f(x) →x a - ?· -1 si x 1 2 x 2 si x 1 x si -1 x 1-2x-3 si x 1 f(x) 2 su gráfico será: −2.00 4)…

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    15-Dec-2018

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Matemtica 5 ao, TP "Lmites", 2013 Prof: Marcelo Stigliano

1

TP N LMITES

Notacin:

)x(f lmax

=+

Se lee: "lmite de la funcin f cuando x tiende al valor a por la derecha"

)x(f lmax

=

Se lee: "lmite de la funcin f cuando x tiende al valor a por la izquierda"

Cuando )x(f lm)x(f lm

axax + =

decimos directamente:

"el lmite de la funcin f cuando x tiende al valor a es igual a L"

y lo notamos como: L)x(f lm

ax=

1) Miren los grficos de las funciones y calculen, si existe, lo que se indica

a) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )5(f5x5x5x

====

+

b) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )0(f0x0x0x

====

+

c) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )5(f5x5x5x

====

+

d) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )7(f7x7x7x

====

+

e) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )9(f9x9x9x

====

+

f) )x(f lm )x(f lm )x(f lm )11(f11x11x11x

====

+

-5

5 7 9

11

-4

-2

4

3

5

X

Y

0

f(x)

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2

a) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )5(g5x5x5x

====

+

b) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )0(g0x0x0x

====

+

c) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )5(g5x5x5x

====

+

d) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )7(g7x7x7x

====

+

e) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )9(g9x9x9x

====

+

f) )x(g lm )x(g lm )x(g lm )11(g11x11x11x

====

+

2) Hagan un grfico de una funcin para cada caso que verifique simultneamente las tres condiciones indicadas

a) 2 )x(f lm 6 )x(f lm 6 )1(f1x1x

===+

b) 6 )x(g lm 6 )x(g lm 2 )1(g1x1x

===+

c) 2 )x(h lm 2 )x(h lm 2 )1(h1x1x

===+

d) 6 )x(j lm 4 )x(j lm 2 )1(j1x1x

===+

e) 6 )x(k lm 6 )x(k lm )1(k1x1x

===+

3) Dado los dominios de las funciones, hagan un grfico para cada caso que verifique simultneamente las tres condiciones

indicadas

a) ( ) ( )4;21;3D f U= 2)x(f lm1x

=

=+

)x(f lm2x

2)x(f lm4x

=

b) ( ) ( )5;00;4Dg U= 0)x(g lm4x

=+

2)x(g lm0x

=

2)x(g lm0x

=+

c) ( )+

= ;0

21

;Dh U 1)x(h lm

21

x

=

1)x(h lm0x

=+

2)x(h lmx

=+

-5

5 7 9 11

8

-2

5

X

Y

0

g(x)

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3

Funcin partida Se llama "funcin partida" a aquella que presenta ms de una frmula para distintas regiones de su dominio. stas pueden estar dadas por intervalos o por puntos. Luego, cada una de esas regiones estar definida por una frmula en particular. Ej: frmula dominio

>

=

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4

Propiedades de los lmites (completen los ejemplos) * Lmite cuando x tiende a un valor a tal que f es continua en algn E(a; )

f(a) )a(f lmax

=

Ej:

* Lmite de una constante

k k lm

ax=

Ej:

* Lmite de una constante distinta de cero por una funcin

[ ] f(x) lm k. )x(fk. lm0k si

axax =

Ej:

* Lmite de la suma o diferencia de dos funciones

[ ] [ ] [ ]

- quede no que siempre

g(x) lm f(x) lm )x(g)x(f lmaxaxax

=

Ej:

* Lmite del producto entre dos funciones

[ ] [ ] [ ]

=

0. quede no que siempre

g(x) lm. f(x) lm )x(g).x(f lmaxaxax

Ej:

* Lmite del cociente entre dos funciones

0)x(g lmax

[ ] [ ] [ ]

=

quede no que siempre

g(x) lm: f(x) lm )x(g:)x(f lmaxaxax

Ej:

* Lmite de una funcin elevada a otra funcin, ambas continuas en todo su dominio

[ ] [ ]

>=

10 quede no que siempre

0f(x) con lmf(x)lm )x(f lm00

)x(g

ax

)x(g

axax

Ej:

* Lmite de funcin de otra funcin, ambas continuas en todo su dominio

[ ] [ ]{ } g(x)lm f)x(gf lm

axax =

Ej:

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5 * Lmite de una funcin acotada superior e inferiormente por otras dos funciones de lmites conocidos (Ley del

"sanguchito")

