Marrazketa teknikoa 1 Batxilergoa

  • Published on
    22-Mar-2016

  • View
    229

  • Download
    8

DESCRIPTION

Marrazketa teknikoa 1 Batxilergoa

Transcript

MARRAZKETATEKNIKOAB BA AT TX XI IL LE ER RG GO OA A 1 1MARRAZKETA TEKNIKOABatxilergoa 1Rafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles GarcaJos Antonio OriozabalaereinereinAZALA MARRAZKETA 1.qx:PORTADA DIBUJO TECNICO 1Bach.qx 22/5/12 13:20 Pgina 1Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa sailak onetsia (2003-09-25)Azalaren diseinua:IturriDiseinua eta maketazioa:IPARMarrazkiak:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garcia, Jose Antonio OriozabalaArgazkiak: Juan Carlos Ruiz, Jesus M Peman Testua:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, M Angeles Garcia, Jose Antonio Oriozabala EREIN 2003. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 DonostiaISBN: 978-84-9746-120-7L.G.: SS-746/2012Imprimategia:Gertu. Zubillaga industrialdea, 9. 20560 OatiEREINMarrazketa teknikoaBatxilergoko 1. mailaRafael CirizaRoberto GalarragaM Angeles GarcaJos Antonio Oriozabala51. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................AURKIBIDEA1. Marrazketarako materialak eta horien erabilera ............................................................... 9Marrazketarako materialak ....................................................................................... 92. Planoan egiten diren oinarrizko marrazkiak ................................................................... 19Elementu geometrikoak. Definizioak ................................................................... 19Zuzenak planoan..................................................................................................... 21Angeluak .................................................................................................................. 23Leku geometrikoa ................................................................................................... 28Zirkunferentzia-lerroak eta zuzenkiak ................................................................. 293. Triangeluak, laukiak eta poligono erregularrak ............................................................. 33Poligono definizioa ................................................................................................. 33Triangelua ................................................................................................................ 33Laukia ....................................................................................................................... 37Poligono erregularrak ............................................................................................. 384. Proportzionaltasuna eta eskalak ....................................................................................... 46Proportzionaltasuna ................................................................................................ 46Eskalak ...................................................................................................................... 495.Berdintasuna, baliokidetasuna, antzekotasuna eta simetria ........................................... 54Berdintasuna ............................................................................................................ 54Baliokidetasuna ....................................................................................................... 55Antzekotasuna ......................................................................................................... 57Simetria ..................................................................................................................... 596. Ukitzaileak. Oinarriak eta ebazpen prozedurak ............................................................. 61Ukitzaileak. Oinarriak ............................................................................................. 61Ukitzaileen problemak ........................................................................................... 647. Kurba teknikoak .................................................................................................................. 77Obaloa ...................................................................................................................... 77Oboidea .................................................................................................................... 79Kiribila ...................................................................................................................... 