Marrazketa Teknikoa Batxilergoa 2

  • Published on
    18-Feb-2016

  • View
    259

  • Download
    1

DESCRIPTION

Marrazketa Teknikoa Batxilergoa 2

Transcript

  • MARRAZKETATEKNIKOA

    Batxilergoa 2

    Rafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles Garca

    Jos Antonio Oriozabala

    erein

  • Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2004-12-17)

    Azalaren diseinua:Iturri

    Diseinua eta maketazioa:IPAR

    Marrazkiak:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garca, Jos Antonio Oriozabala

    Euskararen arduraduna:Rosetta

    Testua:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garca, Jos Antonio Oriozabala

    EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia

    ISBN: 84-9746-121-5

    L.G.:

    Inprimategia:Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)

  • Marrazketa teknikoaBatxilergoa 2

    Rafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles Garca

    Jos Antonio Oriozabala

    EREIN

  • AURKIBIDEA

    1.- Geometria deskribatzailearen hasi-masiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Oinarrizko elementuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Oinarrizko forma geometrikoak. Sailkapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Transformazioen biderkadura. Inboluziozko transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . 11Kongruentzia. Berdintasuna eta isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Intzidentzia edo determinazio-erlazioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ordenazio- eta bereizkuntza-erlazioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Proiekzio-eragiketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Biraketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Perspektibotasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Lehengo kategoriako formen arteko proiektibotasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.- Homologia, afinitatea eta homotezia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Afinitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Homotezia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.- Potentzia eta inbertsioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Puntu baten potentzia zirkunferentzia batekiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Erro-ardatza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Hiru zirkunferentziaren erro-zentroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Inbetsioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4.- Ukitzeak potentzia- eta inbertsio-kontzeptuen aplikazio gisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ukitzeak potentzia-kontzeptua aplikatuz ebaztea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ukitzeak inbertsio-kontzeptua aplikatuz ebaztea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5.- Kurba ziklikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Kurba ziklikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    6.- Sistema diedrikoko metodoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Bista laguntzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Egiazko magnitudea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Kokaera egokiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Eraispenak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Biraketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    7.- Paralelotasuna eta perpendikulartasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Paralelotasuna, baldintzak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Perpendikulartasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    8.- Elkarguneak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Zuzenen artekoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Zuzenaren eta planoaren artean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Planoren artean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    9.- Distantziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Bi punturen arteko distantzia. Zuzenki baten egiazko magnitudea . . . . . . . . . . . 95Puntuaren eta planoaren arteko distantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Puntuaren eta zuzenaren arteko distantzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Bi zuzen paraleloren arteko distantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    5

  • Elkar gurutzatzen duten zuzenen arteko distantzia txikiena . . . . . . . . . . . . . . . . 97Plano paraleloen arteko distantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    10.- Gorputz trinkoak eta gainazalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Gainazalen sailkapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Poliedro erregularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Gainazal erradiatuak mugatutako gorputz trinkoen irudikapena . . . . . . . . . . . . 105Biraketa-gainazalaren aurkezpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Itzalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    11.- Gainazalen ebakidurak eta garapenak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Ebakidurak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Garapenak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    12.- Sistema axonometriko ortogonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Oinarriak. Laburtzapen-koefizienteak eta angeluak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Perspektiba-motak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Puntuaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Zuzenaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Planoaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Puntuak eta zuzenak planoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Zuzenen eta planoen arteko paralelotasuna eta perpendikulartasuna . . . . . . . . 146Zuzenen eta planoen arteko elkarguneak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    13.- Gorputz poliedrikoen eta biraketazko gorputzen irudikapenaaxonometria ortogonalean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Irudi panoak triedro zuzenaren aurpegietan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Ardatzak perspektiba isometrikoan marrazteko modua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Gorputz prismatikoak, piramidalak, zilindrikoak eta konikoak . . . . . . . . . . . . . 154Planoek erazten dituzten sekzioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Egiazko neurriak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    14.- Itzalak axonometria ortogonalean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Oinarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Argi naturala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Argi artifiziala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    15.- Sistema axonometriko zeiharra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Oinarriak. Angeluak eta laburtzapen-koefizienteak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Puntuaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Zuzenaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Planoaren irudikapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Puntuak eta zuzenak planoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Paralelotasuna, perpendikulartasuna, elkarguneak, ebakidurak eta itzalak. . . . . 171Gorputz prismatikoak, piramidalak, zilindrikoak eta konikoak . . . . . . . . . . . . . 171Egiazko magnitudeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    16.- Perspektiba konikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Sistema konikoaren oinarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Definizioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Perspektiba koniko desberdinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    6

