Fascículo 4 - Matemática Educación Inicial, Primaria y Secundaria

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    11-Feb-2017

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  • 2014

    Secretara de EducacinSubsecretara de Estado de Promocin

    de Igualdad y Calidad Educativarea de Polticas Pedaggicas y Curriculares

    Desarrollo Curricular

    MEJORA EN LOS APRENDIZAJES DE LENGUA, MATEMTICA Y CIENCIAS

    Una propuesta desde el desarrollode capacidades fundamentales

    4 MatemticaEducacin Inicial,Primaria y Secundaria

  • - 01 -

    Desarrollar capacidades fundamentales en las clases de Matemtica

    El hacer matemtico debiera ser una actividad que permitiera a todos acceder a la cultura matemtica. Desde este perspectiva, la clase de matemtica ha de ser concebida como un lugar para resolver problemas, para reexionar acerca de lo realizado, para generar ideas matemticas sobre lo producido, en vez de un espacio donde se reproduce la matemtica apelando a tcnicas y deniciones aprendidas de memoria (Gobierno de Crdoba, Ministerio de Educacin, 2010).

    En este documento, recuperamos algunas propuestas que ponen en relacin la enseanza de los contenidos matemticos con el desarrollo de capacidades fundamentales, en el marco de los procesos de mejora de los aprendizajes en esta disciplina, prioridad pedaggica jurisdiccional. En la presentacin de estas propuestas, nos ha interesado particularmente enfatizar los modos en que el docente ha de intervenir para promover, en las clases de Matemtica, el abordaje y resolucin de situaciones problemticas; la oralidad, la lectura y la escritura; el pensamiento crtico y creativo y el trabajo en colaboracin para aprender a relacionarse e interactuar. Como en los dems materiales de apoyo de esta serie, corresponder a cada escuela decidir qu procesos situados y adecuaciones debe promover en funcin de su proyecto, los sujetos y los contextos.

    - 01 -

    No importan tanto los clculos ni los algoritmos en s mismos, sino lo que la gente puede llegar a hacer con ellos en su vida cotidiana para estar mejorSe necesita una matemtica que ayude a la gente a pensar y actuar.Yves Chevallard, 2013

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    Una clave para lograr una matemtica que ayude a la gente a pensar y actuar es que las situaciones de enseanza propicien la construccin de sentido de los conocimientos matemticos. El abordaje y resolucin de situaciones problemticas constituye el marco adecuado para que esto efectivamente acontezca en las salas y en las aulas.

    Otra clave es la que debe darse desde el inicio, desde la intervencin del docentepresentacin del problema, para que el estudiante se haga cargo de l. Es fundamental que el docente se ocupe de que los estudiantes efectivamente comprendan en qu consiste el problema, sin dar orientaciones respecto de cmo debe resolverlo. Asimismo, le corresponde intervenir para recuperar y presentar diferentes producciones, para propiciar que los estudiantes las comparen y examinen la validez de sus respuestas.

    Es importante que la gestin de la clase incluya diferentes instancias (Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa, p. 72):

    1. Momentos de presentacin de situaciones problemticas.2. Momentos de resolucin de situaciones problemticas, en los que el rol del

    docente se focaliza en aclarar consignas y alentar la resolucin dando pistas sin intervenir de modo directo y sin decir cmo hacer.

    3. Momentos de confrontacin de resultados, de procedimientos y de argumentos empleados, en los que el docente organiza la reexin sobre lo realizado.

    4. Momentos en los que el docente realiza una sntesis de los conocimientos a los que lleg el grupo y establece las relaciones entre el conocimiento que circul en la clase y aquel que pretenda ensear; pone nombres a las propiedades, en caso de que sean nuevas, reconoce ciertos conocimientos producidos por los estudiantes y los vincula con otros ya estudiados, o con nuevos a trabajar.

    En funcin de su relevancia para el desarrollo de la capacidad, vamos a centrarnos en dos de estos momentos:

    - Momento de resolucinPara que las actividades propuestas constituyan verdaderos problemas para los estudiantes, deben gestionarse de modo que en las resoluciones aparezcan tanto ideas acertadas como errneas, para dar luego lugar al debate. El docente despliega diferentes estrategias para que los estudiantes resuelvan grupalmente y justiquen lo que hacen frente a sus compaeros de grupo. Interviene cuando los estudiantes lo necesitan, proporcionando informacin relevante que ellos no puedan obtener por s mismos; ayuda a resolver dicultades, sin dar informaciones sobre cmo resolver el problema planteado.

    Abordaje y resolucin de situaciones problemticas

  • Dar lugar a la confrontacin de las armaciones producidas, defendiendo los propios puntos de vista, considerando los de otros y aceptando errores como parte del aprendizaje potencia el desarrollo del pensamiento crtico.

    - 03-

    - Momento de confrontacin

    Posteriormente al trabajo con el problema, se da lugar una instancia de debate, que se podr organizar en funcin de respuestas similares, procedimientos ms econmicos para arribar al contenido que se quiere abordar, dando la posibilidad de que todos los procedimientos que circulen sean tenidos en cuenta. De esta manera, el error de los estudiantes es motivo de reexin para toda la clase. Durante el debate el docente interviene:

    Como moderador en el debate, para promover el anlisis acerca de la veracidad o falsedad de un enunciado matemtico; por ejemplo: da la palabra, toma notas, reexiona en voz alta, pide que el estudiante fundamente.

    Para que los estudiantes se apropien de las reglas del debate: un contraejemplo es suciente para probar que un enunciado matemtico es falso y, adems, con ejemplos o con dibujos geomtricos no alcanza para probar que es verdadero: el estudiante para debatir deber apoyarse en propiedades y deniciones matemticas.

    Para instalar el lenguaje matemtico para la comunicacin; por ejemplo, reponiendo los trminos tcnicos especcos, pidiendo a los estudiantes que reformulen una frase coloquial.

    Pensamiento crtico y creativo en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

    El pensamiento crtico y creativo es una capacidad que se integra con otras; por ejemplo, con la resolucin de situaciones problemticas, pero para ello se debe instalar una gestin de la clase donde se habilite la palabra del estudiante, donde se los incentive a hacerse cargo de la resolucin, a controlar su produccin para asegurarse de que tanto su respuesta a la pregunta planteada como el procedimiento utilizado para obtenerla son vlidos. Se trata, entonces, de propiciar que los estudiantes se responsabilicen matemticamente de sus producciones. Le corresponde entonces al docente pensar en modos de intervencin propicios para que el estudiante no slo utilice diferentes estrategias de resolucin de problemas, sino que fundamente lo q u e h a c e a r g u m e n t e e n f a v o r d e s u s , procedimientos, sea capaz de descentrarse de sus producciones e introducirse en las de sus compaeros en vez de quedarse a la espera de la palabra del docente que le conrme si lo que ha producido est bien o mal.

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    Oralidad, lectura y escritura en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

    En el proceso de resolucin de problemas, la intervencin del docente debe darse desde el comienzo en la presentacin del problema-, lo que implica intervenir para que el estudiante se haga cargo del problema, asegurarse de que comprende lo que escucha/lee, sin dar orientacin sobre qu debe hacer o cmo debe hacerlo.

    El trabajo en torno al desarrollo de la oralidad, la lectura y la escritura se hace especialmente presente cuando el docente formula el desafo y se ocupa de cerciorarse de que el estudiante comprende el enunciado de la situacin que se le presenta. Por ello, es fundamental pensar en situaciones problemticas expresadas como textos que ofrezcan cierta resistencia al lector, que superen la induccin con palabras claves que sugieren qu hacer.