79Boluta ........................................................................................................................ 80Helize zilindrikoa .................................................................................................... 818. Kurba konikoak ................................................................................................................... 83Sarrera ....................................................................................................................... 83Elipsea ...................................................................................................................... 84Parabola .................................................................................................................... 86Hiperbola.................................................................................................................. 8761. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................9. Geometria deskribatzailearen oinarriak ........................................................................... 94Oinarrizko kontzeptuak ......................................................................................... 94Proiekzio motak ...................................................................................................... 95Irudikapen sistemak................................................................................................ 9510. Sistema diedrikoa: puntua, zuzena eta planoa ........................................................... 102Sarrera ..................................................................................................................... 102Puntuaren irudikapena ......................................................................................... 104Zuzenaren irudikapena ........................................................................................ 105Planoaren irudikapena ......................................................................................... 107Puntuaren, zuzenaren eta planoaren arteko barnekotasun erlazioa ............. 11111. Normalizazioa .................................................................................................................. 121Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 121Marrazketa teknikorako arau orokorrak ............................................................ 12212. Bistak ................................................................................................................................ 128Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 128Bisten izenak, arauaren arabera .......................................................................... 130Bisten aukera ......................................................................................................... 13413.Ebakidurak eta epaiak ..................................................................................................... 138Ebakidura ............................................................................................................... 138Ebakidura-motak ................................................................................................... 139Ebakiduraren eta epaiaren arteko bereizkuntza14. Akotazioa ......................................................................................................................... 146Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 146Kota lerroak ........................................................................................................... 147Lerro lagungarriak ................................................................................................. 148Geziak eta kota-marrak ........................................................................................ 148Kota-zifrak .............................................................................................................. 149Akotazio-sinboloak ............................................................................................... 15115. Finkagarriak. Torloju-hariaren akokotazioa eta irudikapena.................................... 156Definizioak ............................................................................................................. 156Hariak normalizatzeko sarrera ............................................................................ 