5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES - 1 – Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B ...

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    216

  • Download
    1

Transcript

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    83

    5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    5.1 Generalidades

    Hasta ahora hemos considerado el caso de variables aleatorias unidimensionales. Esto es, el resultado

    del experimento de inters se registra como un nico nmero real.

    En muchos casos, sin embargo, nos puede interesar asociar a cada resultado de un experimento aleatorio,

    dos o ms caractersticas numricas. Por ejemplo, de los remaches que salen de una lnea de produccin

    nos puede interesar el dimetro X y la longitud Y. Teniendo en cuenta la inevitable variabilidad en las

    dimensiones de los remaches debido a las numerosas causas presentes en el proceso de fabricacin, los

    podemos representar asocindoles dos variables aleatorias X e Y que pueden pensarse como una variable

    aleatoria bidimensional: ( )YX , .

    Sea un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a l. Sean RSX : , RSY : , que a cada resultado Ss le asignan el par de nmeros reales ( )yx, Llamaremos a ( )YX , variable aleatoria bidimensional. Si en lugar de dos variables aleatorias, tenemos n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 , llamaremos a

    ( )nX,...,X,X 21 variable aleatoria n-dimensional

    En lo que sigue nos referiremos en particular a variables aleatorias n-dimensionales con n=2, es decir

    nos concentraremos en variables aleatorias bidimensionales por cuanto son las ms simples de

    describir, fundamentalmente en relacin a la notacin. Pero debemos tener presente que las propiedades

    que estudiemos para ellas se pueden extender sin demasiada dificultad al caso general.

    Al conjunto de valores que toma la variable aleatoria bidimensional (X,Y) lo llamaremos recorrido de la

    v.a. (X,Y) y lo indicaremos XYR . En otras palabras ( ) ( ) ( )

    === SsconsYyesXx:y,xRXY , es

    decir, es la imagen por ( )Y,X del espacio muestral S. Notar que el recorrido de (X,Y) es un subconjunto del espacio Euclidiano: 2RRXY . Como antes, puede considerarse al recorrido XYR como un espacio muestral cuyos elementos son ahora pares de

    nmeros reales.

    Como con cualquier espacio muestral, segn el nmero de elementos que lo constituyen, podemos

    clasificar a los recorridos XYR en numerables (finitos o infinitos) y no-numerables.

    Los recorridos numerables son, en general, de la forma

    ( ) ( ) ( ) ( ){ }mnjiXY y,x,...,y,x,y,xm,..,jyn,...,,icony,xR 21112121 =

    === (finito)

    ( ) ( ) ( ){ },...y,x,y,x,..,jy,...,icony,xR jiXY 21112121 =

    === (infinito numerable)

    Los recorridos no numerables son regiones o subconjuntos no numerables del plano Euclidiano. Por

    ejemplo:

    ( )

    = dyc;bxa:y,xRXY (no numerable)

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    84

    ( ){ }1:, 22 += yxyxRXY (no numerable)

    ( )

    == 321 c,c,cy,bxa:y,xR jjXY (no numerable mixto)

    cuyas grficas se pueden apreciar en la figura siguiente. Notar en el ltimo recorrido, X es v.a. continua

    e Y discreta.

    Clasificaremos a las variables aleatorias bidimensionales de la siguiente manera:

    ( )Y,X es v.a. bidimensional discreta si X e Y son discretas ( )Y,X es v.a. bidimensional continua si X e Y son continuas El caso X continua, Y discreta (o viceversa) no lo consideramos.

    Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta y sea XYR su recorrido (numerable). Sea RR:p XY una funcin que a cada elemento ( )ji y,x le asigna un nmero real ( )ji y,xp tal que

    ( ) ( )XYjijiji Ry,xy,xpyY,xXP =

    == y que verifica.

    a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp 0

    b) ( ) ( )( )

    ==XYji Ryx

    ji

    i j

    ji yxpyxp,

    1,,

    A esta funcin la llamaremos funcin de probabilidad puntual conjunta de la variable aleatoria

    bidimensional ( )Y,X . En forma abreviada la designaremos fdp conjunta.

    Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua y sea XYR su recorrido (no numerable). Sea RR:f XY una funcin que, a cada punto ( )y,x de XYR le asigna un nmero real ( )y,xf tal que

    ( ) ( ) RBdxdyyxfBPB

    = , y que verifica.

    a) ( ) ( ) 2,0, Ryxyxf

    b) ( ) 1,2

    =R

    dxdyyxf .

    A esta funcin la llamaremos funcin de densidad de probabilidad conjunta de la variable aleatoria

    bidimensional ( )Y,X . En forma abreviada la designaremos tambin fdp conjunta.

    0

    0 0

    0 0 a b x

    c

    d

    y y y

    1

    2

    3

    1 2 a b x

    RXY c1

    c2

    c3

    -1

    -1

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    85

    Ejemplos:

    1-Dos lneas de produccin, sealadas I y II, manufacturan cierto tipo de artculo a pequea escala.

    Supngase que la capacidad mxima de produccin de la lnea I es cinco artculos por da, mientras que

    para la lnea II es 3 artculos/da. Debido a los innumerables factores presentes en todo proceso de

    produccin, el nmero de artculos realmente producido por cada lnea puede pensarse como una

    variable aleatoria. En conjunto podemos pensar en una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X discreta, donde la primera componente X corresponde a la produccin de la lnea I y la segunda componente

    Y a los artculos que salen de la lnea II. La fdp conjunta correspondiente a variables aleatorias

    bidimensionales suele presentarse, por comodidad, como una tabla. Supongamos que la para la v.a.

    ( )Y,X que nos interesa aqu la tabla correspondiente a ( )ji y,xp es

    XY 0 1 2 3 4 5

    0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

    1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08

    2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06

    3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05

    Cul es la probabilidad de qu salgan ms artculos de la lnea I que de la lnea II?

    Antes de calcular la probabilidad que nos pide el problema, hagamos algunas consideraciones sobre la

    tabla que representa a ( )ji y,xp . Se trata de una tabla a doble entrada donde en la primera fila se indican los valores que puede tomar la

    v.a. X (en este caso X=0,1,2,3,4,5) y la primera columna indica los valores que puede tomar la variable Y

    ( 0,1,2,3). Para determinar el valor de la ( )ji y,xp cuando la v.a. ( )Y,X toma el valor ( )ji y,x consideramos el nmero que se encuentra en la columna correspondiente a ixX = y la fila

    correspondiente a jyY = . Por ejemplo: ( ) ( ) 0502424 .Y,XP,p ==== . Podemos verificar fcilmente que la fdp conjunta definida por esta bien definida. En efecto verifica las

    condiciones a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp 0 y b) ( )( )

    =XYji Ry,x

    ji y,xp 1.

    Para contestar la pregunta del enunciado, consideremos el suceso XYRB definido

    B: es el suceso que ocurre cuando la lnea I produce ms artculos que la lnea II o,

    { }YXB >= . Luego:

    ( ) ( ) ( ) = >

    ==>=3

    0j jiy yx

    ji y,xpYXPBP 0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.04+0.05+0.06+0.08+

    +0.05+0.05+0.06+0.06+0.05=0.75.

    2- Hay tres cajas registradoras a la salida de un supermercado. Dos clientes llegan a las cajas en

    diferentes momentos cuando no hay otros clientes ante aquellas. Cada cliente escoge una caja al azar e

    independientemente del otro.

    Sean las variables aleatorias X: n de clientes que escogen la caja 1 e Y: n de clientes que escogen la

    caja 2. Hallar la fdp conjunta de (X,Y)

    Podemos suponer que el espacio muestral original S es el conjunto de pares ordenados

    { })3,3();2,3();1,3();3,2();2,2();1,2();3,1();2,1();1,1(=S donde la primera componente del par indica la caja elegida por el cliente 1 y la segunda componente del par indica la caja elegida por el cliente 2.

