Distribuciones estadsticas y distribuciones de probabilidad de... DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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    DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD TEMAS WIKI

    Distribuciones estadsticas y distribuciones de probabilidad Observa con el siguiente ejemplo las diferentes distribuciones que se pueden estudiar:

    En una urna tenemos 10 bolas numeradas: dos bolas llevan inscrito el nmero 1, cuatro bolas llevan el nmero 2, tres bolas con el nmero 3 y una bola con el nmero 4. Sacamos una bola, anotamos su nmero y la volvemos a introducir en la urna.

    I) Repetimos esta accin 25 veces obteniendo el siguiente resultado:

    En este caso tenemos una distribucin estadstica. La variable es discreta, los datos se presentan en una tabla y se representan en un diagrama de barras. Las distribuciones estadsticas se estudian en cursos anteriores. Recuerda cmo calculamos sus parmetros:

    La media: 48,225

    62 ==

    =N

    fxx ii

    La varianza: 89,015,604,748,225

    176 222

    ===

    = xN

    fxV ii

    La desviacin tpica: 94,089,0 === V

    II) Podemos realizar un estudio similar al anterior si en vez de frecuencias absolutas, (nmero de veces que ocurre un suceso), consideramos frecuencias relativas, (proporcin de veces que ocurre un suceso, ). Tenemos as, una distribucin de frecuencias relativas.

    Se observa que el grfico es similar al anterior y los parmetros idnticos:

    48,21

    48,2 ==

    =N

    frxx ii ; 89,048,2

    1

    04,7 222

    ==

    = xN

    frxV ii ; 94,0== V

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    1 2 3 4

    Frecuencias absolutas = n bolas

    0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    1 2 3 4

    Frecuencias relativas

    ix if ii fx ii fx 2

    1

    2

    3

    4

    4

    9

    8

    4

    4

    18

    24

    16

    4

    36

    72

    64

    Sumas N=25 62 176

    ix ifr ii frx ii frx 2

    1

    2

    3

    4

    0,16

    0,36

    0,32

    0,16

    0,16

    0,72

    0,96

    0,64

    0,16

    1,44

    2,88

    2,56

    Sumas 1 2,48 7,04

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    III) En vez de frecuencias, consideramos las probabilidades de los distintos sucesos: 1: que la bola sacada tenga grabado un 1 1 0,2 2: que la bola sacada tenga un 2 2 " 0,4 3: que la bola tenga un 3 3 % 0,3 4: que la bola tenga un 4 4 0,1 Si a cada valor de la variable le asociamos su probabilidad, obtenemos una idealizacin de la distribucin de frecuencias relativas. Estamos ante una distribucin de probabilidad.

    Los parmetros se obtienen con los mismos procedimientos aplicados antes:

    & ': ) * , 2,3 & ,: / 0* , 1 ) 26,1 1 5,29 0,9

    (En las distribuciones de probabilidad la media se designa por ) 6 7) Una conclusin interesante:

    Acabo de tirar 100 veces una moneda y he obtenido: Cara 54 veces y Cruz 46 veces. Este es un resultado emprico, experimental. Las frecuencias relativas son:

    8: 8 54100 0,54; 86: : 46

    100 0,46

    Si no quiero tirar la moneda tantas veces recurro a la probabilidad:

    8 0,5; : 0,5

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    1 2 3 4

    Probabilidadesix ip ii px ii px

    2

    1

    2

    3

    4

    0,2

    0,4

    0,3

    0,1

    0,2

    0,8

    0,9

    0,4

    0,2

    1,6

    2,7

    1,6

    Sumas 1 2,3 6,1

    Las distribuciones de frecuencias se obtienen empricamente, observando un experimento y anotando los resultados.

    Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones tericas de las anteriores. No necesitan experimentacin.