157Torloju-harien sailkapena .................................................................................... 157Torloju-hariaren konbentziozko irudikapena ................................................... 158Torloju-hariaren irudikapen motak .................................................................... 159Torloju-hariaren beste irudikapen batzuk ......................................................... 161Torloju-harien akotazioa ...................................................................................... 163Torloju-hari ohikoenen profilak eta neurriak ................................................... 16671. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................16. Multzoak ........................................................................................................................... 173Mekanismoen adibide bat .................................................................................... 173Ohiko plano-motak ............................................................................................... 174Multzoko planoaren osagaiak ............................................................................. 175Atalkatzea ............................................................................................................... 17717. Krokisen prestaera .......................................................................................................... 181Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 181Neurtzeko tresnak ................................................................................................. 182Krokis bat egiteko egin beharreko urratsak ...................................................... 183 18. Perspektiba axonometrikoa eta Cavalieriren perspektiba ....................................... 186Perspektiba axonometrikoa ................................................................................. 186Irudi lauak perspektiba axonometrikoan irudikatzeko modua ...................... 190Gorputz trinkoak perspektiba axonometrikoan irudikatzeko modua ........... 195Cavalieri perspektiba ............................................................................................ 198Irudi lauak Cavalieri perspektibaren arabera irudikatzen ............................... 201Gorputz trinkoak Cavalieri perspektibaren arabera irudikatzen .................... 20191. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Marrazketa teknikoaFuntsezkoak dira doitasuna eta zehaztasuna formen eta objektuenaurkezpen teknikoa bideratzerakoan.Marrazteko tresnak behar bezala ezagututa eta kalitatezko tresnakerabilita baino ez diegu aterako grafikoei probetxu handiena.Hona hemen marrazki teknikoan erabiltzen diren oinarrizko materialak:1. Marrazketarako materialaketa haien erabileraHelburuak Lan teknikoaren munduan erabiltzen diren espresio grafikoaren hainbatmolde desberdinak eta spresio grafikoaren tekniketan maizenik erabiltzendiren tresnak eta osagarriak ezagutzea.Marrazketarakomaterialak Marrazki-paper egokia Marrazki-lapitzak Borragomak Erregela milimetratua Eskuaira eta kartaboia Lapitz-zorrozkailu Angelu-garraiagailua Konpas-sorta Estilografoa Errotulatzeko txantiloiak Kurba-txantiloiak Txantiloi bereziak Bilbeak Ordenagailu101. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Marrazki-papera erroilutan edo plegutan merkaturatzen da, arauturikoneurri jakin batzuetan eta lodiera desberdinetan, gramaiaren arabera,hau da, metro karratuko duen gramo-kopuruaren arabera, moztua.Zimurtsua, matea edo satinatuxea izan daiteke haren azala.Paper-mota asko dago. Hona hemen marrazki teknikoan maizenikerabiltzen direnak: Paper zuri opakoa; guztiz erabilia, zirriborroak eta lehenmarrazkiak egiteko aproposa. Landare-paper gardena; planoak kalkatu eta tintaz marraztekoerabiltzen da nagusiki. Paper opako satinatua; tintaz marrazteko erabiltzen da, ez ordeaaurrekoak bezainbestetan. Paper milimetratua; inprimaturik ditu koadrikulak eta gardenaedo opakoa izan daiteke. Oso baliagarria da grafikoak etadiagramak marrazterakoan. Paper garden plastifikatua; landare-paperaren antzekoa, bainairaunkortasun handiagokoa. Bereziki aproposa da maizetanerabiliko diren planoak egiteko.Eskuarki, marrazkiak lapitzez egiten dira lehenik, eta ondoren tintazkalkatu. Marrazkia lanaren ezaugarriei begira behar bezain argia bada,baliteke tintaz kalkatzeko beharrik ez izatea. Komeni da lapitzengogortasun-maila desberdinak ezagutzea, egokiro aplikatu eta marrazkianbehar diren lodiera eta akabera desberdinak erdietsi ahal izateko.PaperaLapitza111. