APLICACIONES DE LA DERIVADA - una funcin f de variable real x , a saber f , ... θ Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 θ Radianes 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2π π 2 ...

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    06-Feb-2018

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  • A

    APLICACIONES DE LA DERIVADA

    . COLO H. PATRITTI

  • PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLGICOS DEL C.E.T.P.

    APLICACIONES

    DE LA

    DERIVADA

    Ejercicios resueltos PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI

  • Aplicaciones de la Derivada

    CONTENIDO

    Pginas

    Prlogo ........................................................................... 1 - 4

    Areas , Permetros y Volmenes .................................. 5

    Frmulas Trigonomtricas .............................................. 6 - 7

    Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9

    Seleccin de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14

    Captulo 1

    1 1 Introduccin ....................................................... 17 - 23

    1 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 39

    1 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79

    Captulo 2

    2 1 Introduccin ........................................................ 83 - 88

    2 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 124

    2 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219

    Apndice

    Unidades y equivalencias ............................................... 223

    Ejercicios sugeridos ....................................................... 227

    Bibliografa ..................................................................... 229

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada

    PROLOGO

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 1

  • Aplicaciones de la Derivada Prlogo -

    AL ESTUDIANTE

    La presente publicacin tiene por objetivo poner a tu disposicin una amplia

    serie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicacin

    del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran los

    Bachilleratos Tecnolgicos en sus diferentes orientaciones.

    Partimos de la base de que ests familiarizado con los conceptos tericos

    correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha

    desarrollado respecto al concepto de Derivada.

    Al comienzo de la publicacin encontrars un resumen de los conocimientos

    que debers tener presentes para resolver los problemas propuestos as como una

    tabla de derivadas.

    Al final de la publicacin te sugerimos aquellos ejercicios que entendemos

    adecuados segn el Bachillerato que ests cursando, sin que ello signifique

    naturalmente , que los restantes carezcan de inters para t.

    Esperamos que si an no lo ests , llegues a convencerte de la importancia

    relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolucin de problemas relativos

    a la tecnologa en sus distintas disciplinas.

    La publicacin est dividida en dos Captulos.

    El Captulo1 se refiere a la derivada como ndice matemtico que expresa la tasa de

    variacin instantnea o rapidez de variacin instantnea de una funcin y consta de

    veinticuatro ejercicios.

    El Captulo 2 est dedicado a problemas de Optimizacin y consta de sesenta

    ejercicios.

    Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos

    problemas que seguramente encontrars en distintos textos de Matemtica pero que

    han sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los Bachilleratos

    Tecnolgicos.

    Otros son creacin de los autores.

    El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , pgina 317 del

    libro Clculo de James Stewart que ha sido includo por considerar que se trata de

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 3

  • Aplicaciones de la Derivada Prlogo -

    una interesante muestra de aplicacin de los conceptos que estamos manejando

    en una disciplina aparentemente alejada de la que t has elegido

    Las resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicacin son de

    exclusiva responsabilidad de los autores.

    Deseamos hacerte una precisin respecto de la notacin utilizada en la

    resolucin de los ejercicios.

    De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la funcin derivada primera

    de una funcin f de variable real x , a saber f , fx , dxdf

    , hemos adoptado la notacin

    de Leibnitz dxdf

    que entendemos la ms adecuada pues explicita claramente la

    variable respecto de la cual se efecta la derivacin , hecho este que en los problemas

    tcnicos es absolutamente relevante.

    dxdf

    ser entonces la notacin para la funcin derivada primera. de la funcin f

    respecto de la variable x .

    ( oxdxdf ) ser el valor de la funcin derivada primera en el punto xo.

    2

    2

    dxfd

    ser la notacin para la funcin derivada segunda de la funcin f respecto

    de la variable x .

    ( o22

    xdx

    fd ) ser el valor de la funcin derivada segunda en el punto xo.

    Previo al Captulo 1 encontrars un resumen de frmulas de permetros , reas

    y volmenes , un resumen de frmulas trigonomtricas , y una tabla de derivadas.

    Tambin una seleccin de definiciones y teoremas que has visto en el curso terico y

    que debers tener presentes para resolver los ejercicios del Captulo 1.

    Si este material que ponemos a tu disposicin resulta de utilidad en tu formacin

    matemtica habremos alcanzado nuestro objetivo.

    LOS AUTORES

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 4

  • Aplicaciones de la Derivada -

    Permetros , Areas y Volmenes Tringulo

    Rectngulo

    Hexgono

    Crculo

    Sector circular

    Long. Arco = R

    A = 2R21

    R

    Long. Cfa.= 2R A = R2 R

    p = 6L

    A = 2

    p.a

    L

    a

    p =2a + 2b A = a.b

    b

    a

    p = a + b + c

    A = 2

    b.h h

    a c

    b

    Esfera Cilindro Cono

    V= 31R2h

    A

    A = 4R2

    4 3

    V=3 R

    na Col Herrera

    Atotal = 2R

    2 + 2Rh V= R2h

    Hctor Patritti 5

  • Aplicaciones de la Derivada

    TRIGONOMETRIA

    Unidades de medida de ngulos Grados

    Radianes

    Equivalencia: 3600 = 2 rad. 1 rad =

    0180 570 17m

    Longitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende un

    ngulo central

    s = R en radianes

    Valores de lneas trigonomtricas de algunos ngulos especiales.

    Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360

    Radianes 0 6

    4

    3

    2

    32

    23 2

    sen 0 21

    22

    23 1

    23 0 - 1 0

    cos 1 23

    22

    21 0 -

    21 - 1 0 1

    tg 0 33 1 3 -/ 3 0 0 /

    Angulos suplementarios + =

    sen = sen () cos = - cos () tg = - tg ()

    Angulos complementarios + = 2

    sen = cos (2 - ) tg = cotg (

    2 - )

    Angulos opuestos

    Sen (- ) = - sen cos ( - ) = cos tg (- ) = - tg

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 6

  • Aplicaciones de la Derivada Angulos que difieren en

    2 y en

    sen ( +2 ) = cos cos ( +

    2 ) = - sen tg ( +

    2 ) = - cotg

    sen (+ ) = - sen cos ( + ) = - cos tg (+ ) = tg

    Teorema del seno

    c

    senCb

    senBa

    senA== A

    c b Teorema del coseno B a C a2 = b2 + c2 2 b c cos A

    b2 = a2 + c2 2 a c cos B

    c2 = a2 + b2 2 a b cos C

    Frmula fundamental

    sen2x + cos2x = 1

    Frmulas de suma y resta de ngulos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y

    sen ( x y ) = sen x cos y cos x sen y

    cos ( x + y ) = cos x cos y sen x sen y

    cos ( x y ) = cos x cos y + sen x sen y

    tg ( x + y ) = tgx tgy1

    tgytgx

    +

    tg ( x y ) = tgx tgy1

    tgy-tgx+

    Frmulas del ngulo doble

    sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos2x sen2x tg 2x = x tg1

    2tgx2

    Frmulas del ngulo mitad

    sen2x = 2

    cos2x1 cos2x = 2

    cos2x1+

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 7

  • Aplicaciones de la Derivada

    TABLA DE DERIVADAS

    f(x) dxdf f(x)

    dxdf

    k 0 senx cosx

    x 1 cosx - sen x

    |x| sg(x) x0 tgx 1 + tg2x

    xm mxm-1 Arcsenx 2x1

    1

    x1

    2x1

    Arccosx 2x1

    1

    x x2

    1 Arctgx 211x+

    3 x3 2x 3

    1 shx chx

    e x e x chx shx

    Lx x1

    thx 1 th2x

    L|x| x1

    Argshx 1x

    12 +

    Sg(x) 0 x 0 Argchx 1x

    12

    ax ax La Argthx 2x-11

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 8

  • Aplicaciones de la Derivada

    DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

    (fog)(x) dx

    d(fog) (fog)(x) dx

    d(fog)

    g(x) dxdg sen g(x) cos g.

    dxdg

    k.g kdxdg cos g(x) - sen g.

    dxdg

    |g| sg(g). dxdg tg g(x) ( 1 + tg2g ).

    dxdg

    gm mgm-1 dxdg Arcsen g(x)

    2x1

    1

    dxdg

    g1 2

    1g

    dxdg Arccos g(x)

    2x1

    1

    dxdg

    g g2

    1dxdg Arctg g(x) 2g1

    1+ dx

    dg

    3 g3 2g3

    1dxdg sh g(x) ch g(x).

    dxdg

    e g e g dxdg ch g(x) sh g(x).

    dxdg

    Lg o L|g| dxdg

    g1

    th g(x) (1 th2g)dxdg

    hgL

    dxdh

    h1

    dxdg

    g1

    Argsh g(x) dxdg

    g1

    12+

    a g a g.La. dxdg Argch g(x)

    dxdg

    1g

    12

    g h g h

    +

    dxdg

    ghLg

    dxdh Argth g(x) dx

    dgg1

    12

    h e g e g

    +

    dxdgh.

    dxdh

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 9

  • Aplicaciones de la Derivada Resumen -

    SELECCIN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS

    Definicin de funcin derivable en un punto.

    )

    0hh

    xfhxf oo

    +

    Una funcin f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xo

    perteneciente a D si y slo si existe y es finito , el siguiente lmite:

    ( ) (lim h R

    Al valor de dicho lmite se le llama derivada de la funcin f en el punto xo.

    Teorema 1) Derivada de suma de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo

    T) ( ) ( ) ( ) ( )ooo xdxdgx

    dxdfx

    dxgf d

    +=+

    Teorema 2) Derivada del producto de funciones

    H) Si f y g son funciones derivables en xo

    T) ( ) ( ) ( ) ( )oooo xdxdg)f(xx

    dxdfg(xo)x

    dxf.g d

    +=

    Teorema 3) Derivada del cociente de funciones

    H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) 0

    T) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ( )o2oooo

    oxg

    xdxdg.xfx

    dxdf.xg

    xdx

    gf

    =

    d

    Teorema 4) Derivada de la funcin compuesta o regla de la cadena

    H) Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo)

    T) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ooo xdxdg . xg

    dgdfx

    dxg o fd

    =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 11

  • Aplicaciones de la Derivada Resumen -

    Definiciones

    Funcin creciente en un punto

    Una funcin f es creciente en un punto xo si cumple:

    f(x) f (xo) (semientorno izquierdo de centro x- o,xE x o y radio )

    f(x) f (xo) (semientorno derecho de centro x+ o,xE x o y radio )

    Funcin decreciente en un punto

    Una funcin f es decreciente en el punto xo si cumple:

    f(x) f(xo) - o,xE x

    f(x) f(xo) + o,xE x

    Mximo y mnimo relativos

    f(xo) es mximo relativo en xo de la funcin f si se cumple:

    f(xo) f(x) o,xE x

    f(xo) es mnimo relativo en xo de la funcin f si se cumple:

    f(xo) f(x) o,xE x

    Teorema 5) Relacin entre derivabilidad y continuidad

    H) Si una funcin f es derivable en el punto xo

    T) f es contnua en el punto xo

    Sobre este teorema recuerda que el recproco no es vlido, es decir, existen funciones

    contnuas en un punto pero no derivables en l.

    Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variacin de la funcin en l.

    Teorema 6) H) ( ) 0xdxdf

    0 >

    T) f creciente en el punto xo

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 12

  • Aplicaciones de la Derivada Resumen

    Teorema 7) H) ( ) 0xdxdf

    0 <

    T) f decreciente en el punto x0

    Teorema 8) H) f presenta mximo o mnimo relativo en x0

    ( )0xdxdf

    T) ( 0xdxdf ) = 0

    Respecto de este teorema debes tener presente que:

    1ro) El recproco no es cierto. Puedes tener una funcin con derivada nula en un

    punto x0 y la funcin no presentar en l un extremo relativo. La fig. (1) te muestra

    esa posibilidad.

    2do.) Una funcin puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivable

    en l. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una funcin contnua en x0 y la

    figura (3) para una funcin discontnua en x0 .

    f(x) f(x) f(x)

    o x0 x o x0 x o x0 x

    fig. (1) fig. (2) fig. (3)

    Teoremas que relacionan la derivada segunda de una funcin con su concavidad.

    Teorema 9) H) 0)(xdx

    fdo2

    2> T) f presenta concavidad positiva en x0

    Teorema 10) H) 0)(xdx

    fdo2

    2< T) f presenta concavidad negativa en x0

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 13

  • Aplicaciones de la Derivada Resumen

    Teoremas relativos a intervalos (a , b).

    Teoremas que relacionan la derivada 1ra. con la variacin de la funcin.

    Teorema 11) H) b)(a, x 0dxdf

    > T) f creciente en (a,b)

    Teorema 12) H) b)(a, x 0dxdf

    < T) f decreciente en (a,b)

    Teorema 13) H) b)(a, x 0dx

    fd2

    2> T) f tiene concavidad > 0 en (a,b)

    Teorema 14) H) b)(a, x 0dx

    fd2

    2< T) f tiene concavidad < 0 en (a,b)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 14

  • Aplicaciones de la Derivad

    CAPITULO 1

    )(x

    dxdf

    0 f(x)

    y f(x0) = )(xdxdf

    0 ( x x0) f(x0) 0 x0 x Demanda NEWTON

    Precio )TK(A

    dtdT

    =

    1 1 Introduccin 1 2 Enunciados de ejercicios 1 3 Resolucin de ejercicios

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 15

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin Captulo 1

    INTRODUCCION

    Captulo 1

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 17

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

    INTRODUCCION

    En este Captulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la

    derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez

    instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.

    En distintas disciplinas como Electricidad , Electrnica , Termodinmica ,

    Mecnica , Economa , Biologa , etc , resulta de importancia fundamental no slo

    saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra , sino conocer cun

    rpido se produce esa variacin.

    Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares.

    Pensemos , por ejemplo , en una persona que cae a un ro cuyas aguas se encuentran

    a muy baja temperatura.

    Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona

    permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al haber

    prdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la

    temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.

    Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la

    temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.

    La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luego

    enlentecindose , ocurrir exactamente lo contrario , etc.

    De toda esa informacin depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an

    disponible para salvar la vida de la persona , y esa informacin nos la dar

    justamente la derivada de la funcin en cuestin.

    De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen

    justamente como derivada de otra.

    A ttulo de ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil se define como la derivada

    de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como derivada de la velocidad ; la

    fuerza electromotriz inducida , en Electrotecnia , como la derivada del flujo del

    campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). el ngulo de

    desplazamiento del eje de una viga , como derivada de la funcin elstica de la

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 19

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

    viga; la intensidad de corriente elctrica como la derivada de la carga elctrica

    respecto del tiempo ; el gasto instantneo , en Hidrulica , como derivada del

    volumen respecto del tiempo, etc.

    Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo

    que en el curso terico has llamado Interpretacin geomtrica de la derivada donde

    has demostrado que la derivada de una funcin f en un punto x0 ( )(xdxdf

    o )

    representa el coeficiente angular de la recta tangente al grfico representativo de la

    funcin en el punto ( )[ ]0 , 0 xfx Este resultado no es una mera curiosidad geomtrica sino que su alcance es

    relevante.

    Detengmonos en este punto para ayudarte a recordar.

    Considera una funcin f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del grfico

    representativo de la funcin y sea x0 el punto del dominio que hemos elegimos para

    trabajar .

    f(x)

    Q f(x0+h) f(x0) P R 0 x0 x0+h x fig. (1) Recuerda que llamamos punto al valor x0 y no al punto geomtrico P.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 20

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

    Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo

    punto x0 + h .

    El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo

    hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha de x0.

    Veamos que ha ocurrido con la funcin

    En el punto x0 el valor funcional es f(x0) y en el punto x0 + h es f (x0 + h ).

    La diferencia f (x0 + h ) - f(x0) indica en valor y signo la variacin del valor

    funcional provocado por el incremento h de la variable x .

    A esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0 correspondiente

    al incremento h En la figura (1) este incremento es la medida del segmento QR.

    Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos ,vale decir :

    h

    )f(xh) f(x oo +

    A este cociente se le denomina cociente incremental en el punto x0.

    Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez

    promedio de variacin de la funcin en el intervalo [ x0 , x0 + h].

    Si disminumos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio

    de variacin de la funcin , en general diferentes (excepto si la funcin es del tipo

    f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).

    Si esa sucesin de valores del cociente incremental tiene lmite finito para h 0

    habremos obtenido la rapidez instantnea de variacin de la funcin en x0 .

    Es al valor de ese lmite que hemos llamado derivada de la funcin en el punto x0

    Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la tangente

    trigonomtrica del ngulo QPR de vrtice P, hecho que deduces de aplicar

    simplemente la definicin trigonomtrica de tangente en el tringulo PRQ y que te

    permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficiente

    angular de la recta PQ.

    El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que

    el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin f en el punto x0 no es

    ms que el coeficiente angular de la recta tangente al grfico en el punto P.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 21

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

    Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una funcin f en

    un punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al grfico de la

    funcin en el punto (x0 , f(x0)) , pero la informacin que has conseguido no es

    meramente una informacin geomtrica.

    Esta informacin te permite obtener la rapidez con que est variando la funcin en

    el punto considerado.

    Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto , ms rpido vara la

    funcin en l , y esta informacin es de vital importancia en una variedad enorme de

    problemas de distintas disciplinas.

    Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad , aplicando modelos

    funcionales , nuestras funciones f representarn magnitudes o cantidades que varan

    en funcin de otras magnitudes o cantidades a las cuales representar nuestra

    variable x .

    Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa E dada por un

    dispositivo de algn tipo , nuestra funcin f representar la funcin energa E ,

    nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores

    de E(t) .

    Si calculas la derivada en algn instante t0 , ( )

    0tdtdE

    , habrs obtenido con qu

    rapidez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida , por ejemplo ,

    en hora

    Caloras , si esas son las unidades con que ests trabajando , digamos , en un

    problema de Termodinmica.

    Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en

    ese instante.

    Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin derivada.

    A esta nueva funcin , asociada a tu funcin original , debes concederle toda la

    importancia que realmente tiene.

    Supongamos que has representado grficamente cierta funcin f representativa de

    cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de otra magnitud , por

    ejemplo el tiempo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 22

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin- Captulo 1

    La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin sobre lo que

    est ocurriendo en el fenmeno.

    Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre que instantes , cuando

    disminuye , cuando se producen sus mximos y / o sus mnimos y cuales son sus

    valores.

    Pero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas como van variando

    las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva.

    Podrs concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la rapidez con que la

    funcin aumentaba o disminua sus valores , podrs decidir eventualmente que tu

    funcin aumenta cada vez ms rpido hasta cierto instante a partir del cual si bien

    sigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente ( punto de inflexin de la

    grfica) o a la inversa.

    Tendrs entonces un panorama mucho ms completo del desarrollo del fenmeno

    con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin derivada.

    Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada podras

    obtener datos cuantitativos de todo lo anterior , incluso la representacin grfica de

    la funcin derivada te permitira tener una idea rpida y ms acabada de cmo

    transcurre el fenmeno en estudio.

    Esperamos que todo lo dicho te haga valorar , en su justa medida , el aprender a

    interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente contienen.

    En muchos fenmenos , incluso , no es posible obtener una expresin analtica de la

    magnitud a estudiar , recurrindose entonces a instrumentos adecuados para obtener

    su representacin grfica , procedindose luego a la interpretacin de la misma.

    Piensa , por ejemplo , en los electrocardiogramas , sismogramas , poligramas

    (polgrafo o detector de mentiras ) , etc.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 23

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Enunciados

    LA DERIVADA COMO TASA DE

    VARIACION DE UNA FUNCION

    ENUNCIADOS

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 25

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No. 1 Qumica ( Resolucin pgina 43 )

    La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante

    P.V=K donde P es la presin, V el volumen y K una constante.

    Si la presin est dada por la expresin: P(t) = 30 + 2t con P en cm de Hg ,

    t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razn de cambio del

    volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

    Ejercicio No. 2 -Contaminacin - ( Resolucin pgina 44 )

    Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.

    .

    R

    R espesor

    Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m

    si el espesor disminuye a razn de 10horacm en el instante en que R = 50 m .

    Ejercicio No. 3 - Geometra - ( Resolucin pgina 46 )

    El rea de un tringulo equiltero disminuye a razn de 4 cm2 por minuto . Calcula

    la rapidez de variacin de la longitud de sus lados cuando el rea es de 200 cm2.

    Se supone que el tringulo se mantiene equiltero en todo instante.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    27

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No. 4 Electrotecnia - ( Resolucin pgina 46 )

    Sean dos resistencias R1 y R

    2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R

    21

    111RRR

    += cumple:

    Si R 1 y R 2 aumentan a razn de 0.01 y 0.02 / seg. respectivamente, calcula la

    razn de cambio de R cuando R1 = 30 y R2 = 90 .

    Ejercicio No. 5 - Hidrulica - ( Resolucin pgina 47 )

    Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H

    est siendo llenada con lquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto.

    A medida que se produce el llenado el nivel del lquido en la tolva sube.

    Si R=2 m y H=3m: Q

    a) Crees que ese nivel sube con velocidad constante?

    Justifica tu respuesta sin efectuar clculos.

    b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior

    e indica el valor de la velocidad cuando la altura del lquido

    en la tolva es de 1,5 m. Qu condicin crees que debera cumplir el recipiente para

    que el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante clculo en el caso

    que el recipiente sea un cilindro recto circular.

    Ejercicio No. 6 Qumica - ( Resolucin pgina 48 )

    Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.

    Suponiendo que la presin del gas es constante , halla la velocidad con que est

    aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    28

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No. 7 Descarga de granos ( Resolucin pgina 49 )

    La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el grano

    proveniente de un silo a razn de 0.5 m3 / min.

    El grano forma un cono circular recto cuya

    altura es constantemente igual a 5/4 del radio

    de la base. Calcula:

    a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?

    b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est

    variando?

    Ejercicio No. 8 Fsica - ( Resolucin pgina 51 )

    Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga

    de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura.

    Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por un

    vehculo que se mueve hacia la derecha con velocidad v=20 km / hora y a una altura

    del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m..

    20m

    V

    A 1.5m

    Te pedimos :

    a)A qu distancia del cuerpo estar el vehculo en el instante de iniciar la maniobra?

    b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el

    vehculo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relacin entre x y h.

    c) Cul es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    29

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No. 9 - Fsica - ( Resolucin pgina 52 )

    Un foco de luz est colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo.

    Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco movindose a velocidad

    velocidad constante u m / seg .

    a) Calcula la velocidad V con que se mueve el extremo A de su sombra, en funcin

    de H , h y u .

    b) Cul es esa velocidad si el foco luminoso est situado a 4m del nivel de la calle,

    la persona mide 1.75 de altura y camina a una velocidad de 1 m / seg ?

    c) Supongamos ahora que una segunda persona camina acompaando a la anterior.

    Investiga si es posible que la velocidad del extremo de la sombra de esta segunda

    persona sea doble de la velocidad V de la primera .

    F

    H

    O

    u A V

    Ejercicio No 10 Fsica ( Resolucin pgina 54 )

    Un automvil recorre una carretera rectilnea con movimiento uniforme cuya

    velocidad tiene mdulo v , mientras un reflector colocado en el punto F a distancia d

    de la carretera lo ilumina constantemente, para lo cual se va girando sobre un eje.

    Tomando tiempo t=0 cuando el mvil pasa por el punto O y suponiendo que en un

    instante posterior t aqul ha recorrido una distancia x como se indica en la figura , te

    preguntamos: a) Cul es la relacin entre el ngulo y la distancia x ?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    30

  • Aplicaciones de la D

    erivada - Captulo 1 - Enunciados

    O x A v

    d

    F

    b) Recordando que la velocidad angular de un movimiento circular es:

    dtd =

    i)Crees que el movimiento del reflector es circular uniforme? Busca una

    justificacin sin realizar clculos.

    ii) Encuentra la relacin entre y x , bosqueja esa relacin y verifica tu respuesta a

    la pregunta anterior.

    c) Calcula para x =0 y x = 50 m , siendo d = 100 m y v = 72 Km / h.

    d) Recordando que el movimiento del vehculo es rectilneo uniforme y por tanto

    x = v.t , encuentra la expresin de (t) .

    e) Siendo la aceleracin angular del movimiento circular = d / dt , calcula

    esa aceleracin para x =0 y x = 50m.

    Ejercicio No. 11 Demanda ( Resolucin pgina 56 )

    Una fbrica vende q miles de artculos fabricados cuando su precio es de

    p U$S /unidad.

    Se ha determinado que la relacin entre p y q es:

    Si el precio p del artculo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S por

    031 2q- q 22 = pp

    semana , te pedimos :

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    31

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    a) Calcula el nmero de artculos vendidos a 9 dlares.

    b) Con qu rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuando

    el precio es de 9 U$S?.

    Ejercicio No. 12 Forestacin ( Resolucin pgina 57 )

    Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un rbol se supone que

    el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura.

    Radio r

    h

    Radio R

    siendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.

    Recordando que el volumen V de un tronco de cono est dado por la expresin:

    V = 1 /3 ..h.( R2+R.r+r2 ) te preguntamos:

    Cul es la rapidez de variacin del volumen V en el momento en que: r =60cm ,

    R = 90 cm y h = 15m , si el incremento de r es de 10 cm / ao, el incremento de R

    es de 15 cm / ao y el de h de 25 cm / ao?

    Ejercicio No.13 Contaminacin ( Resolucin pgina 58 )

    Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de

    monxido de carbono CO2 en el aire , en partes por milln (ppm) , en una ciudad ,

    est relacionado con la poblacin p expresada en miles de habitantes por la siguiente

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    32

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    expresin :

    El aumento de poblacin en esa ciudad en t aos se estima que est dado por la

    relacin siguiente: p(t) = 3,1 + 0,1 t2 en miles de habitantes.

    Con qu rapidez crees que estar variando la concentracin de CO2 en esa ciudad

    dentro de 3 aos?

    Ejercicio No.14 Variacin de volumen ( Resolucin pgina 59 )

    Un camin descarga arena formndose un montculo que tiene la forma de cono

    recto circular. La altura h va variando mantenindose constantemente igual al radio r

    de la base.

    Cuando la altura es de 1m. ella est aumentando a razn de 25 cm / minuto.

    Con qu rapidez est cambiando en ese instante el volumen V de arena?

    Ejercicio No.15 Fsica ( Resolucin pgina 60 )

    Un nio sostiene el manojo de hilo de una cometa a 1,50 m del suelo. La cometa se

    desplaza horizontalmente a una altura de 81,.5m.

