Distribuciones de Probabilidad Discretas1

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    13-Jan-2016

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Distribucion de Probabilidad Discreta

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  • PROBABILIDAD

    Su sagrada majestad, el azar, lo decide todo

    Voltaire

  • Distribucin de probabilidad Binomial

    La distribucin Binomial tiene las siguientes

    caractersticas:

    En cada prueba del experimento slo son

    posibles dos resultados: el suceso p (xito) y su

    complemento 1 p (fracaso) denotado tambin como q.

    El resultado obtenido en cada prueba es

    independiente de los resultados obtenidos

    anteriormente.

  • 3

    Distribucin de probabilidad Binomial

    La probabilidad del suceso xito es constante, la

    representamos por p, y no vara de una prueba a

    otra. La probabilidad de fracaso es 1- p y se

    representa como q . (p+q =1)

    El experimento consta de un nmero n de pruebas.

    Los ensayos o experimentos son independientes en

    cada aprueba. Todo experimento que tenga las anteriores caractersticas se dice que sigue

    el modelo de la distribucin de Probabilidad Binomial.

    A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba

    del experimento, se denota variable aleatoria binomial y se expresa

    X b(n;p;x)

  • Distribucin binomial

    Funcin de probabilidad

    Media: =n p

    Varianza: 2 = n p q

    nxqpx

    nxXP xnx

    0 ,][

    si n es grande y/o p

    cercano a 0 o 1, usar

    aproximacin de

    Poisson.

  • 5

    Distribucin Binomial Ejemplo: Por estudios estadsticos realizados por una entidad bancaria se sabe que el 5% de los prestamos se van a cobro judicial. Si el gerente revisa 3 prestamos, hallar las siguientes probabilidades

    X b(n;p;x), entonces .. X b(n=3;P=0.05;x) La variable aleatoria X: {prstamo se va a cobro judicial}, X toma los valores 0,1, 2, 3 (x:

    {0, 1, 2, 3})

    a) 2 prestamos estn para cobro judicial

    b) No hay prestamos para cobro judicial

    3005010502

    32 232

    xXP 0.007 ).(.][

    3005010500

    30 030

    xXP 0.857 ).(.][

  • 6

    Distribucin Binomial X b(n;p;x), entonces .. X b(n=3;P=0.05;x) La variable aleatoria X : prstamo se va a cobro judicial, toma los valores 0,1, 2, 3 (x: {0, 1,

    2, 3})

    c) Por lo menos dos prestamos van para cobro judicial

    d. Mximo un prstamo esta para cobro judicial

    3005010501

    30501050

    0

    31

    101212

    131030

    x

    XPXPXPXP

    ).(. ).(.

    )()()()(

    3005010501

    30501050

    0

    3

    101

    131030

    x

    XPXPXP

    ).(. ).(.

    )()(][

  • Tablas Distribucin Binomial

    Probabilidad

  • 8

    Ejercicios: Distribucin Binomial

    1. Un examen para admisin de un cargo para Gerente consta de 10 preguntas a

    las que debe contestar Si o No. Suponiendo que los examinados no saben

    sobre el tema del cual les preguntan y en consecuencia contestan al azar,

    hallar:

    a. Probabilidad de obtener 5 aciertos

    b. Probabilidad de obtener algn acierto

    c. Probabilidad de obtener al menos 5 aciertos

    2. La ltima novela de un escritor Colombiano ha tenido un gran xito, hasta el

    punto de que el 80% de los lectores ya la han ledo. Un grupo de 4

    administradores son aficionados a la lectura:

    a. Cul es la probabilidad de que en el grupo hayan ledo la novela 2 personas?

    b. Y cmo mximo 2?

    3. Un agente de seguros vende plizas a cinco personas de la misma edad y que

    disfrutan de buena salud. Segn las tablas actuariales, la probabilidad de que

    una persona en estas condiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Hllese la

    probabilidad de que, transcurridos 30 aos, vivan:

    a. Las cinco personas.

    b. Al menos tres personas.

    c. Exactamente dos personas.

  • 9

    Distribucin de Poisson

    Esta distribucin se emplea para

    describir sucesos discretos que

    ocurren con poca frecuencia en el

    tiempo o en el espacio; por ello a

    veces recibe el nombre de

    distribucin de sucesos raros.

