a) ?· Hallar el valor de k para que el complejo ( ) ... 2 1 1 k k i 2 k 1 k 1 i 1 k i 1 k i 2 1 k i…

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1. Hallar "a" para que el complejo i6ai23

++ :

a) sea real puro b) sea imaginario puro

Solucin. Lo primero de todo es hacer la divisin en forma binmica, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, de esta forma se elimina la unidad imaginaria del denominador.

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) i 36a18a2

36a123a

36ai 18a212a3

i6ai a263i 62a3

i6ai6ai6ai23

i6ai23

222222

2

+

+

+

+=

+

++=

+++=

++

=++

a) Nmero complejo real puro la parte imaginaria nula.

92

18a : 0182a : 036a18a2

2====

+

b) Nmero complejo imaginario puro la parte real nula.

4312a : 0123a : 0

36a123a

2=

==+=

+

+

2. Hallar el valor de k para que el complejo ( )ki1

ik12+ sea un n real. Hallar su cociente.

Solucin. Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )=

+

+++=

+++++=

+++

=+

2

2

222

2

k1i 1kkk2

ik1i 1k1k2i kk112

i k1i k1i k1i k12

ki1i k12

i k11k

k1kk2

22

2

+

+

+

++=

Para que un nmero complejo sea real puro, la parte imaginaria debe ser nula.

1k : 01k : 0k11k2

===+

Para k = 1:

i 023i

1111

11112

22

2+=

+

+

+

++=

3. Hallar a y b para que el complejo bi3

i2a++ sea igual 3152

Solucin.

3152bi3i2a=

++

Lo primero es expresar el segundo miembro de la igualdad en forma binmica.

( )( )

( )i1i

22

222

2245 sen54 sen315 sen

2245cos45cos315cos

315 isen315cos22 315 =

=

===

====+=

i1bi3

i2a=

++

Los parmetros a y b se calculan por identificacin igualando las partes reales y las imaginarias, para lo cual lo ms sencillo es pasar el denominador al segundo miembro y operar el producto.

( ) ( )bi3i1i2a +=+

( )( ) ( )( ) i 31b1i b131i2a 2 +++=+ ( ) ( )

==

=+=

++=+5b8a

3b2:Imb3a:Re

:i 3bb3i 2a

Otra forma mucho ms complicada es operar tal como esta, el primer miembro de la igualdad se pasa a forma binmica multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador (3 bi).

( ) ( )( ) ( ) { }

( ) ( ) ib9ab6

b9b2a3

b9iab6b2a31i

ib3abii6bi2a3

bi3bi3bi3i2a

bi3i2a

2222

222

2

+

+

+

+=

+

++===

+=

++

=++

El segundo miembro de la ecuacin se pasa a forma binmico mediante la forma trigonomtrica.

Igualando.

i1ib9ab6

b9b2a3

22=

+

+

+

+ Identificando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas no lineal, que se resuelve por el mtodo de sustitucin.

=+

=+

+

1b9ab6:Im

1b9

b2a3:Re

2

2

Ordenando.

=+=+

2

2

b9ab6b9b2a3

De la 2 ecuacin se despeja a y se sustituye en la primera.

b15ba

2 +=

22

b9b2b

15b3 +=++ 322 bb9b245b3 +=++ 045b9b5b 23 =+

Resolviendo por Ruffini

b = 5

85

155a2

=+

=

4. Hallar dos nmeros complejos cuya diferencia es imaginaria, su suma tiene como parte

imaginaria 5 y su producto vale i55+ . Solucin. Se pide hallar dos nmeros complejos z1 = a + bi y z2 = c + di que cumplan las siguientes condiciones:

1. Re (z1 z2) = 0 z1 z2 = a + bi (c + di) = (a c) + (b d)i

Re (z1 z2) = a c = 0

2. Im (z1 + z2) = 5 z1 + z2 = a + bi + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Im (z1 + z2) = b + d = 5

3. z1 z2 = 5 +5i z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i = 5 + 5i

=+=5cbda:Im5dbca:Re

Las condiciones propuestas permiten plantear un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas.

