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  • I.E. COLEGIO ANDRS BELLO

    GESTIN ACADMICA PLAN DE ASIGNATURA

    GUA DIDCTICA

    HACIA LA EXCELENCIA COMPROMISO DE TODOS!

    CDIGO: PA-01-01

    VERSIN: 1.0

    FECHA: 13-10-2011

    PGINA: 1 de 5

    Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: DECIMO

    Periodo: SEGUNDO-TERCERO

    Docente: Duracin:

    rea:

    MATEMATICA

    Asignatura: TRIGONOMETRIA

    ESTNDAR:

    Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de nmeros reales para decidir sobre su uso en una situacin dada.

    Comparo y contrasto las propiedades de los nmeros (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas

    numricos

    Reconozco la densidad e incompletitud de los nmeros racionales a travs de mtodos numricos, geomtricos y algebraicos.

    Uso argumentos geomtricos para resolver y formular problemas en contextos matemticos y en otras

    ciencias.

    INDICADORES DE DESEMPEO:

    Encuentra el valor exacto de una funcin trigonomtrica a partir de identidades. Usa identidades de adicin, y multiplicacin para resolver ecuaciones. Relaciona una grfica con su respectiva ecuacin y justifica su decisin.

    EJE(S) TEMTICO(S): IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

    IDENTIDAD

    FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE ANGULOS

    IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES.

    ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

    MOMENTO DE REFLEXIN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGN EL TEMA

    .DEJA DE PENSAR EN TRMINOS DE LIMITACIONES Y EMPIEZA A PENSAR EN TRMINOS DE POSIBILIDADES

    .

    ORIENTACIONES

    (Forma de trabajo y forma de evaluar la gua)

    ESTA GUIA SE DESARROLLAR EN GRUPOS DE 2 ESTUDIANTES, REQUIERE DE COMPROMISO ACADEMI CO Y DE

    COMPORTAMIENTO.

    DEBE COMPLEMENTARSE REALIZANDO CONSULTAS, Y EJERCICIOS DE APRESTAMIENTO PARA ADQUIRIR

    HABILIDADES EN PROCESOS DE RESOLUCION DE PROBLEMAS. DURANTE EL DESARROLLO DE LA GUIA SE

    EVALUAR CON PRUEBAS OBJETIVAS TIPO ICFES.

    EXPLORACIN

    ( Pregunta lectura /sopa de letras)

    APTITUD MATEMATICA

    : Resuelve el siguiente problema teniendo en cuenta las condiciones y las ayudas.

    Hay cinco casas, cada una de un color distinto. En cada casa viven una persona de una nacionalidad distinta. Cada uno de los habitantes de estas casas bebe una determinada bebida, fuma una determinada marca

    de cigarrillo y posee un animal.

    Ninguna de las cinco personas coincide en sus costumbres de bebida y de cigarrillos, ni tiene el mismo animal que algunos vecinos.

    Quin es el propietario del pez?

    UN PAR DE AYUDITAS:

  • I.E. COLEGIO ANDRS BELLO

    GESTIN ACADMICA PLAN DE ASIGNATURA

    GUA DIDCTICA

    HACIA LA EXCELENCIA COMPROMISO DE TODOS!

    CDIGO: PA-01-01

    VERSIN: 1.0

    FECHA: 13-10-2011

    PGINA: 2 de 5

    El ingls vive en la casa roja El sueco posee un perro. El dans bebe t. La casa verde esta a la izquierda de la casa blanca. El propietario de la casa verde bebe caf. El fumador de pall Mall posee un pjaro. El dueo de la casa de en medio bebe leche. El dueo de la casa amarilla fuma Dunhill. El noruego vive en la primera casa.

    El fumador de Marlboro vive al lado del que posee un gato. El propietario del caballo vive al lado del que fuma Dunhill. El fumador de Winfield bebe cerveza. El noruego vive al lado de la casa azul. El alemn fuma Rothmans El fumador de Marlboro tiene un vecino que bebe agua.