    172

    )(2

    +=ppC

    Te pedimos que calcules a qu velocidad debe el nio soltar hilo en el momento en

    que la cometa est a 100m de l si la velocidad de la cometa es de 20 m / min.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    33

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No. 16 - Termodinmica ( Resolucin pgina 61 )

    Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en una

    habitacin donde la temperatura es de 250 C.

    Segn la ley de enfriamiento de Newton ( calentamiento sera en este caso el trmino

    apropiado) la temperatura T de la bebida variar en el tiempo de acuerdo a la

    expresin:

    T(t) = 25 A.e-kt con A y k constantes.

    a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C,

    calcula las constantes A y k.

    b) Bosqueja el grfico de la funcin T para t 0 y encuentra la expresin de

    la rapidez instantnea de calentamiento de la bebida.

    c) Encuentra el instante en que esa rapidez es mxima y el instante en que ella es la

    mitad de la mxima.

    d) Cul ser la temperatura de la bebida al cabo de una hora?

    Ejercicio No. 17 Electricidad ( Resolucin pgina 64 ) La carga elctrica Q que atraviesa la seccin de un conductor est dada por la

    expresin:

    t) cos(A

    =Q(t)

    siendo A y constantes:

    a) Grafica Q en funcin de t en un perodo.

    b) Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapidez con que vara la

    carga Q que atraviesa la seccin del conductor , deduce de la grfica de la parte a)

    los instantes en que I es mxima y mnima.

    c) Verifica con el clculo tus respuestas a la parte anterior.

    d) Calcula en qu instante la intensidad I en valor absoluto es la mitad del valor

    mximo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    34

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio No.18 Propagacin de epidemia - ( Resolucin pgina 66 ) Un estudio realizado durante una epidemia que se propag entre los animales del

    rodeo vacuno de nuestro pas mostr que el nmero de animales afectados, t das

    despus de iniciado el brote, respondi a una expresin del tipo:

    K.tA.e1Nn(t)+

    =

    N y A constantes, A>1,donde N era el nmero total de animales del rodeo nacional.

    a) Demuestra que la mxima velocidad de propagacin de la enfermedad ocurri

    cuando se infect la mitad del rodeo.

    b) Bosqueja la funcin n para t 0 , y la funcin velocidad de propagacin V.

    Ejercicio No.19 Propagacin de rumor ( Resolucin pgina 68 )

    En una poblacin de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagacin de

    un rumor.

    Se adopta para ello un modelo matemtico que indica que el nmero N de personas

    que en un instante t han odo el rumor puede expresarse por la relacin:

    N (t )= P (1 e-K.t) con: K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 / hora )

    a) Si K=0,1 , calcula el tiempo transcurrido para que el 60% de la poblacin

    conozca el rumor, y la velocidad de propagacin del mismo en ese momento.

    b) Grafica N (t ) para t 0 e indica en qu momento la velocidad de propagacin del

    rumor es mxima.

    c) Demuestra que el modelo matemtico adoptado consisti en suponer que la

    velocidad de propagacin del rumor fue proporcional al nmero de personas que en

    un instante t todava no lo haban odo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    35

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Ejercicio.20 Poblacin de bacterias ( Resolucin pgina 70 ) La poblacin P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, vara

    con el tiempo de acuerdo a la expresin: P(t)= C. eK.t con C y K constantes, t en horas y K en 1 / hora.

    a) Si en el instante inicial t = 0 la poblacin era de 1000 bacterias y al cabo de

    1 hora la misma se duplic, determina los valores de C y K.

    b) Bosqueja el grfico de la funcin P, halla la velocidad v de crecimiento de la

    poblacin en funcin de t y determina el instante de mnima velocidad.

    c) Calcula la poblacin al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en ese

    instante.

    d) Demuestra que el modelo matemtico adoptado para el estudio del problema

    consisti en suponer que la velocidad de crecimiento de la poblacin en un instante

    fue proporcional al nmero de bacterias en ese instante.

    Ejercicio No.21 Variacin de la poblacin (Resolucin pgina 71)

    Un modelo matemtico para estudiar la variacin de la poblacin mundial P ha

    supuesto que la misma est expresada por :

    P (T) = 5.e 0.0278 t

    con P en miles de millones de personas y t en aos.

    En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad ( nacimientos por

    ao ) y de mortalidad ( defunciones por ao ).

    Tomando t= 0 en el ao l987:

    a) Bosqueja P como funcin de t para t 0.

    b) Calcula la tasa de variacin instantnea de la poblacin en el ao l987.

    c) Calcula la poblacin prevista para el ao 2005 y la tasa de variacin instantnea en

    ese ao.

    d) En qu tiempo se duplicara la poblacin existente en 1987 y cuando alcanzara

    los 15.000 millones?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    36

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    e) Crees adaptado a la realidad este modelo matemtico?

    f) Demuestra que en este modelo la tasa instantnea de crecimiento en un instante t

    se ha supuesto proporcional a la poblacin existente en ese instante, y que la

    constante de proporcionalidad vale 0.0278.

    Ejercicio No.22 Iluminacin ( Resolucin pgina 72 )

    proyectada sobre el muro perimetral O

    describe un movimiento circular de

    velocidad V. (u y V , mdulos).

    En un instante t cualquiera C

    el mvil se encuentra en un punto P,

    Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A como

    indica la figura. B

    Un mvil recorre el segmento BC x u S

    con movimiento rectilneo uniforme P V

    de velocidad u mientras su sombra S A

    siendo x la distancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.

    a) Halla la relacin entre y y calcula en funcin de x .

    b) Encuentra la expresin de V como funcin de x.

    c) Tomando t=0 cuando el mvil pasa por el punto B , bosqueja la funcin V e

    indica en qu posiciones del mvil la velocidad de la sombra es mxima y mnima

    para x variando entre 0 y 2R.

    d) Calcula la velocidad de la sombra cuando el mvil pasa por el punto medio del

    segmento BO, e indica cul es el porcentaje de esa velocidad respecto de la velocidad

    mxima.

    Ejercicio No.23 Electrotecnia ( Resolucin pgina 75 )

    Considera el circuito de la figura donde una tensin constante de V voltios se aplica

    sobre una resistencia R () cerrando instantneamente la llave S en el instante t=0.

    Se establece entonces en el circuito una corriente de intensidad I en Amp. que est

    expresada por la ley de OHM:

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    37

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    S R

    I (t) =RV V

    a) Grafica I (t ) ; t 0.

    b) Supongamos que ahora agregamos al circuito una bobina de autoinduccin

    constante , de L Henrios, y repetimos la operacin.

    S L

    V

    R

    La corriente que circula viene expresada ahora por: I(t) =

    t

    e1RV

    = L / R en seg , I en Amp., t en seg.

    Al valor ( ) se le llama CONSTANTE DE TIEMPO del circuito.

    c) Bosqueja el grfico de I(t) , t 0 .

    Deduce , comparando los bosquejos de las partes a) y b) cual ha sido el efecto de

    introducir la bobina en el circuito.

    d) Calcula la rapidez de variacin de I(t) en t=0 y en t= .

    e) Cmo actuaras sobre las constantes del circuito para , sin variar el valor final de

    la corriente, lograr que ella aumente sus valores ms rpidamente ?

    EJERCICIO No. 24 Electrotecnia ( Resolucin pgina 78 )

    Considera el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C

    (Faradios) y tensin inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una

    resistencia R ().

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    38

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 1 - Enunciados

    Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por la

    expresin:

    t

    eRVI(t)

    = S

    V R

    ( = RC ) (constante. de tiempo)

    C

    a) Bosqueja I ( t )

    b) Cul es el valor mximo de I ( t ) ?

    c) Calcula la rapidez de variacin de I en t = 0 y t = .

    d) Encuentra qu porcentaje del valor mximo de I alcanza la corriente para t=

    e) Cmo actuaras sobre los elementos del circuito para , sin variar el valor inicial

    de la corriente, lograr que ella disminuyera sus valores ms rpidamente?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti

    39

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 La Derivada como tasa de variacin - Resoluciones

    LA DERIVADA COMO TASA DE

    VARIACION DE UNA FUNCION

    RESOLUCIONES

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 41

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Ejercicio No.1 Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen

    respecto del tiempo en el instante t = 10 seg , o sea , el valor de la derivada dtdV

    calculada en t = 10.

    La idea ser entonces expresar el volumen V en funcin del tiempo t.

    Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como vara

    la presin con el tiempo: P(t) = 30 + 2.t

    Basta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos

    la presin por su expresin en t. Tendremos entonces:

    P(t)KV(t) =

    Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente:

    2.t30

    KV(t)+

    = (1)

    Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10

    ( )( ) 22 50

    210dtdV

    2.t302K

    dtdV K

    =+

    =

    El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K.

    En efecto, para t=0 deber ser V= 60.

    Sustituyendo en (1): 60 =30K K=1800

    ( )segcm 44.1

    2500360010

    dtdV 3

    == El signo negativo indica disminucin.

    En definitiva el gas est disminuyendo su volumen a razn de 1.44 cm3 por seg a los

    10 seg. de iniciado el proceso de compresin.

    Veamos otra forma de resolver el ejercicio.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 43

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Como la presin y el volumen son funciones de t la ley de Boyle establece: (1) p(t).V(t) = K t 0

    Derivando ambos miembros de la igualdad (1) obtienes:

    0t dtdK

    dtd(p.V)

    =

    En el primer miembro tenemos la derivada de un producto y en el segundo de una

    constante, por tanto:

    dtdp

    pV

    dtdV 0

    dtdpV

    dtdV

    ==+p (2)

    Como nos interesa el instante t=10 debemos calcular , para sustituir en la relacin

    (2): V(10) , p(10) y )(10dtdp .

    De p= 30 + 2.t p(10) = 50 p(0)=30

    2)(tdtdp

    = 2)(10dtdp

    =

    De Boyle: p(10).V(10) =K V(10) = 50K

    p(0).V(0) = K K=30.60 =1800

    Haciendo la sustitucin de valores en (2) encontramos la solucin que y conocamos.

    segcm 1.44(10)

    dtdV 3

    =

    De esta forma se resuelve el ejercicio sin explicitar V(t).

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 44

  • Ejercicio No. 2

    Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que

    la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m.

    Espesor h

    R =50 m Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Podramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente.

    Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h

    vara con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).

    Debes encarar el ejercicio partiendo de la relacin entre R y h que nos proporciona el

    volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.

    Tendremos:

    V = .R2.h t0 (1)

    Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t):

    +=

    dtdhR.h

    dtdR2R

    dtdV 2 (2)

    Como V es constante, es decir independiente de t , sabemos que: 0dtdV

    = lo que nos

    permite concluir de (2) que: 0dtdhR.h

    dtdR2R 2 =+

    Despejando dtdR obtenemos:

    dtdR =

    dtdh.

    2hR (3)

    Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de 10 horacm

    ser : hora

    m 10dtdh 2=

    De la relacin (1) , h= 2RV

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 45

  • Como V = 100 m3, R =50 m h =04.0

    50.100

    2 = m

    Sustituyendo valores en la ecuacin (3) se tiene finalmente:

    ( ) hm 25.610.

    04.0.2.50

    dtdR 2 ==

    La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m ,

    resulta entonces cercana a los 20hm .

    Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Ejercicio No.3

    Si llamamos L al lado del tringulo equiltero, siendo su altura L23

    =h su rea A

    ser:

    (1) 243 LA = L

    con A=A(t) y L= L(t) .

    h

    Se te pide la rapidez de variacin de la longitud de los lados por lo que debes calcular

    dtdL para A = 200 cm2.

    Derivando respecto de t la igualdad (1) obtenemos:

    dtdL.2L.

    43

    dtdA

    = (2)

    De la expresin (2) debemos despejar dtdL y sustituir

    dtdA y L por sus valores

    correspondientes al instante en que A = 200 cm2

    De (1): 2.L43200 = L 21.5 cm y teniendo en cuenta que

    dtdA = -4

    min.cm2

    mincm 0.21

    321,5.8

    dtdL

    Los lados estn entonces disminuyendo sus longitudes a la velocidad calculada.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 46

  • Ejercicio No.4

    Como 21

    21

    21 RR.RRR

    R1

    R1

    R1

    +=+= siendo R , R1 y R2 funciones de t.

    Derivando la ltima expresin respecto de t tendremos:

    ( )

    ( )221

    212121

    212

    1

    RRdt

    dRdt

    dR..RRRRdt

    dR.R.Rdt

    dR

    dtdR

    +

    ++

    +

    =

    Operando y simplificando obtienes:

    Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    ( )'

    RRdt

    dR.Rdt

    dR.R

    dtdR

    221

    122

    221

    +

    +=

    Siendo: 90R , 30R , seg

    0.02dt

    dRy seg

    0.01dt

    dR21

    21 ====

    Sustituyendo valores obtienes:

    seg

    68.75.10120

    8100.10900.2.10dtdR 4

    2

    22 +=

    La resistencia equivalente R est entonces aumentando con la rapidez calculada.

    Ejercicio No. 5 a) La respuesta a la pregunta es NO.

    Tratemos de justificarla , para lo cual supongamos dos instantes diferentes t1 y t2

    dh1

    dh2 h2

    h1

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 47

  • a los cuales corresponden niveles h1 y h2 respectivamente , como indica la figura.

    Consideremos intervalos de tiempos iguales dt en ambos instantes.

    Los volmenes que ingresarn sern iguales por ser el gasto de entrada constante , y

    ocuparn los volmenes indicados.

    Los troncos de cono deben ir disminuyendo sus alturas dh a medida que h aumenta

    y consecuentemente la velocidad de la superficie ir disminuyendo a medida que h

    aumenta.

    El clculo de la parte b) nos confirmar que la velocidad v = dtdh es una funcin

    decreciente con h. Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    h H

    R r

    b) Consideremos que el lquido , en un instante t, ocupa el volumen sombreado.

    Calculemos ese volumen, que ser el volumen ingresado al recipiente en el tiempo t.

    Hemos considerado t =0 en el instante en que se comienza el llenado.

    Tratemos de encontrar ahora la relacin entre r y h . Para ello podemos valernos

    del teorema de Thales o del clculo trigonomtrico.

    R

    tg =H

    R.hr hr

    HR

    ==

    H r

    h

    El volumen ser entonces: 322

    .hHR.

    3V = siendo V y h funciones de t.

    Derivando respecto de t la expresin anterior se obtiene:

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 48

  • dtdh..h

    HR

    dtdh..3h

    3HR

    dtdV 2

    2

    22

    2

    2 ==

    Como Q =dtdV de la expresin anterior conclumos:

    22

    2

    .h.RQ.H

    dtdhv

    ==

    La velocidad resulta entonces funcin decreciente de h con lo que el clculo

    confirma el razonamiento de la parte anterior.

    Para los valores dados tendremos:

    ( )min.cm16

    min.m0.16

    .1.5.23 0.5

    dtdh

    22

    2==

    Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    c) El razonamiento hecho en la parte a) del ejercicio nos conduce a afirmar que el

    recipiente debera tener seccin horizontal constante. En el caso de cilindro circular

    tendremos: V =.R2.h con R constante.

    Derivando respecto de (t): dtdh..R

    dtdV 2= H

    Finalmente: constante. vRQ

    dtdhv 2 ==

    2R

    Ejercicio No. 6

    Siendo el globo esfrico de radio R su volumen V ser:

    3.R.34V = (1)

    Ambos , V y R son funciones del tiempo durante el inflado del globo.

    Como se te pide la velocidad con que vara el radio cuando su valor es de 0.3 m,

    debers hallar el valor de la derivada de R respecto del tiempo para el valor de R

    indicado.

    Comencemos entonces derivando la expresin (1). Tendremos:

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 49

  • dtdR.R4

    dtdR..3R

    34

    dtdV 22 == (2)

    El gasto de gas para el llenado es :

    mindm 100

    dtdVQ

    3==

    Sustituyendo valores en (2) obtenemos

    mindm

    925

    .34100

    R4Q

    dtdR

    22 === gas

    El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 mincm en el instante en que

    R =30 cm.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 50

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Ejercicio No. 7 A medida que se produce la descarga del grano la relacin entre el radio de la base y

    la altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos son

    semejantes. El vrtice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia

    base aumenta su radio horizontalmente.

    a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que est subiendo el vrtice.

    Llamando h a la altura del cono debers calcular dtdh en el instante en que h = 1.5 m

    h

    R

    El volumen de grano en un instante t ser :

    .h.R.31V 2=

    Como .h54R .R

    45h == Finalmente entonces:

    3.h.7516V(t) = (1) con h=h(t)

    Derivando la expresin (1) respecto de t obtienes:

    dtdh..h.

    2516

    dtdV 2= (2)

    Siendo minm 0.5Q

    dtdV 3

    == Q gasto de descarga del grano, h = 1.5 m

    sustituyendo valores en (2) y despejando tendremos:

    minm 44.0

    8.2,25.25

    dtdh

    =

    Esta es la velocidad con que sube el vrtice del cono de grano en el instante en que

    h =1.5 m.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 50

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    b) Siendo .h54R = en todo instante t , derivando esta igualdad obtenemos la

    relacin entre las derivadas de R y h.

    dtdh

    54

    dtdR

    =

    Como se te pide la velocidad de variacin del radio en el mismo instante en que se te

    pidi la velocidad de variacin de la altura , tendrs:

    minm 0.35 44,.0.

    54

    dtdR

    =

    El valor correspondiente del radio es:

    m 20,15,1.54R ==

    Ejercicio No. 8

    a) Posicin inicial

    Deseamos calcular la distancia AB para lo cual utilizamos el teorema de Pitgoras

    en el tringulo ABC. C

    20m B A v 1.5m

    31.5m18.550d m 5.185.120d ddd ACBC2BC

    2AC

    2AB =====

    m 5.255.185.31 22 =ABd

    b) Posicin en un instante t. C

    P B

    h X A V

    :

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 51

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Utilizando el teorema de Pitgoras en el tringulo A BC obtienes: CP = 20 h AC = 50 (20 h )= 30 + h BC = 18.5 m

    X2 = ( 30 + h )2 18.52 (1)

    c) Las velocidades del vehculo y del cuerpo sern respectivamente:

    velocidad del vehculo: dtdXv = Velocidad del cuerpo:

    dtdhV =

    Derivando respecto de t la relacin (1) se obtiene:

    dtdhh).2(30

    dtdX2.X. += (2)

    En el instante pedido se cumple:

    v= 3 Km / h h = 6 m ( ) m 3118.5630X 22 +=

    Despejando dtdh en (2) y sustituyendo valores encontramos que:

    ( )h

    Km 82.5dtdX

    h3018.5630

    dtdX.

    h30X

    dtdh 22

    ++

    =+

    =

    La velocidad con que est subiendo el cuerpo cuando su altura es de 6m es entonces

    de aproximadamente 2.58 Km / h 0.7 m / seg.

    Ejercicio No.9 a)

    F

    OC = y OA= x

    H B

    h sombra O C v A V

    Consideremos que en un instante t la situacin es la indicada en la figura.

    Deseamos calcular la velocidad V del punto A, extremo de la sombra.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 52

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    De acuerdo a las notaciones elegidas tendremos

    V=dtdx v=

    dtdy

    Usando la semejanza de los tringulos ABC y AFO o calculando la cotangente del

    ngulo conclumos que CAB

    hyx

    Hx = (Recuerda que

    tg1g =cot )

    Despejando (x): hH

    H.yx

    = (1)

    Derivemos la expresin (1) respecto de t :

    dtdy.

    hHH

    dtdx

    =

    Finalmente entonces:

    vhH

    HV

    = (2)

    Como H y h son constantes la relacin anterior indica que la velocidad de la sombra

    es proporcional a la de la persona y por tanto constante , con lo que el punto A se

    mueve con movimiento rectilneo uniforme.

    Como H> h > 0 hH

    H

    > 1 V > v lo que explica porqu la

    sombra va aumentando su longitud a medida que la persona se aleja del foco

    luminoso.

    b) Siendo H = 4 m h = 1.75 m v = 1 m /seg obtenemos , sustituyendo en (2):

    V 1.78 m / seg.

    c) Para responder a la pregunta tratemos de hallar la altura h de esta segunda

    persona.

    Despejando h de la expresin (2) obtenemos:

    =

    Vv1 Hh

    Aplicndola a la segunda persona ser H=4 m v=1 m/seg V=2.(1.78) m/seg

    H 2.88 m

    Parece obvio que la respuesta es que lo planteado no es posible.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 53

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Ejercicio No. 10 a) Para hallar la relacin pedida basta que consideres el tringulo FOA y apliques

    definicin de tangente.

    O x v

    d

    F

    ==

    dx Arctg

    dx tg (1)

    b) i) Tomando intervalos iguales de tiempo t la distancia x recorrida por el

    vehculo deber ser la misma por ser su movimiento rectilneo uniforme .

    O x x x

    1 2 3

    F

    Hemos tomado intervalos de igual longitud x y hemos indicado en la figura los

    ngulos correspondientes.

    Parece claro que se cumplir: lo cual nos inclinara a

    afirmar que debe ir disminuyendo a medida que aumenta x .

    ........321 >>

    ii) Como =dt

    d derivamos la expresin (1) respecto del tiempo.

    Recordando la derivada de la funcin Arctg obtendremos:

    dtdx.

    xdd

    dtdx.

    dx1

    d1

    dtd

    222 +=

    +

    =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 54

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Teniendo en cuenta que vdtdx

    = obtenemos finalmente:

    22 xdv.d(x)+

    = (2)

    : Para bosquejar la funcin calculemos

    (o) = dv lim (x) = 0

    x +

    Es fcil deducir de (2) que la funcin es montona decreciente ya que al

    aumentar x aumenta el denominador mantenindose constante el numerador.

    El bosquejo grfico ser entonces como el indicado.

    (x)

    dv

    O x

    La grfica nos confirma la impresin que habamos obtenido en la parte i).

    c) Recuerda que 1m/seg = 3.6 Km / h v = 72 Km / h = 20 m / seg

    d = 100m .

    Tendremos entonces en x = 0 (0) =segrad 20.

    10020

    dv

    vv.d

    2 ===

    x = 50 (50)=segrad 10. 6,1

    50100100.20. 2

    2222

    +=

    + xddv

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 55

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    d) Como x = v.t , sustituyendo en (1) obtienes:

    222 .tvdv.d(t)+

    = (3)

    e) Derivando respecto de t la expresin anterior

    ( )

    +== 2222

    2

    .tvd.t2vv.d.

    dtd

    ( ) 22223

    .tvd .d.t2v

    +=

    Si : x = 0 t = 0 = 0

    x =50 t = 2.5 seg = - 2.56 . 10-2 2segrad

    El signo de menos en la aceleracin angular indica que la velocidad angular

    disminuye como puede deducirse de (3) observando que al aumentar t aumenta el

    denominador mantenindose constante el numerador..

    Ejercicio No. 11

    a) Como la relacin entre q y p es:

    031pp2.q.q 22 = (1)

    si p = 9 U$S q2 6.q 112 = 0

    Resolviendo la ecuacin obtenemos q = 14 unidades.

    ( La otra raz q = - 8 no tiene significado prctico ).

    b) Como el precio p vara en el tiempo , q ser consecuentemente funcin del

    tiempo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 56

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Se te pide calcular la rapidez de variacin de la demanda , o sea expresada dtdq

    en semana

    unidades de miles cuando el precio es de 9 U$S.

    La tasa de variacin del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S.

    En consecuencia semana

    0.20dt

    =U$Sdp .

    Derivemos la relacin (1) respecto del tiempo.

    0dtdp2.p.

    dtdp.

    p2.1q.p.

    dtdq2

    dtdqq.2 =

    +

    ( )dtdp2

    pq

    dtdq.p2-2q

    = p

    Sustituyendo valores: ( )( )[ ] ( )( ) 0.0.29.49

    14dtdq92.14.2

    =

    Finalmente, despejando obtienes : semana

    unidades miles 206.0dtdq

    Habr entonces un incremento de 206 unidades demandadas .

    Ejercicio No. 12

    El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede

    extraerse del rbol , es:

    ( )22 rR.rR .h.31V ++= (1)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 57

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Deseamos calcular dtdV , siendo h , R y r funciones del tiempo t.

    Derivemos entonces la relacin (1) que se cumple t 0.

    Obtenemos:

    ( )

    ++++++=

    dtdr2.r.

    dtdrR.

    dtdRr.

    dtdR2R.h.rr.RR.

    dtdh.

    3dtdV 22

    Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm , R=90 cm , r= 60 cm ,

    aocm 10

    dtdr ,

    aocm 15

    dtdR ,

    aocm 25

    dtdh

    === resulta

    aom 2,83.2,71

    3dtdV 3

    =

    Ejercicio No. 13

    Como la concentracin C es funcin de la poblacin p y sta es funcin del tiempo

    t, resulta ser C funcin compuesta de t.

    Debes calcular la derivada de la concentracin respecto del tiempo, para lo cual

    podemos previamente hallar la funcin compuesta y luego derivar.

    Tendremos entonces:

    ( ) 1720,1.t3,1C(t)

    2+

    += .

    ( )( ) 17

    2.1,01,3.2

    .2,0..011,3.222

    2

    ++

    +=

    t

    ttdtdC

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 58

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Sustituyendo t por su valor 3 y operando resulta: ( )ao

    p.p.m. 40,23dtdC

    .

    Puedes resolver este ejercicio sin necesidad de encontrar la funcin compuesta como

    hicimos lneas arriba.

    Para ello basta partir de la relacin 172

    pC(p)2+= (1) y tener en cuenta

    que p(t)=3.1+0.1. t2 (2)

    Derivando (1) y (2) respecto de t obtienes:

    dtdp

    172

    p2.

    pdtdC

    2+

    = (3) y t0.2dtdp

    =

    Para =3 : p = 4 , 0.6dtdp

    = .

    Sustituyendo estos valores en (3) reencontramos .ao

    p.p.m 24.0)3(dtdC

    =

    Ejercicio No.14

    El volumen del cono de arena es: V = .r2.h

    Como r = h en todo instante, podemos concluir que

    V= .h3 t 0 siendo h funcin de t . r

    h

    Se te pide calcular la velocidad de variacin del volumen V, es decir el valor de

    dtdV cuando h = 1m .

    Derivando la expresin del volumen respecto de t : dtdh..h3.

    dtdV 2=

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 59

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    El enunciado indica como dato que para h = 1m , min.m0.25

    min.cm 25

    dtdh

    ==

    Sustituyendo estos valores obtienes:

    dtdV = 3..(1)2.0.25 = 0.75.

    min.m3

    El volumen est entonces aumentando a razn de 0.75. metros cbicos por minuto ,

    cuando la altura es de 1m.

