INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL - s 22. 2 1 2 3 x x x y Sol. 2 4 3 2 ( 2) 2 6 2 1 c x x x x x y ... VII.-Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonomtricas inversas. 1.-a x y yarcsen ...

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    26-Apr-2018

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  • Prof. Alberto Alavez Cruz 1

    INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTFICOS Y TECNOLGICOS CUAUHTMOC

    ACADEMIA DE MATEMTICAS

    GUA DE ESTUDIO CLCULO DIFERENCIAL

    I.- Operaciones con funciones:

    1.- Dado 2045)( 23 xxxxf , demostrar que:

    15732005121 - f , ff - , f , f f

    2.- Si 2211024 42 - , f , f- , f , f, f x x - xf 3.- Si cos2)( senF , hallar )(),2/(),0( FFF

    4.- Dado 622 y-yyf , demostrar que ( ) 22 +)1(2+6+2=+ hhy-y- y hyf

    5.- Dado xxxf 33 , demostrar que 322 313 hxhhxx-fhxf

    6. )+(=)()( que demostrar ,=)( Si v zyzyax

    7. ,yz

    zyzy

    x

    xx

    +1

    +=)(+)( que demostrar

    +1

    -1log=)( Si

    8. 0)()+(

    1++)( 23 ,hh

    x-FhxF , x=xx F hallarSea

    9. 0)(-)+(

    1+

    1)( , h

    h

    xfhxf ,

    x = x f hallarSea

    II. Hallar los siguientes lmites: 1. =)3+2(lim

    1x

    x Sol. 5

    2.

    )153(lim 2

    0xx

    x Sol. 1

    3.

    )143(lim 23

    1xxx

    x Sol. -7

    4.

    )256(lim 4

    4x

    x Sol. 0

    5.

    )3)(3(lim 22

    3xx

    x Sol. 72

    6.

    1

    2lim

    2

    2

    3 y

    yy

    y Sol.

    10

    3

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 2

    7.

    )4

    1(lim 2

    2

    1x

    x

    Sol. 0

    8.

    9

    27lim

    2

    3

    3 x

    x

    x Sol. 0

    9.

    1

    153lim

    2

    0 x

    xx

    x Sol. 1

    10.

    x

    x

    x 2

    2lim

    2 Sol. 0

    11. =xx

    xxx

    x 23

    24lim

    2

    23

    0

    Sol.

    2

    1

    12.

    2012

    65lim

    2

    2

    2 xx

    xx

    x Sol.

    8

    1

    13.

    2

    4lim

    2

    2 x

    x

    x Sol. 4

    14.

    1

    1lim

    3

    1 x

    x

    x Sol. 3

    15.

    253

    103lim

    2

    2

    2 xx

    xx

    x Sol. 1

    16.

    9157

    4521lim

    23

    23

    3 xxx

    xxx

    x Sol. 4

    17.

    qqx

    ppx

    x 22

    22

    0lim Sol.

    p

    q

    18.

    h

    xhx

    h

    33

    0

    )(lim Sol. 23x

    19.

    x

    xx

    x

    11lim

    2

    0 Sol.

    2

    1

    20.

    x

    x

    x

    11lim

    0 Sol.

    2

    1

    21.

    22

    312lim

    4 x

    x

    x Sol.

    3

    22

    22.

    1616173

    810112lim

    23

    23

    4 yyy

    yyy

    y Sol.

    4

    3

    23.

    32

    54lim

    x

    x

    x Sol. 2

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 3

    24.

    742

    356lim

    3

    23

    xx

    xx

    x Sol. 3

    25.

    124

    132lim

    3

    4

    xxx

    xx

    x Sol.

    26.

    2

    105lim

    2

    x

    xx

    x Sol.

    27. =yyy

    y

    y 132

    74lim

    23

    2

    Sol. 0

    28.

    33

    322

    234

    23lim

    hxxh

    hxxhh

    h Sol.

    x2

    1

    29. Dada () = 2, hallar

    x

    xfxxf

    x

    )()(lim

    0 Sol. x2

    30. Dada () = + +1

    22, hallar

    t

    tSttS

    t

    )()(lim

    0 Sol. atVo

    31. Dada () = 3 + 22 + 5 + 1, hallar

    h

    xfhxf

    h

    )()(lim

    0 Sol. 543 2 xx

    32. Dadax

    xf1

    )( , hallar

    h

    xfhxf

    h

    )()(lim

    0 Sol.

    2

    1

    x

    33. Dada xxf )( hallar

    x

    xfxxflimx

    0 Sol.

    x2

    1

    34. Dada nxxf )( , hallar

    h

    xfhxflimh 0

    Sol. 1nnx

    III. Mediante la regla general de los cuatro pasos, hallar la derivada de las siguientes funciones:

    1. 2rA = Sol. rdr

    dA2

    2. 22

    1atVotS Sol. atVo

    dt

    dS

    3. 257)( xxf Sol. xxf 10)(

    4. 33

    4rV Sol. 24 rV

    5. 123 tttS Sol. 123 2 ttS

    6. x

    xy

    1

    1 Sol.

    2)1(

    2

    xy

    7. 2

    1

    xy Sol.

