 50.010 63.564 166.005

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 219

    Matemtica I

    04. Completa la tabla siguiente sredondeando a tres dcimas (tiempo en meses)

    t 1 mes 6 meses 1 ao 2 aos 5 aos

    0.02t

    500f(t)

    1 12 * e=

    +

    39.178 47.895 108.358

    05. Transformar las siguientes funciones a partir de f(x)=ex.

    a) g(x)=e3x b) h(x)=ex. c) k(x)=2ex

    Solucin:

    a) g(x)=e3x b) h(x)=ex.

    1

    2

    3

    4

    1 21

    f(x)=ex

    g(x)=e3x

    1

    1

    2

    3

    1 2

    f(x)=ex

    h -e(x)= x

    2

    c) k(x)=2ex

    1

    2

    3

    4

    1 21

    k 2(x)= ex

    2

    f(x)=ex

    b. ejercicios propuestos

    01. Completa la tabla siguiente redondeando a tres dcimas: f(x)=20.e0.2t.

    t=2 t=4 t=6 t=8 t=10

    f(t)=20.e0,2t

  • Matemtica I

    Pg. 220 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. Completa la tabla siguientes redondeando a tres dcimas.

    x 1 10 100 1000 10000

    x11

    x +

    03. Completa la tabla siguiente redondeando a tres dcimas (tiempo en meses)

    1 mes 6 meses 1 ao 2 aos 5 aos

    P(t)=50.e0,05t

    04. Completa la tabla siguiente redondeando a tres dcimas.

    t 1 mes 6 meses 1 ao 2 aos 5 aos

    0.05t

    1000P(t)

    1 19e=

    +

    05. Transformar las siguientes funciones a partir de f(x)=ex.

    a) g(x)=e2x b) h(x)=ex c) k(x)=3ex.

    2. FuNciN logStica El crecimiento exponencial es sin restricciones. Sin embargo, en muchas situaciones de crecimiento, existe un lmite para

    el crecimiento posible. Una planta puede crecer slo hasta cierta altura; el nmero de peces de colores en un acuario est limitado por el tamao del acuerio. En tales situaciones, el crecimiento con frecuencia inicia de una manera exponencial, pero eventualmente desciente y la grfica se estabiliza. la funcin de crecimiento asociada est acotada, tanto por arriba como por abajo, por asntotas horizontales.

    definicin: funciones de crecimiento loGstico Sean a, b, c y k constantes positivas, con b1 o k>1, estas frmulas dan lugar funciones de decaimiento logstico. Grfica de funcin logstica:

    1501401301301101009080706050403020100-10-20

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    900

    1000

    1100

    1200

    (exponencial)lmite de crecimiento

    Curva de crecimiento logstico

    Tiempo

    Poblacin

    Nota: Esta funcin, aunque est relacionada con la funcin exponencial ex, no puede obtenerse de ex mediante traslaciones, reflexiones y comprensiones o alargamientos horizontales y verticales.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 221

    Matemtica I

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Lea si hay lmite de crecimiento o no, e indique a qu tipo de funcin corresponde:

    01. Un cultivo de bacterias, conun nmero inicial de 1000 bacterias, dobla su tamao cada hora.

    Respuesta:

    * No hay lmite de crecimiento

    * Funcin exponencial

    02. En una isla de tamao determinado se deja 100 conejos en donde solo puedan vivir como mximo 1000 conejos.

    Respuesta:

    * Si hay lmite de crecimiento

    * Funcin logstica

    03. Se invierten 400 dlares a una tasa de inters de 10% anual de forma continua.

    Respuesta:

    * No hay lmite de crecimiento

    * Funcin exponencial

    04. En un acuario de 20 x 10 metros se cran inicialmente 50 peces de colores

    Respuesta:

    * Si hay lmite de crecimiento

    * Funcin logstica

    b. bloque ii01. Qu grfica corresponde a una funcin exponencial y cual a una funcin logstica.

    a) Funcin exponencial b) Funcin logstica

    Respuesta: a-II y b-I

    Determine la interseccin en el eje "y", y las asntotas horizontales.

    02. x12

    f(x)1 2 0.8

    =+

    Respuesta:

    - Interseccin con el eje y cuando x=0

    Reemplando en la funcin

    12f(x) 41 2

    = =+

    , el punto de corte es (0;4)

    - Asntotas: y=0, y =12.

    03. x18

    f(x)1 5 0.2

    =+

    Respuesta:

    - Interseccin con el eje y cuando x=0

    Reemplazando en la funcin

    18

    f(x) 31 5

    = =+

    , el punto de corte es (0;3)

    - Asntotas: y=0, y=18

  • Matemtica I

    Pg. 222 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. 2x

    16f(x)

    1 3e=

    + Respuesta:

    - Interseccin con el eje y cuando x=0

    Reemplazando en la funcin:

    16f(x) 41 3

    = =+

    , el punto de corte es (0;4)

    - Asntotas: y=0, y=16

    c. bloque iii

    01. x9

    g(x)1 2e

    =+

    Respuesta:

    - Interseccin con el eje y cuando x=0.

    Reemplazando en la funcin

    9

    g(x) 31 2

    = =+

    , el punto de corte es (0;3)

    - Asntotas: y=0, y=9

    02. En el siguientes ejercicio determine la funcin logstica (use xc

    f(x)1 a.b

    =+

    ) que satisface las condiciones

    dadas: valor inicial=10, lmite de crecimiento =4 0, pasa por (1;20).

    Solucin:

    C=40 y (x;y)=(1;20)

    Siendo valor inicial =10 cuando x=0

    - 0

    40f(0) 10

    1 a.b40

    10 a 31 a

    = =+

    = =+

    - Usando ahora el punto (x;y)=(1;20) en la funcin:

    1

    40f(1) 20

    1 3.b1 3.b b 1 / 3

    = =+

    + =

    La funcin ser: x

    40f(x)

    11 3.

    3

    =

    +

    03. Con base en informacin a censos recientes, un modelo logstico para la poblacin de Dallas, t aos despus de 1900, es el siguiente:

    0.05054t

    1.301.642P(t)

    1 21.602e=

    +

    Cunto fue la poblacin en el ao 2000?

    Respuesta: De 1900 al ao 2000t=100

    Reemplazando en la funcin tenemos: P(t)=1 142 896,691

    04. Para cierta poblacin de peces, en un pequeo estanque d=1000, k=10, c=0.3. y t mide en aos. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t=0.

    ct

    dP(t)

    1 ke=

    +

    a) Cuntos peces se colocaron inicialmente en el estanque?

    b) Calcule la poblacin despus de 5, 15 y 25 aos.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 223

    Matemtica I

    Solucin:

    a) Inicialmente se colocaron cuando y=0

    0.3.(0)

    1000 1000P(0) P(0) P(0) 90.909

    1 101 10.e= = = = =

    ++ peces en el estanque al inicio.

    b)

    t=5 t=15 t=25

    0.3.(t)

    100P(0)

    1 10.e= =

    +309.473 900.017 994.499

    .

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    En los siguientes ejercicios determine la funcin logstica (use xc

    f(x)1 a.b

    =+

    ) que satisface las condiciones dadas.

    01. Valor inicial = 12, lmite de crecimiento = 60, pasa por (1, 24)

    02. Valor inicial = 16, mxima poblacin sustentable = 128, pasa por (5, 32)

    03. Altura inicial = 5, lmite de crecimiento = 30, pasa por (3, 15).

    En los siguientes grfico determine la funcin logstica (use xc

    f(x)1 a.b

    =+

    ) que satisface las condiciones dadas.

    04.

    y=20

    (2,10)

    (0,5)

    y

    x

    05.

    y=60

    (8,30)

    (0,15)

    x

    y

  • Matemtica I

    Pg. 224 Calidad que se acredita internacionalmente

    b. bloque ii01. Modelacin de un rumor. La Escuale Watuga tiene 1200 estudiantes. Bob, Carol, Ted y Alice inician un rumor

    que se propaga de forma logstica de modo que S(t)=1200/(1+39.e0.9t) modela el nmero de estudiantes que han escuchado el rumor al final de t das, donde t=0 es el da en que se inicia a difundir el rumor.

    a) Cuntos estudiantes han escuchado el rumor al final del da 0?

    02. Crecimiento logstico. las poblaciones animales no pueden crecer sin restriccin debido a la limitacin de hbitat y suministros de alimento. En tales condiciones la poblacin sigue un modelo de crecimiento logstico.

    c.t

    dP(t)

    1 ke=

    +

    donde c, d y k son constante positivas. Para cierta poblacin de peces, en un pequeo estanque d=1200, k=11, c=0,2, y t mide en aos. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t=0.

    a) Cuntos peces se colocaron orginalmente en el estanque?

    b) Calcule la poblacin despes de 10, 20 y 30 aos.

    200

    P

    t10 20 30 400

    400

    600

    800

    1000

    1200

    03. Suponga que una poblacin de conejos se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico donde n0 es la poblacin iniicial de conejos:

    0,45t

    0

    280n(t)

    2800.04 0.04 e

    n

    =

    +

    Si la poblacin inicial es 70 conejos. Cul ser la poblacin despus de 10 aos?

    04. Poblacin de conejos. Suponga que una poblacin de conejos se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico.

    0.55t

    o

    300n(t)

    3000.05 0,05 e

    n

    =

    +

    donde n0 es la poblacin inicial de conejos.

    a) Si la poblacin inicial es 50 conejos. Cul ser la poblacin despus de 12 aos?

    c. bloque iii01. Poblacin de aves. La poblacin de cierta especie de ave est limitada por el tipo de hbitat requerido para

    anidar. La poblacin se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico.