    Si n muy grande y p muy pequeo, es

    conveniente utilizar la distribucin de

    Poisson, ya que se consigue una

    buena aproximacin.

  • 10

    Distribucin Poisson (Simen Dennis Poisson 1781-1840)

    La distribucin de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria.

    Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

    Es muy til cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de xitos p es pequea.

    Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, rea, volumen o tiempo definido.

  • describir la cantidad de ambulancias que se

    requieren en una ciudad en una noche

    particular,

    describir la cantidad de partculas emitidas por

    una cantidad especfica de material radiactivo o

    describir el nmero de personas que llegan a

    hacer fila en un banco o supermercado para

    pagar un servicio en una hora determinada.

    Distribucin Poisson . Aplicaciones

  • 12

    La llegada de un cliente a un supermercado, banco, durante una hora.

    Las llamadas telefnicas que se reciben en un da.

    Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

    Los envases llenados fuera de los lmites por cada 100 galones de producto terminado.

    Nmero de aviones, barcos, autos que llegan o salen. en 10 minutos

    Distribucin Poisson . Aplicaciones

  • 13

    1. La probabilidad de observar exactamente un xito en el segmento o tamao de muestra n es constante.

    2. El evento debe considerarse un suceso raro.

    3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos

    Si repetimos el experimento n veces

    podemos obtener resultados para la

    construccin de la distribucin de Poisson

    Propiedades de un proceso de Poisson

  • 14

    Distribucin de Poisson

    Se obtiene como aproximacin de una

    distribucin binomial con la misma media, para n grande (n>50) y p pequeo (p

  • 15

    Donde:

    X variable aleatoria que representa el nmero de llegadas

    de ocurrencias o sucesos por unidad de tiempo, rea,

    longitud.

    P(X) Probabilidad de que ocurran exactamente x sucesos

    Nmero medio de llegadas de ocurrencias o sucesos por unidad de tiempo, rea, longitud (es proporcional a

    la longitud el intervalo)

    e base de los logaritmos neperianos ( e = 2.718282)

  • 16

    17

    Caractersticas de la distribucin Poisson

    k = 5 = 0.1

    k = 5 = 0.5

    Media

    = E(X) =

    Varianza

    = 2

    0

    .2

    .4

    .6

    0 1 2 3 4 5

    X

    P(X)

    .2

    .4

    .6

    0 1 2 3 4 5

    X

    P(X)

    0

    = V(X)

  • 17

    Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son

    las probabilidades de que reciba,

    a) cuatro cheques sin fondo en un da dado?

    Sea V.A X: {nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera} X = 0, 1, 2, 3, ........

    = 6 cheques sin fondo por da = 12 cheques sin fondos en dos das

    a) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

    Ejemplos: Distribucin de Poisson

    ,...2,1,0 ,!

    ][ xx

    xexXP

    ,...2,1,0 ,13392.0!4

    466]4[ xeXP

  • 18

    Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son

    las probabilidades de que reciba,

    b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

    Sea V.A X: {nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera} X = 0, 1, 2, 3, ........

    = 12 cheques sin fondos en dos das

    Ejemplos: Distribucin de Poisson

    ,...2,1,0 ,!

    ][ xx

    xexXP

    ,...2,1,0 ,104953.0!10

    101212]10[ xeXP

  • Ejemplo: Distribucin de Poisson

    Determinar la cantidad de personas de una

    poblacin de 10000 que se puede ver involucrada

    en accidentes vehiculares cada ao. De estudios

    anteriores se sabe que la probabilidad de tener un

    accidente es 0.00024 .

    El nmero de personas implicadas sera la

    siguiente la cual tambin es la varianza:

    2.402410000x0.00npV(X)E(X)

  • Distribucin de Poisson

    La probabilidad de que ninguna persona de esta poblacin tenga un accidente en un ao en particular es

    09100

    420

    042

    .!

    ).()(

    .

    e

    XP

    La probabilidad de que exactamente una

    persona tenga un accidente es

    21801

    421

    142

    .!

    ).()(

    .

    e

    XP

  • Distribucin de Poisson

    De manera anloga, la probabilidad de que dos

    personas tengan accidentes es.

    26102

    422

    242

    .!

    ).()(

    .

    e

    XP

    cul es la probabilidad de que tres personas se involucren en un

    accidente vehicular en el primer semestre de un ao cualquiera?

    En este caso es proporcional, es decir = 1.2, por tanto

    0867403

    213

    321

    .!