    Trabajo en colaboracin para aprender a relacionarse e interactuar en el marco de la resolucin de problemas

    La resolucin de problemas contempla resolver y reexionar sobre lo realizado (una explicacin que avale lo hecho, que permita explicar las ideas y las nociones que tuvieron en cuenta). Como la actividad matemtica es una actividad social, el estudiante no construye el conocimiento solo, sino en interaccin con otros. Desde este punto de vista es fundamental el trabajo grupal, el anlisis de las producciones de los compaeros y adems escuchar las objeciones de los dems y del docente.

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    Abordaje y resolucin de situaciones problemticas

    En la propuesta Buscamos objetos y los reutilizamos para construir juguetes, podemos ver algunos ejemplos de intervencin docente en el desarrollo de una

    secuencia didctica orientada a que los nios avancen en el conteo y en la e x p l o r a c i n d e p r o d u c c i n e interpretacin de escrituras numricas

    en una sala de 5 aos.

    La propuesta corresponde a la Coleccin Pensar la Enseanza, Tomar decisiones: Educacin Inicial y est disponible en:http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/documentos/PENSAR%20LA%20ENSENANZA%20-%20ED%20INICIAL.pdf

    En esta propuesta, y para favorecer la reexin mientras los nios resuelven el problema, el docente interviene en cada mesa con interrogantes y solicitando explicaciones. Por ejemplo, durante el control de lo juntado por una pareja durante tres das, plantea:

    Cmo te diste cuenta de que ? Si no sabs cmo se escribe dnde pods mirar para ayudarte?

    Qu tienen de parecido lo que anotaron Juan y Ana?

    Quin de la mesa tiene mayor cantidad de .juntados? Cmo podemos saber quin junt ms? Cmo se dieron cuenta?

    En un juego en el que se usa un dado y un tablero con obstculos para llegar a la meta, el docente interviene con interrogantes que llevan a los nios a reexionar y anticipar el resultado. Por ejemplo, pregunta:

    Cunto tendra que salir en el dado, para que no pierdas un turno?

    Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los nios sientan que los errores y los aciertos surgen en funcin de los conocimientos que circulan en la clase, es decir que pueden ser discutidos y validados con argumentos y explicaciones(..). El hecho de justicar qu se hizo, cmo se hizo por qu se hizo

    EDUCACIN INICIAL

    Momento de resolucin de situaciones

    problemticas

    Momento de confrontacin

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    si est mal o bien implica de hecho una reexin sobre la tarea realizada y una nueva mirada sobre el problema, pero desde la posicin de alguien que ya lo ha desmenuzado, porque ya lo ha resuelto (Argentina, Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa, 2007, p.28 y 187).

    Algunas alternativas: El maestro hace pblico un procedimiento. El maestro muestra varios procedimientos que surgieron en los grupos. El maestro organiza la puesta en comn en funcin de respuestas similares. El maestro muestra a la clase un procedimiento importante que no surgi en los grupos.

    Retomemos la propuesta Buscamos objetos y los reutilizamos para construir juguetes. All podemos ver que el docente:

    Promueve que se analice entre todos lo producido por un grupo. Por ejemplo:

    Selena y Dana juntaron hasta ahora siete. Dana escribi 7. Estn de acuerdo con lo que anot Dana?; qu opinan?

    Miren: Joaqun y Tobas juntaron nueve y anotaron as: 9. Qu piensan ustedes?

    Propicia el anlisis de algunas respuestas incorrectas. Por ejemplo:

    Pedro y Federico juntaron 16, Susana y Ana tambin coleccionaron 16. Pedro y Federico anotaron as: 16. Susana y Ana anotaron en forma incorrecta. Por qu Susana y Ana anotaron mal? Cmo se dieron cuenta? Cmo haran para convencer al compaero de la anotacin correcta? (se sugiere que observen si todos empiezan igual).

    Si volvemos a la secuencia didctica contenida en la propuesta Buscamos objetos y los reutilizamos para construir juguetes, podremos ver algunas intervenciones del docente destinadas a que los nios analicen producciones de sus compaeros:

    Estuve mirando las anotaciones de lo que haban juntado ayer miren: para anotar siete, SELENA Y DANA usaron varias formas de anotar:

    - Selena anot as: XXXXXXX - Dana anot as: 7

    Qu les parecen estas anotaciones? Cul de las dos formar de anotar elegiran para anotar lo juntado, Ana? La forma de anotar de SELENA o la forma de registrar de DANA?

    El destacado es nuestro.1

    1

    Pensamiento crtico y creativo en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

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    Juan quiere anotar en el papel 26 y anota 16; qu opinan?

    Como hemos dicho, el trabajo en torno al desarrollo de la oralidad y la lectura se hace presente especialmente en el momento de presentacin de la situacin problemtica cuando el maestro formula el desafo y se ocupa de cerciorarse de que el nio comprende el enunciado de la situacin que se le presenta. En el siguiente ejemplo, se muestran algunas intervenciones del docente para ayudar a comprender:

    El maestro acude a lectura asistida: se encarga de leer el enunciado de la situacin en voz alta; mientras lo hace, recalca el signicado de alguna palabra que puede constituir un obstculo para la comprensin, realiza comentarios sobre lo que lee (aqu nos est diciendo que, escuchen lo que dice aqu), se hace preguntas que traslada a los estudiantes (yo me pregunto si;a ustedes qu les parece).

    En la propuesta Buscamos objetos y los reutilizamos para construir juguetes, se promueve de modo permanente la interaccin de los nios en el grupo de trabajo y las intervenciones del docente se orientan, con frecuencia, a promover el anlisis de las producciones y los intercambios de pareceres y propuestas. Por ejemplo, en este caso que ya consideramos al abordar, anteriormente, el momento de confrontacin:

    Pedro y Federico juntaron 16, Susana y Ana tambin coleccionaron 16. Pedro y Federico anotaron as: 16. Susana y Ana anotaron en forma incorrecta.

    Por qu Susana y Ana anotaron mal? Cmo se dieron cuenta? Cmo haran para convencer al compaero de la anotacin correcta? (se sugiere que observen si todos empiezan igual).

    Qu aprendizaje y contenidos se han abordado en las situaciones que hemos considerado en directa relacin con la adquisicin y desarrollo de capacidades?

    Oralidad, lectura y escritura en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

    Trabajo en colaboracin para aprender a relacionarse e interactuar en el marco de la resolucin de problemas

    ?

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    LA CAJITA DE LOS CIEN Primer Grado

    Materiales: una caja de fsforos, con divisin a la mitad, con 10 bolitas.

    Organizacin de la clase: la clase se organiza en grupos de cuatro nios cada uno.

    Desarrollo: Cada equipo se le entrega una cajita de fsforos grande con una ranura en el cartn que divide la parte de adentro y 10 bolitas en su interior.

    Por turno, cada nio mueve la caja cerrada para provocar el pasaje de bolitas de un lado a otro de la caja y, luego de apoyarla sobre la mesa, la abre hasta la mitad. Observa las bolitas que estn a la vista y anticipa cuntas hay en la mitad tapada. Cada bolita vale 10 puntos. Por ejemplo, si ve dos bolitas (dice veo 20 puntos) y anticipa lo que no ve (dice: no veo 80).El resto del equipo expresa si est o no de acuerdo y luego se abre la caja para vericarlo. En caso de ser correcta la anticipacin, el jugador gana un punto. Luego, el nio debe realizar el registro del clculo y pasa el turno al siguiente compaero. Despus de cuatro vueltas, gana el nio que anot ms puntos.