    0.044t

    5600n(t)

    0.5 27.5e=

    +

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 225

    Matemtica I

    donde t se mide en aos.

    a) Encuentre la poblacin inicial de aves.

    b) Dibuje la grfica de la funcin n(t)

    c) Qu tamao tiene la poblacin cuando el tiempo avanza?

    02. Dimetro de un rbol. Para cierto tipo de rbol el dimetro D (en pies) depende de la edad del rbol t (en aos) de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico.

    0.01t

    5.4D(t)

    1 2.9e=

    +

    Determine el dimetro de un arbol de 20 aos.

    1

    D

    t100 300 500 7000

    2

    3

    4

    5

    03. Propagaacin de gripe. El nmero de estudiantes infectados con gripe en la Escuela Springfield despus de t das se modela mediante la funcin.

    0.2t

    800P(t)

    1 49e=

    +

    a) Cul fue el nmero inicial de infectados?

    b) Cundo el nmero de estudiantes infectados ser 200?

    c) La escuela cerrar cuando 300 de los 800 estudiantes estn infectdos. Cundo cerrar la escuela?

    04. Poblacin de ciervos. La poblacin de ciervos despus de t aos en el Parque Estatal de Cedar est modelada mediante la funcin:

    0.2t

    1,001P(t)

    1 90e=

    +

    a) Cul fue la poblacin inicial de ciervos?

    b) Cundo el nmero de ciervos ser de 600?

    c) Cul es el nmero mximo de ciervos en el parque?

    05. La poblacin de cierta especie de ave est limitada por el tiempo de hbitad requerido para anidar. La poblacin se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logstico, donde t se mide en aos.

    0.032.(t)

    4000n(t)

    0.5 23.e=

    +

    a) Encuentre la poblacin inicial de aves.

    b) Dibuje la grfica de la funcin n(t).

  • Matemtica I

    Pg. 226 Calidad que se acredita internacionalmente

    Funciones Logartmicas1. SabereS PrevioS Practique y refuerce algunas tcnicas de lgebra tiles para esta seccin:

    n

    " n " veces

    0

    1

    mnm / n m n

    nn

    a si n 1*a a.a...a si n ; n 2

    *a 1; a 01

    *a ; a 02

    *a a a ; n 2; n1

    *a ; a 0a

    ==

    =

    =

    = =

    =

    1 1*a ; a 0a

    =

    n

    " n " veces

    0

    1

    mnm / n m n

    nn

    a si n 1*a a.a...a si n ; n 2

    *a 1; a 01

    *a ; a 02

    *a a a ; n 2; n1

    *a ; a 0a

    ==

    =

    =

    = =

    =

    A. ejercicios desArrollAdos01. 20=1 02. 104=10 000

    03. 2

    21 1

    7497

    = = 04. 3 / 2 34 4 64 8= = =

    05. 80=1 06. 101=1/10

    07. 1 / 236 36 6= =

    b. ejercicios propuestos01. 62= 02. 83=

    03. 161/2= 04. 10 =

    05. 05= 06. 149=

    07. 21

    4 =

    2. FuNcioNeS logartmicaS Toda funcin exponencial f(x)=ax, a>0 y a1, es una funcin uno a uno, por lo tanto tiene una funcin inversa. La funcin

    inversa se llama _________________________

    definicin de unA funcin loGArtmicA La funcin logartmica con base a>0; a1 se define por:

    alog x y a= =

    Semana 14

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 227

    Matemtica I

    La expresin logartmica y la expresin exponencial son equivalentes.

    Ejemplo:

    Forma logartmica Forma exponencial

    log39=2

    81

    log 23

    =

    __________________________________________________

    ______________________________________

    103=0,001

    b1=5

    propiedAdes de los loGArtmos y loGAritmos

    a

    a

    ax

    alog x

    1. log 1

    2. log a

    3. log a

    4. a

    = ___________________ porque ____________________= ___________________ porque ____________________

    = ___________________ porque ____________________

    = ___________________ porque ____________________

    Ejemplo:

    7log 1 =___________; 2log 2

    =_________

    73log 3 =__________; 2

    log 52 =____________

    GrficAs de funciones loGArtmicAs Para obtener la grfica de la funcin logartmica, se debe reflejar la funcin exponencial en la recta y=x.

    Propiededades:

    1. Pasa por el punto ( ; )

    2. Tiene como asintota al eje ______________

    3. El dominio es el conjunto de los nmero

    resales positivos, es decir, _______________

    4. El rango es el conjunto de los nmero reales

    es decir, ____________________________

    y

    x1

    1

    y=

    y=xy=a ; a>1

    x

    Propiedades:

    trAnsformAciones de funciones loGArtmicAs1. y = logax. Reflexin en el eje "x"

    2. y = loga(x) Reflexin en el eje "y"

    3. y = loga(x+c) ( )

    4. y = loga(xc) ( )

    5. y = logax+c ( )

    6. y = logaxc ( )

  • Matemtica I

    Pg. 228 Calidad que se acredita internacionalmente

    Ejemplo:Bosqueje las grficas de las funciones:

    a) g(x) = log3x

    y

    x1

    f(x)=log x3

    g(x)=

    Dominio

    Rango

    Asntota

    = ___________

    = ___________

    = ___________

    b) h(x)=log5(x3)+4.

    y

    x1

    (4;4) Dominio

    Rango

    Asntota

    = ___________

    = ___________

    = ___________

    3 4

    4

    dominio de lAs funciones loGArtmicAs

    Segn la defincin, y=logax; x>

    1. Ejm: Halle el dominio de la funcin logartmica:

    y = log5(x+3)

    Por definicin: x + 3 >

    x >

    C.S. = 2. Ejm: Halle el dominio de la funcin logartmica:

    g(x) = log3(x21)

    Por definicin: x2 1 >

    1 1

    (x )(x ) 0

    + >

    + +

    1 1 C.S. =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 229

    Matemtica I

    loGAritmo comn (bAse 10)

    log x log x=

    Ejm: log10 = ____________ log5 _____________ (usar calculadora: dar 3 decimales)

    loGAritmo nAturAl (bAse e)

    ln x log x=

    Ejm: lne = ____________ ln5 _____________ (usar calculadora: dar 3 decimales)

    La funcin y=ln x es la funcin inversa de: y=ex.

    y

    x1

    1

    y=x

    leyes de los loGAritmos:

    Para toda base a>0; a 1 para los nmeros positivos A, B y C.

    a a a

    a a a

    Ca a

    1. log (AB) log A log B

    A2. log log A log B

    B

    3. log A C log A

    = +

    =

    =

    Nota:

    a a a

    aa a

    a

    log (A B) log A log B

    log Alog A log B

    log B

    + +

    Ejemplo:

    a) log42 + log432=log =log =

    b) log280 log25=log =log =

    c) 81

    log log 83

    = =log =

    (Usar calculadora, redondear a 3 decimales)

  • Matemtica I

    Pg. 230 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoS

    A. bloque i01. Complete el cuadro.

    Forma Logartmica Forma Exponencial

    Log77=1

    Log232=5

    _________________________

    __________________________

    ______________________________________________

    2 1864

    =

    43/2=8

    02. Use la definicin de funcin logartmica para halla el valor de x.

    a) 52log x 5 2 xx

    = =

    = b)

    x4

    2 x

    12x

    log 2 x 4 2

    (2 ) 2

    2 22x 1

    x

    = =

    =

    =

    ==

    Llevando a bases iguales

    c) 4

    x4 4

    log 16 4 x 16

    x 2x

    = =

    ==

    Llevando a exponentes iguales

    03. Hallar el dominio de la funcin f(x)=ln(4x2)

    Debido a que ln(x2) est definido slo si:

    2 2

    2 2

    4 x 0 x 4 0(x )(x ) 0

    >

    alog xa = x

    alog a =

    ecuAciones exponenciAles:

    Una ecuacin es aquella ecuacin en la que la ocurre en el .Ejemplo:

    a) 2x=9

    b) ex=5

    normAs pArA resolver ecuAciones exponenciAles1. Aisle la expresin exponencial en un lado de la ecuacin.2. Tome el logaritmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logaritmos para "bajar el exponente.3. Despeje la variable. Ejemplo:

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 237

    Matemtica I

    * Resolver: 2x = 9

    2x = 9 Ecuacin dada

    2x = 9 Aplique el log. en cada miembro

    log2 = log9 Baje el exponente

    x = Despeje "x"

    x Resultado de la calculadora

    * Resolver: ex = 5

    ex = 5 Ecuacin dada

    ex = 5 Aplique el ln. en cada miembro

    lne = ln5 Baje el exponente x=ln5 Aplique propiedad

    x Resultado de la calculadora.ecuAciones loGArtmicAs

    Una ecuacin es aquella ecuacin en la que la aparece afectada por un .