    Adems notar que X como Y pueden tomar los valores 0, 1, 2

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    86

    El punto muestral (3,3) es el nico punto muestral que corresponde al evento { }0,0 == YX Entonces

    9

    1)0,0( === YXP ; pensando de forma anloga los otros casos:

    9

    2)0,1( === YXP ;

    9

    1)0,2( === YXP ;

    9

    2)1,0( === YXP ,

    9

    2)1,1( === YXP ,

    9

    1)2,0( === YXP ; 0)2,2()2,1( ====== YXPYXP

    Disponemos estas probabilidades en una tabla de la siguiente forma

    3- Supongamos que una partcula radiactiva se localiza aleatoriamente en un cuadrado con lados de

    longitud unitaria. Es decir, si se consideran dos regiones de la misma rea, la partcula tendr igual

    probabilidad de estar en cualquiera de ellas. Sean X e Y las coordenadas que localizan la partcula. Un

    modelo adecuado para la distribucin conjunta de X e Y sera considerar a (X, Y) continua con fdp dada

    por

    =contrario caso 0

    10 ;10 si 1),(

    yxyxf

    Es conveniente hacer un grfico en el plano del dominio de la fdp

    Nos preguntamos cul es la probabilidad de que la

    coordenada en x sea menor que 0.2 y la

    coordenada en y menor que 0.4 , es decir, cul es la

    )4.0,2.0( YXP . Para calcularla, graficamos en el plano xy la regin que corresponde al evento

    interseccin la regin que es dominio de la fdp

    Por lo tanto

    ===4.0

    0

    2.0

    0

    08.04.02.01)4.0,2.0( dxdyYXP

    Y \ X 0 1 2

    0 1/9 2/9 1/9

    1 2/9 2/9 0

    2 1/9 0 0

    { }4.0,2.0 YX

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    87

    En este ejemplo la fdp es un caso particular de v.a. bidimensional uniformemente distribuida

    Diremos que una variable aleatoria bidimensional continua est uniformemente distribuida en la regin

    XYR del plano Euclidiano R si su funcin de densidad de probabilidad es

    ( )( )( )

    =

    XY

    XY

    Ryxpara

    Ryxparac

    yxf,0

    ,

    ,

    Puesto que la condicin de normalizacin exige ( ) ==2

    1,

    R RXY

    cdxdydxdyyxf debe ser

    ( )XYRrea

    c1

    =

    A una v.a. ( )Y,X bidimensional continua uniformemente distribuida en su recorrido XYR la indicaremos X [ ]XYRU . Por ejemplo, supongamos que la v.a. ( )Y,X est distribuida uniformemente en el recorrido XYR que se muestra en la figura. Cul es su fdp conjunta?

    De la figura calculamos el rea del recorrido:

    ( ) ( ) ===1

    0

    1

    0

    2

    6

    1

    2

    dxxxdydxRrea

    x

    x

    XY . Por lo tanto

    ( )( )

    =

    puntosdemslospara

    xyxxquetalyxpara

    yxf0

    ,10,6

    ,

    2

    5.2 - Funciones de distribucin marginales de una v.a. (X,Y) discreta

    En el ejemplo 1, supongamos que queremos saber cul es la probabilidad de que el nmero de artculos

    producidos por la lnea I sea 2, o sea )2( =XP Como el evento { }2=X es igual a { } { } { } { } { }( )32102 ===== YYYYX , y a su vez

    0

    0

    1

    2

    y

    1 2 3 x

    y = x

    y = x2

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    88

    { } { } { } { } { }( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )32221202

    32102

    =========

    ======

    YXYXYXYX

    YYYYX

    Entonces

    ( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )

    =

    =====+==+==+===

    ===+==+==+===

    ==

    3

    0

    ),2()3,2()2,2()1,2()0,2(

    32221202

    2

    j

    jYXPYXPYXPYXPYXP

    YXPYXPYXPYXP

    XP

    Razonando de la misma forma podemos escribir

    ( ) 5,...,1,0 ),(3

    0

    ===== =

    ijYiXPiXPj

    Es decir obtenemos la funcin de distribucin de probabilidad de X

    Anlogamente obtenemos

    ( ) 3,2,1,0 ),(5

    0

    ===== =

    jjYiXPjYPi

    Que es la funcin de distribucin de probabilidad de Y

    En general se las denomina distribuciones marginales de X e Y, y su definicin sera la siguiente

    Sea (X,Y) discreta y sea ( )ji y,xp (i=1,2,n, j=1,2,,m) su funcin de probabilidad conjunta (Eventualmente n y/o m pueden ser ).