    En el material audiovisual La intervencin docente en la clase de Matemtica, se incluye la lmacin de clase correspondiente a La cajita de los cien. El DVD est disponible en las escuelas y tambin se puede acceder a los videos a travs de los siguientes links:

    - La cajita de los cien http://www.youtube.com/watch?v=BA0yuvVDMl8 - La cajita de los cien- escenas en Primer grado: http://www.youtube.com/watch?v=v82TLd2R0sM

    Veamos ejemplos de estrategias de intervencin docente para generar la reexin durante la resolucin del problema (en un grupo). El docente solicita explicaciones:

    Est bien que haya puesto 1 punto?

    Cuntos puntos gan Simn? Por qu?

    Est bien que haya puesto dos puntos a vos tambin te dio 60 ms 40 cmo lo pensaste? A ver

    Contanos Tobas, cmo lo pensaste?

    EDUCACIN PRIMARIA

    Abordaje y resolucin de situaciones problemticas

    Momento de resolucin de situaciones

    problemticas

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    Pero Juan escribi as eso lo pensaste solo o te ayudaron?vos viste el castillo, a ver, sealame en el castillo cmo te ayudaste

    Cmo se dieron cuenta, miren como hizo Juan con el 90.

    Cul forma es ms fcil?

    LBUM DE FIGURITAS. Primer Grado

    La propuesta es completar el lbum de guritas, una de las actividades habituales del Jardn. Podr recuperarse en primer grado mediante

    variadas actividades donde se d lugar a la reexin sobre lo producido, la confrontacin de producciones y la reformulacin de ideas sobre la escritura

    de nmeros. Los nios podrn disponer de un lbum y de un cuadro con nmeros (organizados de manera que los nudos de las decenas queden todos en la misma columna) para tachar los que correspondan a guritas pegadas, como tambin de un papel para anotar los nmeros de las guritas que vayan a pegar diariamente.

    La propuesta est disponible en el documento Unidad Pedaggica: Leer y escribir nmeros, disponible en http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-

    CBA/publicaciones/UnidadPedagogica/Leer%20y%20escribir%20numeros.pdf

    Veamos algunas estrategias de intervencin docente:

    Para superar la mera propuesta de completar con guritas y generar problemas que le den sentido tanto a la interpretacin como a la produccin de escrituras de nmeros, se pueden formular preguntas y analizar respuestas. Por ejemplo:

    El docente apela a que los nios reexionen sobre el error.

    Juan quiere pegar la gurita nmero 53 y, al tratar de resolverlo, se encuentra con un espacio indicado con el nmero 35. Qu opinan? cmo lo ayudaran?

    Puedo decirles algo que pas en esa mesa? Ella al ver este nmero (53) me dijo este es el treinta y cinco.

    Yo le pregunt cmo sabs que es el treinta y cinco? Porque tiene un cinco y un tres, me dijo. Es as?.

    El docente hace pblico un procedimiento de los estudiantes para favorecer la reexin acerca de un procedimiento.

    Las chicas me hicieron una pregunta y vamos a ver si las podemos ayudar.

    Momento de confrontacin

  • - 10 -

    Me acaban de preguntar si ste (anota 25 en el pizarrn) es el cincuenta y dos qu opinan ustedes?

    El docente muestra varios procedimientos que surgieron en los grupos:

    Estas son las soluciones al problema que hicieron Juan y Estebanpor turno nos van a contar cmo llegaron a esas conclusiones.

    El docente organiza la puesta en comn en funcin de respuestas similares:

    En qu se parecen estas formas de anotar? En qu se diferencian? Alguien escribi parecido a alguna de estas formas?

    ESCOBA DEL UNO: SUMAS QUE DAN 1. Sexto Grado

    Materiales: se necesitan 2 mazos de 32 cartas cado uno: uno rojo y uno azul. Cada mazo est formado por cartas con rectngulos y, en cada caso, se han pintado: 2 cartas con 1/2, 3 cartas con 1/3, 4 cartas con 1/4, 6 cartas con 1/6, 8 cartas con 1/8, 9 cartas con 1/9.Organizacin de la clase: se juega entre 3 o 4 jugadores.

    Desarrollo: se reparten 3 cartas a cada jugador y se colocan 4 cartas boca arriba en el centro de la mesa. Cada jugador, por turno, trata de formar un entero con una de sus cartas y la mayor cantidad posible de cartas de la mesa. Si lo forma, las levanta y las coloca a su lado. Si no puede formar un entero, tira una de sus cartas al centro de la mesa. Contina el siguiente jugador. Una vez que juegan los 4 jugadores, se reparten nuevamente 3 cartas a cada uno, pero no se agregan nuevas cartas al centro. Gana un punto cada jugador que haya formado un entero recogiendo todas las cartas de la mesa y otro punto por el mayor nmero de cartas recogidas.

    En el material audiovisual La intervencin docente en la clase de Matemtica, se incluye la lmacin de clase correspondiente a Escoba del uno- . El DVD est disponible en las

    escuelas y tambin se puede acceder a los videos a travs del siguiente link:

    - Escoba del uno: http://www.youtube.com/watch?v=KoKBHchyVoU&feature=youtu.be

    - Escoba del uno, escenas: http://www.youtube.com/watch?v=eUEtlDrPYnc

    Veamos algunos ejemplos de estrategias de intervencin docente: El docente hace pblico un procedimiento, para favorecer la reexin acerca de l.

    Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa de la Nacin, 2007, p.104. 2

    2

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    Esteban arma: yo tengo un octavo, le sumo un octavo, me da un cuarto, ms un cuarto, un medio; ms un medio, un entero: qu opinan?

    El docente traslada la pregunta a la clase: para analizar esta jugada y trasladar la pregunta a la clase, el docente puede incluir armaciones o interrogantes tales como:

    l tiene un octavo, ac hay un octavo, hay un cuarto y un medio: puede llevarse?

    El docente pone en duda lo correcto: para promover la justicacin de lo realizado, puede incluir preguntas como:

    Por qu decs que no pods levantar?

    Te falta?; te sobra?; cunto?

    El docente retoma una armacin:

    Escuchamos lo que est diciendo Luciana. Ella dice que 3/6 ms hacen qu cosa? Un entero.

    El docente genera discusiones relevantes: el maestro presenta un conjunto de cartas que previamente ha seleccionado, considerando como criterio el elegir las partidas ms pertinentes para introducir las discusiones. El docente puede incluir armaciones o interrogantes tal como:

    Qu haras entonces vos con tu noveno? El dice que

    ALGUNAS OBSERVACIONES: La intervencin del tipo ests seguro? puede provocar que el estudiante suponga que lo que pens, dijo o hizo est mal y abandone la resolucin del problema. Para evitarlo, sera conveniente que el docente -sin dar la respuesta- intervenga con expresiones como:

    Te acords cuando realizamos...? (y vuelve sobre trabajos anteriores que sirvan de punto de partida).

    Qu pasa si tens este caso? (y presenta contraejemplos). Mir lo que dice... (y propone la reexin sobre la propuesta de otro estudiante).

    Es necesario que el maestro gestione el trabajo en el aula para que los estudiantes determinen si son verdaderas o no las conjeturas producidas al explicar los procedimientos que usaron; por ejemplo, al resolver problemas o al hacer un clculo. Dar cuenta de la verdad o falsedad de las conjeturas elaboradas, requerir elaborar justicaciones basadas en conocimientos matemticos. As, por ejemplo, para determinar la verdad o no de la conjetura multiplicar por 8 da el doble de multiplicar por

    Pensamiento crtico y creativo en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

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    4, ser necesario identicar que 8 = 2 x 4, recurriendo a la propiedad asociativa.

