Ley Del Seno y Coseno

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Ley del seno y coseno Yirley Racines Guzmán Trabajo de topografía Presentado al Ing. Dunevar Porras 09/08/2012 Corporación Universitaria de la Costa CUC. Facultad de ingeniería Barranquilla 2012 INDUCE Pág. INTRODUCCION 1. Objetivos 4 4 4 5 6 1.1. Objetivo General 1.2. Objetivos Específicos 2. 3. Ley del seno y del coseno Aplicación de Ley del seno y del coseno CONCLUSION BIBLIOGRAFIA INTRODUCCION La trigonometría es de gran importancia para la solución de diversos problemas entre ellos topográficos; la topografía trata de la obtención de información física y su procesamiento numérico, para conseguir la representación geométrica, ya sea en forma gráfica o analítica, del espacio físico que nos rodea, gracias a lo anterior podemos deducir la estrecha afinidad entre las funciones trigonométricas (seno, coseno entre otras) y la topografía. La ley del seno expone que en cualquier triangulo la medida del lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto, por otro lado la ley del coseno es una extensión del teorema de Pitágoras, este expone que en cualquier triangulo, el cuadro de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman. Durante el desarrollo del presente trabajo se pretende comprender la relación de la ley del seno y coseno en cuanto al manejo de cálculos en topografía, es decir a la obtención de distancias mediante la ejecución de dichas leyes. 1. OBJETIVOS 1.1. OBJETIVO GENERAL Definir, identificar y comprender los conceptos de ley de seno y coseno. 1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS    Identificar las leyes del Seno y Coseno para la solución de triángulos. Aplicar las leyes del seno o coseno para el desarrollo de problemas de aplicación. Determinar el uso de la trigonométrica para plantear y resolver problemas. 2. LEY DEL SENO Y DEL COSENO Para resolver los problemas referentes al cálculo de los elementos de un triángulo cualquiera es preciso establecer fórmulas que relacionen sus elementos entre sí, dichas formulas las encontramos en el teorema del seno y del coseno o también llamados ley del seno y del coseno. Ley del seno Este teorema relaciona tres igualdades que siempre se efectúan entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para solucionar determinados problemas de triángulos. Esta Ley expone que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a él en todo triángulo es constante, además este demuestra que “Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” Figura 1. Ley del seno Según se observa en la Figura 1, La Ley del seno se expresa de la siguiente manera: Ley del coseno Este teorema demuestra que “El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido” Estos términos forman el teorema del coseno, que es una extensión del teorema de Pitágoras al caso de triángulos cualesquiera; Con ello, es posible resolver cualquier tipo de triángulos conociendo:    Un lado y los ángulos adyacentes a él. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Figura 2. Ley del coseno Análogamente: 3. Aplicación Ley del seno y coseno “Ley del seno” Ejemplo 1. En el triángulo ∆ABC se sabe que el lado mide 2, y los ángulos α y β, 60° y 50°, respectivamente. Sabiendo que en un triángulo la suma de sus ángulos interiores es 180°, se obtiene: Por el teorema del seno: Pueden determinarse los otros dos lados: Es decir, en ∆ABC se obtiene: “Ley del coseno y seno” Ejemplo 2. En ∆ABC se sabe que Por el teorema del coseno: , además γ=45°. y √ Por el teorema del seno: Lo cual nos da el ángulo α: ( ) Por otro lado: De lo que se concluye el ángulo β; ( Es decir, en ∆ABC se obtiene: ) CONCLUSION Es normal que en topografía se resuelvan los problemas con triángulos, ya que cualquier polígono se puede dividir en triángulos y a partir de ello podemos obtener el área por ejemplo, esto con ayuda de senos, cosenos y teorema de Pitágoras. Gracias al presente trabajo se pudo conseguir el conocimiento necesario para resolver, analizar y aclarar la definición de Ley del seno y del coseno, comprendiendo de esto que para determinar un dato es necesario si quiera tres de ellos en un triángulo, ya sea lados o ángulos, lo que facilita el trabajo al momento de adquirir distancias o ángulos mediantes los dos teoremas estudiados. BIBLIOGRAFIA     http://cursotopografia.blogspot.com/ http://www.angelfire.com/cantina/senocoseno/news.htm http://docente.ucol.mx/narahita/leyes/sen2.htm http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lec ciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index12.htm
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Ley del seno y coseno Yirley Racines Guzmán Trabajo de topografía Presentado al Ing. Dunevar Porras 09/08/2012 Corporación Universitaria de la Costa CUC. Facultad de ingeniería…