    Ejemplos:

    a) los2 (x+1) = 4b) ln (x 1) = 2

    normAs pArA resolver ecuAciones loGArtmicAs1. Aisle la expresin logaritmico en un lado de la ecuacin, podra se necesario combinar primero los trminos lagartmicos.2. Escriba la ecuacin en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuacin).3. Despeje la variable. Ejemplo:

    * Resolver: log2(x+1)=4

    log2(x+1)=4 Ecuacin dada

    = 24 Forma exponencial

    x= forma exponencial

    x= Resultado obtenida

    * Resolver: ln(x1)=2 ln(x1)=2 Ecuacin dada

    ln(x1) = 2 Elevar la base, e, a cada lado de la ecuacin

    =e2 Propiedad de los logaritmos

    x= Despeje "x"

    x= Resultado de la calculadora

  • Matemtica I

    Pg. 238 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Resuelva: 2x 5x 6e e +=

    Solucin:

    = Escriba la ecuacin original

    = Propiedad uno a uno

    = 0 Escriba en forma general

    ( ) ( ) = 0 Factorice

    = 0 x = Igual a O el primer factor

    = 0 x = Igual a O el segundo factor

    Las soluciones son y compruebelas en la ecuacin original

    02. Resulva: ex+7=65 y aproxime el resultado a 4 decimales.

    Soluucin:

    = Escriba la ecuacin original

    = Reste 7 en cada lado

    = Tome el logaritmo en cada lado

    = Propiedad inversa

    x = Resultado de la calculadora

    La solucin es compruebelas en la ecuacin original

    03. Resuelva: 3log42x=6

    Solucin:

    = Escriba la ecuacin original

    = Divida cada lado entre 3

    = Exponenciando cada lado (base 4)

    = Propiedad inversa

    x = Divida cada lado entre 2

    La solucin es compruebelas en la ecuacin original

    04. Resuelva: 7+3lnx = 2 y aproxime el resultadno a tres decimales.

    = Escriba la ecuacin original

    = Reste 7 en cada lado

    = Divida cada lado entre 3

    = Exponenciando cada lado

    = Propiedad inversa

    x = Resultado de la calculadora

    La solucin es compruebelas en la ecuacin original

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 239

    Matemtica I

    b. bloque ii

    01. Resuelva: 2(32x+5)6=13 y aproxima el resultado a cuatro decimales.

    Solucin:

    2x 5

    2x 5

    2x 5

    2x 53 3

    3

    3

    3

    2(3 ) 6 13

    2(3 ) 1919

    32

    19log 3 log

    22x 5 log (9,5)

    2x log (9,5) 5

    log (9,5) 5x

    2x 1,4754

    +

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    =

    + =

    =

    =

    La solucin es: x1,4754, comprubela en la ecuacin original.

    02. Resuelva: e2x6ex+5=0

    Solucin:

    2x x

    x 2 x

    x x

    x x

    e 6e 5 0

    (e ) 6e 5 0

    (e 5)(e 1) 0

    e 5 0 e 1 0x ln5 x 0

    + =

    + =

    =

    = == =

    Las soluciones son: x=ln5 x=0, comprubelas en la ecuacin original.

    03. Resuelva: 4log75x=8

    Solucin:

    7

    7

    7log 5x 2

    4 log 5x 8

    log 5x 2

    7 75x 49

    49x

    5x 9,8

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    04. Resuelva: log5x + log(x1)=2

    Solucin:

    log[5x(x 1)] 2

    2

    2

    log 5x log(x 1) 2log[5x(x 1)] 2

    10 10

    5x 5x 100

    x x 20 0(x 5)(x 4) 0x 5 0 x 4 0

    x 5 x 4

    + = =

    =

    =

    = + =

    = == =

    c. bloque iii01. Se depositan 600 dlares en una cuenta que genera 7,25% de inters compuesto continuo. Cunto tiempo

    toma para quue se duplique su dinero?

    Solucin:

    Recuerda que: 7,25% 0,0725

    rt

    0,0725.t

    A Pe

    A 600 e

    =

    =

    Luego: A=1200

    t=?

    0,0725.t

    0,0725.t

    600 e 1200

    e 20,0725t ln 2

    ln 2t

    0,0725t 9,56

    =

    ==

    =

    Luego, el saldo se duplicad despues de casi 9,56 aos.

  • Matemtica I

    Pg. 240 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. El nmero "y" de especies de animales en peligro en estados unidos, de 1990 a 2002, se puede con:

    y=119+164 ln t; 10 t 22

    Donde t representa el ao, con t=10 correspondiendo a 1990. En qu ao el nmero de especies de animesl en peligro alcanza 357?

    Solucin:

    ln t 476 / 164

    476 / 164

    119 164 ln t y119 164 ln t 357

    164 ln t 476476

    ln t164

    e e

    t et 18

    + = + =

    =

    =

    =

    =

    La solucin: t 18 aos. Como t=10 representa 1990, se deduce que el nmero de animales en peligro alcanzo 357 en 1998.

    03. Paraidismo la velocidad de un paracaidista t segundos despus de saltar se expresa como v(t)=80(1e0,2t). Despus de cuntos segundos la velocidad es 70 pies/s?

    Solucin:

    0,2t

    0,2t

    0,2t

    0,2t

    0,2t

    0,2t

    v(t) 80(1 e

    80(1 e ) 707

    1 e8

    1e

    81

    e8

    1lne ln

    8

    10,2t ln

    8

    1ln

    8t0,2

    t 10,40 segundos

    =

    =

    =

    =

    =

    = =

    =

    04. Transparencia de un lago: Los cientficos ambientales miden la intensidad de la luz a varias profundidades en un lago para determinar la transparencia del agua. Ciertos niveles de transparencia se requieren para la biodiversidad de la poblacin de macrfitas. En cierto lago la intensidad d ela luz a una profundidad x est dada por:

    I=10e0,008x

    donde I se mide en lmenes y x en pies.

    a) Determine la intensidad I a una profundidad de 30 pies.

    b) A qu profundidad la intensidad de la luz ha disminuido a I=5?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 241

    Matemtica I

    0,008x

    ( 0,008)(30)

    0,24

    a) I 10eSi : x 30 pies

    I 10.e

    I 10.eI 7,87 lmenes

    =

    =

    =

    =

    0,008x

    0,008x

    0,008x

    b) Cuando :I 5

    10e 51

    e2

    1lne ln

    2

    10,008x ln

    2

    1ln

    2x0,008

    x 86,64 pies

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    Complete los espacio vacos

    01. una ecuacin en x significa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuacin es vlida.

    02. Resolver ecuaciones exponenciales y logartmicas; se pueden emplear las rpopiedades uno a uno e inversa siguientes.

    a) ax=ay si y slo si

    b) logax=logay si, y slo si

    c) alog xa =

    d) x

    alog a =03. Resuelva:

    2 2x x 2xe e =

    04. Resuelva:

    x 65(10 ) 7 =

    05. Resuelva:

    ln x 8 5 =

    b. bloque iiResuelva_

    01. x / 2500

    20100 e

    =

    02. 2x3000

    22 e

    =+

  • Matemtica I

    Pg. 242 Calidad que se acredita internacionalmente

    03. 2x xe 4e 5 0 =

    04. 2x xe 5e 6 0 + =

    05. ln x ln(x 1) 1+ + =

    06. ln(x 5) ln(x 1) ln(x 1)+ = +

    07. 2 2ln (2x 3) log (x 4) = +

    c. bloque iii01. Se depositan 800 dlares en una cuenta que genera 6,75% de inters compuestos continuo. Cunto tiempo

    toma para que se triplique su dinero?

    02. Una muestra de 15g de yodo radiactivo se desintegra de una manera que la masa restante. Despues de t das est dada por:

    0,087 tm(t) 15e=

    Donde m(t) se mide en gramos.

    Despus de cupantos das hay slo 5g resstantes?

    03. Presin atmosfrica la presin atmosfrica P (en kilopascales; k(Pa) a la altura h (en kilmetros, km) est gobernada por la frmula.

    o

    P hln

    P k

    =

    donde: k=7 y P0=100 kPa son constantes.

    a) Despeje P de la ecuacin.

    b) Use el inciso a) para calcular la presin P a una altitud de 4 km.

    04. Enfriamiento de una mquina, suponga que conduce un autompovil en un fro da de invierno (20F en el exterior) y la mquina se sobrecalienta (a cerca de 220F). Cuando se estaciona, la mquina comienza a en enfriarse. La yemperatura T de la mquina t minutos despus de que se estaciona satisface al ecuacin:

    T 20ln 0,11t

    200 =

    a) Despeje T de la ecuacin.

    b) Use el inciso a) para determinar la temperatura del motor despues de 20min(t=20)

    Modelado con Funciones, Exponenciales y Logartmicas

    1. SabereS PrevioSA. ejercicios desArrollAdosb. ejercicios propuestos

    2. modelado coN FuNcioNeS exPoNeNcialeS y logartmicaS Los cinco tipos ms comunes de modelos matemticos, que incluyen funciones exponenciales y funciones logartmicas, son

    los siguientes:

    1. Modelo de crecimiento exponencial : y=aebx, b>0

    2. Modelo de decaimiento exponencial : y=aebx, b>0

    3. Modelo gausiano : y=ae(xb)2/c

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 243

    Matemtica I

    4. Modelo logstico de crecimiento : rxa

    y1 be

    =+

    5. Modelo logartmicos : y=a+b lnx, y=a+b logxEn la figuras se muestra las formas bsicas de estas funciones:

    1

    2

    3

    4

    1 2 3 41

    y=ex

    1

    2

    Modelo de crecimientoexponencial

    1

    2

    2

    3

    4

    1 123 1 1

    y=ex

    1

    12

    Modelo de decaimientoexponencial

    Modelo gausiano

    2xy e=

    Modelo de crecimientologstico

    Modelo logartmicosnatural

    Modelo logartmicoscomn

    3

    11

    1

    2

    15x

    3y

    1 e=

    +11

    2

    1

    1

    2

    y=1+lnx

    1

    2

    1

    1

    2

    y=1+logx

    2

    1. modelos exponenciAles de crecimiento poblAcionAlUna poblacin que experimenta crecimiento exponencial crece segn el modelo.

    rt0n(t) n e=

    donde: n(t) = poblacin en el tiempo t

    n0 = tamaano inicial de la poblacin

    r = tasa relatica de crecimiento 8expresada como una proporcin d ela poblacin

    t = tiempo

    2. modelos de decAimiento rAdiActivo Si m0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con vida media h, entonces la masa restante en el tiempo t se

    modela mediante la funcin. rt0m(t) m e=

    donde: ln 2

    rh

    =

  • Matemtica I

    Pg. 244 Calidad que se acredita internacionalmente

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Complete los espacios vacos:

    01. Un modelo de crecimiento exponencial tiene la forma y un modelo de decaimiento

    exponencial tiene la forma

    02. Un modelo logartmo tiene la forma o

    03. La cuenta inicial de bacterias en un cultivo es 800. Mas tarde un bilogo realiza una cuenta muestral de bacterias en el cultivo y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es 30% por hora.

    a) Encuentre una funcin que modele el nmero de bacterias despues de t horas.

    b) Cul es la cuenta estimada despues de 10 horas?

    c) Trace la grfica de la funcin n(t)

    Solucin:

    a) n0=800

    r= 30% r=0,3

    Luego: n(t)=800.e0,3t

    Donde t se mide en horas

    b) t=10 horas

    n(10) = 800.e(0,3)(10)

    n(10)=800.e3

    n(10)16068 bacterias:

    c)

    8000m(t)

    t

    800

    n(t)=800.e0,3t

    0

    04. El polonio 210 (210Po) tiene una vida media de 140 das. Suponga que una muestra de esta sustancia tiene una masa de 300mg.

    a) Encuentre una funcin que modele la cantidad de la muestra que queda en el tiempo t.

    b) Calcula la masa que queda despus de un ao.

    c) Cunto tiempo tarda la muestra en desintegrarse a una masa de 200mg?

    d) Dibuje una grfica de la masa de la muestra como una funcin del tiempo.