    La funcin de probabilidad marginal de X es

    ( ) ( ) ( )=

    ===m

    j

    jiii yxpxXPxp1

    , (i=1,2,,n)

    La funcin de probabilidad marginal de Y es

    ( ) ( ) ( )=

    ===n

    i

    jijj yxpyYPyq1

    , (j=1,2,,m)

    Observacin: Remarcamos que la funcin de probabilidad marginal de X, es decir ( )ixp calculada a partir de ( )ji y,xp en la forma indicada, coincide con la funcin de probabilidad de la variable aleatoria unidimensional X considerada en forma aislada. Anlogamente la funcin de probabilidad marginal de

    Y, es decir ( )jyq calculada a partir de ( )ji y,xp en la forma indicada, coincide con la funcin de probabilidad de variable aleatoria unidimensional Y considerada en forma aislada.

    Ejemplo:

    Siguiendo con el ejemplo 1,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )280

    0500600800903525150555

    .

    ....,p,p,p,pXPp

    =

    +++=+++===

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    89

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )260

    06005004002001015141312111011

    .

    .....,p,p,p,p,p,pYPq

    =

    ++++=+++++===

    Observemos que se verifica la condicin de normalizacin para cada una de las marginales:

    ( )=

    =+++++=5

    0

    1280240210160080030ix

    i ......xp

    ( )=

    =+++=3

    0

    1240250260250jy

    j ....yq

    5.3 - Funciones de distribucin marginales de una v.a. (X,Y) continua

    En el ejemplo 3 supongamos que queremos hallar la probabilidad de que la coordenada x de la partcula

    sea menor o igual a 0.2, es decir )2.0( XP . Podemos escribir

    2.01),() ,2.0()2.0(

    2.0

    0

    1

    0

    2.0

    0

    ===

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    90

    Observacin: Remarcamos aqu tambin que la funcin de de densidad de probabilidad marginal de X,

    es decir ( )xg , calculada a partir de ( )y,xf en la forma indicada, coincide con la funcin de densidad de probabilidad de variable aleatoria unidimensional X considerada en forma aislada. Anlogamente la

    funcin de densidad de probabilidad marginal de Y, es decir ( )yh calculada a partir de ( )y,xf en la forma indicada, coincide con la funcin de densidad de probabilidad de variable aleatoria

    unidimensional Y considerada en forma aislada. De manera que podemos calcular probabilidades como,

    por ejemplo

    ( ) ( )

    ( )

    =

    ==

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    91

    5.4 - Funciones de probabilidades condicionales

    Caso discreto

    Consideremos nuevamente el ejemplo de las dos lneas I y II que producen cierto artculo a pequea

    escala. Definimos la v.a. ( )Y,X cuya funcin de probabilidad conjunta ( )ji y,xp est dada por la tabla anterior que repetimos

    XY 0 1 2 3 4 5 q(yj)

    0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.25

    1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.26

    2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.25

    3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24

    p(xi) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1

    Supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que la lnea I produzca tres artculos sabiendo

    que la lnea II ha fabricado dos. Tenemos que calcular una probabilidad condicional. Entonces

    ( )( )

    ( )( )

    2.025.0

    05.0

    2

    2,3

    2

    2,3

    23 ====

    ==

    ===q

    p

    YP

    YXP

    YXP

    En general definimos la funcin de probabilidad puntual de X condicional a Y como sigue:

    ( ) ( ) ( )( )jji

    jijiyq

    y,xpyYxXPyxp ==== , es decir como el cociente de la funcin de probabilidad

    conjunta de ( )Y,X y la funcin de probabilidad puntual marginal de Y.