    2)2(

    1

    xy

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 4

    8. dct

    batS

    Sol.

    2)dct

    bcadS

    (

    9. 52 xy Sol. 52

    1

    xy

    10. 12 xy Sol. 12

    x

    xy

    IV.- Derivar las siguientes funciones algebraicas.

    1. 234 254 xxxy Sol. xxxy 41516 23

    2. xxxy 41516 23 Sol. 43048 2 xxy

    3. 2

    3

    xy Sol.

    2)2(

    3

    xy

    4. t

    ctbtas

    2 Sol.

    2

    3

    22

    tc

    t

    b

    tt

    as

    5. ax

    aaxy Sol.

    axx

    a

    ax

    ay

    22

    6. 32)32()( ttf Sol. 22)32(18)( tttf

    7. 22

    1

    xay

    Sol.

    2/322 )( xa

    xy

    8. 5/3)52()( f Sol. 5/2)52(

    3)(

    f

    9. bxaxy Sol. bxa

    bxay

    2

    32

    10. x

    xay

    22 Sol.

    222

    2

    xax

    ay

    11. cx

    cxy

    1

    1 Sol.

    221)1( xccx

    cy

    12. t

    btas

    Sol.

    btat

    btas

    22

    2

    13.- xxy 252 Sol. 225

    )2(5

    x

    xxy

    14.

    3 bar

    Sol.

    3 22 )(3

    23

    ba

    bar

    15. 2)2( 22 xxy Sol. 2

    8883

    2

    23

    x

    xxxy

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 5

    16. 3372

    32

    ts Sol.

    3432 3232

    4

    // tts

    17. )23)(12( xxxy Sol. )19(2 2 xxy

    18. )36)(12( 2 xxxy Sol. 12266 2 xxy

    19. 22

    42

    xb

    xy

    Sol.

    )(

    )2(422

    223

    xb

    xbxy

    20. 2

    3

    1)(

    t

    ttf

    Sol.

    22

    22

    )1(

    )3()(

    t

    tttf

    21. 3

    )4()(

    2

    s

    ssf Sol.

    2)3(

    )4)(2()(

    s

    sssf

    22. 2

    12

    3

    xx

    xy Sol.

    22

    234

    )2(

    1262

    xx

    xxxxy

    23. xaxay )( Sol. xa

    xay

    2

    3

    24. x

    xy

    1

    1 Sol.

    21)1(

    1

    xxy

    25. 2

    2

    1

    12

    xx

    xy

    Sol.

    322

    2

    )1(

    41

    xx

    xy

    V.- Derivar las siguientes funciones implcitas.

    1. 222 ryx Sol. y

    xy

    2. 222222 bayaxb =- Sol. ya

    xby

    2

    2

    3. ayx =+ Sol. x

    yy

    4. 3/23/23/2 ayx =+ Sol. 3x

    yy

    5. 03 33 yaxyx Sol. 2

    2

    yax

    xayy

    6. 3323 3 ayyxx = Sol. 22

    2 2

    yx

    xyxy

    7. 204 434 y +yx+x Sol. 33

    23 3

    yx

    yxxy

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 6

    8. 6y

    x

    x

    y Sol.

    x

    yy

    9. 12 22 yxyx Sol. xxyy

    yxyxy

    2

    2

    10. 62 22 yxyxx Sol. 28

    34

    xxyy

    xyxyxy

    VI. Hallar la derivada de las siguientes funciones:

    1.- ts 2cos= Sol. t

    tsens

    2cos

    2=

    2.- 3 tan3= Sol. 3

    2

    2

    )3(tan

    3sec=

    y

    3.-

    cos1

    sen=

    Sol.

    cos+1

    1=

    4.-3

    3 asenr Sol. 3

    cos3

    = 2

    asend

    dr

    5.-senx

    senxy

    1

    1 Sol.

    21

    2

    senx

    xcosy

    6.- tantan 1/3= 3 Sol. 4tan=

    7.-2

    2

    2cos1

    xay Sol.