    Solucin:

    a) m0=300mg

    ln 2r r 0,00495

    140=

    Luego: m(t)=300.e0,00495t

    b) t=1 ao t =365 das

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 245

    Matemtica I

    Luego: m(365)=300.e( 0,00495)(365)

    m(365)49,2561 mg

    Aproximadamente 49mg de 210Po permanecen despus de una ao.

    c) m(t)=200mg

    Luego:

    0,00495t

    0,00495t

    0,00495t

    300.e 2002

    e3

    2lne ln

    3

    2ln

    3t0,00495

    t 81,91 das

    =

    =

    =

    =

    El tiempo requerido para que la muestra disminuya a 200mg es de alrededor de 82 das.

    d)

    100

    200

    300

    50 1500

    m(t)=300e0,00495t

    Can

    tida

    d de

    Po

    (m

    g)2

    10

    m(t)

    t

    ley de enfriAmiento de newton

    Si D0 es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y sus alrededores, y si sus alrededores tiene temperatura Ts,

    entonces la temperatura en el tiempo t se modela mediante la funcin.

    ks 0T(t) T D e

    = +

    donde k es una constante positiva que depende del tipo de objeto.

    b. bloque ii01. Una taza de caf tiene una temperatura de 200F y se coloca en una habitacin que tiene una temperatura de

    70F. Despus de 10min la temperatura del caf es 150F.

    a) Encuentre una funcin que modele la temperatura del caf en el instante t.

    b) Calcule la temperatura del caf, despus de 15min.

    c) En que momento del caf se habr enfriado a 100F?

    d) Ilustre mediante el trazo de una grfica de la funcin de temperatura.

    Solucin:

    a) Temperatura del ambiente es: TS=70F

    Diferencia de temperatura inicial: Do=20070=130F

    T(t)=70+130.eK.t

    Hallando K:

    t=10

  • Matemtica I

    Pg. 246 Calidad que se acredita internacionalmente

    T(t)=150F

    10k

    10k

    10K

    70 130e 150

    130e 808

    e13

    810K ln

    13

    1 9K .ln

    10 13K 0,04855

    + =

    =

    =

    =

    =

    Luego; la funcin que modele la temperatura del caf es:

    T(t)=70+130 e0,04855t

    b) Cuando t=15

    T(15)=70+130e(0,04855)(15)

    T(15)133F

    c) Cuando: T(t) = 100F

    0,04855t

    0,04855t

    0,04855t

    70 130e 100

    130e 303

    e13

    30,04855t ln

    13

    3ln

    13t0,04855

    t 30,2 min

    + =

    =

    =

    =

    =

    El caf se habr enfriado a 100F despues de casi media hora:

    d)

    70

    200

    100

    T=70+130e0,04855t

    T(F)

    t(min)20 30 40

    02. El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud estimada de 8.3 en la escala Richter. En el mismo ao ocurri un poderoso terremoto en la frontera entre Colombia y Ecuador y su intensidad fue cuatro veces mayor. Cul fue la magnitud del terremoto de Colombia y Ecuador en la Escala Richter?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 247

    Matemtica I

    Solucin:.

    Si I es la intensidad del terremoto de San Francisco, entonces de la definicin de magnitud se tiene:

    IM log 8,3

    S= =

    La intensidad del teremoto de Colombia y Ecuador fue 4I, de modo que su magnitud fue:

    4IM log

    SI

    M log 4 logS

    M log 4 8.3M 8.9

    =

    = +

    = + :

    03. El terremoto de Loma Prieta en 1989 que sacudi a la ciudad de San Francisco tuvo una magnitud de 7.1 en la escala de Richter. Cuntas veces ms intenso fue el terremoto de 1906 que es de 1989?

    Solucin:

    Si: I1 E I2 son las intensidades de los terremotos de 1906 y 1989.

    Entonces se requiere hallar: 1

    2

    II

    Para relacionar esto con la definicin de magnitud, se divide numerador y denominador por S.

    11

    22

    1 2

    II Slog log

    IISI I

    log logS S

    8.3 7.11.2

    =

    =

    = =

    1

    2

    Ilog

    I1

    2

    1.21

    2

    1

    2

    I10

    I

    I10

    I

    I16

    I

    =

    =

    Luego, el terremoto de 1906 tuvo una intensidad de 16 veces el de 1989.

    04. Encuentre el nivel de intensidad en decibeles de una turbina de avin durante el despegue si la intensidad se

    mide a 100 w/m2.

    Solucin:

    De la definicin de nivel de intensidad se puede observar que:

    o2

    12

    14

    IB 10 log

    I

    10B 10 log

    10

    B 10 log10B 140 d B

    =

    =

    == .

  • Matemtica I

    Pg. 248 Calidad que se acredita internacionalmente

    c. bloque iii01. Cuntas veces fue ms severo el terremoto de 2001 en Gujarat, Indica (R1=7.9) que el terremoto de 1999 en

    Atenas, Gracia (R2=5,9)

    Solucin:

    Sea: a1 la amplitud para el terremoto de Gujarat

    a2 la amplitud para el terremoto de Atemas

    Entonces:

    11

    22

    aR log B 7,9

    Ta

    R log B 5,9T

    = + =

    = + =

    Buscando la razn de las intensidades: 1

    2

    aa

    Luego:

    1 21 2

    1 2

    1

    2

    1

    2

    a alog B log B R R

    T Ta a

    log log 7,9 5,9T T

    alog 2

    a

    a100

    a

    + + =

    =

    =

    =

    Entonces, el terrmeo de Gujarat fue 100 veces ms fuerte que el terremoto de Atena.

    02. Algunos vinagres especialmente cidos tienen un pH de 2,4 y una caja de bicarbonato de sodio tiene un pH de 8,4.

    a) Cules son sus consentraciones de in hidrgeno?

    b) Cuntas veces es mayor la concentracin de iones hidrgeno del vinagre que el del bicarbonato de sodio?

    c) En cuntas rdenes de magnitud difieren las concentraciones?

    Solucin:

    a) Vinagre:

    2,4 3

    log(H ) 2,4

    log(H ) 2,4

    (H ) 10 3,98 10 moles por litro

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    bicarbonato de sodio:

    8,4 9

    log(H ) 8,4

    log(H ) 8,4

    (H ) 10 3,98 10 moles por litro

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    b)

    2,46

    8,4

    (H ) del vinagre 1010

    (H ) del bicarbonato de sodio 10

    +

    + = =

    c) La concentracin de in hidrgeno del vinagre es 6 rdenes de magnitud mayor que el de bicarbonato de sodio, exactamente la diferencia en sus valores del pH.

    03. Un huevo cocido a temperatura de 96C se coloca en agua a 16C para enfriarlo. Cuatro minutos despus la temperatura del huevo es 45C. Utilice la ley de enfriamiento de Nweton para determinar el momento en que el huevo estar a 20C.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 249

    Matemtica I

    Solucin:

    ya que: To=96 Tm=16 ToTm=80 y

    T(t)=Tm+(ToTm)ekt

    T(t)=16+80ekt

    Para determinar el valor de "K" utilizamos el hecho que T=45 cuando t=4.

    4k

    4k

    45 16 80e29

    e80

    294k ln

    80

    29ln

    80K4

    K 0,253.......

    = +

    =

    =

    =

    =

    Para determinar "t" cuando T=20C, resolvemos la ecuacin:

    0,25t

    0,25t

    20 16 80e

    4 1e 0,25t ln

    80 20

    1ln

    20t t 11,810,25

    = +

    = =

    =

    La temperatura del huevo ser de 20C al cabo de alrededor de 11,81 minutos.04. La poblacin de zorras en cierta regin tiene una tasa de crecimiento relativa de 8% por ao. Se estima que la

    poblacin en el ao 2000 fue 12000.

    a) Encuentre una funcin que modele la poblacin "t" aos depsus del ao 2000.

    b) Estime la poblacin de zorras en el ao 2014.

    Solucin:

    o

    r 8% r 0,08n 12000

    = =

    =

    a) n(t)=12000.e0,08t

    b) t=20142000=14 aos

    (0,08)(14)n(14) 12000.en(14) 36778,25

    n(14) 36778 zorras

    ==

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. Cultivo de bacterias. El nmero de bacterias en un cultivo se modela mediante la funcin:

    n(t)=500e0,45t

    donde t se mide en horas.

    a) Cul es el nmero inicial de bacterias?

    b) Cul es la tasa realativa de crecimiento de esta poblacin de bacterias? Exprese su respuesta como un porcentaje.

    c) Cuntas bacterias estn en el cultivo despus de tres horas?

    d) Despus de cuntas horas la cantidad de baterias llega a 10 000?

