Copia (2) de Copia de Matemtica

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    15-Sep-2015

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matematica

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  • 1

    Matemtica

    Mg. Sixto Gmez Salcedo

    2012

  • 2

    Autor

    Mag. Sixto Gmez Salcedo

    Primera Edicin - Abril 2012

    Diseo y diagramacin

    Lic. Vernica Rodrguez Velsquez

    Impreso por

    Universidad Tecnolgica del Per - Arequipa

    La Merced 209-215 Telf: (054) 286843

    Impreso en Per/ Printed in Per

  • 3

    INTRODUCCIN

    Los estudios de la Matemtica son cuestionados por muchos

    estudiantes de Educacin Primaria, Educacin Secundaria y Educacin

    Superior. En algunos casos, llegan a la Universidad con traumas

    psicolgicos provocados por las dificultades que han tenido en el

    aprendizaje de la Matemtica. Posiblemente la causa del rechazo de la

    Matemtica sean algunos profesores porque no asumen el rol educativo

    que les corresponde de centrar el proceso educativo en el proceso de

    aprendizaje, de ser un gua, un facilitador del proceso del aprendizaje

    proporcionando ayudas al proceso de construccin del conocimiento

    por parte de los estudiantes. El aprendizaje debe ser significativo en

    cuanto a su utilidad y a la conexin de los conocimientos nuevos con

    los conocimientos previos, para la modificacin de la estructura mental

    del estudiante y hacer duradero el aprendizaje.

    Por otro lado, la Matemtica promueve el desarrollo de capacidades

    intelectuales de los estudiantes, que las utiliza durante toda su vida.

    Entre otras capacidades se tiene las siguientes:

    - Observacin, concentrndose en lo principal y en los detalles.

    - Comparacin, sealando semejanzas y diferencias.

    - Clasificacin, formando grupos de objetos de la Matemtica.

    - Generalizacin, para el proceso de abstraccin.

    - Anlisis y sntesis; etc.

    El objetivo del presente trabajo es revalorar la importancia de la

    Matemtica, pues los conocimientos de la Matemtica se utilizan en

    todas las actividades humanas. As mismo, la Matemtica contribuye a

    ordenar el pensamiento por medio del razonamiento lgico, que incide

    en la obtencin de conclusiones.

  • 4

    El autor agradece las opiniones de profesores y alumnos que servirn

    para mejorar la presente edicin y ofrece disculpas por los errores que

    pudieran ser detectados.

    Arequipa, 03 de abril del 2012

    Mg. Sixto Gmez Salcedo

  • 5

    INDICE

    PRESENTACIN

    CAPITULO I: INTRODUCCIN A LA LGICA

    1.1 Proposiciones lgicas: Principios lgicos...........7

    1.2 Aplicaciones de los principios lgicos.....19

    1.3 Razonamiento matemtico......32

    CAPITULO II: ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATE-

    MTICA

    2.1 El Estudio.......37

    2.2 Estudio de la Matemtica........39

    2.3 Estrategias de estudio de las definiciones.........42

    2.4 Estudio de las propiedades......46

    2.5 Estrategias de estudio de los problemas......48

    CAPITULO II: IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CON-

    JUNTOS

    3.1 Conjuntos en la realidad......56

    3.2 Conjuntos en la Matemtica.............57

    CAPITULO IV: LA MATEMTICA Y LA REALIDAD

    4.1 Los nmeros y las actividades profesionales........67

    4.2 Matematizacin de la ciencia.......68

    4.3 La Matemtica en la naturaleza: modelos matemticos........69

    CAPITULO V: VARIABLES Y FUNCIONES

    5.1 Variables y funciones en la realidad.....74

    5.2 Funciones en la Matemtica....76

  • 6

    CAPITULO VI: DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS

    6.1 Juegos matemticos....83

    6.2 Divertimientos matemticos por adivinacin......87

    6.3 Razonamientos errados.......91

    CAPITULO VII: CARACTERSTICAS DE LA MATEMTICA

    7.1 La Matemtica como ciencia abstracta....96

    7.2 La Matemtica como ciencia deductiva.......98

    7.3 Teora de conjuntos como lenguaje de la matemtica....100

    7.4 El mtodo axiomtico de la Matemtica....101

    CAPITULO VIII: ESTRUCTURAS MATEMATICAS

    8.1 Sistemas matemticos...103

    8.2 Estructuras matemticas...107

    8.3 Estructuras matemticas y estructuras operatorias de la

    inteligencia....109

    MISCELANIA DE EJERCICIOS.....115

    BIBLIOGRAFIA.....116

  • 7

    CAPTULO I

    1 INTRODUCCIN A LA LGICA

    La estructura arquitectnica de la Matemtica est constituida por los

    materiales de construccin como nmeros, funciones y espacios

    unificados por la teora de conjuntos y el mtodo de construccin est

    constituido por las leyes de la Lgica que permiten ensamblar los

    materiales para levantar el edificio de la Matemtica. El material

    matemtico comprende principios generales como definiciones y

    axiomas de los cuales se deducen teoremas como casos particulares. La

    prueba o demostracin de los diversos teoremas se realiza utilizando las

    leyes de la Lgica, lo que constituye el raciocinio.

    El objetivo del presente captulo es tratar el aspecto ms elemental de la

    Lgica, las proposiciones lgicas y los principios lgicos de modo que

    permitan comprender de manera cabal el proceso mediante el cual se

    realiza las demostraciones de teoremas, partiendo de definiciones,

    axiomas y otros teoremas. Esta forma de ver la Matemtica se sintetiza

    afirmando que la Matemtica es una ciencia formal deductiva.

    1.1 PROPOSICIONES LGICAS: PRINCIPIOS LGICOS

    Una proposicin lgica o simplemente una PROPOSICIN, es un

    enunciado (o una expresin) susceptible a ser calificado de verdadero

    o falso. Por ejemplo, son proposiciones los siguientes enunciados:

    El perro es fiel amigo del hombre

    Yo estudio para triunfar

    25 + 15 = 40

    Juan conversa y Pedro lee

  • 8

    Las proposiciones son simples o atmicas y compuestas o

    moleculares. Las proposiciones simples no incluyen conjunciones o

    conectivos, tales como:

    Ayer hizo calor

    Roberto es bueno

    Soy feliz

    Trabajar no es afrenta

    Las proposiciones simples de la forma:

    S es P

    se llaman PROPOSICIONES PREDICATIVAS, donde S es el sujeto

    y P el predicado (cualidad del sujeto).

    Las proposiciones compuestas estn formadas por combinaciones de

    proposiciones simples utilizando conjunciones o conectivos; por

    ejemplo:

    Carlos mira y Alberto estudia

    Nairobi es capital de Kenia o de Uganda

    Si las plantas se abonan, entonces darn buenos frutos

    San Martina ha muerto y el Per lo llora

    Las conjunciones o conectivos ms comunes que utilizaremos son los

    siguientes:

    1. Negacin ...... no : simbolizada por

    2. Conjuncin .... y : simbolizada por

    3. Disyuncin ........ o : simbolizada por

    4. Condicional sientonces : simbolizada por

    5. Bicondicional . si y solo si : simbolizada por

  • 9

    Si las proposiciones simples de denotan con las letras:

    p, q, r,

    entonces tendremos cinco frmulas lgicas:

    Ntese que en una proposicin compuesta, por ejemplo:

    ( )

    las letras p, q, r son smbolos que representan proposiciones cuales-

    quiera. En la Lgica es importante la forma de las proposiciones com-

    puestas ms no el contenido de las proposiciones simples que inter-

    vienen.

    TABLAS DE VERDAD

    La verdad o falsedad de una proposicin compuesta, depende de la

    verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen. Para

    conocer la verdad de una proposicin compuesta es necesario

    construir las llamadas TABLAS DE VERDAD.

    Negacin: Una proposicin que se obtiene negando una proposicin

    simple p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera:

    V F F V

  • 10

    Conjuncin: Una proposicin compuesta que une dos proposiciones simples por medio de la conjuncin y es verdadera si ambas propo- siciones simples son verdaderas:

    V V V V F F F V F F F F

    Disyuncin: Una proposicin compuesta en la que dos proposicio-

    nes simples se conectan por medio de la disyuncin o es verdadera

    si por lo menos una de las proposiciones simples es verdadera:

    V V V V F V F V V F F F

    Existe otro significado de la disyuncin o en el sentido que p q

    son proposiciones verdaderas pero no ambas a la vez. En este caso la

    disyuncin o se dice exclusiva y en lugar de escribir p q (con la

    o inclusiva) escribiremos:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F

  • 11

    Condicional: En una proposicin condicional p q, la proposicin

    p se denomina ANTECEDENTE y la proposicin q, CONSE-

    CUENTE. Una proposicin condicional es verdadera si la verdad del

    consecuente depende de la verdad del antecedente; es decir, la verdad

    del antecedente obliga la verdad del consecuente. La situacin

    contraria ocurre cuando la verdad del antecedente no obliga la verdad

    del consecuente; es decir, cuando el antecedente es verdadero y el

    consecuente es falso; en este caso la proposicin compuesta es falsa.

    Luego se tiene la siguiente Tabla de Vedad parcial:

    V V V V F F

    Para construir el resto de la tabla de verdad de la proposicin

    condicional cuando el antecedente es falso, el uso corriente del

    espaol no es de mucha ayuda; pues esta clase de proposiciones

    parece que ni son tilies ni tienen sentido, como en los siguientes

    ejemplos:

    Si el sol es azul entonces la luna es dulce.

    Si todos los hombres son franceses entonces algunos hombres son

    franceses.

    En la Matemtica no se puede descartar los dos casos en los que el

    antecedente es falso. Por ejemplo: Sea p la proposicin falsa 3=4,

    aplicando propiedades correctas de las operaciones con nmeros

    naturales se puede ver que esta proposicin falsa conduce a resultados

    que son verdaderos o falsos. En efecto:

    1.

  • 12

    2.

    En concesuencia, en la Matemtica se presentan casos en los cuales el

    antecedente es falso y el consecuente puede ser falso o verdadero.

    Con estas ideas complementamos la tabla de verdad de la proposicin

    condicional:

    V V V V F F F V V F F V Ntese que, nunca una verdad puede implicar una falsedad.

    Bicondicional: La tabla de verdad de la proposicin bicondicional se

    obtiene a partir de la tabla de la proposicin condicional, en la

    siguiente forma:

    ( ) ( )

    V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V

    PRINCIPIOS LGICOS O TAUTOLOGAS

    Un principio lgico es una proposicin compuesta que es siempre

    verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las propo-

    siciones componentes. Los principios lgicos reciben el nombre de

  • 13

    TAUTOLOGAS y lo contrario a una tautologa se denomina

    CONTRADICCIN o FALACIA.

    Observacin: No todos los principios lgicos estn entre las catego-

    ras de tautologa o contradiccin.

    Ejemplo 1: ( )

    V F V F F V V V

    Tautologa

    Ejemplo 2:

    V F F F V F Contradiccin

    IMPLICACIN Y EQUIVALENCIAS LGICAS

    Es importante distinguir la implicacin lgica de la condicional y la

    equivalencia lgica de la bicondicional, con el fin de no cometer

    errores en el proceso de demostracin de la validez de las

    proposiciones. La implicacin lgica o simplemente implicacin, es

    una proposicin condicional tautolgica y se simboliza por:

    Luego: p q significa que la condicional p q es una tautologa y se

    dice que: p implica lgicamente a q, o que: q es una consecuencia

    lgica de p.

  • 14

    Por otro lado, la equivalencia lgica es una proposicin bicondicional

    tautolgica y se representa por:

    En este caso se tiene dos implicaciones lgicas: y ,

    luego se deduce lgicamente de se deduce lgicamente de

    .

    PRINCIPIOS LGICOS CON UN ARGUMENTO

    Existen tres principios lgicos clsicos, a saber: de identidad, de no

    contradiccin y del tercio excluido.

    1. Principio de Identidad: Toda proposicin verdadera es verda-

    dera.

    En smbolos se tiene: :

    V V F V

    2. Principio de No Contradiccin: Dos proposiciones contradic-

    torias no pueden ser ambas verdaderas: ( )

    ( )

    V V F F V F

    3. Principio del Tercio Excluido: Toda proposicin es verdadera

    o falsa:

    V V V F F F V V

  • 15

    Adems de los tres principios lgicos clsicos, existen otros, como los

    siguientes:

    4. ( )

    5. ( )

    ( ) ( )

    V F V F V V V V F V V V F F V F

    PRINCIPIOS LGICOS CON DOS ARGUMENTOS

    1. Principio de Modus Ponens: ,( ) -

    ,( ) - V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F

    2. Principio de Contraposicin: ( ) ( )

    ( ) ( ) V V V V V V F F V F F V V V V F F V V V

  • 16

    3. Principio de Modus Tollens: ,( ) -

    ,( ) - V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V F

    4. Principio del Silogismo Disyuntivo: ,( ) -

    , ( ) -

    V V V F F V V V F V F F V F F V V V V V V F F F F V V F

    5. , ( )-

    , ( )-

    V V F F F V V V F F F F V F F V V V V V V F F V F V V F

    6. , ( )-

    , ( )- V V V F F V F V F V F F V F F V F V F V V F F F V F V F

  • 17

    7. , ) ( )- ( )

    , ) ( )- ( )

    V V V V V V V V V V F F F V V V F F F V V V V V V V V F V V V V V V V V

    PRINCIPIOS LOGICOS CON TRES ARGUMENTOS

    , ( )- ,( ) ( )-

    , ( )- ,( ) ( )- V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V V V V V F V V V F F V V V V F V F F V V F V V V V V V F V F F V F V V V V F F V F V V V V V V F F F F V V V V V V

    Grupo de Ejercicios 1.1

    1. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules son

    falsas?

    a) Si todos los vegetales son de bronce entonces algunos

    vegetales son de bronce.

    b) Si todos los animales son felices entonces algunos tigres son

    felices.

    c) Si algunos hombres son inmortales entonces todos los

    hombres son inmortales.

  • 18

    d) Si Ecuador est en Sur Amrica entonces Colombia est en

    Norte Amrica.

    2. Un estudiante dice a otro: Si consigo el libro ir a estudiar. En

    cul de los siguientes casos el estudiante minti?

    a) Consigui el libro y fue a estudiar.

    b) Sin conseguir el libro fue a estudiar.

    c) Consigui el libro y no fue a estudiar.

    d) Ni consigui el libro ni fue a estudiar.

