INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRI INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRIMITIVAS 1. Calcular ∫ ⋅ + 3 0 x 1 x2 dx Solucin. 3 7 2. Calcular: ∫ π −π cos2 x⋅dx Solucin. π 3. Sea ...

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    07-Feb-2018

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    INTEGRALES DEFINIDAS. CALCULO DE PRIMITIVAS

    1. Calcular +3

    0

    2 dxx1x Solucin.37

    2. Calcular:

    dxxcos2 Solucin.

    3. Sea

    =2/

    02 dxxsenxa y

    =

    2/

    02 dxxcosxb . Calcular a + b, a b y obtener los valores de a y b.

    Solucin. 8

    ba2

    =+ ; 21ba = ;

    41

    16a

    2+

    = ;

    41

    16b

    2

    =

    4.

    2

    0

    x dx xsene Solucin. 2e1 2

    5.

    2dxsen x x Solucin. 3

    6.

    0

    dxxcos1 Solucin. 22

    7. ( )

    +

    2Ln

    0 2x

    xdx

    4e

    e Solucin. 301

    8. ( ) +

    e

    1 3 xLn1xdx Solucin.

    83

    9. +1

    1 2dx

    1x3x48

    9x3 Solucin. 2

    43

    10. +1

    0 2

    3dx

    x1x Solucin.

    22Ln

    21

    11. Calcular:

    +

    2

    0 2dx

    xsen3sen x Solucin.

    43Ln

    12.

    40

    4 dxxtg Solucin. 32

    4

    13. Calcular: ( ) 2

    03 dxxx Solucin. 3 2

    232

    34

    14. Calcular: +1

    0 x1dx Solucin. 122

    15.

    40

    43 dxxcosxsen Solucin. 560

    29352

    16. Calcular la siguiente integral definida: +3e

    1dx

    x1x Ln

    Nota.- El smbolo Ln representa al logaritmo neperiano. Solucin. 3

    14

    17. Calcular: 1

    0dx xarcsen Solucin. 1

    2

    18. Calcular ( ) ( ) 3

    1dx4x2x

    En donde a representa el valor absoluto de a. Solucin. 2

    19. Se considera la funcin:

  • 2

    20. Determinar f (x) sabiendo que f (x)=24x , f (0) = 0 , f (0) = 1 y f (0) = 2. Solucin. xxx)x(f 24 ++=

    21. Encontrar una funcin F, sabiendo que ( )2x

    1x''F = y que F'(1)=0 y F(1)=1.

    Solucin. ( ) xLnxxF =

    22. Encontrar una funcin f(x) tal que la derivada sea ( )2x41

    x21xf+

    += y cumpla

    421f =

    Solucin. ( ) ( )4

    2 Ln8

    4x1 Ln41x2 arctg

    21xf 2 +++=

    23. De una funcin se saben los siguientes datos: ( ) 7xf = , ( ) 11f = , ( ) 00f = . Calcular f(x).

    Solucin. ( ) x62x7xf

    2=

  • 3

    REAS

    1. Se considera la funcin: 2

    2

    x9x2y

    =

    a) Dibujar su grfica indicando su dominio de definicin. b) Calcular el rea de la regin acotada limitada por la curva anterior y la recta y = 1.

    Solucin. b) ( )32Ln 6363333Ln 636 +=

    +

    +

    2. Se considera la funcin 2

    xy3

    = .

    a) Dibujar su grfica. b) Calcular la recta tangente en x = 1 a la grfica dibujada y calcular el rea limitada por dicha grfica

    la tangente y el eje OX.

    Solucin. b) 2u 827

    3. Hallar el rea de la regin acotada del plano limitada por las parbolas y = x x , y = 2x.

    Solucin. 2 u2

    4. Calcular el rea encerrada entre las grficas de las funciones y = x2 2x 1, y = 2x 3. Hacer primero una representacin esquemtica de estas grficas.

    Solucin. 2u 3

    28

    5. Hallar el rea de la regin limitada por las grficas de las funciones:

    ( )3x1xf += y ( ) 1xxg +=

    Solucin. 2u 61

    6. rea comprendida entre las grficas de las funciones

    f(x) = 6x x2 ; g(x) = 2x + x2

    Solucin. 2u 3

    64

    7. Hallar el rea encerrada por las lneas cuyas ecuaciones son

    f(x) = x ex; y = 0; x = 0; x = 1 Solucin. 1u2

    8. Calcular el rea de la regin del semiplano y 0 limitada por la curva f(x) = Ln x (Ln = logaritmo neperiano), su tangente en x = 1 y la recta x = 3 Solucin. 4 Ln 27 u2 9. Calcular el rea comprendida entre f(x) = x3 3x + 2, y g(x) = x + 2. Solucin. 8 u2

    10. Hallar el rea de la regin plana acotada limitada por la curva.

    ( )1x

    1xf2 +

    =

    El eje horizontal y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexin de la curva.

    Solucin. 2u 3

  • 4

    11. Hallar el rea limitada por la funcin ( ) xcos21xf += , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y

    x = .

    Solucin. 2u 36+

    12. Calcular el rea de la regin plana acotada limitada por la curva f(x) = |x1|ex, el eje OX y

    las rectas x = 2, x = 2. Nota: La notacin |a| representa el valor absoluto de a.

    Solucin. 22 u e4e2

    13. Sea la funcin f(x) = x|x 1|. Se pide: Calcular el rea limitada por la grfica de la funcin

    f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0; x = 1.

    Solucin. 2u 61

    14. Considrese la funcin f(x) = x2 x 2, y,

    >++

    =0 xS 1x

    0 xS 1x)x(g

    a) Dibujar las grficas de ambas funciones en un mismo diagrama. b) Calcular el rea del recinto acotado limitado por las grficas de ambas funciones.

    Solucin. b) 2u 3335+

    15. Hallar el rea de la regin plana acotada limitada por el eje de abscisas y la curva

    f(x) = sen 2 x cos x en el intervalo [ , ].

    Solucin. 2u 34

    16. Calcular el rea del recinto plano determinado por las rectas y = x, y = 2x y la parbola y = x2

    Solucin. 2u 6

    11

    17. Hallar el valor de la constante b para que la funcin

    f(x) = x3 2x2 + bx tenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular entonces el rea de la regin limitada por esa tangente y la grfica de f.

    Solucin. b = 1; 2u34

    18. Calcular y dibujar el rea comprendida por la funcin ( )3x

    1xf2 +

    = y sus tangentes trazada

    en los puntos de inflexin de la curva.

    Solucin. 2u 72

    3845

    19. Encontrar un numero a >1 para que el rea limitada por la curva x

    xLny2

    = , el eje de

    abscisas y las rectas x = 1 y x = a sea 9. Solucin. e3 u2

  • 5

    20. Sabiendo que el rea comprendida entre la curva xy = y la recta y = bx es 1, calcular el valor de b.

    Solucin. 3 61

    21. La parbola y = ax2 y la cbica y = x3 se cortan en el primer cuadrante encerrando una regin

    limitada, de rea igual a 2/3 a. Calcular el valor de a. Solucin. a = 2

    22. Calcular el valor de a sabiendo que el rea comprendida entre la parbola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 es 36. Solucin. a = 5 23. Calcular el rea de un trapecio de base menor b, base mayor B y altura h.

    Solucin. ( )2

    bBhA +=

    24. Calcular el rea de una circunferencia de radio R Solucin. 2RA =

    25. Calcular el rea de la elipse de ecuacin 1b

    y

    ax

    2

    2

    2

    2=+ .

    Solucin. 2u abA =

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