5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES - VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 5.1 Generalidades Hasta ahora hemos considerado el caso de variables aleatorias unidimensionales.

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Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 835- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 5.1 Generalidades Hasta ahora hemos considerado el caso de variables aleatorias unidimensionales. Esto es, el resultado del experimento de inters se registra como un nico nmero real. En muchos casos, sin embargo, nos puede interesar asociar a cada resultado de un experimento aleatorio, dos o ms caractersticas numricas. Por ejemplo, de los remaches que salen de una lnea de produccin nos puede interesar el dimetro X y la longitud Y. Teniendo en cuenta la inevitable variabilidad en las dimensiones de los remaches debido a las numerosas causas presentes en el proceso de fabricacin, los podemos representar asocindoles dos variables aleatorias X e Y que pueden pensarse como una variable aleatoria bidimensional: ( )YX , . Sea un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a l. Sean RSX : , RSY : , que a cada resultado Ss le asignan el par de nmeros reales ( )yx, Llamaremos a ( )YX , variable aleatoria bidimensional. Si en lugar de dos variables aleatorias, tenemos n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 , llamaremos a ( )nX,...,X,X 21 variable aleatoria n-dimensional En lo que sigue nos referiremos en particular a variables aleatorias n-dimensionales con n=2, es decir nos concentraremos en variables aleatorias bidimensionales por cuanto son las ms simples de describir, fundamentalmente en relacin a la notacin. Pero debemos tener presente que las propiedades que estudiemos para ellas se pueden extender sin demasiada dificultad al caso general. Al conjunto de valores que toma la variable aleatoria bidimensional (X,Y) lo llamaremos recorrido de la v.a. (X,Y) y lo indicaremos XYR . En otras palabras ( ) ( ) ( )=== SsconsYyesXx:y,xRXY , es decir, es la imagen por ( )Y,X del espacio muestral S. Notar que el recorrido de (X,Y) es un subconjunto del espacio Euclidiano: 2RRXY . Como antes, puede considerarse al recorrido XYR como un espacio muestral cuyos elementos son ahora pares de nmeros reales. Como con cualquier espacio muestral, segn el nmero de elementos que lo constituyen, podemos clasificar a los recorridos XYR en numerables (finitos o infinitos) y no-numerables. Los recorridos numerables son, en general, de la forma ( ) ( ) ( ) ( ){ }mnjiXY y,x,...,y,x,y,xm,..,jyn,...,,icony,xR 21112121 ==== (finito) ( ) ( ) ( ){ },...y,x,y,x,..,jy,...,icony,xR jiXY 21112121 ==== (infinito numerable) Los recorridos no numerables son regiones o subconjuntos no numerables del plano Euclidiano. Por ejemplo: ( )= dyc;bxa:y,xRXY (no numerable) Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 84( ){ }1:, 22 += yxyxRXY (no numerable) ( )== 321 c,c,cy,bxa:y,xR jjXY (no numerable mixto) cuyas grficas se pueden apreciar en la figura siguiente. Notar en el ltimo recorrido, X es v.a. continua e Y discreta. Clasificaremos a las variables aleatorias bidimensionales de la siguiente manera: ( )Y,X es v.a. bidimensional discreta si X e Y son discretas ( )Y,X es v.a. bidimensional continua si X e Y son continuas El caso X continua, Y discreta (o viceversa) no lo consideramos. Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta y sea XYR su recorrido (numerable). Sea RR:p XY una funcin que a cada elemento ( )ji y,x le asigna un nmero real ( )ji y,xp tal que ( ) ( )XYjijiji Ry,xy,xpyY,xXP === y que verifica. a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp 0 b) ( ) ( )( ) ==XYji Ryxjii jji yxpyxp,1,, A esta funcin la llamaremos funcin de probabilidad puntual conjunta de la variable aleatoria bidimensional ( )Y,X . En forma abreviada la designaremos fdp conjunta. Ejemplos: 1-Dos lneas de produccin, sealadas I y II, manufacturan cierto tipo de artculo a pequea escala. Supngase que la capacidad mxima de produccin de la lnea I es cinco artculos por da, mientras que para la lnea II es 3 artculos/da. Debido a los innumerables factores presentes en todo proceso de produccin, el nmero de artculos realmente producido por cada lnea puede pensarse como una variable aleatoria. En conjunto podemos pensar en una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X discreta, donde la primera componente X corresponde a la produccin de la lnea I y la segunda componente Y a los artculos que salen de la lnea II. La fdp conjunta correspondiente a variables aleatorias bidimensionales suele presentarse, por comodidad, como una tabla. Supongamos que la para la v.a. ( )Y,X que nos interesa aqu la tabla correspondiente a ( )ji y,xp es 0 0 0 0 0 a b x c d y y y 1 2 3 1 2 a b x RXY c1 c2 c3 -1 -1 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 85XY 0 1 2 3 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 Cul es la probabilidad de qu salgan ms artculos de la lnea I que de la lnea II? Antes de calcular la probabilidad que nos pide el problema, hagamos algunas consideraciones sobre la tabla que representa a ( )ji y,xp . Se trata de una tabla a doble entrada donde en la primera fila se indican los valores que puede tomar la v.a. X (en este caso X=0,1,2,3,4,5) y la primera columna indica los valores que puede tomar la variable Y ( 0,1,2,3). Para determinar el valor de la ( )ji y,xp cuando la v.a. ( )Y,X toma el valor ( )ji y,x consideramos el nmero que se encuentra en la columna correspondiente a ixX = y la fila correspondiente a jyY = . Por ejemplo: ( ) ( ) 0502424 .Y,XP,p ==== . Podemos verificar fcilmente que la fdp conjunta definida por esta bien definida. En efecto verifica las condiciones a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp 0 y b) ( )( )=XYji Ry,xji y,xp 1. Para contestar la pregunta del enunciado, consideremos el suceso XYRB definido B: es el suceso que ocurre cuando la lnea I produce ms artculos que la lnea II o, { }YXB >= . Luego: ( ) ( ) ( ) = >==>=30j jiy yxji y,xpYXPBP 0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.04+0.05+0.06+0.08+ +0.05+0.05+0.06+0.06+0.05=0.75. 