    Anlogamente, definimos la funcin de probabilidad puntual de Y condicional a X :

    ( ) ( ) ( )( )i

    ji

    ijijxp

    y,xpxXyYPxyq ==== , es decir como el cociente de la funcin de probabilidad puntual

    conjunta de ( )Y,X y la funcin de probabilidad puntual marginal de X.

    b) Caso continuo

    Como ocurre con la variables aleatoria continuas en general, el definir la probabilidad condicional de

    ocurrencia de un valor dado de una de las variables aleatorias del par ( )Y,X supuesto que ocurri la otra, presenta las dificultades conocidas relacionadas con el hecho de que la probabilidad de un punto es

    cero. Entonces probabilidades tales como ( )ji yYxXP == tienen el problema que ( ) 0== jyYP .

    Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua cuya fdp conjunta es ( )y,xf . Sean ( )xg y ( )yh la fdp marginales de X e Y, respectivamente. Definimos la funcin de densidad de probabilidad de

    X condicional a que Y=y, a la que denotaremos ( )yxg , de la siguiente manera:

    ( ) ( )( )

    ( ) 0>= yhconyh

    y,xfyxg .

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    92

    Anlogamente, la funcin de densidad de probabilidad de Y condicional a que X=x, a la que

    denotaremos ( )xyh , se define:

    ( ) ( )( )

    ( ) 0>= xgconxg

    y,xfxyh .

    De acuerdo con estas definiciones, podemos calcular, por ejemplo,

    ( ) ( )( )

    ( )ch

    dxc,xf

    dxcxgcYbXaP

    b

    a

    b

    a

    ===

    Observemos que si quisiramos calcular esta probabilidad usando la fdp conjunta, es decir, refirindonos

    al recorrido completo, llegaramos a una indeterminacin:

    ( ) ( ) ( )[ ]( )

    ( )

    ( ) 00

    ===

    ===

    +

    c

    c

    b

    a

    c

    c

    y,xdyfdx

    y,xdyfdx

    cYP

    cYbXaPcYbXaP

    I.

    Notar la diferencia entre la funcin de densidad de probabilidad condicional ( )yxg y la funcin de densidad de probabilidad marginal ( )xg :

    ( ) ( )bXaPdxxgb

    a

    = , mientras que

    ( ) ( ) ==b

    a

    yYbXaPdxyxg .

    Ejemplo:

    Una mquina vendedora de refrescos se llena al principio de un da dado con una cantidad aleatoria Y, y

    se despacha durante el da una cantidad aleatoria X (medida en galones). No se le vuelve a surtir durante

    el da y entonces YX Se ha observado que (X,Y) tienen la densidad conjunta

    Cul es la probabilidad de que se venda menos de

    galn, dado que la mquina contiene 1 galn al inicio del

    da?

    Solucin: Primero es conveniente hacer un grfico de la

    regin del plano donde la densidad conjunta

    est definida

    =contrario caso 0

    20 ;0 si 2/1),(

    yyxyxf

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    93

    Hallamos la densidad condicional de X dado Y. Para esto primero encontramos la fdp marginal de Y

    =

    ==

    contrario caso 0

    2y0 si )2/1(

    contrario caso 0

    20 si )2/1(),()(

    0

    yydxdxyxfyh

    y

    Entonces la densidad condicional es

    ZP

    ( ) 017.0983.0112132.2102.0

    33.31

    02.0

    33.3

    02.0

    3)3.3( ===

    =

    >

    =>

    ZPZP

    2-Tengo tres mensajes que atender en el edificio administrativo. Sea Xi : el tiempo que toma el i-

    simo mensaje (i = 1, 2 ,3), y sea X4 : el tiempo total que utilizo para caminar hacia y desde el

    edificio y entre cada mensaje. Suponga que las Xi son independientes, normalmente distribui-

    das, con las siguientes medias y desviaciones estndar:

    3 ,12 ,2 ,8 ,1 ,5 ,4 min,15 44332211 ======== Pienso salir de mi oficina precisamente a las 10.00 a.m. y deseo pegar una nota en mi puerta que

    dice regreso a las t a.m. A qu hora t debo escribir si deseo que la probabilidad de mi llegada

    despus de t sea 0.01?