    3. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones, con

    dos argumentos.

    a) ( )

    b) ( ) ( )

    c) ( ) ( )

    d) ( )

    e) , ( ) ( )-

    f) ( ) ( )

    g) , ( )- ( )

    h) ,( ) - ( )

    i) , ( )- ,( ) -

    4. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones con 3

    argumentos:

    a) ( )

    b) ( )

    c) ( ) ( )

    d) ,( ) -

    e) ( ) ,( ) ( )-

    f) ,( ) ( )- , ( )-

    5. En el conjunto de nmeros naturales , escribir la proposicin

    contrapuesta de las siguientes proposiciones:

  • 19

    a)

    b)

    c) ( )

    d)

    6. Escribir la proposicin contrapuesta de: ( ) ( )

    7. Cules de las siguientes proposiciones son contradicciones y

    cuales son tautologas?

    a) )

    b) ( ) ( )

    c) , ( )-

    d) , ( )- , ( ( )-

    e) ( ) *, ( )- ( )+

    8. Comprobar que la siguiente proposicin es una tautologa:

    ( ) ( )

    1.2 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS LGICOS

    Las proposiciones de la Matemtica estn constituidas por: defini-

    ciones, axiomas, teoremas, corolarios, otras proposiciones menos

    importantes.

    Las definiciones son proposiciones equivalentes de la forma:

    Los axiomas, teoremas y corolarios en la mayora de casos tienen la

    forma implicativa:

    ( ) ( )

  • 20

    o tienen la forma de equivalencia lgica:

    ( ) ( )

    de tal manera que la hiptesis ( ) implica necesaria y

    forzosamente la validez de la tesis ( )

    Las PROPOSICIONES DEMOSTRABLES son proposiciones

    implicativas o equivalentes (que pueden ser teoremas u otras

    proposiciones de menor importancia) cuya validez no se aprecia

    inmediatamente, por lo que es necesario la aplicacin de los principios

    lgicos. El procedimiento que se sigue para determinar la validez de

    una proposicin implicativa se llama demostracin.

    INFERENCIA PROPOSICIONAL

    Una inferencia proposicional o deduccin es una proposicin

    implicativa lgica, donde a partir de una o varias proposiciones

    (simples o compuestas) llamadas premisas se obtiene otra proposicin

    llamada conclusin. Si representa las premisas y la

    conclusin entonces decimos que se infiere a partir de

    y se representa como sigue:

    tambin

    T : Conclusin

    Premisas

  • 21

    Una inferencia que consta de dos premisas simples y una conclusin

    simple se denomina SILOGISMO. Un silogismo tiene la forma

    siguiente:

    M es P premisa mayor (p)

    S es M premisa menor (q)

    S es P Conclusin (r)

    donde M, P, S representan conceptos llamados: concepto medio,

    concepto mayor y concepto menor respectivamente.

    Los silogismos adoptan una de las 4 formas siguientes:

    M es P P es M M es P P es M

    S es M S es M M es S M es S

    S es P S es P S es P S es P

    De la definicin de inferencia o deduccin se tiene que los principios

    lgicos implicativos son inferencias que se denominan LEYES DE

    INFERENCIA y son de extremada importancia en la Matemtica

    debido a que permiten deslindar el fundamento de la deduccin con

    mayor claridad. Entre las leyes de inferencia tenemos algunas de ellas:

    1. Ley de la doble negacin: ( )

    ( )

    2. Ley de contraposicin: ( ) ( )

  • 22

    3. Leyes de Morgan:

    a) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    b) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    4. Leyes conmutativas:

    a)

    b)

    5. Leyes distributivas:

    a) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    b) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    6. Ley de Modus Ponens: ,( ) -

  • 23

    7. Ley de Modus Tollens: ,( ) -

    8. Ley del silogismo disyuntivo: ,( ) -

    9. Ley de simplificacin: ( ) ( )

    10. Ley de adjuncin:

    11. Principio apaggico: , ( )-

    ( )

    12. Ley del silogismo hipottico: ,( ) ( )- ( )

    13. Ley de exportacin: ,( ) - ( ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

  • 24

    14. ( ) ( )

    15. ,( ) ( )- , ( )-

    ( )

    16. ,( ) ( )- ,( ) -

    DEMOSTRACIN DE PROPOSICIONES

    Una inferencia es una proposicin implicativa; es decir es una

    proposicin condicional tautolgica, cuya validez no es fcil de

    apreciar, salvo si se trata de leyes de inferencia. El procedimiento para

    poner en evidencia la validez de una inferencia se denomina

    DEMOSTRACIN, y sta recurre a las leyes de inferencia como

    formas validas del razonamiento deductivo.

    A. DEMOSTRACION DIRECTA

    La demostracin directa de una inferencia:

    consiste en empezar de la verdad de alguna proposicin conocida

    como antecedente y utilizando las leyes lgicas de las inferencias,

    mediante implicaciones sucesivas, llegar a la verdad de la conclusin

    T:

  • 25

    Ejemplo 3

    Si Alejandra compra la casa, No ser su aval. Los precios bajan o

    Alejandra compra la casa. Si los precios bajan Roberto rentar un

    terreno. Si No es el aval, Rosario se disgustar con l. Por consiguien

    te, si Roberto no renta un terreno, Rosario se disgustar con No.

    Demostracin

    Sean: p: Alejandra compra la casa

    q: No ser el aval

    r: Los precios bajan

    s: Roberto rentar un terreno

    t: Rosario se disgustar con No

    Luego, demostramos la inferencia:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    Tomamos como premisa adicional

    (5)

    Luego:

    (6) Modus Tollens en 3) y 5)

    (7) ..... Silogismo Disyuntivo 2) y 6)

    (8) . Modus Ponens 1) y 7)

  • 26

    (9) ...... Modus Ponens en 4) y 8)

    El razonamiento anterior se puede disponer como sigue:

    (1) . premisa

    (2) ........... premisa

    (3) .. premisa

    (4) .. premisa

    (5) .. premisa adicional

    (6) .. Modus Tollens (3,5)

    (7) .. Silogismo Disyuntivo (2,6)

    (8) .. Modus Ponens (1,7)

    (9) .. Modus Ponens (4,8)

    B. DEMOSTRACION INDIRECTA

    Las contradicciones lgicas son de la forma:

    Estas contradicciones se utilizan en las demostraciones indirectas o

    por contradiccin. Los principios lgicos que se utilizan en las

    demostraciones indirectas aparte de otros principios son los siguien-

    tes:

    1) , - : Una proposicin que implica su propia

    falsedad es falsa

    2) , - : Una proposicin cuya falsedad implica su ver-

    dad es verdadera

    3) , - : Una proposicin que implica una contra-

    diccin cualquiera es falsa

  • 27

    4) , ( )- : Una proposicin cuya falsedad implica

    una contradiccin es verdadera

    Para demostrar indirectamente una inferencia:

    se comienza por negar que T es verdadera y utilizando esta negacin

    como premisa adicional, llegar a una contradiccin, utilizando las leyes

    de inferencia en implicaciones lgicas sucesivas.

    ( )

    La contradiccin a la que se llegue, pone fin a la demostracin, pues la

    proposicin

    , ( )-

    es un principio lgico.

    Ejemplo 4

    Si Puerto Bermdez se encuentra en Junn, la ciudad de Ambo est en

    Hunuco o la ciudad de Oxapampa no est en Pasco. El Pachitea no

    es un puerto y la ciudad de Oxapampa est en Pasco. Si la ciudad de

    Ambo est en Hunuco, el Pachitea es un puerto. As que Puerto

    Bermdez no se encuentra en Junn.

    Demostracin

    Sean: p: Puerto Bermdez se encuentra en Junn

    q: La ciudad de Ambo est en Hunuco

    r: La ciudad de Oxapampa no est en Pasco

    s: El Pachitea no es un puerto

  • 28

    Demostramos que:

    Supongamos que no es cierta la conclusin. Luego se tiene:

    (1) : premisa

    (2) : premisa

    (3) : premisa

    (4) : premisa adicional

    (5) : Modus Ponens (1,4)

    (6) : Ley de simplificacin (2)

    (7) : Silogismo disyuntivo (5,6)

    (8) : Modus Ponens (3,7)

    (9) : Ley de simplificacin (2)

    (10) : Contradiccin (8,9)

    Grupo de Ejercicios 1.2

    1. Utilizando principios adecuados, escribir proposiciones equivalentes

    a cada una de las siguientes proposiciones:

    a) Hoy es feriado y maana es laborable

    b) Juan es abogado o medico

    c) Si maana hay cielo nublado entonces llover

    d) El calor dilata los cuerpos

    e) No es cierto que Jos no sea ingeniero

    f) No es verdad que si los claveles son rojos entonces el agua no es

    incolora

  • 29

    2. Hacer notar el principio del tercio excluido en la demostracin de la

    siguiente proposicin. La ecuacin ( ) siempre tiene

    solucin en .

    3. Usando el hecho de que en (nmeros naturales)

    demostrar en , la siguiente proposicin:

    4. Encontrar la conclusin de las siguientes premisas: a)

    b) ( ) ( )

    En los ejercicios del 5 al 11, verificar la validez de las inferencias pro-

    puestas, por demostracin directa:

    5. a) ( ) b)

    ( )

    6. a) ( ) b)

    ( )

  • 30

    7. a) b)

    ( ) ( )

    8. a) b)

    9. a) ( ) b)

    ( )

    10. a) b) ( )

    11. a) ( ) b) ( )

    ( )

    12. Juego ftbol o estudio. Si paso el examen no estudio. Sucede que no

    voy a jugar ftbol. En consecuencia no pas el examen.

    13. Ayer no fue mircoles o maana no es martes. Hoy es jueves y ayer

    fue mircoles. Hoy es lunes si y solo si maana es martes. Luego hoy

    no es lunes.

  • 31

    14. Vamos al teatro si y solo si no vamos al cine. No vamos a la fiesta si

    y solo si vamos al teatro y no vamos al cine. Vamos al teatro. En

    consecuencia no vamos a la fiesta.

    15. Repruebo el examen o sigo mis estudios. Si repruebo el examen,

    perder la beca y me ir de la ciudad. No perder la beca o no me ir

    de la ciudad. Luego seguir estudiando.

    16. Si se requiere ya sea de Algebra o de Geometra, entonces todos los

    estudiantes tomarn Matemticas. Se requiere el lgebra y se

    requiere la Trigonometra. Por lo tanto, todos los estudiantes

    tomarn Matemticas.

    17. Si ahorro dinero o apruebo mis exmenes viajar en vacaciones. Si

    consigo libros y no pierdo tiempo apruebo mis exmenes. No

    viajar en vacaciones. En consecuencia pierdo tiempo o no consigo

    libros.

    En los ejercicios del 18 al 20, demostrar la validez de las inferencias

    dadas, por contradiccin.

    18. a) b) ( )

    ( )

    ( )

    19. a) ( ) b) , ( )-

    ( ) , ( )-

  • 32

    20. a) ( ) b) ( )

    ( )

    21. Los tringulos son polgonos y un cuadrado es un paralelogramo. Si

    un cuadrado es un paralelogramo, entonces la interseccin de un

    plano con una esfera es un crculo o los tringulos no son polgonos.

    Por consiguientes la interseccin de un plano con una esfera es un

    crculo.

    22. Si Rosa compra el terreno, Manuel hace el proyecto. Rosa no

    compra el terreno y los precios bajan. Rosa compra el terreno o se

    construye la casa. Si se construye la casa, Manuel ira a Espaa. En

    consecuencia Manuel ir a Espaa.

    23. Sean a, b, c, d nmeros naturales. Luego o bien y

    . Adems . Si entonces . Por tanto .

    1.3 RAZONAMIENTO MATEMTICO

    El razonamiento matemtico es el razonamiento lgico en el que las

    proposiciones lgicas se refieren a objetos de la Matemtica y las leyes

    de inferencia son las leyes de la Matemtica que estn constituidas por

    definiciones de objetivos y propiedades de dichos objetos.

    En la mayora de libros de Matemticas en los teoremas, los autores

    prefieren diferenciar las premisas y la conclusin final en la siguiente

    forma:

    - Premisas: hiptesis

    - Conclusin: tesis

    - Fundamentacin: demostracin

  • 33

    Debido al rechazo que tienen los estudiantes egresados de Educacin

    Secundaria hacia la Matemtica, es preferible no cambiar la denomina-

    cin de las premisas y la conclusin final de una inferencia matem-

    tica.

    Demostracin directa de propiedades

    Para demostrar la propiedad se empieza de la premisa y

    utilizando definiciones y propiedades se debe llegar a la conclusin

    final , con lo que termina la demostracin, porque la proposicin:

    ,( ) -

    es un principio lgico llamado Modus Ponens.

    Demostracin indirecta de proposiciones

    La demostracin indirecta consiste en negar la conclusin y

    utilizando esta negacin como premisa adicional se debe llegar a una

    contradiccin, con lo que termina la demostracin, porque la

    proposicin:

    , ( )-

    es un principio lgico llamado Principio Apaggico.

    TRABAJO EN GRUPO El estudio de la Matemtica en forma individual requiere de mucho

    tiempo y de consulta son compaeros y profesores. Se avanza mas

    contenidos en menos tiempo cuando el estudio se realiza en forma

    grupal, en grupos de 2 3 personas.

    El estudio en grupo ofrece las siguientes ventajas:

    - Se comparte experiencias y conocimientos previos.

  • 34

    - Participacin de todos los miembros del grupo.

    - Cada persona asume un rol especfico.

    - Cada persona se ve incentivado para la comunicacin fluida.

    - Existe confrontacin de puntos de vista.

    - El responsable del grupo debe ocuparse de la cohesin del grupo y

    de un clima positivo de trabajo.

    Si a las funciones anteriores se agrega que los miembros del grupo se

    rinden cuentas, entonces se dice que el grupo trabaja en equipo.

    Ejemplo 5

    Hallar el valor de en la ecuacin:

    Solucin: (1) Premisa

    (2) Propiedad del opuesto en (1)

    (3) Operacin de adicin en (2)

    (4)

    Propiedad del inverso en (3)

    (5) Operacin de divisin en (4)

    Ejemplo 6

    Demostrar que el siguiente conjunto es vaco:

    * +

    Demostracin:

    Por contradiccin

    (1) ...... Premisa

  • 35

    (2) . Premisa adicional

    (3) ... posee elemento mnimo

    (4) . Definicin de A en (3)

    (5) . Multiplicacin por en (1)

    (6) . Propiedad transitiva en (4) y (5)

    (7) . menor que : Contradiccin

    (8) Debe ser Para eliminar la contradiccin

    Ejemplo 7

    Si son nmeros enteros tales que | | | | entonces el

    cociente

    no es un nmero entero.