2- Hay tres cajas registradoras a la salida de un supermercado. Dos clientes llegan a las cajas en diferentes momentos cuando no hay otros clientes ante aquellas. Cada cliente escoge una caja al azar e independientemente del otro. Sean las variables aleatorias X: n de clientes que escogen la caja 1 e Y: n de clientes que escogen la caja 2. Hallar la fdp conjunta de (X,Y) Podemos suponer que el espacio muestral original S es el conjunto de pares ordenados { })3,3();2,3();1,3();3,2();2,2();1,2();3,1();2,1();1,1(=S donde la primera componente del par indica la caja elegida por el cliente 1 y la segunda componente del par indica la caja elegida por el cliente 2. Adems notar que X como Y pueden tomar los valores 0, 1, 2 El punto muestral (3,3) es el nico punto muestral que corresponde al evento { }0,0 == YX Entonces 91)0,0( === YXP ; pensando de forma anloga los otros casos: 92)0,1( === YXP ; 91)0,2( === YXP ; 92)1,0( === YXP , 92)1,1( === YXP , 91)2,0( === YXP ; 0)2,2()2,1( ====== YXPYXP Disponemos estas probabilidades en una tabla de la siguiente forma Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 865.2 - Funciones de distribucin marginales de una v.a. (X,Y) discreta En el ejemplo 1, supongamos que queremos saber cul es la probabilidad de que el nmero de artculos producidos por la lnea I sea 2, o sea )2( =XP Como el evento { }2=X es igual a { } { } { } { } { }( )32102 ===== YYYYX , y a su vez { } { } { } { } { }( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )3222120232102===============YXYXYXYXYYYYX Entonces ( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )======+==+==+======+==+==+=====30),2()3,2()2,2()1,2()0,2(322212022jjYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPYXPXPRazonando de la misma forma podemos escribir ( ) 5,...,1,0 ),(30===== =ijYiXPiXPjEs decir obtenemos la funcin de distribucin de probabilidad de X Anlogamente obtenemos ( ) 3,2,1,0 ),(50===== =jjYiXPjYPiQue es la funcin de distribucin de probabilidad de Y En general se las denomina distribuciones marginales de X e Y, y su definicin sera la siguiente Sea (X,Y) discreta y sea ( )ji y,xp (i=1,2,n, j=1,2,,m) su funcin de probabilidad conjunta (Eventualmente n y/o m pueden ser ). La funcin de probabilidad marginal de X es ( ) ( ) ( )====mjjiii yxpxXPxp1, (i=1,2,,n) La funcin de probabilidad marginal de Y es ( ) ( ) ( )====nijijj yxpyYPyq1, (j=1,2,,m) Observacin: Remarcamos que la funcin de probabilidad marginal de X, es decir ( )ixp calculada a partir de ( )ji y,xp en la forma indicada, coincide con la funcin de probabilidad de la variable aleatoria unidimensional X considerada en forma aislada. Anlogamente la funcin de probabilidad marginal de Y \ X 0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 87Y, es decir ( )jyq calculada a partir de ( )ji y,xp en la forma indicada, coincide con la funcin de probabilidad de variable aleatoria unidimensional Y considerada en forma aislada. Ejemplo: Siguiendo con el ejemplo 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2800500600800903525150555.....,p,p,p,pXPp=+++=+++=== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )26006005004002001015141312111011......,p,p,p,p,p,pYPq=++++=+++++=== Observemos que se verifica la condicin de normalizacin para cada una de las marginales: ( )==+++++=501280240210160080030ixi ......xp ( )==+++=301240250260250jyj ....yq 5.3 - Funciones de probabilidades condicionales Consideremos nuevamente el ejemplo de las dos lneas I y II que producen cierto artculo a pequea escala. Definimos la v.a. ( )Y,X cuya funcin de probabilidad conjunta ( )ji y,xp est dada por la tabla anterior que repetimos XY 0 1 2 3 4 5 q(yj) 0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.25 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.26 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.25 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24 p(xi) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1 Supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que la lnea I produzca tres artculos sabiendo que la lnea II ha fabricado dos. Tenemos que calcular una probabilidad condicional. Entonces ( )( )( )( )2.025.005.022,322,323 =========qpYPYXPYXP En general definimos la funcin de probabilidad puntual de X condicional a Y como sigue: ( ) ( ) ( )( )jjijijiyqy,xpyYxXPyxp ==== , es decir como el cociente de la funcin de probabilidad conjunta de ( )Y,X y la funcin de probabilidad puntual marginal de Y. Anlogamente, definimos la funcin de probabilidad puntual de Y condicional a X : Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 88( ) ( ) ( )( )ijiijijxpy,xpxXyYPxyq ==== , es decir como el cociente de la funcin de probabilidad puntual conjunta de ( )Y,X y la funcin de probabilidad puntual marginal de X. 5.4 Variables aleatorias independientes Ya se discuti el concepto de independencia entre dos eventos A y B. Esas mismas ideas podemos trasladarlas en relacin a dos variables aleatorias X e Y que, eventualmente, podemos considerarlas como las componentes de una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X . De acuerdo con esto, intuitivamente decimos que dos variables, X e Y, son independientes si el valor que toma una de ellas no influye de ninguna manera sobre el valor que toma la otra. Esto lo establecemos ms formalmente: Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta. Sea ( )ji y,xp su fdp conjunta y ( )ixp y ( )jyq las correspondientes fdp marginales de X e Y. Decimos que X e Y son variables aleatorias independientes si y slo si ( ) ( ) ( ) ( ) XYjijiji Ry,xyqxpy,xp = Observacin: Notar que para poder afirmar la independencia de X e Y debe cumplirse la factorizacin de la fdp conjunta como producto de las fdp marginales para todos los pares de valores de la v.a. ( )Y,X . Por lo tanto, para verificar la independencia es necesario demostrar la validez de la factorizacin para todos los pares. En cambio, es suficiente encontrar un solo par que no la verifica, para afirmar, de acuerdo con la definicin, que las variables X e Y son no independientes, es decir, que son dependientes. Esto es, para demostrar la dependencia es suficiente con encontrar un solo par que no verifique la factorizacin sealada. Vimos que dos sucesos A y B son independientes si y slo si ( ) ( )APBAP = y ( ) ( )BPABP = (donde por supuesto deba ser ( ) 0AP y ( ) 0BP ). En trminos de variables aleatorias, esta forma de ver la independencia se manifiesta en la igualdad entre las fdp condicionales y las correspondientes fdp marginales, como demostramos en este Teorema Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta cuyas fdp conjunta, condicionales y marginales son, respectivamente, ( )ji y,xp ; ( )ji yxp , ( )ij xyq y ( )ixp , ( )jyq . Entonces, X e Y son variables aleatorias independientes si y slo si 1) ( ) ( ) ( ) XYjiiji Ry,xxpyxp = , o 2) ( ) ( ) ( ) XYjijij Ry,xyqxyq = , que es equivalente a lo anterior Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 89 Dem.) Demostraremos solamente 1). La equivalencia entre1) y 2) la dejamos como ejercicio. Para demostrar 1) verificaremos la doble equivalencia entre sta y la definicin de v.a. independientes. ) Sean X e Y variables aleatorias independientes. Entonces ( ) XYji Ry,x ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )ijjijjiji xpyqyqxpyqy,xpyxp === Aqu la primera igualdad es la definicin de fdp condicional y la segunda sale de la definicin de independencia al suponer que X e Y son independientes. ) Supongamos que se verifica 1). Entonces ( ) XYji Ry,x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijiijjiiji yqxpy,xpxpyqy,xpxpyxp === X e Y independientes Aqu, la primera implicacin se debe a la definicin de fdp condicional y la tercera a la definicin de v.a. independientes. Ejemplo: 1- Supongamos que una mquina se usa para un trabajo especfico a la maana y para uno diferente en la tarde. Representemos por X e Y el nmero de veces que la mquina falla en la maana y en la tarde respectivamente. Supongamos que la tabla siguiente da la funcin de probabilidad conjunta ( )ji y,xp de la variable aleatoria bidimensional discreta ( )Y,X . Y/X 0 1 2 q(yj) 0 0.1 0.2 0.2 0.5 1 0.04 0.08 0.08 0.2 2 0.06 0.12 0.12 0.3 P(xi) 0.2 0.4 0.4 1 Deseamos saber si las variables aleatorias X e Y son independientes o dependientes. Para demostrar que son independientes debemos probar que se verifica ( ) XYji Ry,x ( ) ( ) ( )jiji yqxpy,xp = Verificamos directamente que ( ) ( ) ( ) 5020001000 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 20201004010 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 30202006020 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 5040012001 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 20401108011 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 30402112021 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 5040022002 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 20401208012 ..qp.,p === ( ) ( ) ( ) 30402212022 ..qp.,p === Luego X e Y son independientes. Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 90Podramos haber usado las condiciones 1) ( ) ( ) ( ) XYjiiji Ry,xxpyxp = , o su equivalente 2) ( ) ( ) ( ) XYjijij Ry,xyqxyq = . Veamos, como muestra para un solo valor, que se verifica ( ) ( )( )( )2402008011212 p...q,pp ==== . Para demostrar la independencia por este camino habra que demostrar que se cumple la condicin para el resto de los pares de valores. Se deja este clculo como ejercicio optativo. Observaciones 1- De la definicin de las fdp marginales, vemos que tanto en el caso discreto como en el continuo, la fdp conjunta determina unvocamente las fdp marginales. Es decir, si ( )Y,X es discreta del conocimiento de la funcin de probabilidad conjunta ( )ji y,xp podemos determinar unvocamente las funciones de probabilidad ( )ixp y ( )jyq . Sin embargo la inversa no se cumple en general. Es decir del conocimiento de ( )ixp y ( )jyq no se puede, en general, reconstruir ( )ji y,xp a menos que X e Y sean variables independientes en cuyo caso es ( ) ( ) ( )jiji yqxpy,xp = . 2- El concepto de independencia entre dos variables aleatorias se puede generalizar a n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 5.5 - Funcin de una variable aleatoria bidimensional Existen muchas situaciones en las que dado una variable aleatoria bidimensional nos interesa considerar otra variable aleatoria que es funcin de aqulla. Por ejemplo, supongamos que las variables aleatorias X e Y denotan la longitud y el ancho, respectivamente, de una pieza, entonces YXZ 22 += es una v.a. que representa el permetro de la pieza, o la v.a. YXW .= representa el rea de la pieza. Tanto Z como W son variables aleatorias. En general, sea S un espacio muestral asociado a un experimento probabilstico , sean RS:X e RS:Y dos variables aleatorias que definen una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X cuyo recorrido es XYR , y sea una funcin de dos variables reales RR:H XY que a cada elemento ( )y,x del recorrido XYR le hace corresponder un nmero real ( )y,xHz = , entonces la funcin compuesta ( ) RSYXHZ = :, es una variable aleatoria, puesto que a cada elemento Ss le hace corresponder un nmero real ( ) ( )[ ]sY,sXHz = . Diremos que la variable aleatoria Z es funcin de la variable aleatoria bidimensional (X,Y). Algunas variables aleatorias que son funcin de variables aleatorias bidimensionales son YXZ += , Y.XZ = , Y/XZ = , ( )Y,XmnZ = , ( )Y,XmxZ = , etc. Lo anterior se puede generalizar si en lugar de dos variables aleatorias tenemos n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 , y ( )nxxxHz ,..., 21= es una funcin de n variables a valores reales. Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 91Ejemplos: 1- Sea ),(~ pnBZ Podemos escribir a Z como suma de variables aleatorias de la siguiente forma. Recordar que Z cuenta el nmero de xitos en n repeticiones o ensayos del experimento Si definimos =contrariocasoxitoocurrederepeticinsimalaensiX i 01 ni ,...,2,1= Notar que a cada iX se la puede considerar ),1( pB , y adems nXXX ,...,, 21 son independientes Podemos escribir nXXXZ +++= ...21 2- Sea Z v.a. binomial negativa con parmetros r y p, es decir ),( ~ prBNZ Si definimos 1X : nmero de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1 xito 2X : nmero de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 2 xito 3X : nmero de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 3 xito Y en general iX : nmero de repeticiones del experimento adicionales despus del (i-1)simo xito requeridos hasta el i-simo xito Entonces cada variable tiene distribucin geomtrica con parmetro p y rXXXZ +++= ...21 Notar adems que rXXX ,...,, 21 son independientes Esperanza de una v.a. que es funcin de una v.a. bidimensional Sea una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X cuya fdp conjunta es la funcin de probabilidad conjunta ( )ji y,xp si es discreta o la funcin de densidad de probabilidad conjunta ( )y,xf si es continua y sea una funcin real de dos variables ( )y,xHz = de manera que podemos definir una variable aleatoria Z que es funcin de la variable aleatoria bidimensional ( )Y,X de la forma ( )Y,XHZ = . Si la fdp de Z es ( )izq , siendo Z discreta, entonces la esperanza matemtica de Z es, de acuerdo con la definicin general, ( ) ( )=Xi Rxii zq.zZE (Z discreta) Nuevamente lo interesante es considerar la posibilidad de evaluar ( )ZE sin tener que calcular previamente la fdp de Z. El siguiente teorema nos muestra cmo hacerlo. Teorema Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional y sea Z=H(X,Y) una variable aleatoria que es funcin de (X,Y). Si Z es variable aleatoria discreta que proviene de la variable aleatoria bidimensional discreta (X,Y) cuyo recorrido es XYR y su fdp conjunta es ( )ji y,xp , entonces: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )==XYji Ry,xjiji y,xpy,xHY,XHEZE Dem.) sin demostracin Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 92Esperanza de una suma de variables aleatorias Dem.) en el teorema anterior consideramos yxyxH +=),( Si (X,Y) es discreta ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )=+=== ),()(,,,),(,jRyxijiRyxjiji yxpyxyxpyxHYXHEZEXYjiXYjiAplicando la propiedad distributiva y separando en dos sumas ( ) =+=+= ),(),(),()(),(),(),(jRyxijjiRyxijRyxiji yxpyyxpxyxpyxZEXYjiXYjiXYji =+=+=j ijiji jjiijii jjjii ji yxpyyxpxyxpyyxpx ),(),(),(),( Pero )(),( =jiji xpyxp y )(),( =ijji yqyxp , por lo tanto )()()()( YEXEyqyxpxjjjiii +=+= Para el caso (X,Y) continua sigue siendo vlida esta propiedad. Podemos generalizar la propiedad anterior a un nmero finito cualquiera de variables aleatorias: (leeremos: la esperanza de la suma es la suma de las esperanzas) Dem.) Se deduce por induccin completa sobre el nmero n de variables aleatorias. Observacin: se deduce que la esperanza verifica la propiedad lineal: ( )=== niiiniii XEaXaE11. Ejemplos: 1- Vamos a aplicar algunas de las propiedades anteriores para calcular de una manera alternativa la esperanza matemtica de una variable aleatoria X distribuida binomialmente. Sea entonces una v.a. XB(n,p). Ya vimos que podemos escribir nXXXX +++= ...21 donde cada iX se la puede considerar ),1( pB , y adems nXXX ,...,, 21 son independientes Sean X e Y dos variables aleatorias arbitrarias. Entonces ( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ . Sean nX,...,X,X 21 n variables aleatorias arbitrarias. Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )nn XE...XEXEX...XXE +++=+++ 2121 o, en notacin ms concentrada,: ( )=== niiniXEXE111 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 93Entonces pXPXPXPXE iiii ====+== )1()0(0)1(1)( para cualquier i Por lo tanto ( ) ( ) ( ) ( ) nppppXEXEXEXXXEXEvecesnnn =+++=+++=+++=4434421.........)( 2121 Observacin: muchas veces es conveniente descomponer una variable aleatoria como suma de otras ms simples para facilitar los clculos 2- Esperanza de una v.a. binomial negativa Cuando se trat la v.a. binomial negativa se dijo cul era su esperanza. Ahora damos una demostracin Sea X v.a. binomial negativa con parmetros r y p, es decir ),( ~ prBNX Si definimos 1X : nmero de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1 xito 2X : nmero de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 2 xito 3X : nmero de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 3 xito Y en general iX : nmero de repeticiones del experimento adicionales despus del (i-1)simo xito requeridos hasta el i-simo xito Entonces cada variable tiene distribucin geomtrica con parmetro p y rXXXX +++= ...21 Por lo tanto ( ) ( ) ( ) ( )prprpppXEXEXEXXXEXEvecesrrr ==+++=+++=+++=11...11......)( 212144 344 21 3- Esperanza de una v.a. hipergeomtrica )( entonces ) ,( ~ SiNnMXENM,nHX = Para facilitar la demostracin supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas y N-M son blancas. Queremos hallar el nmero esperado de bolillas rojas extradas Definimos las variables =contrariocasoextradaesrojabolillasimailasiX i 01Las variables MXXX ,..., 21 no son independientes Se puede escribir MXXXX +++= ...21 , adems NnnNnNXPXE ii ====1111)1()( Por lo tanto Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 94( ) ( ) ( ) ( )NnMNnMNnNnNnXEXEXEXXXEXEvecesMMrM ==+++=+++=+++=44 344 21.........)( 2121 Ejemplo El espesor X de una cua de madera (en milmetros) tiene una funcin de densidad de probabilidad a) Determine E(X) b) Si Y denota el espesor de una cua en pulgadas (1mm = 0.0394 pulgadas), determine E(Y) c) Si se seleccionan tres cuas de manera independiente y las apilamos una encima de otra, encuentre la me- dia y la varianza del espesor total. a) Verifique el lector que 5)5(4343)(642 == dxxxXE b) XY 0394.0= entonces 197.0)(0394.0)0394.0()( === XEXEYE c) Notar que si iX : espesor de cua i , i = 1, 2, 3 entonces XXXX 321 ++= es el espesor total Por lo tanto 15555)()()()()( 321321 =++=++=++= XEXEXEXXXEXE En general la esperanza de un producto de variables aleatorias no es igual al producto de las esperanzas (leeremos: la esperanza del producto es el producto de las esperanzas). Dem.) anloga a la demostracin de la propiedad anterior. Para el caso (X,Y) continua sigue siendo vlida esta propiedad. Ejemplo: Supongamos que debido a innumerables causas incontrolables la corriente i y la resistencia r de un circuito varan aleatoriamente de forma tal que pueden considerarse como variables aleatorias I y R independientes. Supongamos que las correspondientes fdp son: ( ) =valoresdemsiiig0102 ( )=valoresdemsrrrh03092Nos interesa considerar el voltaje r.iv = de manera que podemos definir la variable aleatoria R.IV = . Hallar el valor esperado o esperanza matemtica del voltaje: ( )VE . Como I y R son independientes, usando la propiedad anterior ( ) )()( REIEVE = Si ( )Y,X es una variable aleatoria