EXAMEN DE MATEMTICAS 1 DE BACHILLERATO ? EXAMEN DE MATEMTICAS 1 DE BACHILLERATO DE CIENCIAS

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    09-Sep-2018

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  • EXAMEN DE MATEMTICAS 1 DE BACHILLERATO DE CIENCIAS (Nmeros complejos y geometra analtica) 1. Expresa en todas sus formas el nmero complejo que tiene mdulo 4 y argumento 120. (1 punto) 2. a) Halla las soluciones complejas de la ecuacin: 0910 24 xx . Comprueba el resultado para una de ellas. (1 punto)

    b) Calcula ii

    3142

    (0,5 puntos)

    c) Halla 4 16i . Representa grficamente las soluciones. (1,5 puntos)

    3. Dados los vectores v = (4, 2) y u = (1, 2), halla: a) El ngulo que forman. (0,5 puntos) b) Un vector perpendicular a v cuyo mdulo sea 1. (0,5 puntos) c) Halla y representa grficamente vu y vu 2 . (0,5 puntos)

    4. Dados los puntos A(1, 2), B(3, 4) y C(6, 1), halla:

    a) La ecuacin de la recta que pasa por A y B. (0,6 puntos) b) La paralela a la recta AB que pasa por el punto C. (0,6 puntos) c) La perpendicular a la recta AB desde el mismo punto C. (0,6 puntos) d) La distancia del punto C a la recta AB. (0,6 puntos) e) La superficie del tringulo ABC. (0,6 puntos) f) Haz un dibujo explicativo de todo el ejercicio. (0,6 puntos)

    5. Los puntos A(4, 5) y B(2, 1) son vrtices opuestos de un rombo. El vrtice C est situado sobre el eje de abscisas. Halla el vrtice D. (1,5 puntos)

    Alcal de Henares, 20 de marzo de 2015 JosMMM

  • SOLUCIONES 1. Expresa en todas sus formas el nmero complejo que tiene mdulo 4 y argumento 120. (1 punto) Solucin: Forma polar: 1204z Forma trigonomtrica: 4 cos120 sin120z i Forma binmica:

    1 34 cos120 sin120 4 2 2 32 2

    z i i i

    2. a) Halla las soluciones complejas de la ecuacin: 0910 24 xx . Comprueba el resultado para una de ellas. (1 punto)

    b) Calcula ii

    3142

    (0,5 puntos)

    c) Halla 4 16i . Representa grficamente las soluciones. (1,5 puntos) Solucin:

    a) 0910 24 xx 2

    2 110 10 419 10 64 10 892 2 2

    x

    .

    Si 2 1 1x x i . Si 2 9 9 3x x i . Voy a comprobar el resultado para 3x i En efecto 4 2 4 23 10 3 9 81 109 9 81 90 9 0i i i i

    b) 222 4 1 32 4 2 6 4 12 10 10 1

    1 3 1 3 1 3 101 3

    i ii i i i ii i i i

    .

    c) 4 44 270 360270 360 67,5 90

    4

    16 16 16 2kk ki .

    Dando valores a k se obtienen las cuatro races: 1 67,5 2 157,5 3 247,5 4 337,52 ; 2 ; 2 ; 2z z z z

    3. Dados los vectores v = (4, 2) y u = (1, 2), halla: a) El ngulo que forman. (0,5 puntos) b) Un vector perpendicular a v cuyo mdulo sea 1. (0,5 puntos) c) Halla y representa grficamente vu y vu 2 . (0,5 puntos) Solucin:

    a) 4, 2 1, 2 4 4cos 0 1016 4 1 4

    v uv u

    = 90.

    b) El vector u = (1, 2) es perpendicular a v ; el unitario en la direccin de u es

    1 1 21, 2 ,1 4 5 5

    uu

  • c) vu = (1, 2) + (4, 2) = (3, 4). vu 2 = (1, 2) 2 (4, 2) = (1, 2) (8, 4) = (9, 2).

    4. Dados los puntos A(1, 2), B(3, 4) y C(6, 1), halla: a) La ecuacin de la recta que pasa por A y B. (0,6 puntos) b) La paralela a la recta AB que pasa por el punto C. (0,6 puntos) c) La perpendicular a la recta AB desde el mismo punto C. (0,6 puntos) d) La distancia del punto C a la recta AB. (0,6 puntos) e) La superficie del tringulo ABC. (0,6 puntos) f) Haz un dibujo explicativo de todo el ejercicio. (0,6 puntos) Solucin: a) Recta que pasa por A y B:

    1 2 3 13 2 1 03 1 4 2 2 2x y x y y x

    b) Paralela a AB por C:

    3 31 6 82 2

    y x y x

    Tambin: 3 6 2 1 0 3 2 16 0x y x y c) Perpendicular a AB por C:

    2 21 6 53 3

    y x y x

    Tambin: 2 6 3 1 0 2 3 15 0x y x y

    d) 36 21 1 15(6,1), : 3 2 1 09 4 13

    d C r x y

    .

    e) La superficie del tringulo ABC = 2

    base altura.

    La base puede ser la medida del lado AB = 2 2, 3 1 4 2 52 2 13d A B .

    La altura es la distancia del punto C a la recta AB, que es 1513

    .

    Por tanto:

    152 1313 15

    2ABCS u2.

  • 5. Los puntos A(4, 5) y B(2, 1) son vrtices opuestos de un rombo. El vrtice C est situado sobre el eje de abscisas. Halla el vrtice D. (1,5 puntos) Solucin: Para resolver este problema debe saberse que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s. Adems, como en todo paralelogramo, se cortan en su punto medio. Dada la simetra del rombo, al vrtice D puede llegarse sumando al vector OB el vector CA, pues BD y CA son equipolentes.. El punto C es el de corte de la mediatriz del segmento AB con el eje OX. Mediatriz de AB:

    2 2 2 24 5 2 1 4 8 36 0 2 9 0x y x y x y x y Corte con eje OX y = 0 x = 9 C = (9, 0). Vector CA = (4, 5) (9, 0) = (5, 5). Luego OD = OB + CA = (2, 1) + (5, 5) = (3, 6). El punto D = (3, 6).

    Alcal de Henares, 20 de marzo de 2015. JosMMM

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