    Demostracin:

    Proposicin: | | | |

    (1) | | | | ...... Premisa

    (2)

    . Premisa adicional

    (3) |

    | | | ... Propiedad del valor absoluto en(2)

    (4) | |

    | | | | ... Propiedad del valor absoluto en (3)

    (5) | | | || | ... Definicin de cociente en (4)

    (6) | | .. Propiedad:

    (7) | || | | | ... Multiplicar por | | en (6)

    (8) | | | | .. Sustituir (5) en (7): contradiccin.

    Luego, debe ser

  • 36

    Grupo de Ejercicios 1.3

    1. Completar los espacios en blanco, siendo a y b nmeros racionales.

    (1) :

    (2) :....

    (3) :....

    (4) :...

    (5)

    :....

    2. Completar los espacios en blanco, en el siguiente razonamiento

    sobre figuras planas congruentes:

    (1) :

    (2) ( ) :

    (3) ( ) :

    (4) :

    3. Si a, b, c, d y m son nmeros enteros no nulos en ,demostrar

    que:

    a)

    b)

  • 37

    CAPITULO II

    2 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATEMTICA

    2.1 EL ESTUDIO

    El estudio es el esfuerzo que pone al entendimiento aplicndose a

    alguna cosa para aprender (Metodologa: Sigfredo Chiroque y Sergio

    Rodrguez; Bachillerato Peruano).

    Estudiar no solo implica leer de una manera puramente receptiva,

    sino comprender, asimilar, organizar los conocimientos y llegar

    finalmente a la creacin y recreacin de nuevas informaciones.

    (Metodologa: Sigfredo Chiroque y Sergio Rodrguez).

    CAPACIDADES PARA EL ESTUDIO Capacidad de reflexin (Revisar una cosa para conocerla mejor). Capacidad de reproducir y explicar un contenido con sus propias

    palabras.

    Capacidad de aplicar un contenido.

    CONDICIONES DEL ESTUDIO Condiciones Internas

    - Motivacin (Fuerza interior que impulsa a una persona para llevar a la prctica una accin).

    - Actitudes (Disposicin de nimo de algn modo manifiesta). - Estructura cognitiva (Conjunto de conocimientos previos que se de

    ben relacionar con los nuevos conocimientos).

    - Metacognicin (Conocimiento de los propios conocimientos).

  • 38

    Condiciones Externas

    - Material de Estudio (libros, revistas, diapositivas, etc.)

    - Tcnicas de estudio (Organizar los materiales, el espacio y el

    tiempo de estudio, buscar ayuda, etc.)

    FASES DEL PROCESO DE ESTUDIO

    Se considera 4 fases en el proceso de estudio: Recepcin,

    comprensin, asimilacin y procesamiento.

    RECEPCIN

    La fase de recepcin consiste en prestar atencin selectiva a la

    informacin recibida que permite focalizar la atencin en los datos

    ms relevantes. A fin de asegurar la informacin recibida en la

    memoria de corto plazo, se utiliza la tcnica de repaso.

    COMPRENSIN

    La comprensin consiste en distinguir las ideas principales de las

    secundarias. Una manera de comprobar el grado de comprensin es

    proponer al alumno las siguientes tcnicas:

    - Parafraseo (Decir con sus propias palabras un contenido).

    - Resumen (Seleccionar lo esencial de un texto determinado).

    - Definiciones (Exponer las caractersticas de un concepto).

    - Subrayado (Localizar palabras o frases que contienen las ideas

    claras que permiten comprender).

    - Esquemas (Expresin grfica como una forma de resumen).

    - Toma de Apuntes (Anotar las ideas ledas o escuchadas).

    - Ejemplificacin (Proporcionar ejemplos sobre el tema ledo).

    ASIMILACIN

    La asimilacin consiste en organizar la informacin constructiva-

    mente, clasificndola y estableciendo relaciones entre los elementos

  • 39

    clasificados y los conocimientos previos. En la actualidad existe una

    serie de tcnicas de organizacin que han demostrado ser tiles, a

    saber:

    - Red Semntica (Organizador grfico que relaciona un concepto

    principal con conceptos secundarios y estos se relacionan por

    medio de palabras de enlace, tales como: es parte, es tipo de, lleva a,

    es anlogo a, es una caracterstica, demuestre que).

    - Mapa Conceptual (Representacin grfica de los conceptos de un

    tema, relacionados por medio de palabras de enlace para formar

    proposiciones lgicas).

    - rbol de conceptos (Representacin grfica de la informacin en

    forma jerrquica vertical: ideas principales, ideas secundarias y

    detalles).

    PROCESAMIENTO

    El procesamiento consiste en la trasferencia de informacin de la

    memoria de corto plazo a la memoria de largo plazo aadindole algo

    a la informacin, para recuperarla en el momento requerido. Las

    principales tcnicas de procesamiento, son:

    - Interrogacin elaborativa (Hacer la pregunta por qu?).

    - Analogas (Conceptos semejantes, soluciones semejantes).

    - Procedimientos nemotcnicos (Tcnica de la rima, mtodo

    simblico, etc.)

    - Organizadores previos (Pasaje breve que introduce a una unidad

    didctica, basado en los conocimientos previos).

    2.2 ESTUDIO DE LA MATEMTICA

    La Matemtica no se estudia leyendo libros como se lee un diario o

    una novela. La Matemtica se estudia siempre con lpiz y papel para

    analizar y entender la explicacin y los ejemplos antes de intentar

    resolver ejercicios. Cualquier teora matemtica est constituida por

  • 40

    definiciones y propiedades, que requieren condiciones especiales para

    su estudio.

    La resolucin de ejercicios y problemas matemticos constituye la

    aplicacin de las definiciones y propiedades a situaciones nuevas, con

    un doble propsito:

    - Reforzar la teora.

    - Incentivar el razonamiento matemtico y la imaginacin.

    Por otro lado, el estudio de las definiciones y propiedades requieren

    de conocimientos previos para que se lleven a cabo las 4 fases del

    estudio. Si no existen los conocimientos previos, el aprendizaje de lo

    estudiado ser mecnico y memorstico.

    DINMICA DE LA MATEMTICA

    En la Matemtica las definiciones y propiedades se enuncian por

    medio de igualdades e implicaciones lgicas (implicaciones simples y

    dobles). Las igualdades e implicaciones dobles tienen una dinmica

    constituida por fuerzas capaces de provocar en el lector actividades

    mentales.

    Esquema dinmico de las igualdades

    La dinmica de las igualdades se presenta en el siguiente esquema:

    donde la flecha indica que la utilizacin de la igualdad debe

    empezar en el primer miembro y concluir en el segundo y la flecha

    indica algo similar.

  • 41

    Ejemplo:

    La suma de dos nmeros enteros y se define por

    medio de la siguiente igualdad:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    La dinmica de esta igualdad la vemos como sigue:

    De izquierda a derecha:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    De derecha a izquierda:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Esquema dinmico de las implicaciones dobles

    La dinmica de las implicaciones dobles o equivalencias lgicas:

    se expresa desdoblando las dos implicaciones en la siguiente forma:

    Ejemplo

    La igualdad de dos nmeros racionales

    se define por medio

    de la siguiente implicacin doble:

  • 42

    Luego:

    De izquierda a derecha, resulta:

    De derecha a izquierda se tiene:

    2.3 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LAS DEFINICIONES

    Veamos los siguientes ejemplos de definiciones generales:

    1. Se denomina diferencia de dos nmeros naturales , denotada

    por , a un nmero natural , si existe, si y solo si

    En smbolos resulta:

    2. Sea un nmero natural no nulo y sea un nmero racional.

    Se denomina raz n-esima principal de a y se escribe

    , a un

    nmero racional , si existe con el mismo signo de , si y solo si

    :

    3. La memoria es un proceso psicolgico superior especializado en

    almacenar datos, imgenes y experiencias.

  • 43

    4. El producto de un nmero real por un par ordenado de

    nmeros reales ( ) es el par ordenado ( ) :

    ( ) ( )

    Aqu se lee: el producto ( ) es igual a ( )

    5. El aprendizaje formativo es un proceso de captura interior del

    alumno por parte de una cosa y luego de un vivo dilogo con el

    objeto ejecutado con la mayor actividad y espontaneidad posibles

    en el escolar, con el propsito de un autntico conocimiento,

    logrndose finalmente una configuracin interna de aquel mediante

    la adquisicin de convicciones, actitudes y posturas fundamenta-

    les(M.J. Hillebrand: Psicologa del Aprendizaje y de la Enseanza).

    En los ejemplos anteriores, se observa que una definicin es una

    proposicin lgica que presenta con claridad el significado de un

    concepto sealando sus caractersticas necesarias y suficientes. Estas

    proposiciones son de dos clases:

    Proposiciones predicativas, de la forma:

    S es P

    Proposiciones implicativas dobles, de la forma:

    S si y solo si P

    En ambos casos se observa que una definicin tiene 3 elementos, que

    son:

    a) El sujeto: Es el concepto que se requiere definir.

    b) El predicado: Est formado por el conjunto de caractersticas

    esenciales del concepto.

    c) La conexin: Relaciona el sujeto con el predicado.

    Los primeros conceptos de la Matemtica no se definen, se

    consideran como conceptos primitivos. Por ejemplo no se definen los

  • 44

    conceptos de conjunto, aplicacin siguiente, nmero natural, nmero

    natural cero. En el diccionario de la Lengua Espaola, existen muchos

    conceptos primitivos de los cuales se enuncian nicamente sinnimos.

    Por ejemplo: Pared: muro, tabique, muralla.

    De lo expuesto, concluimos con una estrategia para el estudio de las

    definiciones de objetos de la Matemtica. Esta estrategia consta de

    actividades agrupadas en 4 partes:

    1. Verificar si la definicin tiene la forma predicativa o implicativa

    doble.

    2. Identificar los tres elementos de una definicin: sujeto, predicado y

    conexin.

    3. Identificar las caractersticas esenciales del objeto que se define.

    4. Analizar la definicin, considerando su dinmica, sus posibles fallas

    y aplicaciones a ejemplos sencillos.

    En la definicin de raz n-sima principal de un nmero racional, se

    tiene:

    1) La definicin es una proposicin implicativa doble.

    2) Sujeto: Raz n-sima de un nmero racional .

    3) Predicado: Es un nmero racional tal que:

    Se debe cumplir que

    deben tener el mismo signo

    4) Anlisis: Si ,se debe cumplir que y si ,

    se debe cumplir que

    Qu puede ocurrir si no tienen el mismo signo?

    Veamos el siguiente ejemplo, cuando falla alguna caracterstica de la

    definicin.

  • 45

    Ejemplo

    En el siguiente razonamiento, existe un error, cul es?

    (1)

    (2)

    (3) .

    / .

    /

    (4)

    (5)

    Las definiciones anteriores son definiciones generales porque se

    refieren a conceptos abstractos y determinan conjuntos formados por

    varios entes matemticos. Existen definiciones particulares (Emile

    Bord: La definicin en matemticas) que se refieren a subconjuntos de

    los conjuntos determinados por las definiciones generales.

    Por ejemplo:

    1. Un nmeros entero es par si y solo si es de la forma

    Si el conjunto de los nmeros enteros pares se denota por , se

    tiene:

    * +

    * +

    2. Un intervalo cerrado de nmeros reales, de extremos con

    , es el conjunto de nmeros reales tal que , un

    intervalos cerrado de extremos se denota por , -. Luego:

    , - * +

    , -

    [ ] b a

  • 46

    Las definiciones generales y particulares tienen los siguientes carac

    tersticas.

    Comprensin: conjunto de caractersticas que identifican al objeto

    que se define.

    Extensin: conjunto de individuaos a los que se refiere la definicin.

    Existen definiciones individuales referentes a cada elemento de los

    conjuntos determinados por las definiciones generales, particulares.

    Por ejemplo:

    1. son nmeros enteros

    2.

    son nmeros racionales

    3. son nmeros reales

    2.4 ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES

    Se sabe que la Matemtica estudia conjuntos provistos de operaciones,

    relaciones de orden y relaciones de vecindad. Las propiedades de

    estos contenidos confieren a los conjuntos estructuras, de modo que

    un mismo conjunto puede tener dos o ms estructuras.

    La estructura algebraica de un conjunto est determinada por las

    operaciones que se definen con sus elementosy la estructura de orden

    de un conjunto se debe a la relacin de orden definida en dicho

    conjunto.

    La importancia de las propiedades de las relaciones entre los

    elementos de un conjunto es doble:

    Por un lado, son tiles para reconocer la estructura del conjunto, por

    otro lado constituyen una garanta para el razonamiento que se sigue

    en las demostraciones y resolucin de ejercicios y problemas.

  • 47

    En el siguiente cuadro se aprecia la estructura algebraica diferente de

    los conjuntos de nmeros naturales ( ), enteros ( ) y racionales

    ( ):

    1.

    2. ( ) ( )

    3.

    4.

    5.

    6. ( )

    1.

    2. ( ) ( )

    3.

    4.

    5. ( )

    6.

    La estrategia seguida para el estudio de las propiedades de las

    operaciones y relaciones de orden consiste en confeccionar tablas de

    propiedades y tenerlas a la mano para su utilizacin en demos-

    traciones y resolucin de ejercicios y problemas.

    Ejemplo

    Si es un nmero racional negativo, verificar que:

    Prueba

    Propiedad a verificar:

    (1)

  • 48

    Es necesaria una premisa adicional:

    (2)

    (3)

    ( )

    (4) ( ) ( )

    (5) ( )

    (6) ( ) ( )

    2.5 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE PROBLEMAS

    Un problema matemtico es una proposicin planteada para obtener

    resultados en base a cierta informacin proporcionada.

    Ejemplo:

    Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y

    luego 38 segundos en cruzar una estacin de 450 m de largo. Qu

    longitud tiene el tren?

    La estrategia para resolver problemas matemticos, muy conocida

    desde la educacin primaria, se observa en el siguiente cuadro:

    George Polya (Hungra: 1887-1985) propone estrategias para resolver

    problemas, agrupadas en 4 etapas:

    1 Analizar el problema.

    2 Configurar un plan.

    3 Ejecutar el plan.

    4 Verificar la solucin.

    Datos del

    problema

    Operaciones

    por realizar

    Clculo

    de las

    operaciones

    Respuesta:

  • 49

    Cada una de estas etapas est conformada por varias actividades:

    Analizar el problema

    Para analizar el problema se puede seguir la siguiente estrategia:

    - Leer detenidamente el problema una o ms veces.