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Taulako zati grisek gogortasun batzuen eta besteen erabilera-eremuakadierazten dituzte.Lapitzaren muturra zorrozteko edozein labana-aho edo, errazago,zorrozkailu bat erabil dezakegu. Lapitz mina-egozlearen mina lodiabada, mina-zorrozkailu batez zorroztuko dugu.Zenbakiz edo letraz eta zenbakiz osaturiko sigla batzuen bidezadierazten da minen gogortasuna.Bigunak Erdibidekoak Gogorrak Guztiz gogorrak00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 98B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H 10HGraduazioak zenbakienbidez zehaztutaGraduazioak siglen bidezzehaztutaIdazteko etamarraztekoMarrazketateknikorakoMarrazkiak, krokisak etaitzaldurak egitekoTopografia-planoakmarraztekoAzalera lakarrekomarrazki-orrietarakoMarrazkiak azaleragogorren gainean egitekoAurkezpen heliografiko-etarako balio dutenakMina biguna krokisak egiteko erabiltzen da. Mina gogorrago baterabiltzen da paper zuriaren gaineko lapitz-marrazkietan, etagogorragoa landare-paperaren gainean marrazteko.Lapitz mina-egozleak abantaila handi bat du ohiko lapitzen aldera,haren mina ez baita zorroztu behar nahi den lodiera lortzeko. Lodieraegokia edukiko du beti mina horrek.121. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................BorragomakBorragomak marrazki batean soberan dauden aldeak zuzentzekoerabiltzen dira. Lapitza ezabatzen dute batzuek, eta tinta, beste batzuek.Lapitza ezabatzeko gomak biguna izan behar du. Gogorragoa izangoda goma hori, marrazkian erabilitako mina ere gogorragoa den neurrian.Tinta ezabatzeko gomak urratzaile batez hornitua gogorra izan behardu, tinta ezabatu eta paper-geruza oso fin bat, eta harekin batean tinta,urra dezan.Landare-paperean erabiltzen denean, tinta ezabatzeko, borragomazgainera, erabil daitezke bizar-xaflak, kontu handiz, papera ez zulatzeko,erabiltzen badira.Trazu berria aurrez ezabatu den eremuaren gainetik tintaz pasatu behardenean, komeni izaten da eremu hori lapitz bigun batez satinatzeatrazu berriaren tinta lerra ez dadin.Erregela, eskuairaeta kartaboiaEzinbestekoak dira hiru elementu hauek edozein marrazki teknikoegiterakoan.Erregela: neurriak eramateko eta zuzenkiak neurtu eta trazatzekoerabiltzen da. Haien luzera 30 eta 100 cm bitartekoa izaten da, etamilimetrotan graduatzen dira eskuarki.Erregela graduatuaz gainera, eskalimetroa ere erabil daiteke. Erregela-mota berezi honek sei eskala ditu grabaturik. Plano bat eskala jakinbatean zuzenean marrazteko, matematika-eragiketen beharrik gabe,eta plano baten gainean objektuen benetako neurriak interpretatzekoerabiltzen da eskalimetroa.Eskuaira: Triangelu angeluzuzen isoszele baten itxura du. Halatan,luzera berekoak dira haren bi katetuak eta 45-ko angelua eratzendute hipotenusarekin.Kartaboia: Triangelu angeluzuzen eskaleno baten itxura du. Katetuekhipotenusarekin eratzen dituzten angeluak 30 eta 60-koak dira.Kartaboiaren katetu nagusiak eskuairaren hipotenusaren luzera beraizan behar du.131. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Konpasa arkuak eta zirkunferentziak trazatzeko erabiltzen den marrazki-tresna da.Konpas-mota asko daude. Hona hemen erabilienak: Konpas bakuna. Arkuak eta zirkunferentziak trazatzeko erabiltzenda, baita neurriak marrazkira garraiatzeko ere. Konpas-mota honitintarako elementu edo osagarri batzuk erants dakizkioke, baitaluzagarri bat ere. Kalostradun konpasa. Erradio txikiko zirkunferentziak egitekoerabiltzen da. Kalostradun konpas eroa. Kalostradun konpasak bideratzen dituen bainoerradio oraindik txikiagoko zirkunferentziak egiteko erabiltzen da. Doitasun-konpasa. Bakunen eta kalostradunen ezaugarriak ditukonpas-mota honek. Artikulatua da eta besoak doitu etagraduatzeko mekanismo bat du.KonpasaGarrantzitsua da eskuaira eta kartaboia behar bezala erabiltzea. Leuneta aise bideratu behar dira, txantiloien gainean gehiegizko presiorikeragin gabe, baina egoki eutsirik, halere, nahi ez den mugimeduriksuerta ez dadin.Eskuaira eta kartaboi-jokoa behar bezala egokituz lortu ahal izangoditugu marra paraleloak horizontalean eta bertikalean, baita angeludesberdinak ere. Geroago ikusiko dugu hau, Oinarrizko Trazatuengaian.Eskuaira eta kartaboibidezko trazatuak141. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Konpasa egoki erabiltzeak berebiziko garrantzia du marrazketateknikoan, haren araberakoa izango baita, neurri handi batean trazuenkalitatea eta zehaztasuna. Honako arau hauek hartu behar dira kontuanbeti: Mina alakan edo biselean eta konpasaren barnealderantz zorroztubehar da beti. Konpasari eusterakoan, hatz erakuslearen eta lodiaren artean hartubehar da goialdeko zilindroa, eta beste eskuaz lagundu beharradago orratza behar den lekuan ipintzeko. Paperaren perpendikularrean zehaztuko dira mina inprimatzenduen besoa eta konpasaren orratza.EstilografoaMarrazketa-luma tradizionalaren ordez, egun tintazko delineazioanerabiltzen den tresna da estilografoa. Abantaila handiak ditu marrazketa-lumaren aldean, oso garbia eta erabiltzen guztiz erraza delako.151. Marrazkirako materialak eta haien erabilera................................................................................................................................................................................................. Kurba-txantiloiak. Lagungarri gisa erabiltzen dira, kurbaktrazatzerakoan. Kurbako puntu ezagunetara hobekien moldatzenden txantiloi-zatia aurkitu beharra dago.Estilografoa paperaren azaleraren perpendikularrean erabili behar dabeti.Estilografoa egokigailu batez molda daiteke konpasean, arkuak etazirkunferentziak tintaz marratzeko. Egokigailua barne edo kanpoaldeanezar daiteke, zirkunferentzien erradio handietara eta txikietaramoldatzeko.Txantiloiak161. Marrazkirako materialak eta haien erabilera................................................................................................................................................................................................. Txantiloi bereziak. Ugari eta oso molde askotakoak dira. Errotulatzeko txantiloiak. Idazketaren homogeneotasuna lortzekoerabiltzen dira.171. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Espresio Grafikoalantzeko trebakuntza honetan ezin dugu aipatu gabeutzi ordenagailua bezalako tresna garrantzitsua. Profesionalek pro-duktibitate-maila eta eginiko lanaren kalitatea etengabe hobetzekoaukera ematen dien tresneria behar dute.OrdenagailuaMarrazkietara eraman daitezkeen elementuz hornituriko orriak dira.Molde askotakoak daude merkatuan. Zuzenean itsatsita edo elementubakoitza marrazki-paperaren gainean igurtzita aplikatzen diragehienetan.Bilbeak181. Marrazkirako materialak eta haien erabilera.................................................................................................................................................................................................Ordenagailu on baten eta merkatuan dauden CAD / OBD (ComputerAsisted Design / Ordenagailu Bidezko Diseinua) programa desberdinenbidez lor daiteke hori.Gaur egun guztiz erabiltzen da ordenagailu bidezko marrazkia diseinu-bulegoetan, eta oso normala da, halaber, bezeroei eman edo haiekintrukatu beharreko informazio grafikoa disketeen bitartez bideratzea.Neurri handian murriztu da, horrenbestez, hasieratik paperean eginikoplanoen kopurua.192. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Puntua: Puntuak ez du neurririk, kokale-ku bat baizik ez da. Letra larri batez edozenbaki batez izendatzen da. (1. irud.)Helburuak Marrazketa geometrikoaren oinarriak ezagutzea, era horretara ikasgaiarengainerako edukiez erosoago jabetuahal izateko. Soluzio grafikoak argi eta zehatz adierazteko gai izatea.Elementugeometrikoak.Azalpenak. Bi zuzenek elkar gurutzatzen dute es-pazioan elkarrekikon punturik ezbadute. (5. irud.)Lerro zuzena: Norabide berean doazenpuntuen sekuentzia bat da. Letra txiki batezizendatzen da. (2. irud.)Zuzenen arteko posizioak: Bi zuzenek elkar ebakitzen dute puntubat elkarrekin badute. (3. irud.) Bi zuzen paraleloak dira elkarren arte-ko elkargunerik inoiz ez badute. Haienelkarrekiko puntua infinituan dagoelaesaten da orduan. Puntu inpropioa delaesaten da elkargune horretaz. (4. irud.)ABCrBr s1. irud.2. irud.3. irud.ab sPQP1 - Q1 s1rr14. irud.5. irud.2. Funtsezko trazatuak planoanMarrazketa teknikoa202. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Lerro kurbatua: Norabide berean ezdauden puntuen sekuentzia bat da. Le-tra txiki batez izendatzen da. (6. irud.)Zuzenkia: Bi ertzetatik mugaturiko zu-zen baten zatia da: AB zuzenkia (8.irud.)Zuzenerdia: Ertz batean mugaturiko le-rro zuzena da. Ertzeko puntuaren etazuzenaren izenen bitartez izendatzen da:Ar zuzenerdia. Bi zuzenerditan banatzendu lerro zuzena haren gainean zehaztu-riko puntu batek. (7. irud.)Planoa: Lerro zuzen batek norabide ja-kin batean mugitu den unean sorturikopuntu-multzoa da planoa. Letra grekobaten bitartez izendatzen da: planoa(9. irud.)aAPr A BdrHonako elementu hauek zehaztu de-zakete plano bat: Lerro banatan dauden hiru pun-tu. (10. irud.). Horrexegatik bilatzendugu hiru puntutan oinarriturikoeuskarri bat, eremu irregular bateaneuskarri egokia lortu nahi dugunean.Honen erakusgarri ditugu argazki-makinetarako tripodea edo hiruhankako aulkia.A CBsrPPr Elkar ebakitzen duten bi lerrozuzen. (11. irud. Bi zuzen paralelo. (12. irud.) Lerro zuzen bat eta hartatik kan-po dagoen puntu bat. (13. irud.)6. irud.7. irud.8. irud.9. irud.10. irud.11. irud.12. irud.13. irud.rs212. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Zuzen bat planoaren barnekotzathartzen da, haren puntu guztiak pla-noaren barnean badaude. Zuzenakbereizten di tuen plano zat ie iplanoerdi deitzen zaie. (14. irud.)r zuzenaren elkarzuta M kanpo-ko puntu batetik. (16. irud.) Mzentro gisa bereizi eta, nahi beza-lako erradioa harturik, zuzena A etaB puntuetan ebakitzen duen arkuatrazatuko dugu. AB zuzenkiaren merdibitzailea da proposatutakoarensoluzioa.r zuzenaren elkarzuta P barne-ko puntu batean. (17. irud.) P zen-tro gisa bereizi eta, nahi bezalakoerradioa hartu ondoren, zuzenaebakitzerakoan A eta B puntuak ze-haztuko dituen arkua trazatukodugu. AB zuzenkiaren merdibitzailea da bilatzen ari garensoluzioa.Zuzenki baten erdibitzailea: Zu-zenkiaren perpendikularrean, er-diko puntuan, trazaturiko zuzenada. (15. irud.)Honela trazatuko dugu: AB zuzen-kian, A eta B puntuak bereiziko di-tugu zentro gisa eta, erradioa zu-zenkiaren erdia baino luzeagoa har-turik, M eta N puntuetan elkar eba-kiko duten 1. eta 2. arkuak traza-tuko ditugu. M eta N puntuak elkar-tu ondoren lortuko dugu AB zuzen-kiaren m erdibitzailea.Zuzenak planoenbarneanrmAMN1221BMBAmtr2 1P2 1Qm12MBA PrN1214. irud.15. irud.16. irud.17. irud.PlanoerdiaPlanoerdia222. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Pr zuzenerdiaren elkarzuta Pertzeko puntuan. (18. irud.) Pzentro gisa bereizi eta, PA erradioarbitrarioa duen arkua trazatukodugu. A zentro gisa bereizi eta bestearku bat trazatuko dugu, erradio ber-dinean, aurreko arkua B puntuanebaki dezan. B zentro gisa bereizieta erradio berdineko arkuazebakiko dugu lehen arkua C pun-tuan. BC zuzenkiaren m erdibitzai-lea da bilatzen ari garen soluzioa.s zuzenaren zuzen paraleloa Ppuntutik. (19. irud.) s zuzenarenedozein puntu, A puntua, zentrogisa bereizi eta P puntutik igarotzenden arkua, PB arkua, trazatukodugu. P zentro gisa bereizi eta Apuntutik igaroko den arkua marraz-tuko dugu, aurreko erradioberdinean. BP zuzenkia erradiobihurtu eta A zentro gisa hartuondoren zehaztuko dugu M puntua.M eta P puntuek zehazturiko zuze-na da soluzioa.Zuzen paraleloak etaelkarzutak eskuairazeta kartaboiztrazatzenKartaboiari finko eutsi eta haren hipotenusaren luzeran lerratuko dugueskuairaren katetuetako bat, zuzen paraleloak, r, s, t, eta abar, lortzeko.(20. irud.)MmBCAP rBAsrPMArestian trazaturiko zuzen paraleloen elkarzutak lortzeko, aski da es-kuairak kartaboiaren hipotenusaren luzeran mugitzea. (21. irud.)ptBertikalak egiteko eskuairaHorizontalak egiteko eskuairaKartaboi finkoarstEskuairaEskuairaKartaboia18. irud.19. irud.20. irud.21. irud.232. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Angelu betea ( = 360)Jatorri bera duten bi zuzenerdien artean eraturiko eremu-zatia da an-gelua. Zuzenerdiak dira angeluaren aldeak eta haien jatorrizko puntuada angeluaren erpina. (22. irud.) Negatiboa da angelua erlojuarenorratzen noranzkoan neurtzen denean, eta positiboa kontrakonoranzkoan neurtzen dugunean. Letra greko batez izendatzen diraangeluak.Honela sailkatzen dira angeluak, balioen arabera:Lau angelu sorrarazten dituzte elkar ebakitzen duten bi zuzenek: binakaharturik, elkarren kontra daudenak erpinez aurkakoak dira, eta elkarrenalboan daudenak, berriz, auzokideak. Balio berekoak dira erpinez aur-kako angeluak, eta elkarren betegarriak dira, hau da, bien artean180-ko balioa dute, auzokideak. (23. irud.)Angeluak Angelu hutsa ( = 0) Angelu zorrotza ( < 90)Angelu zuzena ( = 90) Angelu kamutsa ( > 90)Angelu laua ( = 180)22. irud.rs Ondoz ondokoak dira bi angelu alde bat elkarrekin dutenean. Elka-rren osagarriak dira bien artean 90-ko balioa badute. (24. irud.)27632738OsagarriakOndoz ondokoak23. irud.24. irud.242. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Zortzi angelu sortzen ditu bi zuzen paralelo ebakitzen duen zuzenbatek. (25. irud.)Angelu baten angelu berdina egiten (26. irud.)Emaniko angeluaren V erpina zentro gisa hartu eta arku bat marraztukodugu, nahi bezalako erradioaz, aldeetan A eta B puntuak zehaztu di-tzan. a zuzenean V puntua bereiziko dugu angelu berriaren erpingisa. V puntua zentrotzat hartu eta aurreko erradioan marraztuko duguarku bat, a zuzenean A puntua zehaztu dezan. A zentrotzat hartu etaAB erradioko arkua marraztuko dugu. B puntua zehaztuko du bi arkuenarteko elkarguneak. B eta V puntuak elkartuta lortuko dugu bilatzenari ginen angelua.rstKorrespondentzia-angeluak dira zuzen ebakitzailearen alde berean dau-den angeluak; zuzen paraleloen barnealdean dago horietako bat etakanpoaldean bestea. Korrespondentzia-angeluek balio bera dute biak.Txandakako barneangeluak edo txandakako kanpoangeluak dira eba-kitzailearen alde banatan dauden angeluak, eta zuzen paraleloenbarneangeluak edo kanpoangeluak dira hurrenez hurren. Angelu hauekere balio bera dute.25. irud.Angelu eragiketakVBbaAV'B'b'a'A'Angeluen batura (27. irud.)Aurreko metodoari jarraituz, V erpineko angeluaren angelu berdinaegingo dugu a zuzenean. Ob aldean eta norabide berean, V erpinekoangeluaren angelu berdina marraztuko dugu. aOd angelua da soluzioa.26. irud.27. irud. = V1a2bV'43cdd'4'c'3'b'2' a'1'O252. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Angeluen kendura (28. irud.)Lehenengo angelua marraztu ondoren, haren gainean baina kontrakonorabidean marraztuko dugu bigarren angelua. aOc angelua dasoluzioa.Angelu baten erdikariaAngelua bi atal berdinetan zatitzen duen zuzena da. (29. irud.)aVb213cV'4d29. irud.28. irud.d'2'4'b'O 1'a'c'3'bbPaAVBErdikaria lortzeko, V zentrotzat hartu eta, nahi bezalako erradiokoarkua trazatu ondoren, A eta B ebaki-puntuak zehaztuko ditugu. Puntuhauek zentrotzat hartu eta erradio berdineko arku bana egingo dugu;P puntua zehaztuko dute elkar ebakitzen duten gunean. V eta P puntuenarteko zuzena da bilatzen ari ginen erdikaria.30. irudian ikusten den bezala, bada erdikaria lortzeko beste metodobat. V puntua zentrotzat hartu eta, nahi bezalako erradioko bi arkumarraztu ondoren, A, B, C eta D ebaki-puntuak zehazten dira. AD etaBC zuzenek P puntua zehazten dute elkar gurutzatzean, eta P eta Vpuntuak elkartzen dituen zuzena da angeluaren erdikaria.VAbPCBD==30. irud. = 262. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Erpina marrazki-paperetik kanpora duen angeluarenerdikaria (31. irud.)Bi aldeetako baten V puntutik, beste aldearen s zuzen paraleloa ma-rraztuko dugu. rVs angeluaren b erdikaria trazatuko dugu. Erdikaria-ren elkarzut bat marraztu eta MN zuzenkiaren P erdiko puntutik traza-tuko dugu b zuzenaren paraleloa. b zuzena da bilatzen ari ginenerdikaria.sMb PBCs' b'VAr NAngeluak egiten31. irud.Angeluen arteko eragiketetan, hau da, angeluen batuketan, kenketan etaerdikarien trazaketan, oinarrituko gara ondoren angeluak egiterakoan.60BAVr60-ko angelua: (32. irud.) Vr zuzenerdiatrazatuko dugu. V zentrotzat hartu eta arkubat marraztuko dugu, nahi bezalako erradio-an, zuzenerdia A puntuan ebaki dezan. Azentrotzat hartu eta beste arku bat trazatukodugu, erradio berean, aurreko arkua Bpuntuan ebaki dezan. 60-koa da BVAangelua.90-ko angelua: Aski da zuzenerdi batenmuturrean zuzenerdiarekiko elkarzuta traza-tzea. Dagoeneko azaldu dugu elkarzut haunola zehaztu.45-ko angelua: 90-ko angelua erdibitutalortuko dugu. (33. irud.)4530-ko angelua: 60-ko angelua erdibitutalortuko dugu. (34. irud.)153015-ko angelua: 30-ko angelua erdibitutalortuko dugu. (35. irud.)32. irud.35. irud.34. irud.33. irud.272. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................75-ko angelua: 45 eta 30 dituzten ange-luak batuta lortuko dugu. (36. irud.)75105-ko angelua: 60 eta 45 dituzten an-geluak batuta lortuko dugu. (37. irud.)105120-ko angelua: 60 dituzten bi angeluakbatuta lortuko dugu. (38. irud.)120135-ko angelua: 90 eta 45 dituzten an-geluak batuta lortuko dugu. (39. irud.)135150-ko angelua: 90 eta 60 dituzten an-geluak batuta lortuko dugu. (40. irud.)150Balio hauek beren erdiekin, betegarriekin, bikoitzekin eta abarrekinkonbinatu ondoren beste angelu-balio ugari lortuko dugu, angelu-garraiagailua erabili behar izan gabe.Angeluak marrazteko eskuaira eta kartaboia nolaerabili (41. irud.)Beren geometriari esker ageri dituzten 30, 60, 45 eta 90-ko angeluezgainera, 15, 75, 120, 135 eta 150-ko angeluak lor ditzakegu txan-tiloi hauen bidez, 41. irudian adierazten den bezala.36. irud.37. irud.38. irud.39. irud.40. irud.41. irud.282. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Ezaugarri geometriko bat berdina duten puntuen multzoa da. Esatebaterako:Zirkunferentzia: Plano batean, zentro izeneko O puntutik distantziaberera dauden puntuen leku geometrikoa da. Zirkulu esaten zaiozirkunferentziaren barneko azalerari. (42. irud.)OLeku geometrikoaZuzenki baten erdibitzailea: Plano batean, zuzenki baten bi mutu-rretatik distantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da.Angelu baten erdikaria: Plano batean, emandako bi zuzenetatik dis-tantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da. Ikusi ditugudagoeneko nola zehazten diren erdibitzaileak eta erdikariak.Zuzenki baten arku kapaza angelu jakin baten arabera: Plano ba-tean, zuzenki jakin bat angelu jakin baten arabera ikusteko aukera ematenduten puntuen leku geometrikoa da (43. irud.). Irudian berdinak dira A, Beta C erpinak dituzten angeluak. Beraz, PABCQ zirkunferentzia-arkua PQzuzenkiaren arku kapaza da angelu eman baten arabera. Esate baterako,90-ko angelu baten arabera ikusiko den zuzenkiaren arku kapaza diametro-tzat zuzenki hori duen zirkunferentzierdia da. (44. irud.)BP QACP QIkus dezagun nola aurkitu, MN zuzenkiaren arku kapaza; esate baterako,60-ko angelu baten arabera. (45. irud.) MN zuzenkiaren erdibitzailea tra-zatuko dugu lehenik. M puntua erpintzat hartu eta 60-ko angeluarenangelu osagarria, hau da 30-ko angelua, marraztuko dugu. Angelu ho-nen aldeak O puntuan ebakiko du zuzenkiaren erdibitzailea. O zentrotzathartu eta OM erradioko arku kapaza marraztuko dugu.m3060 OM NArku honetako edozein puntutatik ikusiko dugu MN zuzenkia, 60-koangeluaren arabera.42. irud.43. irud. 44. irud.45. irud.292. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................Erradioa: Mutur bata zirkunferentziaren zentroan eta bestea harengainean dituen r zuzenki oro da erradioa.Diametroa: Zentroarekiko lerroan dauden bi zirkunferentzia-puntuelkartzen dituen d zuzenkia da.Korda: Kurba bateko bi puntu haren zentrotik igaro gabe elkartzendituen c zuzenkia da.Korda baten gezia: Zirkunferentziaren eta kordaren arteko f erradio-zuzenkia da, kordaren elkarzuta denean.Ebakitzailea: Zirkunferentzia bi puntutan ebakitzen duen s zuzenada.Ukitzailea: Zirkunferentziarekin puntu komun bakarra duen t zuzenada. Erradioaren elkarzuta da puntu horretan.BdOAEDcfCFOr tTBsA46. irud.ARIKETA EGINAK1. Marraz ezazu A, B eta C puntu jakinetatik igarotzen den zirkunferentzia.Soluzioa: O zentroak A eta B puntuetatik distantzia berera egon behar du eta beraz, ABzuzenkiaren erdibitzailean egongo da. Distantzia berera egongo da halaber B etaC puntuetatik, BC zuzenkiaren erdibitzailean alegia. Erdibitzaile bien elkarguneaizango da bilatzen genuen zirkunferentziaren zentroa.B CAOZirkunferentzia-lerroak eta zuzenkiak302. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................2. Irudiko mapan, aurki ezazu ontzia itsaso zabalean dagoen P puntua, jakinik ontziko marinel batek itsas-bazterreko A, B eta C itsasargi ezagunak ikusten dituela APB = 30 eta BPC = 45-eko angeluetatik.Soluzioa: Marraz ezazu AB zuzenkiaren arku kapaza 30-ko angelu baten arabera. Ondoren,marraz ezazu BC zuzenkiaren arku kapaza 45-ko angelu baten arabera. Bi arkuenarteko elkarguneak adieraziko dizu ontzia dagoen puntua.O1O2ABCm1m24560P3. Pirata batek uharte txiki bateko leku ezkutu batean lurperatu zuen bere altxorra, urrats hauek emanez:palmondo batetik abiatu (P puntua) eta, lerro zuzenean 20 m (20 mm mapan) ibili ondoren, A eta Bharkaitz handiak 60-ko angelu-zabaleraz ikusten zituen puntura iritsi zen. Leku hau A-tik B-tik bainohurbilago zegoela egiaztatu zuen. Mapan harkaitzen eta palmondoaren kokalekuak adierazirik daudela,zehazta ezazu altxorra dagoen T tokia.Soluzioa: Traza ezazu AB zuzenkiaren arku kapaza 60-ko angeluaren arabera. Ondoren,marraz ezazu P zentroko arku bat, 20 milimetroko erradioaz. Bi arkuen artekoelkarguneak adieraziko dizu altxorraren T kokalekua.OA BP30T312. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................ARIKETAKA B2. Marraz ezazu emandako zirkunferentziaren ukitzailea T puntuan.TO3. Zati ezazu irudiko angelua lau atal berdinetan.1. Marraz ezazu AB zuzenkiaren erdibitzailea.VVVVV4. Egin itzazu honako angelu hauek: 75, 105, 135 eta 150.322. Funtsezko trazatuak planoan.................................................................................................................................................................................................6. Marraz itzazu irudian jokalari bat 30-ko angelutik atera jaurtitzeko moduan egongo den futbol-zelaikoposizio guztiak.CDEFGBA7513515012090 1655. Eskuaira, kartaboia eta graduaturiko erregela erabilita, marraz ezazu irudiko poligonoa.