=+=

=+=

5bcad5bdac

5db0ca

a = c

=+=

=+

5baad5bda

5db2

( )

=+=

=+

5dba5bda

5db2

Sustituyendo la 1 en la 3: 55a = a = c = 1

==+

5bd15db

2

==+6bd5db

Por sustitucin d = 5 b b(5b) = 6

Ordenando se obtiene una ecuacin de 2 grado.

======

=+055d5b415d1b

:06b5b2

Posibles soluciones: z1 = 1 + i y z2 = 1 + 4i

z1 = 1 + 5i y z2 = 1 + 0i

5. Hallar dos n complejos tales que su suma sea 1 + 2i, el cociente de ambos real puro y la parte

real del 1 sea igual a 2. Solucin. Se buscan dos nmeros complejos de la forma:

Z1 = 2 + ai Z2 = b + di

Tales que: Z1 + Z2 = 1 + 2i

(2 + ai) + (b + di) = 1 + 2i

(2 + b) + (a + d)i = 1 + 2i

Igualando real con real e imaginaria con imaginaria

=+==+ 2da:Im

1b1b2:Re

Con lo obtenido hasta ahora nos quedan los complejos Z1 = 2 + ai y Z2 = 1 + di y la relacin entre los parmetros a y d (a + d = 2). La segunda relacin entre a y d que nos permita plantear un sistema se obtiene del cociente entre Z1 y Z2, que haremos en forma binmica, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, para eliminar la unidad imaginaria del denominador.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

id1

ad2d1

ad2id1

i1ad2ida12di1di1

di1ai2di1ai2

ZZ

22222

2

2

1

+

+

+

+=

+++=

++

=++

=

Como el cociente es un nmero real puro, la parte imaginaria debe ser nula.

0ad20d1

ad22

==+

Con las dos expresiones obtenidas se plantea un sistema que permite calcular los parmetros a y d.

==

=

=+2d

4a0ad2

2da

Los nmeros pedidos son

Z1 = 2 + 4ai Z2 = 1 2i

6. Determine un nmero complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.

Solucin. Se pide calcular un nmero complejo de la forma a + bi que cumpla:

( ) biabia 2 =+ Desarrollando el cuadrado e igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria se obtiene un sistema de ecuaciones que nos permite calcular a y b.

biaibabi2a 222 =++

Ordenando el primer miembro: ( ) biaabi2ba 22 =+

Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria:

==bab2:Im

aba:Re 22

De la igualdad de las partes imaginarias simplificando b se obtiene:

1a2 = 21a =

Sustituyendo el valor de a en la 1 igualdad se calcula b

21b

21 2

2

=

43b 2 =

23b =

Los posibles nmeros complejos que cumplen la relacin pedida son:

i23

21z += i

23

21z =

7. Expresar en forma polar los siguientes n complejos:

a) 2 b) 5 c) i d) i 322 + e) i3

Solucin. a) z = 2. Numero complejo real puro positivo, con dibujarlo basta para obtener su forma polar.

Z = 2 = 2 + 0i = 20 b) z = 5. Numero complejo real puro negativo.

Z = 5 + 0i = 5180

c) z = i. Numero complejo imaginario puro.

Z = 0 + i = 190 d) i 322Z +=

( ) ( )

=

==

=

==+= 120

22

4Z:1203arctg180

232arctg180:Argumento

416322r:Mdulo:Cuadrante 2Z

e) i3Z =

( ) ( )

=

==

=

==+= 330

22

2Z:330

31arctg360

31arctg360:Argumento

2413r:Mdulo:Cuadrante 4Z

8. Expresar en forma binmica los siguientes complejos:

a) 3180 b) 630 c) 2270 d) 245

Solucin. a) Z = 3180 = 3(cos 180 + i sen 180) = 3(1 + 0i) = 3

b) Z = 630 = 6(cos 30 + i sen 30) = i23

233i

21

233 +=

+

c) Z= 2270 = 2(cos 270 + i sen 270) = 2(0 + (1) i) = 2i

d) ( ) i1i22

22245 sen i45cos22Z 45 +=

+=+==

9. El complejo de argumento 75 y mdulo 12 es el producto de dos complejos, uno de ellos

tiene de argumento 45 y el otro de mdulo 3. Escribir ambos en forma binmica. Solucin. Se pide calcular dos nmeros complejos de la forma Z1 = r45 y Z2 = 3 que cumplan la siguiente igualdad:

7545 123r = Multiplicando en forma polar el primer miembro de la igualdad:

( ) 7545 123r = + Igualando por un lado los mdulos y por otro los argumentos se calcula r y :

==

=+=

304r

7545:Argumento123r:Mdulo

Conocidos los complejos en forma polar, se pasan a binmica a travs de la forma trigonomtrica

( ) i2222i22

22445 sen i45cos44Z 451 +=

+=+==

( ) i23

233i

21

23330 sen i30cos33Z 301 +=

+=+==

10. Sean los complejos:

Z = 330 ; W = 260 ; P = 2 + 2i ; i322Q = realizar las siguientes operaciones:

a) ZW b)

2WZ

c) P d) Q5

e) 1

2

QPZ

f) 33

33

PWZQ

+

Solucin. Excepto la suma o resta, las dems operaciones es ms fcil hacerlas en forma polar.

=

===

=+=+= 45

22

8P:451 arctg

22arctg:Argumento

822r:Mdulo:Cuadrante 1i22P

( )

=

==

=

==+== 300

22

4Q:3003arctg360

232arctg360:Argumento

416322r:Mdulo:Cuadrante 4i322Q

a. ZW = 330 260 = (3 2)30 + 60 = 690 = 6 (cos 90 + i sen 90) = 6i

b. ( ) ====

======

=

6003302300

2330

2300330

3006060

33030302 432323222W

333ZWZ

( ) ( ) ( ) ==+===== ++ 30sen i30cos12210 sen i210cos1212121243 2102103602930600330

i636i21

2312 =

=

c. ( ) ( ) ( ) i890 sen i90cos8888P 9024522452 =+====

d. ( ) ====== + 6060360415005300553005 10241024102444Q

( ) i3512512i23

21102460 sen i60cos1024 +=

+=+=

e. ( )

( ) ( )=

=

=

=

=

601

31560

3001

31560

13001

452302

1300

452

301

2

489

489

483

4

83Q

PZ

( ) ( ) ==+==+

45 sen i45cos836315 sen i315cos836836

489

3156031560

1

i7272i22

22836 =

=

f. ( ) ( )( ) ( )

=

+=

+=

+=

+

135180

90900

3453

3603

3303

33003

345

360

330

3300

33

33

2168

2764

82

34

82

34PWZQ

( ) ( )

( ) ( )=

++

+++=

+=

+= +

135 sen i135cos216180 sen i180cos890 sen i90cos27180 sen i180cos64

2168

2764

2168

2764

135180

90180

135180

901802360

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) =+

++=

+

=+

+=

++

+++=

i168i168i168i2764

i168i2764

i16168i2764

i22

22216i018

i1027i0164

( ) ( ) i

40101

2059

320i808944

i168i 1664827i1627864

222

2=

=

++

11. Escribir Z1 =2 +2i y Z2 =6 6i en forma polar y calcular 2

1ZZ

en forma polar y en forma

binmica. Solucin. El primer paso es pasar los nmeros complejos a forma polar.

=

===

=+=+= 451

22

1 8Z:451 arctg22arctg:Argumento

822r:Mdulo:Cuadrante 1i22Z

( )

=

==

=

=+== 3152

22

2 72Z:3151 arctg36066arctg360:Argumento

7266r:Mdulo:Cuadrante 4i66Z

( ) i31i

31090 sen i90cos

31

31

91

728

728

728

ZZ

909027031545315

45

2

1 =+=+====

==

Nota El argumento de los nmeros complejos en forma polar es conveniente dejarlo en positivo. Para expresar en positivo un argumento negativo se le suma 360, si el argumento es menor de 360, primero se divide por 360 y al resto, en negativo, se le suma 360

12. Calcular (1+i)20. Expresar la solucin en forma binmica. Solucin. La forma ms sencilla de hacer la potenciacin de nmeros complejos es en polar.