  • Matemtica I

    Pg. 250 Calidad que se acredita internacionalmente

    02. Poblacin de peces. El nmero de cierta especie de peces se modela mediante la funcin.

    n(t)=12e0,012t

    donde t se mide en aos y n(t) se mide en millones.

    a) Cul es la tasa relativa de crecimiento de la poblacin de peces? Exprese su respuesta como porcentaje.

    b) Cul ser la poblacin de peces despus de cinco aos?

    c) Despus de cuntos aos la cantidad de peces llega a 30 millones?

    d) Trace una grfica de la funcin de poblacin de peces n(t).

    03. Poblacin de un pas. La poblacin de un pas tiene una tasa de crecimiento relativa de 3% por ao. El gobierno estaintentando reducir la tasa de crecimiento a 2%. La poblacin en 1995 fue aproximadamente 110 millones. Encuentre la poblacin proyectada para el ao 202 para las condiciones siguientes.

    a) La tasa de crecimiento relativa permanece en 3% por ao.

    b) La tasa de crecimiento relativa se reduce a 2% por ao.

    04. Poblacin de una ciudad. La poblacin para cierta ciudad fue 112 000 en 1998, y la tasa de crecimiento relativa observada por ao.

    a) Encuentre una funcin que modele la poblacin despus de t aos.

    b) Encuentre la poblacin proyectada en el ao 2004.

    c) En qu ao la poblacin llega a 200 000?

    05. Poblacin de venados. En la grfica se muestra la poblacin de venados en un condado de Pennsylvania entre 1996 y 2000. Suponga que la poblacin crece de forma exponencial.

    a) Cul es la poblacin de venados en 1996?

    b) Encuentre una funcin que modele la poblacin de venados t aos despus de 1996.

    c) Cul es la poblacin de venados proyectada en 2004?

    d) En qu ao la poblacin de venados llega a 100 000?

    10 000

    20 000

    30 000

    1 30

    (431 000)

    Pobl

    aci

    n de

    ven

    ados

    m(t)

    t2 4

    Aos desde 1996

    b. bloque ii01. Cultivo de bacterias. La cuenta en un cultivo de bacterias fue 400 despus de dos horas y 25 600 despus de

    seis horas.

    a) Cul es la tasa relativa de crecimiento d ela poblacin de bacterias? Exprese su respuesta como un porcentaje.

    b) Cul fue el tamao inicial del cultivo?

    02. Poblacin de california. La poblacin de California fue 10 586 223 en 1950 y 23 668 562 en 1980. Suponga que la poblacin crece en forma exponencial.

    a) Encuentre una funcin que modele la poblacin t aos despus de 1950

    b) Determine el tiempo requerido para que se duplique la poblacin

    c) Use la funcin del inciso a) para predecir la poblacin de California en el ao 200.xc

    03. Radio radiactico. La vida media del radio 226 son 1600 aos. Suponga que tiene una muestra de 22mg.

    a) Encuentre una funcin que modele la masa restante despus de t aos.

    b) Qu cantidad de la muestra queda despus de 4000 aos?

    c) Despus de cunto tiempo quedan solamente 18mg de muestra.

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 251

    Matemtica I

    04. Torio radiactivo. La masa m(t) restante despus de r das de una muestra de 40g de torio 234 est dada por:

    m(t)=40e0,0277t

    a) Despus de 60 das cul es la cantidad de muestra restante?

    b) Cunto tiempo debe transcurrir para que slo queden 10g de la muestra?

    c) Calcule la vida media del torio 234.

    05. Fechando con carbono 14. Un artefacto de madera de una tumba antigua contiene 65% de carbono 14 que est presente en rboles vivos. Hace cunto tiempo fue hecho el artefacto? (La vida media del carbono 14 son 5739 aos)

    c. bloque iii01. Enfriamiento de la sopa. En una fiesta se sirve un tazn de sopa calienta. Comienza a enfriarse segn la ley del

    enfriamiento de Newton, de modo que su temperatura en el instante r se determina mediante:

    T(t)=65+145e0,05t

    donde t se mide en minutos y T se mide en F.

    a) Cul es la temperatura inicial de la sopa?

    b) Cul es la temperatura despus de 10min?

    c) Despus de cunto tiempo la temperatura ser de 100F?

    02. Hora de la muerte. La ley del enfriamiento de Newton se emplea en investigaciones de homicidios para determinar la hora de la muerte. La temperatura corporal normal es de 98.6F. Inmediatamente despus d ela muerte el cuerpo comienza a enfriarse. Se ha determinado de manera experimental que la constante en la ley de Newton del enfriamiento es aproximadamente k=0,1947, asumiento que el tiempo se mdie en horas. Suponga que la temperatura del entorno es de 60F.

    a) Encuentre la funcin T(t) que modela la temperatura y horas despus de la muerte.

    b) Si la temperatura del cuerpo es de 72F. Hace cupanto tiempo fue la hora d ela muerte?

    03. Magnitudes de terremotos. El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8.3 en la escala Richter. Al mismo tiempo en Japn en terremoto cdon magnitud 4.9 caus slo daos menores. Cuntas veces ms intenso fue el sismo de San Francisco que el de Japn?

    04. Magnitudes de terremotos. El sismo del 1994 en Northridge. California, tuvo una magnitud de 6.8 en la escala Richter. Un ao despus, un sismo de magnitud 7.2 golpe a Kobe, Japn. Cuntas veces ms intenso fue el sismo de Jobe que el de Northidge?

    05. Magnitudes de terremotos. El sistema de 1985 en la Ciudad de Mxico tuvo una magnitud de 8.1 en la escala Richter. El sismo de 1976 en Tangshan, China, tuvo una intensidad de 1,26 veces el de la Ciudad de Mxico. Cul es la magnitud del sismo de Tangshan?

  • Matemtica I

    Pg. 252 Calidad que se acredita internacionalmente

    Funciones Trigonomtricas1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos

    Semana 16

    01. Qu son sistemas de medicin angular?

    Son las diversas formas de medir ngulos

    02. Convertir 60 a radianes.

    rad60 ; 60 rad

    180 3

    = < >

    03. Convertir 150 a radianes.

    rad 5150 ; 150 rad

    180 6

    = < >

    04. Convertir rad5

    a grados sexagesimales.

    180rad ; rad 36

    5 rad 5

    = < >

    05. Convertir 3

    rad4

    a grados sexagesimales

    3 180 3rad ; rad 135

    4 rad 4

    = < >

    3 180 3rad ; rad 135

    4 rad 4

    = < >

    b. ejercicios propuestos01. Cuntos sistemas de medicin angular existen?

    02. Convertir 60 a radianes.

    03. Convertir 150 a radianes.

    04. Convertir rad5

    a grados sexagesimales.

    05. Convertir 3

    rad4

    a grados sexagesimales

    2. FuNcioNeS trigoNomtricaS definicin

    Es el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de sus lados del tringulo rectngulo, respecto a un ngulo agudo.

    Sea "" cualquier ngulo agudo de un tringulo rectngulo ABC recto en C donde a, b y c son las longitudes de sus lados.

    c

    B

    C

    a

    bA

    Elementos:c : hipotenusaa : cateto opuesto de................ b : cateto opuesto de................... cateto adyacente de............. cateto adyacente de.................

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 253

    Matemtica I

    teoremA de pitGorAs

    c = a + b2 2 2

    Las 6 razones trigonomtricas se definen como sigue:

    Nombre Definicin seno de theta cateto opuesto de CO asen

    hipotenusa H c

    = = =

    coseno de theta cateto adyacente de CA bcoshipotenusa H c

    = = =

    tangente de theta cateto opuesto de CO atancateto adyacente de CA b

    = = =

    cotangente de theta cateto adyacente de CA bcotcateto opuesto de CO a

    = = =

    secante de theta hipotenusa H cseccateto adyacente de CA b

    = = =

    cosecante de theta hipotenusa H ccsccateto opuesto de CO a

    = = =

    propiedAdes de lAs rAzones triGonomtricAs de un nGulo AGudoI. Independencia de las Razones Trigonomtricas. Las Razones Trigonomtricas de un ngulo agudo; dependern

    de la medida de dicho ngulo y no de los lados del tringulo rectngulo en que se ubica.

    N

    C

    BA

    MP

    Q

    II. Razones Trigonomtricas de ngulos Complementarios.

    Si son agudos, adems +=90, entonces se cumple:

    sen costan cotsec csc

    =

    =

    =

    III. Razones Trigonomtricas Recprocas. Si: es agudo, se cumple:

    sen .csc 1cos .sec 1tan .cot 1

    ===

    resolucin de trinGulos rectnGulos Las aplicaciones de la Trigonometra en campos como la topografa y navegacin requieren resolver tringulos rectngulos.

    La expresin Resolver un tringulo significa encontrar elementos del tringulo.

    En esta seccin veremos que podemos resolver cualquier tringulo rectngulo si nos da:

    I. Las longitudes de dos lados. Aplicamos: el Teorema de Pitgoras II. La longitud de un lado y la medida de un ngulo agudo. Aplicamos:

    En general Ladopor conocer R.T( dato)

    Lado conocido=

  • Matemtica I

    Pg. 254 Calidad que se acredita internacionalmente

    De aqu despejando se tiene: [ ] [ ]Ladopor conocer Lado conocido . R.T( dato)=

    Se tiene tres casos:

    13cm

    28 40

    37

    9cm

    nGulos verticAles:

    : ngulo de elevacin: ngulo de depresin

    : ngulo de observacin

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    01. Por qu para un ngulo agudo el seno es menor que uno?

    La definicin de CO

    senxH

    = ; ya que la hipotenusa es siempre mayor que el cateto opuesto, entonces la fraccin

    es menor que la unidad.

