Lmites de funciones - e 2 2 Equivalentes x 0 sen x x tg x x arcsen x x 1 cosx x2 t n s+x s x n x 1 ln x x 1 . ... Ficha de repaso del tema 2 1. lim x 0 sen 2 3x 3x2

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    04-Feb-2018

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Apuntes Matemticas 2 de bachillerato Tema 2 Lmites de funciones Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 17 2.1 Lmites de funciones Def.: Dada una funcin f(x), diremos que su lmite cuando x tiende hacia a es el nmero L, y lo escribiremos, limx af(x) = L si existen los lmites laterales cuando x tiende hacia a y ambos son iguales: limx af(x) = limx a+f(x) = L. En caso contrario, diremos que no existe el lmite en x = a. Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 18 A continuacin repasamos una serie de conceptos que hemos trabajado en aos anteriores: a = { si 1 < aIND 1 si a = 10 si 0 < x < 1 A la hora de resolver los lmites, deberamos tener claro si se trata o no de una indeterminacin, ya que slo estas ltimas las tendremos que operar. Trabajaremos con las siguientes indeterminaciones: Ejemplos: 1. limx (x2 + 5x x) = 2. limx 1(x+2x21 x+3x2+x2) = K0= 0= K= 0 0= 0 - 0 00 1 Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 19 3. limx 2x 5xx23x+1= 4. limx 2x2+ 4x2 4x + 4= 5. limx 1(x2+ x + 12x + 1)1x1= Ejercicios 1. limx 1x3+ x25x + 3x32x2+ x= 2. limx (x3 x2) = 3. limx (x2 + x x) = 4. limx (5 + 15x)5x= 5. limx (3x3+ 5x + 2 4x3 xx 2) = 6. limx (1 + 32x)5x= 7. limx 1x3 2x2+ 2x + 5x2 6x7= 8. limx 6(x2 4x 10x 4)1x 6= Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 20 9. limx 0 (x2 5x + 2x2 + 2x x3+ 2x + 1x3+ x) = 2.2 Infinitsimos equivalentes Def.: Una funcin f(x) se dice que es un infinitsimo cuando x a si se cumple: . Ejemplo: f(x) = sen x es un infinitsimo cuando x 0. Ejemplo: f(x) = tg x es un infinitsimo cuando x 0. Ejemplo: f(x) = 9 x2 es un infinitsimo cuando x 3. Ejemplo: f(x) = 1 sen x NO es un infinitsimo cuando x 0. Def.: Dos infinitsimos f(x) y g(x) se dicen equivalentes cuando x a, si el lmite de los cocientes entre ambas es la unidad: limx af(x)g(x)= 1 Error! Marcador no definido. f(x) g(x) Tabla reducida de infinitsimos: Ejemplos: 1. limx 0sen xx3 x2+ 5x= 2. limx 0sen x (1cos x)ln3(x+1)= 0)x(flimaxInfinitsimos Equivalentes x 0 sen x x tg x x arcsen x x 1 cosx x22 1 + xn 1 xn x 1 ln x x 1 Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 21 3. limx 01 cos xln (cos x)= Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 22 2.3 Lmites por LHpital Este mtodo sirve para resolver indeterminaciones del tipo e . Si f(x) y g(x) son derivables en un entorno de a, tenemos que . Antes de aplicar LHpital sustituiremos, si es posible, algn infinitsimo por otro equivalente ms sencillo. Ejemplos: 1. limx 0ex 1x= 2. limx 01 cos2 x x2= 3. limx 0sen x x cos xx (1 cosx)= Ejercicios 1. limx e xx2= 2. limx 0ln (ex+ x)x= 3. limx 0ln(cos 2x)x2= 00)x(g)x(flim)x(g)x(flimaxax Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 