Clasifiacion de los numeros

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    08-Jul-2015

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breve practica de lo aprendido en el curso de titulacion

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Diapositiva 1

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES1.1 CLASIFICACIN DE LOS NMEROS REALES3 1.1.1 TIPOS DE NMEROS3 Los nmeros naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos.Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.3 Los nmeros enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, -10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designacon la letra Z. 1Los nmeros fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no esmltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:

Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)

Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)

Los nmeros fraccionarios tienen una expresin como nmero decimal

Nmeros decimales exactos : Nmero finito de decimales : 1,234

Nmeros decimales peridicos puros : Nmero infinito de decimales talesque la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234

Nmeros decimales peridicos mixtos : Nmero infinito de decimales talesque hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 42Los nmeros racionales incluyen los nmeros enteros y los fraccionarios. Alconjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.3 Los nmeros irracionales son aquellos que no son racionales: , 2 ,101001.... (Nmeros decimales no peridicos)3La recta realA todo nmero real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un nmero real.

CLASIFICACIN DE LOS NMEROS

5

Nmeros imaginariosUn nmero imaginario se denota por bi, donde :b es un nmero reali es la unidad imaginaria: Los nmeros imaginarios permiten calcular races con ndice par y radicando negativo. x2 + 9 = 0

CLASIFICACIN DE LOS NMEROS

1.2.1 PASAR DE FRACCIN A DECIMAL3 Para obtener la expresin decimal de una fraccin, se efecta la divisin delnumerador entre el denominador.3 Ejemplos:48 = 2 Natural 2,2549 Decimal exacto 1,333333.... 1,334 Decimal peridico puro 1,166666.... 1,1667 Decimal peridico mixtoDecimales exactos:N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero.100N = 238 Despejar NN =100238Simplificar la fraccin, si es posible N =501193 Decimales peridicos puros:N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro nmero con elmismo periodo.100N = 238,38 Restarlos99N = 236 Despejar NN =99236Simplificar la fraccin, si es posible N =99236Decimales peridicos mixto:N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en peridicopuro10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro nmero con elmismo periodo.100N = 238,8 Restarlos90N = 215 Despejar NN =90215Simplificar la fraccin, si es posible N =184310CONTROL DEL ERROR COMETIDO3 Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.3 El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medicin,en valor absoluto (en positivo)Error Absoluto = | Valor Real Valor de Medicin |4 Pero no es lo mismo cometer un error de un centmetro al medir una tiza queuna pizarra, por tanto definimos:El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor realN - NMEROS NATURALES Un nmero natural es cualquiera de los nmeros 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas Z - NMEROS ENTEROS Los nmeros enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos). Q - NMEROS RACIONALES nmero racional es todo aquel nmero que puede ser expresado como resultado de la divisin de dos nmeros enteros. Comnmente es a lo que se les llama nmeros decimales, tanto en fraccin como expresado con comas.

Cualquier numero puede representarse como una fraccin de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal (ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS SON RACIONALES.

I - NMEROS IRRACIONALES LOS NMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en forma fraccionaria. Los nmeros irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningn patrn repetitivo. Debido a ello, los ms celebres nmeros irracionales son identificados mediante smbolos. El ms conocido es:

(Pi): relacin entre el permetro de una circunferencia y su dimetro.

R - NMEROS REALES Como su propio nombre indica, son todos los nmeros, RACIONALES E IRRACIONALES REGLAS DE DIVISIBILIDAD, MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLOREGLAS DE DIVISIBILIDAD Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un nmero es divisible por otro sin necesidad de realizar la divisin.

Divisible significa que al dividirlo por ese nmero el resultado es una divisin exacta con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30:5=6.

Las reglas:

Un nmero es divisible por 2, 3 5 si:

2 si termina en 0 o en cifra par Ejemplos 50; 192; 24456

3 si la suma de sus cifras es mltiplo de tres Ejemplos: 333 (dado que 3+3+3 =9); 9 es un mltiplo de 3; (3x3=9)

5 si termina en 0 o en 5 Ejemplos 35; 70; 1115;

Ms ejemplos de la Regla del 3 -> (la suma de los cifras debe ser un mltiplo de 3).

663---> 6+6+3= 15 ----> 3 x 5 = 15 12123---> 1+2+1+2+3= 9 ----> 3 x 3 =9;

