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  • Apuntes de Organizacion Industrial:Estrategias con Poder de Mercado

    Gonzalo Islas RojasUniversidad Adolfo Ibanez***

    2011

    1. Introduccion

    En nuestra discusion sobre el analisis de excedentes en monopolio de-scubrimos que, en el caso de la solucion de monopolio simple, la empresamonopolica deja beneficios sobre la mesa: No extrae todo el excedente delconsumidor y deja de vender unidades para las cuales la disposicion a pagares mayor que el costo de producirlas.

    En esta nota discutiremos una serie de practicas comerciales que unaempresa con poder de mercado puede implementar a fin de aumentar susbeneficios. Si bien nuestra discusion (y los ejercicios que presentaremos alo largo de ella) se basara en el caso de una empresa monopolica, lo cier-to es que todas las estrategias y practicas que presentaremos pueden serimplementadas por cualquier empresa que tenga un cierto grado de poderde mercado. Por ejemplo, un local de comida rapida no es un monopolio,pero si tiene un cierto poder de mercado sobre los consumidores que ya en-traron al local; otros factores que generan poder de mercado son la lealtadde marca, los costos de cambio y los costos de busqueda.

    Nuestra discusion se centrara en dos grandes temas: primero revisare-mos como por la va de la discriminacion de precios el monopolio puede

    *Version 1.3. Material de clase preparado por el profesor Gonzalo Islas para uso enclases de organizacion industrial, Universidad Adolfo Ibanez

    **Contacto:gonzalo.islas@uai.cl

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  • aumentar sus beneficios, y luego examinaremos el rol que cumple la difer-enciacion de producto, tanto vertical (un mismo producto con distintosniveles de calidad), como horizontal (uso de distintas marcas o variedadesde un mismo producto).

    2. Discriminacion de Precios

    Todos los das nos encontramos con situaciones donde los consumidorespagan precios distintos por el mismo bien (o aproximadamente el mismobien). La practica de fijar un precio distinto por el mismo bien, ya sea que elprecio dependa de la cantidad comprada, el tipo de comprador o las clausulasde venta se conoce como discriminacion de precios.

    2.1. Discriminacion de Precios y Arbitraje

    La teora economica nos ensena que en un mercado en competencia per-fecta debe prevalecer un solo precio. Si existen dos precios distintos, entoncesun agente podra obtener beneficios comprando al precio mas bajo y vendi-endo al precio mas alto, lo que se conoce como arbitraje. Luego, para quesea posible la discriminacion es necesario que no sea posible la realizacionde arbitraje.

    Podemos distinguir dos tipos de arbitraje:

    1. Arbitraje de reventa: Aquel que se produce cuando el consumidor quecompra a un precio bajo es capaz de revender el bien a los consumi-dores que pagan un precio mayor. Entre los factores que dificultan elarbitraje estan:

    Costos de Transaccion: En algunos casos (servicios como tratamien-to medico, viajes, electricidad, etc.) la reventa resulta ser imposi-ble, en otros casos los beneficios del arbitraje no superan los costos(reventa de rollos de papel higienico o six pack de cervezas), enotros casos la reventa puede ser ilegal (pasajes de lneas areas)

    Asimetras de informacion: En la medida de que los consumidoresno tengan toda la informacion referente a precios, el arbitraje sehace mas difcil (el costo de busqueda supera a los beneficios delarbitraje)

    En la medida que la globalizacion de la economa aumenta, y los cos-tos de transporte y de acceso a la informacion disminuyen, el arbitraje

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  • de reventa ha dado lugar a lo que se conoce como el problema delos mercados grises (por ejemplo, la importacion directa de productoselectronicos desde aquellos pases donde el precio es menor o los viajesde residentes de EE.UU a Mexico y Canada para comprar medicamen-tos).

    Que soluciones se pueden implementar frente a este problema?:

    Uso de garantas

    Diferenciar productos entre pases (uso de zonas en el caso de losDVD)

    Limitar el alcance de la discriminacion (es decir, reducir los difer-enciales de precios a fin de reducir el beneficio del arbitraje)

    Restricciones legales

    2. Transferencia de Demanda: El consumidor en muchos casos debe elegirentre las diferentes opciones elegidas (comprar una unidad a un preciox o dos unidades a un precio y, o elegir entre primera y segunda clase),el vendedor disena la combinacion de opciones con el objetivo de ex-traer a cada consumidor la maxima disposicion a pagar posible, pero,en ausencia de informacion completa, debe asegurarse que cada con-sumidor elija el paquete destinado para el y no el disenado para otros,esto es, que el pasajero esta dispuesto a pagar por ir en primera claseno decida viajar en segunda dado que el beneficio del ahorro es mayorque la perdida de calidad, el discriminador de precios enfrenta, por lotanto, una restriccion de compatibilidad de incentivos al momento dedisenar sus productos.

    2.2. Condiciones que Definen la Discriminacion.

    En nuestra definicion de discriminacion senalamos precios distintos porun mismo bien, pero, Es un automovil BMW el mismo producto enEE.UU. que en Alemania? Que ocurre, por ejemplo, con el caso de lasmuestras gratis? Paredes y Tarzijan (2002)1 definen una serie de condicionesque determinan la existencia de discriminacion de precios:

    Poder de Mercado.

    No existencia de arbitraje.

    1Paredes y Tarzijan, Organizacion Industrial para la Estrategia Empresarial, PrenticeHall, 2002

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  • Precios aplicados distintos al costo con el objetivo de incrementar ben-eficios.

    Incremento de beneficios realizado a costa de una perdida de excedentedel consumidor.

    2.3. Tipos de Discriminacion

    A partir de Pigou (1920) se acostumbra a distinguir tres tipos de dis-criminacion de precios:

    2.3.1. Primer Grado (Tipo 1)

    Se conoce tambien como Discriminacion perfecta, y consiste en elcaso donde el productor captura todo el excedente del consumidor. Paraello, se requiere tener informacion completa acerca de la disposicion a pagarde cada cliente, por ello, en general constituye un objeto de analisis teoricomas que de aplicacion practica. No obstante, es posible encontrar algunoscasos donde el resultado se acerca al de una discriminacion tipo 1:

    Clientes industriales: Boeing y Lneas Aereas, para ello se requiere unaposicion monopolica por parte del productor.

    Talleres automotrices; gasfiter (cobro de acuerdo a la percepcion de lasituacion economica del cliente)

    Bancos y cobro de interes de acuerdo al historial de credito del deudor.