    00,20,40,60,8

    1

    C X

    00,20,40,60,8

    1

    C X

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    Dependiendo de si la variable, x, es discreta o continua hay dos tipos de distribuciones de probabilidad:

    Variable discreta (Toma valores concretos)

    Variable continua (Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo)

    Distribucin Binomial Distribucin Normal

    ,

    ; < * ,=

    =>

    Funcin de probabilidad, ?@ Asocia a cada valor de la variable su probabilidad:

    Funcin de distribucin, A@ Asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que l:

    Caracterizada por

    ; <

    Funcin de densidad, ?@ Funcin caracterizada por: B 0, , El rea comprendida entre la funcin

    y el eje X es 1.

    Funcin de distribucin, A@ Mide la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x:

    Determinada por

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    Distribucin binomial B(n, p)

    En una distribucin de probabilidad binomial, nicamente nos interesa si un determinado suceso, A, se verifica o no al realizar el experimento n veces. As, cada ensayo solo tiene dos opciones:

    C

    D D ,

    D, D7 D7 1 1 , F

    Se representa por:

    G, , Los parmetros son muy fciles de calcular:

    H: ) , I ,: / 2,F , F 1 1 ,

    Reconociendo binomiales Estudiemos unas distribuciones para discernir si corresponden a una binomial o no. En caso afirmativo, calcularemos la media y la desviacin tpica:

    1) Sacamos diez cartas de una baraja espaola, con reemplazamiento (Sacamos una carta, la miramos y la volvemos a introducir en la baraja). Se trata de observar cuntas son de bastos.

    Es una distribucin binomial ya que nicamente nos interesa si es de bastos (xito) o no lo es (fracaso) y adems la experiencia es siempre idntica por lo que la probabilidad, p, de bastos es siempre igual (la carta se devuelve al mazo).

    10, " F K ,

    '" , 1040

    14 0,25

    G, , G10; 0,25 ) 10 0,25 2,5 / 210 0,25 0,75 1,37 2) Extraemos cinco cartas de una baraja espaola sin reemplazamiento y contamos

    cuntas son de copas.

    No es una binomial ya que cada vez que se saca una carta y no se devuelve, la composicin del mazo cambia y con ella, la probabilidad de copa en la siguiente extraccin.

    3) La probabilidad de que un jugador de ftbol marque un penalti es 0,9. Se cuentan cuntos penaltis mete, despus de 100 lanzamientos.

    4) Estudiamos el nmero de aciertos en un examen tipo test de un alumno que contesta al azar. El examen tiene 30 preguntas, cada una de ellas con 4 posibles respuestas.

    5) Un 15% de las naranjas que se recolectan no sirven para su comercializacin. Dada una muestra de 500 naranjas, nos preguntamos cuntas se podrn comercializar.

    6) Nos preguntamos cuntos partidos ganar Nadal en un torneo en el que se enfrentar a 8 rivales.

    Nmero de veces que se realiza el experimento. (Se repite siempre el mismo experimento, en las mismas condiciones. La probabilidad de xito es siempre la misma)

    Probabilidad de xito

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    Clculo de probabilidades en una binomial

    Sea la variable x que sigue una distribucin binomial B(n, p), la probabilidad de obtener k xitos viene dada por la expresin:

    M NMO ,P FQRP

    NMO 1 1 1 2 STTTTTUTTTTTV

    P WXYZ[\]^

    M! M! MM 1 1M 1 2 3 2 1 `

    Ma Observa estos ejemplos de nmeros combinatorios:

    b104 c 10 9 8 7STTTUTTTV

    " WXYZ[\]^

    4 3 2 1 10 9 7

    3STTTUTTTV^] eX ]f g Y[Q " 10 3 7 210

    b106 c 10 9 8 7 6 5STTTTTUTTTTTV

    h WXYZ[\]^

    6 5 4 3 2 1 10 9 8 7

    4 3 2 1STTTUTTTV^] eX hi b104 c 210

    Qu conclusin sacas de estos dos ejemplos? Crees que se cumplir siempre?