Estas reglas son importantes dado que te facilitan el clculo de las descomposicin de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones, hallar el mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo. Un nmero real puede ser un nmero racional o un nmero irracional. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos nmeros enteros, tal como 3/4, 21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los dems Los nmeros racionales tambin pueden describirse como aquellos cuya representacin decimal es eventualmente peridica, mientras que los irracionales tienen una expansin decimal aperidica: Ejemplos 1/4 = 0,250000 ES un nmero racional puesto que es peridico a partir del tercer numero decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857. ES racional y tiene un perodo de longitud 6 (repite 714285).(37 + 1)/2 = 1.456465591386194Una fraccin es un nmero que se obtiene dividiendo un nmero por otro. En una fraccin tal como a/b el nmero a que es dividido se llama numerador y el nmero b que divide, divisor o denominador.NOTACIN CIENTFICA4 1.4.1 INTRODUCCIN4 Los nmeros siguientes estn puestos en notacin cientfica:2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma)7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7)4 La notacin cientfica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nosdan contadas, con lo que el orden de magnitud del nmero es evidente. Estanotacin es til, sobre todo, para expresar nmeros muy grandes o muypequeos.1.4.2 DEFINICIN4 Un nmero puesto en notacin cientfica consta de :- Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades)- El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal.- Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del nmero.N = a , bcd...... x 10na = Parte entera (slo una cifra)bcd..... = Parte decimal10n = Potencia entera de base 104 Si n es positivo, el nmero N es grandeSi n es negativo, el nmero N es pequeoAqu te proponemos una forma nemotcnica sencilla para aprender a sumar y restar mediante dos reglas muy fciles de recordar: Si se tienen dos nmeros de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en nmeros naturales) y se deja el mismo signo. Ej: 3+5 = 8 esta es una suma comn y corriente entre naturales, pero y si fuera...-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos nmeros son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real. Si se tienen dos nmeros de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre nmeros naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.Ej: 5 3 = 2 -5 + 3 = -2En el primer ejemplo es una resta comn y corriente entre nmero naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros 5 y 3. la regla dice que se restan como se hara entre nmeros naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo 2.Esto no quiere decir que 5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dlares en el bolsillo estoy ms contento que si me faltan 5 ( -5 ), slo es una norma nemotcnica para que aprendas a sumar y restar.

SUMA Y RESTA DE REALESMira estos otros ejemplos:-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=37-10 = -3 que es lo mismo que 10+7 = -3-4-2-5-10= -214+2+5+10= 21-4+5-10-20+15-7+9Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, as:-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29Y luego restar:-41+29 = -12Ntese que se oper entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvi a aplicar la regla. Nmero de signos diferentes se restan y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.

SUMA Y RESTA DE REALESMULTIPLICACIN Y DIVISINPara estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicacin y adems saber que:

+x+=+-x-=++x-=--x+=-Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

-5*-3 = 15 -5*3 = -155*3 = 15 5*-3 = -15155 = 3 -155 = -315-5 = -3 -155 = -3Leyes de los exponentes:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Leyes de los radicales

Los radicales se rigen por las leyes de los exponentes, porque:

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11Si

exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de los trminos de la sucesin anterior, y obtenga en la misma forma el trmino an de la sucesin, en donde n es un nmero entero positivo.SolucinNtese que:

Entonces:

Problema de aplicacin: Jpiter es el planeta ms grande del Sistema Solar, y tiene un dimetro aproximado de 142 880 000 m, y el ms pequeo es Plutn con un dimetro aproximado de 3 500 000 m. Cuntos plutones caben en Jpiter?SolucinSea el volumen de Jpiter y sea el volumen de Plutn, entonces:

As que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Jpiter.Podemos decir que la exponenciacin es una operacin que se define en lo que es un lgebra sobre un cuerpo normada completa o lgebra de Banach. Lo importante de esto es que se generaliza la funcin exponencial de los nmeros reales.Cuando por ejemplo a y b corresponden a dos nmeros enteros la operacin puede definirse en trminos algebraicos elementales. Pero ciertos nmeros de problemas fsicos llevaron a tratar de generalizar la frmula anterior a valores de b no siendo enteros. Cuando b = 1/2 la operacin es equivalente a lo que llamamos una raz cuadrada. De modo que la exponenciacin trata de generalizar una operacin como:

ExponenciacinHabitualmente dicha operacin puede ser reducida al clculo de la siguiente operacin:

Se generaliza entonces este tipo de operacin a casos donde el exponente no es precisamente un nmero real.Para que sea mas sencillo entender lo que es una exponenciacin y saber a que nos referimos cuando hablamos de exponente, prestemos mucha atencin a lo siguiente. Tomemos como ejemplo una expresin matemtica que tenga incluidos dos trminos, los cuales se denominan base a y exponente n. Un exponente se utiliza para indicar la multiplicacin repetida, elevando una base a n. El proceso de elevar una base a un exponente se llama potenciacin. Entonces si a es un nmero real y n un nmero real se definir como:

Entonces:

Esto vara segn el conjunto numrico al cual pertenezca dicho exponente. Si a es un nmero real no nulo, se define entonces como:

De lo anterior podemos deducir cuales seran las reglas que habitualmente se utilizan en la exponenciacin, veamos cuales seran:

La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin. Y consiste en que dados dos nmeros, llamados radicando e ndice, hallar un tercero, llamado raz, tal que, elevado al ndice, sea igual al radicando. En la raz cuadrada el ndice es 2, aunque en este caso se omite. Consistira en hallar un nmero conocido su cuadrado. La raz cuadrada de un nmero, a, es exacta cuando encontramos un nmero, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a. Raz cuadrada exactaLa raz cuadrada exacta tiene de resto 0.Radicando = (Raz exacta)2Cuadrados perfectosSon los nmeros que poseen races cuadradas exactas.1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... Raz cuadrada enteraSi un nmero no es cuadrado perfecto su raz es entera.Radicando = (Raz entera)2 + Resto RadicacinAlgoritmo de la raz cuadrada1Si el radicando tiene ms de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda. Qu nmero elevado al cuadrado da 8?8 no es un cuadrado perfecto pero est comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.

