DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

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    03-Jan-2016

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  • DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas: Bernouilli, binomial, Poisson y multivariante. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nmero determinado de valores: Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un nmero de 1 al 6; en una ruleta el nmero puede tomar un valor del 1 al 9

  • DISTRIBUCION DE BERNUILLILa distribucin de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso: Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); p robabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); p robabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas)

  • Al haber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: A la probabilidad de xito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q"Verificndose que: p + q = 1Veamos los ejemplos antes mencionados : Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Probabilidad de ser admitido: p = 0,25 Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela: Probabilidad de acertar: p = 0,00001 Probabilidad de no acertar: q = 0,99999 p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1

  • DISTRIBUCION BINOMIALLas distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli: La distribucin de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene nicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribucin binomial se aplica cuando se realizan un nmero"n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido xitosEjemplo: se tira una moneda 10 veces: cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10La distribucin de probabilidad de este tipo de distribucin sigue el siguiente modelo:

  • Ejemplo 1: Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el nmero de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6) " n" es el nmero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 " p " es la probabilidad de xito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5La frmula quedara:

    Luego, P (x = 6) = 0,205Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.

  • Ejemplo 2:Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado 8 veces? " k " (nmero de aciertos) toma el valor 4 " n" toma el valor 8 " p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)La frmula queda:

    Luego,

    P (x = 4) = 0,026Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el nmero 3 al tirar un dado 8 veces.

  • EjemplosLa probabilidad de que cierta clase de componentes sobreviva a una prueba de choques es . Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los 4 componentes que se prueben.

    Sol 27/128

  • ejemploLas posibilidades de que un bit transmitido a travs de un canal se reciba con error es de 0.1. Suponga adems que los ensayos de transmisin son independientes. Sea x el numero de bits con error en los siguientes 4 bits transmitidos, determine la probabilidad de que lleguen 2 bits con error0.0486

  • APLICACIONESTodo experimento que tenga resultados binarios (xito/fracaso, defectuoso/no defectuoso, enfermo/sano, mujer/hombre, etc.) y cuyos ensayos sean independientes.Ejemplos:Medicina: frmacos, cura/no curaMilitares: misiles dan en el blanco/no dan.Comunicaciones: error de una cadena de bits.

  • MEDIA Y VARIANZALa media y varianza de la distribucin binomial, es: = npVarianza = npqEjemplo: en el de 4 bits, = 4 x 0.1= .4Varianza= 4 x 0.1x0.9= 0.36

  • Distribucin Poisson.Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial: Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo:

  • Vamos a explicarla: El nmero "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el nmero de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de xito en cada ensayo) " k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculandoVeamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.

    Luego, P (x = 3) = 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%

  • Otro ejemplo: La probabilidad de que un nio nazca pelirrojo es de 0,012. Cul es la probabilidad de que entre 800 recin nacidos haya 5 pelirrojos?

    Luego, P (x = 5) = 4,602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recin nacidos es del 4,6%..

  • MEDIA Y VARIANZALa media y varianza de la distribucin POISSON , es: = npVarianza = npConsecuencia: Si la varianza de los conteos es mucho ms grande que la media de los mismos, entonces la distribucin de Poisson no es buen modelo para la distribucin de la variable.

  • ejemploUn conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. Cul es laprobabilidad de que en una hora tomada al azar reciba?a) Ninguna llamada.b) Exactamente 3 llamadas.c) No ms de 3 llamadas.

  • ejemploa) Ninguna llamada. x = 0 sol. 0.00674963b) Exactamente 3 llamadas: x = 3 sol. 0.1404No ms de 3 llamadas: x < 4P(x < 4) = P(x 3) = P(x0 = 0) + P(x1 = 1) + P(x2 = 2) + P(x3 = 3)Sol. P(x < 4) = 0.0067+ 0.0337 + 0.0842 + 0.1406 = 0.2652 = 26.52 %

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