    Por ello, cobra especial relevancia una gestin de la clase que posibilite que los estudiantes se apropien de diferentes formar de validar. Esto implica involucrarlos en la elaboracin de pruebas, uno de los aspectos del procedimiento de la validacin.En las pruebas pragmticas, la justicacin de lo realizado se funda en propiedades usadas implcitamente y que se comprueban mediante la accin; implica un saber hacer y se acude a un lenguaje familiar. En las pruebas intelectuales, la justicacin de la actividad se basa en conocer la verdad alejndose de la accin, ya que se apoyan en formulaciones de las propiedades en juego y de sus relaciones. El lenguaje pasa a ser funcional, despersonalizado, descontextualizado y destemporalizado. Dentro de las pruebas intelectuales, se ubica la demostracin.

    En la clase de sexto grado - Escoba del uno se puede analizar cmo los estudiantes validan sus armaciones usando distintos tipos de pruebas: pragmticas (se apoyan en la equivalencia de las representaciones) e intelectuales (recurren a argumentos que no se apoyan en una accin material). Por ejemplo:

    1) Para explicar se apoyan en dibujos; miran las cartas (trabajo en cada grupo).

    Con 1/3, 1/6 y 1/2 puedo armar un entero.

    Un medio ms otro medio puedo armar un entero.

    Con tres cartas de un tercio se forma un entero.

    2) Para explicar se apoyan en relaciones entre las partes y con el entero (el docente presenta un conjunto de cartas para generar las discusiones): van a buscar la mejor posibilidad de levantar o a pensar qu cartas tirar para que su compaero no pueda levantar. El docente apela a que los estudiantes usen conocimientos disponibles:

    1/8+1/8 es un 1/4.

    1/4+1/4 es un medio.

    1/6 ms otro sexto es un 1/3.

    1/3 ms otro tercio: llego a 2/3.El docente, al dar la palabra a los estudiantes, ayuda a que cuestionen lo establecido y exploren nuevas alternativas, y da lugar a la exibilidad ante las propuestas que ellos realizan. Promueve la bsqueda de respuestas y no demanda una solucin estereotipada puesto que los estudiantes deben acudir a diferentes procedimientos (pruebas).

    Prueba: es una explicacin aceptada por una comunidad en un momento dado (lo que exige determinar un sistema de validacin comn entre los interlocutores). Cabe destacar que llegar a la demostracin es responsabilidad de la Educacin Secundaria.

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    Hemos dicho que es fundamental pensar en situaciones problemticas expresadas como textos que ofrezcan cierta resistencia al lector, que superen la induccin con palabras claves que sugieren la operacin a realizar (por ejemplo: Comi dos cuntos le quedan?). Ante estos disparadores, el estudiante se limita a:

    - buscar esas palabras y a mirar los nmeros que le dicen qu operacin usar; - asociar un indicador textual (particularmente en porcentajes y fracciones) en el

    que ciertos trminos (por ejemplo, por ciento) indican que se debe trabajar calculando porcentaje;

    - encontrar datos sucientes (usualmente no sobran ni faltan datos) y preguntar al docente indicios que le permiten resolver con una operacin:"Es de sumar?" "Es de multiplicar?"

    Para superar prcticas con problemas rutinarios (con palabras claves) y, al mismo tiempo, desarrollar la oralidad, la lectura y la escritura, el docente puede:

    Solicitar a los estudiantes que, ante el enunciado de un problema:

    Expresen el problema -oralmente y/o por escrito- con otras palabras.

    Expliquen a los compaeros en qu consiste el problema.

    Sealen dnde se presenta la dicultad de la tarea.

    Respondan a interrogantes, tales como: Qu dice el enunciado del problema, y acerca de qu habla? De qu trata cada oracin, cul es el sentido global del texto? Aparecen muchas palabras o expresiones difciles / nuevas? Se trata de palabras especcas de Matemtica?

    Sealen palabras que no comprenden y las clasiquen como: a) palabras con un uso y un signicado propio en la prctica matemtica, diferente del signicado que tienen en el lenguaje coloquial (por ejemplo, diferencia); b) palabras propias del lenguaje matemtico no compartidas con el lenguaje comn (por ejemplo, bisectriz y perpendicular); c) palabras de lenguaje comn, de uso frecuente o ms familiares para el estudiante (por ejemplo, vitico o precio).

    Invitar a discutir problemas formulados con palabras claves que inducen a error, para llevar a los estudiantes a desconar de las estrategias de lectura vinculadas con esas palabras claves que indican qu hacer, tales como gan, total y ms qu -asociadas a la suma-, perdi, asociada a la restaPor ejemplo, el problema: Juan comi ayer dos alfajores y su ta hoy le regala un alfajor cuntos alfajores comi en total? El enunciado

    Oralidad, lectura y escritura en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

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    da lugar a que los nios consideren que para responder a la pregunta cuntos comi? debern sumar, asocian total a la suma (2+1) sin tener en cuenta que en el enunciado dice le regala, lo cual no implica que haya comido ese alfajor.

    Tercer grado

    Veamos algunos ejemplos de intervenciones del docente para ayudar a comprender:

    El maestro realiza lectura asistida: se encarga de leer el enunciado de la situacin en voz alta; mientras lo hace, recalca el signicado de alguna palabra que puede constituir un obstculo para la comprensin, realiza comentarios sobre lo que lee (aqu nos est diciendo que, escuchen lo que dice aqu), se hace preguntas que traslada a los estudiantes (yo me pregunto si;a ustedes qu les parece).

    El maestro plantea interrogantes para ayudar a los nios a interpretar el enunciado:

    Cules son los datos que tienen?

    Podran contarme qu dice el enunciado del problema?

    Primer Grado

    Vinculacin de la capacidad de resolucin de situaciones problemticas con la lectura de textos discontinuos.

    Problema presentado: cuntos huevos se comieron?En primer trmino, el docente les cuenta a los nios que el dueo de un restaurante recibi a un grupo de chicos que pidieron huevos fritos para comer y que l decidi ordenar en este

    Se sugiere considerar las intervenciones del docente durante la presentacin del juego El mayor con dados

    En el material audiovisual La intervencin docente en la clase de Matemtica, se incluye la lmacin de clase correspondiente a El mayor con dados. El DVD est disponible en las escuelas y tambin se puede acceder a los videos a travs del siguiente link:El mayor con dados. Tercer grado: http://www.youtube.com/watch?v=tsKOrKXLoxI

    En los textos discontinuos, la informacin se presenta en forma de cuadros o grcos, tablas, diagramas, mapas

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    dibujo para contar todos los huevos que comieron.Se presenta un pictograma con platos, ubicando en algunos un huevo, en otros dos, tres, cuatro y cinco segn la siguiente distribucin estadstica.

    Para favorecer la interpretacin de grcos:

    El docente apela a lectura directa del grco: de qu tipo de plato hay ms: con un huevo, con dos huevos, con tres huevos, con cuatro huevos, con cinco huevos?, de cul hay menos?, cmo te diste cuenta?

    El docente invita a que respondan: cuntos huevos se comieron en total los chicos ese da?

    Esta propuesta es una adaptacin de la extrada del artculo Assessing young children's mathematical understandings, en la que se hace uso de grcas estadsticas como instrumentos para evaluar el grado de comprensin de conocimientos matemticos de los nios. Traduccin realizada por Dra. Mnica Edwards.

    5

    5Un ejemplo de registro de clase con la puesta en marcha de la actividad (dilogo docente-estudiante de un grupo):Cuatro - responden algunos estudiantes.Docente: Por qu les parece que cuatro? (apela a que los nios expliquen).Mir ... - uno de ellos va hacia la grca y seala los platos que tienen cinco huevos. Docente: S, es cierto, 4 chicos se comieron cinco huevos. Pero escuchen ahora mi pregunta: - si el primer chico comi 5 huevos, y el segundo comi 5 huevos y el tercero 5 huevos y el cuarto tambin se comi cinco huevos, cuntos huevos comieron en total?- qu te parece a vos, Toms? (apela a que el nio est atento a la resolucin de otro compaero).