    8' b10095 c ? l b50c ?

    Ejemplos de clculo de probabilidades en una binomial: He buscado en los exmenes de selectividad de las distintas comunidades autnomas y son muy pocos los ejercicios de binomiales. El ms reciente, Castilla y Len en 2015, lo utilizar como ejemplo. Parece claro que la binomial no suele caer en selectividad. Vamos a resolverlo, primero una versin adaptada ms sencilla y luego el original.

    En una localidad llueve en 73 de los 365 das del ao. Cul es la probabilidad de que llueva dos das en una semana cualquiera? (Versin adaptada)

    Lo primero ser definir la variable que estamos estudiando: m F '

    Conocemos el nmero de das que debemos tener en cuenta, una semana, y la

    probabilidad de que llueva, , 73 365n , luego se trata de una binomial: G b7, 73365c G7; 0,2

    Nos piden la probabilidad de que llueva dos das, x = 2:

    2 b72c 0,2 0,8i 7 62 1 0,04 0,32768 21 0,0131072 0,2753

    Nmero combinatorio

    n sobre k

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    En una localidad llueve en 73 de los 365 das del ao. Cul es la probabilidad de

    que llueva ms de dos das en una semana cualquiera? (Versin original)

    Igual que antes, se trata de una distribucin binomial

    G b7, 73365c G7; 0,2 Nos piden la probabilidad de que llueva ms de dos das, x > 2:

    o 2 3 p 4 p 5 p 6 p 7 Creo que es ms sencillo si utilizamos el suceso contrario:

    o 2 1 1 < 2 1 1 ` 0 p 1 p 2a 1 1 `0,2097 p 0,3670 p 0,2753a 1 1 0,852 0,148

    2 0,2753 0 b70c 0,2 0,8q 1 1 0,2097152 0,2097 Te toca calcular P(x = 1) y comprobar que sale 0,3670

    Ahora, uno de La Rioja 2012:

    Una dcima parte de los nios espaoles padece algn tipo de intolerancia alimentaria. De este grupo, la cuarta parte tiene intolerancia a la lactosa.

    i. Probabilidad de que un nio espaol no tolere la lactosa. ii. Probabilidad de que en un grupo de tres nios espaoles, al menos uno de ellos

    tenga algn tipo de intolerancia alimentaria.

    i. Sean los sucesos: r m s ; & m r

    r 0,1; & r 0,25 Nos piden la probabilidad de que un nio no tolere la lactosa, es decir que tenga intolerancia y que sea a la lactosa:

    r t & r & r 0,1 0,25 0,025

    ii. Se trata de un grupo 3 nios en los que se estudia si tienen intolerancia o no. Podemos considerar una binomial con n = 3 y p = 0,1, B(3; 0,1)

    ' r 1 1 u r 1 1 0 1 1 0,729 0,271

    0 b30c 0,1 0,9% 1 1 0,729 0,729

    , F 1 1 , 0,9

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    Te toca practicar:

    Primero calculando unos nmeros combinatorios.

    7) vq"w vxgw vggw vhw vii w v w vi w vx w vq w

    Y ahora resolviendo problemas de distribucin binomial1.

    8) El 75% de las viviendas de una determinada regin tienen conexin a Internet. Se eligen 8 viviendas de esa regin y se pide:

    a) Probabilidad de que 5 de ellas estn conectadas a Internet. b) Probabilidad de que al menos dos tengan conexin a Internet. c) Probabilidad de ms de 5 tengan Internet.

    9) Una prueba para conseguir un trabajo de jardinero consiste en un test con 10 preguntas, cada una de las cuales con cuatro posibles respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Para superar la prueba debe obtenerse, al menos, 8 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, qu probabilidad tiene de superar la prueba?

    10) Un fabricante de cera para suelos desarrolla dos nuevos productos A y B con igual probabilidad de ser elegidos por los clientes. Las dos ceras A y B se aplican en 8 casas elegidas al azar.

    a) Cul es la probabilidad de que 6 o ms clientes prefieran la marca A? b) Cul es la probabilidad de que ningn cliente prefiera la marca B?