    - Replantear el problema con tus propias palabras.

    - Extraer los datos conocidos (En el caso de problemas sobre

    conjuntos consignar los datos en el diagrama de Venn).

    - Darse cuenta de los datos desconocidos.

    - Utilizar letras para los datos desconocidos, cuando sea necesario.

    Configurar un plan

    Aqu, se requiere concebir un patrn de solucin que puede

    comprender las siguientes actividades:

    - Recordar definiciones, propiedades relacionadas con el problema.

    - Indicar las operaciones y relaciones que deben ejecutarse.

    - Hacer figuras, diagramas, dibujos, tablas, etc.

    - Buscar frmulas.

    - Recurrir a modelos anteriores.

    Ejecutar el plan

    La ejecucin del plan implica:

    - Formular premisas con los datos del problema.

    - Si no son suficientes formular premisas adicionales necesarias.

    - Resolver ecuaciones.

    - Obtener conclusiones a partir de las premisas, hasta llegar a un

    resultado. (Fundamentar cada paso utilizando definiciones y propie-

    dades).

    Verificar la solucin

    - Desechar los resultados no deseados.

  • 50

    - Comprobar si la respuesta satisface las condiciones del problema.

    - Interpretar la respuesta.

    - Si la respuesta est errada revisar el procedimiento seguido.

    - Cmo vara la respuesta si se cambian los datos del problema?

    Ejemplo

    1. Un huerto de manzanas tiene rboles en un nmero de 30 por

    hectrea y una produccin promedio de 400 manzanas por rbol.

    Por cada rbol adicional que se siembre por hectrea el promedio

    de produccin por rbol se ve reducido en 10 manzanas

    aproximada-mente. Cul es el nmero de rboles por hectrea que

    dar la cosecha ms elevada de manzanas?

    Solucin:

    a) Anlisis del problema:

    Datos conocidos:

    30 rboles por hectrea.

    Produccin de 400 manzanas por rbol.

    Reduccin por cada rbol: Produccin de 10 manzanas por rbol.

    Datos desconocidos: Nmero de rboles por hectrea: n

    b) Configuracin de un plan:

    Por cada rbol que se aumenta disminuye la produccin.

    Relacionamos el aumento con la reduccin de la produccin:

    TOTAL DE

    ARBOLES

    PRODUCCION

    POR ARBOL

    30 400

    30+1 400-10

    30+2 400-2(10)

    30+3 400-3(10)

    30+n 400- 10n

  • 51

    Produccin total: ( )( )

    c) Ejecucin del Plan:

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    d) Verificacin de la solucin:

    Respuesta: rboles adicionales

    Mejor cosecha con rboles por hectrea.

    2. De un grupo de 50 personas 25 gustan del teatro, 25 gustan del

    teatro y 25 del cine. Si 12 gustan de los dos espectculos, Cuntos

    no gustan no gustan de los dos espectculos?

    Solucin:

    a) Anlisis del problema

    Datos conocidos: Grupo de 50 personas

    25 gustan del teatro

    29 gustan del cine

    12 gustan de los espectculos

    Datos desconocidos: Personas que no gustan de los 2 espect-

    culos: n

  • 52

    b) Configuracin de un plan

    Consignamos los datos en un diagrama de Venn:

    c) Ejecucin de un plan

    Calculamos las personas que gustan solo del teatro y solo el cine.

    Luego calculamos las personas que no gustan de los 2 espectculos.

    Personas que solo gustan del teatro:

    Personas que gustan solo del cine:

    Total de personas que gustan del teatro y del cine:

    d) Verificacin de la solucin

    Respuesta:

    EJERCICIOS

    1. En la siguiente relacin identificar aquellos tems que pertenecen al

    nivel de recepcin, comprensin, asimilacin y procesamiento del

    estudio:

    T C

    12

    12 13 17

    T C

  • 53

    a) Quin descubri la cultura chavn?

    b) Analiza las causas de la guerra del Pacifico.

    c) Cules son algunas semejanzas y diferencias entre afiche y poster?

    d) Explica qu significa la palabra Taxonoma.

    e) La infeccin produce fiebre?

    f) Cundo fue firmada la capitulacin de Ayacucho?

    g) La cmara fotogrfica es anloga al ojo humano?

    h) Qu piensa acerca de la educacin peruana?

    i) La baja temperatura es una caracterstica de las zonas glaciares.

    j) Dnde se encuentran las islas Ballestas?

    k) El hombre hambriento entr en el auto Por qu?

    l) Seala algunas diferencias entre ballenas y delfines.

    m) Qu significa el poema Masa de Cesar Vallejo?

    n) Cul es el departamento del Per del que se extrae mas cobre?

    En los ejercicios del 2 al 4 estudiar las definiciones dadas:

    2. La suma de dos nmeros racionales

    es el nmero racional

    :

  • 54

    3. Una progresin aritmtica es una sucesin finita, determinada por

    una aplicacin tal que:

    ( ) ( )

    Donde son nmeros reales fijos y el nmero real se

    llama razn de la progresin aritmtica.

    4. El rea de un polgono convexo de vrtices consecutivos:

    ( ) ( ) ( ) es el

    valor absoluto del nmero real , tal que:

    |

    | |

    | |

    |

    NOTA: Las barras significan determinante de una matriz 2x2.

    5. Confeccionar una tabla de todas las propiedades de las operaciones

    de adicin y multiplicacin en cada uno de los conjuntos

    6. Confeccionar una tabla de propiedades de la relacin menor o igual

    en cada uno de los conjuntos

    7. Confeccionar una tabla de las operaciones de potenciacin y

    radicacin en

    8. Aplicar las estrategias de Polya para resolver el siguiente problema:

    Una deuda de 5400 nuevos soles debe ser pagada en partes iguales

    por cierto nmero de personas. Habiendo fallecido una de ellas la

    cuota de los restantes aumenta en 450 nuevos soles Cul era el

    nmero de personas que se endeudaron?

  • 55

    9. Escribir en los renglones en blanco, las propiedades de las

    operaciones y relacin menor en , en el siguiente razonamiento,

    que demuestra la propiedad:

    (1)

    (2)

    (3) ( )( ) ( )

    (4) ( ) ( ) ( )

    (5)

    (6)

    (7)

    10. Recoger informacin sobre los siguientes temas: subrayado,

    esquemas, resumen y toma de apuntes.

  • 56

    CAPITULO III

    3 IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CONJUNTOS

    3.1 CONJUNTOS EN LA REALIDAD

    En la operacin de contar objetos, existen 3 aspectos importantes a

    saber:

    a) Se cuentan objetos de la realidad, los mismos que forman con-

    juntos.

    b) La operacin de contar objetos permite generar nmeros natura-

    les como conjuntos de objetos.

    c) Al contar objetos, a cada objeto se le asigna un nmero natural; es

    decir, en el proceso de contar existe una correspondencia uno a

    uno entre objetos y nmeros naturales. Esta correspondencia es

    una funcin entre un conjunto de objetos y el conjunto de nmeros

    naturales.

    En consecuencia, los conjuntos de objetos estn presentes en la

    realidad y las personas han tenido conciencia de estos conjuntos desde

    que la humanidad empez a contar objetos. Los conjuntos de objetos

    pueden ser homogneos si incluyen objetos similares y pueden ser

    heterogneos si se consideran objetos diferentes, como un conjunto

    de ladrillos y manzanas.

    Por donde quiera que uno vaya en el mundo fsico, encontrar objetos

    de diversa naturaleza, de animales, de vegetales, de minerales, etc.

  • 57

    3.2 CONJUNTOS EN LA MATEMTICA

    Si bien existen conjuntos de objetos en la realidad y el hombre tiene

    conciencia de ello desde que empez a contar objetos, la utilizacin de

    los conjuntos en la Matemtica se inici con Euler (1703 -1783) y

    Rieman (1826 1866) al estudiar funciones.

    Fue el matemtico alemn Georg Cantor (1845-1918) quien formul

    la Teora de Conjuntos, dotndola de una estructura algebraica por

    medio de operaciones de reunin e interseccin de conjuntos.

    As como un agricultor necesita un terreno para cultivar, un minero

    necesita una mina para trabajar, as tambin un matemtico, para

    estudiar una teora, necesita un conjunto como punto de partida.

    Todos los conceptos de una teora se relacionan con el conjunto en el

    que basa la teora. No existen los conceptos aislados de nmero,

    adicin, funcin, derivada, integral, etc. Estos conceptos se relacionan

    con conjuntos. As se tienen los conceptos de nmero natural,

    nmero entero, adicin de nmeros racionales, polinomio real,

    derivada de funciones reales de una variable real, etc.

    En educacin secundaria del Per se estudian los siguientes

    conjuntos:

    , -

    Estos conjuntos se construyen por ampliaciones sucesivas, de modo

    que resultan unos subconjuntos de otros, en la siguiente forma:

    , -

  • 58

    0

    1

    2

    3

    4

    .

    Figura 1

    Cada uno de estos conjuntos tiene dos estructuras:

    Una estructura algebraica por medio de operaciones.

    Una estructura de orden por medio de la relacin menor o igual,

    excepto los conjuntos , - .

    CONJUNTO DE NMEROS NATURALES

    Cuando una teora matemtica se sustenta sobre un conjunto de

    elementos desconocidos, se introducen los primeros conceptos por

    medio de axiomas. Para estudiar el conjunto de nmeros naturales,

    Peano supuso que los elementos de este conjunto son desconocidos y

    se los representa por medio de smbolos a, b, c, etc.

    Los axiomas de Peano para el conjunto de nmeros naturales, son

    tres, considerando una correspondencia no definida, llamada

    siguiente (ver figura 1):

    1. Cero es un nmero natural, que no es el siguiente de ningn

    nmero natural.

    2. Dos nmeros naturales diferentes no pueden tener siguientes

    iguales.

    3. Cualquier subconjunto de , que contenga el 0 y contenga el

    siguiente de cada nmero natural coincide con ; es decir,

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    .

    S

  • 59

    Definido el conjunto de nmeros naturales , se define cada nmero natural con la aplicacin siguiente, as:

    ( ) ( ) ( ) ( ) De esta manera resulta el conjunto de nmeros naturales:

    * +

    Para introducir en una estructura algebraica, se define la suma y la adicin de nmeros naturales en la siguiente forma:

    Definicin: Se llama suma de dos nmeros naturales , al

    nmero natural , tal que:

    a)

    b) ( ) ( )

    y la aplicacin tal que a cada par ordenado de

    nmeros naturales ( ) le corresponde la suma , se denomina

    adicin de nmeros naturales.

    Ntese que en la definicin de suma, el nmero natural b primero

    toma el valor 0 y luego el valor ( ).

    Ejemplo:

    Usando la definicin de suma de nmeros naturales, verificar que

    Verificacin: ( ) ( )

    ( )

    Definicin: Se denomina producto de dos nmeros naturales , al

    nmero natural , tal que:

    a)

  • 60

    b) ( )

    La operacin que hace corresponder un par de nmeros naturales

    ( ) con su producto , se llama multiplicacin de nmeros

    naturales.

    CONJUNTO DE NMEROS ENTEROS

    En el conjunto de nmeros naturales, la operacin de sustraccin no

    tiene la propiedad de clausura, por lo que se debe ampliar este

    conjunto, considerando diferencias de nmeros naturales, para tener

    el conjunto de nmeros enteros :

    * +

    * +

    Los nmeros enteros se relacionan con distancias a la derecha y a la

    izquierda, con profundidades y alturas, con grados de temperatura

    sobre cero y bajo cero, etc.

    La estructura algebraica del conjunto , est determinada por la

    operacin de adicin y multiplicacin de nmeros enteros, en la

    siguiente forma:

    Suma: ( ) ( ) ( ) ( )

    Producto: ( )( ) ( ) ( )

    Ejemplo

    Verificar que: ( ) ( )

    Verificacin:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

  • 61

    CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES

    En los conjuntos , la operacin de divisin no es cerrada,

    razn por la que se agrandan estos conjuntos por medio de cocientes

    de nmeros enteros. Estos cocientes se llaman nmeros racionales y su conjunto se denota

    por :

    *

    +

    Los nmeros racionales se relacionan con partes de un objeto dividido

    en partes iguales; as la fraccin

    significa que un objeto se ha

    dividido en 5 partes iguales, de los cuales se consideran 4.

    CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES

    En el conjunto de los nmeros racionales se demuestra que las

    races cuadradas no son nmeros racionales, por lo que se

    denomina nmeros irracionales, que honorizaban a los griegos. Los

    nmeros racionales se representan por nmeros decimales peridicos

    y los nmeros irracionales se representan por medio de nmeros

    decimales no peridicos. Por ejemplo:

    -6= -6,00000000 nmero decimal peridico.

    = 0,58333333..... nmero decimal peridico.

    = 1,4142135. nmero decimal no peridico.

    = 2,71828... nmero decimal no peridico.

    = 3,1415926... nmero decimal no peridico.

  • 62

    Los nmeros decimales peridicos y no peridicos constituyen un

    nuevo conjunto llamado conjunto de nmeros reales , cuyos

    elementos son los nmeros reales:

    Cada nmero decimal peridico o no, genera una sucesin de

    nmeros racionales por truncamiento, que constituyen aproximacio-

    nes al nmero decimal. Por ejemplo:

    Los trminos de la sucesin forman un conjunto llamado sucesin de

    Cauchy de nmeros racionales. Luego:

    * +

    En general, un nmero decimal peridico o no, se representa en la

    siguiente forma:

    * +

    * + ( )

    En consecuencia:

    *( ) +

    La suma de nmeros reales ( ) ( ) se define como sigue:

    ( ) ( ) * +

  • 63

    Por ejemplo:

    * +

    * +

    * +

    Los nmeros reales se encuentran en la naturaleza, el nmero se

    encuentra en el clculo de la diagonal de un terreno cuadrado, el

    nmero se encuentra en el clculo de reas de crculos y volmenes

    de esferas, el nmero se encuentra en el clculo del nmero de

    bacterias de una enfermedad, en la desintegracin radioactiva, etc.

    CONJUNTO DE POLINOMIOS REALES:

    Dado un nmero real arbitrario x y n nmeros reales fijos

    , se denomina polinomio real a una expresin

    ( ) de la forma:

    ( )

    Por ejemplo son polinomios reales:

    ( )

    ( )

    El conjunto de polinomios reales se simboliza por , -. Luego:

    , - *

    +

    Si los coeficientes son nmeros racionales, se tiene:

    , - *

    +

  • 64

    CONJUNTO DE PARES ORDENADOS DE NMEROS

    REALES

    El producto cartesiano es un conjunto de pares

    ordenados de nmeros reales:

    *( ) +

    Este conjunto es conocido porque sus elementos son pares de

    nmeros reales y es muy importante para el estudio de la Geometra

    Plana.