  • 17.- Marrazketa-prozedurak sistema konikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Zuzeneko prozedura edo begi-lerroena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Perspektiba konikoaren ezaugarri nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Ihes-puntuen bidezko prozedurak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Irudi poligonal planoak marrazteko modua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Lur-lerroaren paralelo diren zuzenkientzako zabaltasun-eskala . . . . . . . . . . . . . 186Plano geometralari buruz perpendikularrak diren zuzenkientzakoaltuera-eskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Marrazkien planoari buruz perpendikularrak diren zuzenkientzakosakontasun-eskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Distantzia-puntuen bidezko prozedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Marrazkien planoari buruz zeiharrak diren zuzenkientzako sakontasun-eskala . 195Neurri puntuen bidezko prozedura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Perspektiba konikoan parametroek duten eragina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Plano inklinatuak eta muga-lerroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Kurba planoak nola marraztu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    18.- Itzalak sistema konikoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Hasi-masiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Argi naturala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Argi artifiziala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    19.- Akotazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Printzipioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Koten sailkapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Piezak formen eta neurrien arabera kokatzeko modua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Akotazio-arauak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

    20.- Gainazal-akaberak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Gainazaleko errore-motak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Zimurtasuna nola neurtzen den. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Zimurtasuna planotan nola adierazten den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Gomendatzen diren gainazal-akaberak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    21.- Perdoiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Neurriari dagozkion perdoiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Doikuntzak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Geometriazko perdoiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

    22.- Elementu mekanikoen irudikapen normalizatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Lotura-elementuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Errodamenduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Gurpil horzdunak eta engranajeak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Malgukiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

    7

  • 9Irudi geometriko guztiak oinarrizko elementu batzuez daude osatuta, etaelementu horiek ezaugarri geometrikoak esaten zaien lotura batzuenbidez elkarrekin loturik daude. Ezaugarri horien artean ezaugarri metri-koak eta ezaugarri grafikoak nabarmendu behar dira, batez ere.

    Ezaugarri metrikoak Geometria Metrikoaren gaia dira; neurri-kontzep-tuari dagozkio; ezaugarri grafikoetan, berriz, ez da sartzen neurri-kon-tzepturik; puntuek, zuzenek eta planoek elkarri buruz duten kokaeraridagozkio, eta Geometria Proiektiboaren gaia dira.

    Irudi espazialak osatzen dituzten elementuak bata bestetik atera daitez-ke, baina horietako batzuk oinarrizkotzat definitu behar izaten dira beti.Geometriaren oinarrizko elementuak puntua, zuzena eta planoa dira.Oinarrizko elementuok adiera zabalagoa dute Geometria proiektatzaile-an Geometria metrikoan baino, orain puntu, zuzen eta plano propioeiizen partikularrak ematen baitzaizkie, elementu inpropio edo infinitukodeituak ere badirela onartzen denez geroztik.

    Puntu inpropio edo infinituko puntu deituko diogu zuzen baten no-ranzkoari eta, halaxe, zuzen paralelo guztiek puntu komun bat dutelaesango dugu: beren puntu inpropioa.

    Plano baten puntu inpropioen multzoari zuzen inpropio edo infinitukoadeitzen zaio, eta plano horren paralelo diren plano guztien elementukomuna da.

    Espazioko zuzen inpropio guztien multzoari plano inpropio edo infini-tuko plano deitzen zaio, eta hark ere, horrenbestez, espazioko puntuinpropio guztiak biltzen ditu bere baitan.

    1.Geometria deskribatzailearenhasi-masiak

    Marrazketa teknikoa

    Oinarrizkoelementuak

    Oinarrizko formageometrikoak.Sailkapena

    Oinarrizko forma geometrikoak oinarrizko infinitu elementu geometriko(puntu, zuzen, plano) dituzten multzo jarraituak dira, non elementu geo-metriko horiek beren artean barnekotasun-baldintza jakin batzuk bete-tzen dituzten.

    Oinarrizko elementu geometrikoak kontuan hartuta, hiru taldetan sail-katzen dira forma geometrikoak:

  • Bi motatako elementuz (puntuz eta zuzenez, edo zuzenez eta planoz)osatuta daudenak dira. Talde honetako oinarrizko formak hauek dira:

    Mota bakarreko elementuz (puntuz, edo zuzenez, edo planoz) osatutadaudenak dira. Lehenengo kategoriako oinarrizko formak hiru dira:

    Serie lerrozuzena, zuzen bateko infinitu puntuk osatua. Zuzen horriseriearen oinarria deitzen zaio. (1. irud.)

    10

    Lehenengokategoriakooinarrizko formak

    A

    B

    C

    D

    r

    Zuzen-sorta, izpi-sorta eta erradiazio-plano ere deitua, plano bateko Vpuntutik igarotzen diren plano horretako infinitu zuzenek osatua. Zuzenhoriek dauden planoari sortaren oinarria deitzen zaio, eta V puntukomunari sortaren zentro edo erpin. (2. irud.)

    1. irud.

    r V

    s

    m

    n

    p

    q

    2. irud.

    Plano-sorta, sortaren ertz deitzen zaion zuzen batetik igarotzen direninfinitu planok osatua. (3. irud.)

    r

    3. irud.

    Bigarrenkategoriakooinarrizko formak

  • 11

    1. Geometria deskribatzailearen hasi-masiak

    a

    m

    n

    q

    A

    BC

    D

    n

    q

    m

    V

    4. irud.

    5. irud.