    CONCEPTOS PREVIOS: IDENTIDADES FUNDAMENTALES

    IDENTIDADES RECIPROCAS: cot x =1 / tan x, sec x = 1 / cos x , cosc x = 1 / sen x

    IDENTIDADES POR COCIENTE: tan x = sen x / cos x, cot x = cos x / sen x

    IDENTIDADES PITAGRICAS: sen2 x + cos2 x = 1 , 1 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = cosc2 x

    IDENTIDADES DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS: cos (/2-x) = sen x, cot (/2-x) = tan x, csc ( /2-x) = sec x

    CONCEPTUALIZACIN

    IDENTIDAD: Es una igualdad que siempre se cumple. Las igualdades con expresiones trigonomtricas para

    cualquier valor del ngulo se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

    La igualdad tan x = sen x /cos x. Se satisface para todo valor de x, lo cual significa que la expresin es una

    identidad, adems por comparar valores de las funciones trigonomtricas es un ejemplo de IDENTIDAD

    TRIGONOMETRICA

    La igualdad 2sen x = sen 2x, se satisface para infinitos valores de x, por ejemplo para x=0, x= , x=4, x=-4, no se trata sin embargo de una identidad porque existen valores de x para los cuales la igualdad no se cumple.

    Poe ejemplo x= /4.

    Las igualdades trigonomtricas que se cumplen para algunos valores de x, pero no para todos, reciben el nombre de

    ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

    Un paso fundamental en el manejo de las identidades es el conocimiento de procesos tiles para transformar una

    expresin dada en otra utilizando propiedades algebraicas e identidades trigonomtricas fundamentales.

    http://www.google.com.co/imgres?imgurl=http://cpvirgendelaantigua.centros.educa.jcyl.es/sitio/upload/img/mouse.jpg&imgrefurl=http://oclesis.blogspot.com/2010/10/la-literatura-para-ninos-diversa-y-de.html&usg=__2vWs5tFbx5BHAhvkd14LEy-sl_8=&h=600&w=600&sz=58&hl=es&start=213&zoom=1&itbs=1&tbnid=nHm3knkE8Qyi4M:&tbnh=135&tbnw=135&prev=/search?q=ni%C3%B1os+escribiendo&start=198&hl=es&sa=N&biw=1366&bih=560&gbv=2&ndsp=18&tbm=isch&ei=DjQqTqXlOYj40gHTmoGMCwhttp://www.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.letralia.com/ed_let/librostv/07-2.gif&imgrefurl=http://www.letralia.com/ed_let/librostv/07.htm&usg=__49SotDgPXXzb7rkFNVOyMyvCNhw=&h=282&w=200&sz=25&hl=es&start=346&zoom=1&itbs=1&tbnid=yr67GQCCEO5gyM:&tbnh=114&tbnw=81&prev=/search?q=ni%C3%B1os+escribiendo&start=342&hl=es&sa=N&biw=1366&bih=560&gbv=2&ndsp=18&tbm=isch&ei=PDUqTtXUMJGcgQehyrimCwhttp://www.google.com.co/imgres?imgurl=http://cpvirgendelaantigua.centros.educa.jcyl.es/sitio/upload/img/mouse.jpg&imgrefurl=http://oclesis.blogspot.com/2010/10/la-literatura-para-ninos-diversa-y-de.html&usg=__2vWs5tFbx5BHAhvkd14LEy-sl_8=&h=600&w=600&sz=58&hl=es&start=213&zoom=1&itbs=1&tbnid=nHm3knkE8Qyi4M:&tbnh=135&tbnw=135&prev=/search?q=ni%C3%B1os+escribiendo&start=198&hl=es&sa=N&biw=1366&bih=560&gbv=2&ndsp=18&tbm=isch&ei=DjQqTqXlOYj40gHTmoGMCwhttp://www.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.letralia.com/ed_let/librostv/07-2.gif&imgrefurl=http://www.letralia.com/ed_let/librostv/07.htm&usg=__49SotDgPXXzb7rkFNVOyMyvCNhw=&h=282&w=200&sz=25&hl=es&start=346&zoom=1&itbs=1&tbnid=yr67GQCCEO5gyM:&tbnh=114&tbnw=81&prev=/search?q=ni%C3%B1os+escribiendo&start=342&hl=es&sa=N&biw=1366&bih=560&gbv=2&ndsp=18&tbm=isch&ei=PDUqTtXUMJGcgQehyrimCw