    Ejercicio No. 15

    B y v C

    h X

    AC=100m A V 81.5m

    OA=1.50m

    0

    A medida que la cometa se mueve horizontalmente su distancia X al nio vara con

    el tiempo , y la velocidad V a la que al nio va soltando hilo est dada por la

    derivada dtdX . Como se te pide esa velocidad cuando la distancia es de 100m ,

    debers calcular dtdX (100).

    Del tringulo ABC, aplicando el teorema de Pitgoras puedes escribir:

    X2 = h2 + y2 (1) donde X e y son funciones de t , y h es constante.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 60

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    .Derivando (1) respecto de t se obtiene:

    dtdy2.y.

    dtdX2.X. =

    dtdy

    Xy

    dtdX. =

    De (1), siendo X = 100 m , h = 81.5 1.5 = 80 m se concluye y= 60m80100 22 =

    Como v=min.m20

    dtdy

    =. sustituyendo valores obtienes finalmente:

    min.m12.20

    10060

    ==v

    Ejercicio No. 16

    a) La expresin de la temperatura en funcin del tiempo es:

    T(t) = 25 A.e-K.t

    Para t = 0 T = 10 0C 10 = 25 A A = 15

    t = 20 T = 15 0C 15 = 25 15 e -20 K 15 e -20 K = 10

    Aplicando logaritmos despejas el valor de K: - 20K = 0.02K 1510L

    b) Para bosquejar la funcin calculamos:

    T(0) = 10 lim (25 e- 0.02 t) = 25 0.02t0.3.edtdT =

    t +

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 61

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Observa que 0.02t0.3.edtdT = es 0 t, por lo que la funcin es creciente en el

    intervalo.

    Calculando la derivada segunda tendremos: 0t 0 e6.10dt

    Td 0.02t3-2

    2

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 Resoluciones

    Puedes tambin derivar la funcin y obtendrs : 0t 0 e6.10dt

    Td 0.02t3-2

    2

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Ejercicio No. 17

    ( ).t.cosA

    =Q(t)

    a) Se trata de una simple funcin sinusoidal que bosquejaremos en un perodo T.

    Recuerda que el perodo de la funcin cos (t) en el tiempo es 2p = .

    Estudiaremos la funcin en un perodo T . Elegimos [0. 2

    ].

    La funcin se anula para:

    2. t

    2.t ==

    2.3 t

    23.t ==

    Los valores mximos y mnimos se producen para :

    Mnimo A-Q(0) 0 t 0t

    ===

    Mximo A)Q( t t

    ===

    Mnimo A-)2Q( 2 t 2t

    ===

    La grfica de la funcin Q se indica en la fig. (1).

    Q(t)

    A

    2 0 t 2

    A

    b) La intensidad I de la corriente se define como: dtdQI(t) = y es el ndice

    23

    matemtico que indica la rapidez de variacin de la carga Q que atraviesa la seccin

    del conductor.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 64

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Estudiando las pendientes de las rectas tangentes al grfico de la fig.(1) deducimos:

    En t = 0 , t

    = , 2 t

    = pendiente nula

    En [ 0, 2

    ] pendiente positiva creciente.

    En [ 2 ,

    ] pendiente positiva decreciente.

    En [ ,

    23

    ] pendiente negativa decreciente.

    En [ 23 , 2

    ] pendiente negativa creciente.

    Conclumos que la pendiente mxima ocurre para t = 2

    la pendiente mnima

    para t = 23 .

    c) Calculemos I =dtdQ

    ( )[ ] ( ).tA.sen.t.sen.AI(t)

    ==

    El grfico de la funcin I es obviamente el indicado en fig.(2).

    I(t)

    A

    O 2 t Fig.(2)

    - A

    Imax = A para t = 2 Imin = - A para t = 2

    3

    Con lo que verificamos la parte anterior.

    d) Como Imax = A debemos hallar (t0) para que I(t0) = 2A

    I(t0)= A.sen(t0) A sen (t0)= 2A sen (t0)=

    21

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 65

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    De la ltima igualdad conclumos que .t0 = Arcsen ( )

    .t0 = 6 y .t0 = 6

    5

    .t0 = 611 y .t0 = 6

    7

    Finalmente: t0 = 6

    t0 =

    65 t0 =

    611 t0 =

    67

    Ejercicio No. 18 Siendo: n nmero de vacunos infectados, N nmero total de vacunos del rodeo

    nacional , A y K constantes , A>1 , k>0 se cumple:

    n ( t ) = tKeAN

    ..1 +(1)

    a) La velocidad v de propagacin de la enfermedad es: v = dtdn .

    Derivando: v(t) =( )2 K.t A.e1

    KNAK t-e+

    (2)

    Debemos probar ahora que esta funcin v tiene un mximo en el intervalo [0,].

    Calculemos: v(0) = ( )

    01 2

    >+ ANAK lim v (t)= 0

    t +

    ( ) ( )([ ])( )4 K.t

    K.tK.tK.t2K.tK.t

    2

    2

    A.e1

    A.K.e e1 2 e A.e1 K.eNAK.dt

    nddtdv

    +

    ++==

    A

    Operando: dtdv = ( )[ ]

    ( )3 K.tK.tK.tK.t2

    A.e1

    2.A.eA.e1.eNAK

    +

    ++

    Finalmente: dtdv = 2

    2

    dtnd = [ ]

    ( )3 K.tK.tK.t2

    A.e1

    .A.e1.eNAK

    +

    + (3)

    Anulando la expresin (3)

    dtdv = 0 -1+A.e- K.t = 0 - K.t = L( 1 /A )= - L (A)

    t = K(A) L

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 66

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Hemos encontrado un punto crtico en t= K(A) L .Debemos clasificarlo para lo cual

    estudiamos el signo de la funcin derivada.

    Analizando la expresin (3) puedes deducir que:

    0

    Sig. dtdv

    Sig. -1+A.e- K.t

    0 L(A) / K fig. (1) El punto crtico es entonces un mximo.

    Busquemos el nmero de animales afectados en ese instante, es decir n (K(A) L

    ).

    n (K(A) L

    ) =2N

    )A1A.(1

    NA.e1

    N

    A.e1

    NLA

    KLAK.

    =+

    =+

    =

    +

    Hemos encontrado entonces que el momento de mxima velocidad de propagacin

    de la enfermedad es aqul en que se infecta la mitad del rodeo.

    b) Para bosquejar n (t) calculemos: n(0) =A1

    N+

    lim n(t) = N

    t +

    La derivada de la funcin es: dtdn =

    ( )2 K.tK

    A.e1

    t-NAK e +

    Su simple observacin te permite concluir que es positiva para todo valor de t, por lo

    que la funcin n ser creciente.

    La derivada segunda de la funcin n es como ya hemos vistodtdv cuyo signo lo da la

    fig.(1). El punto crtico hallado en la parte anterior es entonces punto de inflexin de

    la funcin n , siendo la concavidad de la funcin positiva en el intervalo [ 0,K(A) L

    ]

    y negativa t K(A) L

    . La fig. (2) muestra el grfico de la funcin n.

    c) En las partes a) y b) del ejercicio tenemos todos los elementos necesarios para

    graficar la funcin v en el intervalo [0,+]. En efecto disponemos del valor en

    t = 0 , del lmite para t tendiendo a + , y de las expresiones de la derivada primera y

    segunda as como de su estudio de signos.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 67

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    La fig. (3) muestra el grfico de la funcin v.

    n(t) v(t)

    N

    vmax

    A1

    N+

    0 t 0 t

    K(A) L K

    (A) L

    fig. (2) fig. (3)

    Ejercicio No.19

    N(t) = P ( 1 e- K.t ) (1) a) Deseamos saber cunto tiempo transcurrir para que el 60% de la poblacin

    conozca el rumor, es decir cual es el valor de t para que N = 0.6 P.

    Sustituyendo en (1) y teniendo en cuenta que K= 0.1, despejando t obtienes:

    0.6.P = P ( 1 e- 0.1..t ) e- 0.1..t = 0.4 t =0.1

    L(0.4)

    Finalmente : t = 9.16 aos

    La velocidad de propagacin del rumor es dtdN .

    Derivando (1) : dtdN = P.K. e- K.t

    dtdN ( 9.16 ) = 0.1.P. e- 0.1. (9,16) 0.04.P

    aohab

    b) Para graficar N(t) en el intervalo [0,+] calculamos:

    N(0)=0 lim N(t) = P dtdN = P.K. e- K.t sg.

    dtdN +

    0

    La derivada segunda es: 22

    dtNd = - 0.01.Pe 0.1.t

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 68

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    La sola inspeccin de su expresin te permite afirmar que la derivada segunda es

    negativa para todo valor de t , por lo que la funcin tendr concavidad negativa.

    La figura (1) muestra el andamiento de la funcin.

    N(t)

    P

    0 t

    De la grfica puedes deducir que la mxima pendiente de las tangentes a la curva

    corresponde a la tangente en t = 0.

    Esto puedes justificarlo matemticamente teniendo en cuenta que la funcin es dtdN

    es montona decreciente en el intervalo [0,+] por ser negativa en l.

    En consecuencia: (dtdN )max= dt

    dN (0) = 0.1.P aohab.

    c) Sabemos que dtdN = P.K. e- K.t (2)

    El nmero de habitantes que al cabo de un tiempo t ha odo el rumor es N(t), por lo

    que el nmero de los que no lo ha odo es P N.

    Sustituyendo N por su expresin (1) tenemos:

    P N = P P( 1 e- K.t ) = P. e- K.t Sustituyendo en la expresin (2) :

    dtdN = K.( P N )

    lo que nos indica que la velocidad de propagacin del rumor es proporcional al

    nmero de personas que en el instante considerado no ha odo el rumor , siendo K

    la constante de proporcionalidad .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 69

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones Ejercicio No.20 La poblacin de bacterias vara con el tiempo segn la expresin:

    P(t) =C.eK.t C y K constantes, t en horas, K en 1 / hora. a) Como para : t =0 , P = 1000 C = 100

    t = 1, P = 2000 2000 = 1000 eK K = L 2 b) Sustituyendo los valores hallados:

    P(t) =1000.e ( L2).t

    Para bosquejar la funcin calculamos:

    P(0) = 1000 lim P(t) = + t +

    (L2).t1000.L2.edtdP

    = > 0 t 0 P(t) montona creciente.

    ( ) (L2).t222

    .eL21000.dt

    Pd= > 0 t 0 P(t) tiene concavidad positiva.

    El grfico de P es como el indicado en la figura . Repara que se trata de una

    simple funcin exponencial. P(t)

    1000 0 t

    De la inspeccin del grfico o de la expresin de la derivada primera puedes concluir

    que la mnima velocidad de crecimiento de la colonia ocurre en t = 0 y vale:

    vmin. = 1000. L2 690 horabacterias

    c) Para t =2 , P(2) = 4000 bacterias h

    bact. 2760)2(dtdP

    = .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 70

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    d) Como P(t) =C.eK.t y K.tCK.edtdP

    = conclumos que

    K.P(t)dtdP

    =

    Es decir que la velocidad de crecimiento de la colonia de bacterias es proporcional a

    la cantidad de ellas en cada instante, siendo K la constante de proporcionalidad.

    Ejercicio No. 21

    (1) P(t) = 5. e 0.0278.t P en miles de millones , t en aos. a) Se trata de una simple funcin exponencial para la cual:

    P(0) = 5 lim P(t) =+ t +

    (2) 0 t 0 0.139.e.e5.(0.0278)dtdP 0.02780.0278.t >==

    0 t 0 .e00361.0dt

    Pd 0.0278.t2

    2>=

    El bosquejo grfico es como el indicado en la figura.

    P(t) miles de millones

    5

    0 t aos

    b) Tomando t = 0 en el ao l987, la tasa de variacin instantnea de poblacin fue:

    ( )ao

    millones de miles 139.00dtdP

    = = 139 ao

    millones

    c) El ao 2005 corresponde a t = 18 ; por lo que tendremos

    P(18) =5.e0.0278.(18) 8.247 miles de millones =8247 millones.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 71

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    La tasa instantnea de variacin de la poblacin ser:

    aomillones 9220.139.e(18)

    dtdP )0.0278.(18

    d) Poblacin en l987: P(0) = 5000 millones . La poblacin se duplicar, es decir,

    ser de 10.000 millones en un tiempo t0 tal que:

    10 = 5 0.0278.0. te

    Despejando: t 0 = aos 520.0278L2

    La duplicacin ocurrira entonces en el ao 2012.

    La poblacin alcanzara los 15.000 millones en un tiempo t 1 tal que:

    15 = 1.0278.0.5 te

    t 1 = aos 39.5 0.0278L3

    que corresponde al ao 2027 aproximadamente.

    e) A finales del ao 2002 la poblacin mundial fue del orden de 6000 millones.

    De acuerdo a este modelo, como el 2002 corresponde a t = 16 lo que dara para la

    poblacin un valor de P(16) 7800 millones.

    Estos valores permiten afirmar que el modelo no es suficientemente ajustado a la

    realidad debindose corregir mediante la introduccin de parmetros que tengan en

    cuenta factores que no fueron ponderados en l.

    f) De las expresiones (1) y (2) del comienzo del ejercicio deduces fcilmente que

    P(t) 0.0278.dtdP

    =

    La velocidad de crecimiento fue tomada entonces como proporcional a la poblacin

    P en este modelo, siendo 0.0278 la constante de proporcionalidad.

    Ejercicio No. 22 a) Refirindonos a la fig.(1) tenemos que en el tringulo BOD se cumple:

    = ODS2

    (el ngulo SOD es externo al tringulo AOS y vale por tanto 2 )

    =2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 72

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones B

    X u S P V

    A O A

    El problema presenta simetra respecto del dimetro AA por lo que nos limitaremos

    a efectuar el estudio para 0 x R .

    En el tringulo AOP : tg =

    =

    =

    Rx-RArctg

    RxR

    OAOP (1)

    b) Como: s = R. y V =dtds tendremos:

    s = R ( 22 ) (2) con s = s(t) y =(t).

    Derivando la expresin (2) respecto de t obtienes:

    dtds = - 2R

    dtd (3)

    Para hallar la expresin de dtd derivamos la igualdad (1) respecto de t recordando la

    derivada de la funcin Arctg y teniendo en cuenta que x es funcin de t.

    dtdx

    RxR1

    R1

    dtd

    2

    +

    =

    Sustituyendo en (3) y teniendo en cuenta que v=dtdx se obtiene :

    V =dtds

    = 22

    RxR1

    2.v

    RxR1

    .vR1

    2R.

    +

    =

    +

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 73

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Operando , finalmente : ( )22

    2

    xRR2.v.RV(x)

    +=

    c) Bosquejemos V(x) en [ 0 , 2R]

    V(0) = v V(2R) = v

    Derivando: ( )( )[ ]

    ( )( )[ ]2222

    2222

    XRR

    xR.4.v.R

    xRR

    1).(XR2.2.v.RdtdV

    +

    =

    +

    =

    0

    Sig. dxdV +

    0 R 2R

    Max.

    El mximo relativo tiene como ordenada: V(R) = 2 v por lo que resulta ser el

    mximo absoluto en el intervalo.

    La grfica de la funcin tendr el andamiento indicado en la figura.

    V(x)

    2v

    v

    0 R 2R x

    La velocidad de la sombra es entonces mxima cuando el mvil pasa por el punto O

    y mnima en los puntos B y C.

    d) En el punto medio de BO es x = 2R

    58

    2RV =

    v

    Como Vmax = 2 v %80)100.(8.0100.V

    )2RV(

    max==

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 74

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    En consecuencia la sombra S alcanza el 80% de la velocidad mxima cuando el

    mvil pasa por el punto medio del segmento OB.

    Ejercicio No.23

    a) La intensidad de corriente est dada por I(t) =RV

    Como V y R son constantes , entonces I(t) = K con K cte. La grfica de la funcin I

    es la indicada en la fig. (1). I(t)

    S

    V R RV

    0 fig.(1) t

    b) La intensidad de corriente est dada ahora por:

    =

    t

    e1.RVI(t)

    siendo =RL la constante de tiempo del circuito.

    S

    R

    V

    L

    Para bosquejar I calculamos:

    I(0) = 0 lim I(t) = RV

    t +

    Derivando 0 t 0 .eLV.e

    21

    RV

    dtdI

    t t

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    La funcin I es entonces montona creciente con asntota horizontal y = RV .

    La derivada segunda es: 0 t 0 .eLV

    dtId

    t

    2

    2

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    e) Para t = tenemos:

    I() = RV( 1 e 1 ) 0.63

    RV. Como el valor final al cual tiende la corriente es

    RV,

    I() = 0.63 Ifinal = 63 % Ifinal

    La constante de tiempo del circuito es entonces: el tiempo que demora la

    corriente para que su intensidad I alcance el 63% de su valor final

    Como se te pide que el valor final no cambie no podrs variar el valor de R , por lo

    que tendrs que actuar sobre la bobina .

    La expresin de la intensidad de corriente era:

    =

    t

    e1.RVI(t) (1)

    Analicemos , en un instante cualquiera t , como vara la intensidad I al variar la cte.

    de tiempo .

    Consideremos dos valores de , 1 y 2 con 1 < 2 y sean I1 e I2 las

    respectivas intensidades .

    Se cumplir que:

    212

    t -1

    t -2

    t-1

    t -

    2121I I e -1 e -1 e e t- t- tt >>

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    Ejercicio No. 24)

    a ) t

    .eRVI(t)

    =

    = R.C (cte. de tiempo)

    Calculamos: I(0) =RV lim I(t) = 0

    t +

    Derivando: 0 t 0 .eR.V

    dtdI

    t =

    La funcin tiene entonces concavidad positiva para todo t. La fig. (1) indica el

    andamiento de la funcin.

    I(t)

    RV

    0 t

    Fig (1)

    b) El valor mximo de la intensidad I es: RV Imax = y corresponde al instante

    inicial t = 0.

    c) La rapidez de variacin de la intensidad est dada por : .eR.V

    dtdI

    t

    =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 78

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 1 - Resoluciones

    En t = 0: segAmp

    R.V)0(

    dtdI

    =

    En t = : segAmp .e

    R.V)(

    dtdI 1-

    =

    d) Para t = : max1 I . 0.37 .e

    RV) = I(

    I ( ) 37% Imax

    I(t) V/R Fig. (2) I ()

    0 t

    La constante de tiempo en este circuito indica el tiempo que demora la corriente en

    disminuir hasta el 37% de su valor inicial.

    e) Como se te indica que el valor inicial del voltaje V del condensador no cambia y

    se exige que la intensidad inicial V/R sea la misma , no podrs modificar el valor de

    la resistencia R.

    La nica posibilidad de variar la cte. de tiempo = R.C es variar entonces la

    capacidad C.

    Para que la intensidad I disminuya ms rpidamente debes disminuir la cte. de

    tiempo para lo cual debes disminuir la capacidad C.

    Las curvas (1) y (2) de la fig. (3 ) te muestran lo afirmado anteriormente.

    I(t) fig.(3)

    I(0)

    (1) capacidad C2 < capacidad C1

    (2)

    0 1 2 t

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 79

  • Aplicaciones de la Derivada

    CAPITULO 2

    ? )(xt dVdSg 02

    2

    ?0 xdtdV

    0 =)(

    2 1 Introduccin 2 2 Enunciados de ejercicios 2 3 Resolucin de ejercicios

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 81

  • Aplicaciones de la Derivada Introduccin Captulo 2

    INTRODUCCION

    Captulo 2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 83

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Introduccin

    INTRODUCCION

    En este captulo te proponemos ejercicios sobre una aplicacin muy

    importante y comn del concepto de derivada en distintas disciplinas , la

    optimizacin de funciones.

    A una empresa de transporte seguramente le interesa que el costo por kilmetro de

    sus viajes sea el menor posible , a un fabricante de determinado artculo le interesar

    que el costo de fabricacin por unidad sea el ms bajo posible , en Electrotecnia ,

    por ejemplo , interesar cmo disear determinado dispositivo para que su consumo

    de energa sea mnimo , a una empresa de construccin cmo dimensionar un silo

    para grano para que el costo de la construccin sea el ms bajo posible , un vendedor

    se interesa en cul debe ser el precio de venta de su producto para obtener el mayor

    beneficio posible.

    En fin , son innumerables los problemas de estos tipos que se dan en la realidad.

    Estos problemas llamados de optimizacin , desde el punto de vista

    matemtico se reducen a problemas de determinacin de mximos y mnimos

    absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos , problemas

    cuya resolucin conoces del curso terico.

    Para resolver estos ejercicios debers entonces extremar una funcin.

    Tu primer paso ser entonces individualizar con claridad cal es la funcin a la que

    debes hallarle el mximo y / o mnimo absoluto.

    En ocasiones el enunciado del ejercicio te proporciona la expresin analtica de esa

    funcin.

    En otros , en cambio , t debers conseguir esa expresin analtica utilizando los

    datos dados en el enunciado .

    Es comn que al principio elijas ms de una variable en el problema.

    Si ello ocurre no debes perder de vista que se trata de problemas de funciones de

    una variable , por lo que existirn relaciones entre esas variables que has elegido que

    te permitirn finalmente reducir el problema a una nica variable.

    Una vez que has logrado la expresin analtica de la funcin buscada debers

    establecer el intervalo de variacin de la variable elegida.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 85

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Introduccin

    Llegado este momento estars en condiciones de aplicar tus conocimientos

    matemticos para resolver el problema de mximo y / o mnimo que tienes

    planteado.

    Ten presente que todas las funciones con las que trabajars en los ejercicios son

    funciones contnuas en los intervalos de estudio que determinars.

    Recordemos algunos de estos conocimientos.

    Definicin de extremos absolutos.

    1) f(x0) es mximo absoluto de f f(x0) f(x) x D(f)

    2) f(x0) es mnimo absoluto de f f(x0) f(x) x D(f)

    Definicin de punto crtico.

    )(xdxdf

    0 =0

    x0 es punto crtico de la funcin f si

    / )(xdxdf

    0

    Un punto crtico de una funcin es entonces un punto del dominio donde siendo

    contnua la funcin , su derivada en nula o no existe (punto singular).

    Las figuras siguientes indican posibles andamientos de la funcin en un punto crtico. f(x) f(x) f(x)

    0 x0 x 0 x0 x 0 x0 x

    max.relativo min. relativo Pto. Inflex. tg. horiz. f(x) f(x) f(x)

    0 x0 x 0 x0 x 0 x0 x

    max. relativo min. relativo Pto. Singular

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 86

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Introduccin

    En consecuencia si :

    a) 0)(xdxdf

    0 = el punto x0 puede ser mximo relativo , mnimo relativo o punto

    de inflexin de tangente horizontal ( recuerda que derivada nula implica tangente

    horizontal) .

    b) / )(xdxdf

    0 el punto x0 puede ser mximo relativo , mnimo relativo o no ser

    extremo relativo .

    Para decidir cual es la situacin que se presenta se hace necesario clasificar el punto

    crtico.

    Criterios de clasificacin de un punto crtico.

    1) puedes valerte de la definicin de extremo relativo y estudiar el signo de la

    diferencia f(x) f(x0) en un entorno de x0 .

    Signo f(x) f(x0) x0 x0 x0 x0 Minimo Mximo Pto.Inflexin Pto. Inflexin 2) Criterio de la derivada 1ra.

    Puedes estudiar el signo de la derivada en un entorno de x0 .

    Signo dxdf

    x0 x0 x0 x0

    Mximo Mnimo Func. Creciente Func. Decrec.

    3) Criterio de la derivada 2da.

    Si la derivada 2da. de la funcin en el punto x0 existe y es distinta de cero puedes

    valerte de su valor para la clasificacin.

    Positivo Mnimo relativo

    )(xdx

    fd02

    2

    Negativo Mximo relativo

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 87

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Introduccin

    Mximos y mnimos absolutos en un intervalo cerrado.

    En este punto es importante que recuerdes el teorema de Weierstrass:

    Teorema

    Una funcin contnua en un intervalo cerrado tiene Mximo y Mnimo absolutos

    Para encontrar los extremos en un intervalo [ a , b ] bastar que:

    1ro) Encuentres los puntos crticos pertenecientes al intervalo ( a ,b ).

    2do) Calcules los valores funcionales en cada uno de ellos.

    3ro) Calcules los valores funcionales en los extremos del intervalo , f(a) y f(b) .

    4to) Compara todos esos valores funcionales . El mayor de ellos ser el mximo

    absoluto y el menor , el mnimo absoluto.

    No es necesario en este caso que clasifiques los puntos crticos del intervalo.

    Intervalos no cerrados .

    En caso de que el intervalo no sea cerrado debers clasificar los puntos crticos y

    auxiliarte con alguna informacin adicional para encontrar los extremos absolutos,

    como ser la variacin de la funcin en todo el intervalo de estudio utilizando el signo

    de la derivada 1ra. , lmites en extremos abiertos o valores funcionales en extremos

    cerrados.

    En los ejercicios encontrars muy comnmente un nico punto crtico en el

    intervalo de estudio. Si lo clasificas como mximo relativo , dada la continuidad de

    la funcin, podrs asegurar sin ms que es el mximo absoluto de la funcin. Idem en

    el caso de mnimo.

    La clasificacin puedes hacerla tanto usando el criterio de la derivada 1ra. como el

    criterio de la derivada 2da. visto antes.

    En la resolucin de los ejercicios vers que hemos utilizado en ocasiones uno

    de los criterio , en otras otros , y muchas veces hemos efectuado los clculos

    mnimos para poder bosquejar el grfico de la funcin en estudio como forma de

    afirmar tus conocimientos en la representacin grfica de funciones.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 88

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin-Enunciados

    OPTIMIZACIN

    ENUNCIADOS

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 89

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 -Optimizacin - Enunciados

    Ejercicio No.1 - Clculo (Resol. Pag. 127) a) De todas las parejas de nmeros reales cuyas componentes tienen suma S dada

    encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es mximo.

    b) Aplica lo anterior al caso S= 40

    Ejercicio No.2 Clculo (Resol. Pag. 128)

    a) De todas las parejas de nmeros reales cuyas componentes positivas tienen

    producto dado, encontrar aquella para la cual la suma de esas componentes es

    mnima.

    . b) Aplica lo anterior al caso P = 100 Ejercicio No.3 - Clculo - (Resol. Pag.129) Demostrar que de todos los rectngulos de permetro p dado, el de mxima rea es

    el cuadrado.