    Remates

    2.3.2. Segundo Grado (Tipo 2)

    Es aquella que extrae excedente del consumidor por medio de mecan-ismos de autoseleccion. Esto es aun cuando no pueda observar las carac-tersticas de cada comprador, es posible lograr que estos revelen informa-cion acerca de su valoracion del bien a traves del producto que seleccionan.Por ejemplo, las companas de telefona celular ofrecen distintos planes ylos consumidores se autoseleccionan al elegir uno de ellos En las sigu-iente secciones estudiaremos en mas detalle tecnicas de discriminacion tipo2: Precios no lineales, diferenciacion vertical de producto y bundling.

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  • 2.3.3. Tercer grado (Tipo 3)

    Es aquella que se produce cuando el productor observa una senal o car-acterstica del consumidor, y cobra precios distintos de acuerdo a tales car-actersticas: edad (precios especiales para tercera edad); sexo (discoteques);idioma (taxistas); afiliacion o pertenencia a un grupo (estudiantes). La dis-criminacion de tercer grado se basa en una conjetura acerca de la valoracionde cada grupo en particular. El vendedor conjetura que, en promedio, uncierto grupo esta dispuesto a pagar mas por el bien y le cobra un preciomayor a ese grupo.

    Un ejemplo tradicional de discriminacion tipo 3 es el que correspondea lo que se denomina habitualmente como segmentacion espacial o discrim-inacion geografica. En este caso la conjetura esta en que la ubicacion decompra revela la disposicion a pagar (entre zonas de una ciudad, entre ciu-dades o entre pases), por ejemplo, las tiendas de abarrotes en Renaca cobranun sobreprecio en relacion a los almacenes de Vina del Mar o Recreo.

    El siguiente ejemplo nos muestra los principios basicos de la discrimi-nacion tipo 3.

    Ejemplo 1 Suponga un monopolista que vende en 2 mercados distintos,cuyas curvas de demanda vienen dadas por P1 = 10 Q1 y P2 = 20 Q2,respectivamente. Si la curva de costo total viene dada por CT = 5 + 2Q,calcule:

    1. Que ocurre en el caso en que el monopolista no puede discriminar?.

    2. Si puede discriminar: Que cantidad debe producir y cuanto vendera encada mercado?, Que precio cobra en cada mercado?

    SolucionPara resolver el caso donde no se puede discriminar, tenemos que sumar

    horizontalmente las demandas de ambos mercados para obtener la demandade mercado:

    Q1 = 10 P1Q2 = 20 P2QM = 30 2PP = 15 QM/2

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  • Luego, resolvemos la maximizacion de beneficios del monopolio:

    Max = (15 Q/2)Q (5 + 2Q)

    Q= 15 Q 2 = 0

    Q = 13P = 8,5

    Dado este precio, el consumo en el mercado 1 alcanza a 1.5 unidades,mientras que el consumo en el mercado 2 alcanza a 11.5 unidades. El ben-eficio total alcanza a pi = 13 8,5 5 2 13 = 79,5.

    Todava no hemos terminado, debemos comparar este resultado con elcaso donde el monopolio decide simplemente abandonar el mercado de bajademanda y concentrarse solo en el mercado de alta demanda, en tal caso elproblema a resolver es:

    Max = (20 Q1)Q1 (5 + 2Q1)

    Q1= 20 2Q2 2 = 0

    Q2 = 9

    P2 = 11

    Los beneficios totales alcanzan a pi = 11 9 5 2 11 = 72. En estecaso, si no se puede discriminar, es mejor vender en ambos mercados.

    En la segunda parte, resolvemos 2 mercados por separado, para ambospor lo tanto, obtenemos la solucion de monopolio resolviendo:

    Mercado 1

    Max = (10 Q1)Q1 (5 + 2Q1)

    Q1= 10 2Q1 2 = 0

    Q1 = 4

    P1 = 6

    Mercado 2

    Max = (20 Q1)Q1 (5 + 2Q1)

    Q1= 20 2Q2 2 = 0

    Q2 = 9

    P2 = 11

    6

  • Los beneficios totales alcanzan a: pi = 46+9115213 = 88. Estoes, el monopolista puede aumentar sus beneficios por la va de discriminarprecios.

    Anteriormente mostramos que el optimo del monopolio puede ser ex-presado en terminos de la elasticidad de demanda: Img = P (1 1e ) dondee es la elasticidad de demanda. La misma regla puede ser extendida a unmonopolista que vende en multiples mercados:

    Img1 = P1(1 +1

    e1) = Img2 = P2(1 +

    1

    e2)

    Esta ecuacion nos muestra que las diferencias de precios en distintos mer-cados dependeran de la magnitud en las diferencias de las elasticidades dedemanda en distintos mercados.

    2.3.4. Discriminacion Tipo 3 y Bienestar Social

    Que ocurre con el bienestar social al existir discriminacion tipo 3?Notar que, comparado con el caso con el caso sin discriminacion, el mo-

    nopolio discriminador tipo 3, genera grupos de consumidores favorecidos yperjudicados con la discriminacion: Que efecto predomina?. Se puede de-mostrar que, cuando un monopolio elige producir en los 2 mercados tanto enel escenario con o sin discriminacion, el resultado final es un aumento de laperdida social en el caso de la discriminacion de precios. Lo anterior, debidoa que la perdida de excedente del grupo de mayor demanda es mayor que elbeneficio adicional que reciben tanto el monopolista como los consumidoresdel mercado de menor intensidad de demanda.

    Un caso particular es el que se produce cuando el monopolio no dis-criminador elige no producir en un mercado determinado. En este caso, ladiscriminacion de precios si produce un impacto positivo en el bienestar.

    2.4. Precios no Lineales

    Habitualmente cuando pensamos en precios y cantidades lo hacemosimaginando una relacion lineal: El precio unitario es el mismo independientede las cantidades compradas. Sin embargo, en un gran numero de casos losconsumidores se enfrentan a relaciones no lineales:

    Descuentos por volumen

    Distintos envases (el precio por litro de bebida es menor en un envasede 3 litros que en uno de litro y medio

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  • Tarifa en 2 partes

    Los precios no lineales son un ejemplo de discriminacion tipo 2. En efec-to, se ofrece un menu de opciones al consumidor y este se autoseleccionaeligiendo una de ellas. La clave, desde la perspectiva del vendedor, es comodisenar un menu de opciones que sea consistente con el objetivo de max-imizar beneficios. Para discutir en mas detalle el problema de diseno, noscentraremos en el caso de la tarifa en 2 partes, que se discute a continuacion.