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    CDIGO: PA-01-01

    VERSIN: 1.0

    FECHA: 13-10-2011

    PGINA: 3 de 5

    VERIFICACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: Verificar una identidad trigonomtrica significa

    transformar una expresin en otra, Para lo cual debemos tener en cuenta:

    Simplificar la expresin que aparenta ser ms compleja

    De ser posible factorizar, adicionar fracciones, desarrollar binomios o racionalizar algn denominador

    Emplear las identidades fundamentales

    En algunos casos, escribir toda la expresin en trminos de coseno o seno.

    De ser necesario, trabajar las dos expresiones hasta obtener un resultado comn.

    EJEMPLO MODELO: Verifiquemos que la expresin sen2 x - sen

    4 x = sen

    2 x. cos

    2 x.

    sen2 x - sen

    4 x = sen

    2 x ( 1 sen

    2 x )

    = sen2 x . cos

    2 x

    FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE ANGULOS.

    Sen (45 + 30)? Cos (90 - 30)? Tan (30+ 20)? Cos (40. 50)?

    Cmo encontrar la imagen, mediante una funcin trigonomtrica, de una suma de ngulos?

    OBSERVA: ( ) SEN ( ) SEN

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    Ejemplo modelo: Si sen 30=

    , sen 60 =

    sen 45=

    cos 30=

    cos 60=

    Cos 45=

    RESUELVE: SEN ( 45 + 30 )= SEN 45.COS30 + COS45.SEN30

    =

    +

    IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES. Las identidades para las funciones trigonomtricas de los ngulos

    dobles: sen 2x, cos 2x, tan 2x, y las recprocas se deducen de las expresiones ya analizadas del seno, coseno y

    tangente de la suma de ngulos.

    1. Seno del doble de un ngulo: sen 2x = 2senx. cosx 2. Coseno del doble de un ngulo: cos 2x = 2 cos2 x -1. 3. Tangente del doble de un ngulo: tan 2x = (2tanx)/(1-tan2 x)

    EJEMPLO MODELO. SEN 2X = 2 SEN X COS X DEMOSTREMOS :

    SEN 2X = SEN ( X + X) APLICANDO CONCEPTOS ANTERIORES

    = SEN X. COS X + COS X. SEN X EXPRESIONES IGUALES

    = 2 SEN X. COS X

    ECUACIONES TRIGONOMETRICAS. Son igualdades de expresiones trigonomtricas que se cumplen

    nicamente para ciertos ngulos.

    Resolver una ecuacin trigonomtrica consiste en encontrar los ngulos que hacen verdadera la igualdad, por tanto

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    VERSIN: 1.0

    FECHA: 13-10-2011

    PGINA: 4 de 5

    es necesario emplear algunas tcnicas utilizadas en algebra, como agrupacin de trminos semejantes, factorizacin,

    extraccin de races y desde luego el uso de identidades que permitan escribir unas funciones en trminos de otras.

    Las tcnicas de factorizacin permiten encontrar las soluciones de una ecuacin en general a partir de las soluciones

    de ecuaciones simples.

    EJEMPLO MODELO:

    RESUELVE LA ECUACION TRIGONOMETRICA: 2COS2 X + 3 SEN X -3 = 0 SOLUCIONANDO

    2( 1-SEN2 X) + 3 SEN X - 3 = 0

    2 2 SEN2 X + 3 SEN X - 3 = 0

    2 SEN2 X 3 SEN X + 1 = 0

    Recordando la factorizacin del trinomio ax2 +bx + c = o, tenemos:

    2 SEN2 X -3 SEN X + 1 = ( 2 SEN X 1 )( SEN X 1 ) = 0

    De lo anterior obtenemos dos ecuaciones simples : 2SEN X -1 = 0 Y SEN X -1 = 0 Resolviendo cada

    ecuacin obtenemos: SEN X = 1 , ASI X = /6 Y X = 5/6, Y SEN X = 1/2 De donde X= /2.