    Ejercicio No.4 - Geometra - (Resol.Pag.129) Mediante dobleces hechos en un alambre rectilneo de longitud dada L se desea

    limitar un rea rectangular A. Los extremos del alambre se soldarn.

    L

    A

    Extremos soldados

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 91

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2- Optimizacin - Enunciados a) Indica en un esquema posibles posiciones de los puntos donde debern efectuarse

    los dobleces.

    Cuntos rectngulos diferentes puedes construir? Crees que todos tienen igual

    rea?

    b) Encuentra una expresin para el rea A en funcin de uno de los lados del

    rectngulo y bosqueja la funcin A.

    c) Cul es el rectngulo de rea mxima y cunto vale su rea.?

    Ejercicio No.5 - Clculo - (Resol. Pag. 130) Se desean construir cajas de cartn sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm. a

    los que se les recortan las esquinas como indica la figura , y doblando a lo largo de

    las lneas punteadas. x x x

    a)

    b) D

    mx

    Eje

    Una

    ciert

    El co

    dond

    Ana

    40cm

    x

    40cm

    Es necesario que los recortes en las esquinas sean cuadrados?

    etermina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea

    imo , as como tambin el valor de ese volumen mximo.

    rcicio No.6 - Clculo (Resol. Pag. 132) empresa tiene capacidad de producir como mximo 15.000 unidades al mes de

    o producto.

    sto total de produccin Ct en miles de dlares por mes responde a la expresin

    Ct ( q ) = 3124qq211q

    31 23 ++

    e q es el nmero de unidades producidas en miles de unidades por mes.

    Col Herrera Hctor Patritti 92

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Determina la produccin mensual de la empresa que minimiza el costo total de

    produccin y calcula ese costo.

    Ejercicio No. 7 - Costo de construccin (Resol. Pag. 132) El costo total C de construccin de un edificio de n pisos est expresado por: C (n) = 2 n2 +300 n + 320

    a) Expresa el costo medio por piso Cm en funcin de n.

    . b) Calcula el nmero de pisos a construir para que el costo medio por piso sea

    mnimo.

    La respuesta deber ser un nmero entero. c) Si C est expresado en miles de dlares, calcula el costo total del edificio. Ejercicio No. 8 Qumica (Resol. Pag. 133) La masa m de agua que a 0C ocupa un volumen de 1 litro, ocupar a T C un

    volumen V en litros dado por la expresin:

    V(T) = 10-5 ( -6.8.10-3 T3 + 8.5. 10-1 T2 6.4.T + 105 ) 0 T 10

    Recordando que la densidad de una sustancia homognea es :

    =Vm

    a) Encuentra la temperatura T para la cual la densidad del agua es mxima .

    b) Bosqueja V(t) para 0 T 10.

    Ejercicio No.9 - Nivel de demanda (Resol. Pag. 134)

    La relacin entre el precio de venta por unidad p de un artculo y la cantidad de

    unidades vendidas q (demanda) se conoce como funcin de demanda del

    artculo considerado.

    Para un comercio que vende determinado artculo su funcin de demanda es:

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 93

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados p(q)= 8.25. e - 0.02 q p en miles de U$S q unidades por mes El ingreso total I del comercio en miles de U$S / mes ser entonces: I= p.q

    a) Bosqueja la funcin de demanda p(q). b) Encuentra el nivel de demanda que maximiza el ingreso total del comercio y

    calcula ese Ingreso mensual.

    Ejercicio No. 10 -Nivel de demanda (Resol. Pag. 136)

    Una empresa distribuidora de caf tiene una funcin de demanda dada por: p = - 0.3 q2 0.6 q + 3000

    p precio Tonelada

    U$S q cantidad demandada en Toneladas

    a) Representa grficamente la funcin demanda. b) Siendo el ingreso total I de la empresa el producto de la cantidad demandada por

    el precio de venta , I = q.p :

    i) Halla el nivel de demanda que hace mximo el ingreso total.

    ii) Calcula ese ingreso mximo.

    iii) Indica el precio de venta correspondiente de la tonelada de caf. Ejercicio No.11 - Aserrado de Viga (Resol. Pag. 138)

    La resistencia de una viga de seccin rectangular es proporcional al producto de su

    ancho a por el cuadrado de su altura h .

    h a

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 94

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados a) Calcula las dimensiones de la viga de mxima resistencia que puede aserrarse de

    un tronco de madera de forma cilndrica de dimetro dado.

    b) Aplcalo al caso = 15 (pulgadas).

    c) Si el tronco tiene largo L expresa en porcentaje del volumen total de madera el

    volumen de la viga.

    Ejercicio No. 12 -Aserrado de viga (Resol. Pag. 139) La rigidez de una viga de seccin rectangular es proporcional al producto de su

    ancho a por el cubo de su altura h .

    a) Halla las dimensiones de la seccin de la viga de mxima rigidez que puede

    cortarse de un tronco cilndrico de dimetro dado.

    b) Aplcalo al caso = 15 (pulgadas)

    c) Si el tronco tiene longitud L indica el % del volumen total usado en la viga.

    Ejercicio No. 13 Costo de fabricacin (Resol. Pag. 141)

    Se desea construir un tanque en forma de paraleleppedo rectangular de 10 m3 de

    volumen , con la parte superior abierta segn indica la figura.

    El largo del rectngulo base debe ser doble del ancho .

    El material de la base tiene un costo de 100 $ / m2 y el de las paredes de 80 $ / m2 .

    Determina las dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales sea

    mnimo, as como el correspondiente precio del tanque.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 95

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No. 14 -Costo de construccin de silo (Resol. Pag. 143) Se desea construir un silo de forma cilndrica rematado por un bveda semiesfrica.

    El costo de construccin por m 2 es doble en la bveda que en la parte cilndrica.

    Encuentra las dimensiones h y del silo de volumen V dado, de forma que el

    costo de construccin sea mnimo.

    Ejercicio No.15 -Costo de alambrado - (Resol. Pag.144)

    Sobre la ribera de un ro cuya orilla se supone rectilnea se desea alambrar una

    superficie rectangular de 10 hectreas. Admitiendo que el costo de alambrado es

    proporcional a la longitud a alambrar , dimensionar el rectngulo para que el costo de

    alambramiento sea mnimo .

    Se supondr que no se alambra sobre la ribera.

    Recuerda que 1hectrea = 10.000 m2.

    Si el alambrado se construye con 5 hilos y el rollo de 1.000 m vale 35 U$S calcula

    adems el costo del alambre necesario.

    Detalle del alambrado

    Superficie a alambrar alambrado

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 96

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.16 -Superficie de siembra (Resol. Pag. 145)

    Un productor dispone de 600 hectreas aptas para sembrar.

    Sabe que la ganancia total G en $ que obtendr de su produccin depender del

    nmero de hectreas sembradas x , de acuerdo a la expresin:

    G(x) = 2000x 5x2

    a) Calcula cuntas hectreas debera sembrar para obtener mxima ganancia.

    b) En cuanto disminuira su ganancia si sembrara las 600 hectreas disponibles?

    Area a sembrar

    Ejercicio No.17 - Potencial elctrico (Resol. Pag. 146)

    El potencial V en voltios en un punto que est a una distancia r de una carga

    puntual de Q Culombios est expresada por:

    r

    K.QV =

    siendo K una constante , r en metros . Sean Q1 y Q2 dos cargas puntuales positivas que distan entre s una distancia d.

    d

    Q1 Q2 a) Expresa el potencial V en un punto interior al segmento AB en funcin de la

    distancia del punto a la carga Q1. ( El potencial es la suma del producido por cada

    carga). Considera Q2=5Q1

    b) Demuestra que existe un punto P del segmento AB donde el potencial V es

    mnimo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 97

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados

    c) Calcula ese potencial si Q1=5.10-10 Cul. Q2= 5 Q1 , d=5cm

    K= 9.109 Volt.m / Cul2

    . Ejercicio No.18 -Iluminacin (Resol. Pag. 147) La intensidad de iluminacin E en lux que produce un foco luminoso puntual en cualquier punto es directamente proporcional a la intensidad del foco I en candelas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia d al foco expresada en metros.

    2dK.IE =

    a) Si dos focos luminosos se encuentran a una distancia L y tienen intensidades I1 e

    I2, halla el punto del segmento que los une donde la iluminacin sea mnima.

    Se supondr que la iluminacin en cualquier punto es la suma de las iluminaciones

    producidas por cada foco .

    . I1 L I2

    b) Aplcalo al caso: L =12 m I2 = 8 I1 Ejercicio No.19 -Produccin (Resol. Pag. 149) Un fabricante vende x artculos por semana a un precio unitario p que depende de x

    segn la expresin:

    p(x)= 200 0,01x p en $. El costo total de produccin de x artculos es: C(x)= 50x +20.000 $ /sem.

    a) Calcula el nmero de artculos que el fabricante debe producir para obtener

    mxima ganancia y el correspondiente precio de venta por unidad.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 98

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados b) Supongamos que el estado fija un impuesto de $10 por cada unidad vendida

    permaneciendo invariables las otras condiciones.

    Qu parte del impuesto debe absorber el fabricante y cul debe transmitir al

    comprador para obtener mxima ganancia?

    Comparar las ganancias antes y despus de establecido el Impuesto. Ejercicio No.20 -Transporte (Resol. Pag. 150)

    Un empresario ha calculado que el costo total de repartir x unidades del producto que

    fabrica es:

    C(x) = 2.x +217800 / x

    a) Si la unidad de reparto puede transportar como mximo 300 unidades de producto

    halla el nmero de unidades que har mnimo el costo del pedido.

    b) Qu ocurrira si la unidad pudiera transportar hasta 400 unidades de producto? Ejercicio No.21 -Circuito elctrico - (Resol. Pag. 151) Un generador de fuerza electromotriz constante y resistencia interna r se conecta a

    una resistencia de carga R .En esas condiciones la potencia P disipada por la

    resistencia R est expresada por la relacin:

    22

    r)(RR.+

    =P R y r en , V en voltios

    R

    , r

    a) Halla el valor de R en funcin de r para que la potencia sea mxima.

    b) Grafica P( R).

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 99

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.22 -Circuito elctrico (Resol. Pag. 152) Se consideran dos resistencias conectadas en paralelo, siendo la resistencia x

    variable R X a) Recordando que la resistencia equivalente Req. de un paralelo cumple:

    21.

    111RRReq

    +=

    halla la expresin de Req en funcin de x .

    b) Si x vara en [0,+ ) demuestra que Req no puede superar el valor R.

    Te sugerimos que grafiques Req.( x ).

    c) Si 0 x R halla el valor mximo de Req.

    Interpreta desde el punto de vista elctrico los casos x = 0 y x infinito. d) Considera ahora el circuito de la figura al que se le aplica un voltaje V constante. R1 R i X V

    Aplicando ley de OHM puedes deducir que : i = eq.1 RR

    V+

    Encuentra la expresin de i en funcin de x. Cunto vale i si x = 0 ?

    Qu papel juega la resistencia R1 en el circuito desde el punto de vista elctrico? Qu sucedera si x = 0 y R1 = 0 ?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 100

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.23 -Dimensionado de envase (Resol. Pag. 154) Se desean fabricar envases cilndricos de hojalata para lubricante de volumen V

    dado.

    No se desperdicia material al cortar la hoja que constituye la pared cilndrica , pero

    las bases se recortan de trozos cuadrados como indica la figura , desperdicindose

    los recortes.

    a) Halla la relacin entre la altura y el dimetro de la base para que el gasto de

    material includo el desperdicio , sea mnimo .

    b) Aplica los resultados para el caso V = 1 lt.

    c) Cul es el porcentaje de material desperdiciado respecto al total usado?

    Ejercicio No.24 -Fsica (Resol. Pag. 156)

    Se desea poner en movimiento un cuerpo arrastrndolo sobre una superficie mediante

    la aplicacin de una fuerza F como indica la figura.

    Siendo el coeficiente de razonamiento entre el cuerpo y la superficie y m la

    masa del cuerpo, puede deducirse , aplicando principio de la dinmica que:

    2

    0 .sen cos

    .m.g)F(

    +=

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 101

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados F P a) Calcula el ngulo para el cual la fuerza F necesaria sea mnima. b) Calcula la correspondiente fuerza F si = 0.4 , m = 80 kg , g = 9.8 m / s2 Ejercicio No.25 -Resonancia mecnica (Resol. Pag. 159)

    Un cuerpo de masa m unido a un resorte, oscila sometido a la accin de una fuerza F

    de variacin sinusoidal y frecuencia angular : F = F0.sen ( t ) en un medio que

    ofrece resistencia al movimiento.

    Bajo esas condiciones la amplitud A de la oscilacin viene expresada por:

    2

    2222

    0

    1

    )()(

    C

    CA+

    = con 0 , C1 , y C2 constantes.

    0 es la llamada frecuencia propia del sistema cuyo valor es : 0= mK donde

    K es la constante del resorte expresada en Newton / metro.

    C2 es una constante relacionada con la resistencia ofrecida por el medio en el cual

    oscila el resorte.

    Determina el valor de que hace mxima la amplitud A ,y el correspondiente valor

    de A si o2 > C2 / 2 .

    El valor de que encontrars se conoce como frecuencia de resonancia y el

    correspondiente valor de A amplitud de resonancia.

    Resorte de cte. k Masa (m) Fuerza F

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 102

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio26 -Superficie de almacenamiento (Resol. Pag, 160)

    Una fbrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y rea A m2 para

    estiba de materiales. Para cerrar esa superficie se construirn paredes de espesores

    fijos de a metros y b metros como indica la figura.

    b

    A

    a a

    a) Dimensiona el rectngulo de estiba para que la superficie rectangular exterior

    necesaria sea mnima.

    b) Demuestra que en ese caso tambin es mnima la superficie de piso ocupada por

    las paredes.

    c) Aplicar los resultados para el caso A = 100 m., a = b = 0,20 m. Ejercicio No.27 - Flujo Vehicular (Resol. Pag. 162)

    El Ministerio de Transporte con el fin de determinar la variacin de la velocidad del

    flujo de vehculos que provenientes del Este regresan a Montevideo los das

    domingos entre las 17:00 horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que

    indican que la velocidad del trnsito a la entrada de la capital en ese lapso esta dada

    aproximadamente por la expresin:

    27

    11804t)t25

    3t(

    980V(t) 2

    3++= Km / h t = 0 a las 17 horas

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 103

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados a) En qu momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas el trnsito es ms rpido

    y en qu momento es ms lento?.

    b) Grafica V(t) para 0 t 5. Ejercicio No.28 - Alquiler de apartamentos Resol. Pag. 163)

    Una inmobiliaria es duea de 150 apartamentos que se ocupan en su totalidad si el alquiler es 300 dlares. Se sabe que al aumentar el alquiler el nmero de apartamentos alquilados disminuye linealmente a razn de 5 aptos. por cada 30 dlares de aumento. a) Expresa la ganancia G en funcin del nmero x de apartamentos alquilados y grafica la funcin. b) Cul es el nmero de apartamentos a alquilar, y cul su alquiler mensual para

    que la inmobiliaria obtenga mxima ganancia?

    c) Cunto perdera la empresa si alquilara todos los apartamentos?

    Ejercicio No.29 - Eficiencia Laboral (Resol. Pag. 164)

    Un estudio sobre la eficiencia de los trabajadores del turno matutino de una fbrica indica que el nmero N de artculos ensamblados por un trabajador promedio est dada por la relacin: N(t) = - t3 + 6 t 2 + 15 t siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio del turno (8:00 a 13:00 hrs.) a) Grafica la curva de produccin N(t) para 0 t 5 .

    b) A qu hora de maana la tasa de produccin (dtdN ) del trabajador (eficiencia)

    es mxima?.

    c) A que hora es mnima?. d) Grafica la tasa de produccin para 0 t 5.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 104

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No. 30 - Geometra (Resol. Pag. 165) Se consideran los cilindros rectos de base circular de radio r y altura h inscritos en

    una esfera de radio R dado.

    a) Determina r y h para que el cilindro tenga volumen mximo.

    b) Determina las dimensiones r y h para que el cilindro tenga superficie lateral

    mxima.

    c) Qu porcentaje del volumen de la esfera ocupa el cilindro de mximo volumen?

    Ejercicio No.31 -Geometra (Resol. Pag. 167) Encuentra las dimensiones r y h del cono recto de base circular de volumen mximo

    que puede inscribirse en una esfera de radio R dado.

    Ejercicio No.32 -Utilidad de un fabricante- (Resol. Pag. 168) Un fabricante de cierto repuesto para equipos de audio los produce a un costo de

    $150 cada uno .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 105

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ha determinado que si el precio de venta es p $ / unidad , la demanda q est

    expresada por:

    q (p) = 1000 .e-0.004 p

    a) A qu precio crees que deber venderlos para tener mxima utilidad? b) Cuntas unidades vender mensualmente y cules sern sus utilidades? Ejercicio No.33 - Proyectil (Resol. Pag. 170)

    Se lanza un proyectil en el vaco desde un punto 0 (ver figura) con velocidad V0 y ngulo de inclinacin . En el sistema (XOY) indicado, la trayectoria del proyectil responde a la funcin: 0 / 2 g = 9.8 m / s2 ( )g .Y(x) += 2 2 Y V0 0 alcance A X

    xxv

    .tgcos.

    22

    0

    a) Indica qu tipo de curva es la descripta por el proyectil. b) Para Vo y dadas, encuentra la altura mxima (hmax) que alcanza el proyectil.

    c) Suponiendo constante, grafica la variacin de (hmax) en funcin deV0. d) Suponiendo V0 constante, grafica la variacin de (hmax.) en funcin de . Calcula el alcance L del proyectil y suponiendo V0 constante , grafica L como funcin de , indicando el valor 0 que da mximo alcance.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 106

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados

    Ejercicio No.34 - Transporte (Resol. Pag. 173)

    Una locomotora que se desplaza a una velocidad v Km/h. tiene un gasto de

    combustible Gc que es proporcional a v2. Llamando K a la constante de

    proporcionalidad:

    Gc(v)= K v2 en $/h

    Tiene adems un gasto G1 en ($/h) que es independiente de la velocidad y que asciende a 3600 $/h. a) Determina la constante K sabiendo que si la locomotora viaja a 40 Km/h. el gasto

    de combustible es de $1600.

    b) Halla la expresin del gasto total G en $/hora de la locomotora en funcin de v. c) Halla el costo total C(v) , encuentra la velocidad ms econmica para el

    desplazamiento de la locomotora , y calcula el costo de un viaje de 1000 km.

    Ejercicio No.35 - Geometra (Resol. Pag. 174)

    Considera una circunferencia de radio R dado. Se inscriben en ella tringulos

    issceles ABC.

    a) Calcula el permetro de los tringulos en funcin del ngulo . b) Halla el tringulo de permetro mximo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 107

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.36 - Hidrulica (Resol. Pag. 176) Un tanque de 2m de altura apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientras

    que por un orificio practicado en una de sus paredes escapa un chorro que golpea el

    piso en el punto A a una distancia x de la pared.

    Admite que el chorro tiene forma parablica y que en el sistema (XY) indicado su

    ecuacin es: .xY =

    2202.v

    g

    Donde v0 es la velocidad del chorro a la salida del orificio y g la aceleracin de la

    gravedad.

    Sabiendo que te pedimos que determines la profundidad h a que

    debe encontrarse el orificio para que el chorro golpe el piso a mxima distancia del

    tanque.-

    2.g.hv =0

    Ejercicio No.37 Tiempo mnimo de recorrido. (Resol. Pag. 177) Un vehculo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura.

    El punto A dista 36 Km de una carretera rectilnea .Sobre la carretera el vehculo

    puede desarrollar una velocidad de 100 Km / h , mientras que sobre el terreno puede

    desarrollar una velocidad de 80 Km / h.

    Carretera

    100 Km B 36 Km A

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 108

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados a) Se desea saber cul es el recorrido que debe realizar el conductor para que el

    tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mnimo.

    b) Calcula ese tiempo. Ejercicio No.38 Distancia mnima entre barcos (Resol. Pag. 178)

    A la hora 12:00 del medioda dos barcos A y B se encuentran en el ocano a una

    distancia de 80 millas nuticas como indica la figura.

    N

    80 millas W E

    A VA B S VB

    El barco A navega hacia el Este a una velocidad VA de 20 nudos y el barco B

    navega hacia el Sur a una velocidad VB de 25 nudos. Si las rutas iniciales no se

    modifican:

    a) A qu hora crees que la distancia entre los barcos es mnima?

    b) Calcula esa distancia en Km. Recuerda que: 1 nudo = 1 milla natica / hora 1 milla natica = 1852,2 m.

    Ejercicio No.39 - Geometra - (Resol. Pag. 180)

    Se considera un cuadrado de lado 1m. En tres vrtices consecutivos de l se toman

    los centros de tres circunferencias de forma que los radios de las que tienen centros

    en vrtices consecutivos, sumen 1m. (ver figura).

    1 m

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 109

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados a) Encuentra los valores extremos de los radios de forma que los cuadrantes de

    crculo sombreados no se solapen.

    b) Halla los radios de las circunferencias para que el rea sombreada sea: i) mxima ii) mnima c) Calcula dichas reas. Ejercicio No.40 Geometra (Resol. Pag. 181) Sea un rectngulo de lados a y b con b>a. En los vrtices de uno de los lados de

    longitud a se consideran dos cuadrantes de crculo con centros en aquellos , y radios

    cuya suma es a. b

    a

    a) Halla los radios de los crculos para que el rea sombreada del rectngulo sea: i) mxima ii) mnima b) Calcula dichas reas en funcin de a y b Ejercicio No.41 Longitud de tubera- (Resol. Pag. 183)

    Dos tanques A y B situados entre si a una distancia de d Km. se encuentran ubicados

    a un mismo lado de la orilla rectilnea de un ro y a una distancia de ste de a Km y

    b Km .respectivamente fig (1).

    d B

    A a b

    1 P 2

    Bomba

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 110

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2-Optimizacin - Enunciados Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los tanques

    mediante tuberas rectilneas PA y PB.

    a) Demuestra que la longitud de tubera ser mnima cuando se cumpla que: 1= 2

    (Admite que el punto crtico que encontrars corresponde a un mnimo ).

    b) Calcula la distancia x que permite ubicar la posicin de la bomba en funcin de a ,

    b y d para las condiciones de la parte a) .

    c) Calcula la longitud total de tubera si a = 1,5 Km. b = 3 Km. d = 3,5 Km.

    as como la posicin del punto P.

    Ejercicio No.42 - Construccin de corral - (Resol. Pag. 185) Utilizando una de las paredes laterales de un galpn (como indica la figura) se desea

    construir un corral para alimentar libremente a un grupo de terneros.

    El corral tendr seccin rectangular y se utilizarn tres tiros de alambre, el ms bajo

    de los cuales se colocar a una altura tal que permita la entrada de los pequeos

    animales impidiendo la de los dems.

    a) Se ha calculado que el rea necesaria de corral es de 100 m siendo el largo de la

    pared de 20m. Dimensiona el rectngulo para que el costo de alambre a utilizar sea

    mnimo.

    b) Calcula el costo del alambre necesario si el rollo de 1000 m cuesta 35 U$S. Ejercicio No.43 Construccin de bebedero (Resol. Pag. 186)

    Se dispone de una chapa metlica de forma rectangular de 1,20m x 3m.

    Se desea construir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa

    como indica la figura , para formar la superficie lateral y el fondo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 111

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados 1.20m

    0.40 m 0.40 m 0.40 m

    3.00m

    CHAPA

    BASE

    Las bases se confeccionan de madera dura.

    a) Determina el ngulo para que el volumen del bebedero sea mximo.

    b) Calcula dicho volumen en litros. Ejercicio No.44 -Construccin de corrales (Resol. Pag.188)

    Contiguo a dos paredes perpendiculares se desea construir un corral de seccin

    rectangular que estar subdividido en seis partes iguales colocadas en dos filas de

    tres cada una, segn indica la figura.

    Para el cercado se dispone de 100 m de tejido.

    a) Encuentra las dimensiones de cada parte para que el rea encerrada sea mxima.

    b) Calcula esas reas.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 112

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.45 - Costo de produccin (Resol. Pag. 188)

    Una fbrica de artculos de plstico recibe un pedido de 8000 unidades de cierto

    juguete para ser comercializado en Navidad y Da de Reyes.

    La fbrica posee 15 mquinas, cada una de las cuales puede producir 30 juguetes por

    hora. El costo de poner en funcionamiento las mquinas es de 20 U$S por mquina.

    Una vez puestas en funcionamiento la operacin est completamente automatizada

    de forma que slo necesita de un supervisor de produccin cuyo salario es de 4.80

    U$S por hora.

    a) Cuntas mquinas debern ponerse en funcionamiento para que el costo de

    produccin sea mnimo?

    b) Cuntas horas trabajarn las mquinas para cumplir con el pedido y cunto

    ganar el supervisor?

    c) Cul es el costo de puesta en funcionamiento del nmero ptimo de mquinas? Ejercicio No.46 - Longitud de escalera (Resol. Pag. 190) Se desea colocar una escalera apoyada en el suelo y en la pared de un galpn como

    se muestra en la figura.

    Paralelamente a la pared del galpn y a 1m. de distancia corre una cerca de 1.50 m de

    altura. La escalera se apoyar tambin sobre la cerca.

    Escalera 1.5 m 1 m cerca a) Calcula la longitud mnima que deber tener la escalera para cumplir con las

    condiciones pedidas ( se sugiere expresar la longitud de la escalera en funcin del

    ngulo que la misma forma con el piso ).

    b) A qu altura de la pared del galpn apoyar la escalera?

    c) A qu distancia de la cerca apoyar la escalera sobre el suelo?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 113

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados Ejercicio No.47 Costo de instalacin - (Resol. Pag. 192) Sobre una de las orillas de un ro se encuentra una central elctrica y sobre la orilla

    opuesta una fbrica (1) a una distancia d1 metros aguas abajo, segn figura. El

    ancho del ro es de (a) metros.

    La fbrica solicita el tendido de un cable de alimentacin elctrica que la direccin

    tcnica de la central decide tendr una parte sobre el lecho del ro y la otra a lo largo

    de la orilla. Cable de alimentacin Central

    a

    A x P Fbrica (1) Fbrica (2)

    d1

    d2

    a) Si el costo del tendido bajo el ro es de n ( dlares / metro) y a lo largo de la orilla

    es de p (dlares / metro) , se desea conocer la posicin del punto P de manera que el

    costo total de instalacin sea mnimo , siendo n > p.

    b) Calcula el costo total de instalacin y la posicin del punto P para que ello ocurra

    en el caso: a = 500 m; d1 = 2500 m n=50 U$S/ m y p = 30 U$S/ m.

    c) Una segunda fbrica (2) solicita un tendido similar. Si la distancia d2 = 4000m,

    cul ser la nueva posicin del punto P? Justifica tu respuesta.