bidimensional tal que X e Y son variables aleatorias independientes, entonces: ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE = ( )=lado otroen 064 45 343)(2xxxfParte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 953232)2()(10310=== idiiiIE 193914919)(4304302==== rdrrrRE 32132)( == VE Varianza de una suma de variables aleatorias . Dem.) Escribimos la varianza en su forma alternativa ( ) [ ]( ) ( )[ ]22 YXEYXEYXV ++=+ . Desarrollamos los cuadrados y aplicamos la propiedad lineal de la esperanza: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }2222222222YEYEXEXEYEY.XEXEYEXEYY.X.XEYXV++++=+++=+ Agrupando convenientemente: ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }YEXEY.XEYVXVYEXEY.XEYEYEXEXEYXV++=++=+222222 , es decir ( ) ( ) ( ) XYYVXVYXV 2++=+ Observaciones: 1- Teniendo presente la definicin de la desviacin estndar de una v.a. X: ( )XV X = , vemos que a la propiedad anterior la podemos escribir: ( ) XYYX YXV 222 ++=+ 2- Anlogamente se prueba que ( ) XYYXYXV 222 += 3- X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )YVXVYXVYXV +==+ )( Esto es porque si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE = . Por lo tanto la covarianza vale cero : ( ) ( ) ( ) 0== YE.XEY.XE XY . ( ) ( ) ( ) XYYVXVYXV 2++=+ con ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE XY = ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE XY = se la llama la covarianza de X e Y. Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 964- Podemos generalizar, usando el principio de induccin completa, al caso de n variables aleatorias independientes: Si nX,...,X,X 21 son n variables aleatorias independientes entonces: ( ) ( ) ( ) ( )nn XV...XVXVX...XXV +++=+++ 2121 o, en forma ms compacta, ( )=== niinii XVXV11. 5- Vemos que la esperanza de la suma de dos variables aleatorias X e Y es igual a la suma de las esperanzas ( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ cualesquiera sean X e Y . En cambio la varianza de la suma de las variables aleatorias X e Y es, en general, igual a la suma de las varianzas, ( ) ( ) ( )YVXVYXV +=+ , slo si X e Y son variables independientes. Ejemplos: 1- Podemos ejemplificar la aplicacin de las propiedades de la varianza, calculando nuevamente la varianza de una v.a. X distribuida binomialmente con parmetros n y p. Sea entonces una v.a. XB(n,p). Vimos que se puede escribir: nXXXX +++= ...21 , donde las n variables aleatorias son independientes entre s y tienen todas la misma distribucin: ( )pBX i ,1 n,...,,i 21= Entonces, tratndose de n variables aleatorias independientes ( ) ( ) ( ) ( )nXVXVXVXV +++= ...21 todas la varianzas son iguales y podemos escribir la suma como n veces una cualquiera de ellas: ( ) ( )iXnVXV = . Pero ( ) ( ) ( )[ ]22 iii XEXEXV = . Ya vimos que ( ) ( ) 010.1 =+= ppXE i Adems es: ( ) ( ) pppXE i =+= 10.1 222 Entonces: ( ) ( ) ( )[ ] ( )ppppXEXEXV iii === 1222 . Luego: ( ) ( ) ( )pnpXnVXV i == 1 que es el resultado que habamos obtenido a partir de la definicin y llevando las sumas involucradas a la forma del desarrollo de un binomio de Newton. 2- Varianza de una v.a. binomial negativa Ya vimos que podemos escribir rXXXX +++= ...21 , donde cada variable iX tiene distribucin geomtrica con parmetro p Por lo tanto ( ) ( ) ( ) ( )2211...pprXVXVXVXV r=+++= 5.6 - Covarianza Sean X e Y dos variables aleatorias. La covarianza de X e Y se define: ( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )YEXEYXEYEYXEXEYXCov ...),( == Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 97Notacin: la notacin usual para la covarianza de X e Y es XY o ),( YXCov La ltima igualdad surge de desarrollar el producto y aplicar las propiedades de la esperanza: ( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }YEXEY.XEYE.XY.XEYEY.XEXE += Teniendo presente que ( )XE y ( )YE son constantes: ( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YE.XEY.XEYEXEYEXEYE.XEY.XEYEY.XEXE =+= . Dem. ) Segn vimos, si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE = , de donde se sigue la propiedad. Propiedades de la covarianza Las siguientes propiedades son tiles y su verificacin se deja como ejercicio 1- ),(),( YXbdCovdYcbXaCov =++ 2- ),(),(),( ZYCovZXCovZYXCov +=+ 3- = ==== nimjjimjjnii YXCovYXCov1 111),(, 4- )(),( XVXXCov = Ejemplos: 1)Varianza de una v.a. hipergeomtrica =1)( entonces ) ,( ~ SiNnNNMNNMnXVNM,nHX Para facilitar la demostracin supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas y N-M son blancas. Queremos hallar la varianza del nmero de bolillas blancas extradas Como antes definimos las variables =contrariocasoextradaesrojabolillasimailasiX i 01Las variables MXXX ,..., 21 no son independientes Se puede escribir MXXXX +++= ...21 , adems NnnNnNXPXE ii ====1111)1()( y ( ) ===NnNnNnNnXEXEXV iii 1)()()(222 Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces 0),( =YXCov . Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 98Por lo tanto ),(2)()...()(1 121 jMi MjiiiM XXCovXVXXXVXV = A es 1=XY y si 0Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 1036- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA CENTRAL DEL LMITE 6.1 Suma de variables aleatorias independientes Cuando se estudiaron las variables aleatorias bidimensionales se habl de una funcin de variable aleatoria bidimensional. En particular se nombr la suma de n variables aleatorias, pero no se dijo nada sobre la distribucin de esa v.a. suma. Es a menudo importante saber cul es la distribucin de una suma de variables aleatorias independientes. Consideramos algunos ejemplos en el caso discreto 1- Suma de variables aleatorias independientes con distribucin Poisson )(~ ntesindependie Yy ; )(~ ; )(~ 2121 ++ PYXXPYPX Dem.) Consideramos el evento { }nYX =+ como unin de eventos excluyentes { } nkknYkX == 0 , , entonces ( )=========+=== !!)