    Solucin: Definimos la v.a. Z: tiempo transcurrido desde que salgo de mi oficina hasta que re-

    greso, entonces 4321 XXXXT +++=

    Por lo tanto

    ==

    4

    1

    24

    1

    ,~i

    i

    i

    iNT , y se pide hallar t tal que 01.0)( => tTP

    501285154

    1

    =+++==i

    i y 303214222

    4

    1

    22 =+++==i

    i

    Entonces 01.030

    501)( =

    =>

    ttTP , es decir 99.0

    30

    50=

    t

    Buscando en la tabla de la normal 7619.62503033.2 33.230

    50=+==

    t

    t

    3- El ancho del marco de una puerta tiene una distribucin normal con media 24 pulgadas y des-

    viacin estndar de 1/8 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribucin normal con me-

    dia 23.875 de pulgadas y desviacin estndar de 1/16 de pulgadas. Suponer independencia.

    a) Determine la distribucin, la media y la desviacin estndar de la diferencia entre el ancho

    del marco y de la puerta.

    b) Cul es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta sea ma-

    yor que de pulgada?.

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    113

    c) Cul es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?.

    Solucin: Sean las variables aleatorias

    X: ancho del marco de la puerta en pulgadas

    Y: ancho de la puerta en pulgadas

    Entonces )1/8)( ,24~ 2N(X , )1/16)( ,875.23~ 2N(Y , X e Y independientes

    a) Se pide la distribucin de X-Y , )( YXE , )( YXVYX = 125.0875.2324)()()( === YEXEYXE

    16

    5

    256

    5

    16

    1

    8

    1)()()(

    22

    ==

    +

    =+= YXYVXVYXV

    Por lo tanto

    2

    16

    5 ,125.0~ NYX

    b) Se pide la probabilidad )4/1( >YXP

    1867.08133.01)8944.0(15

    521

    16

    5

    125.025.01)4/1( ===

    =

    =>YXP

    c) Si la puerta no entra en el marco entonces se da el evento { }YX < o equivalentemente { }0ZP

    5- Si se aplican dos cargas aleatorias 21 y XX a una viga voladiza como se muestra en la figura si-

    guiente, el momento de flexin en 0 debido a las cargas es 2211 XaXa + .

    a) Suponga que 21 y XX son v.a. independientes con medias 2

    y 4 KLbs respectivamente, y desviaciones estndar 0.5 y

    1.0 KLbs, respectivamente.

    Si 51 =a pies y 102 =a pies, cul es el momento de flexin esperado y cul es la desviacin

    estndar del momento de flexin?

    b) Si 21 y XX estn normalmente distribuidas, cul es la

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    114

    probabilidad de que el momento de

    flexin supere 75 KLbs?

    Solucin: Sea la v.a. Z: momento de flexin en 0, entonces 21 105 XXZ += Por lo tanto

    a) 5041025)(10)(5)( 21 =+=+= XEXEZE

    4

    65

    4

    6511025.0251105.05)( 2222 ==+=+= ZZV

    b) Si 21 y XX estn normalmente distribuidas, entonces

    4

    65 ,50 ~ NZ

    Por lo tanto

    ( ) 01120.6113

    65101

    4

    65

    50751)75( ==

    =

    =>ZP

    Promedio de variables aleatorias normales independientes

    Dem.) Notar que n

    X

    X

    n

    i

    i== 1 es un caso particular de combinacin lineal de variables aleatorias donde

    nai

    1= para todo ni ,...,2,1=

    Adems en este caso =i y 22 =i para todo ni ,...,2,1=

    Por lo tanto, X tiene distribucin normal con esperanza =====

    n

    i

    n

    i

    i nnnn 11

    111 y varianza

    nn

    nnn

    n

    i

    i

    n

    i

    22

    2

    2

    2

    1

    2

    2

    1

    111 =

    =

    =

    ==

    Es decir,

    nNX

    2

    ,~

    Observacin: a X se lo llama promedio muestral o media muestral

    Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~2NX i para todo

    ni ,...,2,1= entonces la v.a. n

    X

    X

    n

    i

    i== 1 tiene distribucin normal con

    media y varianza n

    2

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    115

    Ejemplo:

    Una mquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la mquina presenta una

    distribucin normal con 1= onza. De la produccin de la mquina un cierto da, se obtiene una muestra de 9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se

    miden las onzas del contenido de cada una.

    a) Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo ms a 0.3 onzas de la

    media real para tales posiciones de control b) Cuntas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que la media muestral est a

    lo ms a 0.3 onzas de con una probabilidad de 0.95?

    Solucin:

    a) Sean las variables aleatorias :iX contenido en onzas de la botella i 9,...,2,1=i

    Entonces ( )1,~ NX i para cada i.

    Por lo tanto

    9

    1,~ NX . Se desea calcular

    6318.01)9.0(2

    )9.0()9.0(9.09.03.03.0

    3.03.0)3.03.0()3.0(

    ==

    ==

    =

    =

    =

    ==

    n

    XP

    nn

    X

    n

    P

    nn

    X

    n

    PXPXP

    b) Ahora se pretende que

    95.0)3.03.0()3.0( == XPXP

    Entonces

    95.03.01

    3.03.03.0

    )3.0( =

    =

    = n

    n

    XnP

    nn

    X

    n

    PXP

    Mediante la tabla de la acumulada de la normal estndar se tiene que

    ( ) ( ) ( ) 96.13.0 0.9753.0 95.013.023.01

    3.0 ====

    nnnn

    n

    XnP

    O sea 68.423.0

    96.12

    =

    n

    Si tomamos 43=n , entonces )3.0( XP ser un poco mayor que 0.95

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    116

    6.2 - Teorema central del lmite

    Acabamos de ver que la suma de un nmero finito n de variables aleatorias independientes que estn

    normalmente distribuidas es una variable aleatoria tambin normalmente distribuida. Esta propiedad

    reproductiva no es exclusiva de la distribucin normal. En efecto, por ejemplo, ya vimos que existen

    variables aleatorias discretas que la cumplen, es el caso de la Poisson y la Binomial.

    En realidad, la propiedad que le da a la distribucin normal el lugar privilegiado que ocupa entre todas

    las distribuciones es el hecho de que la suma de un nmero muy grande, rigurosamente un nmero

    infinito numerable, de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias (no

    necesariamente normales) es una variable aleatoria que tiene, aproximadamente, una distribucin

    normal. Este es, esencialmente, el contenido del

    Dem.) sin demostracin

    Observaciones:

    1- Notar que ( ) ( ) nXEXESEn

    i

    i

    n

    i

    in ==

    =

    == 11

    y ( ) ( ) 211

    nXVXVSVn

    i

    i

    n

    i

    in ==

    =

    ==

    Por lo tanto 2

    n

    nSZ nn

    = es la v.a. nS estandarizada

    2- Notar que

    =

    =

    n

    XPz

    n

    n

    n

    nS

    Pzn

    nSP

    n

    n

    22

    , por lo tanto tambin se puede enunciar

    el Teorema central del lmite de la siguiente forma

    Donde

    n

    XZ n

    = es el promedio muestral estandarizado

    Teorema central del lmite (T.C.L.):

    Sean nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) =iXE y ( ) 2=iXV para todo n,...,,i 21= , es decir independientes idnticamente distribuidas

    Sea la v.a. =

    =n

    i

    in XS1

    y sea 2

    n

    nSZ nn

    = .