    Ejercicio No. 48 - Iluminacin (Resol. Pag. 194)

    Una ventana de permetro p dado, tiene la forma de la figura.

    La parte rectangular es de cristal transparente y la semicircular de cristal coloreado.

    Esta ltima permite pasar, por m2 de superficie , slo la mitad de la luz que

    permite la parte rectangular.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 114

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    .

    Admite que la cantidad de luz que atraviesa la ventana es proporcional a la

    superficie.

    En esas condiciones se te pide que dimensiones la ventana para que ella permita el

    paso de la mxima cantidad de luz.

    Ejercicio No.49 - Transporte de caos - (Resol. Pag. 195)

    Se consideran dos parejas de semirectas [ P(a),P(b)] y [ Q(c), Q(d)], figura (1).

    Considera la familia de segmentos AiBi que cumplen:

    Ai pertenece a la semirecta P(a) , Bi pertenece a la semirecta P(b) y Q pertenece al

    segmento AiBi ,fig. (2) .

    a P A1 A2 A3 P

    c Q Q 1

    B1

    B2

    d b B3

    fig. (1) fig. (2)

    a) Halla una expresin para la longitud Li de los segmentos AiBi en funcin del

    ngulo indicado en la figura (2) , con 0 < < / 2.

    Bosqueja la funcin L hallada .

    b) Desde un depsito dos operarios deben transportar horizontalmente caos rgidos

    hasta la salida a travs de un corredor en ngulo recto como indica la figura (3).

    Qu condicin debe cumplir la longitud del cao para que el mismo pueda pasar

    por el codo del corredor si los anchos de los mismos son: d1 = 2.5 m y d2= 2.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 115

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    d1

    DEPOSITO Cao

    d2 Salida

    Si la longitud de los caos es mltiplo entero del metro, cul es el cao de mayor

    longitud que permite la operacin? Ejercicio No. 50 Geometra (Resol. Pag. 197) Se dispone de un alambre rectilneo de longitud L , y se desea cortarlo en dos trozos

    construyendo con uno de ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado.

    L

    Te pedimos que determines el punto de corte del alambre para que :

    a) La suma de las reas del crculo y el cuadrado sea mnima.

    b) Idem para que sea mxima. Discute este caso. Ejercicio No. 51 Optica (Resol. Pag.199) El principio de FERMAT establece que: la luz sigue, entre dos puntos A y B , la

    trayectoria que corresponde a tiempo mnimo de recorrido.

    Sean A y B dos puntos pertenecientes a medios de propagacin diferentes (I) y (II),

    separados por una superficie segn indica la figura (1).

    Se desea determinar cual es la trayectoria que sigue un rayo de luz para ir desde el

    punto A al punto B, siendo V1 y V2 las velocidades en los medios (I) y (II).

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 116

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    A medio (I) Superficie de separacin fig (1) B medio (II)

    Te pedimos que demuestres que esa trayectoria debe ser tal que se cumpla la

    relacin: 2

    1

    2

    1VV

    sensen

    =

    Esta relacin es conocida como Ley de la refraccin de la luz o Ley de Snell.

    Los ngulos 1 y 2 son los indicados en la figura (2).

    Te sugerimos calcular el tiempo total de recorrido en funcin de la distancia x

    siendo la distancia d conocida.

    Recuerda que el rayo de luz se propaga con movimiento rectilneo uniforme. A 1 medio (I) P superficie de separacin x

    2 medio (II)

    B

    d fig. (2)

    Ejercicio No.52 Iluminacin - (Resol. Pag. 202) Se desea iluminar un estanque de seccin circular de radio R mediante una lmpara

    de altura ajustable colocada sobre la vertical que pasa por el centro de aqul. La iluminacin en el borde del estanque, que es la zona de menor iluminacin de la

    superficie, est expresada por la relacin: 2dI.cosE =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 117

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados donde E es la iluminacin expresada en lux , I la intensidad del foco luminoso

    supuesto puntual , expresada en candelas y el ngulo indicado en la figura.

    d h

    r

    a) Halla y grafica la funcin E para 0 /2.

    Verifica que existe un valor de para el cual la iluminacin E es mxima , y

    determina la altura a la que debe colocarse la lmpara para obtenerla.

    b) Calcula la iluminacin E en lux si I = 500 candelas y r = 2m.

    Ejercicio No.53 Resonancia serie (Resol. Pag.204)

    Se considera un circuito serie R-L-C como indica la figura, al que se le aplica un

    voltaje V(t) de variacin sinusoidal dada por la expresin:

    ( ) ( ).tsenVtV 0 =La intensidad I de la corriente que circula por el circuito viene dada por la

    expresin:

    I(t)= I0. sen (.t + )

    El valor mximo I0 est dado por la expresin: I0= ZV0

    donde Z es la impedancia del circuito y vale:

    Z= 22 )1(

    C

    LR +

    a) Expresa I0 como funcin de .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 118

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2- Optimizacin - Enunciados

    b) Suponiendo que la frecuencia angular de la fuente puede variarse, halla el valor

    de que corresponde al mximo valor de I0.

    ( El valor que hallars se conoce como frecuencia de resonancia)

    c) Grafica Z como funcin de , >0.

    Ejercicio No.54 Migracin de peces Se ha estudiado que ciertos animales ( peces, aves, etc ) efectan sus

    desplazamientos tratando de minimizar su gasto de energa.

    Considera un tipo de peces migratorios que nadan a contracorriente. Llamemos:

    v velocidad del pez respecto de la corriente, u velocidad de la corriente , u u.

    Ejercicio No.55 Inventario (Resol. Pag.205) Una empresa que utiliza transistores compra 1000 cajas al ao a un precio de

    50 U$S / caja.

    Los gastos de envo son de 40 U$S/ pedido

    y los gastos de almacenamiento de 2U$S por caja y por ao.

    Suponiendo que los transistores se utilizan a ritmo constante y que cada pedido llega

    justo cuando el anterior se ha agotado, te pedimos:

    a)Cuntas cajas debe solicitar la empresa en cada pedido para que su costo anual

    sea mnimo? (todos los pedidos tienen igual nmero de cajas).

    b) Cuntos pedidos debe efectuar al ao , cul es el costo total y por pedido?

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 119

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    Ejercicio No.56 Velocidad econmica de transporte (Resol. Pag. 206) Un camin debe transportar desde Montevideo a Paysand un cargamento de

    computadoras por valor de 50.000 U$S. Se supone que el viaje se har a velocidad

    constante v Km / h.

    Las normas de circulacin establecen que: 40 Km/h v 90 Km/h .

    El consumo de combustible viene expresado por la relacin:

    +=

    250v10G

    2c lt/h

    El conductor cobra un salario de 5 U$S/h y se supone que no infringe las normas de

    velocidad.

    Si el combustible vale 0.50 U$S/ lt te pedimos:

    a) Calcula el costo de combustible Cc en U$S / Km.

    b) Calcula el costo de salario en U$S / Km y el costo total en U$S / Km en funcin

    de v.

    c) Determina cul es la velocidad ms econmica para la empresa y el costo del viaje

    si la distancia recorrida fue de 400 Km.

    d) Cunto se gast en salario y cunto en combustible?

    e) Si el chofer se acompaa con otra persona que cobra 2 U$S/h , vuelve a resolver

    los items c) y d).

    Ejercicio No. 57 Elstica de vigas (Resol. Pag. 211)

    La fig. (1) muestra una viga empotrada en su extremo derecho y libre en su extremo

    izquierdo.

    En la fig. (2) la viga se somete a la accin de una fuerza (F) ( carga aplicada en su

    extremo libre).

    F flecha (f)

    Fig. (1) Fig. (2)

    Z Fig. (3)

    Fig.(4) O X

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 120

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados Bajo la accin de esa fuerza el eje de la viga se deforma. La curva , cuya forma

    adopta el eje de la viga , se denomina elstica de la viga.

    Adoptando un sistema de ejes (XOZ) como el indicado en Fig. (4), la curva

    responder a una determinada ecuacin que se conoce como Ecuacin de la

    elstica.

    Los distintos puntos del eje de la viga sufren desplazamientos verticales llamados

    flechas f y las secciones perpendiculares al eje sufren desplazamientos

    angulares , como indica la Fig. (3).

    El conocimiento de las flechas f as como del ngulo de desplazamiento , es de

    importancia fundamental al momento del dimensionado de vigas sometidas a

    solicitaciones (carga) conocidas.

    En el sistema (XOZ) llamaremos Z(x) a la ecuacin de la elstica y (x) al

    desplazamiento angular.

    Se cumplir en todos los casos que: Recta tangente

    (x) = dxdZ

    En efecto, observa que tg =dxdZ , pero = (lados perpendiculares)

    tg =dxdZ y como se trabaja con ngulos pequeos tg

    por lo cual : = dZ

    Te propondremos ahora algunos ejercicios respecto del tema.

    Considera la viga isosttica empotrada en su extremo derecho, Fig. (1), sometida a

    una carga F en su extremo libre Fig. (2).

    En el sistema de coordenadas (XOZ) de la figura (4) las ecuaciones de la elstica y el

    ngulo de desplazamiento son:

    > 0 antihorario , < 0 horario.

    dx

    dxdZ(x)

    3

    Lx

    Lx32

    6.EI

    3F.LZ(x)

    =

    +

    =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 121

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    E e I son constantes que dependen del material y la forma de la seccin recta de la

    viga.

    a) Encuentra el punto de la viga donde se produce la flecha mxima, y el valor

    de fmax.

    b) Encuentra el punto de la viga donde el desplazamiento angular es mximo y su

    correspondiente valor .

    Ejercicio No. 58 Viga apoyada con carga distribuda-(Resol. Pag.212) Considera una viga isosttica articulada en su extremo izquierdo A y apoyada en su

    extremo derecho B, como indica la figura, sometida a una carga uniforme de valor

    p Kg / m. Bajo esas condiciones se sabe que:

    Z(x) = 0 x L + Lxx2xp.L

    p (Kg / m ) ( ) dZ

    A B

    434

    LL24.EI

    dx=x

    a) Encuentra el punto de la viga donde se produce la flecha mxima, as como el

    valor de la misma.

    b) Encuentra el punto de la viga donde el desplazamiento es mximo y su

    correspondiente valor.

    Ejercicio No. 59-Viga apoyada con carga concentrada(Resol.Pag. 215) Considera la viga de la figura, articulada en A y apoyada en B con una carga

    concentrada F.

    Sea L su longitud. F

    A B

    a b

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 122

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados

    En esas condiciones la ecuacin de la elstica y el desplazamiento angular sern:

    Z(x)

    ( )xLxLF.a a.bab6.EIL

    +

    a x0 .ba

    xbx

    ax2

    6.EIL.bF.a

    2

    322

    +

    L x a xL2.b 2322

  • Aplicaciones de la Derivada - Captulo 2 - Optimizacin - Enunciados demuestra que la ganancia se maximiza para un nivel de produccin qo cuando

    se cumplen:

    1ro.) Cmg.( qo ) = Img. ( qo )

    2do.) ( ) ( )d 022

    02

    2q

    dqCd q

    dqI

    <

    b) Un fabricante estima que si produce q miles de unidades por mes de cierto artculo

    su Costo Total C viene expresado por la relacin:

    C (q) = 0.10 q2- 0.2 q +100 U$S

    Su curva de demanda responde a la expresin

    p (q) = - 0.11 q + 41.8 U$S / unidad.

    Te pedimos que determines el nivel de produccin q que maximiza las ganancias y

    el correspondiente precio por unidad.

    Verifica que se cumplen las condiciones de la parte a) del ejercicio.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 124

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    OPTIMIZACIN

    RESOLUCIONES

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 125

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones Ejercicio No. 1 a) Llamemos x e y a las componentes de la pareja.

    Se busca maximizar P tal que : P = x .y

    Sabemos que se cumple la condicin: x + y = S (1)

    De la condicin (1): y = S x.

    Sustituyendo tendremos: P (x) = x . ( S x )

    Finalmente entonces: P ( x ) = - x2 + S.x

    Nos encontramos con una simple funcin cuadrtica que conoces de cursos

    anteriores. Busquemos su mximo , vrtice de la parbola representativa de la

    funcin , para lo cual debemos anular su derivada .

    Derivando: Anulando: - 2.x + S = 0 Finalmente: x = S.

    De la condicin ( 1 ) : y = . S La pareja buscada ser entonces: ( S, S) El producto de sus componentes ser el valor mximo: P ( S ) = S2 El bosquejo de la funcin producto es el indicado en la figura. P(x) s2/4 0 s/2 s x

    S2.xdxdP

    +=

    b) Si S = 40 , la solucin es: x = 20 , y = 20 o sea la pareja ( 20, 20 ). El producto mximo ser entonces: Pmax = 400.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 127

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones Ejercicio No.2 a) Siendo ( x , y ) la pareja buscada deseamos en este caso minimizar la suma

    S = x + y

    cumplindose la condicin :

    x . y = P ( 1 ) siendo P , dado. De la condicin anterior se concluye que: y = P/ x. Sustituyendo obtenemos

    finalmente:

    xP

    xS(x) += Busquemos los puntos crticos de la funcin anulando la derivada. Tendremos:

    Px

    0Pxx

    PxxP1

    dxdS 2

    2

    2

    2

    =

    =

    ==

    Hemos descartado la solucin negativa ya que x > 0 . Estudiando el signo de la derivada primera de la funcin o calculando la derivada segunda en el punto crtico podemos clasificarlo. 0 Sig dx

    0

    dS

    P

    El punto crtico corresponde entonces a un mnimo y su ordenada vale: S( )= 2. P P Bosquejemos la funcin S : P

    xxS(x) +=

    Calculemos: lim S(x)=+ lim S(x)=+ x + x 0+ La grfica de la funcin S tendr el andamiento indicado en la figura.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 128

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones S(x)

    2 P

    0 P x

    La componente y de la pareja la obtenemos de la relacin (1): y = p/x = p

    Finalmente entonces la pareja buscada es: ( , ) y su suma , S = 2 p P P

    b) Siendo P = 100 la pareja ser ( 10 , 10 ) y su suma S = 20. Ejercicio No. 3

    Llamemos x e y a los lados del rectngulo.

    Su permetro p ser: p =2 ( x + y ) (I) y su rea A: A = x .y

    Observa que este ejercicio es una aplicacin geomtrica del ejercicio No. 1.

    En efecto, de la expresin (I): x + y = p/2 con (p / 2) dado , y estamos buscando

    maximizar su producto ( x .y ). Si llamamos S al nmero (p / 2) estamos en las

    condiciones del ejercicio No.1

    De acuerdo con los resultados all obtenidos la solucin ser: x = y = S / 2 = p / 4 ,

    por lo que el rectngulo de rea mxima es el CUADRADO.

    El rea mxima valdr : A max = S2 / 4 = p2 / 16 .

    Ejercicio No. 4

    L

    x A y B x C y y x extremos soldados y

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 129

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    a) Los dobleces podrn efectuarse, por ejemplo, en los puntos A , B , C indicados

    debiendo ser B el punto medio del alambre.

    b) Tericamente podrs construir infinitos rectngulos variando x entre 0 y L / 2 ,

    y sus reas variarn.

    c) Se cumplir que el rea A ser: A = x .y con la condicin 2 (x + y ) = L Despejando y de la condicin anterior y sustituyendo obtenemos:

    0< x< L / 2 x)A =

    Observa que , como el permetro L del rectngulo es dado , esto no es ms que una

    aplicacin del ejercicio No.3 y por tanto el rectngulo de rea mxima ser el

    cuadrado de lado y rea 16LA

    2= . 4

    La funcin (A) es una funcin cuadrtica con dominio restringido a [ 0 , L / 2 ] cuya

    grfica representativa es la indicada.

    A(x)

    L2 /16

    0 L / 4 L / 2 x

    2L x.((x)

    L

    Ejercicio No. 5

    Una vez armada , la caja tendr como base un cuadrado de lado (40 2x) y

    altura (x) .

    Su volumen estar dado por la expresin: V ( x )= (40 2x )2 . x

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 130

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    .

    x

    40 2x

    40 2x

    Estudiaremos la funcin V en el intervalo [ 0 , 20 ] .

    Valores en los extremos: V(0)=0 V(20)=0 . Busquemos puntos crticos.

    Derivando:

    dV dx

    40)2.x)((40dV:Operando +=

    320 y x 20 x:crticos puntos como obtenemos Anulando

    6xdx

    ).2404)(.240()240().2).(.240(2 2

    ==

    +=+= xxxxxx

    Para clasificar el punto crtico interior al intervalo [0,20] estudiemos el signo de la

    derivada primera.

    0

    Sig. + dV

    0 20 / 3 20 dx

    MAX V(x)

    El valor x = 20 / 3 corresponde pues a un mximo. V max

    El bosquejo grfico de la funcin V es el que

    indica la figura.

    Observa que la curva tiene tangente horizontal 0 20/3. 20 x

    en x= 20 ya que en ese valor la derivada es nula.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 131

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    b) El correspondiente volumen V ser:

    332

    max cm4,74.10320.)

    340(4)

    320V(V ==

    Ejercicio No. 6

    81362

    1531 23 ++= qqqEl costo de produccin est dado por la expresin: C(q)

    Como se te pide que minimices el costo de produccin , derivaremos la funcin.

    Tendremos:

    36dq+= q

    Anulando

    Estudiemos hallados. crticos punto los clasificar para dqdC de signo el

    12q 3 q 03615q

    :crticos puntoshallar para

    15dC

    212

    2

    ===+ q

    q

    0 0

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 132

    dCdq Sg 0 3 12 15

    max min Nos queda por definir si el mnimo absoluto es C(12) o C(0). Calculemos esos

    valores funcionales. C(0) = 81 C(12)=9

    El mnimo costo de produccin corresponde entonces a la fabricacin 12000

    unidades y su valor es de : C min.= 9.000 U$S .

    Ejercicio No. 7

    a) Siendo el costo total de los n pisos: C(n) = 2.n2 + 300.n + 320 el costo

    promedio por piso ser: Cmed = 2.n + 300 + 320n

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    b) Busquemos puntos crticos , siendo n > 0.

    3202dC =

    1600320Anulando == 12,65 n 2n :derivada la ndn

    2

    2

    Necesitamos clasificar el punto crtico hallado, para lo cual podemos estudiar el

    signo de la derivada primera o calcular la derivada segunda en el valor hallado

    de n . Optando por lo ltimo:

    El punto crtico es un mnimo. = 00160(640d > 3,)d ndn

    C2

    2

    32

    2

    dnC

    Como el nmero de pisos debe ser un nmero natural deberemos decidir entre 12 y

    13 pisos , para lo cual calcularemos los costos correspondientes.

    Cmed(12) = 350.666 U$S Cmed (13) = 350.615 U$S

    En consecuencia el costo total ser mnimo para n= 13 pisos.

    c) El costo total del edificio ser : C(13)= 350.615. (13) 4.558.000 U$S.

    Ejercicio No. 8

    a) Como : Vm

    = , siendo m constante, la densidad del agua ser mxima

    cuando el volumen V sea mnimo. Debemos pues minimizar V en [0,10].

    Derivando:

    oconsiderad intervalo elen crtico punto nico al ecorrespondTC79Ty C3,92T

    :races comoobtienen seecuacin la Resoviendo

    0 6,4 - T 17,0.10 . 20,4- :Anulando

    6,4)0,17TT20,4.10(10dTdV

    1

    02

    01

    23-

    23.5

    =+

    +=

    T

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 133

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Estudiemos el signo de la derivada para clasificarlo

    0

    Sig dV /dT

    0 3.92 10

    El valor de T hallado corresponde al mnimo absoluto de la funcin V en [0,10].

    El agua tiene entonces densidad mxima a una temperatura cercana a los 4 grados

    centgrados.

    b) Los valores en los extremos del intervalo son:

    V(0)= 1 lt V(10) 1 lt

    El valor en T=3,92 es: V(3.92) 0.99.

    El bosquejo grfico de la funcin es como se indica.

    V(t) lt.

    1.00

    0.99

    0 3.92 10 T(0C)

    Ejercicio No. 9

    a) La funcin demanda p es tal que : p(q) = 8.25 e- 0.02 q con q 0.

    Bosquejaremos p(q) para lo cual calculamos:

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 134

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    p ( 0 ) = 8.25 lim p(q) = 0

    q +

    dqdp = - 8.25 .(0.02). e-0.02 q

    Obviamente la derivada es negativa para todo valor de q , con lo que la funcin es

    montona decreciente.

    La derivada segunda ser : 22

    dqpd = 8.25 .(0.02)2 e-0.02 q 0 q 0

    por lo que la concavidad ser positiva.

    La figura indica el bosquejo de la funcin demanda.

    p(q)

    8.25

    0 q

    b) El ingreso total I es el producto de la cantidad demandada q por el precio por

    unidad p .

    I(q) = p . q = 8.25 q. e- 0.02 q

    Graficaremos la funcin en [ 0 , + ] .

    I (0) = 0 lim I(q) = lim 0.02qe8.25q = 0 ( rdenes de infinitos)

    q + q +

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 135

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Puntos crticos.

    dqdI = 8.25[ e- 0.02 q + q e- 0.02 q ( - 0.02) ] = 8.25 e- 0.02 q ( 1 0.02q )

    dqdI = 0 1 0.02 q = 0 q = 50

    Siendo contnua dqdI q 0 con un solo punto crtico , y teniendo en cuenta los

    clculos hechos anteriormente , podemos concluir que el punto crtico corresponde al

    mximo absoluto.

    En consecuencia el nivel de demanda pedido es de: q = 50 unidades por mes.

    El ingreso mensual correspondiente ser entonces : I(50) = 148.5 miles de dlares

    o sea Imax. = 148.500 U$S.

    El bosquejo de la funcin I ser el indicado en la figura.

    I(q)

    148.5

    0 50 100 q

    Calcula 22

    dqId y verifica que la funcin presenta un punto de inflexin en q = 100.

    Ejercicio No. 10 a) La funcin de demanda de la empresa es : p(q) = 3000 0.3q2 0.6q (1).

    Se trata de una simple funcin cuadrtica con concavidad negativa.

    La representaremos para valores positivos de la demanda q .

    p (0) = 3000 Races: -0.3q 0.6q + 3000 = 0

    Resolviendo la ecuacin obtenemos la raz positiva q 99

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 136

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    El vrtice de la parbola representativa corresponde al valor q = - 1 como fcilmente

    puedes verificar anulando la derivada de la funcin.

    El bosquejo grfico de la funcin demanda ser pues el indicado en la figura.

    P(q)

    3000

    0 99 q

    b) i) Siendo el ingreso I = p.q y sustituyendo p por su expresin (1) obtenemos:

    I(q) = ( -0.3q2 0.6q + 3000 ).q = -0.3 q3 0.6 q2 +3000 q

    Estudiaremos la funcin en el intervalo [ 0, 99].

    I(0) = 0 I(99) = 0 ( recuerda que el valor aproximado q=99 corresponda a p=0).

    Puntos crticos.

    dqdI = - 0.9 q2 1.2 q + 3000 = 0 q 57 toneladas

    Estudiemos el signo de la derivada primera de la funcin para justificar que el punto

    crtico corresponde a un mximo.

    Sg dqdI 0

    0 57 99

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 137

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    ii) El ingreso mximo correspondiente ser: Imax. 113.500 U$S.

    iii) De la expresin (1) , el precio de venta : p(57) 1990 U$S / ton.

    c) El bosquejo de la funcin ingreso en el intervalo [ 0, 99] ser la indicada en la

    figura.

    I(q)

    113500

    0 57 99 q

    Ejercicio No. 11

    Llamando R a la resistencia de la viga y k una constante positiva de

    proporcionalidad podremos escribir:

    R = k. a. h2 (1)

    Considerando el tringulo ABC tendremos : A a B

    2 - a2 = h2 (2) h

    Sustituyendo en (1) obtenemos la expresin C

    analtica de la funcin R: R(a) = k. a . (2 a2 ) 0 a

    Bosquejaremos la funcin calculando: R(0) = 0 R () = 0

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 138

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Puntos crticos

    dadR = k.( 2 3 a2 )

    Anulando obtenemos: a = 0.577 33

    3= ( hemos desechado la solucin

    negativa por no pertenecer al intervalo de estudio ).

    De la relacin (2) conclumos que: h = 0.816 32

    b) Si = 15 38 cm a 8.65 22 cm h 12,24 31 cm.

    c) El volumen del tronco cilndrico de longitud L ser: V = .4

    2 . L

    El volumen de la viga de longitud L ser : V1 = a.h.L

    Tendremos entonces : 6.0

    4.a.h

    4

    a.h.LVV

    221 ==

    L

    El porcentaje de madera utilizada en la viga es entonces del 60% de la madera total.

    Ejercicio No. 12

    Este ejercicio es similar al anterior. Si llamamos E a la rigidez de la viga y k a una

    constante positiva de proporcionalidad , la funcin E tendr como expresin

    analtica: E = k. a . h3 (1)

    La relacin entre a , h y es la misma que en el ejercicio No.11 , vale decir:

    h2 = 2 a2 (2)

    Podramos intentar un razonamiento similar al del ejercicio anterior .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 139

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Despejando h de la relacin (2) y sustituyendo en (1) obtendramos para la funcin E

    la expresin analtica :

    E = k.a.( 22 a )3

    Los clculos necesarios para hallar puntos crticos se vuelven en este caso ms

    laboriosos por la expresin obtenida

    Te mostraremos una manera alternativa de hallarlos.

    Retomemos la expresin (1) : E(a) = k.a.(h(a))3

    Calculemos dadE utilizando el teorema de derivada de la funcin compuesta.

    dadE = k [ h3(a) + a.3h2(a).

    dadh

    ] (3)

    De la relacin (2) , derivando ambos miembros obtenemos:

    dadh

    dhdh

    dah(a)d 22

    = a2dadh2h =

    ha

    dadh

    =

    Sustituyendo en (3): dadE = k [ h3 + a.3h2.

    h(-a)

    ] = k [ h3 3 a2 h]

    Anulando la derivada para obtener puntos crticos conclumos que debe cumplirse la

    relacin: h3 3 a2 h = 0 h = a . 3

    El resultado anterior y la relacin (2) nos permiten expresar los valores de a y de h

    en funcin del dimetro del tronco:

    a = 2 h =

    23 0.866

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 140

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Un razonamiento similar al del ejercicio anterior permite afirmar que el punto crtico

    correspondiente al valor de a hallado es un mximo.

    b) Para = 15 ser: a = 7.5 19 cm h 13 33 cm .

    c) La relacin de volmenes calculada en el ejercicio No.11,

    21 4.a.h

    VV

    =

    nos da en este caso un valor aproximado de 0.55.