    Espazioko infinitu puntu, zuzen eta planoen multzoa.Hirugarrenkategoriakooinarrizko formak

    Transformaziogeometrikoak

    Transformazio-kontzeptua eragiketa, erlazio, egokitasun eta abarrenbaliokidea da. Transformazio guztietan f forma bateko A puntu bakoi-tzari A puntu bat dagokio, eta bat bakarrik, f forman, eta alderantziz.Hala, transformazioak dira, esate baterako, 6. irudiko translazioa, 7. iru-diko biraketa, 8. eta 9. irudietako simetria zentrala eta ardatz-simetria.

    A

    B

    C

    A

    C

    B

    6. irud.

    Forma planoa. Plano batosatzen duten puntu etazuzen guztien multzoa. (4.irud.)

    Erradiazioa. Erradiaziozentro edo erpin deitzenden V puntu batetik iga-rotzen diren infinitu zuzeneta planoek osatua. (5.irud.)

    B

    C

    A

    O

    B

    C

    a

    A

    C

    B

    A

    O

    C

    B

    A

    8. irud.

    B

    C

    A

    a

    B

    C

    A

    9. irud.

    7. irud.

  • Bi irudi zurrun mugimendu batez elkarren gainera ekarriz bat badatozkongruenteak direla esaten da.

    Bi irudi kongruente berdinak dira beti, baina baliteke bi irudi berdin ez iza-tea kongruenteak, baldin eta planoan edo espazioan ez bada biak elka-rrekin adostaraziko dituen mugimendurik. Ardatzaren araberako simetriada bi irudi berdinak izan baina planoan kongruenteak ez diren kasu bat.Antzeko gauza gertatzen da espazioan bi eskuekin. Elkarren ispilu-irudiakdira baina ez dira kongruenteak. Eskuaren ahurra eta eskugaina kontuanhartuz gero, ez dago biak berdinduko dituen mugimendurik.

    Transformazio batean puntu homologoen arteko distantzia mantentzenbaldin bada, AB=AB zuzenkien arteko berdintasuna gertatzen badaalegia, transformazio horri isomeria deitzen zaio. Horrez gainera no-ranzkoa ere gordetzen baldin bada isomeria adostua deitzen zaio, etabestela, isomeria adostu gabea.

    Definizioak:

    f-ko A elementu bakoitzari f-eko A elementu bana dagokion f-tikf-erako transformazioari transformazio uniboko deitzen zaio. Horrez gai-nera, f-eko A elementu bakoitza f-ko A baten transformatua baldin bada,transformazio biunibokoa deitzen zaio. f-etik f-rako transformazioarialderantzizko edo elkarrekiko deitzen zaio, eta f-n zein f-en elkarri ego-kitzen zaizkion puntuei, zuzenei eta gainerakoei homologo deitzen zaie.Translazioa, biraketa, simetria, transformazio biunibokoak dira guztiak.

    Forma bat beregain transformatzen baldin bada, eta elementu transfor-matuek ere jatorrizkoek elkarrekiko zuten kokapen berbera baldin badu-te, transformazio horri transformazio adostua deitzen zaio. Jatorrizkoakez bezalako elkarrekiko kokapena badute, adostu gabea deitzen zaio.Translazioa, biraketa eta simetria zentrala transformazio adostuak dira.Ardatzaren araberako simetria, transformazio adostu gabea da.

    Bere transformatuarekin bat datorren elementuari elementu bikoitz dei-tzen zaio. Simetria zentralean, O puntua puntu bikoitza da, eta ardatza-ren araberako simetrian, e ardatzeko puntuak bikoitzak dira.

    Puntu guztiak bikoitzak badira, transformazio hori identitate bat delaesaten da. 360-ko biraketa identitate bat da.

    12

    1. Geometria deskribatzailearen hasi-masiak

    Transformazioenbiderkadura.Inboluziozkotransformazioa

    A eta A elementu homologoak dituen transformazioaren bitartez f formabat beste f forma bat bihurtzen bada, eta A eta A elementu homologoakdituen beste transformazio geometriko baten bitartez f forma f bihurtzenbada, f forma f bihurtzen duen transformazioari, A eta A elementu homo-logotzat dituenari, aipatutako bi transformazioaren biderkadura esaten zaio.

    Bi transformazio berdin jarraian eginez lehenengo formaren erabat berdinaden beste forma bat ateratzen bada, biderkadura-transformazio horri inbo-luziozko transformazio deitzen zaio. 10. irudiko simetria zentralean, O zen-troaren gain bi simetria aplikatuz, lehenengo simetrian A puntua A puntuabihurtzen da, eta bigarren simetrian A puntua A puntua bihur-tzen da, Apuntuarekin bat datorrena, eta inboluziozko transformazioa da, horrenbes-tez, bi simetrien biderkadura.

    A

    A

    1

    O A

    2

    10. irud.