23 2.4 IND 0 Cuando tengamos IND 0 intentaremos convertirla en e para poder aplicar LHpital. Ejemplos 1. limx (x lnxx + 1) = 2. limx 1 (1ex e 1x + 1) = 3. limx x2e x = Ejercicios 1. limx e2x e 2xx2= 2. limx 2 (x 2)ln (x 2) = 3. limx 0 x2 + x9 + x 3= 4. limx 2 tg 3xtg x= 5. limx 0 x1 x 1= 00Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 24 6. limx 2x3 3x2 + 4x3 4x2+ x4= 2.5 Resolucin de indeterminaciones del tipo 1, 00 e 0 Para resolver este tipo de indeterminaciones, tomaremos logaritmos, como se muestra en los ejemplos a continuacin. Ejemplos 1. limx 0(1 + sen x)2tg x = 2. limx 0xsen x = 3. limx x 1x = Ejercicios 1. limx 2(1 + 2cos x)1cos x = 2. limx 0+(1x2)tg x= Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 25 3. limx 0(cos 2x) 3x2 = 2.6 Definicin de lmite Def.: limx af(x) = L = f(a) > 0 > 0: |x a| < |f(x) f(a)| < Coloquialmente diramos que una funcin f(x) tiene por lmite L = f(a) cuando x tiende a a, cuando para cualquier valor de x tan prximo a x = a se encontrar siempre un valor f(x) tan prximo a L = f(a) como se desee. Es decir, podremos elegir siempre una franja roja tan estrecha como queramos que por cada una de ellas tendremos siempre una franja azul en torno a x = a, de forma que sus valores estarn dentro de la franja roja, por tanto, se aproximarn a los de L. Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 26 Ejercicios Calcula los siguientes lmites: 1. limx3x22xx2+4= 2. limx2x2x22x22x4= 3. limx2(x+3x2+1)3x2= 4. limx1x2+x+2x2+3x2+x2= 5. limx0Ln(1+x)x= 6. limx01tgx1senx= 7. limx(x tg (x)) = 8. limxLn(1+ex)x= 9. limxxex = 10. limxxex = 11. limx2x82x+1= 12. limx(5+x3x+1)x+3= 13. limx2tg3(x)3(sen(x))(1cos(x))= 14. limx13(x1)2(Lnx3)arcsen(x1)= (prueba sumando y restando 1 dentro de la raz) 15. limx02x4+12x4= 16. limxexexex+ex= 17. limx2x2 + 3x 2 2x2 + 5x 1 = Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 27 18. limx0(cotgx)senx = 19. limx0xtgx = 20. limx0exexsenx= 21. limxx(Lnx)3+2x= 22. limx4(tgx 1) secx = 23. limx01+senxexarctgx= 24. limx+2(x 2) tgx = Ejercicios PAU 1. Resuelve el siguiente lmite: limx 2x + 2 22x 3 1= (Junio de 2013) 2. Resuelve el siguiente lmite: limx 0sen x (1 cos x)ln3 (x + 1)= (Junio de 2012) Tema 2: Lmites de funciones Matemticas 2 de bachillerato 28 Ficha de repaso del tema 2 1. limx 0 sen2 3x3x2= (Sol.: 1) 2. limx 0 x3 xx+9 3= (Sol.: - 6) 3. limx 1 x2 1Ln x= (Sol.: 1) 4. limx 0 e x ex 3 sen x= (Sol.: - 2/3) 5. limx 7x2 9x + 14 Ln (x2 6x 6)= (Sol.: 5/8) 6. limx exLn (x + 1)= (Sol.: ) 7. limx 0+ (14x 2xex) = (Sol.: - ) 8. limx x2 + 2x= (Sol.: 1) 9. limx 0 (cos x + sen x)1x = (Sol.: e) 10. limx 0 ex x cos xsen2 x= (Sol.: 1) 11. limx 0 ex e x 2x x senx= (Sol.: 1) 12. limx 0 Ln xcotg x= (Sol.: 1) 13. limx 0 (ex x)1x = (Sol.: 1) 14. limx 1 (1Ln x 1x 1) = (Sol.: ) 15. limx 0 (cos 2x)sen x2= (Sol.: e 2) 16. limx 12 1tg (2 x)Ln (4x2)= (Sol.: - /4) 17. limx 1 3 arcsen (x 1) (Ln x2)3(1 cos(x 1))2= (Sol.: 96)

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