()(),()(2010021knekeknYPkXPknYkXPnYXPknnkknknk X e Y independientes ( ) ( )( )nknnkknkknkneknknneknke 21)(201)(021)(!!!!!!!212121 +===+=+=+ Binomio de Newton O sea X+Y tiene distribucin Poisson con parmetro 21 + 2- Suma de variables aleatorias binomiales independientes ),(~ ntesindependie Yy ; ),(~ ; ),(~ 2121 pnnBYXXpnBYpnBX ++ Dem.) Nuevamente consideramos el evento { }kYX =+ como unin de eventos excluyentes { } 10 , niikYiX == , entonces =========+ +=== iknikininkninippiknppinikYPiXPikYiXPkYXP 21111)1()1()()(),()(20100 X e Y independientes = =+ikninppniknnk 201121)1( En la expresin anterior si rj > entonces 0=jr Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 104Por ltimo usamos la siguiente identidad combinatoria = +=102121ni knniknin Y entonces knnkppknnkYXP+ +==+ 21)1()( 21 O sea X+Y tiene distribucin binomial con parmetros 21 nn + y p Observacin: en los dos casos anteriores se puede generalizar el resultado a n variables aleatorias independientes, usando el principio de induccin completa, es decir 1- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde )(~ ii PX para todo ni ,...,2,1= entonces )(~00==niinii PX 2- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ pnBX ii para todo ni ,...,2,1= entonces ),(~00pnBXniinii ==Suma de variables aleatorias normales independientes Si X e Y son dos variables aleatorias continuas independientes con densidades g(x) y h(y) respectivamente se puede probar (no lo demostraremos aqu) que la v.a. YXZ += tiene densidad dada por + = dyyhyzgzf YX )()()( Usando esto se puede demostrar el siguiente importante resultado: Por induccin completa se puede generalizar este resultado a n variables: De lo anterior y del hecho que ( ) ),~ ,~ 222 abN(abaXNX ++ tenemos: Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~2iii NX para todo ni ,...,2,1= entonces ),(~1200===niiniinii NX Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~2iii NX para todo ni ,...,2,1= entonces ),(~12200===niiiniiiniii aaNXa donde naaa ,...,, 21 son nmeros reales Si X e Y son variables aleatorias independientes donde ( ) ,~ 211 NX y ( ) ,~ 222 NY entonces ( ) ,~ 222121 +++ NYX Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 105Se dice que =niii Xa0 es una combinacin lineal de variables aleatorias. Ejemplos: 1- La envoltura de plstico para un disco magntico est formada por dos hojas. El espesor de cada una tiene una distribucin normal con media 1.5 milmetros y desviacin estndar de 0.1 mil- metros. Las hojas son independientes. a) Determine la media y la desviacin estndar del espesor total de las dos hojas. b) Cul es la probabilidad de que el espesor total sea mayor que 3.3 milmetros? Solucin: Sean las variables aleatorias X: espesor de la hoja 1 e Y: espesor de la hoja 2 Entonces )1.0,5.1~ 2N(X ; )1.0,5.1~ 2N(Y y X e Y independientes a) Si definimos la v.a. Z: espesor total de las dos hojas , entonces YXZ += Por lo tanto )1.01.0 ,5.15.1~ 22 ++N(Z es decir )02.0 ,3~ N(Z En consecuencia 3)( =ZE , 02.0)( == ZVZ b) Se pide calcular )3.3( >ZP ( ) 017.0983.0112132.2102.033.3102.033.302.03)3.3( === = >=>ZPZP 2-Tengo tres mensajes que atender en el edificio administrativo. Sea Xi : el tiempo que toma el i- simo mensaje (i = 1, 2 ,3), y sea X4 : el tiempo total que utilizo para caminar hacia y desde el edificio y entre cada mensaje. Suponga que las Xi son independientes, normalmente distribui- das, con las siguientes medias y desviaciones estndar: 3 ,12 ,2 ,8 ,1 ,5 ,4 min,15 44332211 ======== Pienso salir de mi oficina precisamente a las 10.00 a.m. y deseo pegar una nota en mi puerta que dice regreso a las t a.m. A qu hora t debo escribir si deseo que la probabilidad de mi llegada despus de t sea 0.01? Solucin: Definimos la v.a. Z: tiempo transcurrido desde que salgo de mi oficina hasta que re- greso, entonces 4321 XXXXT +++= Por lo tanto ==41241 ,~iiiiNT , y se pide hallar t tal que 01.0)( => tTP 5012851541=+++==ii y 3032142224122 =+++==ii Entonces 01.030501)( = =>ttTP , es decir 99.03050= t Buscando en la tabla de la normal 7619.62503033.2 33.23050=+==tt 3- El ancho del marco de una puerta tiene una distribucin normal con media 24 pulgadas y des- viacin estndar de 1/8 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribucin normal con me- dia 23.875 de pulgadas y desviacin estndar de 1/16 de pulgadas. Suponer independencia. a) Determine la distribucin, la media y la desviacin estndar de la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta. Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 106 b) Cul es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta sea ma- yor que de pulgada?. c) Cul es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?. Solucin: Sean las variables aleatorias X: ancho del marco de la puerta en pulgadas Y: ancho de la puerta en pulgadas Entonces )1/8)( ,24~ 2N(X , )1/16)( ,875.23~ 2N(Y , X e Y independientes a) Se pide la distribucin de X-Y , )( YXE , )( YXVYX = 125.0875.2324)()()( === YEXEYXE 165 256516181)()()(22==+=+= YXYVXVYXV Por lo tanto 2165 ,125.0~ NYX b) Se pide la probabilidad )4/1( >YXP 1867.08133.01)8944.0(15521165125.025.01)4/1( =====>YXP c) Si la puerta no entra en el marco entonces se da el evento { }YX < o equivalentemente { }0ZP 5- Si se aplican dos cargas aleatorias 21 y XX a una viga voladiza como se muestra en la figura si- guiente, el momento de flexin en 0 debido a las cargas es 2211 XaXa + . a) Suponga que 21 y XX son v.a. independientes con medias 2 y 4 KLbs respectivamente, y desviaciones estndar 0.5 y 1.0 KLbs, respectivamente. Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 107 Si 51 =a pies y 102 =a pies, cul es el momento de flexin esperado y cul es la desviacin estndar del momento de flexin? b) Si 21 y XX estn normalmente distribuidas, cul es la probabilidad de que el momento de flexin supere 75 KLbs? Solucin: Sea la v.a. Z: momento de flexin en 0, entonces 21 105 XXZ += Por lo tanto a) 5041025)(10)(5)( 21 =+=+= XEXEZE 465 46511025.0251105.05)( 2222 ==+=+= ZZV b) Si 21 y XX estn normalmente distribuidas, entonces 465 ,50 ~ NZ Por lo tanto ( ) 01120.61136510146550751)75( ====>ZP Promedio de variables aleatorias normales independientes Dem.) Notar que nXXnii== 1 es un caso particular de combinacin lineal de variables aleatorias donde nai1= para todo ni ,...,2,1= Adems en este caso =i y 22 =i para todo ni ,...,2,1= Por lo tanto, X tiene distribucin normal con esperanza =====ninii nnnn 11111 y varianza nnnnnniini222221221111 === ==Es decir, nNX2,~ Observacin: a X se lo llama promedio muestral o media muestral Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~2NX i para todo ni ,...,2,1= entonces la v.a. nXXnii== 1 tiene distribucin