=

===

=+=+ 451

22

2Z:451 arctg

11arctg:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante 1i1

( ) ( ) ( ) ======+ + 180236018090010452020204520 10241024222i1

= 1024(cos 180 + i sen 180) = 1024 + 0 i = 1024

13. Calcular las siguientes races a) 3 i33+

b) 5 i31+

c) 6 64 d) 4 9 e) 3 i f) 4 i16

g) 5 i3 Solucin. Las races de nmeros complejos se hacen en forma polar, por lo que el primer paso ser pasar el nmero complejo a forma polar.

a) ( )

3135

22

3 18135

33arctg180:Argumento

1833r:Mdulo:Cuadrante2i33i33 =

=

=

=+=+=+

==

==

==

=

+

+

+

2856

323601353

1656

313601353

456

303601353

3135

1818

1818

1818

18

Los afijos de las soluciones de una raz de un nmero complejo son los vrtices de un polgono regular de tantos lados como indique el ndice de la raz

b) ( )

5300

22

5 2300

13arctg360:Argumento

2431r:Mdulo:Cuadrante4i31i31 =

=

=

==+==

==

==

==

==

==

=

+

+

+

+

+

3485

543603005

2765

533603005

2045

523603005

1325

513603005

605

503603005

5300

22

22

22

22

22

2

c) 6 06 6464 =

==

==

==

==

==

==

=

+

+

+

+

+

+

3006

536006

2406

436006

1806

336006

1206

236006

606

136006

06

036006

60

264

264

264

264

264

264

64

d) 4 1804 99 =

==

==

==

==

=

+

+

+

+

3154

03601804

2254

03601804

1354

03601804

454

03601804

4180

39

39

39

39

9

e) 3 90

3 1i =

==

==

==

=

+

+

+

2703

2360903

1503

1360903

303

0360903

390

11

11

11

1

f) 4 2704 16i16 =

==

==

==

==

=

+

+

+

+

5'3374

03602704

5'2474

03602704

5'1574

03602704

5'674

03602704

4270

216

216

216

216

16

g) ( ) ( )

5210

22

5 2210

31arctg180:Argumento

2413r:Mdulo:Cuadrante3i3i3 =

=

+=

==+==

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

3305

543602105

2585

533602105

1865

523602105

1145

513602105

425

503602105

5210

22

22

22

22

22

2

14. Hallar las races cuadradas de: a) 4 b) 4 c) 4i d) 4i

Solucin.

a)

+=+=

==i02

i0224

b) ( )

=+=

====i20i20

i214144

c) ( )

( )

=+===

+=+=====

+

+

i22225 sen i225cos224

i2245 sen i45cos2244i4

2252

136090

452

036090

90

d) ( )( )

=+===

+=+=====

+

+

i22315 sen i315cos224

i22135 sen i135cos2244i4

3152

1360270

1352

0360270

270

15. Para escribir un nmero complejo qu argumento debes poner en los siguientes casos?

a) n real positivo b) n real negativo c) n imaginario positivo d) n imaginario negativo

Solucin. a) z = r 0. El afijo est situado sobre el semieje real positivo. b) z = r 180. El afijo est situado sobre el semieje real negativo. c) z = r 90. El afijo est situado sobre el semieje imaginario positivo. d) z = r 270. El afijo est situado sobre el semieje imaginario negativo.

16. Dado un complejo en forma polar Qu transformacin sufre si se multiplica por i?

Solucin. Teniendo en cuenta que la forma polar de nmero i es 190, al multiplicar un nmero complejo de la forma r por I, el argumento se desplaza 90.

( ) 909090 r1r1r ++ ==

17. Calcula la raz cbica del complejo 2

1ZZ

siendo Z1=16210 y i3Z2 =

Solucin. El cociente y la radicacin de nmeros complejos se hace en forma polar.