  • Descripcin de la situacin: La docente entrega a cada grupo de 4 nios un juego de cartas; cada una tiene dibujada una gura para que, por parejas, jueguen al juego adivinanza de guras. Posteriormente, pone en discusin cules son las preguntas producidas para identicar guras y las caractersticas de las guras.

    - 16 -

    Tercer Grado

    En el desarrollo didctico del Proyecto ACERCAMIENTO DE LA MATEMTICA AL ARTE: PINTAR MURALES EN EL PATIO Tercer Grado-, correspondiente a la Coleccin Pensar la Enseanza, Tomar Decisiones, podemos observar algunas actividades y estrategias de intervencin docente que promueven el trabajo con otros y la interaccin.

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/documentos/PENSAR%20LA%20ENSENANZA%20-

    %20ED%20PRIMARIA%20PRIMER%20CICLO.pdf

    Veamos, por ejemplo, la actividad ADIVINANZA DE FIGURAS.

    Desarrollo de las Actividades:

    Actividad 1-Por grupo:

    Jueguen cinco veces al juego adivinanza de guras.

    Trabajo en colaboracin para aprender a relacionarsee interactuar en el marco de la resolucin de

    situaciones problemticas

    Reglas del juego: Un nio selecciona una carta que separa del resto y sus compaeros deben adivinar cul es. Por turnos, le hacen preguntas que slo puedan responderse con S o NO. Cuando un nio cree que puede identicar la carta, dice qu gura es. El que gana, elige la carta en la siguiente vuelta.

    En cada grupo se juega por pareja (uno pregunta y el otro adivina). Cuando la respuesta no es correcta, cada pareja cuenta al resto de los estudiantes del grupo cules son los datos que consideraron.Mientras una pareja juega los otros integrantes del grupo estn atentos al juego para poder jugar cuando les corresponda. Fuente: Altman, Comparatore y Kurzrok,L. 2009, p.5.

  • - 17 -

    Mientras juegan, cada uno anota en una hoja las preguntas que hicieron.

    Si no pudiste descubrir qu gura es, cul podr haber sido el error?

    Toda la clase:- Cules son las mejores preguntas para descubrir la gura? Cules son

    los datos que consideraron?- Analicemos entre todos qu gura es a partir de tener presente el nmero

    de lados y de vrtices, cmo son los lados, etc. - Completamos la tabla:

    Actividad 2:

    Ahora adivinemos de nuevo, pero agreguemos otras cartas:

    Fuente: Altman, Comparatore y Kurzrok,L. 2009, p.5.

    Toda la clase:- Cules son las mejores preguntas para descubrir la gura? Cules son los datos que

    consideraron?- Analicemos entre todos qu gura es a partir de tener presente el nmero de lados y de

    vrtices, cmo son los lados; si tiene o no diagonales, si tiene slo dos diagonales y sus lados no son todos iguales.

    En la propuesta se pone el acento en las caractersticas que hay que identicar en cada una de las guras, a partir de una gestin centrada en el intercambio entre los compaeros y no en la explicacin del docente. Son los nios los que avalan o dudan de las opiniones del otro.

    Mientras se juega, en cada grupo: Al formular preguntas:

    - se atiende a las reglas del juego (preguntas que slo puedan responderse con S o NO),

    - se atiende a las respuestas ya formuladas por otros (si el otro cumpli las reglas del juego al formular las preguntas, para aceptarlas o no),

    - se atiende a las respuestas ya formuladas por otros para no repetir,- se atiende a las respuestas ya formuladas, ya que sirven de gua para

    descartar preguntas que no son tiles para descubrir la gura. Al justicar lo realizado, el estudiante se responsabiliza por lo que hace.

    Tiene tres lados Tiene ms de cuatro ladosTiene cuatro lados

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    Al descubrir qu gura es, se atiende a lo expresado por otros.

    Entre todos: Al analizar qu gura es, los estudiantes se responsabilizan por las armaciones

    que producen. Por ejemplo, dicen al resto de los nios cules son los datos que tuvieron en cuenta y explican.

    Al analizar qu gura es, los estudiantes intentan comprender y valorar las ideas de los otros.

    Al completar la tabla, intentan comprender y valorar las ideas de los otros en relacin con las caractersticas de las guras (tiene tres vrtices y tres lados, tiene distinta cantidad de vrtices que de lados).

    Las actividades de comunicacin promueven el uso de un lenguaje adecuado para que el compaero entienda de qu se est hablando. Cabe destacar que el prestar atencin a las caractersticas que hay que identicar en cada una de las guras constituye adems el eje central para la incorporacin del nuevo vocabulario con la nalidad de mejorar la comunicacin tanto oral como escrita, aspecto que se relaciona con la capacidad oralidad, lectura y escritura.

    Qu aprendizaje y contenidos se han abordado en las situaciones que hemos considerado en directa relacin con la adquisicin y desarrollo de capacidades?

    Un ejemplo de la puesta en marcha de la actividad (dilogo entre una pareja de un grupo):Esteban: Tiene 3 lados? Silvia: No.Esteban: Tiene 4 lados? Silvia: S.Esteban: Todos los lados son iguales? Silvia: S.

    ?

    Produccin y anlisis de diferentes procedimientos evaluando la pertinencia del procedimiento en relacin con el problema. Produccin y anlisis de diferentes procedimientos evaluando la pertinencia y economa del procedimiento en relacin con los nmeros involucrados. Produccin de argumentaciones acerca de la validez de relaciones numricas y procedimientos. Produccin y validacin de enunciados sobre relaciones y propiedades sin recurrir a constatacin emprica Anlisis de los enunciados, las preguntas, los datos, y de la cantidad de soluciones de los problemas para identicar datos necesarios para responder una pregunta; exploracin de la relacin entre las preguntas y los clculos. Interpretacin de la informacin presentada en tablas y grcos.

    Produccin y anlisis de diferentes procedimientos evaluando la pertinencia del procedimiento en relacin con el problema. Produccin y anlisis de diferentes procedimientos evaluando la pertinencia y economa del procedimiento en relacin con los nmeros involucrados. Produccin de argumentaciones acerca de la validez de relaciones numricas y procedimientos. Produccin y validacin de enunciados sobre relaciones y propiedades sin recurrir a constatacin emprica Anlisis de los enunciados, las preguntas, los datos, y de la cantidad de soluciones de los problemas para identicar datos necesarios para responder una pregunta; exploracin de la relacin entre las preguntas y los clculos. Interpretacin de la informacin presentada en tablas y grcos.

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    Abordaje y resolucin de situaciones problemticas

    Ciclo Bsico- Primer ao

    Problema:

    Juan, un chico de Primer ao, se senta mal a la tarde. El mdico lo visit en su casa a las 21 horas y le indic que tena que tomar los siguientes medicamentos:1 cucharadita de Calmon una vez por da (con desayuno o cena).1 cpsula de Amoxil cada 8 horas.1 comprimido de Antifebril cada 6 horas.

    La mam de Juan comenz a darle los medicamentos Amoxil y Antifebril juntos a las 22 hs. -Cada cunto volver a tomar Amoxil y Antifebril juntos? -Si Juan no quiere despertarse a la madrugada: A qu hora le hubiese convenido empezar a tomar los medicamentos?

    El problema puede trabajarse en sexto grado y recuperase en Primer ao de Ciclo Bsico para dar lugar a reexiones tiles para la vida con la pregunta: Si Juan no quiere despertarse a la madrugada: A qu hora le hubiese convenido empezar a tomar los medicamentos?

    Veamos un ejemplo de estrategia de intervencin docente para generar la reexin durante la resolucin del problema (en un grupo).