normal con media y varianza n2 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 108Ejemplos: 1) El dimetro interno de un anillo de pistn seleccionado al azar es una v.a. con distribucin normal con media 12 cm y desviacin estndar de 0.04 cm. a) Si X es el dimetro promedio en una muestra de 16=n anillos, calcule )01.1299.11( XP b) Qu tan probable es que el dimetro promedio exceda de 12.01 cuando 25=n ? Solucin: a) Sean las variables aleatorias :iX dimetro del anillo i 16,...,2,1=i Entonces ( )04.0 ,12~ 2NX i para cada i. Por lo tanto 1604.0,12~2NX . Entonces ( ) ( )6826.018413.02 1)1(2111604.0 21299.111604.0 21201.12 )1604.0 21201.121604.0 2121604.0 21299.11()01.1299.11(========XPXPb) En este caso 2504.0,12~2NX , entonces 1056.08944.01)25.1(12504.01201.121)01.12(2====> XP 2)Una mquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la mquina presenta una distribucin normal con 1= onza. De la produccin de la mquina un cierto da, se obtiene una muestra de 9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se miden las onzas del contenido de cada una. a) Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo ms a 0.3 onzas de la media real para tales posiciones de control b) Cuntas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que la media muestral est a lo ms a 0.3 onzas de con una probabilidad de 0.95? Solucin: a) Sean las variables aleatorias :iX contenido en onzas de la botella i 9,...,2,1=i Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 109 Entonces ( )1,~ NX i para cada i. Por lo tanto 91,~ NX . Se desea calcular 6318.01)9.0(2)9.0()9.0(9.09.03.03.03.03.0)3.03.0()3.0(=========nXPnnXnPnnXnPXPXP b) Ahora se pretende que 95.0)3.03.0()3.0( == XPXP Entonces 95.03.013.03.03.0)3.0( === nnXnPnnXnPXP Mediante la tabla de la acumulada de la normal estndar se tiene que ( ) ( ) ( ) 96.13.0 0.9753.0 95.013.023.013.0 ==== nnnnnXnP O sea 68.423.096.12=n Si tomamos 43=n , entonces )3.0( XP ser un poco mayor que 0.95 6.2 - Teorema central del lmite Acabamos de ver que la suma de un nmero finito n de variables aleatorias independientes que estn normalmente distribuidas es una variable aleatoria tambin normalmente distribuida. Esta propiedad reproductiva no es exclusiva de la distribucin normal. En efecto, por ejemplo, ya vimos que existen variables aleatorias discretas que la cumplen, es el caso de la Poisson y la Binomial. En realidad, la propiedad que le da a la distribucin normal el lugar privilegiado que ocupa entre todas las distribuciones es el hecho de que la suma de un nmero muy grande, rigurosamente un nmero infinito numerable, de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias (no necesariamente normales) es una variable aleatoria que tiene, aproximadamente, una distribucin normal. Este es, esencialmente, el contenido del Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 110 Dem.) sin demostracin Observaciones: 1- Notar que ( ) ( ) nXEXESEniiniin === == 11 y ( ) ( ) 211nXVXVSVniiniin === == Por lo tanto 2nnSZ nn= es la v.a. nS estandarizada 2- Notar que ==nXPznnnnSPznnSPnn22, por lo tanto tambin se puede enunciar el Teorema central del lmite de la siguiente forma Donde nXZ n = es el promedio muestral estandarizado 3- Aunque en muchos casos el T.C.L. funciona bien para valores de n pequeos , en particular donde la poblacin es continua y simtrica, en otras situaciones se requieren valores de n mas grandes, dependiendo de la forma de la distribucin de las iX . En muchos casos de inters prctico, si 30n , la aproximacin normal ser satisfactoria sin importar cmo sea la forma de la distribucin de las iX . Si 30Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 111Hacemos un histograma de frecuencias de X , esto es, tomamos un intervalo ),( ba donde caen todos los valores de X , y lo subdividimos en intervalos mas chicos de igual longitud. La frecuencia de cada subintervalo es la cantidad de valores de X que caen en dicho subintervalo. Se grafican estas frecuencias obtenindose los grficos siguientes que se pueden considerar una aproximacin a la verdadera distribucin de X . Se observa que a medida que aumenta el valor de n los grficos se van haciendo ms simtricos, parecindose a la grfica de una distribucin normal. Ejemplos: 1- Supngase que 30 instrumentos electrnicos D1, D2, ......,D30, se usan de la manera siguiente: tan pronto como D1 falla empieza a actuar D2. Cuando D2 falla empieza a actuar D3, etc. Supngase que el tiempo de falla de Di es una v.a. distribuida exponencialmente con parmetro = 0.1 por hora. Sea T el tiempo total de operacin de los 30 instrumentos. Cul es la probabilidad de que T exceda 350 horas? Solucin: Si iX : tiempo de falla del instrumento iD 30,...,2,1=i Entonces )1.0(~ ExpX i para 30,...,2,1=i El tiempo total de operacin de los 30 instrumentos es ==301iiXT , donde 3001.0130)(30)(301==== =iii XEXETE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1850100150 12 34 567 891011121314151617181920212223242526272829303132204060801 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282910203040501 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212210203040n=2 n = 5 n = 15 n = 30 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 11230001.0130)(30)(2301==== =iii XVXVTV Entonces por T.C.L. N(0,1)~3000300T aproximadamente pues 30=n La probabilidad pedida es ( ) 18141.081859.019128.013000300350130003003503000300)350( === >=>TPTP T.C.L. 2- Suponga que el consumo de caloras por da de una determinada persona es una v.a. con media 3000 caloras y desviacin estndar de 230 caloras. Cul es la probabilidad de que el promedio de consumo de caloras diario de dicha persona en el siguiente ao (365 das) sea entre 2959 y 3050? Solucin: Definimos las variables aleatorias iX : cantidad de caloras que una persona consume en el da i 365,...,2,1=i Se sabe que 3000)( =iXE y 2230)( =iXV Si ==36513651iiXX entonces 3000)( =XE y 365230)(22==nXVLa probabilidad pedida es ( )( ) ( ) 10140.315.436523030002959365230300030503652303000305036523030003652303000295930502959===XPXPT.C.L. Aplicaciones del Teorema central del lmite Aproximacin normal a la distribucin binomial El Teorema central del lmite se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables aleatorias discretas