    02. Cuntas razones trigonomtricas hay y por qu solo hay ese nmero?

    Hay 6 razones trigonomticas; slo hay 6 ya que un tringulo cuenta con 3 lados y el nmero de combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2 es seis.

    03. Hallar las razones trigonomtricas de 30 y 60.

    2K

    C

    K

    60

    303K

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 255

    Matemtica I

    sen30 = _______;

    cos30 = _______;

    tan30 = _______:

    csc30 = _______;

    sec30 = _______;

    cot30 = _______:

    sen60 = _______;

    cos60 = _______;

    tan60 = _______:

    csc60 = _______

    sec60 = _______

    cot60 = _______

    04. Hallar las razones trigonomtricas del menor de los ngulos de un tringulo cuyos catetos miden 3cm y 4cm.

    H3

    4

    2 2 2

    3 3* tan arctan

    4 4......................

    *H 3 4 H 5cm

    = =

    =

    = + =

    b. bloque ii01. Determinar x con 4 decimales

    100

    60 30

    x Resolucin:

    100

    60 30

    100cot 30100cot 30

    x 100(cot 60 cot 30

    1 1x 100

    tan60 tan 30x __________

    = +

    = + =

    02. Determinar x con 4 cecimales

    85

    60 30

    x

    )

  • Matemtica I

    Pg. 256 Calidad que se acredita internacionalmente

    Resolucin:

    85

    60 30

    x85cot60

    85 cot30

    x 85(cot 30 cot 60 )

    1 1x 85

    tan 30 tan 60x ..............

    =

    = =

    03. Determinar x con 4 cecimales.

    50

    60

    65

    x

    Resolucin:

    Tringulo I: Tringulo II

    50

    60

    65

    50 csc 601

    50sen60

    57,7350

    =

    =

    =57,7350

    x 57,7350 csc 651

    57,7350sen65

    x .........................

    =

    =

    =

    04. Exprese la longitud a, b, c y d en la figura en trminos de las relaciones trigonomtricas de .

    c

    d

    ab

    1

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 257

    Matemtica I

    Resolucin:

    1

    d=cos

    a=sen

    c=sec

    1

    b=tan

    c. bloque iii01. Distancia al mar. Desde la parte superior de un faro de 120 m, el ngulo de deprresin respecto a un barco

    en el ocano es de 28. Qu tan lejos est el barco desde la base del faro?

    Resolucin:

    28

    28

    120cot28

    1201

    d 120.tan 28

    d ..................

    =

    =

    Respuesta: El barco esta a ..........................................

    02. Escalera apoyada. Una escalera de 15 m se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera est a 6 m de la base del edificio. Cul es el ngulo de elevacin de la escalera? Qu altura alcanza la escalera sobre el edificio?

    Resolucin:

    15

    6

    h

    6*cos

    156

    arc cos15

    ................

    =

    =

    =

    *h 6. tanh 6. tan...........h ....................

    =

    ==

    Rpta: El ngulo de elevacin es de: ..................................................

    La escalera alcanza una altura de: ...........................................

    03. Distancia al Sol. Cuando la luna se encuentra exactamente en la fase de media luna, la Tierra, la Luna y el Sol forman un ngulo recto (vese la figura). En ese momento el ngulo que forman el Sol, la Tierra y la Luna es de 89.85. Si la distancia de la Tierra a la Luna es de 240 000 millas, estime la distancia de la tierra al sol.

    Luna

    Tierra

    Sol

  • Matemtica I

    Pg. 258 Calidad que se acredita internacionalmente

    Resolucin:

    L

    T

    S

    x 89,85

    240 000x=240 000 sec 89,85

    x=..........................

    Rpta.: La distancia de la tierra al sol es de:......................................................

    04. Altura de una cubierta de nubes. Para medir la altura de la cubierta de nubes en un aeropuerto, un trabajador dirige un reflector hacia arriba a un ngulo de 75 desde la horizontal. Un observador a 600 m mide el ngulo de elevacin hasta el punto de luz y encuentra que es de 45. Determine la altura h de la cubierta de nubes.

    45 75

    h

    600m

    Resolucin:

    45 75

    h

    hcot45 hcot75

    h (cot 45 cot 75 ) 600

    1 1h 600

    tan 45 tan75

    h ...........................

    = + =

    + =

    =

    Rpta: La altura de la cubierta de nubes es: ............................................

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    01. Con tus palabras Qu es una razn trigonomtrica?

    02. Sean X e Y dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo. Qu pasa con el seno-coseno; tangente-cotangente y secante-cosecante.

    03. Calcule las razones trigonomtricas de 38.

    04. Bosqueje el tringulo que tiene ngulo agudo , y encuentre las otras cinco relaciones trigonomtricas de . 13

    csc12

    =

    05. Evalen las expresiones:

    a) (cos30)2(sen30)2

    b)

    2

    sen cos sen cos3 4 4 3

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 259

    Matemtica I

    b. bloque ii01. Determinar x con 4 decimales.

    30

    5

    x

    02. Determinar x con 4 decimales

    593m

    x

    03. Si: tan=0,75; es un ngulo agudo. Calcular: sen cos

    Mcsc cot

    + =

    04. Calcular el permetro y el rea de un tringulo rectngulo; si 12

    cot5

    = ( es uno de sus ngulo agudos), si la hipotenusa mide 26 m.

    05. Una escalera de 24 m est apoyada en un ediificio. Si la base de la escalera est separada 7 m de la base del edificio. Cul es el ngulo que forman la escalera y el edificio?.

    c. bloque iii01. ngulo del Sol. Un rbol de 6m proyecta una sombra de 12m de largo. Cul es el ngulo de elevacin del

    Sol?

    02. Clculo de una distancia. Una mujer parada sobre una colina ve un asta de bandera que sabe tiene 14 m de altura. El ngulo de depresin respecto de la parte inferior del asta es 14 y el ngulo de elevacin respecto de la parte superior del asta es de 18. Encuentre la distancia x desde el asta.

    1814 x

    03. Altura de un globo. Un globo de aire caliente flota arriba de una carretera recta. Para estimar su altura respecto al nivel del suelo, los aeronautas miden de manera simultnea el ngulo de depresin respecto a dos postes de kilometraje consecutivos sobre la carretera que los ngulos de depresin son 20 y 22. Cul es la altitud del globo?

  • Matemtica I

    Pg. 260 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Distancia a la Luna. Para hallar la distancia al Sol se necesita conocer la distancia a la Luna. A continuacin se da una manera para estimar esa distancia: cuando se ve que la Luna est en su cenit en un punto A sobre la Tierra, se obeserva que est en el horizonte desde el punto B (vase la figura). Los puntos A y B estn separados 6155 millas, y el radio de la Tierra mide 3960 millas.

    a) Encuentre el ngulo en grados.

    b) Estime la distancia del punto A a la luna.

    Tierra

    Luna

    B

    A

    6155ml

    05. Desde un punto sobre el suelo a 100 m de la base de un edificio, un observador encuentra que el ngulo de elevacin hasta la parte superior del edificio es 24 y que el ngulo de elevacin a la parte superior de un asta de bandera sobre el edificio es 27. Determine la altura del edificio y la longitud del asta.

    Grficas Trigonomtricas1. SabereS PrevioS

    A. ejercicios desArrollAdos01. Construir la grfica de la funcin seno utilizando la tabulacin.

    x f(x) senx0 045 0,707190 1

    180 0270 1360 0

    =

    1

    90 180 270 3600

    1

    y

    x

    02. Construir la grfica de la funcin coseno utilizando la tabulacin.

    x f(x) cos x0 045 0,707190 0

    180 1270 0360 1

    =

    1

    90 180 270 3600

    1

    y

    s

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 261

    Matemtica I

    03. Haciendo uso de la calculadora, encontrar:

    04. Haciendo uso de la calculadora, encontrar:

    05. Haciendo uso de la calculadora, encontrar:.

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    1sen( 40 ) ...................... cot rad ; ........................

    3 tan rad3

    1cos(3) ..................... sec( 5); ....................

    cos( 5)

    tan( 4) ...................... csc(10);

    = = =

    = = =

    =

    1....................

    sen(10)= =

    b. ejercicios propuestos01. Construir la grfica de la funcin f(x)=senx+1 utilizando la tabulacin

    02. Construir la grfica de la funcin f(x)=cosx1 utilizando la tabulacin

    03. Calcular:

    sen60=..........................; tan741=......................; sec343=.....................

    cos170=..........................; cot328=......................; csc541=.....................

    04. Calcular:

    7

    sen8

    =..........................; 7

    tan4

    =......................; 19

    sec9

    =................

    2

    cos5

    =..........................; 5

    cot9

    =......................; 3

    csc7

    =..................

    05. Calcular:

    sen( 6) =..........................; 3

    tan4

    =......................; sec( 36 ) =.................

    cos( 9) =..........................; cot( 1) =......................; csc( 148 ) =...............

    2. FuNciN trigoNomtrica Se denomina FUNCIN al conjunto de pares ordenados (x,y), tal que la primera componente x es la medida de un

    ngulo cualquiera en radianes y la segunda componente y es la razn de x.

    Es decir: F.T. = {(x,y) / y = R.T.(x)}

  • Matemtica I

    Pg. 262 Calidad que se acredita internacionalmente

    Dominio y rango de una funcin

    Si tenemos una funcin trigonomtrica cualquiera:

    y = R.T.(x)

    * Se llama DOMINIO(DOM) de la funcin al conjunto de valores que toma la variable x. DOM = {x / y=R.T.(x)}* Se llama RANGO(RAN) de la funcin al conjunto de valores que toma la variable y. RAN = {y / y=R.T.(x)}Recordar lgebra

    La grfica corresponde a una funcin y = F(x) donde su DOMINIO es la proyeccin de la grfica al eje X y el RANGO es la proyeccin de la grfica al eje Y.