    El docente interviene en cada mesa para generar reexin, con preguntas y pidiendo explicaciones. Por ejemplo, durante la resolucin

    del problema, plantea:

    Est bien lo que dice Esteban: para saber cundo se juntan hay que mirar los mltiplos de 8 y de 6?

    Contanos Tobas, cmo lo pensaste?

    Miren cmo hizo Patricia.

    Susana, vos decs que conviene empezar la toma a la 12 de la noche. Cmo lo pensaste?

    Momento de resolucin de situaciones

    problemticas

    EDUCACIN SECUNDARIA

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    Ciclo Bsico- Ciclo Orientado

    Problema: LOS NMEROS CUADRADOS

    A continuacin representamos los cuatro primeros nmeros cuadrados, llamados as por Pitgoras pues con la cantidad de puntos que lo integran se puede formar cuadrados:

    a. Cul es el quinto nmero cuadrado? Y el vigsimo?b. Cmo se forman los nmeros cuadrados?c. Renanse con sus compaeros en grupos pequeos y traten de encontrar una frmula que permita expresarla simblicamente. Confronten la respuesta obtenida con otros grupos. Todos pensaron lo mismo? Otros pensaron diferente?

    Consideremos algunas estrategias de intervencin docente durante la puesta en comn de la consigna c, momento durante el cual se da lugar a la confrontacin de procedimientos.

    El docente muestra varios procedimientos que surgieron en los grupos:

    L o s e s tu d i ante s p o d r n ap e l ar a v ar i a d o s procedimientos (escribir clculos, hacer esquemas de las guras, etc.) Por ejemplo:

    1,4,9,16 ( contar las piedras en varios casos y, al mirar los nmeros, expresar que son cuadrados perfectos).

    nxn =n (elevar al cuadrado la cantidad de puntos de cada lado).

    1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n (sumar los nmeros impares consecutivos, partiendo del uno).

    (n- 1) + [ 2 (n - 1) + 1 ] = n (a un nmero cuadrado le sumamos el doble del lado ms uno se obtiene el siguiente nmero cuadrado)

    Momento de confrontacin

    El ejemplo ha sido tomados de Argentina, Ministerio de Educacin de la Nacin (2011). De inferencias y Conclusiones Cmo decidir si es vlido? Capacitacin Explora (pp.11 y 12). 6

    6

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    El docente organiza la puesta en comn en funcin de respuestas similares:

    - En qu se parecen las frmulas que obtuvieron? En qu se diferencian?

    Ciclo Bsico

    1. Veamos, en primer trmino, algunos ejemplos de estrategias de intervencin docente para que los estudiantes comprendan el enunciado de un problema.

    Cabe destacar que el problema planteado se presenta con el objetivo de analizar las dicultades que ocasiona el tipo de enunciado para, a partir de all, intervenir atendiendo a los obstculos que ofrece el texto. No implica que constituya un problema signicativo o relevante para los estudiantes.

    Este enunciado es breve, pero sumamente complejo ya que demanda por parte del estudiante realizar una gran cantidad de inferencias:

    El docente atiende a posibles obstculos que pueden interferir en la comprensin. Por ejemplo, formulando interrogantes:

    A cuntos campos hace referencia el problema?

    Todo el campo ha sido sembrado con maz?

    Ya ha sido sembrada la totalidad del campo?

    La aparicin de diferentes frmulas para contar permite trabajar la equivalencia de estas expresiones. Los estudiantes podrn expresar: las frmulas son equivalentes porque dan lo mismo.

    Oralidad, lectura y escritura en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

    Problema: Un tercio de un campo est sembrado con maz y un cuarto con trigo; qu fraccin del campo no est sembrada?

    Deducir una cosa de otra o extraer una conclusin (Diccionario Real Academia Espaola). Se ha omitido (elipsis) de un campo. 7

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    8

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    Qu es lo que ya sabemos acerca de la siembra de maz en este campo?

    Qu es lo que ya sabemos sobre la siembra de trigo en este campo?

    Qu es lo que todava no sabemos y tenemos que averiguar?

    En todos los casos: Cmo te diste cuenta?

    El docente pide que se reformule (se diga de otra manera) el enunciado a partir de restricciones planteadas por la consigna:

    Por ejemplo

    Vamos a decir de otra manera el enunciado del problema, comenzando as: Si ya se ha sembrado

    El docente sugiere dividir el problema en partes (que involucran dos problemas: el problema 1 se reere a la parte sembrada y el problema 2, a lo que falta sembrar) La pregunta de la parte 1 es: qu fraccin del campo est sembrada? La pregunta de la parte 2 es: qu fraccin del campo no est sembrada? Por ejemplo, invita a reescribir el problema en trminos como:

    Un tercio de un campo est sembrado con maz y un cuarto con trigo (datos para parte1).

    Qu fraccin del campo no est sembrada (pregunta de la parte 2).

    El docente atiende al indicador textual de un contenido matemtico (fracciones):

    Un tercio de un campo est sembrado con maz: qu signica un tercio?

    Dice un tercio de un campo: qu representa el campo?

    Un cuarto con trigo:qu signica un cuarto?

    El docente apela a que los estudiantes traduzcan el enunciado al lenguaje grco:

    Graquen el enunciado usando un dibujo (un rectngulo para representar el entero-en este caso el campo-). Marquen distintas partes sembradas, expliquen con echas y palabras qu es cada cosa.

    2. Consideremos ahora la vinculacin de la capacidad de resolucin de situaciones problemticas con la lectura de textos discontinuos en el Ciclo Orientado.

    Recordemos:En los textos discontinuos, la informacin se presenta en forma de cuadros o grcos, tablas, diagramas, mapas

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    En el desarrollo didctico de Matemtica en Coleccin Pensar la Enseanza, Tomar Decisiones: Secundaria quinto ao-, se incluyen actividades referidas a hbitos culturales y se presentan tablas y grcos.

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/coleccionpensar/SecundariaOrientado/MATEMATICA%205%20ANIO.pdf

    Veamos algunos ejemplos:

    CONSUMO CULTURAL EN AMRICA LATINA

    1. La siguiente tabla aporta informacin sobre Hbitos Culturales, en distintas ciudades de Amrica Latina para 2002-2004. En los consumos culturales no se han incorporado los rubros de asistencia a exposiciones, a teatros y museos, y cine.

    a) Cules son los consumos culturales con ms desarrollo?

    b) Comparen los datos de las columnas para una misma la; elaboren conclusiones en relacin con los hbitos culturales. Consideren, por ejemplo, los consumos miran TV y navegan en Internet para las ciudades de Buenos Aires y Santiago.

    c) Analicen los datos de distintas las para una misma columna. Elaboren conclusiones.

    d) Escriban alguna conclusin que se pueda establecer para una ciudad y otra para un consumo.

    e) Propongan dos preguntas que puedan responderse con los datos de la tabla.

    f) Discutan con su grupo el inters y la pertinencia de las preguntas que formularon en relacin con el tema hbitos culturales de la Argentina respecto de los de otros pases.