    Luego la solucin a la ecuacin planteada es: /6, 5/6, y /2

    EJEMPLO MODELO: SEN2 X + SEN X = 2 Esta ecuacin trigonomtrica es de la forma x

    2 + bx + c = 0

    de donde

    SEN2 X + SEN X -2 = 0 Al resolver el caso de factorizacin obtenemos.

    SEN2 X + SEN X - 2 = ( SEN X + 2 )( SEN X - 1 ) = 0 OBSERVA

    Dos ecuaciones simples que pueden resolverse despejando as:

    SEN X + 2 = 0 ENTONCES SEN X = -2 PERO NINGUN NUMERO TIENE -2 POR SENO.

    SEN X -1 = 0 ENTONCES SEN X = 1, ESTO CORRESPONDE A UN NGULO DE 90 GRADOS O

    /2.

    SOLUCION A LA ECUACION ANTERIOR X= /2

    ACTIVIDADES DE APROPIACIN

    (Taller: Tener en cuenta competencias - Glosario)

    VERIFICO IDENTIDADES. DEMUESTRO: (FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE NGULOS

    1. 1. Cos ( A+B) + COS ( A-B) = 2COS A.COS B 2. 2. SEN ( A +B) + SEN ( A-B ) = 2SEN A .SEN B

    3.

    3.

    ( )

    ( )

    4. Tan2 + 4 = sec2 + 3 4. ( ) ( )

    5. Tan4 x = tan2 x sec2 x- tan2 x 5. ( )

    ( )

    IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES:

    VERIFICO IDENTIDADES: 1. COS2 = ( 1 + COS 2)/ 2

    2. 1/2 (sen 2x) = sen x. cos x

    3. ( sen x + cos x )2

    - sen 2x = 1

    4. cot x tan x = 2 cot 2x

  • I.E. COLEGIO ANDRS BELLO

    GESTIN ACADMICA PLAN DE ASIGNATURA

    GUA DIDCTICA

    HACIA LA EXCELENCIA COMPROMISO DE TODOS!

    CDIGO: PA-01-01

    VERSIN: 1.0

    FECHA: 13-10-2011

    PGINA: 5 de 5

    5. ( 1-sen 2x)/(sen x cos x)= sen x cos x

    ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

    RESUELVO: 1. COS 2X = 2 SEN2 X. 2. SEC

    2 X = 2 TAN

    2 X 3. 2 SEN

    2 X + COX - 1 = 0

    4. TAN X + COT X = 4 5. 2 TAN X. SENX TAN X = 0 6. TAN2 X - COT 4X= 0

    SOCIALIZACIN

    (Verificacin de la aprehensin de los contenidos y revisin de la solucin de la actividad)

    REVISION DEL TRABAJO REALIZADO, ACLARACION DE CONCEPTOS Y DUDAS, APORTES DE

    ESTUDIANTES LIDERES

    DE GRUPO.

    COMPROMISO

    (Actividades extracurriculares consultas trabajos)

    CONSULTA:

    COSENO DE LA MITAD DE UN ANGULO. SENO DE LA MITAD DE UN ANGULO TANGENTE DE LA MITAD DE UN ANGULO

    DESARROLLO DE TALLERES. PAGINAS: 120-126-127 TEXTO MATEMATICA 2000 EDITORIAL VOLUNTAD

    DE DECIMO GRADO

    DESARROLLO DE TALLERES PAGS 106-107-111-117-121 MATEMATICA ALFA 10 CON ESTANDARES

    EDITORIAL NORMA DECIMO GRADO.

    ELABOR REVIS APROB

    NOMBRES

    MARINA CLARO GARCIA

    Yaira Lizeth Rincon

    CARGO Docentes de rea Jefe de rea Coordinador Acadmico

    DD MM AAAA DD MM AAAA DD MM AAAA

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