    2cos

    22= 3

    xxaseny

    8.-x

    xy

    sec

    1tan Sol. xsenxy cos+=

    9.-cosxx sen

    xcosxseny

    Sol.

    22

    xcosxseny

    10.- )cos()( axaxseny Sol. )+(2cos= axy

    11.- ttseny cos3 Sol. tsentcostseny 222 3

    12.-senx

    senxy

    1

    1 Sol.

    senxy

    1

    1

    13.- )cos()()( aasenf Sol. cos)(f 2=

    14.-1tan

    1tan

    x

    xy Sol.

    ( )2

    2

    +1

    2=

    xtan

    xsecy

    15.- 2cot)( xxxf Sol. xcscxxcotxcotxxf 22

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 7

    VII.-Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonomtricas inversas.

    1.-a

    xarcseny Sol.

    22

    1

    axy

    2.- 2)(arcsenxy Sol. 21

    2

    x

    arcsenxy

    3.-21

    2arctan

    x

    xy

    Sol.

    2+1

    2=

    xy

    4.- )arccos( 2xy Sol. 41

    2

    x

    xy

    5.-x

    xy

    arccos Sol.

    22

    2

    1

    1

    xx

    xarccosxx

    y

    6.-2

    1

    xarcseny Sol.

    221

    1

    xxy

    7.-a

    xarcsenaxaxy 222 Sol. 222 xay

    8.-av

    avy

    1arctan Sol.

    21

    1

    vy

    9.- senxarcsenxf )( Sol. xsensenx

    xcosy

    22

    10.-

    22

    a

    aarcsenr Sol.

    2

    22

    a

    d

    dr

    11.- 221 xaxa

    xcosarcay

    Sol.

    x

    xaxy

    22

    12.-a

    xarcaaxy sec 22 Sol.

    x

    axy

    22

    13.- x

    xarcy

    1

    22csc

    2

    Sol.21

    1

    xy

    14.- xba

    xaby

    cos

    cosarccos

    Sol.

    xcosba

    bay

    22

    VIII.-Hallar la derivada de las siguientes funciones logartmicas o exponenciales.

    x

    xy

    1

    1ln.1 Sol.

    21

    2

    xy

    )ln( -2. 2 xxy Sol.xx

    xy

    2

    12

    xy 3ln -3. Sol.x

    xy

    2ln3

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 8

    ) 1ln( -4. 2xxy Sol.21

    1

    xy

    x

    xy

    1

    1ln -5. Sol.

    21

    1

    xy

    xx

    xxy

    1

    1ln.6

    2

    2

    Sol.21

    2

    xy

    x

    xaaaxay

    2222 ln -7.

    Sol.

    x

    xay

    22

    2tanln

    2

    1

    2

    cos.8

    2

    x

    xsen

    xy Sol.

    xseny

    3

    1

    )ln(ln.9 xy Sol.xx

    yln

    1

    )ln( -10. xaaxy Sol.)(2

    32

    xax

    xay

    32.11 xey Sol. 322 xey

    xxy 22

    7-12. Sol. xxxy 22

    7)1(2

    xaey .13 Sol. xex

    ay

    2

    )1( -14. 2xey x Sol. )21( 2xxey x

    1

    115

    x

    x

    e

    ey. Sol.

    2)1(

    2

    x

    x

    e

    ey

    x

    x

    e

    ey

    1ln -16. Sol.

    xey

    1

    1

    senxey x ln -17. Sol. )ln(cot senxxey x

    senxxy .18 Sol.

    xx

    x

    senxxy senx lncos

    IX.- Dado el punto de tangencia T, obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal.

    1. T(2,-6) ,36 2xy Sol. 066 yx , 0386 yx

    2. )T(1,1 , 132 23 xxxy Sol. 012 yx , 032 yx

    3. T(5,5) , 5xy Sol. 052 yx , 0152 yx

    4. T(3,5) , 42

    13

    x

    xy Sol. 03127 yx , 02972 yx

    5. T(2,1/2) , 1

    xy Sol. 044 yx , 01528 yx

    6. T(2,3) , 7249 22 yx Sol. 01223 yx , 0532 yx

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 9

    7. T(4,3), 25=+ 22 yx Sol. 02534 yx , 043 yx

    8. T(1,-2) , 0=4+ 4- 2+2 xyy Sol. 02 yx , 052 yx

    9. T(9,6),)1(2 3/2 xy Sol. 093 yx , 0333 yx

    10. T(1,0) , ln xy Sol. 0 yx , 0 yx

    11. T(3,-2) , 0=2+2yxy Sol. 042 yx , 072 yx

    12. T(3,2) , 162 22 yxyx Sol. 03210 yx , 01710 yx

    X.- Dadas las siguientes funciones, hallar los intervalos en donde es creciente o decreciente.