    Fuente: Observatorio de Industrias Culturales de la Ciudad de Buenos Aires. 9

    9

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    2. La siguiente tabla muestra datos aportados por el Instituto Nacional de Cine y Artes Audiovisuales (INCAA) de la Repblica Argentina, sobre de distintas ciudades de cine Amrica Latina para 2004.

    a) Expliquen qu signica Espectadores per Cpita. Analicen por ejemplo para Buenos Aires y para Crdoba (Argentina) y para San Pablo (Brasil).

    b) Expliquen qu indica Pantallas c/100.000 personas. Analicen, por ejemplo, para las ciudades de Buenos Aires y Crdoba (Argentina) y para San Pablo (Brasil).

    c) Los datos de la poblacin permiten construir otros datos como los de las columnas Espectadores per Cpita y Pantallas c/100000pers. Escriban dos armaciones que incluyan como informacin datos de las dos ltimas columnas.

    d) Una primera lectura de la tabla podra llevar a concluir que es evidente que San Pablo es la ciudad que durante el 2004 tuvo la cifra ms alta de espectadores -ms de 43 millones-. Estn de acuerdo con esa armacin? Fundamenten su respuesta teniendo en cuenta la informacin de las columnas Espectadores per Cpita, nmero de habitantes de esa ciudad y nmero de pantallas.

    e) Propongan dos preguntas que puedan responderse con los datos de la tabla.

    f) Discutan con su grupo el inters y la pertinencia de las preguntas que formularon en relacin con el consumo de de la Argentina respecto del de otros pases.cine

    Algunas estrategias de intervencin docente para la interpretacin de tablas:

    El docente invita a los estudiantes a pensar si pudieron interpretar la informacin matemtica presentada en tablas al:

    Trasladar a lenguaje escrito lo observado en las tablas. Analizar la relacin entre los datos de las columnas con una misma la. Vincular los datos de una columna con distintas las. Relacionar los datos con el problema.

    Fuente: Observatorio de Industrias Culturales de la Ciudad de Buenos Aires. 10

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    Analizar cmo cambian los nmeros en una la, y qu signica ese cambio.

    Estrategias de intervencin docente para interpretar grcos:

    El docente invita a los estudiantes a pensar si pudieron interpretar la informacin matemtica presentada en grcos, teniendo en cuenta:

    Contemplar el uso de escalas, redondeo o no de nmeros. Relacionar los datos vinculados con el problema. Elaborar preguntas pertinentes con los datos del grco. Elaborar preguntas que promueven una comprensin profunda de las relaciones

    representadas que vaya ms all de la lectura directa de datos en la grca. Analizar las relaciones entre las variables. Discutir acerca de qu tipo de presentacin es la ms conveniente de acuerdo con

    el problema planteado. Elaborar textos escritos referidos a la informacin presentada en grcos (esta

    actividad se puede trabajar en articulacin con Lengua y Literatura, invitando a los estudiantes a escribir una nota periodstica a partir de la informacin analizada).

    El docente plantea actividades para que los estudiantes pongan en prctica la validacin en matemtica, haciendo evolucionar los modos naturales de validar hacia modos ms acordes a la cultura matemtica (pasando de procedimientos pragmticos a procedimientos ms avanzados- sin llegar a formalizacin total-). El docente, al dar la palabra a los estudiantes, ayuda a que cuestionen lo establecido y exploren nuevas alternativas; habilita, con actitud exible, las propuestas de los jvenes. Promueve la bsqueda de respuestas y no demanda una solucin estereotipada, pues incentiva a los estudiantes a acudir a diferentes procedimientos (pruebas).

    Retomemos el problema LOS NMEROS CUADRADOS y consideremos algunos ejemplos de procedimientos.

    -Prueba pragmtica. Contar las piedras de los cuadrados, 1, 4, 9, y observar que son los nmeros cuadrados perfectos.

    Tambin es posible que otros estudiantes observen que los nmeros cuadrados se obtienen elevando al cuadrado la cantidad de piedras de cada lado:

    Pensamiento crtico y creativo en el marco de la resolucin de situaciones problemticas

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    - Procedimientos hereditarios se basa en regularidades en las que se considera cmo se genera un nmero a partir del anterior; los nmeros cuadrados son aquellos que se forman con la suma de los nmeros impares consecutivos, partiendo del uno: Pn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) =

    Algunos ejemplos de estrategias de intervencin docente:

    El docente apela a formular preguntas aclaratorias: Por qu decs eso? Qu quiere decir exactamente esto? Pods darme un ejemplo? Lo qu quers decir es..o..?

    El docente plantea preguntas para comprobar conjeturas o supuestos:

    Ests asumiendo que?

    Explic por qu o cmo

    Cmo pods vericar?

    Qu pasara si?

    Ests de acuerdo o en desacuerdo con.?

    El docente formula preguntas para explorar razones:

    Cmo sabs esto?

    Un problema, muchos procedimientos

    En situaciones como la descripta es posible observar algunas cuestiones didcticas:

    Se trata de un problema potente pues: da lugar a diferentes procedimientos de resolucin que dependen de los conocimientos previos de los estudiantes. La fertilidad del problema se incrementa a partir de los debates que se instalan a propsito de dichos procedimientos. admite varias respuestas diferentes. Es importante que los estudiantes establezcan la relacin entre las diferentes respuestas. En este caso se trata de probar la equivalencia de las frmulas encontradas. Las caractersticas de dichas pruebas tambin dependern de las experiencias previas (desde una vericacin haciendo funcionar las diferentes frmulas para los mismos valores, a una explicacin de cmo las generaron, hasta una prueba por induccin completa, si se trata de cursos muy avanzados).

    Si bien no son pruebas intelectuales en sentido estricto, las generalizaciones que se realizan mediante razonamientos con ingredientes hereditarios resultan ms cercanas a las formas de prueba vlidas en esta disciplina. Ministerio de Educacin de la Nacin (2011). De inferencias y Conclusiones Cmo decidir si es vlido? Capacitacin Explora (pp.11 y 12). El subrayado es nuestro.

    11

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    Pods dar un ejemplo de eso?

    Por qu pasa esto?

    Qu evidencia existe para apoyar lo que ests diciendo?

    Quin dijo eso?

    El docente formula preguntas sobre diferentes puntos de vista o procedimientos vlidos:

    De qu otras maneras alternativas se puede mirar esto?

    Cul es la diferencia entrey?

    El docente formula preguntas para comprobar implicaciones y consecuencias:

    Por qu es mejor este procedimiento que otro?

    Retomamos el problema que ya hemos considerado:

    Cabe destacar que para poner en marcha la propuesta es fundamental que el docente d lugar a la validacin por parte de los estudiantes (en lugar de la palabra del docente). Para ello, al presentar la propuesta les podr decir que durante el desarrollo de la actividad deben poner el foco en la importancia del cumplimiento de roles, para que lo hagan seriamente.

    Veamos la estrategia resolver problema de a dos: La clase se organiza en grupos de a dos, trabajando por parejas A y B, dnde A resuelve y B siempre pregunta. Qu hacs ahora?Por qu? Posteriormente se pueden rotar los roles El docente interviene preguntando al que escucha y no al que resuelve: el docente

    acude a la estrategia de resolver problemas de a dos (un estudiante lee el enunciado del problema y el otro escucha). El estudiante A, quien lee, dice en voz alta lo que piensa acerca de lo que lee. El estudiante B escucha sin interferir en el proceso de resolucin, pero puede hacer preguntas aclaratorias para asegurase de que entiende bien cmo est pensando el estudiante A. No da pistas para ayudar a la comprensin

    Trabajo en colaboracin para aprender a relacionarse einteractuar en el marco de la resolucin

    de situaciones problemticas

    Problema: Un tercio de un campo est sembrado con maz y un cuarto con trigo; qu fraccin del campo no est sembrada?

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    del enunciado. El docente interviene preguntando al que escucha y no al que lee para ver cmo avanzan en la comprensin. Se relaciona con la comprensin ya que desde el momento en que se inicia el dilogo se trata de intervenir para que los estudiantes interpreten la informacin que se presenta en el enunciado.

    Preguntar al que escucha pidindole a l y no al que resuelve, que le cuente qu esta sucediendo. De esta manera el que resuelve tiene la posibilidad de avanzar en la comprensin autnoma. De esta manera, ayuda a que el que escucha cumpla verdaderamente su rol.

    Plantear una discusin general sobre cmo funciona el proceso de resolucin al nalizar la lectura del texto.