    2.4.1. Tarifa en 2 Partes

    La tarifa en dos partes consiste en dos cargos separados para consumirun solo producto. Una tarifa en dos partes consiste en un cargo fijo L, quecada consumidor debe pagar independiente de la cantidad consumida y uncargo variable P , proporcional a la cantidad consumida. Algunos ejemplosde tarifa en 2 partes:

    Parque de diversiones

    Arriendo de automoviles

    Clubes deportivos

    Telefona

    2.4.2. Tarifa en 2 Partes con un Tipo de Consumidor

    Supongamos que todos los consumidores tienen la misma funcion dedemanda.

    pM : Precio optimo con tarifa lineal

    B + C: Excedente no capturado

    B: Excedente del consumidor

    C: Perdida social

    En la figura se aprecia como el uso de una tarifa lineal (monopolio simple)deja una importante proporcion de excedente del consumidor no capturado.

    El uso de una tarifa en 2 partes permite replicar los resultados de laperfecta discriminacion de precios.De que forma? Simplemente cobrando unprecio igual al costo marginal (lo que induce un nivel de consumo optimo porparte de los consumidores y extrayendo el excedente por la va de un cargofijo: un derecho a consumir, equivalente, en este caso, al area A+B + C.)

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  • 2.4.3. Tarifa en 2 Partes con 2 Tipos de Consumidores.

    Ahora analizamos el caso mas interesante, que es cuando el sistema detarifa en 2 partes se utiliza como metodo para diferenciar entre consum-idores. Supongamos que hay dos tipos de consumidores, tipo 1 y tipo 2,donde los consumidores tipo 2 son usuarios intensivos y, por lo tanto, tienenuna disposicion a pagar mayor, lo que se aprecia en la siguiente figura.

    El vendedor no puede identificar consumidores, pero puede ofrecer dosopciones de tarifa en dos partes, Que ocurre si ofrece el siguiente plan deprecios?:

    Plan 1: Precio Unitario=Cmg, Cargo Fijo=EC1

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  • Plan 2: Precio Unitario=Cmg, Cargo Fijo=EC2

    Este menu de planes no funciona: ambos tipos de consumidores eligenel plan 1. Si el vendedor quiere separar los consumidores entre planes debetomar en consideracion que los consumidores tipo 2 tienen incentivos enadoptar el plan 1 (ademas del problema que implica que un grupo decidaexcluirse del mercado). En terminos economicos, el vendedor enfrenta dosrestricciones:

    Compatibilidad de incentivos: El consumidor tipo 1 prefiere el plan 1al plan 2 y viceversa

    Participacion: Tanto el consumidor tipo 1 como el tipo 2 consumen

    El siguiente ejemplo muestra como se resuelve el problema de la tarifaen 2 partes con 2 tipos de consumidores.

    Ejemplo 2 Como el dueno del unico club de tenis de la ciudad debes decidirel precio de la cuota de incorporacion y el costo de la cancha. Hay 2 tiposde jugadores: serios, cuya demanda es Q1 = 10 P1 donde Q1 es las horaspor semana y jugadores ocasionales, cuya demanda es Q2 = 8P2. Hay 10jugadores de cada tipo. Los costos fijos son $400 por semana. No hay formade identificar a cada tipo de jugador.

    Suponga que desea limitar la participacion en el club solo a jugadoresserios. Cual es el costo de inscripcion y el precio por hora optimo?

    Compare la opcion anterior con el caso donde se incentiva la inscrip-cion de los dos tipos de jugadores (utilizando solo una tarifa)

    Suponga que se ofrecen 2 tarifas: Encuentre el menu de tarifas optimo

    Solucion: parte aDefinimos P como el precio unitario y L como el cargo fijo. Si solo con-

    sideramos alta demanda, para un precio P el cargo fijo corresponde a:

    L = EC1 = (10 P )2/2La funcion de beneficios es la siguiente:

    pi = 10(P cmg)(10 P ) + 10(10 P )2/2El razonamiento para obtener la funcion de beneficios es el siguiente:

    Los beneficios corresponden a la suma del margen unitario (P-Cmg) por las

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  • unidades consumidas (Que estan dadas por la funcion de demanda Q=10-P), mas el cargo fijo, y todo multiplicado por el numero de consumidores(10). El cargo fijo corresponde al excedente del consumidor (10 P )2/2.Dado que hemos expresado los beneficios en funcion de P, podemos encontrarfacilmente las condiciones de primer orden.

    dpi/dP = 10((10 P ) P ) + 10(P 10)P = 0

    Hemos encontrado un resultado ya conocido: con un solo tipo de con-sumidor el optimo es precio igual a costo marginal. Para calcular el cargofijo tenemos que computar el excedente del consumidor:

    L = 1/2(10 0)2 = 50El optimo es P=0 and L=50. Finalmente, podemos calcular los benefi-

    cios: pi = 10 50 400 = 100. (Recordar que hay costos fijos iguales a400)

    Solucion: parte bSi se desea vender a ambos grupos de consumidores el cargo fijo cor-

    responde al excedente del consumidor de baja demanda (Si fuera mayor,estos consumidores no compraran). Los beneficios obtenidos correspondenal margen unitario (precio - costo) multiplicado por la cantidad vendida (quese obtiene a traves de la demanda de mercado) mas el excedente del consum-idor.

    La demanda de mercado corresponde a la suma de las demandas indi-viduales: Qm = 10(10 P ) + 10(8 P ) (recuerda que hay 10 consumidoresde cada tipo) Q = 180 20P .