    11) El 1% de los nios sufre efectos secundarios tras la administracin de un determinado antibitico. Si se aplica a seis nios, hallar la probabilidad de que:

    a) Ninguno padezca efectos secundarios. b) Lo padezca ms de un nio. c) Si se suministrase el antibitico a 1000 nios, cul sera el nmero medio de

    nios con efectos secundarios?

    12) Probabilidad de que al lanzar una moneda seis veces, aparezcan ms de dos caras.

    13) Una fbrica de relojes fabrica un modelo determinado. Los controles de calidad detectan la aparicin de un defecto con una probabilidad de 0,1, pero que un reloj sea defectuoso es independiente del hecho que los otros lo sean o no. En el curso de la fabricacin retiran cinco relojes al azar.

    a) Probabilidad de que al menos uno de los relojes extrados sea defectuoso. b) Probabilidad de que exactamente dos relojes sean defectuosos.

    14) La probabilidad de que al tirar una chincheta quede con la punta hacia arriba es 3/4. Si se tiran 12 chinchetas, cul es la probabilidad de que queden menos de 2 con la punta hacia arriba?

    15) El 60% de los alumnos de bachillerato tienen consola de videojuegos. En un grupo de 6 alumnos:

    a) Cuntos se espera que tengan consola? b) Probabilidad de que ninguno tenga consola. c) Probabilidad de que haya ms de uno y menos de cinco alumnos con consola.

    1 Ejercicios de selectividad: 10) Madrid 1993; 11) UNED 1992; 12) UNED 1993; 13) Catalua 1993

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    Distribucin normal yz, { Una variable continua, x, que sigue una distribucin de probabilidad normal, ), /, depende de dos parmetros:

    ) '

    / ,

    y su funcin de densidad es la famosa curva normal o campana de Gauss, en honor al matemtico alemn Carl Friedrich Gauss.

    La media, ), se sita en el centro, coincidiendo con el mximo, y la curva es simtrica respecto de ella. En ) 1 / ) p / hay puntos de inflexin y el eje X es una asntota horizontal. El rea bajo la curva es 1.

    Para cada valor de la media, ), y cada valor de la desviacin tpica, /, se obtiene una curva normal distinta. La ms importante es la que tiene media ) 0 y desviacin tpica / 1, llamada distribucin normal estndar cuya variable se representa por z:

    6 m 0, 1 Como la media es 0, la funcin se centra en el origen y es simtrica respecto del eje Y:

    La probabilidad de que 6 < M se corresponde con el rea de la zona rayada (Recuerda que el rea total bajo la curva es 1). La 0, 1 es muy til ya que se dispone de una tabla que nos da las probabilidades 6 < M para valores de k entre 0 y 3,99, y no es necesario calcular el rea correspondiente.

    A la hora de resolver problemas, lo habitual no ser encontrarnos con la 0, 1, sino cualquier otra ), /. Hay una forma de transformar la ), / 0, 1, aplicando el cambio de variable:

    6 1 )/ Este proceso se denomina Tipificacin de la variable.

    : 0

    l

    M

    6 < M

    : ) ) 1 / ) p /

    l

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    Ejemplo de tipificacin:

    Supongamos que una variable, x, se distribuye mediante una 70, 8 y queremos calcular la probabilidad de que < 50. Para poder utilizar la tabla de la 0, 1 debemos tipificar la variable:

    < 50 b6 < 50 1 708 c 6 < 12,5 |}~} } y, He aqu la tabla que se facilita en la selectividad de Madrid:

    En la 0, 1 las unidades y las dcimas se buscan en la columna de la izquierda y las centsimas, en la primera fila.

