Distribuciones Muestrales de Probabilidad

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    26-Dec-2015

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Anlisis Cuantitativo II Lilian Roxana Paredes Lpez Lic. Est.M.Sc

III UNIDAD: DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROBABILIDAD

Poblacin es el conjunto de todas las observaciones posibles que puede tomar una variable aleatoria X. Segn esta definicin, la distribucin de la poblacin es la distribucin de la variable aleatoria X y la poblacin ser discreta o continua segn sea X

En muchos problemas es imposible o innecesario tener todos los datos de la poblacin. Los datos de slo una parte (muestra) de la poblacin pueden dar la informacin necesaria para generalizar acerca de los parmetros de la poblacin que por lo general son desconocidas.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA

Sea X una poblacin con distribucin de probabilidad con media y varianza

Sea una muestra aleatoria de tamao n de X.

La media muestral es .

Media , Varianza y Desviacin estndar

Media:

Varianza: (Poblacin infinita) (Poblacin finita)

Desviacin Estndar: (Poblacin infinita) (Poblacin finita)

Para n suficientemente grande, por el teorema central del lmite, la variable aleatoria se distribuye aproximadamente por una normal con media y varianza .

Notacin:

Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribucin normal estndar:

Poblacin infinita Poblacin finitaEJEMPLOS:1. Se sabe que la resistencia a la ruptura de cierto tipo de cuerda se distribuye normalmente con media de 3000 libras y una varianza de 100000 lbs2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 80 cuerdas; determine la probabilidad que en esa muestra:a) La resistencia media encontrada sea de por lo menos 2900 libras.b) La resistencia media sea a lo ms 3050 libras.2. Un lote de 1000 cajas de cereal tiene un peso medio de doce onzas y una desviacin estndar de 0,6 onzas. Se extrae una muestra al azar de 100 cajas sin reposicin de esta poblacin. Cul es la probabilidad que el peso medio sea:a) Menor que 11,90 onzas?b) Mayor que 11,95 onzas.c) Entre 11,90 y 11,95 onzas?3. Una refinera tiene monitores de apoyo para llevar un control continuo de los flujos de la refinera e impedir que los desperfectos de la maquinas interrumpan el proceso de refinado. Un monitor en particular tiene una vida promedio de 4300 horas con una desviacin estndar de 730 horas. Adems del monitor principal, la refinera ha instalado dos unidades de reserva, que son duplicados de la principal En caso de un funcionamiento defectuoso de uno de los monitores, el otro tomar automticamente su lugar. La vida operativa de cada monitor es independiente de la de los otros. a) Cul es la probabilidad de que un conjunto dado de monitores dure al menos 13 000 horas?b) 12 630 horas, como mximo?

DISTRIBION MUESTRAL PARA LA PROPORCIONSe tiene una poblacin Binomial (cualquier coleccin de objetos, donde cada uno puede ser clasificado como un xito o un fracaso) con parmetro p de la cual se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, evidentemente cada observacin se clasifica como xito o fracaso.

Entonces, la proporcin de xitos, , es una variable aleatoria que se denota por:

Los valores que toma la variable aleatoria, son nmeros comprendidos entre 0 y 1. Es decir, el rango de esta variable aleatoria es:

Media , Varianza y Desviacin estndar

Media:

Varianza:

Desviacin estndar: Poblacin finita Poblacin infinitaNotacin:

Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribucin normal N (0,1)

EJEMPLOS:1. Se ha determinado que el 70% de los estudiantes de una universidad particular fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 100 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporcin de la muestra de estudiantes que fuma cigarrillos sea menor que 0,6.

2. Se sabe que la verdadera proporcin de los componentes defectuosos fabricados por una firma es de 2% .Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 100 tenga:a) Menos del 1% de los componentes defectuosos.b) Ms de 1% pero menos del 3% de partes defectuosas.

3. En una poblacin de 5 archivos, la proporcin de las que tienen una parte incorrectamente llenada es p=1/5. Se va a elegir una muestra aleatoria de 3 archivos. Hallar la probabilidad que la proporcin de la muestra sea .

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS, MUESTRAS INDEPENDIENTES.

En muchos casos se est interesado en la comparacin de estadsticas de dos poblaciones y esta comparacin puede hacerse sobre la base de dos muestras aleatorias independientes.

Supongamos que tenemos dos poblaciones X e Y, la primera con media y varianza , y la segunda con media y varianza . Sea la media de la muestra aleatoria de tamao n, extrada de la primera poblacin e la media de la muestra aleatoria de tamao m, tomada de la segunda poblacin. La distribucin de la diferencia de dos media s muestrales , se llama distribucin muestral de la diferencia de dos medias.

Media , Varianza y Desviacin estndar

Media:

Varianza:

Desviacin estndar:

Notacin: Por lo tanto la variable aleatoria Z tiene aproximadamente una distribucin normal N(0,1)

EJEMPLOS1. Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catdicos a dos compaas. Los tubos de la compaa A tienen un vida media de 6 aos con una desviacin estndar de 0,5 aos, mientras que los de la B tienen una vida media de 5 aos con una desviacin estndar de 0,4. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 tubos de la compaa A tenga una vida promedio de a lo ms 1,2 aos ms que la de una muestra aleatoria de 30 tubos de la compaa B.2. Se prueba el rendimiento en Km/L de dos tipos de gasolina, encontrndose que el primer tipo de gasolina se distribuye normalmente con una media igual a 5 Km/L una desviacin estndar de 0,9Km/Ln y el segundo tipo con una media igual a 4Km/L y una desviacin estndar de 0,7 Km/L; se prueba la primera gasolina en 45 autos y la segunda en 50 autos.a) Cul es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0,3 Km/L que la segunda gasolina?b) Cul es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0,75 y 0,95 Km/L a favor de la gasolina 1?3. Una muestra de tamao 25 se toma de una poblacin normal con media de 80 y desviacin estndar de 5. Una segunda muestra de tamao 36 se toma de una poblacin normal con media 75 y desviacin estndar 3. Hallar la probabilidad que la media de la muestra de las 36 observaciones es por lo menos 3,4 pero menos que 5,9..