Ejercicios de distribuciones de probabilidad

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UTT Universidad Tecnolgica de Torren

ESTADSTICA

PROCESOS INDUSTRIALES

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS Y SOLUCIONES

GRUPO 2 A

ROSALVA GUERRERO HERNANDEZ

18 DE MARZO DEL 2012

EJERCICIOS Y SOLUCIONESDistribuciones comnmente usadas1. 1 Distribucin de Bernoulli

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X as: Si el experimento xito, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ah que X sea una variable aleatoria discreta, con funcin de masa de probabilidad p(x) definida porP (0)=P(X=0) = 1-pFRACASOP (1)= P(X=1)=pXITO

Media y varianza de una variable aleatoria de BernoulliEs fcil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli.ResumenSi X Bernoulli (p), entonces Media = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = pVarianza = (0 -p)2 (1 p) + (1 p)2(p) = P (1-p)Varianza = p (1 p)

Ejercicio 1.1 Un jugador de basquetbol est a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.a) Sea X = 1. Si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la varianza de X.Solucin M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55) = .55V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575

A continuacin otra forma de interpretarlo:

XP(X)(p)

10.551(0.55)= 0.55

00.450(0.45)= 0

M = 0.55

Media (X M)2 (P)(1- 0.55)2 (0.55)= 0.111375

(0-0.55)2 (0.45)= 0.136125

V = 0.2475

b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el nmero de puntos anotados. Tiene una distribucin de Bernoulli? Si es as, encuentre la probabilidad de xito si no explique por qu. Solucin: no es una distribucin de Bernoulli, ya que una distribucin de Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0C) Determine la media y la varianza de YSolucin:yp(y)(P)Media

2.551.1(Y-M) (P)

0.450(2-1.1)2(0.55)=0.4455

M=1.1(0-1.1)2(0.45)=0.5445

Y=0.99Varianza

Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rpida, 25% de las rdenes para beber es una bebida pequea, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequea y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebida pequea o mediana y Z=0 para cualquier otro caso.a) Sea Px la probabilidad de xito de X. Determine Pxb) Sea Py la probabilidad de xito de Y. Determine Py.c) Sea Pz la probabilidad de xito de Z. Determine Pz.d) Es posible que X y Y sean iguales a 1?e) Es Pz = Px + Py?f) Es Z =X + Y? Explique.SOLUCION:a) X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.401-(0.35+0.40)1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25b) Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.401-(0.25+.40)1-(0.65)=0.35 Py=35%

c) Z (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.351 (0.25+.35)1- ( 0.6)= 0.4 Pz= 40%

d) No porque la suma de sus porcentajes es menor a 1 e) No porque Pz= 40% y Py = 35%f) No.Ejercicio 1.3 Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.a) Sea Px la probabilidad de xito de X. Determine Px.c) Sea Py la probabilidad de xito de X. Determine Px.d) Sea Pz la probabilidad de xito de X. Determine Pz.e) Es Pz= PxPy?f) Es Z= XY? Explique.SOLUCION:a) X=0.5XP(x)(P)

1.51(0.5)=0.5

0.50(0.5)=0

.50.5

b) Y=0

c) Z=.33ZP(Z)(P)

10.331(.33)=0.33

00.660(.66)=0

d) Si porque aun teniendo el mismo resultado no depende uno del otro.e) No, porque los tres resultados son independientes.f) Si porque Z=1, X=1, Y=1, por lo tanto 1=1 x1 =1=1

Ejercicio 1.4 Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy.SOLUCION:a) Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1 Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1

b) X=1, Y=1, Z=1Pz = 1= Px =1=Py=1Pz=Pxpy1= (1) (1) = 1=1

Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y

a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de Bernoulli. b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px +Pyc) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria de Bernoulli.

SOLUCION.

a) X=1 X=0Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli.

b) Px=Px+Py1=0+0 1=0 no son iguales

c) X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli.

2.0 Distribucin BinomialEjercicios2. 1 La ltima novela de un autor ha tenido un gran xito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han ledo. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:1. Cul es la probabilidad de que en el grupo hayan ledo la novela 2 personas?B (4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2

2. Y cmo mximo 2?

2.2 Un agente de seguros vende plizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Segn las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Hllese la probabilidad de que, transcurridos 30 aos, vivan:1. Las cinco personas.B (5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2. Al menos tres personas.

3. Exactamente dos personas.

2.3 Si de seis a siete de la tarde se admite que un nmero de telfono de cada cinco est comunicando, cul es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 nmeros de telfono elegidos al azar, slo comuniquen dos?B (10, 1/5) p = 1/5q = 4/5

2.4 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces cul es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? Cul es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasin?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

2.5 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturn de seguridad. Tambin se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de trfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el nmero de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporcin de infractores no vara al hacer la seleccin.1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

3.0 Distribucin PoissonEjercicios3.1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes. n = 100 P = 0.03 Lambda = 100 * 0.03 = 3 x = 5 e = 2.718281828 3.2 La produccin de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos. n = 85 P = 0.02 X = 4 Lambda = 1.7

3.3 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso. n = 20 p = 0.15 X = 3 Lambda =3

3.4 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista. n = 50 p = 0.2 Lambda =10

3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algn problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas? n = 40 p = 0.08 Lambda =3.2 X = 5

4.0 Distribucin Normal Ejercicios4.1La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviacin tpica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuntos estudiantes pesan:1. Entre 60 kg y 65 kg.2. Ms de 90 kg.3. Menos de 64 kg.4. 64 kg.5.64 kg o menos.

4.2 En una ciudad se estima que la temperatura mxima en el mes de junio si una distribucin normal, con media 23 y desviacin tpica 5. Calcular el nmero de das del mes en los que se espera alcanzar mximas entre 21 y 27.

4.3Se supone que los resultados de un examen siguen una distribucin normal con media 78 y desviacin tpica 36. Se pide:1. Cul es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificacin superior a 72?

2. Calcular la proporcin de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuacin que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones ms bajas).

3. Si se sabe que la calificacin de un estudiante es mayor que 72 cul es la prioridad de que su calificacin sea, de hecho, superior a 84?

4.4Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 15. 1. Determinar el porcentaje de poblacin que obtendra un coeficiente entre 95 y 110.

2. Qu intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la poblacin?

3. En una poblacin de 2500 individuos cuntos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

4.5En un examen tipo test de 200 preguntas de eleccin mltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a ms de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

5.0 Distribucin gamma

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