    Kongruentzia.Berdintasunaeta isomeria

  • 13

    Intzidentzia- edodeterminazio-erlazioak

    Intzidentzia hitza barnekotasunaren edo determinazioaren sinonimoa daalor honetan. Izen desberdineko bi elementuk batak bestearekiko barne-kotasuna dutela esango da lehenengoa bigarrenaren baitan dagoeneanedo bigarrena lehenengotik igarotzen denean. Zuzen bat plano batekoadela esateak, adibidez, zuzen hori planoan dagoela edo planoak zuzenhori bere baitan duela edo planoa zuzenetik igarotzen dela esan nahi du.Intzidentzia-erlazioak hauek dira:

    Ordenazio-eta bereizkuntza-erlazioak

    Puntu inpropioaren definizioaz AB zuzen batek I puntu inpropio batbakarra badu, definizio horrexen arabera, har daiteke zuzen hori infini-tuko puntuan ixten den erradio infinituko kurbatzat, eta hala, zuzen har-tan A puntu bat emanik, ibil daiteke zuzen guztia puntu inpropiotik iga-roz eta berriro A-ra itzuliz. Horri deitzen zaio puntuek zuzen proiekti-boan duten antolamendu natural edo zirkularra.

    11. irudian egiazta daiteke A puntu bat jatorritzat hartu eta noranzko batfinkaturik, erabakita geratzen dela zuzen horretako M eta N edozeinpuntu pareren ordenamendua. Geziaren zentzuan M N-ren aurretikdator edo N M-ren ondoren dator.

    Zuzena A eta B puntuetatik ebakitzen bada (12. irud.), bi zuzenki ager-tzen dira: A eta B muturrak dituen zuzenki finitua, eta B eta A muturrakzituen zuzenki infinitua. Lehenengoak puntu propioak ditu eta bigarre-nak puntu propioak eta zuzenaren puntu inpropioa ditu. Bi zuzenkiakbereizteko zuzenki bakoitzean hirugarren puntu bat markatu beharkoda: hala, 13. irudian, ACB (edo BCA) zuzenkia zuzenki finitua da etaADB (edo BDA) zuzenkia zuzenki infinitua. Horietako bakoitzari beste-aren osagarri deitzen zaio.

    Azkenik, C eta D elementuak zuzenki osagarri banatan baldin badaude(13. irud.), AB eta CD pareak bananduta daudela esaten da, eta C eta Dzuzenki berean badaude, bi pare horiek ez daudela bananduta esaten da.

    A B

    M

    N

    I

    11. irud.

    A B

    I I

    12. irud.

    I IA C B D

    13. irud.

    Bi puntu desberdinek bi puntu horiek berak bere baitan hartzen dituen zuzen bat zehaztendute. Plano bereko bi zuzen desberdinek bietan dagoen puntu bat zehazten dute. Bi plano desberdinek bien baitan duten zuzen bat zehazten dute. Zuzen berekoak ez diren hiru puntuk hirurak bere baitan dituen plano bat zehazten dute. Sorta berekoak ez diren hiru planok, hiruren baitan dagoen puntu bat zehazten dute. Elkarrekiko barnekotasunik ez duten puntu batek eta zuzen batek biek barnean dituenplano bat zehazten dute. Elkarrekiko barnekotasunik ez duten plano batek eta zuzen batek biek barnean duten puntubat zehazten dute.

  • 14

    V

    V

    M

    N

    a b c

    15. irud. 16. irud.

    plano batez ebakitzea s zuzen bat plano batez ebakitzea, s-ren eta -ren arteko I ebakidura,elkargune edo traza ere deitu ohi dena, bilatzea da. (17. irud.)

    plano bat beste plano batez ebakitzea, -ren eta -ren arteko i traza edo elkargunea bilatzea da. (18. irud.)

    Planoz eta zuzenez osatutako irudi bat plano batez ebakitzea, zuzeneta plano horiek planoan elkargunea esaten zaiona osatuz eratzendituzten trazak bilatzea da. (19. irud.)

    I

    s

    a

    17. irud.

    i

    l

    a

    18. irud.

    a

    b

    c

    A

    B

    n

    m

    19. irud.

    Proiekzio-eragiketak

    Geometria proiektatzailearen oinarrizko eragiketak hauek dira: puntubatetik edo zuzen batetik proiektatzea, eta zuzen batez edo plano batezebakitzea.

    V puntu batetik proiek-tatzea

    V-tik A puntu bat proiektatzea VA zuzena marratzea da; zuzen horrizuzen proiektatzaile esaten zaio. (14. irud.)

    V-tik s zuzena proiektatzea, V-k eta s-k zehazten duten planoa marraz-tea da; plano horri plano proiektatzaile esaten zaio. (15. irud.)

    V-tik puntuz eta zuzenez osatutako irudi bat proiektatzea, V-k irudiarenpuntu eta zuzenekin zehazten dituen zuzen eta planoak marratzea da.Horrek eratzen duen erradiaketari irudiaren proiekzio edo perspektibadeitzen zaio. (16. irud.)

    V

    A

    14. irud.

  • 15

    r zuzen batetik proiektatzea.

    A puntu bat r-tik proiektatzea, r-k eta A-k definitzen duten planoamarratzea da. 15. irudiko kasu bera da.

    r zuzenetik plano berekoa den a zuzen bat proiektatzea, bien arteanzehazten duten planoa marratzea da. (20. irud.)