    En consecuencia para obtener la viga de mxima rigidez se utiliza el 55% de la

    madera total.

    Las figuras siguientes muestran las secciones de las vigas de mxima resistencia y de

    mxima rigidez a efectos comparativos.

    Viga de mxima. resistencia Viga de mxima rigidez

    Ejercicio No. 13

    El costo necesario para la fabricacin de la caja se compone del costo de la base ms

    el costo de la superficie lateral .

    CT = Cbase+ Csup.lat. a

    h

    2a

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 141

  • Aplicaciones de la Derivada- Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    El costo del material de la base ser:

    Cbase = 100.Sup base = 100 . 2 a2 = 200 a2

    Costo de la superficie lateral:

    Clat.= 80. Slat.= 80. ( 2 a2 + 2.(2ah)) = 80 (2 a2 +4ah ) = 160 a2 +320ah

    Finalmente entonces: CT = 360 a2 + 320 a h

    Se exige que el volumen total sea de 36 m3 o sea:

    V = a.2 a.h = 2 a2 h 2 a2 h = 36 (1)

    Despejando h de (1) y sustituyendo en la expresin del costo total obtenemos

    finalmente:

    CT (a) = 360 a 2 + a

    5760 a > 0

    Estudiemos la funcin en (0 , +) .

    lim CT (a) = + lim CT (a) = +

    a 0+ a +

    Puntos crticos.

    2T

    a5760 - a 720

    daC d

    =

    Anulando: 720 a3 5760 = 0 a = 3 = 2 720

    5760

    Sg. da

    dCT 0

    0 2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 142

  • Aplicaciones de la Derivada -Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    De acuerdo a los clculos podemos afirmar que la funcin presenta un mnimo en

    a = 2 .

    De la expresin (1) se deduce que h = 4.5 m

    Las dimensiones del tanque debern ser entonces: a = 2m , h = 4.5m , L = 4m.

    El costo total ser de : C T (2) = $ 4320 .

    Ejercicio No. 14

    Sea R el radio de la base y h la altura de la parte cilndrica.

    Tendremos: Sup. lateral = 2 R h Sup. bveda = 2 R2

    Costo de superficie lateral: A ( $ / m2 )

    Costo de bveda : 2 A ( $ / m2 )

    Costo total: CT = 2 R h A + 2 R2 .2 A

    Llamando V al volumen dado del silo expresado en m3 tendremos:

    V = R2 h + 6R4 3 (1)

    Despejando h de (1), sustituyendo y operando en la expresin del costo obtenemos:

    H = h = 2

    3

    R

    R32V

    CT (R) = 2A (

    34R

    RV 2

    +

    )

    Estudiaremos la existencia de mnimo en [ 0 , + ] .

    Calculamos:

    lim C ( R ) = + lim C ( R ) = +

    R 0+ R +

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 143

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Puntos crticos

    Derivando:

    +=

    38R

    RV- 2A

    dRdC

    2T

    Anulando:3R8

    RV

    2 + = 0 -3V+8R3 = 0 Este polinomio en R de tercer

    grado tiene una raz real , R = 3 , y las dos restantes imaginarias. 8V3

    0

    Sg. dR

    dCT

    0 38V3

    El valor hallado de R corresponde por tanto a un mnimo.

    Como = 2R tendremos: = 3 V3

    De la expresin (1) :

    h = 3

    32

    22

    3

    V3

    64V9

    8V3

    32V

    R

    R32-V

    =

    =

    Ejercicio No. 15

    y A x Como el costo del alambre es proporcional a la longitud y los cinco tiros son iguales ,

    bastar minimizar el costo de uno de ellos.

    Llamemos L a su longitud expresada en (m) y A el rea encerrada en (m2 ) .

    Tendremos: L = x + 2 y y deber cumplirse la condicin x .y = A (1)

    Despejando y de (1) y sustituyendo obtenemos finalmente la funcin L.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 144

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    L(x) = x + xA x 0

    Derivando para hallar puntos crticos:

    2

    2

    2 x2Ax

    x2A1

    dxdL

    ==

    Obtenemos entonces: x = A2

    0

    Sg. dxdL

    0 A2

    La funcin presenta mnimo en el valor hallado de x .

    El correspondiente valor de y deducido de la expresin (1) ser :

    y = 22A

    2AA

    =

    El ancho del rectngulo a alambrar es entonces la mitad del largo.

    Siendo 1Hec. = 10.000 m2 obtenemos:

    x 447.20 m y 223. 60 m L = 89,40 m

    Como el alambrado tena 5 hilos , la longitud total de alambre ser:

    Ltotal = 4472 m y el costo total de alambre asciende a la suma de U$S 156,52 .

    Si deseas tener un costo ms ajustado al costo del trabajo de alambramiento debers

    agregar el costo de los postes , el de los piques , el salario de los alambradores y

    estimar adems un porcentaje de alambre para ataduras y de desperdicio .

    Ejercicio No. 16 a) La funcin ganancia G es tal que :

    G(x) = 2000 x 2 x2

    Se trata de una simple funcin cuadrtica cuya parbola representativa tiene

    concavidad negativa.

    Bastar que hallemos la abscisa de su vrtice y si este es interior al intervalo de

    estudio, [ 0 , 600 ] , corresponder al mximo absoluto de la funcin.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 145

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Derivado y anulando la derivada obtenemos:

    20004xdxdG

    += x = 500

    En consecuencia el productor deber sembrar 500 Hec.

    b) La ganancia mxima por sembrar 500 Hec. ser: G(500) = $ 500.000

    De haber sembrado las 600 Hectreas disponibles su ganancia habra sido de

    G(600) = $ 480.000 .

    En consecuencia su prdida hubiera sido de $ 20.000 .

    Ejercicio No. 17 a) d

    Q1 Q2 x P d-x

    El potencial en un punto P como el indicado ser:

    V(x) = xd

    kQx

    kQ 21

    +

    Siendo Q2 = 5 Q1 nos quedar finalmente como expresin analtica de la funcin V:

    V(x) =

    +

    xd5

    x1kQ1

    b) Estudiemos la funcin V en el intervalo ( 0 , d )

    lim V(x) = + lim V(x) = +

    x 0+ x + Puntos crticos

    ( ) ( )

    +=

    +

    = 22

    221221 xdx

    d2dx4xkQxd

    5x

    1kQdxdV

    0dxdV

    = 4x2 +2dx d2 = 0

    Resolviendo la ecuacin: X1 = d 4

    51

    + X2 = d 4

    5-1

    Descartamos la solucin X2 por ser negativa , mientras X1 ( 0 , d ), X1 < d .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 146

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    El bosquejo grfico de la funcin es el indicado en la figura

    V(x) 0 X1 d x El voltaje mnimo se produce entonces cuando el punto P est a una distancia X1 de

    la carga Q1 y su valor ser V(x1).

    c) Para los valores dados: Q1 = 5 . 10-10 Cul. , Q2 = 5 Q1 d = 5 cm. = 0.05 m

    k = 9.109 Volt. m / Cul. , x 0.62 d , obtendremos:

    Vmin. = V

    + 05,0.2

    51 V(0.03) 1275 voltios.

    Ejercicio No. 18 a) L

    I1 I2

    x P y

    La iluminacin E en el punto P ser:

    E =

    +=+ 2

    221

    22

    21

    yI

    xIk

    ykI

    xkI

    Se cumplir adems la condicin x + y = L de la que deducimos : y = L x (1)

    Podramos, como hicimos en el ejercicio anterior, sustituir el valor de y de (1) en la

    expresin de E obteniendo E(x).

    La derivacin de esta expresin nos conducir a clculos ms laboriosos que los del

    ejercicio No. 17, por lo que resulta ms conveniente resolver el problema de la

    derivacin usando funcin compuesta.

    Se cumple que:

    lim E(x) = + lim E(x) = + x 0+ x L-

    +

    =

    dxdy

    y2I

    x2Ik

    dxdE

    32

    31

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 147

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    De la relacin (1) : dxdy = -1

    En consecuencia:

    +

    = 3

    231

    yI

    xI2k

    dxdE

    Anulando: 0dxdE

    = 0yI

    xI

    32

    31 =

    +

    31

    23 yIIx =

    Finalmente: x = 3 . y = 1

    2II

    3 .( L x ) 1

    2II

    Operando en el segundo miembro de la igualdad y despejando x:

    x = L

    IIII

    .1 3

    1

    2

    31

    2

    +

    Como .1 3

    1

    2

    31

    2

    IIII

    +< 1 el valor de x hallado pertenece al intervalo (0 , L) de estudio de

    la funcin.

    De acuerdo a los resultados obtenidos el punto crtico encontrado corresponde a un

    mnimo.

    El bosquejo grfico de la funcin ser el indicado en la figura.

    E(x)

    Emin.

    0 xo L x

    b) Siendo L = 12 m I2 = 8 I1 tendremos: xo = 8 m

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 148

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin -Resoluciones Ejercicio No.19 a) precio unitario: p(x) = 200 0.01x $

    Costo total: C(x) = 50x + 20.000 $

    La ganancia G del fabricante ser :

    G = I C (Ganancia = Ingreso Costo)

    El ingreso obtenido por la venta de x artculos por semana se obtiene multiplicando

    el precio unitario p por el nmero de artculos vendidos semanalmente x .

    I(x) = p.x = 200x 0.01x2 $ / sem

    Finalmente entonces: G(x) = (200x 0,01x2) ( 50x + 20.000 )

    G(x) = - 0.01x2 + 150x 20.000 $ / sem x 0

    Como puedes observar la funcin ganancia es una simple funcin cuadrtica con

    concavidad negativa. Basta que verifiquemos que el vrtice corresponde al mximo

    de la funcin en el intervalo [ 0 , + ) para lo cual su abscisa deber ser 0.

    Derivando: 1500.02xdxdG

    +=

    Anulando: x = 7500 unidades / sem.

    En consecuencia para maximizar sus ganancias el fabricante deber vender 7500

    unidades / sem.

    El precio correspondiente ser: p(7500) = 200 0.01.(7500) =125

    p = 125 $ / unidad

    b)

    Al establecerse un impuesto de 10 $ / unidad tendremos una nueva funcin ganancia

    G1 tal que G1(x) = - 0.01x2 +150x 20.000 10x

    G1(x) = - 0.01x2 +140x 20.000 Repitiendo para esta funcin lo hecho en la parte a) del ejercicio:

    1400.02xdx

    dG1 +=

    Anulando x = 7000 unidades / sem.

    El nuevo precio ser: p(7000) =200 0.01.(7000) = 130

    p = 130 $ /unidad

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 149

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin -Resoluciones El precio de venta ha aumentado $ 5.00 lo que te est indicando que para obtener

    mxima ganancia el fabricante trasmite al comprador la mitad del impuesto,

    absorbiendo l , la otra mitad.

    Las respectivas ganancias sern:

    G(7500) = - 0.01 (7500)2 + 150 (7500) 20.000 = 542.500 $ / sem.

    G1(7000) = - 0.01 (7000)2 +140 (7000) 20.000 = 540.000 $ / sem.

    Ejercicio No. 20

    Debemos minimizar la funcin costo total CT en el intervalo [ 0 , 300 ] .

    CT (x) = 2x + x217800

    Bosquejemos la grfica de la funcin.

    lim ( 2x +x

    217800 ) = + CT (300) = 1326

    x 0+

    Puntos crticos

    2

    2

    2T

    x2178002x

    x2178002

    dxdC

    ==

    Anulando: 2x2 217800 = 0 x = 330

    Sig. dx

    dCT o o

    -330 0 300 330 En el intervalo [ 0 , 300 ] que es el que nos interesa , la funcin resulta

    estrictamente decreciente y el mnimo absoluto que buscamos ocurre para x = 300.

    En consecuencia debern transportarse 300 unidades.

    El bosquejo de la funcin es el indicado en la figura. CT(x) 1326 0 300 x

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 150

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    b) En este caso el intervalo de estudio ser [ 0 , 400 ] .

    Bajo estas condiciones el punto crtico correspondiente a x = 330 pertenece al

    intervalo y por tanto corresponder al mnimo de la funcin segn el estudio de

    signos hecho en la parte anterior.

    Debern transportarse entonces , en este caso , 330 unidades para obtener costo

    mnimo.

    Ese costo ser de : CT (330) = 1320 .

    El bosquejo grfico de la funcin se indica en la figura. C(x)

    1344, 5

    1320

    0 330 400 x

    Ejercicio No. 21

    P( R ) = ( )2

    2

    rRR+

    a) Para que la potencia disipada en la resistencia de carga sea mxima debemos

    hallar el mximo de P(R) en el intervalo [0 , +).

    b) P(0) = 0 lim P( R ) = 0 R +

    Puntos crticos

    ( ) ( )( )

    ( )( )4

    222

    4

    22

    rRrR

    rRrRR.2rR

    dRdP

    +

    +=

    +

    ++=

    0dRdP

    = - R2 + r2 = 0 R = r

    Como la funcin P es contnua y positiva en el intervalo , de acuerdo a los clculos

    realizados podemos afirmar que el punto crtico es mximo.

    En conclusin: La potencia disipada en la resistencia de carga es mxima

    cuando ella iguala a la resistencia interna del generador

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 151

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    b) Con los clculos realizados en la parte anterior podemos bosquejar el grfico de la

    funcin P.

    El valor de la potencia mxima es:

    Pmax. = 4R

    2

    P(R)

    2 / 4r

    0 r R

    Nota

    La expresin de la potencia disipada que te hemos dado en el enunciado del ejercicio

    puedes deducirla fcilmente .

    La intensidad I de la corriente que circula por el circuito dado, es el cociente entre la

    fuerza electromotriz del generador y la resistencia total del circuito R + r.

    Como la potencia disipada es : P =R.I2 obtienes finalmente la expresin

    P = ( )2

    2

    rRR.+

    .

    Ejercicio No.22 R x a) Se cumple que :

    Rx

    R.xR x1

    R1

    R1

    eq.eq. +

    =+= (1)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 152

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    b) Bosquejaremos la grfica de Req. en el intervalo [0,+) .

    lim Req. = 0 lim Req. = R x 0+ x + Derivando:

    ( ) ( )2

    2

    2eq.

    RxR

    RxxRxR

    dxdR

    +=

    +

    +=

    Sg.dx

    dReq.

    0 En consecuencia la funcin es montona creciente y su grfico es el indicado en la

    figura.

    Req.(x)

    R

    0 x

    La Req. del paralelo no supera entonces el valor R cualquiera sea el valor de la

    resistencia x .

    c) Si 0 x R tendremos como valor mximo de la resistencia equivalente a :

    Req. max. = Req.( R ) = 2R

    i) Si x = 0 , de la expresin (1) ( parte a) ) se concluye que : Req.=0 lo cual implica ,

    desde el punto de vista elctrico , cortocircuitar la resistencia x y por tanto la

    resistencia R . El circuito correspondiente ser el de la fig.(1).

    R R Fig. (1) Fig. (2) x ii) Si x + de (1): Req.= R .Elctricamente significa desconectar la resistencia x

    del paralelo. El circuito se ve en fig.(2) .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 153

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    d) R1 R

    I x

    V El valor de la intensidad de corriente I en el circuito viene dado por :

    I =eq.1 RR

    V+

    Siendo Req. la resistencia equivalente del paralelo formado por R y x.

    Como Rx

    x.RReq. += obtenemos finalmente la expresin analtica de la funcin I.

    I(x) =

    RxxRR

    V

    1 ++

    (2)

    Para x = 0 tendremos, usando la expresin (2) : I(0) = 1R

    V

    Segn vimos anteriormente el segundo sumando del denominador de (2) es una

    funcin montona creciente por lo que tambin lo ser la totalidad del denominador;

    y consecuentemente la funcin I es montona decreciente.

    Su valor mximo ser precisamente I(0) lo cual nos permite afirmar que la resistencia

    R1 acta como limitadora de la corriente mxima del circuito en caso de

    cortocircuitarse la resistencia x .

    El circuito en el caso x =0 sera el indicado en la figura. R1 R

    En el caso x = 0 , R1= 0 la corriente mxima tiende a .

    Ejercicio No.23 a) La superficie total de hojalata utilizada en el envase ser la suma de la superficie

    lateral del cilindro ms el doble de la superficie de un cuadrado de lado .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 154

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    h

    La superficie total S ser entonces : S = ..h + 22 (1)

    El volumen dado V establece una relacin entre las variables y h.

    V = h.4

    2 (2)

    Despejando h de (2) y sustituyendo en (1) obtenemos finalmente:

    S ( ) =

    2V4 2+ > 0

    A efectos que visualices como vara la funcin S bosquejaremos el grfico de ella.

    lim S ( ) = + lim S ( ) = +

    0 + + S ( )

    Puntos crticos

    Derivando:

    +

    =+

    =

    22V 444VdS

    d

    Anulando: 32 V 0V

    ==+

    0

    Sg.d

    dV 0 3 V

    0 3 V

    El punto crtico resulta ser entonces el mnimo absoluto de la funcin.

    De la relacin (2) : h = 3 22 V

    4V4V

    =

    La relacin h ser entonces: 27.14

    VV

    4Vh33 2

    ==

    b) Si V = 1 lt = 1000 cm3 = 10 cm h = 7.1240

    cm

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 155

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    c) El rea de material desperdiciado es la diferencia entre el rea del cuadrado de

    lado y el rea del crculo de dimetro .

    La superficie total utilizada en el envase tiene rea: S = 2V4 2

    +

    La relacin entre rea desperdiciada y rea total ser entonces:

    24V

    41

    24V4

    32

    22

    +

    =

    +

    = 036.06

    41

    (Recuerda que 3 V = )

    El porcentaje pedido ser de 3,6 %.

    Ejercicio No. 24 F

    P

    F() = 2

    0 sen.cos

    m.g.

    +

    a) Efectuemos un bosquejo grfico de la funcin .

    F(0) = .m.g F(2 ) = m.g

    Puntos crticos

    ( )[ ]( )2sencos

    cossen..F

    +

    +=

    gmdd

    Anulando: sen = cos tg = = Arctg

    Estudiemos el signo de la derivada para clasificar el punto crtico.

    El signo lo determina el factor sen - cos = cos . ( tg - )

    En [ 0 , 2] , cos 0 mientras el factor ( tg - ) cambia su signo de negativo a

    positivo.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 156

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    En definitiva:

    0

    Sg dFd

    0 Arctg /2

    El punto crtico corresponde entonces al mnimo absoluto de la funcin.

    El bosquejo grfico ser el indicado en la figura.

    F()

    mg

    m g

    Fmin

    0 Arctg / 2

    El valor de la fuerza mnima ser:

    Fmin.= sen.cosm.g.

    +

    debindose cumplir que tg = . Teniendo en cuenta que

    cos = 2tg1

    1

    + conclumos:

    Fmin.= sen.cosm.g.

    +

    = ( ) ( )

    1

    .m.g 1

    1

    1.m.g

    tg.1.cosm.g.

    222

    +=

    ++

    =+

    b) Para el caso: = 0.4 , m = 80 Kg , g = 9.8 m / s2 obtenemos:

    Fmin. 291,17 Nw . 30 Kg f (kilogramo fuerza)

    = Arctg 0.4 220

    Comentario.

    En la parte b) del ejercicio has visto que si realizas una fuerza de aproximadamente

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 157

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    30 kgf con un ngulo de inclinacin de 220 , logras poner en movimiento el cuerpo

    cuyo peso es de 80 Kg f .

    Sin embargo, si realizas esa misma fuerza de 30 Kgf horizontalmente ( = 00 ) no

    consigues moverlo ya que en ese caso la fuerza necesaria sera:

    F(0) = .m.g = 0.4 (80)(9.8)=313.6 Nw = 32 Kg f .

    En realidad la fuerza til Fu necesaria para mover el cuerpo es la componente horizontal de la fuerza F. Para el caso = 220 el mdulo de la fuerza til ser Fu = 30. cos 220 =27.8 Kg f .

    En resumen

    Si Fu = 27.8 Kgf el cuerpo comienza a moverse.

    Si F = 30 Kg f con direccin horizontal , el cuerpo no se mueve.

    En primera instancia puede parecer un contrasentido.

    Sin embargo no lo es , y los resultados que obtuviste son correctos.

    Que ocurre en realidad ?.

    Si dibujas el diagrama del cuerpo libre tendrs todas las fuerzas que actan en el

    problema .

    FN F N

    Fr Fu Fr F

    P P

    (I) (II)

    En (I): Froz = ( P FN) En (II): Froz = N2 = P

    Al variar el ngulo varan las componentes Fu y FN de la fuerza F

    Si aumenta desde 00 a 900 , Fu disminuye y FN aumenta , con lo cual disminuye

    la fuerza N de reaccin del plano y consiguientemente disminuye la fuerza de

    rozamiento Fr.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 158

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    La fuerza de rozamiento es mxima para = 0 y vale:

    Froz (0)= 0.4.(80).(9.8) = 313.6 Nw = 32 Kgf

    Para = 220 en cambio la fuerza de rozamiento vale:

    FN = 30.sen(220) 11.24 Kgf P = 80 Kgf N 68.76 Kgf por lo que

    Froz(220) = .4 (68.76) 27,50 Kgf

    En resumen:

    En el caso (I):

    F = 30 Kgf = 00 Froz = 32 Kgf F < Froz ( El cuerpo no se mueve)

    En el caso (II):

    F = 30 Kgf = 220 Fu = 27.8 Kgf Froz = 27.50 Kgf Fu > Froz

    (El cuerpo se mueve)

    En consecuencia la aparente contradiccin no es tal ya a la luz de que la fuerza de

    rozamiento disminuye a medida que aumenta el ngulo .

    Ejercicio No. 25 Al aplicarle al cuerpo una fuerza de variacin sinusoidal de frecuencia , la amplitud

    de la oscilacin viene expresada por :

    ( ) 222220

    1

    c

    c)(A

    +

    =

    Se te pide que encuentres el valor de que maximiza la funcin amplitud A,

    siendo 0 , valor de que se denomina frecuencia de resonancia.

    Podramos repetir razonamientos de ejercicios anteriores derivando la funcin A

    buscando puntos crticos , etc.

    Sin embargo , si observas la expresin analtica de la funcin ,veras que se trata de

    un cociente con numerador constante , por lo cual para maximizarlo bastar

    minimizar el denominador.

    A su vez, para minimizar el denominador alcanza con minimizar la cantidad

    subradical dada la monotona de la funcin raz cuadrada.

    Esta cantidad subradical no es ms que una funcin cuadrtica en , de concavidad

    positiva de la cual hallaremos la abscisa del vrtice de la parbola representativa.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 159

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Tendremos entonces:

    ( )( )( ) ( )22202220

    22

    2220

    c222c222c

    ++=+=

    +

    d

    d

    Anulando: 2c

    2c 22

    022

    02 ==

    La amplitud mxima de la oscilacin ser:

    Amax. =

    =

    + 4cc

    c

    c2c

    4c

    c

    2202

    1

    202

    22

    22

    1

    Ejercicio No. 26 b y a a x b Llamemos x e y a los lados del rectngulo de estiba de rea A y a y b a los

    espesores de las paredes.

    Los lados del rectngulo exterior sern entonces (x + 2 a) e (y + 2b) y su rea S

    valdr:

    S = (x + 2 a) ( y + 2 b ) (1)

    Las variables x e y estn ligadas por la relacin: x.y = A (2)

    De (2) : y = xA

    Sustituyendo en (1) obtenemos finalmente la expresin analtica de la funcin S :

    S(x) = (x + 2 a )( xA +2 b ) x > 0

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 160

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Bosquejemos el grfico de la funcin S en ( 0 , + ).

    lim S(x) = + lim S(x) = +

    x 0+ x + Puntos crticos

    2

    2

    2 x2aA2bx)

    xA2a)((x2b)

    xA(

    dxdS

    =+++=

    Anulando obtenemos en el intervalo de estudio la raz x0 = Aba

    0

    SgdxdS

    0 x0

    De acuerdo a los clculos realizados el punto crtico correspondiente a x0 es el

    mnimo absoluto de la funcin , cuyo bosquejo es el que se indica en la figura. S(x)

    S(x0)

    0 x0 x

    De la relacin (2) obtenemos:

    y0 = Aab Los lados del rectngulo de estiba sern entonces A

    ba y A

    ab .

    Puedes deducir que si las paredes son del mismo espesor (a = b) el rectngulo de

    estiba y el rectngulo exterior sern cuadrados.

    b) Llamando S1 a la superficie de piso ocupada por las paredes tendremos:

    S1(x) = S(x) A

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 161

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones Como A es constante , resulta obvio entonces que el valor de x que minimiza S(x)

    minimiza tambin S1(x).

    c) Para A = 100 m2 a = b = 0.20 m obtenemos:

    x = 10 m y = 10 m

    Para el rectngulo exterior:

    x + 2 a = 10.40 m y + 2 b = 10.40 m S1 = 10.402 100 = 8.16 m2

    Ejercicio No. 27

    V(t) = 27

    11804tt25t

    31

    980 23 +

    + t en horas , V en Km / h

    a) Estudiaremos la funcin en el intervalo [0,5] ( de 17 horas a 22 horas ).

    V(0) =27

    1180 43.7 Km / h V(5) 36.3 Km / h

    Puntos crticos

    980

    dtdV

    = ( t2 5t + 4 ) Anulando: t2 5t + 4 = 0

    Races: t1 = 1 t2 = 4

    V(1) 60 Km / h V(4) 20 Km / h

    De acuerdo a los clculos realizados y siendo la funcin de tipo polinmico podemos

    afirmar que el mximo absoluto se produce en t = 1 y el mnimo absoluto en t = 4 .

    b) El bosquejo grfico de la funcin es el que indica la figura. V(t) ( Km / h)

    60

    43.7

    36.3

    20

    0 1 4 5 t (horas)

    Los resultados indican un trnsito fluido a las l8 horas que paulatinamente se va

    enlenteciendo hasta las 21 horas y que luego comienza a agilizarse nuevamente.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 162

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones Ejercicio No. 28 Sea x el nmero de apartamentos alquilados.