    El excedente del consumidor corresponde a: (1/2)(8 P )2 (dado quetenemos que asegurar que los consumidores tipo 2 participen). Luego, losbeneficios en funcion de P resultan ser:

    Maxpi = (20)(1/2)(8 P )2 + (P 2)(180 20P ).Luego, tomamos la derivada con respecto a P, la igualamos a cero y

    resolvemos para P:

    dp/dP = (20)(P 8) 20(P 2) + (180 20P ) = 0P = 1

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  • Finalmente encontramos el cargo fijo:

    L = 1/2(8 P )2 = 1/2(8 1)2 = 24, 5

    Los beneficios son pi = 250.Solucion parte cAhora el problema es mas complicado, toda vez que tenemos que incluir

    ambos grupos.En terminos formales el problema a resolver es:

    maxpi : 10L1 + 10L2 + 10(10 P1)(P1 cmg) + 10(8 P2)(P2 cmg)

    Sujeto a:

    L1 = 1/2(10 P1)2L2 = 1/2(8 P2)2

    1/2(10 P1)2 L1 = 1/2(10 P2)2 L21/2(8 P2)2 L2 = 1/2(8 P1)2 L1

    En palabras: el beneficio consiste en la suma de los cargos fijos y el mar-gen unitario por cada grupo de consumidores. El problema esta sujeto a 4restricciones: las 2 primeras son las restricciones de participacion (esto es,que el cargo fijo cobrado para cada tipo tiene que ser menor o igual al exce-dente del consumidor) y las 2 ultimas son las restricciones de compatibilidadde incentivos: que para cada tipo de consumidor sea efectivamente mas con-veniente elegir la tarifa disenada para el. Este problema puede ser resueltopor medio de tecnicas de optimizacion restringida.

    Para simplificar el problema vamos a utilizar un resultado ya conocido:para el grupo de alta valoracion el precio es igual al costo marginal, esto esP1 = 0.

    Notar que dado que nos interesa maximizar beneficios, L2 debe ser lomas alto posible, esto es L2 = 1/2(8 P2)2

    Reemplazando, La funcion de beneficios resulta ser:

    maxpi = 10L1 + 10(8 P2)2/2 + 10(8 P2)(P2)

    Para obtener L1 recurrimos a la restriccion de Compatibilidad de incen-tivos para el tipo1. Reemplazando L2 obtenemos:

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  • L1 = (8 P2)2/2 + (10 P1)2/2 (10 P2)2/2L1 = (8 P2)2/2 + 50 (10 P2)2/2

    Y ahora tenemos un problema de maximizacion de solo 1 variable:

    maxpi = 10((8P2)2/2+50 (10P2)2/2)+10(8P2)2/2+10(8P2)(P2)

    Resolviendo para P2, tenemos:

    dpi/dP2 = 50 (8 P2) + (10 P2) (8 P2) + 8 2P2P2 = 2

    Reemplazando P2 en el resto de las ecuaciones tenemos:

    L1 = 36

    P1 = 0

    L2 = 18

    P2 = 2

    2.5. Venta Atada-Tying

    La venta atada consiste en condicionar la venta de un bien a la comprade otro. El ejemplo clasico corresponde a la empresa IBM que arrendaba lastarjetas de tabulacion utilizadas en computadoras antes de la era de la com-putadora personal. Ejemplos recientes de la misma practica los encontramosen la relacion de precios existente entre impresoras y cartridge de tinta yen los sistemas de video-juegos (Nintendo, Playstation). La venta atada esfrecuente en el area tecnologica y en el caso de las industrias que utilizanel mecanismo de franquicia (los franquiciados Mc-Donalds estan obligadosa comprar insumos en Mc-Donalds). Otro ejemplo de venta atada se da enel caso de los servicios post-venta.

    Para que resulte exitosa la estrategia de ventas atadas se requiere de:

    Bienes complementarios y que el uso del bien complementario (catridgesde tinta, juegos, repuestos de maquina de afeitar) este relacionadocon la valoracion del bien principal (impresora, consola, maquina de

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  • afeitar): Esto es, que la intensidad de consumo del bien complemen-tario este directamente relacionado con la disposicion a pagar por elbien principal

    Posibilidad de bloqueo: En efecto, el exito de la estrategia se basa enque el fabricante del bien principal pueda de alguna forma obligara los consumidores a comprar el bien complementario que provee elpropio fabricante y no copias provenientes de otras fuentes

    Cabe destacar que, en el fondo, la venta atada no es mas que una apli-cacion del principio de maximizacion de beneficios por parte de un monopoliomultiproducto, el cual fue estudiado en el apunte de clase Monopolio. Ental caso, vimos como un monopolista que vende bienes complementariostiene incentivos para reducir el precio de un bien (incluso por debajo de sucosto de produccion) a fin de incrementar la demanda por el otro bien. Loanterior queda mas claro en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 3 Suponga que la demanda por impresoras esta dividida en 2 gru-pos: Usuarios intensivos, cuya disposicion maxima a pagar es $100.000 yusan 60 toner durante la vida util de la impresora y usuarios ocasionales,que ocupan 20 toner durante la vida util de la impresora y cuya disposiciona pagar es $40.000. El costo marginal por impresora es $15.000 y de cadatoner es $0. Encuentre la solucion optima del mecanismo de venta atada

    SolucionDebemos determinar un precio de impresora (PI) y un precio de toner

    (PT ) que cumplan con las siguientes condiciones:

    PI + 60PT = 100000

    PI + 20PT = 40000

    Esto es, determinar un precio para la impresora y toner tal que se extraetodo el excedente a ambos tipos de consumidores. Resolviendo el sistema deecuaciones se tiene PT = 1500, PI = 10000.

    Notar que en, en este caso, en la determinacion de los precios no influyeel costo de produccion de las impresoras y el toner. De hecho, la solucionoptima implica vender las impresoras a un precio menor al costo marginal(Esta practica es frecuente en el caso de las consolas de videojuegos).

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  • 2.5.1. Venta Atada y Poltica Antimonopolio

    La venta atada ha estado bajo la observacion de las autoridades anti-monopolio. La razon? Por la va de la venta atada una empresa con podermonopolico puede extender su dominio a otros mercados, o generar barrerasde entrada a nuevos competidores.

    Un ejemplo de lo anterior se da en el caso Kodak v/s proveedores deservicio, analizado por la Corte Suprema de EE.UU en 1998. En este caso,Kodak decidio atar la venta de repuestos de maquinas fotocopiadoras a laobligacion de contratar el servicio tecnico, con lo cual generaba barreras deentrada a nuevos competidores en el mercado del servicio tecnico, debido aque Kodak era el unico proveedor de los repuestos.2

    En este caso, la Corte Suprema de EE.UU le dio la razon a los provee-dores de servicio, bajo el argumento que, dado que las maquinas fotocopi-adoras son un bien durable, una vez adquiridas, Kodak pasa a tener poderde mercado sobre su base de consumidores (Ver apunte de clase 1). Otro el-emento importante en este caso es que Kodak modifico su poltica comercialen forma posterior a que los compradores decidieran adquirir sus equipos(A diferencia de un contrato de franquicia, donde las obligaciones de quienadquiere la franquicia son conocidas al momento de firmar el contrato).