==

L)x(h lm)x(f lm

r)E(a; un en h(x)g(x)f(x) Si

axax L)x(g lm

ax=

5) Calculen los siguientes lmites determinados

a) ( ) 1-x2 lm3x

=

b) ( ) 2-x lm 21x

=

c) x1

lm21

x

=

d) 4x32

lm23

x

=

e) =

og(x)l lm100x

f) ( ) 1-3 lm x2x

=

g) =

1-x

0x31 lm h) =

en(x)s lm0x

i) =

)x(osc lm2

x j) =

g(x)t lm4

x

6) Calculen los siguientes lmites aplicando propiedades

a) [ ] =+

tg(x)(x) sen lmx

b) [ ] =+++

x78)og(xl lm2x

c) [ ] =+

3-1

6x5x.x lm

d) [ ] =

3

3xx).x(osc lm e) =

1-x3x

sen lm

0x f) =

2x

1x3 lm

g) ( ) =+

2x

0x

2

x2 lm h) =

3 x

2

8xx

21

x41

lm i) =

21x

3x

2

2 lm

j) ( )( )

=

25x5log

3xx lm k) ( ) =

+

x12

4xx-x3 lm l) =

+

3

2

1x x1x3x

lm

7) Calculen los lmites de las siguientes funciones conociendo el de otra funcin; apliquen propiedades

a) Si 6)x(flm 32f(x)3g(x)-4f(x)

lmaxax

==

Calcular =

)x(glmax

b) Si [ ] 5)x(flm 243g(x) lmax

)x(f

ax==

Calcular =

)x(glmax

Lmites notables

Para todo nmero real "a" positivo se tiene que:

+=

+

xa

lm0x

=

xa

lm0x

=

+

xa

lm0x

+=

xa

lm0x

0xa

lmx

=

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6

Indeterminacin 00

Cuando calculamos el cociente entre dos nmeros enteros a y b sabemos que el resultado debe obedecer dos reglas muy simples:

1) ab.c cba

== 2) c debe ser el nico nmero que verifique la primera condicin

Por ejemplo: 52

10= porque 5.2 = 10 y 5 es el nico nmero que verifica esta igualdad, no hay otro

Sin embargo, cuando se trata de dividir un nmero positivo o negativo por cero no es posible hallar un nmero que verifique las dos condiciones.

Por ejemplo, si tenemos 03

y suponemos que existe cierto nmero desconocido "x" que verifica la primera

condicin debera ser que 0 . x = 3 pero esto es un absurdo porque:

"todo nmero multiplicado por cero da cero" ( no 3 !)

Sin importar cun grande elijamos a "x", 0.x nunca va a dar 3 (va dar, como ya dijimos: cero). Es decir:

No es posible dividir un nmero positivo o negativo por cero Por otra parte, si tratamos de dividir cero por cero nos encontramos con una sorprendente situacin:

Parecera que 000

= puesto que 0 . 0 = 0

Y se estara cumpliendo as, la primera condicin. Sin embargo, cualquier observador notar que se podra afirmar:

100

= puesto que 0 . 1 = 0

Y del mismo modo, podra decirse que el "resultado" es ;...3 1001;- 117; 2; ;1 o cualquiera de los infinitos nmeros reales, es decir, el resultado no est determinado, por eso decimos que:

acinindetermin una es 00

Nota:

Afirmar que 100

= es como simplificar as 1001

1

= que conduce a contradicciones del tipo 0.1= 0.2 201.0

= 1=2 Absurdo!

el divisor

el "resultado"

El dividendo

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7

Casos bsicos de factorizacin de polinomios: recordatorio Factor comn: es la operacin que invierte los efectos de aplicar la propiedad distributiva

a(b+c) = ab + ac en el miembro de la derecha podemos ver que el factor a es comn a ambos trminos Para extraer el factor comn de una expresin del tipo ab + ac primero debemos ver cul es el que est repetido en todos los trminos. Luego, para hallar el factor que va dentro del parntesis, debemos dividimos cada uno de los trminos dados por el o los factores comunes considerados

Ej: )x23x(x2x4x6x2 2334 +=+ Ej:

+=+

23534 x32

53

xx52

x154

x256

x52

Diferencia de cuadrados:

2222 axaaxaxx)ax).(ax( =+=+

Es decir, cuando tenemos una diferencia entre dos potencias cuadradas es posible expresarlas como el producto entre la suma de las bases por la diferencia de las mismas:

)ax).(ax(ax 22 +=

Ej: )2x)(2x(2x4x 222 +== Ej: )1x)(1x(1x1x 222 +== Gauss- Ruffini: Si un nmero a es raz de un polinomio (P(a)=0), entonces x a divide al polinomio (teorema de Gauss). Luego, como x - a es un divisor de la forma Ruffini , es posible aplicar su algoritmo ("tablita") para hacer dicha divisin, con lo cual el polinomio quedar factorizado de la siguiente forma:

P(x) = (x-a).C(x) siendo C(x) el polinomio cociente Ej:

2x3xP 3)x( += vemos que 021.31P3

)1( =+= por lo tanto 1x = es raz,

con lo cual 1x divide a )x(P y es posible aplicar Ruffini:

-1 0 3 -2 1 -1 -1 2 -1 -1 2 0

Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente, es decir: C(x): - x2 -x+2

Entonces podemos expresar el polinomio original como:

P(x) = (x-1).(-x2 x+2) que es el polinomio ya factorizado por una de sus races

Coeficientes ordenados y completos del dividendo

raz Resto: si lo hicimos bien SIEMPRE debe dar CERO

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8

Clculo de lmites que presentan una indeterminacin 0/0 En algunos casos es posible usar la factorizacin de las expresiones para "salvar" la indeterminacin. Ej:

00

1x1x

lm2

1x=

dado as, no es posible determinar su valor, por eso vamos a factorizar

numerador y denominador de la siguiente forma:

( )( ) ( )( ) [ ] 21xlm1x

1x1xlm

1x1x1x

lm1x1x

lm1x1x1x

2

1x=+=

+=

+=

Fjense que x -1 NO ES CERO porque estamos considerando que x tiende a 1, NO QUE SEA 1. Esto ocurre porque estamos trabajando en un entorno reducido de centro 1 y radio muy pequeo, con lo cual la simplificacin es VLIDA. Es posible que al factorizar y simplificar una vez, an se mantenga la indeterminacin. Si ste es el caso, slo debemos volver a factorizar la expresin resultante (numerador y denominador) para hacer una nueva simplificacin a fin de salvar la indeterminacin y calcular el lmite pedido.

8) Calculen los siguientes lmites. Si hay una indeterminacin 0/0 slvenla factorizando la expresin

a) 8 :Rta 4x16x

lm2

4x=

b) 2 :Rta 1x

1xlm

2

1x=

c) 0 :Rta 3x9x6x

lm2

3x=

+

d) 5

1- :Rta

5x1x11x

lm 42

0x=

+

e) 2- :Rta 4x24x

lm2

2x=

+

f) 0 :Rta

1x1x2x

lm2

1x=

+

g) 0 :Rta 1x4x8x4

lm2

1x=

+

++

h) 2 :Rta 2x

9x3lm

6

1x=

i) 52

- :Rta 5x105x4

lm2

21

x

=+

j) 85

:Rta 16x

4x3xlm 2

2

4x=

+

k) 45

:Rta 4x

6xxlm 2

2

2x=

+

l)

154

- :Rta 8x2x5x

6x7xlm 23

3

1x=

++

+

m) 1- :Rta 2xx4x6x7x

lm 233

1x=

++

+

n) 1 :Rta 1x2x

2x5x4xlm 2

23

1x=

++

+++

Abuso de notacin: Cuando los lmites laterales dan infinitos de distintos signos, decimos que el lmite para ese valor de "x" de f(x)

es infinito, sin anteponerle ningn signo, es decir: (ojo!, no se trata de un nmero sino de un concepto)

a) =

:Rta 3x

1lm

3x b) =

+ :Rta

2x25

lm1x

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9

Operaciones con infinito (ojo!)

Algunas operaciones que incluyen al infinito pueda prestarse a confusin si las tratamos como si fueran finitas. En general tendemos a pensar que:

0= y 1=

Eso ocurre slo porque lo asimilamos al hecho conocido de que para cualquier NMERO a:

0aa = y 1aa

0a si = lo cual, por supuesto, es CIERTO

Sin embargo, veremos que suceden cosas sorprendentes al tratar con "bichos" infinitos. Caso - Si )x(glm )x(flm

xx ++ son infinitos de igual signo, se tiene que [ ])x(g)x(flm

x

+ es una indeterminacin

Veamos: Dada una funcin f(x) siempre es posible reescribirla como otra funcin h(x) del siguiente modo:

)x(h1

)x(f = con lo cual resulta, por simple despeje: )x(f

1)x(h =

y lo mismo para g(x), es decir: )x(t

1)x(g = y

)x(g1

)x(t =

Reescribiendo tendremos: [ ]

=

++ )x(t1

)x(h1

lm)x(g)x(flmxx

Por otra parte, es relevante observar que:

==++ )x(h

1lm 0)x(hlmxx

y lo mismo para g(x): ==++ )x(t

1lm 0)x(tlmxx

Trabajemos ahora la ltima expresin con denominador comn como suma de fracciones:

[ ] 00

0.000

)x(t).x(h)x(h)x(t

lm)x(t

1)x(h

1lm)x(g)x(flm

xxx=

=

=

=

+++

Por lo visto, - NO ES CERO, sino que se trata de una indeterminacin 00

Ejemplos: 1) ( ) +==

++

)1x(xlm xxlmx

2

x

2) ( ) 00lm xxlmxx

==++

3) ( )[ ] ( ) 44lmx4xlm x4xlmxxx

==+=++++

INDETERMINACIN

INDETERMINACIN pues puede dar cualquier cosa

segn el caso

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10

9) Calculen los siguientes lmites. Si hay una indeterminacin ---- slvenla trabajando la expresin

a) ( ) xxlm 55x

=+

b) ( ) xxlm23

x=

+ c) ( )[ ] x4xlm

x=+

+

d) ( ) x7x2lm 55x

=+

e) ( ) x2x5lm23

x=

+ f) x3

54x

35

lmx

=

+

+

+

g) ( ) xxlm 55x

=

h) ( ) xxlm23

x=

i) ( )[ ] x4xlm

x=+

j) ( ) x7x2lm 55x

=

k) ( ) x2x5lm23

x=

l) x3

54x

35

lmx

=

+

Caso

Es posible trabajarlo con las mismas funciones y condiciones que el caso anterior

=

)x(t1

)x(h1

lm)x(g)x(f

lmxx

y por divisin de fracciones: 00

)x(h)x(t

lm

)x(t1

)x(h1

lmxx

==

Ejemplos:

1) 11lm xx

lm xx

lmxxx

==

=

2) 0x1

lm xx

lm xx

lmx

2x

2x

=

=

=

3) ==

=

xlm xx

lm xx

lmx

2

x

2

x

Lmite de variables tendiendo a infinito entre cocientes de funciones polinmicas

Son casos como el siguiente 1x22x5

lm3

x=

+

+

+

Si tratsemos de calcular el lmite por reemplazo directo nos encontraramos ante una indeterminacin del tipo:

Para salvar la indeterminacin vamos a usar un viejo truco: multiplicar y dividir por un mismo nmero. En nuestro caso lo adaptaremos usando como "nmero" a la mxima potencia con la que aparezca "x", ya sea en el numerador o en el denominador. Esto lo podemos hacer porque x tiende a infinito y, por lo tanto, nunca es cero. En nuestro ejemplo es x3

05

0005

x1

x

x2x2

xx5

lm

x1

xx2

x2

xx5

lm

x1x2

x2x5

lmxx

1x22x5

lm 1x22x5

lm33

33

3

x

33

33

3

x

3

3

3

x3

33

x

3

x

2

==+

+=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+=

+

+

INDETERMINACIN

INDETERMINACIN pues puede dar cualquier cosa

segn el caso

= 0 = 0

= 0

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11 Regla prctica

Si el grado de f(x) grado de g(x) entonces el lmite da infinito y su signo es el del coeficiente principal de f(x)

Si el grado de f(x) < grado de g(x) entonces el lmite da cero Si el grado de f(x) = grado de g(x) entonces el lmite da el cociente entre los coeficientes

principales de ambas funciones polinmicas

Ejemplos: =+

+

1x31x4x5

lm3

x =

4xx

lm2

x 0

8xx4xx5

lm 85

x=

+

23

xx21xx3

lm 344

x=

+

+

10) Calculen los siguientes lmites. Si hay una indeterminacin

slvenla usando las reglas vistas

a) =

4x16x

lm2

x b) =

1x1x

lm 57

x c) =

+

3x9x6x2

lm 52

x

d) =

++

1x1x11x

lm 77

x e) =

+

4x24x

lm 22

x f) =

+

+

9x1x5x

lm 67

x

g) =+

++

1x34x8x4

lm 66

x h) =

++

+

8x2x5x56x7x3

lm 233

x i) =

+

2x3xx

lm3

x

j) =+

+

1x32x4x

lm 55

x k) =

+

++

82x25xx11xx3

lm 2553

x l) =

2x3xx

lm5

x

Clculo de lmites de variable infinita de funciones del tipo: [ ])x(g)x(f

Bastar aplicar la siguiente regla de los lmites:

[ ] [ ]

=

10

lmf(x)lm )x(f lm00

)x(g

ax

)x(g

ax

quede no que siempre

ax

11) Calculen los siguientes lmites. Usen las reglas vistas

a) 4:Rta 3x9x6x2

lm1xx

1x2

2

2

x

2

2

=

+ ++

b) 64 :Rta 3x

9x6x8lm

1x1x2

5

5

x

3

3

=

+ +

c) 8:Rta 1x9x6x

lmxx

x22

1x

2

2

=

+

++ +

d) 0:Rta 3x

9x6xlm

2x42

3x=

+

e) 1:Rta 3x9x6x2

lm1xx

1x2

2

2

x

5

2

=

+ ++

f) 4

1:Rta

3x9x6x2

lm1xx

1x2

2

2

x

2

2

=

+ ++

g) 1:Rta 2x4x

lm2x4x

2

2x

2

=

+

h) 1:Rta 1x2x2

1x4x3x2lm

1x2x1x

11

211

x

3

2

=

++

+ +

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