    A, B eta C puntuek osatzen duten irudi bat r-tik proiektatzea, r-k etairudiaren puntu bakoitzak zehazten dituzten , eta planoak marra-tzea da. (21. irud.)

    r

    a

    aA

    B

    C

    r

    20. irud. 21. irud.

    plano bat s zuzen batez ebakitzea, bien arteko I traza edo elkar-gunea bilatzea da. (17. irud.)

    a zuzen bat plano bereko beste s zuzen batez ebakitzea, bien artekoI elkargunea bilatzea da. (22. irud.)

    s zuzen batezebakitzea

    a

    s

    I

    s

    A

    B

    C

    22. irud.

    23. irud.

    PerspektibotasunaBi irudi, bata bestearen ebakidura denean, edo biak lehenengo katego-riako forma baten proiekzioak edo ebakidurak direnean eta biek elementu komun bat dutenean elkarren perspektiboak direla edo elka-rrekin perspektibazko erlazioa dutela esaten da.

    Planoz osatutako irudi bat splano batez ebakitzea, szuzenak plano horietakobakoitzarekin eratzen dituenelkargunea edo trazak bila -tzea da. (23. irud.)

    Bukatzeko, esan daiteke, irudibat plano batera proiektatzeaproiekzioa plano horretazebaki tzea bezalaxe dela.

    Forma baten eta harenelkargunearen edoproiekzioaren artekoperspektibotasuna

    a, b, c zuzen-sorta bat V-tik iga-rotzen ez den beste m zuzen batezebakitzen bada, m oinarriko A, B,C serie lerrozuzena perspektiboada zuzen-sortari buruz. (24. irud.)

    r ertza duten plano-sorta bat r-renplano berekoa ez den beste m zuzen

    BC

    D

    A

    V

    m

    d

    c

    ba

    24. irud.

  • 16

    1. Geometria deskribatzailearen hasi-masiak

    m eta n oinarriko bi serie lerrozuzen (28. irud.) elkarren perspektibo-ak dira, V-tik igarotzen den zuzen-sortaren elkarguneak direlako, etaV da serie horien perspektiba-zentroa.

    r ertza duen plano-sorta bat ertzeko puntu beretik igaro tzen diren eta bi planoz ebakitzen baldin bada, bi plano horietan eratzen direnelkarguneak elkarren perspektibo diren bi zuzen-sorta dira. Plano-sor-taren r er-tzari zuzen-sorten perspektiba-ardatza deitzen zaio. (29.irud.)

    m

    n

    V

    28. irud.

    r

    V

    29. irud.

    V

    A

    BC

    D

    E

    a

    b cd

    e

    26. irud.

    V

    r

    a

    b

    c

    27. irud.

    batez ebakitzen bada, elkargune gisa eratzen den A, B, C serie lerro-zuzena perspektiboa da plano-sortari buruz. (25. irud.)

    a, b, c zuzen-sorta bat V-tik igarotzen ez den beste plano batezebakitzen bada, zuzen-sortaren ebakidurazko A, B, C puntu-serieaperspektiboa da hari buruz. (26. irud.)

    , , ... plano-erradiazio bat plano batez ebakitzen baldin bada, pla-noaren erradiazioaren ebakidurazko a, b, c zuzen-multzoa pers-pektiboa da hari buruz. (19. irud.)

    r ertza duen , , ... plano-sorta plano batez ebakitzen bada, V-tikigarotzen den ebakidurazko zuzen-sorta perspektiboa da plano-sorta-ri buruz. (27. irud.)

    B

    m

    r

    A

    C

    25. irud.

    Forma beraren ebakiduren artekoperspektibotasuna

  • V eta V erpin bana eta r oinarriko A,B,C,D serie lerrozuzena erkideduten bi zuzen-sortak (30. irud.) elkarren perspektibo dira, r oinarrikoserie lerrozuzena perspektiboa delako bi zuzen-sortei buruz. Seriearenoinarriari sorten perspektiba-ardatz deitzen zaio.

    a, b, c, d zuzen-sortarekin eta sortaren V erpinetik igarotzen diren m etan bi zuzen desberdinekin era tzen diren bi plano-sortak (31. irud.) elka-rren perspektibo dira, zuzen-sorta perspektiboa delako bi plano-sorteiburuz. Zuzen-sortaren planoari perspektiba-plano zentrala deitzen zaio.

    17

    Forma beraren proiekzioen artekoperspektibotasuna

    Proiektibotasunaren definizioetatik, Chasles, Staudt edo Poncelet-eneta-tik, denek balio duten arren, Ponceletena hartuko dugu, hura delakointerpretatzen errazena: Lehenengo kategoriako bi forma proiektiboakdira baldin eta proiekzio- eta ebakidura-kate finitu baten bitartez batabestetik atera badaiteke.

    32. irudiko adibidean, m oinarrikoA, B, C eta D serie lerrozuzena etar zuzena emanik, r-tik proiektatuz,r ertza duen , , eta plano-sorta ateratzen da. Plano-sorta horibeste plano batez ebakiz gero, Verpina duen a, b, c eta d zuzen-sorta ateratzen da. Zuzen-sortahori n zuzen batez ebakiz, A, B,C eta D serie lerrozuzena atera -tzen da. Sorta eta serie hauek, etahorietatik proiekzioz eta ebakidu-raz ateratzen direnak, proiektibo-ak dira elkarri buruz.

