DERIVADAS POR DEFINICION - x fx x lim kk x lim ... x ∆∆xxlim x x x ...

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    10-Feb-2018

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  • Av. Santa Fe 2206 Piso 2 - Capital Federal C1123AAR - Argentina Horario de atencin: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sbado de 9:00 a 21:00 hs.

    Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Lneas Rotativas) E-mail: info@delfosweb.com.ar Web: www.delfosweb.com.ar

    Secundarios - CBC - Universitarios - Informtica - Idiomas

    CENTRO DE CAPACITACION Apunte Nro 0028

    DERIVADAS POR DEFINICION Derivada de una constante: f x k( ) =

    lim f x x f xx

    lim k kx

    limxx x x

    + =

    = =0 0 0

    0 0( ) ( )

    Derivada de x : f x x( ) =

    lim f x x f xx

    lim x x xx

    lim xx

    limx x x x

    + =

    + = = =0 0 0 01 1

    ( ) ( )

    Derivada de la raz cuadrada de x: f x x( ) =

    lim f x x f xx

    lim x x xx

    lim x x xx

    x x xx x x

    lim x x xx x x xx x x x

    + =

    + =

    + + +

    + +=

    +

    + +=0 0 0 0

    ( ) ( ) *. ( )

    =+ +

    =+ +

    = limx

    x x x xlim

    x x x xx x

    0 0

    1 12( )

    Derivada de 1/x: f xx

    ( ) = 1

    lim x x xx

    lim

    x x xx x x

    xlim x x x

    x x x xlim x

    x x x xlim

    x x x xx x x x x

    +

    =

    ++ =

    +

    =+

    =+

    =

    0 0 0 0 0 2

    1 11 1

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

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    CENTRO DE CAPACITACION Apunte Nro 0028

    Derivada de x2: f x x( ) = 2

    lim x x xx

    lim x x x x xx

    lim x x xxx x x

    + =

    + + =

    +=0

    2 2

    0

    2 2 2

    0

    22 2( ) . . . .

    ( ) ( )lim x x x

    xlim x x xx x

    +

    = + =0 02

    2 2. .

    . .

    Derivada de la suma: f x u x v x f x u x v x( ) ( ) ( ) '( ) ' ( ) '( )= + = +

    ( ) ( )lim f x x f xx

    limu x x v x x u x v x

    xlim u x x v x x u x v x

    xx x x

    + =

    + + + +=

    + + + 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    lim u x x u x v x x v xx

    lim u x x u xx

    lim v x x v xx

    u x v xx x x

    + + + =

    + +

    + = +0 0 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ' ( )

    Derivada de la resta: f x u x v x f x u x v x( ) ( ) ( ) '( ) ' ( ) '( )= =

    ( ) ( )lim f x x f xx

    limu x x v x x u x v x

    xlim u x x v x x u x v x

    xx x x

    + =

    + + =

    + + +0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )lim u x x u x v x x v xx

    lim u x x u xx

    lim v x x v xx

    u x v xx x x

    + + =

    +

    + = 0 0 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )

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    Regla de la cadena: ( )[ ] ( )f g x f g x g x( ) ' ( ) . ' ( ) = .

    [ ] [ ] [ ] [ ]lim f x x f xx

    limf g x x f g x

    xlim

    f g x x f g xx

    g x x g xg x x g xx x x

    + =

    + =

    + + + 0 0 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )( ) ( )

    . [ ] [ ] [ ]lim f g x x f g xg x x g x

    g x x g xx

    f g x g xx

    + +

    + = 0

    ( ) ( )( ) ( )

    . ( ) ( ) ( ) . '( )

    Derivada de logaritmo natural de x: f x x( ) ln( )= Vamos a usar las siguientes propiedades del logaritmo:

    1) ln( ) ln( ) lnA B AB

    =

    2) B A AB. ln( ) ln( )=

    3) limx

    exx

    +

    =0 11

    4) ln( )e = 1

    lim x x xx

    lim

    x xxx

    lim

    xxx

    limx

    xx

    lim xx

    x x x x x

    x

    + =

    +

    =

    +

    = +

    = +

    =0 0 0 0 0

    1

    11 1 1 1ln( ) ln( )

    ln ln.ln ln

    = +

    = +

    = +

    = = = lim xx

    limxx

    limxx

    ex

    exx

    xxxxx

    x

    xx

    xxx

    x

    xx

    x

    x

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1 1 1 1 1 1 1 1ln ln ln ln ln( )

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    Derivas aplicando diferenciacin logartmica

    f(x) x f'(x) n.xn n 1= =

    f x xf x xf x n x

    f xf x n

    x

    f x nxf x

    f x nxx n x

    n

    n

    n

    ( )ln( ( )) ln( )ln( ( )) . ln( )

    ( ). ' ( ) .

    ' ( ) . . ( )

    ' ( ) . . .

    =

    ==

    =

    =

    = =

    1 1

    1

    1 1

    [ ] [ ]y f(x) y' n. f(x) .f' (x)n n 1= =

    [ ][ ]

    [ ]

    y f x

    y f xy n f x

    yy n

    f xf x

    y nf x

    f x y

    y nf x

    f x f x n f x f x

    n

    n

    n

    =

    =

    =

    =

    =

    = =

    ( )

    ln( ) ln( ( ) )ln( ) . ln( ( ))

    . ' .( ). ' ( )

    ' .( ). ' ( ).