    Observa este ejemplo de clculo de probabilidades:

    - Calculemos 6 < 1,13 Buscamos 1,1 en la columna de la izquierda y ,03 en la fila superior. Ambos valores confluyen en 0,8708. Luego

    6 < 1,13 0,8708

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    Clculo de probabilidades en una y, Supongamos M o 0 M , Calcular 6 < 2,10

    Igual que el ejemplo anterior (Confluencia de la columna 2,1 con la fila ,00)

    6 < 2,10 0,9821 Conocemos 6 < M 0,9948 y se pide calcular k

    Localizamos en la tabla el valor 0,9948 y buscamos la fila (2,5) y la columna (,06)

    M 2,56 Calcular 6 B 0,18. Como la tabla es para 6 < , utilizamos

    6 B 0,18 1 1 6 < 0,18 1 1 0,5714 0,4286

    Supongamos M 0 M u Calcular 6 < 11,43. Como la tabla es para 6 < ,, utilizamos

    6 < 11,43 6 B 1,43 1 1 6 < 1,43 1 1 0,9236 0,0764

    Supongamos M < 6 < M Calcular 1,37 < 6 < 2,99

    1,37 < 6 < 2,99 6 < 2,99 1 6 < 1,37 0,9986 1 0,9147 0,0839

    : 0 2,99 1,37 6 < 1,37 6 < 2,99

    l

    l

    : 0 1,43

    6 B 1,43

    11,43

    6 < 11,43

    : 0

    l

    0,18

    1 1 6 < 0,18 6 < 0,18

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    Calcular 10,71 < 6 < 1,39

    10,71 < 6 < 1,39 6 < 1,39 1 6 < 10,71 0,9177 1 0,2389 0,6788

    6 < 10,71 6 B 0,71 1 1 6 < 0,71 1 1 0,7611 0,2389STTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTV Calcular 11,80 < 6 < 10,78

    11,80 < 6 < 10,78 6 < 10,78 1 6 < 11,80 0,2177 1 0,0359 0,1818 1 1 6 < 0,78 1 1 0,7823 0,2177STTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTV 1 1 6 < 1,80 1 1 0,9641 0,0359STTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTV Ejercicios, con soluciones, para que practiques el manejo de la tabla Calcula en una 0, 1 las siguientes probabilidades: 16) 6 < 2,01 0,9778 17) 6 < 3 0,9987 18) 6 < 1,6 0,8554 19) 1 6 1,85 20) 6 o 10,25

    21) 6 10,88 22) 6 B 11,4 22) 6 B 11,4 23) 6 B 1,15 24) 10,5 6 0,7 25) 6 o 2

    26) 1,19 6 < 1,94 27) 12 < 6 < 11,5 28) 13,02 < 6 < 2,7 29) 6 B 2,99 30) 6 B 0,1

    Busca la solucin: 0,0014 0,0440 0,1265 0,9778 0,8554 0,5987 0,0908 0,4602

    0,9953 0,9987 0,1894 0,0228 0,9192 0,4495 0,1251

    : 0 10,78 11,80 6 < 10,78

    l

    6 < 11,80

    : 0 10,71 1,39 6 < 1,39 6 < 10,71

    l

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    Clculo de probabilidades en una yz, {: Habr que tipificar la variable, es decir, transformar la m ), / 6 m 0, 1, aplicando el cambio de variable:

    6 1 )/ Ejemplos:

    Sea m 5; 0,5, calcula < 4 < 4 b6 < 4 1 50,5 c 6 < 12 1 1 6 < 2 1 1 0,9772 0,0228

    Sea x una normal 100, 10, calcula la probabilidad de que x sea mayor que 110 B 110 b6 B 110 1 10010 c 6 B 1 1 1 6 < 1 1 1 0,8413 0,1587

    Sabemos que x se distribuye normalmente con una media de 62 y una desviacin tpica de 6. Calcula la probabilidad de que x tome valores comprendidos entre 50 y 70.

    50 < B 70 b50 1 626 < 6