Ley Del Seno y Coseno

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    31-Jul-2015

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La ley de cosenos se puede considerar como una extencin del teorema de pitgoras aplicable a todos los tringulos. Ella enuncia as: el cuadrado de un lado de untringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ngulo que forman. Si aplicamos este teorema al tringulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:Resolver un tringulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ngulos internos. Para resolver tringulos que nos son rectngulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo depender de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el tringulo de la figura 1 longitud del tercer lado. Solucin: Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos: . Encontrar laLa ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, y que es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos. La ley de senos nos dice que la razn entre la longitud de cada lado y el seno del ngulo opuesto a el en todo tringulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribir como sigue:Figura 1 Resolucin de tringulos por la ley de los Senos Resolver un tringulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ngulos internos. Para resolver tringulos que nos son rectngulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo depender de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el tringulo de la figura 1 longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ngulos. Solucin: Calculemos el ngulo . Encontrar lacomo los tres ngulos internos deben sumar 180 , podemos obtener el ngulo,Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:Metodo del trianguloEn este mtodo, los vecores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que tambin est libre (es decir se cierra un tringulo con un "choque de cabezas" . En la figura 1 se ilustra el mtodo.Figura 1 En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul. Si la operacin se hace graficamente con el debido cuidado, slo bastara medir con una regla el tamao del vector de color negro utilizando la misma escala que utiliz para dibujar los vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sera la magnitud de la suma. La direccin se podra averiguar midiendo con un transportador el ngulo que forma con una lnea horizontal. Pero no nos basta con saberlo hacer grficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar analticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un tringulo rectngulo se utilizar el teorema de Pitgoras. En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese tringulo son las siguientes:Ejemplo: Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos adems que el ngulo entre los vectores sumandos ( el rojo y el azul) es igual a 60.0y que sus mdulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector resultante. Para ello empleemos la relacin:su direccin sera:Metodo del paralelogramoLas cantidades vectoriales no se suman tan simple como las escalares. As por ejemplo, una velocidad de 2 Km/h sumada con otra velocidad de 3 Km/h, no necesariamente da como resultado 5 Km/h. Para sumar vectores se emplean diferentes mtodos: el mtodo del paralelogramo, el mtodo del tringulo, el mtodo del polgono y el mtodo de las componentes rectangulares. A continuacin trataremos el mtodo del paralelogramo.Figura 1 Este mtodo es una alternativa al mtodo del tringulo. En este mtodo, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante ser la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar.Este vector tendr tambin la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estar al final de la diagonal. En la figura 1se ilustra este mtodo. Ejemplo: Los vectores a y b de la figura 2 tienen magnitudes iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ngulo de 30 , calcular la magnitud y direccin del vector resultante (vector suma) s.Figura 2 Solucin: Para calcular la resultante s podemos aplicar la ley de cosenos. Para ello tengamos en cuenta que los ngulos son suplementarios:Para calcular la direccin del vector resultante, basta con hallar el valor del ngulo Para lograr esto podemos utilizar la ley de senos:.Metodo del polgonoCuando vamos a sumar ms de dos vectores , podemos sumar dos de ellos por el mtodo del tringulo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector tambin por el mtodo del tringulo, y as sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final. Otra forma de hacer la suma , es utilizando el llamado mtodo del polgono. Este mtodo es simplemente la extensin del mtodo del tringulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polgono desde la "cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo tambin libre (cerrar con un "choque de cabezas"). Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polgno resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su direccin y su sentido. Este mtodo slo es eficiente desde punto de vista grfico, y no como un mtodo analtico. En la figura 1se ilustra la suma de cuatro vectores.Figura 1