    ' .( ). ' ( ). ( ) . ( ) . ' ( )

    1 1

    1

    1 1

    y a y a ax x= =' . ln( )

    y ay ay x a

    yy a

    y a yy a a

    x

    x

    x

    =

    ==

    =

    =

    =

    ln( ) ln( )ln( ) . ln( )

    . ' . ln( )

    ' ln( ).' ln( ).

    1 1

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    CENTRO DE CAPACITACION Apunte Nro 0028

    y e y' ex x= = Se resuelva igual que el caso anterior. Pero como ln(e)=1, resulta y=ex. y a y' a . ln(a).f' (x)f(x) f(x)= =

    y ay ay f x a

    yy f x a

    y f x a yy f x a a

    f x

    f x

    f x

    =

    ==

    =

    =

    =

    ( )

    ( )

    ( )

    ln( ) ln( )ln( ) ( ). ln( )

    . ' ' ( ). ln( )

    ' ' ( ). ln( ).' ' ( ). ln( ).

    1

    y e y' e .f' (x)f(x) f(x)= =

    Se resuelva igual que el caso anterior. Pero como ln(e)=1, resulta y=ef(x).f(x)

    [ ] [ ]y f(x) y' g' (x). ln(f(x)) g(x). 1f(x) . f' (x) . f(x)g(x) g(x)= = +

    [ ]

    [ ][ ]

    [ ]

    y f x

    y f x

    y g x f x

    yy g x f x g x

    f xf x

    y g x f x g xf x

    f x y

    y g x f x g xf x

    f x f x

    g x

    g x

    g x

    =

    =

    =

    = +

    = +

    = +

    ( )

    ln( ) ln ( )

    ln( ) ( ). ln( ( ))

    . ' ' ( ). ln( ( )) ( ).( ). ' ( )

    ' '( ). ln( ( )) ( ).( ). ' ( ) .

    ' ' ( ). ln( ( )) ( ).( ). ' ( ) . ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    1 1

    1

    1

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    CENTRO DE CAPACITACION Apunte Nro 0028

    Regla del producto: y u(x). v(x) y' u'(x).v(x) u(x).v'(x)= = +

    y u x v xy u x v xy l u x v x

    yy

    u xu x

    v xv x

    yu x

    u xv x

    v x y

    yu x

    u xv x

    v x u x v x

    yu x

    u x u x v xv x

    v x u x

    === +

    = +

    = +

    = +

    = +

    ( ). ( )ln( ) ln( ( ). ( ))ln( ) ( ( )) ln( ( ))

    . '( ). ' ( )

    ( ). ' ( )

    '( ). ' ( )

    ( ). ' ( ) .

    '( ). ' ( )

    ( ). ' ( ) . ( ). ( )

    '( ). ' ( ). ( ). ( )

    ( ). ' ( ). (

    1 1 1

    1 1

    1 1

    1 1 ). ( )

    ' ' ( ). ( ) ' ( ). ( )

    v x

    y u x v x v x u x= +

    Deduccin de la regla del cociente: yu(x)v(x)

    y' u'(x). v(x) u(x).v'(x)v (x)2

    = =

    y u xv x

    y u xv x

    y l u x v x

    yy

    u xu x

    v xv x

    yu x

    u xv x

    v x y

    yu x

    u xv x

    v x u xv x

    yu x

    u x u xv x v x

    v

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ( )( )

    ln( ) ln ( )( )

    ln( ) ( ( )) ln( ( ))

    . '( ). ' ( )

    ( ). ' ( )

    '( ). ' ( )

    ( ). ' ( ) .

    '( ). ' ( )

    ( ). ' ( ) . ( )

    ( )

    '( ). ' ( ). ( )

    ( ) ( ). ' (

    1 1 1

    1 1

    1 1

    1 1 x u xv x

    y u xv x

    v x u xv x

    u x v x v x u xv x

    ). ( )( )

    ' ' ( )( )

    ' ( ). ( )( )

    '( ). ( ) '( ). ( )( )

    = =

    2 2

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    Derivida del seno de x:

    Vamos a usar la siguiente relacin trigonomtrica

    sen sen sen .cosa b a b a b =

    +

    22 2

    lim x x xx

    lim

    x x x x x x

    xlim

    x x x

    xx x x

    +

    =

    +

    + +

    =

    +

    =0 0 0

    22 2 2

    22

    2

    sen( ) sen( )sen . cos sen . cos

    lim

    x

    x limx x lim x x x xx x x

    +

    =

    +

    =

    =0 0 0

    2

    2

    22

    22

    22

    sen( ). cos ( ) cos ( ) cos cos( )

    Contraejemplo para demostrar que la continuidad de una funcin no implica su derivabilidad:

    F(x)= x

    1)Demostramos que es contnua en x=0

    lim xFx = =

    = =

    0 0 00 0 0( )

    es contnua en x=0

    2) Demostramos que no es derivable en x=0

    F x lim F x h F xh

    lim F h Fh

    limhh

    lim hh

    lim hh

    h h h

    h

    h

    ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = = =

    =

    =

    +

    0 0 0

    0

    0

    01

    1

    Por el teorema de unicidad del lmite, si el lmite existe, debe ser nico. Por lo tanto este lmite no existe, o sea que F(x) no es derivable en x=0

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