    Elkarri buruz egokitzen diren elementuak zein motatakoak diren, halasailka daiteke proiektibotasuna:

    Homografia: Elementu homologoak mota berekoak badira: puntua etapuntua; zuzena eta zuzena edo planoa eta planoa.

    Korrelazioa: Mota desberdinetakoak badira: Puntua eta zuzena, puntuaeta planoa

    Lehenengo kategoriako formenarteko proiektibotasuna

    Proiektibotasunarensailkapena

    V

    V

    A B C D r

    d

    c

    b

    a

    m

    n

    V

    30. irud.

    31. irud.

    AB

    CD

    A BC D

    a

    b c

    d

    n

    m

    r

    V

    32. irud.

  • 18

    Paraleloak ez diren bi planok zuzen-sorta bat ebakitakoan sorturiko biirudien arteko erlazioa da espazioko homologia.

    1. irudian ikusten dugun bezala, eta planoek ebakitzen dituzte Vpuntutik abiatzen diren hiru zuzenak eta ebakidura-puntuak lortu dira.Honelako erlazioak bideratu dira honenbestez: A1 puntuari A puntuhomologoa dagokio, r1 zuzenari r zuzen homologoa, eta S1 irudiaribeste S irudi homologoa.

    2.Homologia, afinitateaeta homotezia

    Marrazketa teknikoa

    Homologia

    A1

    3

    r1

    s1

    B1

    C1A

    V

    B

    S r

    C 1

    A1

    2

    Homologia-ardatza

    1. irud.

    Honako elementu hauek hartzen dute parte homologia batean:

    Homologia-zentroa: V puntua, zuzen-sortaren abiapuntua.

    Homologia-ardatza: bi planoen arteko ebakidura-zuzena.

    Esan dezagun, bestalde, A1, B1 eta C1 puntuek honako baldin-tza hauek bete behar dituztela A, B eta C puntuen homologo-ak izateko:

    Lerro zuzenean egotea eta haien homologia-zentroa V pun-tua izatea.

    Zuzen homologoak, A1B1 eta AB adibidez, homologia-ardatzaren puntuetan elkar ebakitzea.

    Azken baldintza horren arabera, homologia-ardatza puntubikoitzen leku geometrikoa da, hau da, elkarren artean homo-logoak diren puntuen leku geometrikoa.

    V

    M1

    T'

    K'

    N1

    '

    '

    ML

    ML

    2. irud.

    Muga-lerroakMuga-lerroa deitzen zaio infinituko puntuen puntu homologo-ek duten leku geometrikoari.

    Jakina denez, bi zuzen edoplano bat eta zuzen bat parale-loak badira, infinituan ebaki-tzen dute elkar. Honela bada, 2.irudian planoarekiko zuzenparaleloak trazatzen baditugu Vpuntutik, infinituan ebakikodute zuzen horiek planoa.Hala ere, planoa ebakitzendute zuzen horiek berek M1,N1 puntuetan, zuzen bat era-tuz. Zuzen hori da ML muga-ler-rroa. M1 puntuak bere M puntuhomologoa planoko infini-

  • tuan izango du, muga-lerro hori osatzen duten gai-nerako puntu guztiek bezalaxe.

    Era berean aurkituko dugu ML muga-lerroa. planoarekiko zuzen paraleloak trazatuko ditugu Vpuntutik eta planoarekiko ebakidura-puntuekeratuko dute ML muga-lerroa. Eta horrenbestezesango dugu planoaren barneko K puntuarenpuntu homologoa planoan, infinituan, dagoela,KV zuzenaren norabidean.

    3. irudian ikus dezakegu nola igaro homologiaespazialetik homologia planora.

    Horretarako, planoa planoaren gainera eraitsida, bere homologia-ardatzaren inguruan biratuta,eta A, B, C eta ML lortu ditugu. V puntua eraiste-ko, eta planoekiko plano elkarzuta trazatuda puntu horretatik eta T puntua lortu dugu. Tpuntua zentrotzat eta TV erradiotzat harturik, Vpuntua aurkituko dugu planoan. Irudi bereanikus dezakegun bezala, paraleloak dira AB etaVZ zuzenen norabideak.

    4. irudian agertzen da plano batean marrazturik 3.irudiko homologia. Ikusten dugun bezala, homo-logia-ardatzaren paraleloan daude muga-lerroak.Gainera, bi muga-lerroetako batetik, ML-tik edoML-tik, V homologia-zentrora dagoen distantzia,eta beste muga-lerrotik, ML-tik edo ML-tik alegia,homologia-ardatzera dagoen distantzia berdinakdira.

    Baliteke muga-lerroak V puntuaren eta homolo-gia-ardatzaren arteko plano-ataletik kanporaegotea, 5. irudian ikusten den bezala.

    Baliteke, halaber, bi limite-zuzenak nahastea, hauda, batera etortzea, 6. irudian adierazten denmoduan. Inboluzio-homologia esaten zaio orduan.

    19

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    MLC1

    A1

    B1

    V

    V

    T

    A

    CB

    A'

    C'

    B'

    1

    2

    3

    Z

    ML

    ML

    3. irud.