cuando es difcil calcular las probabilidades exactas para valores grandes de los parmetros. Supongamos que X tiene una distribucin binomial con parmetros n y p. Para calcular )( kXP debemos hacer la suma ===kiiXPkXP0)()( o recurrir a las tablas de la F.d.a. , pero para valores de n grandes no existen tablas, por lo tanto habra que hacer el clculo en forma directa y muchas veces es laborioso. Como una opcin podemos considerar a X como suma de variables aleatorias ms simples, especficamente, si definimos =contrariocasoxitoocurrederepeticinsimalaensiX i 01 ni ,...,2,1= Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 113entonces cada iX se la puede considerar ),1( pB , y adems nXXX ,...,, 21 son independientes Podemos escribir ==+++=niin XXXXX121 ... y si n es grande entonces X tendr aproximadamente una distribucin normal con parmetros np y )1( pnp , es decir ( )( )1,01..2NppnpnXnnXZ n == si n es lo suficientemente grande Observaciones: 1- La aproximacin normal a la distribucin binomial funciona bien aun cuando n no sea muy grande si p no est demasiado cerca de cero o de uno. En particular la aproximacin normal a la binomial es buena si n es grande , 5>np y 5)1( > pn , pero es ms efectivo aplicar esta aproximacin cuando 10>np y 10)1( > pn 2- Correccin por continuidad. Acabamos de ver que si XB(n,p) entonces, para n suficientemente grande, podemos considerar que aproximadamente es X ( )[ ]pp.n,p.nN 1 . El problema que surge de inmediato si deseo calcular, por ejemplo, la probabilidad de que kX = (con k alguno de los valores posibles 0,1,2,,n) es que la binomial es una distribucin discreta y tiene sentido calcular probabilidades como ( )kXP = mientras que la normal es una distribucin continua y, en consecuencia, ( ) 0== kXP puesto que para una variable aleatoria continua la probabilidad de que sta tome un valor aislado es cero. Esto se resuelve si se considera ( ) +=2121kXkPkXP Tambin se puede usar esta correccin para mejorar la aproximacin en otros casos, especficamente en lugar de )( kXP calculamos +21)( kXPkXP Y en lugar de 21)( kXPkXP En los grficos siguientes se muestra para diferentes valores de n y p cmo aproxima la distribucin ))1( ,( pnpnpN a la distribucin ) ,( pnB 5 10 15 20 250.0250.050.0750.10.1250.150.1752 4 6 8 10 12 140.050.10.150.2n = 25 p = 0.7 n = 15 p = 0.5 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 1145 10 15 200.050.10.150.20.250.30.3550 60 70 80 90 1000.020.040.060.0820 40 60 80 100 120 1400.020.040.060.080.12 4 6 8 100.10.20.30.4 Ejemplos: 1- Sea X B(25,0.4). Hallar las probabilidades exactas de que 8X y 8=X y comparar estos resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximacin normal. Solucin: De la tabla de la F.d.a. de la binomial encontramos 274.0)8( =XP Y 120.0154.0274.0)7()8()8( ==== XPXPXP Ahora usamos la aproximacin normal ( ) 2709.061.06.04.025105.8)1()5.8()8( ==pnpnpXPXPXP correccin por continuidad Observar que el valor aproximado est muy cercano al valor exacto para 274.0)8( =XP ( )1170.01593.02709.061.061002.16105.86106105.75.85.7)8(==== ==XPXPXPXPNuevamente este valor aproximado est muy cerca del valor real de 120.0)8( ==XP 2- Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso estn fuera de especificaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra). n =15 p = 0.9 n = 100 p = 0.7 n = 150 p = 0.1 n = 10 p = 0.1 Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 115Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el nmero entre ellos que estn fuera de especificaciones y se puedan volver a trabajar. Cul es la probabilidad (aproximada) de que X sea a) a lo sumo 30? b) menos de 30? c) entre 15 y 25 (inclusive)? Solucin: Sea la v.a. X: nmero de ejes fuera de especificaciones Entonces )1.0,200(~ BX , adems 5201.0200 >==np y 5180)1.01(200)1( >== pn Por lo tanto podemos aplicar la aproximacin normal a la binomial a) la probabilidad pedida es )30( XP ( ) 993244.0474.218205.3018205.30)1()5.30()30( == =pnpnpXPXPXP b) La probabilidad pedida es )30( Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 11698.01)1(15.02)1(15.0)1(15.0=pnpnpnpnpnpn Por lo tanto 99.02198.0)1(15.0=+pnpn Adems nnppnpnpn3.0)5.01(5.015.0)1(15.0)1(15.0== Entonces debe cumplirse que 33.23.0 n o sea 3211.603.033.22=n O sea se debe tomar una muestra de al menos 61 clientes Aproximacin normal a la distribucin Poisson Se puede probar aplicando Teorema central del lmite que Es decir para suficientemente grande )1,0(NX En la prctica si 30 la aproximacin es buena. Observacin: la demostracin es sencilla si es igual a un nmero natural n pues, si consideramos las variables aleatorias )1(~ PX i con ni ,...,2,1= independientes, entonces ya sabemos que ==ninii PX111~ , es decir )(~1nPXnii=Pero adems por T.C.L. si n es grande =niiX1tiene aproximadamente distribucin normal con parmetros nnn == 1 y nnn == 12 O sea la distribucin de =niiX1 que es exactamente Poisson con parmetro n, se puede aproximar con una ),( nnN , por lo tanto )1,0(NnnX aproximadamente para valores de n suficientemente grandes En los grficos siguientes se muestra para diferentes valores de cmo aproxima la distribucin ) ,( N a la distribucin )(P Si )(~ PX entonces para suficientemente grande X tiene aproximadamente distribucin )1,0(N Parte 1 - Probabilidades Prof. Mara B. Pintarelli 11720 40 60 80 1000.010.020.030.040.05 5 10 15 20 25 300.050.10.150.2 Ejemplo: El nmero de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier da hbil tiene una distribucin de Poisson con parmetro = 50. Cul es la probabilidad aproximada de que: a) entre 35 y 70 infracciones se expidan en un da en particular? b) el nmero total de infracciones expedidas durante una semana de 5 das sea entre 225 y 275? Solucin: Sea X: nmero de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier da hbil Entonces )(~ PX donde 50= Como 50= entonces )1,0(5050NX (aproximadamente) a) la probabilidad pedida es ( ) ( ) ( )9805.0017.0997599.012132.28284.25050355050707035==== XPb) Sea Y: nmero total de infracciones expedidas durante una semana de 5 das Entonces )(~ PY donde 250550 == La probabilidad pedida es ( ) ( ) ( )( ) 8859.0194295.0215811.125811.15811.1250250225250250275275225===== YP50= 3=

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