Guia de Ejercicios Unidad III Distribuciones de Probabilidad

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    30-Jan-2016

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    UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

    FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADSTICA

    ESTADSTICA I CICLO I 2015

    EJERCICIOS SOBRE VARIABLE ALEATORIA

    I Clasifique las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas

    1 El nmero de nios que hay en una escuela en un ao cualquiera

    2 Los galones de gasolina vendidos en un da cualquiera

    3 El nmero de llamadas telefnicas recibidas en un da cualquiera en un conmutador

    4 El tiempo de duracin de una llamada telefnica

    5 El nmero de vehculos vendidos en un mes cualquiera

    6 Distancia recorrida por un vehculo de cierta marca con un galn de gasolina

    7 Cantidad de lluvia cada durante una hora determinada

    II Comprobar si las siguientes asignaciones de probabilidad definen una distribucin de

    probabilidad (funcin de cuanta) a)

    x -3 -2 -1 0 1

    P(x) 1/8 1/4 0 1/4 1/2

    b)

    X 1 2 3 4

    P(x) 1/6 1/12

    c) xx

    3)3/2()3/1(

    x

    3f(x) si x = 0 , 1 , 2 , 3

    Para cada caso a) , b) y c) ; si cumplen ser distribucin de probabilidad calcular.

    i) P ( x = 1) ; ii) P ( x < 2 ) ; iii) P ( -2 < x 1) ; iv) P ( x > 0 )

    d) Calcular el valor de a de tal manera que P(x) sea una funcin de cuanta de probabilidad.

    X -1 1 2

    P(x) a 2 a 1/4

    Calcular: a) P (x < 1); b) P (x 1)

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    III Ejercicios sobre variable aleatoria discreta (VAD)1

    1) Un embarque de diez notebook similares para una tienda contiene tres que estn defectuosos.

    Si una Escuela hace una compra al azar de dos de estos notebook. Elaborar la distribucin de probabilidad para el nmero de notebook defectuosos.

    2) Una compaa asegura por riesgos a pequeas empresas hasta por $10,000.00 durante un ao. Si se sabe que la frecuencia de pago es de dos de cada cien, cul es la prima mnima que deben pagar las empresas a la compaa aseguradora?

    3) Una compaa est ejecutando cuatro proyectos independientes: A, B, C y D, con utilidades

    de $4,000.00, $5,000.00, $10,000.00 y $20,000.00 respectivamente. Cul ser la utilidad esperada y la desviacin estndar?.

    4) Un billete de lotera tiene 0.0001 de probabilidad de ganar un premio de $10,000.00; 0.002 de

    ganar $50,000.00 y de 0.004 de ganar $25,000.00. Cul ser el precio justo que deber pagar por el billete?

    5) Se dice que un juego es favorable si la esperanza matemtica es positiva, es desfavorable si

    la esperanza matemtica es negativa y se le llama legal si la esperanza matemtica es igual a cero. Una lotera saca a la venta 1000 nmeros de $1.00 cada uno. Ofrece un premio de $500.00, dos de $100.00 y tres de $10.00. Si se participa con un solo nmero. Ser un juego favorable?

    IV Ejercicios sobre variable aleatoria continua (VAC)

    1. El volumen de ventas diarias x (en miles de dlares) de una gran empresa, es una variable aleatoria con funcin de densidad: f(x) = 4 ( 1 x ) 3 , 0 < x < 1 . Calcular:

    a) P (0.25 < x < 0.9) b) P (x < 0.40 9 c) El volumen promedio de ventas diarias. d) La desviacin estndar.

    2. Si la distribucin acumulada de probabilidad de una VAC est dada por:

    2x

    4-1F(x) ; X > 2.

    Calcular la probabilidad de que la VA tome a) un valor menor que tres b) un valor entre 4 y 5.

    3. Una gasolinera recibe combustible una vez por semana. Si el volumen de ventas x (en miles

    de galones), est expresada por la funcin de densidad siguiente:

    caso otroen ; 0

    1x0 si ; x)-5(1f(x)

    4

    Cul es la probabilidad de que las ventas semanales sean: a) Cul es la probabilidad de que las ventas semanales sean a lo sumo 600 galones? b) Cul es la probabilidad de que las ventas semanales sean al menos 400 galones?

    1 Ejercicios de 2, 4 y 5 calcule la esperanza matemtica para responder a la interrogante planteada.

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    c) Cul es la probabilidad de que las ventas semanales sean entre 300 y 700 galones inclusive?

    d) Cul es la probabilidad de que las ventas semanales sean exactamente 900 galones?