    2.6. Bundling

    La segmentacion por paquete es una estrategia comun para discriminarentre consumidores. En cierta forma, el bundling es una venta atada enproporciones fijas. Podemos distinguir dos tipos de bundling:

    Bundling puro (venta en bloque): consumidores estan obligados a com-prar el paquete, no se venden los productos por separado.

    Bundling mixto: consumidores tienen la opcion de comprar el paquetey partes por separado. Por ejemplo: viaje en tren (ida o ida y vuelta),comida rapida (productos por separado o en formato combo)

    El bundling es particularmente util cuando existe una alta dispersionen las valoraciones de los componentes individuales, pero menor dispersionen la valoracion del conjunto (es decir, una correlacion negativa entre lavaloracion de los distintos componentes del bundling).

    2Eastman Kodak Co. v. Image Technical Servs., Inc., 504 U.S. 451, 46162 (1992)

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  • Ejemplo 4 La siguiente tabla muestra la valoracion de Word y Excel de3 grupos de consumidores. Cual es el precio optimo si se venden ambosprogramas por separado? Si se venden como bundling puro? Si se vendencomo bundling mixto? (Asuma que el costo de produccion es igual a cero

    N Word excelA (Abogados) 20 50 0B (Ingenieros) 20 0 50C (Generalistas) 60 30 30

    SolucionEn el caso de que cada programa se vende por separado, tenemos (tanto

    para el caso de Excel como Word) 2 opciones: (1) Vender el programa a $30y capturar 80 consumidores por producto o (2) vender a $50 y capturar 20consumidores por producto. La alternativa 1 supera a la alternativa 2 y elbeneficio total alcanza a 2*80*$30=$4800.

    En el caso del bundling puro podemos vender el paquete completo (Of-fice) a todos los consumidores a un precio igual a $50., el beneficio total es:100*$50=$5000.

    En el caso del bundling mixto podemos vender el paquete completo a unprecio igual a $60 a los usuarios generalistas y cada componente por separadoa un precio igual a $50 (propuesto: chequear que se cumple la condicion decompatibilidad de incentivos). El beneficio es: 60*$60+40*$50=$5600

    El bundling es una especie de descuento selectivo. El generalista ve elbundling como un descuento en la compra de excel. El bundling mixto esuna mejora del bundling puro en el sentido de que reconoce que el costo deincluir a A y B en la promocion es muy alto.

    2.6.1. Bundling y Competencia

    En los ultimos anos, se ha reconocido que el bundling puede ser utiliza-do como una herramienta predatoria y/o destinada a la creacion de bar-reras de entrada. Particular importancia recibe el denominado foreclosurebundling: la capacidad de una empresa dominante en un mercado de exten-der su posicion de dominio a otro por la va del bundling. Para entender laintuicion basica de por que el bundling puede tener efectos anticompetitivosen un segundo mercado donde el incumbente tiene una posicion competititi-va mas debil, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos la existencia de una

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  • Producto X (Monopolio) Producto Z (competencia)

    Costo $10 $10Valoracion consumidor $20 $15

    empresa monopolista en el mercado X (cuyo producto no puede ser imitado,es decir no es replicable), pero que enfrenta competencia en el mercado Z.El costo de produccion de ambos productos es igual a $10, tanto para elmonopolio como para sus competidores. Si el monopolista decidiera comer-cializar en forma conjunta los bienes X y Z a un precio de $29, la empresacompetidora en el mercado Z sera expulsada del mercado (alternativamenteun nuevo desafiante en Z, preferira no entrar). En efecto, el precio imperanteen el mercado competitivo debe ser igual al costo marginal de produccion($10). Cualquier precio por debajo acarreara perdidas economicas para lasempresas de ese mercado.

    A primera vista, dicha estrategia no parece tener demasiado sentido.En efecto el monopolista del mercado X podra obtener un ingreso totaligual a $30 si vendiera el producto X al precio monopolico y el bien Z alprecio competitivo prevaleciente en ese mercado. Notar sin embargo que estaobjecion solo es valida en una perspectiva estatica y donde no existen costosde transaccion para los nuevos entrantes. Desde una perspectiva dinamica,una vez que el monopolista logra expulsar a sus competidores del mercado Z(o imponer una amenaza creble que restrinja la entrada), este podra cobrarprecios monopolicos en ambos mercados, obteniendo un ingreso total de $35.Lo que el monopolista esta en definitiva haciendo, es utilizar sus actualesrentas monopolicas en un mercado para comprar poder monopolico en otro.3.

    2.7. Revenue Management

    Las tecnicas modernas de la Gestion de Rendimiento o Revenue Man-agement comenzaron a aplicarse en el mercado de lneas aereas a fines de losanos setenta, cuando la desregulacion de las tarifas y la entrada de nuevoscompetidores a la industria incremento la presion para aumentar ingresosen las aerolneas. No paso mucho tiempo para que las tecnicas de RevenueManagement fueran aplicadas en otras industrias, principalmente en el areade servicios: primero en hoteles y arriendo de automoviles y luego en sectorestan diversos como la venta de tandas publicitarias en television.

    Una de las definiciones mas utilizadas de Revenue Management es la

    3Economides y Lianos The Elusive Antitrust Standard on Bundling in Europe and inthe United States at the Aftermath of the Microsoft Cases, NIT Institute, 2007

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  • siguiente: Vender el producto correcto, al precio correcto, al cliente ade-cuado y en el momento oportuno

    Kimes y Chase (1998) definen Revenue Management como la aplicacionde un sistema de informacion y estrategias de precios, para determinar lacantidad correcta de capacidad a ofrecer al cliente correcto en el lugar cor-recto y en el momento justo. En la practica, supone la determinacion deprecios conforme a las previsiones de demanda de tal forma que los clientessensibles al precio, que estan dispuestos a comprar fuera de los perodos picode demanda lo podran hacer, mientras que los clientes insensibles al precio,que quieren comprar en los perodos pico, tambien lo podran hacer

    2.7.1. Condiciones para la Aplicacion de Revenue Management

    La literatura especializada identifica las siguientes condiciones para iden-tificar industrias donde la aplicacion de Revenue Management puede resultarrentable

    Capacidad de Produccion Fija: Dado que uno de los objetivos delrevenue management es la asignacion eficiente de una capacidad fija,resulta mas apropiado en empresas o industrias que no pueden adap-tar rapidamente su capacidad a las fluctuaciones de la demanda. Porejemplo, si todas las piezas de un hotel estan ocupadas, es sumamentedifcil adicionar otra pieza, lo mismo ocurre una vez que todos losasientos de un avion han sido ocupados. Dado este caracter inflexi-ble de la capacidad, el fin sera gestionar la misma de la mejor formaposible.

