Ejemplos de distribuciones probabilidad

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    22-Jul-2015

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Ejemplos de Distribuciones Probabilidad

Distribucin de bernoulli.1) Tenemos cartas que estn enumeradas del 1 al 9 Cul es la probabilidad de sacar la carta 9? La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888 2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para as poder darles un premio, pero la maestra los seleccionar con los ojos cerrados, Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero 16? La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automvil, al momento de sacar alguno de ellos que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto nmero 342? La probabilidad de que saque el boleto nmero 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el xito (p) se considerar sacar cruz. Valdr 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medir "nmero de cruces que salen en un lanzamiento", y slo existirn dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuir como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos. La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5 La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se responde declarandoverdadero o falso, el alumno sabe que, histricamente, en el 75% de los casos larespuesta correcta es verdadero y decide responder al examen tirando dos monedas, ponefalso si ambas monedas muestran una cara y verdadero si al menos hay una cruz. Sedesea saber qu probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parmetros de la distribucin y el punto k a partirdel cual se calcular la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.Resultados con Epidat 3.1Clculo de probabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n,p)n: Nmero de pruebas 20p: Probabilidad de xito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr[X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr[Xk] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga ms de 14 aciertos se sita en 0,61.Distribucin poisson

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La produccin de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4 =1.7 Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruson=20 P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =3 Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algn problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08=10

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD NORMAL

1.- Una poblacin normal tiene una media de 80 una desviacin estndar de 14.0 = 80 = 14 z

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 x 90) Probabilidad acumulada.0.7611

0.3594

z =z =

p (75 x 90) = 0.7611 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 menor.p(x 75) Probabilidad acumulada.0.3594

z p(x 75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0p (55 x 70) Probabilidad acumulada.0.2389

0.0367

z =z =

p (55 x 70) = 0.2389 0.0367= 0.2022

2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prstamos en Down River Federal Savings tiene una distribucin normal, una media de $70,000 y una desviacin estndar de $20,000. Esta maana se recibi una solicitud de prstamo. Cul es la probabilidad de que: = $70,00 =$20,0 z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?p(x 80,000) Probabilidad acumulada.0.6915

z =

p(x 80,000) = 1 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?p(65,000 x 80,000) Probabilidad acumulada.0.6915

0.4013

z =z =

p(65,000 x 80,000) = 0.6915 0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.p(x 65,000) Probabilidad acumulada.0.4013

z =

p(x 65,000) = 1 0.4013 = 0.5987

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una poblacin de ms de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje ms largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribucin de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribucin de probabilidad normal y la desviacin estndar es de 7.5 minutos.

= 38.3 min. = 7.5 min. z

a) Qu porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos?p( x 30) Probabilidad acumulada.0.1335

z =

p( x 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3

b) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?p(30 x 35) Probabilidad acumulada.0.3300

0.1335

z =z =

p(30 x 35) = 0.3300 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

c) Qu porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?p(30 x 40) Probabilidad acumulada.0.5910

0.1335

z =

z = 30 38.3

p(30 x 40) = 0.5910 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el rea de Richmond, Virginia, tiene una distribucin normal, con una media de $1,200 y una desviacin estndar de $225. Al fabricante le gustara establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. Dnde se deben establecer los niveles de inventario? = 1,200 = 225

Probabilidadacumulada. 5% = .0500

z

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.655% 0.0500

1.65 z

X = 1,571.25

x = 1,571.25

z

= 20,082 = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z95% = .9500 =

5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribucin de los costos anuales se rigen por una distribucin de probabilidad normal y que la desviacin estndar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de Qu cantidad?

1.64 95% 0.9500z

x = 27,462. X = 27,46275

Distribucin de gamma.El nmero de pacientes que llegan a la consulta de un mdico sigue una distribucin de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente sigue una distribucin Gamma (6, 2).Resultados con Epidat 3.1Clculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a, p)a : Escala 6,0000p : Forma 2,0000Punto X 1,0000Cola Izquierda Pr [X=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en aos, de pacientes que son sometidos a una cierta intervencin quirrgica en un hospital sigue una distribucin Gamma con parmetros a=0,81 y p=7,81, calclese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los aos a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Resultados con Epidat 3.1Clculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr[X=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 aos.

Ejemplo 3:El tiempo de reparacin, en horas, de una pieza es unag(0.5 , 2). El precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricacin de mil euros. A cuanto debemos cobrar la hora de reparacin para obtener un beneficio medio de 3 mil euros?Se nos pide una cantidadK,de modo que el beneficio medio, E(B), sea 3.El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un beneficio de 3 mil euros.

Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin fue?:

520521511513510=500 h

513522500521495n=25

496488500502512Nc=90%

510510475505521X=505.36

506503487493500S=12.07

SOLUCIN. t= x - SI n = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24 t = 2.22EJEMPLO2 El profesor Prez olvida poner su despertador 3 de cada 10 das. Adems, ha comprobado que uno de cada 10 das en los que pone el despertador acaba no levantndose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 das en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) Cual es la probabilidad de que el profesor Prez llegue a tiempo a dar su primera clase?Solucin: En primer lugar conviene identicar el experimento aleatorio que estamos realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Prez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un da al azar decimos que se ha dado el suceso:O cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuacin traducimos en trminos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.P(O) =, P (T |O) =, P(O) =, P(T |O) =.(b) El sucesollegar a tiempo a su clase es el complementario de T , por tanto nos piden que calculemos P(T). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:P (T) = P (T |O) P(O) + P (T | O) P (O).En la expresin anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T | O). Para calcularlo utilizamos queP(T | O) = 1 P(T |O) = 1 = De esta forma, la expresin anterior se puede escribir como: P(T) = + =0.69

EJEMPLO3 La longitud de los tornillos fabricados en una fbrica tienen media =10 mm y desviacin s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamao n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P (7; 099 = 6=840