    V

    KZ

    M N

    A

    B

    C

    Z

    21

    M'N'

    A'

    C'

    B'

    Z' K'

    4. irud.

    V

    d

    d

    ML

    Homologia-ardatza

    ML

    5. irud.

    ML

    dd

    V

    Homologia-ardatza

    6. irud.

  • Honako elementu hauek ezagutu behar dira homologia bat definitzeko:

    1.Zentroa, ardatza eta bi puntu homologo.

    2.Zentroa, ardatza eta homologoa aurkitu nahi zaion irudiaren pla-noan dagoen muga-lerroa. (3. irud.)

    20

    B

    AC

    D

    A'

    V

    7. irud.

    Homologia batdefinitzeko moduak

    BURUTUTAKOARIKETAK

    1. 7. irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren poligono homologoa.

    Ebazpena:B puntutik hasiko gara. Haren homologoa aurkitzeko, B eta A puntuak elkartu eta homologia-ardatza 1 puntuan ebaki arterainoluzatuko dugu zuzena. Bat eta beradira 1 puntua eta 1 puntu homologoa,ardatzaren barnekoak diren aldetik.

    1 A-arekin eta V B-rekin elkartukoditugu ondoren. Bi zuzen horiek Bpuntuaren B puntu homologoan elkarebakiko dute. Honela jokatuta lortukoditugu gainerako puntuak.

    Infinituko puntu batetik, AB zuzeneandagoen infinituko Z puntutik adibidez,abiatuko gara muga-lerroak lortzeko.Infinituko Z puntua AB zuzeneanbadago, AB zuzenean egongo da harenpuntu homologoa. AB zuzenarekikoparaleloa V puntutik marrazten badugu,ML muga-lerroaren barneko Z puntuanebakiko du paralelo horrek AB zuzena.

    Z puntua lortu ondoren, jakinik muga-lerroak distantzia berdinera daudelahomologia-zentrotik eta homologia-ardatzetik eta paraleloak direla homo-logia-ardatzarekiko, ML eta ML zuze-nak trazatuko ditugu.

    C'

    V

    C

    4321

    D'

    A'

    B'

    D

    A

    B

    1'

    Z'

    Z ML

    ML

  • 2. 8. irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren poligono homologoa.

    21

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    Kasu bereziak

    Ebazpena:B puntuaren homologoa aur-kitzeko, B puntutik igarokoden edozein zuzen r trazatu-ko dugu; zuzen horrek 1puntuan ebakiko du MLmuga-lerroa eta 2 puntuanhomologia-ardatza. r zuze-naren r zuzen homologoak2 puntutik igaro beharko dueta V1 zuzenaren paraleloaizango da. r eta VB zuzenenarteko elkarguneak zehaztu-ko digu B puntuaren Bpuntu homologoa. 7. irudianbezala jokatuko dugu gaine-rako puntuak lortzeko.

    Homologia-kasu bereziak gertatukodira homologia-zentroa eta homolo-gia-ardatza propioak edo inpro-pioak, hau da, ezagunak edo infini-tuan egokituak diren ala ez kontuanhartu ondoan.

    9. irudian ikus dezakegun bezala,infinituan dago homologia-zentroa.Afinitate bat gertatu da kasu horre-tan.

    Zera ikusten dugu 10. irudian,homologia-ardatza infinituan dago-ela, bi planoak paraleloan baitaude,hau da, homotezia bat gertatu da.

    B

    V

    1

    A

    D

    C

    D

    CA

    B

    r

    r

    2 24 4 3 3 Homologia-ardatza

    ML

    a

    b

    V

    C

    3

    2

    1A'

    C'

    B'

    A

    B

    Afinitate-ardatza

    9. irud.

    B

    AC

    D

    V

    ML

    Homologia-ardatza

    8. irud.

  • 22

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    11. irudian, aldiz, infinituan daude homologia-ardatza eta homologia-zentroa, hau da, translazioa izenekoa gertatu da.

    K = A0A / A0A = B0B / B0B = C0C /C0C erlazioan, afi-nitate-arrazoia du izena K konstanteak.

    Irudi afinak afinitate-ardatzaren alde banatan badau-de, negatiboa izango da afinitate-arrazoia, K < 0. (12.eta 13. irud.) Bi irudiak afinitate-ardatzaren alde bere-an badaude, positiboa izango da afinitate-arrazoia, K> 0. (14. irud.)

    a

    b

    V

    B

    A

    C

    B'

    A'

    C'

    10. irud.

    V

    a

    b

    A'

    C'

    B'

    A

    B

    C

    11. irud.

    AfinitateaDagoeneko argi geratu da afinitatea homologia-kasu berezi bat dela, etahomologia-zentroa inpropioa izatearen ondorioa hauxe dela: puntu homo-logoak batzen dituzten zuzenak paraleloak izatea. Afinitate-norabidea esa-ten zaie zuzen horien norabideari, eta afinitate-norabidea zeiharra (12.irud.) edo elkarzuta (13. irud.) izan daiteke afinitate-ardatzarekiko. Muga-lerroak inpropioak izango dira, hau da, infinituan egongo dira.