    V. Ejercicios Sobre Modelos de Distribuciones de Probabilidades 1. Obtenga las distribuciones binomiales para n = 6 y p = 0.1; 0.5; y, 0.9. Elabore las respectivas

    grficas y compare la simetra o asimetra. 2. Calcule las siguientes probabilidades binomiales, esperanza matemtica y varianza:

    a) P ( x,n,p ) = P ( 2, 3, 0.20) b) P (x, n, p) = P ( 20, 22, 0.40) c) P ( x,n,p ) = P ( 16, 16, 0.25)

    3. El 10% de los discos de computador producidos por un nuevo proceso salen defectuosos. Si

    hay 20 discos en una caja: a) Cuntos esperara resulten no defectuosos b) Cul es a probabilidad de que el nmero de discos no defectuosos sea igual al nmero

    esperado de la respuesta de a).

    4. Durante el ao pasado el 70% de las acciones ordinarias inscritas en la bolsa nacional de valores, elevaron su valor de mercado, mientras que el 30% restante permaneci sin cambios o redujo su valor de mercado. Al inicio de ao, se eligieron 10 emisiones de acciones como especialmente recomendables. Si las 10 emisiones representan una seleccin aleatoria, cul es la probabilidad de que: a) Las 10 emisiones hayan elevado su valor de mercado. b) Al menos 8 emisiones hayan elevado su valor de mercado. c) Un mximo de 3 elevaron su valor de mercado.

    5. Usted debe obtener por lo menos el 60% en un examen de verdadero y falso con 18

    preguntas. Si para responder cada pregunta lanza una moneda, cul es la probabilidad de que apruebe el examen.

    6. Los registros en un hospital muestran que 3 de cada 10 pacientes admitidos en una clnica, no

    pagan sus facturas y eventualmente se les condonan a los adeudos. Supngase que cuatro pacientes nuevos representan una seleccin aleatoria de un conjunto grande de pacientes atendidos en un hospital. Determine las probabilidades siguientes: a) Todos los adeudos tengan que ser condonados b) De que se tenga que condonar un solo adeudo c) de que no se tenga que condonar ningn adeudo

    7. Un inspector de carreteras ha dado a conocer informacin segn la cual el 80% de los

    vehculos que transitan por la va son automviles de tipo liviano. Si el paso de los vehculos representa una variable aleatoria. Encuentre la probabilidad de que en una muestra del paso de 15 vehculos: a) Dos sean livianos d) Todos sean livianos b) Al menos 5 sean livianos e) Cuntos vehculos livianos se c) A lo sumo seis sean livianos esperan en un da cualquiera

    Donde normalmente circulan 25,000 vehculos.

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    8. Un funcionario aduanal del "Aeropuerto Internacional de San Luis Talpa" estima que el 30% de las personas que regresan del extranjero no declaran todas las mercaderas sujetas al pago de impuestos. Si se seleccionan 7 viajeros, determine las siguientes probabilidades: a) Ninguno declare d) Menos de tres declaren correctamente b) Ms de 5 no declaren correctamente e) Al menos 4 declaren correctamente c) 4 declaren correctamente su mercadera f) Entre 2 y 6 (inclusive) no declaren sus compras.

    9. En una empresa industrial se ha detectado que el 16% de las piezas elaboradas, resultan ser defectuosas. La unidad de Control de Calidad examina 10 piezas. Qu probabilidad existe de que se encuentren: a) Dos piezas defectuosas b) A lo sumo tres piezas defectuosas c) Entre 5 y 8 piezas defectuosas. d) Al menos 5 piezas sean buenas. e) Encontrar E(x) y V(x)

    10. Muchos patronos encuentran que algunas personas que contratan no son lo que afirman ser.

    La deteccin de solicitantes para un trabajo que falsean la informacin en sus solicitudes, ha generado un nuevo tipo de negocio: los servicios de verificacin de antecedentes reportan acerca de este problema y hace notar que un servicio encontr, en un periodo de dos meses, que 35% de todos los antecedentes examinados, no era verdico. Supngase que se contrato a cinco empleados nuevos la semana pasada y que la probabilidad de que un solo empleado haya falseado los datos de su solicitud, es de 0.35. Cul es la probabilidad de que al menos en una de las cinco solicitudes no haya datos veraces?