    El nmero de apartamentos no alquilados ser entonces: 150 x .

    Como el nmero de apartamentos alquilados disminuye linealmente a razn de 5

    apartamentos por cada 30 dlares de aumento en el alquiler , la razn ser de 1 apto.

    no alquilado por cada 6 dlares de aumento en el alquiler.

    Los apartamentos alquilados tendrn , cada uno , un alquiler de :

    300 + 6 ( 150 x ) ( U$S )

    Como se alquilan x apartamentos la ganancia total G se expresar analticamente

    como : G(x) = x.[ 300 + 6 ( 150 x )] = - 6 x2 + 1200 x con 0 x 150

    La funcin ganancia es entonces una simple funcin cuadrtica con concavidad

    negativa. Busquemos su mximo , vrtice de la parbola representativa.

    Derivando: dxdG = - 12 x + 1200

    Anulando: x = 100

    Como el valor hallado pertenece al intervalo de estudio , corresponder al mximo

    absoluto de la funcin.

    El bosquejo grfico de la funcin G es el indicado en la figura.

    G(100) = 60.000 U$S G(0) = 0 G(150) = 45.000 U$S G(x)

    60.000

    45.000

    0 100 150 x

    b) El nmero de apartamentos alquilados ser 100 y el alquiler de cada uno de

    U$S 600 , y la ganancia total de U$S 60.000 .

    c) Si se alquilaran todos los apartamentos la ganancia sera de G(150) = 45.000 U$S

    lo que implicara una prdida para la inmobiliaria de 15.000 U$S .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 163

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Ejercicio No.29

    a) N(t) = - t3 + 6 t2 + 15 t

    Para estudiar la funcin en el intervalo [0,5] calculamos:

    N(0) = 0 N(5) = 100 dtdN = - 3 t2 +12 t + 15

    Anulando: t1= 5 t2 = - 1

    2

    2

    dtNd = - 6 t + 12

    Anulando: t = 2

    Sg dtdN

    0 5 La funcin es entonces creciente en el intervalo con tangente horizontal en el

    extremo x = 5 .

    Sg. 22

    dtNd 0

    0 2 5 De acuerdo a lo anterior la funcin presenta punto de inflexin en t=2 cambiando su

    concavidad de positiva a negativa a medida que crece t .

    El bosquejo grfico ser entonces: N(t)

    100

    46

    0 2 5 t

    b) Puedes responder a esta pregunta observando la figura anterior o remitindote a

    los clculos realizados. Si imaginas las tangentes en los distintos puntos de la curva puedes concluir que las

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 164

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    pendientes van aumentando desde t = 0 a t = 2 para luego comenzar a decrecer

    hasta anularse en t = 5.

    La mxima eficiencia ocurre entonces en t=2 o sea a las 10 horas de la maana

    (hemos tomado t= 0 a la hora 8.00 , comienzo del turno).

    Si te remites a los clculos la derivada segunda estudiada en la parte a) no es ms

    que la derivada primera de la funcin eficiencia dtdN .

    Esta ser creciente hasta t=2 y luego decreciente presentando mximo absoluto en

    ese valor de t .

    c) Para contestar la pregunta basta calcular:

    dtdN (0) = 15 y

    dtdN (5) = 0

    La eficiencia mnima ocurre entonces en t=5 , hora 13 final de turno.

    d) Como la eficiencia es una funcin cuadrtica con concavidad negativa , el grfico

    que se indica corresponde a una parbola.

    dtdN (t)

    27

    15

    0 2 5 t

    Ejercicio No.30 a) Sean R , r y h las longitudes indicadas en la figura.

    A r O h

    R

    B

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 165

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    El volumen del cilindro que pretendemos maximizar viene dado por la expresin:

    V = r2 h (1)

    Las variables r y h pueden relacionarse aplicando el teorema de Pitgoras en el

    tringulo OAB.

    Se cumplir entonces: R2 = r2 + 2

    2h

    (2)

    Llegado a este punto debes elegir expresar el volumen V en funcin de r o de h.

    Para el primer caso deberas despejar h de la relacin (2) , lo que te conducira a

    introducir un radical en la expresin de V. Resulta ms conveniente a efectos de los

    clculos despejar r2 y sustituir en (1) expresando V como funcin de h .

    Obtienes entonces: r2 = R2 - 2

    2h

    que sustituda en (1) te conduce a :

    V = (R2 h - 4

    h3 ) 0 h 2R

    Puntos crticos

    )h 43R (

    dhdV 22 = Anulando: h = R

    32

    SgdhdV 0

    0 R3

    2 2R

    El nico punto crtico en el intervalo corresponde pues al mximo absoluto de la

    funcin V de acuerdo a lo anterior.

    Los correspondientes valores de r y V los obtenemos de las relaciones (2) y (1)

    respectivamente.

    r = 32 R Vmax. = 3R33

    4

    b) La superficie lateral S del cilindro ser:

    S = 2 r h

    La relacin entre r y h sigue estando dada por la expresin (2) de la parte a).

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 166

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    Despejando r obtienes : r = 4

    hR2

    2

    Sustituyendo en (1): S(h) = 2 h 4

    hR2

    2 0 h 2R

    Estudiemos la funcin en el intervalo indicado.

    S(0) = 0 S(2R) = 0

    22

    222

    2222

    h4R

    hh4R

    h4R2

    2hhh4RdhdS

    =

    +=

    Anulando: 4R2 2h2 = 0

    Teniendo en cuenta que h 0 , obtenemos h = R 2

    Sg dhdS 0

    0 R 2 2R

    Los resultados anteriores muestran que el punto crtico hallado corresponde al

    mximo absoluto de la funcin en el intervalo de estudio.

    De la relacin (2) : r = 2hR

    2 2

    = y Smax.= 2 R2

    Repara en que , de acuerdo a los resultados, las dimensiones del cilindro de volumen mximo no coinciden con las del de superficie lateral mxima.

    c) El porcentaje pedido ser : 100.V

    V

    esf.

    Cil.max

    En consecuencia: = 100.3

    1100.

    3R433

    R4

    3

    3

    58 %

    Ejercicio No. 31 Sean r , R , y h las indicadas en la figura .

    El volumen del cono vendr expresado por: V = h r 31 2 (1)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 167

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    El cono de volumen mximo debe tener su base en la semiesfera inferior pues todo

    cono tiene otro con base simtrica respecto al plano diametral de la esfera AC, en

    la semiesfera superior , pero de menor altura , lo que permite variar h en [ R,2R] . A R O h

    R

    C r B

    La relacin entre r y h la obtienes aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo

    OCB . ( h - R )2 + r2 = R2 (2)

    Despejando r2 de la relacin (2) y sustituyendo en (1) obtienes:

    V = ([ ]22 RhR 31

    ) .h = ( 32 h2Rh3

    ) R h 2R

    Puntos crticos

    ( 23h4Rh3dh

    dV=

    ) Anulando: h = 0 h = R34

    Valores funcionales:

    V(R) = 3R 31 V(2R) = 0 V( R

    34 ) = 3R

    8132

    En consecuencia el mximo absoluto de la funcin corresponde a : h = R34 .

    De la relacin (2) el correspondiente valor de r ser: r = R3

    22 .

    Ejercicio No.32

    La funcin demanda es: q = 1000 e 0.004 p (1)

    siendo p el precio por unidad y q la cantidad demandada por mes.

    La utilidad del fabricante ser entonces: G = q . p ( $ / mes )

    Sustituyendo q de la expresin (1) obtienes:

    G(q) = 1000 p e 0.004 p

    Bosquejaremos el grfico de la funcin G para p 0 .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 168

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin - Resoluciones

    G(0) = 0 lim G(p) = lim 0.004pe1000p = 0 ( rdenes de infinitos ) .

    p + p + Puntos crticos

    ( ) ( )p004.01e 1000p.0.004.ee 1000dpdG 0.004p-0.004p0.004p ==

    Anulando: 1 0.004 p = 0 p = 250

    Siendo positiva la funcin G el punto crtico corresponde al mximo absoluto de la

    funcin.

    El bosquejo de la funcin ser el indicado en la figura.

    G(p)

    Gmax

    0 250 p

    La cantidad demandada q ser:

    q = 1000 e 0.004.(250) = 1000 e 1 367,88

    Como la cantidad demandada no es un nmero entero calcularemos la utilidad y el

    precio , teniendo en cuenta el bosquejo grfico anterior, para q = 367 y q = 368.

    q = 367 367 =1000e 0.004 p p = ( ) 0.004

    0.367L 250,60

    G(250,60)=91.969,60

    q = 368 368 = 1000 e 0.004 p p = ( ) 0.004

    0.368L 249,92

    G(249,92)= 91.969,60

    El precio de venta de los repuestos deber ser entonces de 249,92 $ / unidad para

    obtener mxima ganancia.

    b) La demanda ser de 368 mesunid. y las utilidades sern de 91.969,60

    mes$.

    .

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 169

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 33 La ecuacin de la trayectoria es :

    ( )2

    0x tgxcos2v

    gy(x) 2220

    +

    =

    a) La trayectoria ser parablica ya que la funcin y es cuadrtica. y

    v0 hmax 0 alcance x

    b) Siendo v0 y constantes debemos hallar la ordenada del vrtice de la parbola.

    Derivando: =dxdy

    tgxcosv

    g22

    0+

    Anulando:

    tgxcosv

    g22

    0= cos sen

    gvx

    20=

    La altura mxima ser entonces:

    hmax.= gcos sentg

    gcossenv

    cos2vg 20

    2

    2240

    220

    v+

    Operando obtienes finalmente:

    hmax = g2senv 220

    c) Siendo constante la altura mxima hmax. ser entonces funcin cuadrtica de v0.

    El bosquejo grfico es el indicado. hmax

    O V0

    Ana Col Herrera 170 Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    d) Siendo ahora v0 constante , la altura mxima ser funcin de .

    Bosquejaremos la funcin h max. en el intervalo 0 / 2 .

    h max.(0) = 0 h max. 2gv

    2

    20=

    Derivando:

    (

    2sen2gvcos sen2

    2gv

    ddh 20

    20 == ) ( Recuerda que sen(2) = 2 sen cos )

    Anulando: = 0 = / 2

    Como sen(2) 0 para 0 / 2 , la funcin es montona creciente en el

    intervalo, con tangente horizontal en ambos extremos.

    Calculemos la derivada segunda: ( ) ( )

    2cosgv2.2cos

    2gv

    dhd 20

    20

    2

    2==

    Anulando: 2 = / 2 = /4

    Sg 22

    dhd

    0

    0 /4 / 2

    La funcin presenta punto de inflexin en = /4 siendo su ordenada h ( /4 )= 4gv20 .

    El bosquejo grfico es el indicado en la figura.

    h max

    2gv20

    4gv20

    0 4

    2

    Ana Col Herrera 171 Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Alcance del proyectil

    Para determinar el alcance L podramos hacer y=0 en la ecuacin de la trayectoria y

    obtener el valor de x correspondiente.

    Sin embargo, teniendo en cuenta la simetra de la parbola respecto de su eje, puedes

    deducir que el alcance es el doble de la abscisa del punto de altura mxima que

    calculamos en la parte b) del ejercicio.

    Por tanto: L = 2 ( ) 2sengvcos sen

    gv 20

    20 =

    Suponiendo v0 constante L ser funcin de siendo la expresin analtica de la

    misma: L ()= ( 2sengv20 )

    Bosquejaremos el grfico en el intervalo 0 /2.

    L(0)= 0 L (/2)= 0 ( ) == 2.2cosgv

    ddL 20

    ( )2cosg

    2v20

    Anulando: cos (2 ) = 0 = /4 L (/4 )= gv20

    El punto crtico hallado corresponde entonces al mximo absoluto de la funcin en el

    intervalo.

    En consecuencia se tendr mximo alcance del proyectil cuando el ngulo de

    lanzamiento sea de 450, para una velocidad inicial dada , siendo adems proporcional

    al cuadrado de la misma. L()

    gv20

    0 /4 /2

    Ana Col Herrera 172 Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 34

    a) Como el gasto de combustible es proporcional al cuadrado de la velocidad

    tendremos:

    Gc = k.v2 (

    h$ ) k > 0

    Si : v = 40 h

    km Gc = 1600 h$ k = 240

    1600 = 1 2kmh$

    b) El gasto total en h$ ser la suma del gasto en combustible ms el gasto fijo.

    GT = k.v2 + 3.600

    h$

    Para obtener el gasto total en km$ es necesario dividir por la velocidad v.

    GT = k.v + v3600

    km$

    La velocidad ms econmica ser la que minimiza la expresin anterior para v > 0.

    Bosquejemos el grfico de la funcin GT.

    lim GT. = + lim GT. = +

    v 0+ v +

    Puntos crticos

    2

    2

    2T

    v3600kv

    v3600k

    dvdG

    ==

    Anulando: kv2 3600 = 0 k

    3600=v

    Como k = 1 conclumos que v = 60.

    El punto crtico hallado corresponde al mnimo absoluto de la funcin en el intervalo

    ( 0, + ).

    La velocidad ms econmica para el desplazamiento de la locomotora ser entonces

    de 60 h

    km .

    El costo por kilmetro ser: GT (60) = 60 + 603600 = 120

    km$ .

    Ana Col Herrera 173 Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    El costo de un viaje de 1000 Km. ascender entonces a $ 120.000 .

    El bosquejo grfico de la funcin es el indicado. GT ($ / km)

    120

    0 60 v(km / h)

    Ejercicio No. 35 a) Tratemos de hallar la expresin p() siendo p el permetro del tringulo ABC.

    C

    O

    R A M B

    Considerando el tringulo OMB: MOB = 2 (ngulo central e inscrito

    correspondientes ).

    En consecuencia : MB = R sen (2) AB = 2 R sen (2)

    Considerando el tringulo CMB :

    BC =sen

    MB =

    sencos 2Rsen

    sen)Rsen(2=

    Finalmente entonces:

    BC = )cos(2 R

    El permetro ser: p()=2Rsen(2) + 2.2R cos =2R ( sen(2) + 2cos)

    Ana Col Herrera 174 Hctor Patritti

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Operando concluyes finalmente que:

    p( )= 4 R cos (1 + sen )

    b) Determinemos el mximo de la funcin p en el intervalo 0 /2.

    p(0) = 4R p(/2) = 0

    Puntos crticos

    ( )[ ] ( )

    sensencos4cos.cos1sensen4Rddp 22 =++= R

    Teniendo en cuenta que cos2 = 1 sen2 obtenemos finalmente:

    ddp = 4R.( - 2sen2 - sen + 1)

    Anulando: . - 2sen2 - sen + 1= 0 sen=4

    811

    +

    Como 0 /2 slo tenemos la solucin sen = 21 =

    6

    El valor funcional en el punto crtico ser:

    p (6 )= 4R cos

    6 (sen

    6 + 1) = 3 3 R

    De acuerdo a los resultados de los clculos efectuados podemos afirmar que el

    punto crtico corresponde al mximo absoluto de la funcin.

    El tringulo de mximo permetro es entonces el tringulo equiltero.

    El bosquejo del grfico de la funcin es el que indica la figura.

    p()

    3 3 R

    4R

    Ana Col Herrera 175 Hctor Patritti

    0 /6 /2

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 36 En el sistema XOY indicado en la figura la ecuacin de la curva descripta por el

    chorro es: y = 220

    x2vg (1)

    h O x

    2.00m

    A

    Y

    Las coordenadas del punto A sern: A ( x , 2 h ).

    La relacin (1) nos permitir llegar a la relacin entre x y h para estudiar su

    variacin.

    Tendremos entonces: 2 h = 220

    x2vg (2)

    Sabemos que la velocidad de salida del lquido ( v0 ) cumple v0= 2gh , por lo que

    sustituyendo en (2) obtenemos:

    (2-h). 2 ( ) Operando: x22 xg2gh = 2 = 4h.(2-h) finalmente y teniendo en cuenta que x 0 obtienes:

    x(h) = 2 2h2h (3) 0 h 2

    Para maximizar x alcanza con maximizar la cantidad subradical , funcin cuadrtica

    con concavidad negativa.

    Como 2h h2 = h ( 2 h ) sus races sern: h1=0 y h 2=2 con lo que el vrtice de

    la parbola corresponde a h = 1 y el correspondiente valor de x es de acuerdo a (3)

    x (1) = 2.

    En definitiva el tanque debe perforarse a una profundidad de 1m, lo que en nuestro

    caso equivale a 1m de altura desde el piso , y el chorro golpear al mismo a 2m de la

    pared del tanque.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 176

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 37 M x N 100 x B CARRETERA

    d

    A

    a) El vehculo tiene distintas posibilidades para ir desde A hasta B. Podra , por

    ejemplo, ir directamente de A a B, podra efectuar el recorrido AMB o

    eventualmente uno como el ANB.

    Trataremos de determinar cul de todos los recorridos posibles corresponde a tiempo

    mnimo de acuerdo a las velocidades dadas.

    Llamemos: v1 = 80 hkm velocidad en el terreno , v2 = 100 h

    km velocidad en la

    carretera , distancia MN = dMN = x distancia NB = dNB = 100 x dAM = d = 36km

    Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo AMN tendremos: dAN = 22 xd +

    El tiempo empleado por el vehculo en los tramos AN y NB sern respectivamente,

    recordando que el movimiento es rectilneo uniforme:

    tAN = 1

    22

    vxd + tNB =

    2vx100

    La expresin analtica del tiempo total t en funcin de la distancia x ser entonces:

    t(x) = 1

    22

    vxd + +

    2vx100

    Estudiemos la funcin en el intervalo [0,100].

    t(0)= mh21

    271100100

    8036

    v100

    vd

    +=+ ( corresponde al trayecto AMB)

    t(100)= mh22

    19180

    10036

    + ( corresponde al trayecto AB)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 177

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Puntos crticos

    2221

    v1

    xdv

    xdxdt

    +

    =

    Anulando: 0v1

    xdv

    x

    2221

    =+

    v2.x = 22 xd + . v1 (1)

    Elevando ambos miembros al cuadrado y operando obtienes:

    21

    22

    121

    22

    21

    222

    1222

    122

    2vv

    d.v x vv

    vd x vdxvxv

    =

    ==

    El valor negativo de x lo desechamos dado que slo estamos considerando el

    intervalo [0, 100].

    Te dejamos como tarea verificar que el valor hallado de x es raz de la ecuacin (1).

    Para los valores dados tendremos: x = km. 4880100

    )80.(3622=

    El valor funcional correspondiente al punto crtico encontrado es: t(48) 1h 16m.

    Dado que el punto crtico encontrado en el intervalo es nico , de la comparacin del

    valor funcional en l con los valores funcionales en los extremos del intervalo, que

    habamos calculado , conclumos que aqul corresponde al mnimo absoluto de la

    funcin.

    En definitiva entonces, el tiempo de recorrido es mnimo cuando el vehculo recorre

    el trayecto ANB siendo N el punto distante 48 km. del punto A.

    b) El tiempo de recorrido ser: t = 1h 16m

    Ejercicio No. 38 a) A vA 80 millas B

    fig (1) vB

    Tomemos t = 0 a las 12.00 horas del medioda.

    La fig. (1) muestra la posicin de los barcos en t = 0.

    La fig.(2) indica la situacin al cabo de cierto tiempo t , instante en el que

    determinaremos la distancia d que los separa como funcin del tiempo t.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 178

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    A P B

    d

    Q

    Supongamos que en el instante t el barco (I) que originalmente estaba en el punto A

    se encuentra ahora en el punto P. Como el movimiento es rectilneo uniforme se

    cumplir que : dAP = vA.t .

    Anlogamente el barco (II) que inicialmente se encontraba en el punto B estar ahora

    en el punto Q cumplindose que: dBQ = vB.t.

    Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo PBQ tendremos:

    PB2 + QB2 = PQ2 (80 - vA.t )2 + (vB.t)

    2 = d2

    Finalmente: d(t) = ( ) ( )2B2A tvtv80 +

    Para minimizar la funcin d en el intervalo de estudio [0,+), basta minimizar la

    cantidad subradical a la que llamaremos y.

    Operando: y = ( ) 6400.t160v.tvv A22B2A ++ Como puedes observar se trata de una funcin cuadrtica de concavidad positiva.

    Determinaremos el vrtice de la parbola representativa y si su abscisa pertenece al

    intervalo de estudio corresponder al mnimo absoluto que estamos buscando , de la

    funcin.

    Derivando: dtdy = ( ) A2B2A 160v.tvv +2

    Anulando obtenemos como raz el valor: t = 2B

    2A

    Avv

    v80+

    > 0 [0,+)

    Siendo vA= 20 nudos vB = 25 nudos t 1,56 h 1h 34 m

    Los barcos se encontrarn entonces a distancia mnima a las 13 h 34 m.

    b) La distancia que los separa ser : d(1,56) = ( ) ( )2B2A .1,56v.1,56v80 +

    d(1,56) 62,47 millas nuticas 115,707km.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 179

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 39 A B

    O

    D C

    a) Como los crculos de centros A y C son de igual radio x , el mximo valor para

    que aquellos no se solapen ser , como puedes observar en la figura anterior , la

    mitad de la diagonal del cuadrado.

    En consecuencia siendo el lado L del cuadrado de 1m: xmax = m22

    2L2= .

    b) x 1-x

    x

    El rea a considerar se compone de dos cuadrantes de crculo de radio x y un

    cuadrante de radio 1-x . Llamando A al rea tendremos:

    A(x) = ( )22

    x141

    4x 2 +

    Operando: A(x) = ( )12x3x44

    1x2

    x43 22 +=+

    La funcin rea es entonces una funcin cuadrtica que estudiaremos en el intervalo

    [0, 22] .

    A(0) = 4 0.78 A(

    22 ) = 85.0

    8225

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 180

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Derivando: ( )264dx

    dA= x

    Anulando obtenemos la abscisa del vrtice de la parbola.

    6x 2 = 0 x = 31 A (

    31 ) =

    6

    El bosquejo grfico de la funcin rea es el indicado en la figura. A(x)

    0.85

    0.78

    0.52

    0 1 / 3 22 x

    i) El mximo de la funcin rea se produce en el extremo derecho del intervalo

    de acuerdo al bosquejo anterior , es decir en x =22 .

    ii) El mnimo de la funcin rea se produce para x = 31 .

    c) Los valores mximo y mnimo del rea sern:

    Amax = 8225 Amin = 6

    Ejercicio No. 40 x

    a A

    a x b

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 181

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    a) El rea A es la diferencia entre el rea del rectngulo y la suma de dos cuadrantes

    de crculo de radios x y a x .

    En consecuencia la expresin analtica de la funcin A ser:

    A(x) = ( )

    +

    4xa

    4xab

    22

    Operando obtenemos: ( )4aab

    2ax

    2xxA

    22 ++

    =

    Como puedes observar se trata de una simple funcin cuadrtica con concavidad

    negativa que estudiaremos en el intervalo [0,a] .

    A(0) = ab - 4.a2 A(a) = ab -

    4.a2

    Vrtice de la parbola representativa de la funcin.

    02ax

    dxdA

    =+= x =

    2a A(

    2a ) = ab

    8.a2

    +

    El bosquejo grfico de la parbola ser como el indicado. A(x)

    A(a/2)

    A(0) = A(a)

    0 a / 2 a x

    i) El rea A es mxima cuando los crculos son de igual radio : x =2a

    ii) El rea A es mnima cuando uno de los crculos tiene radio a y el otro radio 0.

    Amax. Amin.

    b) Los valores mximo y mnimo del rea son:

    Amax. = ab8.a2

    + Amin. = ab - 4

    .a2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 182

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 41 B d

    A k C

    a b

    1 2

    A1 P B1 x k x

    1) Llamemos L a la longitud total de la tubera es decir a la suma de distancias

    PA+ PB.

    Nuestro problema es determinar la posicin del punto P para que la suma de esas

    distancias sea mnima.

    Este es un problema que seguramente has resuelto en el curso de geometra como

    una aplicacin de Simetra axial. Recuerda que la solucin consista en simetrizar el

    punto A ( o el B ) respecto de la recta A1B1 considerada como eje de la simetra , y

    luego unir su imagen con el punto B ( o el A ). La interseccin de esta ltima recta

    con el eje te defina la posicin del punto P.

    Resolveremos este mismo problema pero ahora analticamente.

    De acuerdo a la figura anterior tendremos que, considerando los tringulos AA1P y

    BB1P: dAP = 22 ax + dBP = ( ) 22 bx-k +

    Finalmente: L(x) = 22 ax + + ( ) 22 bx-k + 0 x k

    Clculo del punto crtico

    ( )( )( ) 2222 bxk

    1xk

    axdxdL

    +

    +

    +=

    x (1)

    En el tringulo AA1P : cos1 = 22 ax +

    x

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 183

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    En el tringulo BB1P: cos1 = ( )

    ( ) 22 bxkxk

    +

    Sustituyendo en la relacin (1) tendremos:

    =dxdL cos 1- cos 2 (2)

    Anulando la derivada: cos 1- cos 2 = 0 cos 1= cos 2 (3)

    Como 1 y 2 /2 la igualdad (3) implica 1 = 2

    Queda por clasificar el punto crtico correspondiente a la condicin anterior de

    igualdad de los ngulos

    Para ello podras estudiar el signo de la derivada que hemos calculado o

    eventualmente calcular la derivada segunda y ver su signo en el punto crtico.

    Sin embargo en el enunciado del ejercicio te hemos indicado que admitas que el

    punto crtico encontrado corresponde al mnimo absoluto de la funcin en el

    intervalo, como efectivamente ocurre.

    2) Se te pide ahora determinar el valor de x correspondiente al punto crtico anterior,

    valor que permitir determinar la posicin del punto P o sea la ubicacin de la

    bomba.

    En el tringulo AA1P : tg 1= xa

    En el tringulo BB1P : tg 2 = x-kb

    Como 1 = 2 tg 1= tg 2 xa =

    x-kb

    Finalmente entonces: XP = baka+

    El valor de k se obtiene del tringulo ACB: k = ( )22 abd

    XP = baa+

    ( )22 abd

    3) Para los valores dados: a = 1,5 km b = 3 km d = 3,5 km se deduce que:

    XP 1,05 km

    La longitud de la tubera ser : L 5,5 km.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 184

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Comentario

    La igualdad de los ngulos 1 y 2 implica la igualdad de los ngulos 1 y 2 de la

    figura. B

    A normal

    1 2

    P e

    La suma de distancias AP + PB es mnima cuando se cumpla que : 1 = 2 .