    B

    A

    C

    2CoBoAo

    3 1

    C'

    A'

    B'

    K < 0

    B

    A

    C

    32

    CoBoAo

    1

    A'

    C'

    B'

    K < 0

    12. irud. 13. irud.

    A

    C

    B

    K > 0

    A'

    B'

    C'

    Ao Bo Co

    1 2 3

    14. irud.

  • 23

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    BURUTUTAKOARIKETAK

    1. 15. irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren poligono afina.

    1 3 4

    D'

    C'

    B'

    2

    B

    C

    A

    D

    A'

    B

    C

    A

    D

    A'

    15. irud.

    Ebazpena:15. irudian ikusten dugu nola lortu behar diren emandako poligonoaren puntu afinak, homo-logia arrunt batean egin genuen bezalatsu, alegia.

    2. 16. iruduko datuak ezagututa eta jakinik afinitate-arrazoia K = -1 dela, marraz ezazu emandakoaren poligono afina.

    E D

    C

    B

    A

    d

    E D

    C

    B

    A

    41 2 3Ao

    E' D'

    A' C'

    B'16. irud.

    Ebazpena:Afinitate-arrazoia aplikatu eta honako hau lortuko dugu:

    K = AA0 /AA0 -1 = AA0 /AA0 AA0 = -AA0

    Irudi afinak afinitate-ardatzaren albo banatan daudela adierazten digu (-) ikurrak. Ariketaren emaitzarierreparatzen badiogu irudi biak afinitate-ardatzarekiko simetrikoak direla egiaztatuko dugu. Beraz, ardatz-simetria afinitatearen kasu berezia dela esan genezake.

    HomoteziaHomotezia ere homologia-kasu berezi bat da. Geometria-erlazio hone-tan homologia-ardatza inpropioa da eta, ondorioz, ez dago muga-lerrorik.

    17. irudian ABC triangelua da ABC triangeluaren homologoa, eta OA/ OA = OB / OB = OC / OC = K betetzen da, K homotezia-arrazoiaizanik. Homotezia-arrazoia positiboa bada, K > 0, alde berean daudehomotezia-zentroa eta puntu homologoak (17. irud.), eta negatiboabada, K < 0, alde desberdinetan daude homotezia-zentroa eta puntuhomologoak. (18. irud.)

  • 24

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    Honako baldintza hauek betetzen dira homotezia guztietan:

    1. Zentrotik igarotzen ez diren zuzen homologoak paraleloak dira.

    2. Zuzenki homologoak paraleloak eta proportzionalak dira.

    3. Angelu homologoak berdinak dira.

    B'A

    A'

    B

    C'

    C

    O

    K > O

    B

    C

    AO

    K < O

    B'

    A'

    C'

    19. irudian bi zirkunferentzia homotetiko ditugu, eta honako hau bete-tzen da:

    17. irud. 18. irud.

    R/r = OC/OC = K

    Beraz:

    R = r K OC = K OC

    A

    O C

    TB

    B'

    T'

    A'

    C'

    D

    D'

    r

    R

    19. irud.

    BURUTUTAKOARIKETAK

    OC = K OC = 2,5 25 = 62,5 mm

    R = K r = 2,5 10 = 25 mm

    O

    10

    C

    25

    62,5

    25

    C'

    20. irud.

    1. O homotezia-zentroa, K = 2,5 homotezia-arrazoia,eta C zentroa eta 10 mm erradioa dituen zirkunfe-rentzia bat ezagututa, kalkula ezazu zirkunferentziahorren homotetikoa OC = 25 mm dela jakinik.

    20. irudian ikusten den bezala, OC zuzenean dago-en eta C zentroa duen beste zirkunferentzia bat dahomotetikoa:

  • 25

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    2. 21 irudiko datuak eta K = -1 homotezia-arrazoia ezagututa, marraz ezazu emandako ABCD poligonoaren poli-gono homotetikoa.

    C

    DA

    B

    O

    C'

    B'

    D'A'

    21. irud.

    Buruturiko ariketan ikus daitekeenez,simetria zentral bat da era honetan defi-nituriko homotezia.

    EBAZTEKOARIKETAK

    1. Irudian zehazturiko homologiara jo, eta aurki ezazu B puntuaren puntu homologoa.

    B

    V

    A

    A'

    3. Aurki itzazu emandako irudien irudi afinak.

    B

    V

    P

    P'

    A D

    C

    B

    V

    A

    C

    B

    A

    C

    A'

    B

    B'

    P

    A

    D C

    2. Aurki itzazu emandako irudien irudi homologoak.

  • 26

    2. Homologia, afinitatea eta homotezia

    4. Aurki ezazu emandako poligonoaren irudi homotetikoa, jakinik homotezia-zentroa 0 puntua eta homotezia-arrazoiaK = 1/3 direla.

    G

    H F

    C

    D

    EA

    B

    O

    O

    A

    B

    C

    K

    5. Aurki ezazu ABC triangeluaren irudi homotetikoa, jakinik homotezia-zentroa O eta homotezia-arrazoia irudiko zuzen-kiaren K luzera direla.