    Escuchar y ayudar a que puedan monitorear sus propias procesos de comprensin.

    A continuacin se presenta un fragmento de registro de la puesta en marcha de una actividad en la cual se ha implementado la estrategia de resolver problemas de a dos:

    El dilogo para una pareja podra ser el siguiente:

    Estudiante A (el que intenta resolver el problema): -1/3 del campo est sembrado con maz (hace una pausa)Estudiante B (el que escucha la resolucin): me pods decir en qu ests pensando? (el docente apela a que el estudiante explique la situacin).-Estudiante A: me estaba imaginado la situacin. Hay un campo sembrado con maz, y con trigose detiene y hace un rectngulo que representa el campo. Estudiante B: qu ests haciendo?-Estudiante A: un rectngulo lo divide en tres partes iguales y pinta una. Est sembrado con trigo un cuarto.(piensa y pinta) (el docente apela a que el estudiante traduzca el enunciado a lenguaje grco).Estudiante B: (el que escucha se da cuenta de que pint la cuarta parte de lo que queda y no del todo) un cuarto de qu?-Estudiante A: la cuarta parte de todo el campo.Estudiante B: por qu la cuarta parte de todo el campo?...................Y el dilogo contina (mientras el estudiante A resuelve el problema)

    Durante el desarrollo de propuestas como sta, se est propiciando la oralidad lectura y escritura trabajo en colaboracin y el .Si se solicita al estudiante que evale su desempeo y el de su compaero, atendiendo a los roles que les fueron asignados, se estar propiciando el pensamiento crtico.

    Presentada por Whimbey y Lochhead, 1982.

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    El docente interviene para favorecer actitudes de cooperacin para aprender a relacionarse e interactuar y fortalecer el trabajo en equipo a partir de la estrategia resolver problema de a dos ya que cada integrante de un equipo asume un papel con responsabilidad especca y diferente, de tal manera que la colaboracin entre los integrantes resulte indispensable para abordarlo y resolverlo. En el ejemplo, al resolver problemas de a dos se asumen roles diferenciados: el que resuelve y el que escucha; que cada uno cumpla con su rol es la condicin para que puedan resolver el problema.

    Qu aprendizaje y contenidos se han abordado en las situaciones que hemos considerado en directa relacin con la adquisicin y desarrollo de capacidades?

    Para seguir explorando posibilidades de en mejora en los aprendizajes de Matemtica el marco del desarrollo de capacidades fundamentales:

    Gobierno de Crdoba, Ministerio de Educacin. Secretara de Educacin. Subsecretara de Estado de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2013). Los aprendizajes promovidos desde la escuela. Un compromiso con la comprensin.

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/Los%20aprendizajes.pdf

    Gobierno de Crdoba, Ministerio de Educacin. Secretara de Educacin. Subsecretara de Estado de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2014). Las estrategias de enseanza en Educacin Primaria. Un compromiso con la comprensin

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/documentos/Las_estrategias_de_ensenanza.pdf

    Gobierno de Crdoba. Ministerio de Educacin. Subsecretara de Estado de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2012). EDUCACIN INICIAL: Planicar con Unidades Didcticas y Proyectos.

    ?

  • - 30-

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/documentos/Planicaciones.pdf

    Gobierno de Crdoba. Ministerio de Educacin. Subsecretara de Estado de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2013). El diseo de propuestas de enseanza en la Educacin Inicial

    Disponible en: http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPEC-CBA/publicaciones/DOCUMENTO%20DE%20APOYO.pdf

    Bibliografa

    Altman, S., Comparatore, C y Kurzrok,L. (2009). Geometra en el primer ciclo. En 12(ntes) La enseanza d e l a g e o m e t r a e n l a e s c u e l a , 1 ( 3 ) . R e c u p e r a d o e l 1 0 d e a b r i l d e 2 0 1 4 , d e http://ecaths1.s3.amazonaws.com/novedadesdocentespsol/12ntes-digital-3.pdf

    Argentina, Ministerio de Educacin, Ciencia y Tecnologa. Direccin Nacional de Gestin Curricular y Formacin Docente (2001). Capacidades para enfrentar y resolver problemas. Buenos Aires: Autor.

    Argentina, Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa de la Nacin. Consejo Federal de Cultura y Educacin. (2006 a). Cuaderno para el aula Matemtica 1. Buenos Aires: Autor.

    Argentina, Ministerio de Educacin de la Nacin (2011). De inferencias y Conclusiones Cmo decidir si es vlido? Capacitacin Explora. Buenos Aires: Autor.

    Argentina, Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa de la Nacin. Consejo Federal de Cultura y Educacin. (2006 b). Cuaderno para el aula Matemtica 3. Buenos Aires: Autor.

    Argentina, Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa de la Nacin. Consejo Federal de Cultura y Educacin. (2007). Cuaderno para el aula Matemtica 5. Buenos Aires: Autor

    Argentina, Ministerio de Educacin (2010). Entre Nivel Primario y Nivel Secundario. Una propuesta de articulacin Cuaderno para el Alumno. Buenos Aires: Autor.

    Argentina, Ministerio de Educacin (2010). El desarrollo de capacidades en la Escuela Secundaria. Un marco terico. Buenos Aires: Ministerio de Educacin. UNICEF. OEI. Asociacin Civil Educacin para todos. Recuperado el 20 de marzo de 2014, de http://www.unicef.org/argentina/spanish/Cuaderno_1.pdf

    Argentina, Ministerio de Educacin (2010). La capacidad de resolucin de problemas .Cuaderno 4. Buenos Aires: Ministerio de Educacin. UNICEF. OEI. Asociacin Civil Educacin para todos.

    Chevallard, Y. (2013). Los alumnos andan mal en matemtica porque los contenidos son para una lite. E n t r e v i s t a e n C l a r n . c o m . R e c u p e r a d o e l 2 0 d e m a r z o d e 2 0 1 4 , d e http://www.clarin.com/sociedad/alumnos-andan-matematica-contenidos-elite_0_1043895705.html

    Education Northwest (2007). Assessing young children's mathematical understandings. Portland

    Ferreyra, H., Peretti, G. y Vidales, S. (2012). Hacia un proyecto curricular y pedaggico centrado en la adquisicin y desarrollo de capacidades. En Ferreyra, H. y Vidales, S. (comps.). Educacin Secundaria: Dilogos desde los saberes y experiencias para (re) construir sentidos. Crdoba, Argentina: Comunicarte.

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    Gobierno de Crdoba. Subsecretara de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2009 d).Capacidad de comprensin y explicacin de la realidad social y natural, empleando conceptos, teoras y modelos. Crdoba, Argentina [indito].

    Gobierno de Crdoba. Subsecretara de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa (2009 e). Pensamiento crtico y creativo. Crdoba, Argentina [indito].

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    UNICEF (2006). Desarrollo de capacidades para el ejercicio de la ciudadana. Buenos Aires: Autor.

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    Gobierno de Crdoba

    Ministerio de Educacin

    Secretara de Estado de Educacin

    Subsecretara de Estado de Promocin de Igualdad y Calidad Educativa

    rea de Polticas Pedaggicas y Curriculares

    Desarrollo Curricular

    Coordinacin

    Horacio Ferreyra y Silvia Vidales

    Autor

    Sandra Molinolo, con la colaboracin de Hugo Alcaraz y Ederd Picca

    Asesoramiento pedaggicoEquipos tcnicos de Educacin en Matemticas, Ciencias Naturales y Tecnologa; Ciencias Sociales y Humanidades, Lenguajes y Comunicacin, Transversales -rea de Desarrollo Curricular-

    Lectura crticaHugo Labate

    Diseo de tapa y diagramacin

    Fabio Viale

  • Todos son capaces,

    todos pueden apren

    der

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