    11. Suponga que los registros de garanta muestran que la probabilidad de que un carro nuevo

    necesite una reparacin de garanta en los primeros 90 das es 0.05. Si se selecciona una muestra de 3 nuevos carros, Cul es la probabilidad de que: a) Ninguno necesite una reparacin de garanta b) Al menos uno necesite una reparacin de garanta c) Ms de uno necesite una reparacin de garanta d) Qu supuestos son necesarios en a. e) Cuales son la media y la desviacin estndar de la distribucin de probabilidad

    12. Las quiebras bancarias destruyen la confianza del pblico en el sistema de banca. Una encuesta

    realizada, indica que ms de un tercio de las personas tienen ahora menos confianza en el sistema bancario, que en los aos anteriores. Supngase que la proporcin de adultos que tienen menos confianza en el sistema bancario del pas es 1/3. Suponga tambin que los clientes de su banco local son representativos de todos los clientes del pas y que selecciona 600 al azar.

    a) Cul es el valor esperado y la desviacin estndar de x, el nmero de personas de la

    muestra que tienen menos confianza en el sistema bancario? b) Supngase que el numero x de personas con una confianza decreciente en su

    institucin bancaria es igual a 270. Pensara que su hiptesis original, de que los clientes de su banco fueron representativos de todos los clientes del pas, es verdadera? Explique.

    13. Una oficina del ministerio de Hacienda ha averiguado que el 50% de las declaraciones del

    Impuesto Sobre la Renta se presentan con por lo menos un error. Si se escogen aleatoriamente 12 declaraciones, calcule las siguientes probabilidades:

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    a) Cuatro declaraciones tengan por lo menos un error b) Ms de 7 declaraciones tengan por lo menos un error c) Menos de 4 no contengan errores d) Todas contengan por lo menos un error

    14. Los escndalos financieros en diversos en diversos pases del mundo destruyen la confianza

    del pblico en los sistemas financieros. A consecuencia de las estafas financieras suscitadas en 1997, un estudio de muestreo seal que la proporcin de adultos que tienen menos confianza en el sistema financiero del pas es 1/3. Suponga que los clientes de un determinado banco son representativos de todos los clientes en El Salvador y que se selecciona al zar 600 personas. Cuntos clientes del banco se esperara que tengan menos confianza en el sistema.

    15. Un banco reporta las prdidas por prstamos personales menores de US$5,000.00, que han ocurrido desde enero de 2006, a una tasa de 1.7 por mes. Encontrar la probabilidad de que: a) No haya prdida durante un mes determinado b) No ocurran ms de tres prdidas durante dos meses cualquiera c) Ocurran cuatro prdidas como mnimo en un perodo de tres meses

    16. El nmero esperado de llamadas telefnicas a un conmutador es de 4 llamadas por minuto. Calcule las siguientes probabilidades: a) No ocurran ms de dos llamadas durante dos minutos b) Ocurran al menos, tres llamadas en 4 minutos c) Ocurran no ms de 5 llamadas en un minuto

    17. Los arribos a una estacin de gasolina de autoservicio promedian los 15 por hora.

    Supongamos que el dependiente deja la caja durante 5 minutos. Cul es la probabilidad de que: a. Nadie se presente durante un intervalo de 5 minutos? R/ 0,2865 b. De que arribe exactamente un vehculo? R/ 0,3581 c. Arribe al menos un vehculo? R/ 0,7135

    18. Los defectos en una clase de tejidos de lana ocurren al azar a un promedio de 2 por cada 5 yardas. Si se inspeccionan 12 yardas. Cul es la probabilidad de encontrar: a) Tres defectos c) A lo sumo cuatro defectos b) Ningn defecto d) Ms de 7 defectos

    19. Al inspeccionar el cubrimiento de estao en barras de acero por un proceso electrnico, se

    descubren en promedio 0.2 imperfecciones por minuto. Calcule la probabilidad de descubrir: a) Una imperfeccin en tres minutos b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos c) A lo sumo 3 imperfecciones en 15 minutos

    20. La vida de cierta marca de transistores de radio est distribuida exponencialmente con media

    de 1,000 horas. Cul es la probabilidad de que un transistor dure: a) Menos de 1,000 horas? c) Entre 1,300 y 1,500 horas? b) Ms de 1,200 horas?

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    21. Cierta computadora que funciona las 24 horas del da, sufre fallas a razn de 0.1 por hora. Cul es la probabilidad de que la computadora falle: a) Durante las 10 horas siguientes b) Despus de 24 horas c) Podra calcular la probabilidad de que en una hora ocurran 3 fallas?, si puede cunto es la probabilidad

    22. Cooperativa de Taxis (COTA) programa sus taxis para que lleguen al aeropuerto local en una

    distribucin de Poisson con una tasa promedio de llegada de 12 por hora. Usted acaba de aterrizar del aeropuerto y debe llegar a la cuidad a cerrar un negocio lcito. Cul es la probabilidad de que tenga que esperar un mximo de 5 minutos para abordar un taxi?. Su jefe es muy estricto y no tolerar la falla, de manera que si la probabilidad de que pase otro taxi dentro de 5 minutos es menor al 50%, usted alquilar un carro para el viaje a la oficina. Comente.