    Definicin: Se denomina PLANO AFIN definido en , al

    conjunto , junto con ciertos subconjuntos de llamados

    RECTAS, tales que:

    *( ) +

    donde son nmeros reales no nulos a la vez. El plano afn

    definido en se denota por :

    ( )

    y sus elementos se llaman PUNTOS. Las componentes de los puntos

    de se llaman COORDENADAS, la primera componente se

    llama ABSCISA y la segunda componente, ORDENADA.

    Si en un plano afn se define la distancia entre dos puntos, resulta un

    plano euclideano

    CONJUNTO DE TERNAS ORDENADAS DE NMEROS

    REALES

    El producto cartesiano es un conjunto de ternas

    ordenadas de nmeros reales:

    *( ) +

  • 65

    Este conjunto es conocido y muy importante para el estudio de la

    Geometra del espacio tridimensional.

    EJERCICIOS

    1. Sea A un conjunto de nmeros naturales, tal que:

    * +

    Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son fal-

    sos?

    ) ) )

    2. Sea A un subconjunto de nmeros naturales, tal que:

    * +

    Describir el conjunto A con todos sus elementos.

    3. Sean los conjuntos:

    de los nmeros enteros

    positivos, negativos, nulos, positivos o nulos negativos o nulos.

    Cules de las siguientes igualdades son verdaderas y cuales son

    falsas? :

    a)

    b)

    c)

    d)

    4. Indicar el resultado de las siguientes operaciones con conjuntos de

    nmeros:

    5. Un nmero entero es par si es de la forma y es im-

    par si es de la forma . Sean los conjuntos

    de los enteros pares y enteros impares. cules de las siguientes

    implicaciones son verdaderas y cuales son falsas? :

    a)

    b)

  • 66

    c)

    d)

    6. El conjunto de los polinomios reales de dos variables se define

    en la siguiente forma:

    , - * ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) , -+

    Escribir 4 ejemplos de polinomios de dos variables .

    7. En relacin a los conjuntos de polinomios reales, cul de los

    siguientes enunciados son verdaderos y cuales son falsos? Explique

    por qu? :

    a) , -

    b) , -

    c) , - , -

    d) , - , -

    8. Dada la recta *( ) + del plano ( ).

    Cules de los siguientes puntos pertenecen a la recta ?

    a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) . /

    9. En el espacio definido en , un plano se define como el conjunto:

    *( ) + donde a, b, c y d son nmeros reales que no se anulan a la vez.

    Cules de las siguientes ecuaciones definen planos en el espacio ?

    a) ; b)

    ; c)

  • 67

    CAPITULO IV

    4 LA MATEMTICA Y LA REALIDAD

    4.1 LOS NMEROS Y LAS ACTIVIDADES PROFESIONA-

    LES

    Una visin panormica de la Matemtica, permite afirmar que esta

    ciencia estudia:

    - Nmeros y sus generalizaciones.

    - Funciones entre conjuntos.

    - Espacios definidos sobre conjuntos especiales.

    Los contenidos de estos 3 grandes campos de la Matemtica se

    utilizan en diversas actividades realizadas por personas, profesionales

    o no.

    Las amas de casa, al realizar compras de productos por ciertas

    cantidades en moneda nacional o extranjera, utilizan nmeros

    racionales como 1 sol, medio sol, 10 cntimos de sol, mltiplos de sol;

    1 docena, media docena, un cuarto de docena; 1 metro, 2 metros y

    medio, varios metros; 1 kilogramo, medio kilogramo, varios

    kilogramos, etc. Al utilizar nmeros racionales las amas de casa estn

    utilizando nmeros naturales y nmeros enteros, en el caso de deudas.

    El albail, el carpintero, el sastre y otros artesanos utilizan tambin

    nmeros racionales, al comprar cantidades de insumos y pagar con

    moneda nacional o extranjera. No se nota el uso de nmeros reales,

    excepto en forma indirecta, cuando el sastre utiliza una cinta mtrica

    para tomar medidas, cinta que viene a ser una representacin fsica de

    un segmento de la recta real; igual sucede cuando el chofer de un

    carro recorre una carretera, cuyo papel es similar a una cinta mtrica.

  • 68

    Los ingenieros utilizan nmeros reales en las grandes construcciones

    como puentes inmensos, edificios rascacielos, barcos gigantes,

    aviones, etc. tanto en la forma de las piezas como en los clculos de

    reas, ngulos y volmenes.

    El papel que desempea la Matemtica en el desarrollo de la Fsica es

    muy conocido. La teora corpuscular de la materia hace uno del

    clculo de probabilidades, la teora de campos exige el empleo del

    clculo tensorial y de los Espacios de Riemann, la teora de los

    cuantos se ha desarrollado gracias a la contribucin de autovalores,

    autovectores y ecuaciones diferenciales, la teora de la relatividad

    utiliza espacios de Minkowski.

    La ciencia y la tecnologa utilizan la Matemtica como instrumento

    para su desarrollo y plantean nuevos problemas que deben resolver

    los matemticos. Ante las exigencias de la ciencia, se formulan

    modelos matemticos adecuados, surgen nuevas teoras matemticas,

    tales como la programacin lineal, la programacin dinmica, la teora

    de colas, la teora de grafos, la investigacin de operaciones, el control

    ptimo, la teora de catstrofes, los conjuntos borrosos, etc. As pues

    el movimiento matemtico de una poca est ligado a la actividad de

    los profesionales de esa poca.

    4.2 MATEMATIZACIN DE LA CIENCIA

    Como ciencias exactas estn consideradas la Matemtica y la Lgica;

    ambos utilizan el mtodo deductivo. Estas ciencias son

    independientes de la experiencia sensorial externa; no intentan

    obtener una visin coherente de la realidad fsica, sino forman

    estructuras ideales que tengan consistencia interna; formulan leyes

    rigurosas para el pensamiento y para el manejo de sus objetos ideales.

    La Matemtica organiza sus materiales en sistemas matemticos y los

    vincula por medio de reglas precisas de la Lgica. Las reglas lgicas

    son las que hacen posible la construccin de los gigantescos

  • 69

    edificios que caracterizan el mundo de la Matemtica. La Matemtica

    es una ciencia formal porque utiliza smbolos y leyes de la Lgica.

    Una ciencia que utiliza un lenguaje simblico adecuado y reglas de la

    Lgica para la explicacin de los hechos y para la prediccin de otros

    sucesos, se dice que est formalizada.

    El grado de formalizacin de una ciencia se aprecia cuando su

    estructura racional consiste en hacer depender los juicios menos

    evidentes de los juicios ms evidentes utilizando un lenguaje

    simblico y leyes lgicas. No todas las ciencias han pasado por los

    mismos estados de formalizacin. El valor de formalizacin de la

    Fsica es mayor que el de la Biologa, el de sta mayor que el de la

    Economa y el de sta es mayor que el de la Sociologa y todas ellas

    estn mucho ms formalizadas que la Historia.

    En conclusin, una ciencia es ms cientfica mientras utilice ms

    Matemtica y ms Lgica para establecer sus fundamentos.

    4.3 LA MATEMTICA EN LA NATURALEZA: MODELOS

    MATEMTICOS

    Muchos fenmenos naturales se describen por medio de modelos

    matemticos que incluyen nmeros reales y funciones reales. Un

    modelo matemticos es un conjunto de ecuaciones reales que se

    utilizan para describir el comportamiento de un fenmeno de la vida

    real, ya sea fsico, sociolgico, econmico, en trminos matemticos.

    Existen muchos modelos matemticos utilizando ecuaciones

    diferenciales o clculos estadsticos.

    Ejemplos:

    1. Ley del enfriamiento y calentamiento de Newton

    La rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es

    proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la

    temperatura del medio circundante (Temperatura ambiente).

  • 70

    Si ( ) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo ,

    la temperatura ambiente y

    la rapidez de cambio de la

    temperatura del cuerpo, entonces el modelo matemtico viene dado

    por:

    ( )

    donde es una constante de proporcionalidad. La solucin del

    modelo est dada por:

    donde son constantes por determinarse en los casos

    concretos.

    2. Un viaje a la luna

    Un proyectil se dispara verticalmente hacia la luna, con una

    velocidad inicial . Despreciando la influencia del sol y los

    planetas, la rotacin de la tierra y de la luna y la resistencia del aire,

    calcular la velocidad del proyectil a una distancia del punto de

    partida.

    Para resolver este problema, se utiliza la ley de gravitacin universal

    de Newton.

    Con los siguientes datos:

  • 71

    Datos de la tierra: Datos de la luna: Datos del proyectil:

    Radio: Radio: Distancia a la tierra:

    Masa: Masa: Masa:

    Gravedad: Gravedad: Velocidad:

    Distancia a la tierra: Velocidad inicial:

    Aplicando la ley de gravitacin universal de Newton, resulta la

    ecuacin:

    ( )

    ( )

    Cuya solucin es:

    Si cuando , resulta:

    r P

    m

    Figura 2

  • 72

    Existen modelos matemticos en los siguientes casos:

    1. Un cuerpo que cae verticalmente, partiendo del reposo con resis-

    tencia del aire nula.

    2. Un cuerpo que se lanza hacia arriba con cierta velocidad.

    3. Cada de un paracaidista desde el reposo con peso combinado del

    paracaidista y del paracadas.

    4. Un generador de voltaje conectado en serie con una resistencia y un

    inductor.

    5. Un tanque con agua salada recibe agua pura a cierta velocidad.

    6. Un depsito de agua caliente a 100% que se guarda en un ambiente

    a 60%.

    7. Calculo de la edad de fsiles por desintegracin radioactiva.

    8. Propagacin de una enfermedad por aumento de bacterias o virus.

    9. Cables suspendidos entre dos postes verticales.

    10. Vigas longitudinales simplemente apoyadas.

    11. Movimiento de un pndulo.

    12. Relacin entre oferta y demanda de un producto.

    EJERCICIOS

    1. Indagar la utilizacin de la Matemtica por parte de los contadores

    pblicos y de los abogados, as como por administradores e inge-

    nieros.

    2. A los 12 casos donde intervienen modelos matemticos, incluir 5

    casos ms, realizando consultas en libros de Ecuaciones Diferen-

    ciales.

    3. Consignar las ecuaciones de los modelos matemticos incluidos en

    los 12 casos presentados en este captulo, consultando libros de

    Ecuaciones Diferenciales.

  • 73

    4. Cundo se dice que una ciencia est formalizada?

    5. Indagar la forma de un modelo matemtico de tipo estadstico.

  • 74

    CAPITULO V

    5 VARIABLES Y FUNCIONES

    5.1 VARIABLES Y FUNCIONES EN LA REALIDAD

    VARIABLES

    Una variable es un concepto que puede tomar varios valores. Por

    ejemplo:

    Nmero de hijos de una familia, estatura de personas, sexo de los

    seres humanos, colores del arco iris, razas de perros, etc.

    En la Matemtica la variable es un smbolo que puede tomar varios

    valores numricos. Por ejemplo:

    x es un numero racional

    y es un nmero real

    FUNCIONES ENTRE CONJUNTOS

    La idea de funcin fue presentida en la antigedad en el clculo de

    tablas, tales como las tablas de cuerdas, de tangentes, de senos, de

    movimientos planetarios, etc. Y su evolucin ha pasado por un largo

    periodo de desarrollo unido a los nombres de Descartes (1596-1718),

    de Newton (1643-1727), de Leibniz (1946-1718), de Euler (1707-

    1783), etc.

    Una funcin entre elementos de un conjunto A y un conjunto B es

    una correspondencia f que asigna a un elemento de A, un nico

    elemento de B.

  • 75

    f

    Una funcin f de A en B, se representa en la siguiente forma:

    ( )

    Figura 3

    Una funcin se puede considerar como una mquina que

    transforma elementos de un conjunto A en elementos de un conjunto

    B, como se muestra en la figura 4:

    Figura 4

    La notacin y = f(x) se lee as: y es funcin de x mediante f. El

    elemento x de A recibe el nombre de argumento o preimagen de y

    mediante f. El elemento y de B se denomina imagen de x mediante f.

    x

    y

    B

    x

    A B

    y

  • 76

    Ejemplos de Funciones:

    1. Fabricas que transforman materia prima en productos elaborados:

    Fbrica de ropa, fbrica de muebles, fbrica de zapatos, fbrica de

    helados, fbrica de bebidas gaseosas, fbrica de botellas de plstico,

    fbrica de automviles, fbrica de cables de acero, fbrica de

    ladrillos, fbrica de cemento, etc.

    2. El rea de un terreno rectangular en funcin de la longitud de sus

    lados.

    3. El espacio recorrido por un mvil es funcin del tiempo.

    4. La demanda de un producto es funcin de su precio.

    5. El salario de un obrero en funcin del nmero de horas de trabajo,

    etc.

    5.2 FUNCIONES EN LA MATEMTICA

    En las funciones de la Matemtica, el conjunto A recibe el

    nombre de conjunto de partida y el conjunto B, conjunto de llegada.

    Por otro lado, el dominio de una funcin f es el conjunto de todos los

    elementos x de A, tal que ( )

    * ( ) +

    El rango de f es el conjunto de elementos y de B, que tiene una

    preimagen x en A:

    * ( ) +

  • 77

    f

    En la Matemtica se estudian funciones como los siguientes:

    Las funciones son importantes para el estudio de las

    sucesiones y series reales, tales como las siguientes:

    - Progresiones aritmticas.

    - Progresiones geomtricas.

    - Serie de Taylor.

    Definicin: una progresin aritmtica es una sucesin finita

    determinada por una funcin tal que:

    ( ) ( )

    donde a son nmeros reales fijos y el nmero se denomina razn de la progresin aritmtica f. De esta definicin, resulta:

    DD

    D

    x y=f(x)

    A B

    Figura 5

    A B

    Df Rf

  • 78

    ( ) ( ) ( ) ( ) ..

    ( ) ( )

    Definicin: una progresin geomtrica es una sucesin finita

    determinada por una funcin tal que:

    ( )

    donde son nmeros reales fijos y el nmero y se

    denomina razn de la progresin geomtrica f.

    As, resulta:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ..