    Si recuerdas que un rayo de luz que provenga del punto A y luego de reflejarse en el

    espejo e deba pasar por el punto B, realiza el recorrido de tiempo mnimo ( Principio

    de Fermat), convendrs en que, como la propagacin se efecta a velocidad

    constante ese recorrido es el mismo que el de suma AP + PB mnima .

    En consecuencia la parte 1) del ejercicio no es otra cosa que una demostracin de la

    Ley de la Reflexin de la luz ( ngulo de incidencia igual a ngulo de reflexin ) que

    conoces desde tus cursos escolares.

    Ejercicio No. 42 a) Como el costo de alambre es proporcional a la longitud , para minimizar el costo

    bastar minimizar la longitud de alambre a utilizar.

    Habindose determinado que se utilizarn tres tiros de alambre paralelos o sea de

    igual longitud , en definitiva bastar minimizar el permetro p a alambrar.

    Llamando x e y a los lados del rectngulo como se indica en la figura, tendremos: Pared del galpn ( 20 m ) y A=100 m2 x p = x + 2 y (1)

    Siendo el rea de 100 m2 se cumplir que: x.y = 100 (2)

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 185

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    De (2) : y = x

    100

    Sustituyendo en (1) : p(x) = x + x

    200 0 < x 20

    lim p(x) = + p(20) = 30 x 0 +

    Puntos crticos

    2

    2

    2 x200x

    x2001

    dxdp

    ==

    Anulando: x2 = 200 x = m 15,14200

    Para clasificar el punto crtico estudiamos el signo de dxdp .

    Sg dxdp 0

    0 200 20

    El punto crtico corresponde pues al mnimo absoluto de la funcin en el intervalo.

    De (2) : y = x

    100 7,07 m p 28,30 m

    b) Como se utilizan 3 tiros de alambre la longitud total de la misma ser : L 85 m.

    Como el rollo de alambre de 1000 m cuesta U$S 35 el costo total del alambre del

    corral ascender a aproximadamente 3 U$S.

    .

    Ejercicio No. 43 a) Tratemos de expresar el volumen V del bebedero en funcin del ngulo .

    Base

    a h 0.40

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 186

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    La superficie S del trapecio base es: S = ( ).h2

    2a0.400.40 ++ (1)

    Refirindonos a la figura anterior podemos escribir:

    sen = 0.40

    h h = 0.40 sen

    cos = 0.40

    a a = 0.40 cos

    Sustituyendo en (1): S() = ( ) sen 0.40 2

    cos .8000.400.40 ++

    Operando: S () = ( ) sen 0.16cos0.16 +Finalmente y teniendo en cuenta que el largo del bebedero es de 3m tendremos:

    V () = 3. (m( sen 0.16cos0.16 + ) 3) (2) 0 2

    Los valores en los extremos del intervalo son :

    V ( 0 ) = 0 V (2 ) = 0.483

    Puntos crticos

    =ddV

    ( )[ ] coscos16.016.0sen16.0 3 2 ++ Operando: =

    ddV

    ( )[ ] ( )1coscos2 48.0coscossen16.0.3 222 +=++

    Anulando: 2cos2 + cos - 1 = 0 cos = 4

    91

    Como 0 2 ser cos 0 y por tanto la solucin es : cos =

    21

    = Arcos (21 ).=

    3

    Hemos encontrado un nico punto crtico en el intervalo , cuyo valor funcional es

    segn la relacin (2) : V(3 )=3 3m 3 62.0

    3sen

    30.16cos0.16

    +

    De acuerdo a los resultados el valor de hallado corresponde al mximo absoluto de

    la funcin.

    b) El volumen del bebedero ser aproximadamente de: 623 lt.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 187

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 44 a)

    x

    y

    Llamemos x e y a las dimensiones de cada una de las seis subdivisiones iguales.

    El rea total cercada A ser : A = 3x . 2y = 6xy (1)

    Maximizaremos el rea A sabiendo que la longitud total de cerca L es de 100 m.

    L = 6x + 6y 6x + 6y = 100 (2)

    Despejando y de (2) y sustituyendo en (1) obtenemos la expresin analtica de la

    funcin A de variable x.

    A(x) =x ( 100 6x ) = - 6x2 + 100x x 0

    Se trata de una simple funcin cuadrtica de concavidad negativa de la que

    hallaremos su mximo.

    Derivando: 10012xdxdA

    +=

    Anulando: 325

    12100

    ==x De (2): 325

    650

    ==y

    El rea mxima ser: Amax= A( 325 ) 417 m2

    Observa que se obtiene rea mxima cuando las subdivisiones son cuadradas.

    b) El rea de cada subdivisin ser : Ad = 2m 5.69325 .

    325

    Ejercicio No. 45 a) Tratemos de expresar el costo total de produccin en funcin del nmero de

    mquinas que habr que poner en funcionamiento.

    Costo total = costo de funcionamiento de mquinas + salario del supervisor

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 188

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    El costo de funcionamiento Cf de las mquinas, llamando x al nmero de ellas ser:

    Cf = 20.x U$S

    Como el salario del supervisor es de 4.80 h

    U$S deberemos calcular la cantidad de

    horas de funcionamiento de las x mquinas para producir 8000 juguetes.

    Como cada mquina produce 30 juguetes por hora, las x mquinas producirn 30x

    juguetes por hora.

    Para producir los 8000 juguetes necesitaremos horas 30x8000 .

    En consecuencia el salario del supervisor ser: Cs = U$Sx1280

    30x8000 . 4.80

    = .

    Finalmente entonces:

    C T (x) = 20x + x1280 U$S

    Para contestar la pregunta del ejercicio deberemos hallar el valor de x que hace

    mnima la funcin costo en el intervalo (0,15] .

    Efectuemos los clculos necesarios para bosquejar la funcin.

    lim CT(x) = + CT (15) 385,33 U$S 2T

    x128020

    dxdC

    =

    Anulando la derivada obtenemos como punto crtico en el intervalo:

    20 x2 1280 = 0 x = 8 CT (8) = 320

    Los resultados anteriores indican que el punto crtico corresponde al mnimo

    absoluto de la funcin.

    El bosquejo grfico es el indicado en la figura.

    En consecuencia debern funcionar

    CT(x) 8 mquinas y el costo total ser

    de 320 U$S.

    320

    0 8 15 x

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 189

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    b) El nmero total de horas de funcionamiento de las mquinas para cumplir con el

    pedido ser de : n = ( )mh2033

    8.308000

    El salario del supervisor ser de :

    CS = ( ) U$S16080.4.8.308000

    =

    c) El costo de funcionamiento de las 8 mquinas necesarias ser de:

    Cf (8) = 20.(8) = 160 U$S

    Ejercicio No. 46 a)

    A

    y E Escalera de longitud L 1.5m

    B 1m C x D

    Tratemos de expresar la longitud L de la escalera en funcin del ngulo

    indicado en la figura.

    En el tringulo ECD : tg = x

    1.5 (1)

    En el tringulo ABD : cos = L

    x+1 (2)

    De (1) y (2) obtenemos : L =

    costg

    5.11+

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 190

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Finalmente : L() =

    sentg5. +1 0 < <

    2

    Estudiemos la funcin L en el intervalo indicado.

    lim L() = + lim L() = +

    0 +

    2

    Derivando : ( ) ( )

    2

    2

    sencos tg1.5- sen tg1

    ddL ++

    =

    Anulando : ( 1 + tg2 ) sen = ( 1.5 + tg ) cos

    ( 1 + tg2 )tg =tg +1.5 tg3 = 1.5

    = Arctg 03 49rad. 85.05.1

    Siendo contnua la funcin en el intervalo los resultados obtenidos permiten afirmar

    que el punto crtico hallado corresponde al mnimo absoluto de la misma.

    La longitud de la escalera ser : Lmin 3.51 m

    b) La altura y de apoyo sobre el galpn la calculamos del tringulo ABD.

    y = L sen 2.65 m

    c) El apoyo de la escalera sobre el suelo distar de la cerca una distancia x que

    calculamos considerando el tringulo ECD.

    x = tg5.1 1.30 m

    Comentario. Podras haber resuelto el problema considerando una variable diferente del ngulo ,

    por ejemplo la distancia x . Obtendras de este modo una expresin L(x) que te

    conducira a clculos ms laboriosos al momento del clculo de la derivada.

    Te sugerimos de todos modos que intentes obtener la expresin L(x) y corrobores lo

    que afirmamos. La eleccin de la variable adecuada para dar solucin a un problema de optimizacin

    suele en muchos casos ser de importancia relevante ya que el estudio de la funcin

    puede presentar dificultades de clculo muy distintas segn la variable utilizada.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 191

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 47

    a) El costo total C de instalacin ser la suma del costo C1 del tendido bajo el ro

    ms el costo C2 del tendido en tierra.

    Tendremos:

    C1= n.y C1 en (U$S) n en ( mU$S ) y en (metros)

    C2 = p.(d1 x) C2 en (U$S) p en ( mU$S ) (d1 x) en (metros)

    Central

    a y

    A x P Fbrica 1 Fbrica 2

    d 1

    d 2

    El costo total de instalacin ser:

    C = n.y + p ( d1 x )

    Aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo de la figura tendremos:

    y = 22 xa +

    Finalmente entonces la expresin analtica de la funcin costo ser:

    C(x) = n 22 xa + + p (d1 x) 0 x d1

    Efectuemos los clculos para bosquejar el grfico de la funcin en [0, +)

    C(0) = n.a + p.d1 C (d1) = n 212 da + lim C(x) = +

    Puntos crticos. x +

    Derivando: pxa

    nxdxdC

    22

    +=

    Anulando: 2222

    xap. nx pxa

    nx+==

    +

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 192

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Resolvemos la ecuacin elevando ambos miembros al cuadrado obteniendo:

    x = 22 pn

    p.a

    =

    1r

    a

    1pn

    a22

    =

    (1)

    siendo r =pn la relacin de precios de tendido bajo el ro y en tierra.

    Te dejamos como ejercicio verificar que el valor de x hallado es efectivamente raz

    de la derivada y que no ha sido introducido por la elevacin al cuadrado realizada.

    Es razonable pensar que en general n > p , por lo que en el enunciado del ejercicio

    nos hemos limitado a este caso.

    El caso n = p no necesita ms que simples consideraciones geomtricas. En efecto,

    en este caso el costo mnimo es equivalente a distancia mnima entre la central y la

    fbrica , por lo que el tendido debera hacerse totalmente bajo el ro uniendo

    directamente la central y la fbrica con un tendido rectilneo.

    Como puedes deducir de la expresin (1) el valor de x correspondiente al punto

    crtico depende del ancho a del ro y de la relacin de precios r.

    Nos queda an por clasificar ese punto crtico. Para ello haremos uso de la derivada

    segunda de la funcin.

    +=

    ++=

    22

    2

    2222

    2

    2

    xa

    an xa

    x.xxan dx

    Cd

    x 0dx

    Cd2

    2> El punto crtico corresponde entonces al mnimo

    absoluto de la funcin en el intervalo de estudio.

    El bosquejo de la funcin es el que se indica siendo x0 la abscisa del punto crtico

    C(x)

    C(0)

    0 x0 x

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 193

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Debemos distinguir dos casos segn que d1 sea mayor o, menor o igual que x0.

    1) d1 x0

    En este caso como puedes concluir de la figura anterior , el mnimo de la funcin

    costo se producira en x = d1 o sea el cable ira directamente de la central a la fbrica

    bajo el ro.

    2) d1 > x0

    En este caso habr parte bajo el ro y parte bajo tierra y la posicin del punto P queda

    determinada por el valor x =22 pn

    p.a

    .

    b) Utilizando los valores dados: a = 500 m , d1=2500 m , n = 50 mU$S , p =30

    mU$S

    obtenemos: x0 = 375 m y el costo mnimo ser: C(375) = 95.000 U$S

    c) Como d2 = 4000 m > x0 seguimos estando en el caso 2) y la posicin del punto P

    permanece invariable.

    El costo mnimo de instalacin es este caso ser: C(375) siendo la funcin costo :

    C(x) = n 22 xa + + p.(d2 x) = 95.000 + p (d2 d1)

    Finalmente: Cmin = 140.000 U$S

    Ejercicio No. 48 Llamemos (I) a la parte semicircular y (II) a la parte rectangular.

    La iluminacin EI que permite pasar la parte (I) ser proporcional a la superficie SI..

    Tendremos entonces: EI = k SI siendo k una constante positiva.

    La iluminacin que por m2 permite pasar la parte (II) ser doble que la de la parte (I).

    En consecuencia: EII = 2 k SII.

    I

    II h

    a

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 194

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    E1 = k. 8a 2 EII = 2 k.a.h

    Llamando E a la iluminacin total: E = k8a 2 + 2.k.a.h (1)

    El permetro p de la ventana est dado por: p = a + 2h + 2 a (2)

    Despejando h de la expresin (2) y sustituyendo en (1) obtenemos la expresin

    analtica E(a).

    E(a) = k (8a 2 + pa a2 -

    2a 2 )

    Finalmente: E(a) = k [-( 1 + 8 3 ) a2 + p.a ] a 0

    Como puedes observar se trata de una funcin cuadrtica con concavidad negativa.

    Hallaremos el vrtice de la parbola representativa para corroborar si se encuentra en

    el intervalo de estudio.

    Derivando:

    +

    += pa

    8312k

    dadE

    Anulando: 0pa 8

    312k =

    +

    +

    a = p 0.23 p 38

    4

    +

    Como el valor de a es positivo la ordenada del vrtice es el mximo absoluto

    buscado.

    Sustituyendo en (2) obtenemos: h = ( ) p 0.20 p 3824

    ++

    La relacin entre el ancho a y la altura h ser de: 12,14

    8ha

    +

    =

    Ejercicio No. 49 a) Llamemos L a la longitud del segmento AB.

    De acuerdo a la figura (1): L = AQ + QB

    Considerando los tringulos ARQ y QSB tenemos: AQ = cos

    d1 QB=sen

    d2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 195

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    L () = 2

    0 send

    cosd 21

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    b) Aplicando el resultado obtenido en la parte a) con los valores dados:

    d1=2.5 m d2 = 2.0 m obtenemos 0 = Arctg rad. 75.05.22

    3

    El correspondiente valor funcional ser: L( 0.75) 6,36 m

    La longitud del cao para que pueda pasar por el corredor deber ser menor que el

    mnimo hallado y como su longitud es mltiplo del metro , la mayor longitud de cao

    que resuelve el problema es de: L = 6m .

    Ejercicio No.50 L

    L - x x

    B A C Fig (1) a) Debemos determinar la posicin del punto A para que la suma de las reas del

    cuadrado construido con el segmento BA y la circunferencia construida con el

    segmento AC , sea mnima.

    Cuadrado

    Lado 4

    xL Area A1= ( )

    16xL 2

    Circunferencia

    Longitud de la cfa. = 2R = x R = 2x Area A2 =

    22

    2x

    =

    R

    El rea total a minimizar ser entonces:

    A = ( )16

    xL 2 + 4

    x2

    Operando obtenemos finalmente:

    A(x) = 16Lx

    8L x

    161

    41 22 +

    +

    0 x L

    La funcin rea es entonces una simple funcin cuadrtica de concavidad positiva.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 197

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 Optimizacin Resoluciones

    Busquemos el vrtice de la parbola representativa de la funcin.

    8L- x

    81

    21

    dxdA

    +=

    Anulando obtenemos: x V = L4 +

    Siendo 1 4

    0

    lim Z()=+ lim Z()=+ Z() 0+ +

    Zmin= RR2 = R El bosquejo grfico es el indicado. 0 res

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 204

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo 2 - Optimizacin - Resolucin Ejercicio No. 54 La energa gastada por el pez est dada por la expresin:

    E(v) = uvdkv3

    v > u > 0

    siendo k ,d y u constantes positivas.

    a) Veamos los puntos crticos de la funcin E .

    Derivando : 22

    2

    32

    u)(v3u)(2vvk.d.

    u)(vvu)(v3vk.d.

    dvdE

    =

    =

    Anulando: v = u23

    Debemos justificar que este nico punto crtico perteneciente el intervalo de estudio

    corresponde al mnimo absouto de la funcin.

    Para ello estudiemos el signo de la derivada dvdE .

    Sg. dvdE 0

    u 3/2

    Para minimizar su gasto de energa el pez debe nadar a contracorriente a una

    velocidad v = 1.5 u es decir debe superar en un 50% la velocidad de la corriente.

    b) Para bosquejar el grfico de la funcin E calculamos:

    Dominio: D(E) = { } u v, Rvv, >lim E(v) = + lim E(v) = + v u+ v +

    E(v)

    Emin = 2kdu427

    Emin 0 u 3/2

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 205

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones Ejercicio No.55 Pretendemos en este ejercicio minimizar el costo total anual de inventario de la

    empresa que utiliza 1000 cajas de transistores, los cuales compra a la fbrica a razn

    de 50 U$S la caja.

    A su vez el costo de envo de la fbrica a la empresa es de 40 U$S por envo.

    La empresa que ha estimado en 2 U$S el costo anual de almacenamiento por caja se

    enfrenta con el problema de decidir cuntos pedidos debe realizar al ao.

    El costo total puede expresarse como:

    Costo total = Costo de compra + costo de envo + costo de almacenamiento

    Llamemos x al nmero de cajas por envo y estudiemos cada uno de los costos

    anteriores separadamente.

    Costo de compra Cc (anual) Como se necesitan 1200 cajas al ao y cada una cuesta 50 U$S tendremos:

    Cc = 1000 . 50 = 50.000 U$S

    Como puedes observar este costo es independiente de la variable del problema por lo

    que en economa se le denomina costo fijo.

    Costo de envo Ce (anual)

    Ce = aopedidosN.

    pedidoenvo Costo o

    Como se compran 1000 cajas al ao y cada pedido contiene x cajas el nmero de

    pedidos al ao ser: x

    1000 .

    En consecuencia: Ce = 40 . x1000 = U$S

    x40000

    Costo de almacenamiento Ca (anual)

    Tratemos de ver con algn detalle este costo que no resulta tan sencillo de calcular

    como los anteriores.

    Cuando un pedido llega a la empresa , las cajas se almacenan y los transistores se van

    retirando a medida que se utilizan hasta agotar el stock, momento exacto en que

    suponemos llega el segundo pedido y as sucesivamente.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 206

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Hemos admitido en el enunciado que los transistores se utilizan a ritmo constante , es

    decir, que el nmero de cajas va disminuyendo linealmente hasta agotarse.

    La figura siguiente ilustra la situacin. N0 transistores

    x

    x / 2

    0 1er.pedido t1 2do.pedido t2 3er. pedido t3 tiempo

    Como puedes observar en cada pedido hay cajas que permanecen almacenadas

    menos tiempo que otras, es decir hay cajas que, por decirlo de alguna manera, pagan

    menos almacenamiento que otras. Parece razonable pensar que todo ocurre como si

    tuviramos 2x cajas almacenadas durante todo el ao.

    De hecho es admisible que en primera instancia te resistas a admitir como cierta la

    afirmacin anterior . Cuando en el curso sobre Integrales estudies el teorema del

    valor medio de una funcin en un intervalo, podrs matemticamente comprobar la

    veracidad de la afirmacin que hemos hecho .

    Con esta salvedad te pedimos que admitas que la afirmacin es correcta.

    Finalmente entonces: Ca = 2. 2x U$S

    Los dos ltimos costos calculados, a diferencia del primero, dependen de la variable

    x ; son los que en economa se denominan costos variables.

    En definitiva, el costo total de inventario ser:

    CT (x) = 1000 x 0 50000x40000 x

    22

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Puntos crticos

    Derivando: 2T

    x400001

    dxdC

    =

    Anulando: x = 20040000 =

    El valor de la derivada segunda en el punto crtico hallado nos permite clasificarlo

    rpidamente.

    32T

    2

    x80000

    dxCd

    = 0 200

    80000)200(dx

    Cd32

    T2

    >=

    El punto crtico corresponde entonces al mnimo absoluto en el intervalo.

    El nmero de cajas por pedido deber ser entonces de 200 .

    CT(x)

    51040

    50200

    0 200 1000 x

    Como has visto en la determinacin del punto crtico la componente correspondiente

    al costo fijo no ha intervenido pues al ser independiente de la variable su derivada es

    nula. Para optimizar un costo basta entonces optimizar solamente los costos

    variables.

    b) Como se necesitan 1000 ao

    cajas debern realizarse entonces 5 pedidos.

    El costo de cada pedido ascender a : 200 . 50 + 40 = 10.040 U$S

    El costo anual total asciende a : 10.040 . (5) = 50.200 U$S

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 208

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Ejercicio No. 56

    a) Costo de combustible CC ( kmU$S )

    Multiplicando el consumo de combustible en hora

    lt por el precio en lt

    U$S

    tendremos el costo de combustible en horaU$S .

    CC = ( 10 + 250v2 ).(0.5)

    horaU$S

    Debemos ahora expresarlo en kmU$S para lo cual basta dividir la expresin anterior

    por la velocidad v dada en horakm .

    Finalmente entonces: CC = (0.5) . )250v

    v10( +

    kmU$S

    b) Costo de salario Cs kmU$S

    Como tenemos dado el salario en horaU$S y lo deseamos en

    kmU$S debemos dividir el

    primero por la velocidad v .

    En consecuencia: Cs = v5

    kmU$S

    Costo total por km

    CT = v5(0.5) . )

    250v

    v10( ++

    kmU$S (1)

    c) La velocidad ms econmica es la que minimiza la expresin (1) en el intervalo

    [45,90] .

    Valores en los extremos: CT (45) 0.31 kmU$S CT (90) 0.29 km

    U$S

    Puntos crticos

    Derivando: 22

    22T

    250v25000.5v

    v5-0.5

    2501

    v10

    dvdC

    =

    +

    =

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 209

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Anulando: v = 5000

    Sgdv

    dCT

    0 45 5000 90 El punto crtico corresponde pues al mnimo absoluto de la funcin en el intervalo.

    La velocidad ms econmica es entonces: v = 5000 70,711 h

    km

    El costo mnimo por km. es: CT ( 5000 ) 0.28 kmU$S

    El costo total del viaje de 400 km ser: C = 0.28 (400) 112 U$S

    d) Costo salario.

    CS = U$S29400.50005400.

    v5

    =

    Costo de combustible.

    Cc = U$S83)400.(5,0.2505000

    500010)400.(5,.0

    250v

    v10

    +=

    +

    e) La funcin costo total cambia en este item pues el costo de salario aumenta

    debido a la presencia de la segunda persona.

    Tendremos ahora: CT = v7.0,5

    250v

    v10

    +

    +

    Derivando: 22

    22T

    250v00300.5v

    v7-0.5

    2501

    v10

    dvdC

    =

    +

    =

    Anulando: v = 6000

    El punto crtico sigue correspondiendo al mnimo absoluto de la funcin.

    La velocidad ms econmica es entonces : v = 6000 77,5 h

    km .

    El costo mnimo por km es ahora: CT ( 6000 ) 0.31 kmU$S

    El costo total del viaje ser entonces: C = 0.31.(400) 124 U$S

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 210

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Costo salario: Cs = U$S15.36400.60007400.

    v7

    =

    Costo de combustible: Cc 87,85 U$S

    Ejercicio No. 57 Z

    F

    0 x

    L

    a) La elstica de la viga en el sistema XOZ indicado es:

    Z(x) = Lx0 Lx

    Lx 32

    6EIFL 33

    +

    Estudiemos la funcin Z en el intervalo [ 0,L].

    Z(0) = 3EIFL3

    Z(L) = 0

    Puntos crticos

    Derivando: =dxdZ

    L1

    Lx3

    L1 3

    6EIFL 23

    +

    Anulando: L x 0xL- 0L 33 22

    3

    2==+=+

    xL

    En consecuencia no existen puntos crticos interiores al intervalo por lo que el

    mnimo absoluto de la funcin ( flecha mxima) se produce en el extremo izquierdo

    del intervalo , es decir en x = 0 , y su valor es 3EIFL3

    .

    La viga adquirir la forma que se indica en la figura.

    Flecha mxima

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 211

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    fmax= 3EIFL3

    (El signo negativo indica que el extremo izquierdo de la viga ha

    descendido).

    b) Angulo de giro

    = ( ) Lx0 xL2EIF

    dxdZ 22 +=

    Estudiaremos la funcin en el intervalo indicado.

    Valores en los extremos.

    (0) = 2EIFL2 (L) = 0

    Derivando: xEIF

    dxd

    dxd

    2

    2==

    Z

    Como fcilmente puedes observar la derivada es negativa en todo el intervalo de

    estudio , por lo que la funcin ser montona decreciente y su mximo absoluto se

    encontrar en el extremo izquierdo del intervalo.

    max = 2EIFL2 max

    Ejercicio No 58 Z(x)

    p kg / m

    A L B x

    Fig (1)

    El problema presenta simetra respecto de la mediatriz del segmento AB, por lo que

    es presumible esperar que la flecha mxima se produzca en el punto medio de la viga

    y que el mximo ngulo de giro ( en valor absoluto) se produzca en los extremos.

    Ana Col Herrera Hctor Patritti 212

  • Aplicaciones de la Derivada Captulo2 Optimizacin Resoluciones

    Veamos si el clculo reafirma lo anterior.

    a) Ecuacin de la elstica.

    Z(x) = Lx0 Lx

    Lx 2

    Lx

    24EIpL 434

    +

    Valores en los extremos del intervalo.

    Z(0) = 0 Z(L) = 0

    Derivando:

    +=

    +

    = 3

    3

    2

    23324

    Lx4

    Lx61

    24EIpL

    Lx

    L4

    Lx

    L6

    L1

    24EIpL

    dxdZ

    Anulando: 0L6Lx4x 0Lx4

    Lx6 3233

    3

    2

    2=+=+1

    Debemos resolver el polinomio de tercer grado anterior. Habamos presumido al

    principio que el extremo de la funcin Z deba encontrarse en el punto medio de la

    viga. De ser as 2L

    =x debera ser raz del polinomio. Verifiqumoslo utilizando el

    esquema de Ruffini.

    4 -6L 0 L3

    2L 2L -2L2 - L3

    4 - 4L - 2L2 0

    Las restantes dos races del polinomio son las races de la ecuacin:

    2x2 2Lx L2 = 0 4

    32L2L4

    8L4L2Lx22 =

    +=

    x2 = L ) 231 L(

    43L22L

    >+

    =+

    x1 = 0) 231 (L

    432L-2L

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