( ) ( )

==

+=+=

=+= 2102

2

22

2 2z:210

31arctg180

ReImarctg180 Cuadrante. 3z:Argumento

213:Mdulo:i3Z

=

=

=

====

+

+

+

2403

236003

1203

136003

03

036003

303

2102103

210

21032

1

28

28

28

82

162

16ZZ

18. Calcular en forma polar: ( ) ( )76 i1i 31 ++ Solucin. Lo primero es expresar los nmeros complejos en polar, ya que las operaciones (producto y potencia) en esta forma son ms sencillas.

( )

=

===

==+=+ 60

22

2603 arctg

13arctg:Argumento

2431r:Mdulo:Cuadrante 1i31

( )135

22

2135

11arctg180:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante2i1 =

=

=

=+=+

El orden de operacin es primero las potencias y segundo el producto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ====++ 9457360135776066713566076 2642222i1i 31

( ) 22522502250225360230 2512286428642264 === ++

19. Calcular y expresar en forma binmica ( )2i1

i322

+

Solucin. Lo primero es expresar los nmeros complejos en polar, ya que las operaciones (cociente y potencia) en esta forma son ms sencillas.

( ) ( )

=

==

=

==+=+ 120

22

41203 arctg

232arctg180:Argumento

416322r:Mdulo:Cuadrante 2i322

( ) ( )225

22

2225

11arctg180:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante3i1 =

=

+=

=+=

El orden de operacin es primero la potencia y segundo el cociente.

( ) ( ) ( )==

======

+

+30

9012090

120

90360

120

450

120

22522

1202

225

1202

224

24

24

24

2

4

2

4

i1i322

( ) i330 sen i30cos2 +=+=

20. Calcular: i2ii 77

Solucin. Lo primero ser operar las potencias de i teniendo en cuenta su periodicidad.

( ) ii1iiii 34347 ==== + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) i1

iii

iii1

i1ii1iiii

2111343417 =

=

=

=

===== +

i011i2i2

i2ii

i2ii 77

+==

=

=

21. Dado el nmero complejo i1

i1z7

++

= calcular la expresin trigonomtrica del n z .

Solucin. Lo primero ser operar las potencias de i teniendo en cuenta su periodicidad.

( ) ii1iiii 34347 ==== +

i1i1

i1i1z

7

+

=++

=

Lo ms sencillo es trabajar en forma polar.

=

===

=+=+ 45

22

2451 arctg

11arctg:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante 1i1

( )

=

==

=

=+= 315

22

23151 arctg360

11arctg360:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante 4i1

9027031545315

45 1122

22

i1i1z ==

==

+

=

Si 901z = ( )270 sen i270cos111z 27090 +===

22. Sea i 10310z = . Calcular 45 z , z

Solucin. Lo primero es expresar el nmero complejo en polar, ya que las operaciones (potencia y radicacin) en esta forma son ms sencillas.

( ) ( )

=

==

=

==+= 330

22

20330

31arctg360

31010arctg360:Argumento

2040010310r:Mdulo:Cuadrante 4i10310

( ) 210521036045165053305553305 1032103210322020z ===== +

==

==

==

==

==

+

+

+

+

5'3524

433603304

5'2624

423603304

5'1724

413603304

5'824

403603304

4330

4

2020

2020

2020

2020

20z

23. Calcular ( )5 3i3 Solucin. La operacin se hace en forma polar.

( ) ( ) ( ) 213i3Mdulo 22 =+= 210

31arctg180Cuadrante 3i3:Argumento =

+=

( ) ( )

=

=

=

=

=

=====

+

+

+

+

+

3425

543602705

2705

533602705

1985

523602705

1265

513602705

545

503602705

5270

5630

5 33210

5 3210

5 3

88

88

88

88

88

8822i3

24. Resolver la ecuacin: 2513 i3iz =+

Solucin. Lo primero es simplificar la potencia de i, para ello se divide el exponente entre cuatro, que es el periodo de las potencias de i (i = i; i2 = 1; i3 = i; i4 = 1), obteniendo de cociente 62 y de resto 3.