    ( )

    FUNCIONES REALES

    Una funcin se denomina funcin real de una variable real

    o simplemente funcin real. Si ( ), entonces la preimagen se

    llama variable independiente y la imagen , variable dependiente.

    Ejemplo:

    Consideremos la funcin real:

    ( )

    El miembro de la derecha se denomina definicin de la funcin y

    se interpreta diciendo que la funcin hace corresponder a cada

    nmero real x, su triple aumentado en 4.

  • 79

    y

    b

    Para graficar una funcin , se considera la funcin como

    un subconjunto de :

    *( ) ( )+

    Para graficar la funcin f se procede como sigue:

    1. El producto cartesiano se representa grficamente por

    medio de dos ejes perpendiculares.

    2. Se confecciona una tabla de valores de la funcin como pares

    ordenados ( ( )).

    3. Se localiza los pares ordenados ( ( )) en el producto cartesiano

    y uniendo estos pares ordenados o puntos, se tiene la

    representacin grfica de la funcin .

    Si un punto ( ) est en el grfico de y si el punto ( ) est en el

    grfico de , entonces por definicin de funcin, resulta que .

    Esto significa que toda recta vertical que intercepta el grfico de , lo

    hace en un nico punto. Ver figura 6.

    Figura 6

    Ejemplo:

    Graficar la funcin real ( ) | |

    Solucin:

    Por definicin de valor absoluto, se tiene:

    a 0

    f

    x

  • 80

    ( ) { ( )

    ( ) { ( )

    Tabla de Valores

    Las funciones reales se estudian en la asignatura de Anlisis

    Matemtico I de la Universidad para conocer los lmites, derivadas e

    integrales de estas funciones.

    Las funciones reales figuran en los modelos matemticos, que

    permiten predecir resultados en los fenmenos naturales.

    FUNCIONES VECTORIALES

    Las funciones se conocen con el nombre

    de funciones vectoriales de una variable real. Los lmites y derivadas

    de estas funciones se utilizan para conocer la curvatura de las curvas y

    la longitud de arco de estas curvas.

    Curvatura Gran Arco de curva

    Escasa curvatura

    (a) (b)

    Figura 8

    x 0 1 2 3 4

    f(x) 4 2 0 2 4

    y f

    1 2 3 x

    A B

    Figura 7

  • 81

    FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES

    Las funciones se denominan funciones

    reales de 2 y 3 variables, respectivamente. El grfico de las funciones

    reales de 2 variables se denomina superficie. Ver figura 9.

    EJERCICIOS

    1. En cules de los siguientes sistemas o aparatos del cuerpo humano

    se tienen funciones?

    a) Sistema circulatorio.

    b) Sistema digestivo.

    c) Sistema respiratorio.

    d) Sistema seo.

    e) Sistema nervioso.

    2. En cules de las siguientes situaciones existen funciones?:

    a) Una va que une dos ciudades.

    b) Casa de reparacin de televisores.

    c) Empresa editora de una revista.

    f(x,y)

    Figura 9

    y

    z

    x

  • 82

    3. Cules de los siguientes grficos representan funciones reales?:

    Figura 10

    4. Cules de las siguientes ecuaciones definen funciones reales

    sabiendo que ( )

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    5. a) Si ( ) ( )

    b) Si ( ) ( )

    f

    (a)

    f

    (b)

    f

    (c)

    F

    (d)

  • 83

    CAPITULO VI

    6 DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS

    6.1 JUEGOS MATEMTICOS

    Existen juegos matemticos, denominados as porque en su funda-

    mentacin se utiliza el razonamiento matemtico o el nmero 2

    como veremos a continuacin. Entre estos juegos presentamos los

    siguientes:

    - Juego de Nim.

    - Torre de Hanoi.

    - Separacin de dos personas amarradas por cuerdas.

    - Reparto de 3 objetos entre 3 personas.

    1. JUEGO DE NIM

    El juego de Nim consiste en colocar en una mesa uno o ms conjun-

    tos de cerillos de fsforos y retirarlos entre dos jugadores por turno,

    bajo las siguientes reglas:

    - Cada jugador puede retirar de 1 a 5 cerrillos de un solo conjunto.

    - Se repite el retiro de cerrillos hasta que no queden cerrillos en la

    mesa.

    - El que retira el ltimo cerrillo es el que pierde.

    Ejemplo:

    a) Caso de un conjunto de 47 cerrillos

    El jugador A que conoce el juego, mentalmente separa 1 cerillo y

    luego separa grupos de 6 en 6 y presta atencin al nmero de

    cerillos restantes:

  • 84

    47

    4; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 1

    El jugador A empieza el juego, retirando 4 cerillos. El jugador B

    retira de 1 a 5 cerillos y el jugador A retira el complemento de 6,

    con lo que gana el juego.

    Caso excepcional que se debe evitar (mltiplo de 6 ms 1).

    43

    0; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 1

    b) Caso de dos o ms conjuntos de cerrillos

    18 26

    5; 6; 6; 6; 1 1; 6; 6; 6; 6; 1

    2. TORRE DE HANOI

    La Torre de Hanoi consiste en un tablero horizontal con 3 clavos

    verticales, colocados en forma equidistante, como se muestra en la

    figura 11.

    Figura 11

    Torre 1 Torre 2

    Torre 1 Torre 2 Torre 3

  • 85

    En uno de los clavos se colocan discos de diferente radio, el ms

    grande debajo y el ms pequeo a lo alto de la torre.

    El juego consiste en pasar todos los discos de un clavo a otro de los

    restantes, bajo las siguientes reglas:

    - Solamente se puede mover un disco a la vez.

    - Ninguno de los dos discos debe quedar encima de otro ms

    pequeo que l.

    - Se puede utilizar los 3 clavos.

    El nmero de movimientos de los discos se basa en el sistema de base

    2.

    3. SEPARACIN DE DOS PERSONAS AMARRADAS POR

    CUERDAS

    El juego consiste en amarrar a dos personas en la siguiente forma:

    La mueca derecha de A se ata con una cuerda, cuyo extremo se ata a

    la mueca izquierda. Por dentro de esta cuerda, pasa otra cuyos

    extremos se atan a las muecas de la persona B. ver figura 12

    Figura 12

    El problema de las cuerdas consiste en que las personas A y B deben

    separarse sin desatar las cuerdas ni cortarlas.

    Solucin: La persona que dirige el juego, hace un pequeo bucle en el

    centro de la cuerda de B, lo pasa por dentro de la cuerda que rodea la

    mueca derecha de A, por la parte interior de esta y en la direccin del

    codo hacia la mano y lo pasa al otro lado de la mano de A. Despus lo

  • 86

    vuelve a pasar bajo el bucle que rodea la mano de A, pero esta vez por

    la parte de afuera y en direccin de la mano hacia el codo y entonces

    ya que puede soltar la cuerda.

    4. REPARTO DE 3 OBJETOS ENTRE 3 PERSONAS

    La persona que hace este divertimiento entrega en una bandeja 3

    objetos, por ejemplo: un anillo, un cigarrillo y un encendedor, para

    que 3 personas digamos: Carmen, Lola y Mara

    salgan de la habitacin y se repartan cada una un objeto y que lo

    guarden en su bolso. Cuando han vuelto, se entrega:

    a Carmen: 1 moneda

    a Lola:2 monedas

    a Mara: 3 monedas

    Luego en la bandeja se colocan 18 monedas y se les dice que salgan de

    la habitacin para retirar monedas de la bandeja, en la siguiente forma:

    La persona que tenga el anillo toma tantas monedas como se le di.

    La persona que tenga el cigarrillo toma el doble de las monedas que se

    le di.

    La persona que tenga el encendedor toma el cudruple de las

    monedas que se les di.

    Cuando hayan hecho esto, vuelven con la bandeja y las monedas sobrantes. Al ver las monedas sobrantes, se sabe qu persona tiene qu objeto. Para ello la persona encargada del juego, realiza el siguiente clculo:

  • 87

    Anillo

    (igual nmero)

    Cigarrillo

    (doble)

    Encendedor

    (Cudruple)

    Monedas

    Sobrantes

    de los 18 Carmen(1) Lola(2) Mara(3)

    Anillo(1) Anillo(1)

    Cigarrillo(4) Encendedor(8)

    Encendedor(12) Cigarrillo(6)

    1 3

    Cigarrillo(2) Cigarrillo(2)

    Anillo(2) Encendedor(8)

    Encendedor(12) Anillo(3)

    2 5

    Encendedor(4) Encendedor(4)

    Anillo (2) Cigarrillo(4)

    Cigarrillo(6) Anillo(3)

    6 7

    Segn este cuadro, si sobran 2 monedas resulta que:

    Carmen tiene el cigarrillo, Lola tiene el anillo y Mara tiene el

    encendedor.

    6.2 DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS POR ADIVINA-

    CIN

    En los libros de divertimientos y juegos matemticos figuran los que

    se refieren a adivinacin por medio de clculos numricos. A

    continuacin tenemos algunos de ellos.

    1. PENSAR 3 NUMEROS DEL 1 AL 9

    Se trata de adivinar 3 nmeros naturales de una cifra cada uno.

    La persona que va adivinar, dice a otra persona que elija 3 nmeros

    del 1 al 9 incluidos el 1 y el 9, por ejemplo: 3-7-5. Luego se le indica

    que realice las siguientes operaciones en forma sucesiva:

    Primera etapa:

    1) Escribe el primer nmero elegido...3

    2) Multiplica el nmero por 2......6

    3) Aade 1 al resultado....7

  • 88

    4) Multiplica por 5.... 35

    Segunda etapa:

    5) Aade el segundo nmero al resultado..... 42

    6) Multiplica por 2..........84

    7) Aade 1 al resultado..85

    8) Multiplica por 5.425

    Tercera etapa

    9) Aade el tercer nmero al resultado.. 430

    10) Multiplica por 2.....860

    11) Aade 1 al resultado..... 861

    12) Multiplica por 5....4305

    Dime el resultado final: 4305

    Al conocer el resultado final4305, se le resta mentalmente

    555; 4305 555 = 3750, que es un nmero natural terminado en cero.

    Separando las otras cifras resulta 3-7-5, que son los nmeros elegidos

    inicialmente y en el orden en que han sido elegidos Por qu se resta

    555 del resultado final? Ver ejercicio 4.

    2. ADIVINAR UNA CIFRA TACHADA

    La persona que adivina, dice a otra persona:

    Escribe un nmero natural de 5 cifras.74103

    Escribe la suma de todas las cifras......15

    Resta esta suma del nmero de 5 cifras..74088

    (Este resultado es mltiplo de 9)

  • 89

    Multiplica el resultado por cualquier nmero, digamos 4:

    296352

    (El resultado sigue siendo mltiplo de 9)

    Tacha una cifra que no sea cero: .... 296352

    Dime la suma de las cifras tachadas . : 21

    Respuesta: cifra tachada 6

    Solucin:

    Si un nmero es mltiplo de 9 la suma de sus cifras tambin lo es. Por

    esta razn, si se presenta un nmero natural desconocido que sea

    mltiplo de 9, en el presente ejemplo: 296352, para conocer una cifra

    tachada, basta conocer la suma de las cifras restantes. La cifra tachada

    ser el complemento de esta suma con respecto al mltiplo de 9 ms

    prximo a dicha suma. En nuestro caso: 27 21 = 6 esta es la cifra

    tachada.

    3. CONOCER LA FECHA DE NACIMIENTO DE UNA

    PERSONA

    Supongamos que una persona haya nacido en la fecha 28-11-1942 y

    cuando trascurre el ao 2012 se desea conocer esta fecha.

    Para conocer la fecha de nacimiento de la persona, se le pide que

    realice los siguientes clculos, en forma sucesiva:

    1) Doble el nmero que indica el da (28)..56

    2) Aade 4 al resultado anterior.60

    3) Multiplica por 50.....3000

    4) Aade el nmero que indica el mes (11)......... 3011

    5) Multiplica por 100...301100

  • 90

    6) Resta los aos cumplidos al ao pasado (69)..301031

    7) Dime el resultado final.

    Al resultado final se le resta k=19889

    301031-19889=281142

    En este resultado est la fecha de nacimiento 28-11-42

    El valor de k es distinto para cada ao de referencia:

    Para el ao 2013 es k= 19888

    Para el ao 2014 es k= 19887

    Para el ao 2015 es k= 19886

    .

    4. ADIVINAR UNA HORA DE UN RELOJ

    Se trata de adivinar la hora oculta de un reloj; la persona que va

    adivinar la hora oculta realiza las siguientes acciones:

    1) Dice a otra persona que escriba en un papel una hora cualquiera de

    1 a 12 y que la tenga oculta.

    2) Empieza a dar pequeos golpes en la mesa, cada golpe equivale a

    una hora.

    3) Dice a la persona que agregue a la hora oculta, 1 hora por cada

    golpe y cuando llegue a 20 diga ALTO.

    4) Cuando deja de dar golpes, dice la hora oculta.

    Cmo se conoce la hora oculta?

  • 91

    6.3 RAZONAMIENTOS ERRADOS

    Por no utilizar correctamente las definiciones y las propiedades, se

    cometen errores en el razonamiento, como veremos a continuacin.

    1. DEMOSTRAR QUE 1=2

    Sean a y b dos nmeros enteros no nulos:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4) ( ) ( )( )

    (5)

    (6)

    (7)

    2. PROBAR QUE 3

  • 92

    (5) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( )

    (6) 0( )

    ( )1

    0

    ( )1

    (7) ( )

    ( )

    ( )

    (8)

    4. TODOS LOS NMEROS NATURALES SON IGUALES

    Razonamiento en Sean nmeros naturales.

    (1)

    (2)

    (3) ( )( ) ( )

    (4)

    (5)

    (6)

    (7) ( ) ( )

    (8)

    (9)

    EJERCICIOS

    1. Calcular que para pasar n discos de un clavo a otro en la Torre de

    Hanoi se requiere movimientos de los discos.

    Sugerencia: Colocar en el clavo I solamente 2 discos y contar el

    nmero de movimientos. Hacer lo mismo con 3 discos.

    2. Buscar un concepto de la Matemtica que explique la deformacin

    de las cuerdas del juego de separacin de dos personas amarradas

    por cuerdas.

    3. Elaborar un cuadro para el juego de reparto de 3 objetos a 3

    personas, con los siguientes datos:

  • 93

    Alberto recibe una moneda

    Braulio recibe dos monedas

    Daniel recibe tres monedas

    Lpiz (Recoge igual nmero de monedas)

    Regla (Recoge el doble nmero de monedas)

    Borrador (Recoge el cudruple nmero de monedas)

    4. Para conocer el nmero natural 555 del caso de pensar 3 nmeros

    a, b, c del 1 al 9, realzar las operaciones e ir escribiendo:

    5. Probar que si a un nmero natural de 5 cifras se le resta la suma de

    las cifras resulta un nmero natural mltiplo de 9.