    ).()(

    .

    e

    XP

  • Tabla Distribucin de Poisson

    Tambin se puede conocer la probabilidad

    de Poisson utilizando las tablas.

    Cantidad de sucesos

  • Distribucin de Poisson

    En una poblacin de 10000

    personas, cul es la probabilidad

    de que exactamente tres de estas

    se involucren en un accidente

    vehicular en una ao determinado?

  • Distribucin de Poisson

    1. fijar x = 3

    4. aproximar la

    probabilidad

    a 0.214

    2. redondear 2.4 a 2.5

    3. buscar la columna

    correspondiente = 2.5

  • Distribucin de Poisson

    Grafica de la distribucin de probabilidad X, la cantidad de individuos de la poblacin involucrados en un accidente vehicular cada ao

    El eje Y suma 1

  • Distribucin de Poisson

    La distribucin de Poisson se encuentra pronunciadamente sesgada por valores pequeos de

    Conforme aumenta, la distribucin se torna mas simtrica.

  • Distribucin Hipergeomtrica

    Est estrechamente relacionada con la distribucin de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas est en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de xito cambia de uno a otro

    Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de n artculos seleccionados sin reemplazo, obtengamos x elementos identificados como xitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener x xitos de los r de la poblacin, y n-x fracasos de los N-r de la poblacin

    ( )

    r N r

    x n xf x

    N

    n

    0 x r

    N= tamao de la poblacin.

    r= numero de xitos en la poblacin.

    n= tamao de la muestra

    x= numero de xitos de la muestra.

    P(X=x)

  • 3 2

    2 0 3(2) 0.3

    5 10

    2

    f

    P(X=2)

    Ejemplo Se debe seleccionar 2 miembros de un comit, entre 5, para que

    asistan a un curso de educacin virtual. Suponga que el comit est

    formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de

    seleccionar 2 mujeres al azar

    Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2

    Luego el clculo de la probabilidad es:

  • Distribucin Geomtrica En una serie de intentos independientes, con una probabilidad

    constante p de xito, sea la variable X el nmero de ensayos realizados hasta la obtencin del primer xito. Se dice que X tiene una distribucin geomtrica con parmetro p cuando

    Donde X es la cantidad de intentos

    La media y varianza para esta distribucin son

    Una caracterstica de esta distribucin es que carece de memoria, es decir, se puede empezar a contar en cualquier ensayo o intento hasta obtener el xito

    2

    ( ) 1/

    (1 )( )

    E X p

    pVar X

    p

    ,...2,1,0 1)1(][

    ),;;(

    xpxpxXP

    entoncesxpnGx

  • La probabilidad de que una muestra de aire contenga una

    molcula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son

    independientes respecto a la presencia de la molcula.

    Determine cul es la probabilidad de que sea necesario

    analizar 125 muestras antes de detectar una molcula rara

    Tarea: Graficar distribucin

    0029.0 01.01125)01.01(];01.0[

    ),;(

    xpG

    entoncesxpGx

    Ejemplo 1

  • 31

    En cierta regin de Colombia, la probabilidad de que ocurra una tormenta

    con truenos en un da cualquiera durante dos meses de verano (junio julio) es igual a 0.1. Suponiendo la independencia de un da con otro, Cual es la

    probabilidad de que la primera tormenta con truenos del verano ocurra el da

    3 del segundo mes?

    Ejemplo 2

    X : {numero de das, empezando el 1 del primer mes, hasta la primer tormenta}

    003.0 1.0*33)9.01(];1.0[ xpG

    2

    ( ) 1/

    (1 )( )

    E X p

    pVar X

    p

    Calcule valor esperado y desviacin estndar e interprete

  • 32

    Si la probabilidad de que cierto examen de sangre de una reaccin positiva es igual a 0.4, Cul es la probabilidad de que ocurran menos de 5

    reacciones negativas antes de la primera prueba positiva?