    Habilidad para segmentar mercados: Para que el revenue managementsea efectivo, la empresa debe segmentar su mercado en distintos gru-pos. Por ejemplo, las aerolneas distinguen entre distintos tipos declientes poniendo distintos tipos de restricciones a las tarifas (per-manecer el da sabado). La empresa debe conocer cuales consumi-dores son mas o menos sensibles y debe desarrollar distintas estrate-gias para cada segmento. Por ejemplo, en la industria hotelera, en elcaso de los viajeros de ocio, las habitaciones con precios mas bajossuelen ser reservadas con anticipacion a la fecha de alojamiento. Encambio, los clientes de negocios, dado el motivo de su viaje, suelenregistrarse momentos antes al alojamiento siendo insensibles al preciode la habitacion.

    Inventario Perecible: Uno de los factores crticos que distinguen a lasempresas de servicios es que el inventario es perecible. Asientos no

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  • vendidos en un avion, autos no arrendados, habitaciones no ocupadasen un hotel son equivalentes a inventario danado o perdido. Si unaempresa puede minimizar sus perdidas de inventario operara en formamucho mas eficiente.

    Ventas adelantadas: Una de las herramientas de administracion de ca-pacidad que las empresas de servicio utilizan frecuentemente es unsistema de reservas que permita la venta adelantada de sus servicios.Los sistemas de reservas proveen a la empresa con informacion y unamedida de seguridad acerca del uso futuro del servicio, pero tambiengeneran incertidumbre: Se debe decidir entre aceptar una reserva an-ticipada a bajo precio o esperar si consumidores con mayor disposiciona pagar aparezcan despues. Un buen sistema de revenue managementsirve para enfrentar esta situacion.

    Demanda Fluctuante: Muchas empresas en el area de servicios en-frentan demandas altamente erraticas, los administradores deben de-sarrollar metodos para lidiar con esta incertidumbre. Revenue man-agement puede ser usado para enfrentar las fluctuaciones demanda,incrementando las tasas de utilizacion cuando la demanda es baja pormedio de reducciones de precios. Si la administracion conoce cuandose producen los peaks de demanda, puede planificar de mejor forma.

    Costos marginales bajos: Para que un sistema de revenue managementsea efectivo, el costo marginal de vender una unidad adicional debe serbajo.

    Ejemplo 5 Suponga un hotel que tiene 100 habitaciones y que la tasa deocupacion promedio alcanza a solo un 50 %. Los actuales clientes pagan unatarifa no-diferenciada de US$150 por noche. Estos se dividen a su vez endos grupos: los que no pueden planificar con anticipacion su estada en elhotel y llegan sin aviso previo (clientes tipo A) y los que siempre solicitanreservas con dos semanas de anticipacion (clientes tipo B). Estudios realiza-dos indican que el hotel tiene un tercer tipo de clientes potenciales (clientestipo C) que tambien solicitan reservas con dos semanas de anticipacion, peroque estan dispuestos a pagar solo US$125 por noche. De aplicarse una tar-ifa de US$125 por noche, con la exigencia de reservar con dos semanas deanticipacion, el hotel alcanza una tasa de ocupacion de 100 % (se llena conclientes tipo B y C). Los clientes tipo B y C si no se les confirma la reservacon dos semanas de anticipacion se pierden. Los clientes tipo A que pueden

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  • llegar al hotel, sin aviso previo, pueden ser 20 o 30 por da, con igual proba-bilidad. Suponiendo que el hotel persigue maximizar sus beneficios netos, quelos distintos tipos de clientes pasan solamente una noche en el hotel y queel hotel tiene solo costos fijos (costo marginal de alojar un cliente adicional,en el rango de 0 a 100, es cero), explique la poltica de precios que Ud. pro-pondra para este hotel incluyendo el numero de habitaciones que reservaradiariamente para los clientes tipo A.

    SolucionConsideremos 3 alternativas:

    100 habitaciones disponibles a precio $125: $12.500

    70 habitaciones disponibles a precio 125 y 30 habitaciones disponiblespara clientes tardos (tipo A): 70*$125+1/2*30*$150 + 12*20*$150=$12.500

    80 habitaciones disponibles a precio 125 y 20 habitaciones disponiblespara clientes tardos (tipo A): 80*$125+20*$150= $13.000

    Luego la estrategia optima esta dada por c) El ejemplo muestra la importan-cia de los sistemas de informacion: nuestra solucion sera tan buena comobuena sea nuestra estimacion de la cantidad de cada tipo de cliente. Al mis-mo tiempo, sugiere el uso de una estrategia adicional para incrementar losbeneficios: Overbooking (reservar mas habitaciones que las disponibles) Loscostos y beneficios del overbooking se pueden revisar en la lectura Over-booking disponible en webcursos.

    3. Diferenciacion de Producto

    El analisis tradicional del monopolio generalmente asumimos una empre-sa que vende un producto a un determinado precio. En la seccion anteriorvimos como un monopolio puede aumentar sus beneficios por la va de dis-criminar precios. En esta seccion estudiaremos como al producir distintasversiones de un producto, un monopolio puede segmentar entre consumi-dores y generar un mayor flujo de beneficios.

    Al estudiar la diferenciacion de producto es util distinguir entre 2 cate-goras: la diferenciacion vertical y la diferenciacion horizontal. En la difer-enciacion vertical el producto se diferencia en una dimension (calidad) y ladiferenciacion se produce por las diferentes disposiciones a pagar por cal-idad. La diferenciacion horizontal se basa en las distintas preferencias quetienen consumidores por ciertos atributos de un producto.

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  • Por ejemplo, en la industria del vino la distincion entre distintas cepas(merlot, syrah, carmenere, etc) corresponde a diferenciacion horizontal. Tam-bien observamos que, para una cepa determinada, una misma vina producevinos de distinta calidad, en tal caso, tenemos un ejemplo de diferenciacionvertical.