3El cuadrado de la raz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrs del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del nmero formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raz anterior. Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.5 El cociente que se obtenga se coloca detrs del duplo de la raz , multiplicando el nmero formado por l, y restndolo a la cantidad operable del radicando.Si hubisemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habramos probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raz.

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.Como 5301 > 5125, probamos por 8.Subimos el 8 a la raz

8Prueba de la raz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:Radicando= (Raz entera)2 + Resto 89 225= 2982 + 421 Nmeros imaginariosDefinicin

Un nmero que cuando se eleva al cuadrado (se multiplica por s mismo) da un resultado negativo.IntentosVamos a probar a elevar algunos nmeros al cuadrado a ver si podemos sacar un resultado negativo:2 2 = 4

(-2) (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0 0 = 0

0.1 0.1 = 0.01No hay suerte! Siempre positivo, o cero.Eso es porque estamos calculando el cuadrado de nmeros reales.Pero imagina que hay un nmero (vamos a llamarlo i de imaginario) que cumpliera esto: i i = -1

Sera til, qu podramos hacer con l? Bueno, haciendo la raz cuadrada de los dos lados tendramos un valor para la raz cuadrada de -1:

Y eso es muy til... simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raz cuadrada de un nmero negativo.Ejemplo: cul es la raz cuadrada de -9?

Respuesta: (-9) = (9 -1) = (9) (-1) = 3 (-1) = 3i Mientras tengamos esa pequea "i" ah para recordarnos que hay que multiplicar por -1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solucin.Los nmeros complejos tienen la capacidad de representar todas las races de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada nmero i, que verifica la propiedad:

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos nmeros, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Representacin binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + ib

a es la parte real del nmero complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa as: a = Re (z) b = Im (z) Nmeros ComplejosPlano de los nmeros complejos

Desde un punto de vista geomtrico la recta real (recta que representa el total de nmeros reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los nmeros complejos.

Cada nmero complejo sera un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de nmeros reales (a, b) (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los nmeros complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o ms apropiadamente por el carcter unicode ). Si identificamos el nmero real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los nmeros reales R aparece como un subcuerpo de C. Ms an, C forma un espacio vectorial de dimensin 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los nmeros reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado. Dados dos nmeros complejos a + bi y c + di se definen su suma como:(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)iPropiedades de la Suma de Nmeros ComplejosLa suma de nmeros complejos tiene las siguientes propiedades: ConmutativaDados dos nmeros complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )Ejemplo:(2 3i ) + (3 + i ) = (2 3) + i (3 + 1) = 1 2i(3 + i ) + (2 3i ) = (3 + 2) + i (1 3) = 1 2i AsociativaDados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]Ejemplo:[(5 + 2i ) + (3 4i )] + (9 + 8i ) = (8 2i ) + (9 + 8i ) = 1 + 6i(5 + 2i ) + [(3 4i ) + (9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (6 + 4i ) = 1 + 6i Elemento neutroEl elemento neutro es 0 + 0i , puesto que(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + biEl nmero 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama cero. Elemento simtricoEl elemento simtrico de un nmero complejo cualquiera a + bi es ( a bi ):(a + bi ) + (a bi) = 0 + 0i = 0Ejemplo:El simtrico de 2 3i es 2 + 3i pues (2 3i ) + (2 + 3i ) = 0Suma de Nmeros ComplejosSuma y resta de nmeros complejos.1. ( 3+5i ) ( 53i ) = 2+8i2. ( 9+7i ) ( 9+7i )+( 18+i ) = ( 9+918 )+( 77+1 )i = iMultiplicacin de nmeros complejos.2 21. ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2i ) = 15+9i+63i+25i+15i +10i5t = 34+64i2 22. ( 32i ) ( 2+i ) ( 1i ) = ( 6+3i4i2i ) ( 1i ) = ( 8i ) = 88ii+i = 79iDivisin de nmeros complejos.21. 3 i ( 3 i ) ( 3 2i ) 9 6i 3i + 2i 7 9i 7 9i 7 9i3 +2i ( 3 + 2i ) ( 3 2i ) 9 + 4 9 + 4 13 13 132 22. ( 3 + 4i ) ( 1 2i ) 3 6i + 4i 8i ( 11 2i ) ( 1 i ) 11 11i 2i + 2i 1 + i 1 + i ( 1 + i ) ( 1 + i ) 1 + i 9 13i 9 13i 2 2 212Operaciones fundamentales con nmeros complejos. EjemplosGracias por suAtencin