    23. Los aviones llegan al aeropuerto en San Luis Talpa a una razn de dos por hora. Tomar una

    hora reparar una rampa utilizada para el desembarque de pasajeros. Cul es la probabilidad de que un avin llegue mientras se est reparando la rampa?.

    24. El tiempo de servicio en un almacn, es aproximadamente exponencial, con una media de 4

    minutos. Cul es la probabilidad de que un cliente sea atendido? : a) En ms de cuatro minutos c) Exactamente en cuatro minutos b) En menos de 4 minutos

    25. El tiempo para atender un auto en una gasolinera es una variable aleatoria exponencial con media de dos minutos. Determine la probabilidad de que un auto recin llegado sea atendido: a) Antes de un minuto b) Antes de cuatro minutos c) Entre dos y seis minutos

    26. Los reclamos a una compaa de seguros se puede describir mediante un proceso Poisson

    con promedio de dos reclamos por da. Mediante el uso de un modelo apropiado determine la probabilidad de que el siguiente reclamo se haga: a) Antes de cuatro das b) Despus de dos das c) Dentro de tres a cinco das

    27. La duracin de una computadora es una variable aleatoria con media de siete aos. Si el

    perodo de garanta es de cinco aos, Qu proporcin de los componentes puede el fabricante esperar cambiar bajo la garanta? Cul sera el perodo de garanta si el fabricante no desea ser molestado con tener que cambiar ms del 10% de los componentes?

    28. Un fabricante de autos asegura que slo el 5.82% de los radios de sus autos han tenido que

    cambiarse por garanta de cinco aos. Cul debe ser la duracin media del radio, suponiendo que la variable aleatoria se modela exponencialmente?

    29. Una compaa tendr que comprar una nueva maquinaria que le garantice un promedio de por

    lo menos 8 aos antes de que ocurra la primera falla. Ha recibido ofertas de dos proveedores, el Primero, General Tecnologic (GT), asegura que la probabilidad que la maquinaria falle antes del primer ao de funcionamiento es de 0.1. El segundo oferente, Carter Power (CP), asegura que la confiabilidad de que la maquinaria dure ms de 2 aos es de 0.7. Por cul oferta debe decidirse el gerente de la compaa?.

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    30. Mediante el uso de tablas de probabilidades normal, calcular el rea bajo la curva entre los

    valores de Z dados: a) Z = 0.00 y Z = 1.60 g) Z = 0.00 y Z = 1.60 b) Z = 0.00 y Z = 1.83 h) Z =-1.40 y Z = 1.40 c) Z = 0.00 y Z = -0.90 i) Z =-2.00 y Z = 2.00 d) Z = 0.00 y Z = 0.90 j) Z =-3.00 y Z = 3.00 e) Z =-1.30 y Z = 1.80 k) Z =-1.55 y Z =-0.44 f) Z = 0.60 y Z = 1.23 l) Z = 0.58 y Z = 1.74

    31. Calcular el valor de Z 0 tal que:

    a) P ( Z Z 0 ) = 0.0250 d) P ( Z Z 0 ) = 0.6985

    b) P ( Z Z 0 ) = 0.9251 e) P ( Z Z 0 ) = 0.9750

    c) P ( Z Z 0 ) = 0.2981 f) P ( Z Z 0) = 0.3446 32. Encuentre los valores de Z 0 tal que:

    a) P ( -Z 0 Z Z 0 ) = 0.8262 e) P (-1.17 Z Z 0 ) = 0.1875

    b) P ( -Z 0 Z Z 0 ) = 0.4714 f) P ( 1.25 Z Z 0 ) = 0.0996

    c) P ( Z 0 Z 1.52 ) = 0.7746 e) P (-0.55 Z Z 0 ) = 0.6989

    d) P ( Z 0 Z 2.15 ) = 0.1429 e) P ( Z 0 Z 2.87 ) = 0.9906

    33. Una V.A.X. tiene distribucin normal con = 10 y = 2, encuentre las siguientes probabilidades:

    a) P ( X 13.5 ) b) P ( X 13.5 ) C) P ( 9.4 x 10.6 )

    34. Una V.A.X. tiene distribucin normal con desconocida y desviacin estndar igual a 2. Si la

    probabilidad de que X sea mayor a 7.5 es 0.8, encuentre . 35. Una V.A.X. tiene distribucin normal con media y desviacin estndar desconocidas. La

    probabilidad de que X sea mayor a 4 es 0.9772; y, la de que sea mayor de 5 es de 0.9332.