    DOM(F) = [x1 ;x2] RAN(F) = [y1 ;y2]

    y

    y2

    y1

    x1 x2

    RANGO

    DOMINIO

    Grfica de y=f(x)

    FUNCIN PAR: Una funcin f es par si: f(x) = f(x), donde x dominio de la funcin.

    Ejemplos:

    * y = f(x) = cosx; probando: si f(x) = cos(x) = cos(x) = f(x), por lo tanto es una funcin par.

    * y = f(x) = x2 es una funcin par, verifcalo usando la definicin.

    FUNCIN IMPAR: Una funcin f es impar si:

    f(x) = f(x), donde x dominio de la funcin.

    Ejemplos:

    * f(x) = senx, si y = f(x) = f(x), x (x) donde x dominio de la funcin.

    * y = f(x) = x3, es una funcin impar, verifcalo usando la definicin.

    FUNCIN CRECIENTE: Una funcin es creciente en un intervalo l de su dominio, si para todo par de nmeros x1 y x2 se cumple:

    x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2)

    Ejemplos:

    Y = f(x) = x4, para x > 0 es una funcin creciente.

    FUNCIN DECRECIENTE: Una funcin es decreciente en un intervalo l de su dominio, si para todo par de nmeros x1 y

    x2 se cumple:

    x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2)

    FUNCIN PERIDICA: Una funcin f es peridica, si existe un nmero T0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple:

    Al menor nmero positivo T se denomina periodo mnimo o simplemente periodo

    F(x+T) = f(x)

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 263

    Matemtica I

    funciones triGonomtricAs Una funcin trigonomtrica, F.T., es el conjunto no vaco de pares ordenados (x;y) tal que la primera componente y es un

    arco en posicin normal expresado en radianes y la segunda componente y es el valor de la razn trigonomtrica (R.T.) de dicho arco de la C.T.

    F.T.={(x;y) R2 / y =R.T.(x)}

    Donde R.T., puede ser: sen, cos, tan, cot, sec o csc.

    Propiedad 1: Si se tiene la funcin trigonomtrica.

    y AsenBxy A cos Bx

    = =

    A: amplitud T: perodo

    Su periodo se obtiene a partir de la relacin:

    2T

    |B|

    =

    sea:

    f(x)=AF.T.(Bx+C)+D

    amplitud |A|2

    seno o cos eno perodo|B|

    |B|frecuencia

    2

    =

    =

    =

    FUNCIN SENO:

    f = seno={(x;y)/y = senx; x R y [-1;1]

    /2 3 /2 20

    1

    1

    y=f(x)=senx

    SINUSOIDE

    y

    x

    Del grfico de la funcin se observa que:

    * Dominio: Dom f = R, Rango: Ran f =[1;1] , 1 senx 1

    * Si P(x0;y0) y= senx y0 = senx0* Es una funcin impar porque sen(x) = senx * Funcin Creciente y Decreciente, adems es continua y su periodo es 2.

    FUNCIN COSENO:

    f = coseno = {(x;y) / y = cosx; x R y [1;1]}

  • Matemtica I

    Pg. 264 Calidad que se acredita internacionalmente

    /2 3 /2 20

    1

    1

    y=f(x)=cosx

    COSINUSOIDE

    y

    x

    Del grfico de la funcin se observa que:

    * Dominio: Dom f= R, Rango: Ran f =[1;1] , 1 cosx 1

    * Si P(x0;y0) ; y = cosx y0 = cosx0* Es una funcin par porque cos(x) = cosx* Funcin Creciente y Decreciente, adems es continua y su periodo es 2.

    3. ejercicioS reSueltoS A. bloque i

    01. Al construir la grfica de f(x)=2senX, dar los intervalos de crecimiento en su primer periodo.

    2

    0

    2

    2 3

    2 2

    Intervalo donde crece:

    Intervalo donde decrece:

    y

    x

    02. Al construir la grfica de f(x)=2cosX, dar los intervalos de crecimiento en su primer periodo.

    3

    0

    3

    2 3

    2 2

    Intervalo donde crece:

    Intervalo donde decrece:

    y

    x

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 265

    Matemtica I

    03. Grafique la funcin: f(x)=1+cosx

    Resolucin:

    I, cosx II. cosx+1

    1

    0

    1

    2 3

    2 2

    2

    1

    02 3

    2 2

    04. Grafique la funcin: f(x)=2+senx Resolucin: Sea: f(x)=senx2 I. senx II. senx2

    1

    0

    1

    2 3

    2 2

    1

    2

    02 3

    2 2

    3

    b. bloque ii01. Graficar las funciones (ver amplitud)

    g(x)=3senx h(x)=2senx

    0

    0

    02. Graficar las funciones (ver amplitud)

    P(x)=2cosx R(x)=cosx

    0

    0

  • Matemtica I

    Pg. 266 Calidad que se acredita internacionalmente

    03. Grafique las funciones (ver perodo de una funcin)

    a) x

    f(x) 2sen2

    = n) 2x

    f(x) 3cos3

    =

    *=2senx * =-3cosx

    0 2

    0 2

    * calculamos perodos x

    2sen2

    = * calculamos perodo2x

    3cos3

    =

    0 4

    0 3

    04. Grafique las funciones (ver desface)

    a) T(x) sen x 16 =

    b)

    2xH(x) 3cos 2

    3 12 = + +

    * =2senx * 2x

    3cos3

    =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 267

    Matemtica I

    * =23sen x6 =

    *

    2x3cos

    3 12 = +

    * 2sen x 16

    =

    * 2x

    3cos 23 12

    = + +

    1

    2

    El rango es: ................................... El rango es: .......................................

    c. bloque iii01. Altura de una onda. Cuando una ola pasa por los pilotes fuera de la playa, la altura del agua est

    modelada mediante la funcin.

    h(t) 3cos t10 =

    donde h(t) es la altura en pies por arriba del nivel medio del mar en el tiempo t segundos.

    a) Determine el perodo de la ola.

    b) Calcule la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valle y la cresta de la ola.

    Resolucin:

    a)

    b) amplitud = 3 pies (h=2 x amplitud) h=6 pies

    02. Vibraciones sonoras. Se golpea un diapasn, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Las vibraciones se modelan con la funcin.

    v(t) 0.7sen(880 t)=

    donde v(t) es el desplazamiento de la spuntas en milmetros en el tiempo t segundos.

    a) Determine el perodo de la vibracin..

    b) Calcule la frecuencia de la vibracin, es decir, la cantidad de veces que vibra por segundo el diapasn.

    c) Grafique la funcin v.

  • Matemtica I

    Pg. 268 Calidad que se acredita internacionalmente

    Solucin:

    a) 2 1 2

    T T s T880 440 |B|

    = = =

    b) frecuencia= 880 4402

    =

    1880 |B|; 440 s f

    2 2n = =

    c)

    0 1440

    0,7

    0,7

    03. Un corcho flotante.- Un corcho que flota en un lago est sometido a movimiento armnico simple. Su desplazamiento por arriba del fondo del lago est expresado por:

    y 0.2cos 20 t 8= +

    donde y est en metros y t en minutos.

    a) Calcule la frecuencia del movimiento del corcho.

    b ) Grafique y

    c) Encuentre el desplazamiento mximo del corcho por arriba del fondo del lago.

    Solucin:

    a) Frecuencia= 120 B

    ; 10 s f2 2

    = = b)

    8

    0t

    y

    c) hmx = 8 + hmx =

    04. Seales FM de radio. La onda portadora para una seal FM de radio est expresada mediante la funcin.

    y=a sen(2(9.15107)t)

    donde t est en segundos. Calcule el perodo y la frecuencia de la onda portadora.

    a) 72 2

    Perodo ; ................... TB2 9.15 10

    = = =

    b) 72 9.15 10 B

    Frecuencia ; ................... f2 2

    = = =

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 269

    Matemtica I

    4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

    01. Al construir la grfica de f(x)=2senx3, dar los intervalos de decrecimiento en su primer periodo.

    02. Al construir la grfica de f(x)=43senx, dar los intervalos de decrecimiento en su primer periodo.

    03. Encontrar la regla de formacin de: f(x)=Asen(Bx)

    0 43

    3

    3

    04. Encontrar la regla de formacin de: f(x)=AcosBx

    0 56

    2

    2

    05. Encontrar la regla de formacin de: f(x)=Asen(Bx)+C

    0

    2

    4

    3

    b. bloque ii01. Determinar los parmetros y graficar la funcin:

    f(x)=2sen7x

    02. Determinar los parmetros y graficar la funcin:

    g(x) 4 cos 4x

    3 =

    03. Determinar los parmetros y graficar la funcin:

    P(x) 2sen x 1

    9 = +

  • Matemtica I

    Pg. 270 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Determinar los parmetros y graficar la funcin:

    Q(x) 3 cos 2x

    4 =

    05. Determinar los parmetros y graficar la funcin:

    H(x) 5 3sen 2x

    5 =

    c. bloque iii01. Una boya que flota en el mar est sometido a movimiento armnico simple. Su desplazamiento por arriba del

    fondo del mar est expresado por:

    f(t) 3sen(20 t) 28= +

    donde y est en metros y t en minutos

    a) Calcule la frecuencia del movimiento de la boya

    b) Grafique y

    c) Encuentre el desplazamiento mximo de la boya por arriba del fondo del mar.

    02. En un modelo de predador/presa, la poblacin del predador se modela mediante la funcin:

    y = 900cos 2t + 8000

    donde t se mide en aos.

    a) Cul es la poblacin mxima?

    b) Determine el tiempo entre perodos sucesivos de poblacin mxima.