( )( ) ( ) ii1iiii 6236243624251 ==== + Sustituyendo en la ecuacin y despejando z:

i3iz3 =+ : 3i

i3z =

Para operar se expresan los complejos en forma polar.

( ) ( )

( ) 21022

2210

31arctg180

ReImarctg180 Cuadrante 3Argumento

213:Mduloi3 =

=

+=+=

=+=

90190Argumento1Mdulo

i =

==

=

===

==

==

==

==

=

+

+

+

280

3

323601203

1603

313601203

403

303601203

31203

902103

90

2103

22

22

22

212

12

ii3z

25. Dibuja los afijos de la ecuacin (z1)(z + z +1) =0

Solucin.

( ) ( )

=++==

=++01zz1z:01z

:01zz1z 22

Resolvemos la ecuacin de segundo grado

01zz 2 =++ i2

3

2

1

2

i31

2

131

2

31

2

11411z

2=

=

=

=

=

Las soluciones de la ecuacin son::

=

+=

=

i23

21z

i23

21z

1z

Para dibujar los afijos, la mejor forma es expresar las soluciones en forma polar. z1 = 1 = 10

=

==

=

==

+

=

+= 120

22

2 1

1203 arctg1802

12

3arctg180:Argumento

1123

21r:Mdulo

:Cuadrante 2i23

21z

=

=+=

+=

==

+

=

= 240

22

3 1

2403 arctg1802

12

3arctg180:Argumento

1123

21r:Mdulo

:Cuadrante 3i23

21z

26. Calcular los valores de z que verifican: ( ) 0i2zi1 3 =+ Solucin. De la ecuacin propuesta despejamos z.

( ) 0i2zi1 3 =+ ( ) i2zi1 3 =+ i1

i2z3+

= 3i1

i2z+

=

Para calcular z la mejor forma es operar en forma polar.

902i2 = Imaginario puro positivo

=

===

=+=+ 45

22

2451 arctg

11arctg:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante 1i1

Sustituimos y operamos, primero el cociente y luego la raz.

==

==

==

==

==

+=

+

+

+

2556

32360343

1356

31360343

156

30360343

3453

45903

45

903

22

22

22

22

22

2i1

i2z

27. Resolver la ecuacin i1x 4 =+ Solucin. De la ecuacin propuesta despejamos x.

4 i1x += Trabajamos en forma polar.

( )

=

==

=

=+=+ 135

22

21351 arctg180

11arctg180:Argumento

211r:Mdulo:Cuadrante 2i1

==

==

==

==

==+=

+

+

+

+

75'3038

433601354

75'2138

423601354

75'1238

413601354

75'338

403601354

4135

4

22

22

22

22

2i1x

28. Comprobar que el nmero complejo i31z = es solucin de la ecuacin 04z2z2 =+ . En caso afirmativo calcular la otra solucin. Solucin. Se puede hacer de dos formas distintas. 1. Sustituimos el valor de z en la ecuacin y se compraba si la cumple.

( ) ( ) ( ) 042314i322i3i3214i312i31:i31z

04z2z 22222 =+=+++=+

==+

La cumple, luego es solucin. La segunda solucin se obtiene teniendo en cuenta que si un nmero complejo es solucin de una ecuacin, su conjugado tambin es solucin.

i31zz 12 +== 2. Resolviendo la ecuacin

04z2z2 =+

( ) ( )==

=

=

=

= i

232

22

2i322

21122

2122

241422

z2

=+=

=i31zi31z

2

1

29. Encontrar las ecuaciones de 2 grado cuyas races son: 31545 2 , 2 Solucin. Expresamos los nmeros en forma binmico.

( ) i1i22

22245 sen i45cos22 45 +=

+=+=

( ) i1i22

222315 sen i315cos22 315 =

=+=

La ecuacin de 2 grado ser: ( )( ) ( )( ) 0i1xi1x =+

Operando, simplificando y ordenando se obtiene la ecuacin. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 02x2xi1xixxixxi1i1i1xi1xxi1xi1x 22222 =+=++=+++=+

x2 2x + 2 = 0

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