    3.1. Diferenciacion Vertical

    La diferenciacion vertical de producto es probablemente una de las es-trategias de comercializacion mas antiguas. De hecho, encontramos ejemplosde ella en el siglo XIX, como lo muestra el siguiente analisis de Jules Dupuit(1849) sobre la existencia de distintas clases de vagones en los ferrocarrilesfranceses: No es por los francos que costara arreglar los asientos que lascompanas ferroviarias mantienen en mal estado los coches de tercera clase.Lo que la compana esta tratando de hacer es prevenir que los pasajerosque pueden pagar un boleto de segunda clase se cambien a la tercera. Y espor la misma razon que las companas, habiendose demostrado casi cruelescon los pasajeros de tercera clase se esmeran en atender a los pasajeros deprimera..

    Podemos entender a la diferenciacion vertical como un forma de seg-mentacion basada en la autoseleccion o una segmentacion a traves de laconcepcion del producto. Un mismo bien o servicio definido en forma re-stringida puede ser considerado por los compradores como una oportunidadde compra diferente. En la medida de que la diferencia de costos sea menora la diferencia de precios, el uso de diferenciacion vertical aumentara losbeneficios del productor.

    La diferenciacion vertical tambien es conocida como versioning o dis-criminacion de calidad. Algunos ejemplos de versioning:

    Libros (tapa dura, tapa blanda)

    Aviones (clase turista, clase ejecutiva)

    Software (Windows Vista Basic y Windows Vista Ultimate)

    Automoviles (modelos con aire acondicionado, automaticos, etc.)

    El uso de versioning es particularmente importante en industrias de in-formacion (donde habitualmente el costo marginal de produccion de un bienes sumamente bajo). Shapiro y Varian, (1998) describen una serie de dimen-siones por medio de las cuales la industria del software puede diferenciar

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  • en forma vertical sus productos y muestran como en muchos casos un fabri-cante de software puede ofrecer un mismo programa computacional tanto enversiones gratuitas como en versiones con precios de varios miles de dolaressimplemente por la va de identificar cuales caractersticas o funciones es-pecificas son de mayor valor para los clientes con mayor disposicion a pagar.

    Dupuit y su explicacion acerca de la calidad de los asientos en las distin-tas clases de trenes en Francia no solo nos da un ejemplo temprano de estapractica, sino que a la vez que de inmediato enfatiza el principal problemaque enfrentan las empresas que utilizan esta practica: evitar el problemade la transferencia de demanda. En efecto, la clave del uso exitoso de estapractica esta en generar una combinacion producto/precio tal que efecti-vamente aquellos consumidores con mayor disposicion a pagar compren laversion de mayor precio y no prefieran la version de menor calidad/precio.En terminos tecnicos, se requieren combinaciones producto/precio que sat-isfagan la restriccion de compatibilidad de incentivos.

    El siguiente ejercicio enfatiza la importancia de la restriccion de compat-ibilidad de incentivos a la hora de establecer precios para distintas versionesde un mismo producto

    Ejemplo 6 Una empresa de computacion debe decidir el precio para unnuevo programa de reconocimiento de voz. El programa puede ser comercial-izado en 2 versiones: Standard y Premium. Los estudios de mercado hanrevelado que los consumidores se dividen en 2 tipos: Usuarios ocasionales,cuya disposicion a pagar es $50.000 por la version standard y $70.000 por laversion premium, y usuarios intensivos, cuya disposicion a pagar es $80.000por la version standard y $130.000 por la version premium. La probabilidadde que un usuario sea del tipo intensivo es 50 %. Encuentre el menu deprecios optimo (asuma Cmg=0 para ambas versiones)

    SolucionPara encontrar la estrategia optima seguimos el siguiente procedimiento:

    Elegir el precio para el servicio de menor calidad (Standard) este precioesta acotado por la disposicion a pagar del grupo de menor demanda:esto es, precio version standard =$50.000

    Elegir el precio mas alto para el servicio completo que satisfaga larestriccion de compatibilidad de incentivos para el grupo de alta de-manda. Esto se resuelve con:

    30,000 = 130,000 Ppremium

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  • (30.000 es el excedente que el grupo de alta demanda obtiene con laversion standard). Resolviendo tenemos: Ppremium = 100,000

    Finalmente, debemos comparar este resultado, con lo que se obtendravendiendo solo la version premium al grupo de alta demanda y cobran-do un precio igual a 130.000 (propuesto)

    3.1.1. Bienes Danados

    Un ejemplo extremo de versioning ocurre cuando las empresas incurrenen costos adicionales para reducir la calidad de sus productos, esto es, laempresa produce bienes danados con el objetivo de discriminar precios:4

    1. IBM Laser Printer E (1990): Producto identico a IBM Laser Printer,que inclua conexiones extra cuya unica funcion era hacer mas lenta ala impresora, y cuyo precio era US$ 1000 menor al del modelo normal

    2. Minidisc grabables: Version de 60 minutos era fsicamente identica ala de 74 minutos (incluye un codigo que identifica el grabador). Precio:US 13.99 (60 mins.) y US 16.99 (74 mins.)

    3. Intel y chips 486: La version anterior al chip Pentium se venda en 2versiones 486 y 486SX (la ultima sin coprocesador matematico por lotanto mas lenta). Precio: 486: 588 dolares y 486SX: 333 dolares.

    Podemos representar el caso de los bienes danados graficamente:

    4Ejemplos tomados de Deneckere y McAffe, Damaged Goods, Journal of Economicsand Management Strategy 1996

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  • El grafico nos muestra como para evitar el traslado de consumidorestipo A hacia el producto de baja calidad es necesario reducir el precio delproducto de alta calidad (ello implica que el versioning puede ser beneficiosodesde el punto de vista de los consumidores).

    Notar que otra alternativa es la proposicion de Dupuit: aumentar ladiferencia de calidad entre las distintas versiones del producto.

    3.2. Diferenciacion Horizontal

    Los ejemplos estudiados en la seccion anterior son ejemplos de diferen-ciacion de producto vertical. Pero en otros casos, los consumidores puedenpreferir marcas o variedades distintas. Esto se conoce como DiferenciacionHorizontal. En esta seccion presentamos 2 modelos de diferenciacion hor-izontal: un modelo simple que muestra como la diferenciacion horizontalpuede ser utilizada como una barrera estrategica a la entrada y un mode-lo un poco mas sofisticado que muestra los determinantes de las decisionesde precio y numero de variedades optimo de un monopolio que producemultiples variedades.