    1.- 14)( xxf Sol. Creciente en , 2.- 22)( xxf Sol. Decreciente en ,

    3.- 54)( 2 xxxf Sol. Decreciente en 2, , Creciente en ,2

    4.- 22)( 2 xxxf Sol. Creciente en 1, , Decreciente en ,1

    5.- xxxxf 102

    3

    3

    1)( 23 Sol. Creciente en ,52, , Decreciente en 5,2

    6.- 31292)( 23 xxxxf Sol. Creciente en ,21, , Decreciente en 2,1

    7.- 112

    1)( 3 xxxf Sol. Creciente en ,22, , Decreciente en 2,2

    8.- 106)( 24 xxxf Sol. Creciente en ,30,3 , Decreciente en 3,03, 9.- 32 23)( xxxf Sol. Creciente en ,22,1 , Decreciente en 1,33,

    10.- xsenxf )( , 20 x Sol. Creciente en

    2,

    2

    3

    2,0 , Decreciente en

    2

    3,

    2

    11.- xexf )( Sol. Creciente en ,

    XI.- Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos de inflexin y los intervalos de concavidad.

    12.- 154)( 2 xxxf Sol. Cncava en , , No hay puntos de inflexin

    13.- 142)( 2 xxxf Sol. Convexa en , , No hay puntos de inflexin

    14.- 164)( 234 xxxxf Sol. Cncava en ,11, , Punto de inflexin en 2,1

    15.- 196)( 23 xxxxf Sol. Cncava en ,2 , convexa en 2, , Punto de inflexin en 3,2

    16.- 373)( 23 xxxxf Sol. Cncava en ,1 , convexa en 1, , Punto de inflexin en 2,1

    17.- 3)1()( xxf Sol. Cncava en ,1 , convexa en 1, , Punto de inflexin en 0,1

    18.- 1

    2)(

    2

    xxg Sol. Cncava en

    ,

    3

    1

    3

    1, , Convexa en

    3

    1,

    3

    1

    Punto de inflexin en

    2

    3,

    3

    1

  • Prof. Alberto Alavez Cruz 10

    19.- 4

    )(2

    x

    xxf Sol. Cncava en ,120,12 , Convexa en 12,012,

    Puntos de inflexin en

    8

    3,12 ,

    8

    3,12

    20.- xsenxf 2)( ,0x Sol. Cncava en

    2,0

    , Convexa en

    ,

    2

    Punto de inflexin en

    0,

    2,0,0

    21.- 2

    cos2)(x

    xf 2,0x Sol. Cncava en 2, , Convexa en ,0 , Punto de inflexin en 0,

    XII.- Dadas las siguientes funciones, hallar: a) los valores crticos, b) los mximos y mnimos relativos, c) la grfica.

    1.- 3159)( 23 xxxxf Sol. Mnimo en )22,5( , Mximo en )10,1(

    2.- 32 231210)( xxxxf Sol. Mnimo en )10,2( , Mximo en )17,1

    3.- 20152)( 23 xxxxf Sol. Mnimo en

    27

    940,

    3

    5, Mximo en 16,3

    4.- 1+2-)( 24 xxxf Sol. Mnimo en 0,1 , Mnimo en 0,1 , Mximo en 1,0

    5.- 81243)( 234 xxxxf Sol. Mnimo en 3,1 , Mximo en 8,0 , Mnimo en 24,2

    6.- 154)( 23 xxxxf Sol. Mnimo en

    27

    77,

    3

    5, Mximo en 3,1

    7.- 1223

    )(23

    xxx

    xf Sol. Mnimo en

    3

    7,2 , Mximo en

    6

    13,1

    8.-23

    23)(

    2

    2

    xx

    xxxf Sol. Mnimo en

    2

    234,2

    2

    , Mximo en

    2

    234,2

    2

    9.- 32 )1()2()( xxxf Sol. Mnimo en

    3125

    26244,

    5

    4, Puntos de inflexin en 0,2 y 0,1

    10.- 22 )()( xaxxf Sol. Mnimo en 0,a , Mximo en

    16,

    2

    4aa

    11.- 3/2)1(2)( xxf Sol. No hay mximos, No hay mnimos

    12.- xxxxf 60253)( 35 Sol. Mnimo en 38,1 , Mnimo en 16,2 Mximo en 16,2 , Mximo en 38,1

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