    03. Determine la amplitud, perodo y desplazamiento de la fase de:

    3 2y cos 2x

    4 3 = +

    y grafique un perodo completo..

    04. Las estrellas variables son aquellas cuya brillantez vara en forma perodica. Una de las ms visibles es Lenidas R, su brillantez est modelada por la funcin.

    donde t se mide en das:

    b(t) 7.9 2.1cos t156

    =

    a) Calcule el perodo en das.

    b) Determine la brillantez mxima y la mnima

    c) Grafique la funcin b.

    05. Cada vez que el corazn late, la presin de la sangre se incrementa primero y luego disminuye cuando el corazn descansa entre latido y latido. Las presiones mxima y mnima se llaman presiones sistlica y diastlica, respectivamente, La presin sangunea de una individuo se expresa como presin sistlica/diastlica. Se considera normal una lectura de 120/80.

    La presin sangunea de una persona est modelada por la funcin:

    P(t)=115+25sen(160t)

    donde p(t) es la presin en milmetros de mercurio (mmHg) cuando el tiempo t se mide en minutos.

    a) Determine el perodo de p.

    b) Calcule el nmero de latidos por minutos.

    c) Grafique la funcin p.

    d) Determine la lectura de la presin sangunea. Cmo es comparada con la presin sangunea normal?

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 271

    Matemtica I

    Funciones Trigonomtricas y Trigonometra Analtica

    Semana 17

    1. SabereS PrevioSA. ejercicios desArrollAdos

    01. Si P(- 3,- 4) es un punto del lado terminal del ngulo en posicin normal, determina el valor de: 3. sen . tan .sec .

    02. Determinar el valor de la siguiente expresin: sen60 tan 45cos 60 tan 45

    +

    .

    03. Si sen>0 y cos

  • Matemtica I

    Pg. 272 Calidad que se acredita internacionalmente

    Restricciones

    nsen 2tan ,cos n

    cos ncot ,

    sen n

    =

    =

    * Identidades pitagricas

    2 2 2 2 2 2sen cos 1 1 tan sec 1 cot cos ec + = + = + =

    * Identidades cofunciones

    sen cos cos sen2 2

    tan cot cot tan2 2

    sec cos ec cos ec sec2 2

    = =

    = =

    = =

    * Identidades par/impar

    sen( ) sen cos( ) cos tan( ) tancos ec( ) cos ec sec( ) sec cot( ) cot

    = = = = = =

    Para verificar una identidad trigonomtrica, se transforma uno de los miembros de la igualdad (cualquiera de los dos) en el otro. Por lo general, se comienza por el miembro ms complicado.

    3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

    Utilice las identidades fundamentales para simplificar la expresin dada:

    1.

    2 2

    22

    2

    2 22

    2

    2 2

    cos (1 tan )

    sencos 1

    sen

    cos sencos

    cos

    cos sen1

    +

    +

    +

    + =

    Identidades por divisin

    Efectuando operaciones

    SimplificandoIdentidades pitagricas

    2.

    1 cos1 sec1 cos

    11

    cos1 cos cos

    (1 cos )cos 1 cos 1

    coscos

    + + +

    +

    + = + + +

    =

    Identidades por divisin

    Efectuando operaciones

    Simplificando

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 273

    Matemtica I

    3.

    cos sec2

    sen .sec

    1sen

    costan

    =

    Identidades cofunciones

    Identidades recprocas

    Identidades por divisin

    4.

    2

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2

    2 2

    2 2

    2 tan1

    sec1 1 tan

    1sec

    1 1 tan1

    sec sec1 sec

    1sec sec

    1 11 1

    cos sec

    +

    + +

    + +

    +

    + =

    Identidades pitagrcias

    Efectuando operaciones

    Identidades pitagricas

    Simplificando y reduciendo

    b. bloque ii01. Demostrar que: 2 2 2sen .cot 1 sen =

    22

    2

    2

    2

    cossen

    sen

    cos

    1 sen

    Identidades por divisin

    Simplificando

    Identidades pitagricas

    02. Demostrar que: tan cot sec .cos ec + =

    2 2

    sen coscos sensen cos

    cos .sen1

    cos .sen1 1

    .cos sensec .cos ec

    +

    +

    Identidades por divisin

    Efectuando operaciones

    Identidades pitagricas

    Identidades recprocas

    03. Demostrar que: cos ec cot .cos sen =

    2 2

    2

    1 cos.cos

    sen sen1 cos 1 cos

    sen sen sensensen

    sen

    =

    Identidades recprocas y por divisin

    Efectuando operaciones

    Identidades pitagricas

    Simplificando

  • Matemtica I

    Pg. 274 Calidad que se acredita internacionalmente

    04. Demostrar que: 21 sen

    (sec tan )1 sen

    =

    +

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    (1 sen )(1 sen )(1 sen )(1 sen )

    (1 sen )1 sen(1 sen )

    sen

    (1 sencos

    1 sencos cos

    (sec tan )

    +

    Multiplicando N y D por un factor

    Efectuando operaciones

    Identidades pitagricas

    Efectuando operaciones

    Repartiendo el N

    Identidades recprocas y por divisin

    c. bloque iii

    01. Verificar la identidad: cos

    sec tan1 sen

    = +

    Identidades recprocas y por divisin

    Efectuando operaciones

    Simplicando

    Identidades pitagricas

    Simplificando

    Efectuando operaciones

    2

    2

    2

    1sen

    sencos

    cossen

    sen 1sen

    cos .sen cossen

    sen 1cos (sen 1)

    coscos (sen 1)

    cossen 1

    cos1 cos

    02. Verificar la identidad: cos sen cos ec1 sen cos cot

    =

    Identidades recprocas y por divisin (1M)

    Efectuando operaciones

    Simplicando

    Identidades pitagricas

    Simplificando

    Efectuando operaciones (1M)

    2

    2

    1sen

    sencos

    cossen

    sen 1sen

    cos .sen cossen

    sen 1cos (sen 1)

    coscos (sen 1)

    cossen 1

    cos1 cos

  • Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 275

    Matemtica I

    03. Verificar la identidad: cot 1 1 tancot 1 1 tan

    + + =

    cos1

    sencos

    1sencos sen

    sencos sen

    sencos sencos sen

    1(cos sen )

    cos1

    (cos sen )cos

    sen1

    cossen

    1cos

    1 tan1 tan

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Identidades por divisin

    Efectuando operaciones

    Simplificando

    Multiplicando N y D por un factor

    Identidades por divisin

    Efectuando operaciones

    04. Verificar la identidad: (sen tan )(cos cot ) (cos 1)(sen 1) =

    sen cossen cos

    cos sensen .cos sen cos 1cos (sen 1) (sen 1)(cos 1)(sen 1)

    +

    Identidades por divisin

    Efectuando operacionesFactorizandoFactorizando

    4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

    01. sen .sec .cot

    02. 1 sen cos

    cos 1 sen+

    + +

    4 2 4 2sec sec tan tan = +

    03. 21

    tan 1 +

    04. cos

    tan1 sen

    +

    +

    05. sec cos

    sen

  • Matemtica I

    Pg. 276 Calidad que se acredita internacionalmente

    b. bloque ii01. Demostrar que:

    1 sen coscos 1 sen

    = +

    02. Demostrar que:

    4 2 4 2sec sec tan tan = +

    03. Demostrar que:

    (cot cos ec )(cos 1) sen + =

    04. Demostrar que:

    22

    2

    1 sec1 cos

    1 tan+

    = + +

    05. Demostrar que:

    4 4 2 2sec tan sec tan = +

    c. bloque iii01. Verificar la identidad:

    2

    2 2 2

    1 tan 11 tan ) cos sen

    + =

    02. Verificar la identidad:

    (cot cos ec )(cos 1) sen + =

    03. Verificar la identidad:

    3 3sen cos1 sen .cos

    sen cos +

    = +

    04. Verificar la identidad:

    1 12sec

    sec tan sec tan+ =

    + 05. Verificar la identidad:

    tan tantan . tan

    cot cot +

    = +

  • BSICA

    JAMESSTEWART, Lothar ySaleemWatson.Prcalculo:Matemticasparaelclculo.QuintaEdicin.Mxico:CengageLearning,2007.BibliotecaUCCI:512.13-S79-2007.2007.

    COMPLEMENTARIA

    Demana, Franklin y otros. Preclculo: grficas, numrico, algebraico.Sptima edicin; Editorial Pearson educacin; Mxico; 2007. CdigobibliotecaUCCI:512.13D562007.

    LarsonyHostetler.Preclculo;Sptimaedicin;editorialreverte;China.2008.

    Peterson, John. Matemticas bsicas: Algebra, trigonometra ygeometraanaltica;Tercerareimpresin;EditorialCECSA;Mxico.2001.

    Zill,DennisyDewar,Jacqueline.Preclculoconavancesdeclculo;Cuartaedicin;Editorial;McGrawHill;Colombia;2008.

    Alberto Venero.MatemticaBsica. Per: EditorialGema; 1998; pg.656.CdigobibliotecaUCCI:511V45.

    RicardoFigueroa.MatemticaBsica I.Octavaedicin.Per:EditorialAmerica,1998.pg.700.CdigobibliotecaUCCI:511F49-1998.

    Paul, Ernest F. Haeussler y Jr. Richard S. Matemticas paraadministracin,Economa,CienciasSocialesydelaVida.Octavaedicin.Mexico:PrenticeHall,2000.pg.941.CdigobibliotecaUCCI:519H14.

    Ramos,EduardoEspinoza.MatemticaBsica.Segundaedicin.Per:EditorialServiciosGraficosJ.J,2005.pg.784.CdigobibliotecaUCCI:511E882005.

    Tan,S.T.MatemticasparaadministracinyEconoma.Mxico:ThomsonEditores,2000.pg.784.CdigobibliotecaUCCI:519T19.