    3.2.1. Un Modelo Simple de Diferenciacion Horizontal

    Basta un paseo por los pasillos de un supermercado para darnos cuentaque la diferenciacion horizontal es muy usada en la industria de alimentosy, en particular, en la industria de cereales para el desayuno (zucaritas,corn-flakes, etc.) Esta industria se caracteriza porque no existen gananciasasociadas a la existencia de economas de escala y por tener un procesotecnologico de produccion relativamente simple, todo lo cual sugiere que losniveles de barrera a la entrada al mercado deberan ser bajos.

    Sin embargo, el nivel de concentracion de mercado es alto (4 empresasdominan en el mercado) y la tasa de beneficios es tambien alta. RichardSchmalensee (1978)5 postula que la diferenciacion horizontal (proliferacionde marcas) puede ser la causa de este fenomeno. Schmalensee observa queentre 1950-1970 el numero de participantes del mercado se mantiene, peroel numero de marcas comercializadas se incremento desde 25 hasta aproxi-madamente 80.

    Los elementos del modelo son los siguientes:

    Los cereales difieren en solo una dimension (Por ejemplo, porcentajede azucar).

    5Schmalensee, Entry Deterrence in the Ready-to-Eat Breakfast Cereal Industry, BellJournal of Economics, 1978

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  • Existen 110 consumidores en el mercado, los cuales se dividen en 11grupos.

    Cada grupo prefiere un cereal con una cierto porcentaje de azucarque va desde 0 %, 10 %, 20 % hasta 100 %. Los consumidores eligen lavariedad de cereal mas cercana a su preferida.

    Para resultar rentable, una variedad de cereal requiere al menos 30consumidores.

    Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente figura:

    Cada casilla representa una posible variedad de cereal que puede sercomercialiazada. Supongamos que una empresa decide entrar a este mercadoQue ocurre si la empresa introduce una sola variedad?

    Notar que, con una sola variedad de cereal, queda suficiente espacio parala entrada de un nuevo competidor (por ejemplo, si una empresa entra conuna variedad tipo 1 captura suficientes consumidores como para cubrir suscostos. Que pasa si se introducen 3 variedades?

    En este caso, al aumentar el numero de variedades, se logra impedir laentrada de un nuevo competidor Que ocurre si el numero de consumidorespor cada casilla aumenta a 15? Notar que con 15 consumidores por casilla,3 variedades no son suficientes para impedir la entrada. Por lo tanto, paraimpedir la entrada, se requiere introducir mas variedades del producto en lamedida que el tamano del mercado crece.

    3.2.2. Modelo de Distancias Geograficas: Comida Rapida

    Para estudiar la diferenciacion horizontal en mayor profundidad es utilponernos en el caso de la diferenciacion geografica. La intuicion del modelo

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  • que revisaremos a continuacion es que todos los consumidores estan dis-puestos a pagar el mismo precio por un bien si la tienda en la que compranesta al lado de su casa; pero, en la medida que tengan que desplazarse paracomprar el bien, la disposicion a pagar disminuye.

    Una primera version de este modelo fue propuesta por Hotelling (1929),si bien en esta presentacion enfatizaremos el aspecto distancia geografica,es facil modificar el modelo para pensar en otro tipo de caractersticas delos productos. El modelo de distancias tambien puede ser extendido paraincluir mas de un competidor.6

    Los elementos del modelo son los siguientes:

    Asuma una ciudad extendida a lo largo de una calle principal

    La ciudad se extiende desde z=0 a z=1

    N consumidores viven a lo largo de la ciudad

    Cada consumidor valora un combo de comida en V (V corresponde ala maxima disposicion a pagar)

    Pero, en la medida de que tiene que caminar para llegar a la tienda,incurre en un costo: tx donde t es el costo, x la distancia

    No es posible discriminar precios

    Cada persona compra como maximo una comida al da

    El costo marginal por combo es igual a c

    El monopolio de comida rapida debe decidir cuantos locales instalar ya que precio cobrar

    El costo fijo por local es igual a F

    Supongamos que el monopolio instala un solo local, obviamente la posi-cion optima es z = 1/2. Un consumidor en la posicion z = 1/2 esta dispuestoa pagar V , pero en la medida de que nos alejamos de la tienda, la disposiciona pagar disminuye. Llamemos x1 a la distancia a la cual los consumidoresestan indiferentes entre comprar o no (Distancias menores a x1 implicancompra, distancias mayores implican que no se compra) Los consumidoresestaran dispuestos a comprar si:

    p+ tx1 = V

    6Presentacion basada en Pepall, Richards y Norman Organizacion Industrial, Teoray Practica contemporaneas, 2006

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  • Lo que implica x1 =Vp1t . x1 es una fraccion. Dado que la extension de la

    ciudad es igual a 1, que el local vende a una fraccion 2x1 de los consumidoresy que el numero de consumidores en la ciudad es igual a N, la demanda aloperar un local esta dada por:

    Q(p1, 1) = 2x1N =2N

    t(V p1)

    Si elige un precio tal que le vende a todo el mercado, los beneficios estandados por: pi(N, 1) = N(V t/2 c) F

    Supongamos que el monopolio instala 2 locales (posicion 1/4 y 3/4). Elmaximo precio que el productor puede cobrar para satisfacer todo el mercadoes:

    p(N, 2) = V t/4Notar que este precio es mayor que p(N, 1). Los beneficios estan dados por:pi(N, 2) = N(V t/4c)2F . Con 3 tiendas el precio maximo es: p(N, 2) =V t/6. Y los beneficios son pi(N, 3) = N(V t/6 c) 3F .

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  • Generalizando para n tiendas tenemos que:p(N, 2) = V t/2n. Los ben-eficios que se obtienen como n tiendas son:pi(N,n) = N(V t/2n c)nF .Notar que a medida que n se incrementa, el precio se acerca mas y mas aV . Ello implica que, aun en la ausencia de economas de ambito (en nuestrocontexto economas de ambito sera el caso donde F disminuye en la medidaque aumenta n), un monopolio tiene incentivo a ofrecer multiples variedadesde un bien.

    Sin embargo, extender el numero de locales/variedades tiene costos. Enterminos generales, instalar una nueva tienda incrementara beneficios cuan-do:

    n(n+ 1) (V + c)/2

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