    Sugerencia: Escribir: 1000=999+1; 100=99+1; 10=9+1

    6. Calcular el valor del parmetro k de la fecha de nacimiento de una

    persona con respecto al ao 2030, sabiendo que la persona ha

    nacido en el siglo XX o en el siglo XXI.

    Sugerencia:

    Da de nacimiento: 10a+b

    Nmero del mes: 10c+d

    Dos ltimas cifras del ao: 10m+n

    7. Indicar el error cometido en los 4 razonamientos de la seccin 6.3

    8. Explicar el error en el siguiente razonamiento:

    (1)

    (2) ( )

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

  • 94

    9. Explicar el error en el siguiente razonamiento:

    (1) Tres viajeros se alojan en una pensin.

    (2) Cada uno debe pagar 10 dlares. Total $30

    (3) Los viajeros reclaman por lo caro del alojamiento.

    (4) La duea devuelve 5 dlares por medio de la camarera.

    (5) La camarera se queda con 2 dlares y devuelve 3 dlares a los

    viajeros.

    (6) Cada viajero recibi un dlar, luego pag 9 dlares.

    (7) Entre las 3 personas pagaron 27 dlares y la camarera se qued

    con 2 dlares.

    (8) Total pagado: 27+2=29 dlares. Falta un dlar.

    10. Probar que: 2=3

    Sugerencia:

    11. Explicar el procedimiento para adivinar la hora oculta de un reloj.

  • 95

    CAPITULO VII

    7 CARACTERSTICAS DE LA MATEMTICA

    La Matemtica y la Lgica son ciencias formales, con caractersticas

    propias que las diferencian de las ciencias naturales y de las ciencias

    sociales. La Matemtica tiene las siguientes caractersticas, entre otras:

    1. Independencia del mundo fsico.

    2. Intima conexin con la Lgica.

    3. Utilizacin del mtodo axiomtico.

    4. Lenguaje de la teora de conjuntos.

    5. Estructuras matemticas.

    6. Estudio de lo discontinuo.

    De estas caractersticas, trataremos algunas de ellas en forma muy

    general, sin llegar a los detalles.

    Por otro lado, la Matemtica se organiza en base a estructuras

    matemticas, a saber:

    - Estructuras algebraicas (Operaciones con los elementos de un

    conjunto).

    - Estructuras de orden (Relacin de orden con los elementos de un

    conjunto).

    - Estructuras topolgicas (Relacin de proximidad de los elementos de

    un conjunto).

    A continuacin veamos las siguientes caractersticas de la Matemtica:

    1. La Matemtica como ciencia abstracta.

    2. La Matemtica como ciencia deductiva.

  • 96

    3. Teora de conjuntos como lenguaje de la Matemtica.

    4. El mtodo axiomtico de la Matemtica.

    7.1 LA MATEMTICA COMO CIENCIA ABSTRACTA

    El trmino abstraccin comprende dos aspectos: un proceso, una

    accin de abstraer y el resultado de esta seccin. Abstraer es aislar,

    mediante el pensamiento, un elemento o propiedad de un objeto o

    conjuntos de objetos reales, representados en nuestra mente por

    medio de imgenes, desechando los dems elementos y los aspectos

    materiales del objeto. Lo abstracto se caracteriza porque se obtiene a

    partir de las representaciones mentales de los objetos y contiene las

    referencias a los caracteres esenciales y generales de lo real, omi-

    tindose las particularidades y los aspectos materiales de los objetos.

    Por otro lado, los conceptos son abstractos y generales. En la

    formacin de los conceptos a partir de representaciones mentales de

    lo real, existe una abstraccin denominada abstraccin conceptual de

    primer nivel. Todas las ramas del saber humano utilizan la

    abstraccin conceptual de primer nivel, pero la Matemtica eleva esta

    abstraccin a niveles superiores con apoyo de los smbolos.

    Un smbolo es una representacin convencional de una nocin

    abstracta, de un concepto. Puede ser una letra, una palabra, un color,

    un dibujo, etc. El smbolo sirve para fijar la nocin simbolizada de la

    cual es, en cierto modo, el guardin concreto. Los smbolos de un

    sistema formal de la Matemtica son representaciones convencionales

    escritas y precisas de nociones abstractas, constituyen nuevos objetos

    concretos de la Matemtica, sobre ellos se ejerce una nueva

    abstraccin, trabajando sobre los smbolos como sobre objetos

    concretos. Las nuevas abstracciones se fijan mediante notaciones

    concretas con smbolos. As, pues, el pensamiento matemtico proce-

    de escalonadamente de la nocin concreta a la nocin abstracta, que

    se transforma en un objeto concreto por medio de smbolos y este

    proceso se repite sucesivamente.

  • 97

    En efecto: las primeras nociones de nmero natural surgen por

    abstracciones de conjuntos de objetos del mundo real; as se tiene los

    nmeros uno, dos, tres, etc.

    Esos conceptos abstractos se vuelven concretos por medio de los

    siguientes smbolos:

    Los smbolos de los nmeros naturales se generalizan por medio de

    letras a,b,c,...con el propsito de construir los nmeros enteros, como

    diferencias de nmeros naturales. Los nmeros enteros se asocian a

    las imgenes concretas de distancia a la derecha y a la izquierda,

    profundidades y alturas, etc.

    Las nociones abstractas de nmeros enteros se vuelven concretas con

    la utilizacin de los siguientes smbolos:

    A su vez los nmeros enteros se generalizan para una nueva abstrac-

    cin, por medio de letras m, n, p, para construir los nmeros

    racionales como cocientes de nmeros enteros con divisor positivo.

    Los nmeros racionales se vuelven correctos por medio de los

    siguientes smbolos:

    Los nmeros racionales se asocian a objetos del mundo real

    considerando estos objetos como unidades y dividindolos en partes

    iguales.

    La representacin decimal de los nmeros racionales y de los nmeros

    irracionales se generalizan con letras para la parte entera y la parte

    decimal:

  • 98

    El objeto de esta generalizacin es construir los nmeros reales, los

    mismos que se vinculan con el mundo fsico, como el caso de la

    longitud de la diagonal de terrenos cuadrados o el clculo del volumen

    de esferas.

    Los sistemas numricos se generalizan para construir los semi grupos,

    grupos, anillos, cuerpos y campos, cuyos conceptos estn muy lejos

    del mundo real. Sin embargo, a decir de P. Arnaiz en su obra La

    Inteligencia, las ms altas abstracciones matemticas se acompaan

    siempre de imgenes concretas como lneas, puntos, planos, signos

    verbalesy grficos que las simbolizan.

    Las definiciones tienen la caracterstica de ser abstracciones de objetos de la Matemtica, porque son representaciones mentales generales y esenciales de los objetos, desechando las particularidades y contingencias de dichos objetos. Adems de la abstraccin, las definiciones se caracterizan por la comprensin (conjunto de cualidades del objetivo) y la extensin (conjunto de individuos a que se refiere la definicin).

    En conclusin, la Matemtica se est volviendo ms abstracta, por lo

    que se la considera como independiente del mundo fsico, pero se

    utiliza para resolver problemas de la realidad.

    7.2 LA MATEMTICA COMO CIENCIA DEDUCTIVA

    La deduccin consiste en obtener conclusiones a partir de principios

    o propiedades generales. En la Matemtica, la deduccin es una

    proposicin implicativa lgica, en la que a partir de una o ms

    proposiciones llamadas premisas, se obtiene otra proposicin llamada

    conclusin.

    Observemos la tabla de verdad de una proposicin implicativa:

  • 99

    V V V V F V F V V F F F

    En esta tabla, la premisa p tiene dos valores de verdad y como en la

    Matemtica, la conclusin no puede ser falsa, entonces queda una sola

    alternativa:

    V V V

    Esto significa que la deduccin consiste en obtener conclusiones

    validas a partir de premisas vlidas.

    En la Matemtica, las premisas son principios generales y stos estn

    constituidos por definiciones y propiedades de los objetos de la

    Matemtica, los mismos que son vlidos o se suponen vlidos. A

    partir de los principios generales de una teora matemtica, se

    obtienen conclusiones que son otras propiedades, ejercicios y proble-

    mas de la teora.

    Por otro lado, en los diferentes temas de una teora matemtica se

    utiliza el razonamiento, que consiste en la obtencin de conclusiones

    a partir de premisas vlidas. El razonamiento matemtico es un

    concepto que atraviesa toda la Matemtica. Por las razones anteriores,

    se dice que la Matemtica es una ciencia eminentemente deductiva.

    La deduccin, como mtodo de enseanza, consiste en un proceso

    lgico de lo universal a lo particular. Este tema no es motivo del

    presente texto.

  • 100

    7.3 TEORA DE CONJUNTOS COMO LENGUAJE DE LA

    MATEMTICA

    Se ha visto que en la Matemtica de Educacin Secundaria se

    estudiaran conjuntos de nmeros conjuntos de

    polinomios reales , -, conjuntos de pares ordenados de nmeros

    reales y conjuntos de ternas ordenadas de nmeros reales .

    En educacin superior, se estudian conjuntos como los siguientes:

    - Conjuntos de matrices reales

    - Conjunto de funciones reales de una variable: ( )

    - Conjunto de funciones vectoriales de una variable real: ( )

    - Conjunto de funciones reales de varias variables: ( )

    - Conjuntos en la teora de grupos: ( )

    - Espacios vectoriales abstractos: ( )

    - Espacios euclidianos n-dimensionales.

    - Espacios de Hilber.

    - Espacios de Banach.

    - Espacios de Minkowski, etc.

    Las teoras matemticas se basan en conjuntos como punto de partida

    de cada teora; esto significa que los conjuntos constituyen un

    concepto que atraviesa toda la Matemtica; es decir la teora de

    conjuntos proporciona una nueva terminologa de la Matemtica, al

    mismo tiempo que le da unidad.

    Para P. Castro Ochoa (Conjuntos IPEM. Lima 1964), desde que

    Georg Cantor cre la teora de conjuntos, pocas son en verdad las

    nuevas teoras que hayan conmovido tan profundamente las races del

    pensamiento humano y hayan causado un impacto tan extraordinario

    como fecundo en el seno de las ciencias. Se ha llegado a la conclusin,

    tras denodados esfuerzos, que la teora de conjuntos es el fundamento

    ltimo de toda la Matemtica Moderna y no es ninguna exageracin

  • 101

    afirmar que no se podra hacer ningn estudio serio de la Matemtica

    sin conocer los lineamientos generales de esta teora.

    7.4 EL MTODO AXIOMTICO DE LA MATEMTICA

    Cuando una teora de la Matemtica se basa en un conjunto de

    elementos desconocidos es necesario enunciar axiomas para conocer

    las propiedades de las relaciones que se definen en el conjunto. Los

    axiomas son proposiciones lgicas cuya certeza se acepta

    convencionalmente; no son proposiciones evidentes por s mismas.

    En la Teora de Nmeros de Educacin Secundaria los axiomas se

    presentan en el sistema de nmeros naturales, tanto en la definicin

    del conjunto como en la definicin de suma y producto de nmeros

    naturales. Los sistemas de los nmeros enteros, racionales y reales se

    estudian por medio de amplificaciones sucesivas del sistema de

    nmeros naturales.

    El conjunto de axiomas de una teora tiene las siguientes condiciones:

    - Son incompatibles en el sentido que de ellos no resulte alguna

    contradiccin.

    - Son independientes, es decir, ningn axioma o parte del mismo debe

    ser consecuencia de los dems.

    - Debe ser completo que permita el desarrollo de toda la teora.

    Aunque una teora de la Matemtica no utilice axiomas, se dice que la

    Matemtica utiliza el mtodo axiomtico. El mtodo axiomtico

    consiste en lo siguiente:

    - Definiciones rigurosas y precisas (con axiomas o sin axiomas).

    - Propiedades fundamentales de las operaciones y relaciones.

    - Deducciones a partir de las propiedades fundamentales (en

    ejercicios y problemas).

  • 102

    - Aplicaciones de las definiciones y propiedades a problemas,

    haciendo notar las premisas y las conclusiones.

    Por otro lado, el uso de smbolos para los objetos de la Matemtica y

    para las relaciones entre los objetos, constituye tambin parte del

    lenguaje y del mtodo axiomtico.

    Por ejemplo, en las siguientes oraciones matemticas:

    se ven objetos matemticos: nmeros , ecuaciones, rectas y conjuntos.

    EJERCICIOS

    1. Por qu se dice que la Matemtica es independiente del mundo

    fsico.

    2. Describir la conexin entre Matemtica y Lgica.

    3. En libros de Algebra Lineal buscar la definicin de espacio

    vectorial y separar los axiomas de las operaciones.

    4. En la deduccin, pueden faltar las premisas? Por qu?

    5. Por qu se dice que la Matemtica es una ciencia eminentemente

    deductiva.

    6. En la Matemtica existen conjuntos concretos y conjuntos

    abstractos. Indagar los casos en los que existen conjuntos

    abstractos.

    7. Existen dificultades en el estudio de las Matemticas, que no

    existen en otras ciencias. Describir estas dificultades.

  • 103

    CAPITULO VIII

    8 ESTRUCTURAS MATEMTICAS

    8.1 SISTEMAS MATEMATICOS

    Un sistema matemtico es un conjunto entre cuyos elementos se

    definen una o varias relaciones, que cumplen determinadas propie-

    dades. Las propiedades de la relacin, confieren una estructura al

    conjunto, Los sistemas matemticos que se estudian en educacin

    secundaria son los siguientes:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    En idntica forma se estudian los sistemas:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    En instituciones de educacin superior se estudian los sistemas:

    ( ) ( ) ( )

  • 104

    ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

    donde el signo o significa composicin de funciones reales.

    Todos los sistemas matemticos citados se basan en conjuntos

    concretos con elementos conocidos. Existen otros sistemas, como los

    siguientes:

    1. Sea el conjunto de los enteros mdulo 5:

    * +

    En se definen las operaciones de adicin y multiplicacin mdulo

    5, en la siguiente forma:

    Suma mdulo 5:

    Producto mdulo 5:

    donde son la suma y producto ordinarios en y es

    el mltiplo ms grande de 5, contenido en y en . Con estas

    definiciones resultan: la tabla de sumar y la tabla de multiplicar

    mdulo 5:

    0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

    0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

    1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

    2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

    3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

    4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

    En estas tablas se observa lo siguiente:

    Adicin mdulo 5: En cada fila y en cada columna aparece el 0 una

    sola vez.