    Ejemplo 3

    X : {numero de reacciones negativas antes de la primera positiva}

    0,1,2,... x4.0*)60.0(][ xxXP

    0.92 4.0*)60.0(]5[4

    0

    x

    xXP

  • Distribucin Binomial Negativa

    En una serie de intentos independientes con una probabilidad constante de xito p, sea la variable aleatoria X en nmero de ensayos efectuados hasta que se tienen r xitos. Se dice que X tiene una distribucin Binomial negativa con parmetro p y r cuando

    Una variable binomial negativa es un conteo del nmero de ensayos necesarios para obtener r xitos. Es decir, el nmero de xitos est predeterminado y lo aleatorio es el nmero de ensayos. Se puede decir que esta variable es el opuesto de una variable binomial

    Una variable binomial negativa es una suma de variables aleatorias geomtricas

    La media y varianza para esta distribucin son

    1( ; ; ) (1 )

    1

    x r rx

    fx x p r p pr

    2

    ( ) /

    (1 )( )

    E X r p

    r pVar X

    p

  • Ejemplo Una aeronave tiene 3 computadoras idnticas. Slo

    una de ellas se emplea para controlar la nave, las otras 2 son de reservas por si falla la primera. Durante una hora de operacin la probabilidad de falla 0.0005. Cul es el tiempo promedio de falla de las tres

    computadoras?

    Cul es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 5 horas?

    ( ) 3/0.0005 6000E x h

    3 3 3 9

    ( 5) ( 3) ( 4) ( 5)

    3 40.0005 0.0005 (0.9995) 0.0005 (0.9995) 1.249 10

    2 2

    P x P X P X P X

    x

  • Ejercicios distribuciones de probabilidad discretas

    Se comprob que un nuevo detergente para ropa quita bien la mugre y las manchas del 88% de las prendas lavadas. Suponga que se van a lavar 10 prendas con el nuevo detergente

    Cul es la probabilidad de obtener buenos resultados en

    las 10 prendas?

    Cul es la probabilidad de encontrar mal lavadas al menos 2 prendas?

    Qu tipo de distribucin emple?

  • Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de

    una empresa, y le preocupa la cantidad de quiebras de

    empresas pequeas.

    Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeas

    por mes es de 10:

    cul es la probabilidad de que quiebren exactamente 4

    empresas pequeas durante un mes?

    Cul es la probabilidad de que quiebren por lo menos 5

    empresas en tres meses?

    Ejercicios distribuciones de probabilidad discretas

  • 37

    La probabilidad de que un CD de msica dure al menos un ao sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15,

    a) 12 duren menos de un ao,

    b) a lo ms 5 duren menos de un ao,

    c) al menos 2 duren menos de un ao.

    Si 8 de 100 viviendas violan el cdigo de construccin. cul es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:

    a) ninguna de las casas viola la norma urbana de construccin

    b) una viola la norma urbana de construccin

    c) dos violan la norma urbana de construccin

    d) al menos tres la norma urbana de construccin

    Ejercicios distribuciones de probabilidad discretas

  • PROBABILIDAD CONDICIONAL La oficina de Accin Social lleva a cabo un censo de todas las personas

    que viven en una pequea comunidad. Los encuestadores anotan en una

    relacin el nmero de visitas que una persona hace al centro de salud y las

    condiciones sanitarias de la vivienda que habita. Los resultados fueron los

    siguientes:

    Condiciones Sanitarias

    Nmero de Visitas Buenas Malas Total

    2 o menos 700 100 800

    Ms de dos 800 400 1200

    Total 1500 500 2000

    Cul es la probabilidad de que una persona escogida al azar viva en malas condiciones sanitarias?

    Cul es la probabilidad de que una persona escogida al azar viva en malas condiciones sanitarias, dado que visita dos veces o menos al centro de salud?

    25.02000

    500)A(P 125.0

    800

    100

    2000/800

    2000/100

    )B(P

    )BA(P)B/A(P

  • 39

    Trminos para recordar

    Aleatorio que ocurre al azar.

    Distribucin de Poisson Distribucin discreta que se aplica cuando se realizan ms de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

    xitos Es la ocurrencia del evento de inters como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

    Experimento independiente Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento.

  • 40

    Resultado discreto Son resultados con un nmero finito de valores (3 personas, menos de 8, mximo 3, etc.)

    Suceso raro Un evento que ocurre con poca frecuencia. Segmento - es un intervalo, porcin, fragmento o tamao de

    muestra, ya sea en unidades de distancia, rea, volumen, tiempo o cualquier otra medida.

    Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un

    nmero finito de valores de forma impredecible o al azar. Variable Discreta Variable que puede obtener un nmero finito

    de valores como 0, 1, 2, 3.

    Trminos para recordar

  • !Gracias por su atencin!