    Calcule y . 36. Una prueba acelerada de duracin en un gran nmero de pilas alcalinas tipo D, revel que la

    duracin media para un uso especfico antes de que falle es 19 horas. La desviacin estndar de la distribucin fue de 1.2 horas. a) Entre que par de valores ocurri la falla de aproximadamente, 68.26% de las pilas? b) Entre que par de valores ocurri la falla de aproximadamente, 95.44% de las pilas? c) Entre que par de valores ocurri la falla de aproximadamente, 99.73% de las pilas?

    37. La media de una distribucin probabilstica normal es 60, y la desviacin estndar es 5.

    Qu porcentaje de las observaciones se encuentra entre 55 y 65? a) Qu porcentaje de las observaciones se encuentra entre 50 y 70? b) Qu porcentaje de las observaciones se encuentra entre 45 y 75?

    38. La vida til de cierto tipo de lavadora automtica tiene distribucin normal con media y

    desviacin estndar de 3.1 y 1.2 aos, respectivamente. Si este tipo de lavadora tiene una garanta de un ao. Qu fraccin de la cantidad vendida originalmente necesitar ser reemplazada?

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    39. Una encuesta revel que el ingreso anual per cpita de los habitantes de una ciudad tiene una

    distribucin normal, con media 9,800.00 y una desviacin estndar de 1,600.00. Si se selecciona una persona al azar. Cul es la probabilidad de que sus ingresos anuales sean: a) mayores de 12,200.00? b) entre 8,520.00 y 12,250.00? c) a lo sumo 11,000.00?

    40. Los pesos de los recin nacidos en un hospital muestran una distribucin normal con media de 7.5 libras y desviacin estndar de 0.5 libras. Qu probabilidad existe de que un nio recin nacido pese: a) al menos 8 libras c) Entre 6 y 7 libras b) a lo sumo 7 libras d) Cul es el peso del 10% de los nios de mayor peso.

    41. Un analista financiero calcul la rentabilidad sobre el capital de los accionistas de todas las

    empresas listadas en la Bolsa de Valores del pas. Determin que la distribucin de la rentabilidad es aproximadamente normal con un promedio de 10.2% y una desviacin estndar de 3.2%. El analista desea examinar con ms detalle aquellas empresas cuya rentabilidad sobre el capital est entre el 15% y 17%. De las 1,300 empresas listadas en la Bolsa, cuntas tiene que examinar.

    42. Se ha determinado que la vida til de cierta marca de llantas sigue una distribucin normal con una media de 38.000 kilmetros y una desviacin estndar de 3000 km. Cul es la probabilidad de que una llanta aleatoriamente seleccionada tenga una vida til de: a) Al menos 35.000 km?. R/ 0,8413 b) Dure ms de 45.000 km?. R/ 0,0099 c) entre 35.000 km y 38.000 km? R/0,3413

    43. La cantidad real de caf instantneo que una mquina vierte en frascos de 4 onzas tiene

    desviacin estndar de 0.04 onzas. Si slo el 2% de los frascos contienen menos de 4 onzas. Cul es la media de los frascos que se han llenado?.

    44. En un proceso manufacturero se producen piezas metlicas circulares. Los dimetros de las piezas tienen una distribucin normal con media de 20 centmetros y una desviacin estndar de 0.05 centmetros. Si una pieza es seleccionada aleatoriamente, cul es la probabilidad de que tenga un dimetro de: a) entre 19.925 y 20.075 centmetros b) al menos 20.2 centmetros.

    45. El tiempo necesario para dar servicio a un automvil en la estacin de servicios Estrella, est

    distribuida normalmente con media de 4.5 minutos y desviacin estndar de 1.1 minutos. a) Cul es la probabilidad de que un automvil seleccionado aleatoriamente, requiera:

    i ) Ms de seis minutos de servicio o menos de cinco? ii ) Entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio? iii) Cuando mucho 3.5 minutos de servicio?

    b) Cul es el tiempo de servicio de modo que slo el 5% de todos los automviles requieran ms tiempo?

    46. Suponga que el tiempo necesario para que germine una variedad de semillas de una planta,

    est distribuida normalmente con media de 15 das y desviacin estndar de 4 das. a) Qu proporcin de semillas deben germinar

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    i ) dentro de 19 das? ii) dentro de 23 das?

    c) Para qu da deben haber germinado tres cuartas partes de las semillas?. d) Suponga que para el decimoquinto da slo ha germinado el 60% de las semillas, se

    preocupara al pensar que hay un grupo de semillas malas?.

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