  • 105

    Los elementos equidistantes de la diagonal son

    iguales.

    Multiplicacin mdulo 5: Descartamos el 0.

    En cada fila y columna aparece el 1 una sola

    vez. Los elementos equidistantes de la diago-

    nal son iguales.

    2. En el conjunto de los enteros mdulo 6:

    * +

    definimos las operaciones de adicin y multiplicacin mdulo 6 como

    sigue:

    Suma mdulo 6:

    Producto mdulo 6:

    donde son la suma y producto ordinarios en y es el

    mltiplo ms grande de 6, contenido en y en . Con las

    definiciones adicin y multiplicacin mdulo 6, resultan las siguientes

    tablas:

    0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

    0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5

    2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4

    3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3

    4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2

    5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1

  • 106

    Aqu se observa:

    Adicin mdulo 6: En cada fila y en cada columna aparece el 0 una

    sola vez. Los elementos equidistantes de la diago-

    nal son iguales:

    Multiplicacin mdulo 6: Descartamos el 0.

    El 1 aparece solamente en las filas 2 y 5.

    Los elementos equidistantes de la diagonal

    son iguales:

    NOTA: Esta tabla es muy irregular.

    3. Sea el conjunto * + donde es un smbolo que indica que

    un objeto da una vuelta completa y un smbolo que indica que un

    objeto da media vuelta. Si es una operacin definida en A tal que: significa que un objeto da una vuelta y luego el mismo objeto da

    media vuelta, entonces la operacin se resume en el siguiente cuadro:

    Aqu el conjunto A tiene elementos conocidos que son una vuelta

    completa y media vuelta.

    De los ejemplos anteriores se concluye lo siguiente:

    Un sistema matemtico es un conjunto concreto con elementos

    conocidos, provisto de una o ms operaciones binarias o provisto de

  • 107

    una relacin de orden. Las propiedades de las operaciones o relacin

    de orden, confieren de una estructura al conjunto en estudio.

    8.2 ESTRUCTURAS MATEMATICAS

    Los sistemas matemticos que tratan el Algebra, la Teora de

    Nmeros, la Geometra, el Anlisis y la Topologa se agrupan, por sus

    analogas, en 3 grandes tipos de sistemas, llamados estructuras

    matemticas. Las estructuras matemticas segn el Grupo Bourbaki,

    son:

    - Estructuras algebraicas (con una o ms operaciones)

    - Estructuras de orden (con una relacin de orden)

    - Estructuras topolgicas (con una relacin de vecindad o cercana)

    Debido a que una estructura matemtica agrupa muchos sistemas, el

    conjunto de base de la estructura tiene elementos desconocidos y est

    provisto de una o ms relaciones (operaciones, relacin de orden o

    relacin de vecindad) que cumplen determinados axiomas. La

    presencia de axiomas en las estructuras se debe a que los conjuntos

    de base tienen elementos cuya naturaleza no est especificada.

    En relacin a las estructuras algebraicas, las operaciones binarias se

    denominan leyes de composicin y estas pueden ser internas y

    externas. Una ley de composicin se caracteriza porque cada dos

    elementos determinan un tercer elemento de manera nica, lo que no

    ocurre con una relacin de orden.

    Las estructuras algebraicas se clasifican en la siguiente forma:

    a) Con una ley de composicin interna:

    - Monoides

    - Semigrupos

    - Grupos

  • 108

    b) Con dos leyes de composicin internas:

    - Anillos

    - Cuerpos

    - Campos

    c) Con una ley de composicin interna y otra externa:

    - Mdulos

    - Espacios vectoriales

    La diferencia entre las estructuras algebraicas est en el nmero de las

    leyes de composicin.

    Veamos las estructuras algebraicas con una ley de composicin

    interna:

    Definicin: Se denomina monoide a un conjunto no vacio A,

    provisto de una ley de composicin interna tal que: 1) Propiedad de clausura

    2) ( ) ( ) Propiedad asociativa

    Definicin: un semigrupo es un conjunto no vacio B, junto con una

    ley de composicin , tal que: 1) Propiedad de clausura

    2) ( ) ( ) Propiedad asociativa

    3) Propiedad elemento neutro

    Definicin: Se denomina grupo a un conjunto no vacio G junto con

    una ley de composicin , tal que:

    1) Propiedad de clausura

    2) ( ) ( ) Propiedad asociativa

    3) Propiedad elemento neutro

    4) Propiedad del inverso

  • 109

    Ejemplos

    Los siguientes sistemas algebraicos tienen la estructura que se indica:

    ( ) ( ) ( ) ( ) son semigrupos aditivos

    ( ) ( ) ( ) son grupos aditivos

    ( ) ( ) son grupos multiplicativos

    ( ) ( ) no son grupos multiplicativos, Por qu?

    8.3 ESTRUCTURAS MATEMATICAS Y ESTRUCTURAS

    OPERATORIAS DE LA INTELIGENCIA

    Las acciones reversibles de la inteligencia humana se denominan

    operaciones mentales. La reversibilidad de las operaciones mentales es

    la ley fundamental de la inteligencia. Las formas en que las

    operaciones mentales estn organizadas en el interior de un sistema

    constituyen las estructuras operatorias de la inteligencia.

    Segn Jean Piaget, la reversibilidad de la inteligencia se presenta, desde

    su formacin, bajo dos formas complementarias, que son:

    - La inversin o negacin

    - La reciprocidad o compensacin

    Las operaciones mentales regidas por la reversibilidad denominada

    inversin o negacin, tienen las siguientes propiedades:

    1. La coordinacin de dos acciones de la inteligencia es una nueva

    accin que se agrega a las anteriores.

    2. La coordinacin de una accin puede desarrollarse en dos sentidos:

    realizarse o suprimirse.

    3. El retorno al punto de partida permite volver a encontrar dicho

    punto sin cambio.

  • 110

    4. Puede encontrarse el mismo punto de llegada por diferentes

    caminos sin que dicho punto cambie, cualquiera que sea el camino

    elegido.

    Traducidas las 4 propiedades anteriores de la coordinacin de la

    inteligencia, en el lenguaje de la Matemtica, resulta que la propiedad 1

    equivale a la propiedad de clausura de la coordinacin de la

    inteligencia, la propiedad 2 equivale a la propiedad del inverso, la

    propiedad 3 equivale a la propiedad del elemento neutro y la

    propiedad 4, equivale a la propiedad asociativa.

    Luego, el conjunto de las acciones de la inteligencia regida por la

    reversibilidad denominada inversin o negacin tiene la estructura de

    grupo, bajo la coordinacin de las acciones de la inteligencia, en la

    etapa del pensamiento operatorio comprendida entre los 7 aos y 12

    aos de edad.

    Veamos, ahora, las operaciones mentales regidas por la reversibilidad

    llamada reciprocidad o compensacin. Para ello observemos la

    evolucin de las acciones referentes a la formacin de series progre-

    sivas de objetos.

    Hacia los 7 aos, el nio descubre el mtodo para construir series,

    comparando las longitudes de objetos dos a dos, hasta encontrar el

    ms grande, el ms pequeo de todos. Esta seriacin:

    se caracteriza por lo siguiente:

    1.

    2.

    3. Para cualquier objeto digamos se tiene que:

    La propiedad 2 no es la negacin de la propiedad 1 sino su dual o

    reciproco. La propiedad 3 implica la transitividad:

  • 111

    Expresadas estas propiedades de la seriacin concreta en trminos

    matemticos, resulta que el conjunto de las operaciones mentales

    regidas por la reversibilidad denominada reciprocidad o compen-

    sacin, tiene una estructura de red, bajo la coordinacin de acciones

    ejercida por el trabajo de la inteligencia, en la etapa de los 7 aos a los

    12 aos de edad.

    Por otro lado, en la etapa del pensamiento operatorio concreto de los

    7 aos a los 12 aos, se reafirman las intuiciones topolgicas funda-

    mentales de las figuras geomtricas abiertas, cerradas, el interior, el

    exterior y la frontera.

    Adems se presentan las operaciones mentales de iteracin para la

    medicin de los objetos y de comparacin de medidas, en virtud de la

    transitividad de la igualdad de medidas (longitudes y pesos

    nicamente). El nio descubre que las medidas de los objetos son

    invariables cuando se las cambia de lugar y que la distancia entre dos

    objetos tampoco vara cuando entre ellos se interpone otro. As

    mismo surgen las coordenadas cartesianas con la idea de horizontal y

    vertical. En conclusin, las operaciones mentales se orientan en

    direccin de la mtrica del espacio, que es una nocin Topolgica.

    Resumiendo, entre los 7 y 12 aos, la accin de la inteligencia con

    respecto a conjuntos de puntos del espacio euclidiano, como

    representacin del espacio fsico, se caracterizan por lo siguiente:

    1. Permiten el estudio de la Geometra.

    2. Permiten distinguir la proximidad de los puntos.

    3. Permiten organizar los conjuntos de puntos de acuerdo a las

    relaciones de frontera, interior y exterior.

    4. Permiten comprender que las medidas de los objetos y las

    distancias son invariantes.

  • 112

    En otras palabras, las propiedades 2, 3 y 4 de las operaciones de la

    inteligencia, corresponden a la estructura de espacio topolgico y de

    espacio mtrico de la Matemtica.

    En conclusin, las estructuras operatorias de la inteligencia en

    formacin manifiestan desde el principio del pensamiento tres

    grandes tipos de organizacin que corresponden a las estructuras

    matemticas algebraicas, de orden y topolgicas.

    EJERCICIOS

    1. Qu diferencias y semejanzas existen entre un sistema algebraico y

    una estructura algebraica?

    2. Qu significa que, en las operaciones mdulo 5, un elemento

    aparecen en cada columna y en cada fila una sola vez y los

    elementos equidistantes de la diagonal son iguales?

    3. La estructura de orden est formada por un conjunto A y una

    relacin que tiene las siguientes propiedades: reflexiva anti-

    simetra y transitiva. Simboliza estas propiedades.

    4. Dado un conjunto cualquiera A, el conjunto P(A) formado por

    todos los subconjuntos de A, es un grupo con las operaciones:

    a) Interseccin de conjuntos?

    b) Unin de conjuntos?

    5. Los conjuntos , son ejemplos de grupos con la opera-

    cin:

    a) Adicin de nmeros naturales, enteros y racionales?

    b) Multiplicacin de nmeros naturales, enteros y racionales?

  • 113

    6. El conjunto de nmeros enteros pares:

    * +

    tiene la estructura de grupo con la operacin:

    a) Adicin de nmeros enteros?

    b) Multiplicacin de nmeros enteros?

    7. El conjunto de nmeros enteros impares:

    * + tiene las estructuras de grupo con la operacin:

    a) Adicin de nmeros enteros?

    b) Multiplicacin de nmeros enteros?

    8. En el conjunto * + con 3 elementos diferentes, se define

    la operacin por medio de la siguiente tabla:

    Comprobar que el sistema ( ) es un grupo.

    9. En el conjunto de los enteros mdulo 7:

    * +

    Se define la suma y el producto de enteros mdulo 7 como sigue:

    donde es la suma y su producto ordinario de

    nmeros enteros y es el mltiplo mas grande, contenido en

    .

    Confeccionar la tabla de suma y producto de los enteros mdulo 7.

  • 114

    10. En el patio de la Universidad se marcan puntos a la distancia de 2

    metros aproximadamente y no necesariamente en lnea recta, para

    que un alumno pueda desplazarse de un punto a otro. El despla-

    zamiento de un punto A a un punto B y luego a un punto C se

    puede reemplazar por un desplazamiento de A a C.

    El nuevo desplazamiento se denomina desplazamiento compuesto

    de los 2 anteriores. Explicar con dibujos el hecho de que el

    conjunto de desplazamientos forma un grupo con la operacin de

    composicin de desplazamientos.

  • 115

    MISCELANIA DE EJERCICIOS

    1. Qu importancia tiene la Lgica en estudios de Matemtica

    Superior?

    2. Indica algunos aspectos de la Matemtica por medio de los cuales

    se vea su importancia.

    3. El razonamiento matemtico se circunscribe a una asignatura o

    forma parte de toda la Matemtica? Por qu?

    4. Qu condiciones de una persona se requieren para estudiar la

    Matemtica?

    5. Indagar si en la Matemtica existe belleza.

    6. Qu relacin podra existir entre la msica y la Matemtica.

    7. Por qu es importante la teora de conjuntos?

    8. Qu ocurrira con un profesional si no conociera los fundamentos

    matemticos de su desempeo laboral?

    9. Es correcta la afirmacin de que la Matemtica promueve el

    razonamiento?

    10. Por qu el estudio de la Matemtica ofrece dificultades diferentes

    al estudio de otras ciencias?

    11. Por qu el estudio de la Matemtica es importante para todas las

    personas, desde amas de casa, artesanos y profesionales?

  • 116

    BIBLIOGRAFA

    1. GOMEZ CALDERON JAVIER: Lgica Simblica. Editorial

    Continental S.A. Mxico 2002.

    2. ZILL DENNIS. CULLEN MICHAEL: Ecuaciones Diferenciales.

    Editorial Thomson. Mxico 2006.

    3. CHIROQUE SIGFREDO-RODRIGUEZ SERGIO:

    Metodologa. Editorial Grafica Monterrico. Lima 1998.

    4. SANCHEZ PEREZ JOSE AUGUSTO: Divertimientos

    Matemticos.

    5. NORTHROP EUGENE P.: Paradojas Matemticas. Editorial

    Hispano Americano. Mxico 1998.

    6. LE LIONNAIS FRANCOIS: Las Grandes Corrientes del

    Pensamiento Matemtico. Editorial EUDEBA. Buenos Aires

    1975.

    7. CASTRO OCHOA PEDRO C.: Conjuntos. IPEM. Lima1964.

    8. GOMEZ SALCEDO SIXTO-SILVA TEJADA ELIZABETH:

    Matemtica Bsica. Universidad Nacional de San Agustn.

    Arequipa 1994.

    9. SILVA TEJADA ELIZABETH-GOMEZ SALCEDO SIXTO:

    Matemtica Pre-universitaria I: Algebra. Primera Edicin.

    Arequipa 1994.

    10. EDWARDS HENRY-PENNEY DAVID. Ecuaciones

    Diferenciales. Editorial Pearson Educacin. Mxico 2001.

  • 117