    Entonces ( ) ( )zzZPlim nn

    =

    , esto es

    =

    z xnn

    dxezn

    nSP 2

    2

    2

    2

    1lim

    Sean nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) =iXE y ( ) 2=iXV para todo n,...,,i 21= , es decir independientes idnticamente distribuidas

    Sea la v.a. promedio muestral =

    =n

    i

    iXn

    X1

    1 y sea

    n

    XZ n

    = .

    Entonces ( ) ( )zzZPlim nn

    =

    , esto es

    =

    z xn

    dxezn

    XP 2

    2

    2

    1lim

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    117

    3- Aunque en muchos casos el T.C.L. funciona bien para valores de n pequeos , en particular donde la

    poblacin es continua y simtrica, en otras situaciones se requieren valores de n mas grandes,

    dependiendo de la forma de la distribucin de las iX . En muchos casos de inters prctico, si 30n , la

    aproximacin normal ser satisfactoria sin importar cmo sea la forma de la distribucin de las iX . Si

    30

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    118

    Solucin:

    Si iX : tiempo de falla del instrumento iD 30,...,2,1=i

    Entonces )1.0(~ ExpX i para 30,...,2,1=i

    El tiempo total de operacin de los 30 instrumentos es =

    =30

    1i

    iXT , donde

    3001.0

    130)(30)(

    30

    1

    ===

    =

    =i

    i

    i XEXETE

    30001.0

    130)(30)(

    2

    30

    1

    ===

    =

    =i

    i

    i XVXVTV

    Entonces por T.C.L. N(0,1)~3000

    300T aproximadamente pues 30=n

    La probabilidad pedida es

    ( ) 18141.081859.019128.013000

    3003501

    3000

    300350

    3000

    300)350( ===

    >

    =>

    TPTP

    T.C.L.

    2- Suponga que el consumo de caloras por da de una determinada persona es una v.a. con media

    3000 caloras y desviacin estndar de 230 caloras. Cul es la probabilidad de que el promedio de

    consumo de caloras diario de dicha persona en el siguiente ao (365 das) sea entre 2959 y 3050?

    Solucin:

    Definimos las variables aleatorias

    iX : cantidad de caloras que una persona consume en el da i 365,...,2,1=i

    Se sabe que 3000)( =iXE y 2230)( =iXV

    Si =

    =365

    1365

    1

    i

    iXX entonces 3000)( =XE y 365

    230)(

    22

    ==n

    XV

    La probabilidad pedida es

    ( )

    ( ) ( ) 10140.315.4365

    230

    30002959

    365230

    30003050

    365230

    30003050

    365230

    3000

    365230

    3000295930502959

    ==

    =X

    PXP

    T.C.L.

    Aplicaciones del Teorema central del lmite

    Aproximacin normal a la distribucin binomial

    El Teorema central del lmite se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables

    aleatorias discretas cuando es difcil calcular las probabilidades exactas para valores grandes de los

    parmetros.

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    119

    Supongamos que X tiene una distribucin binomial con parmetros n y p. Para calcular )( kXP

    debemos hacer la suma =

    ==k

    i

    iXPkXP0

    )()( o recurrir a las tablas de la F.d.a. , pero para valores de

    n grandes no existen tablas, por lo tanto habra que hacer el clculo en forma directa y muchas veces es

    laborioso.

    Como una opcin podemos considerar a X como suma de variables aleatorias ms simples,

    especficamente, si definimos

    =contrariocaso

    xitoocurrederepeticinsimalaensi

    X i 0

    1 ni ,...,2,1=

    entonces cada iX se la puede considerar ),1( pB , y adems nXXX ,...,, 21 son independientes

    Podemos escribir =

    =+++=n

    i

    in XXXXX1

    21 ... y si n es grande entonces X tendr aproximadamente

    una distribucin normal con parmetros np y )1( pnp , es decir

    ( )( )1,0

    1.

    .

    2N

    ppn

    pnX

    n

    nXZ n

    =

    =

    si n es lo suficientemente grande

    Observaciones:

    1- La aproximacin normal a la distribucin binomial funciona bien aun cuando n no sea muy grande si

    p no est demasiado cerca de cero o de uno. En particular la aproximacin normal a la binomial es buena

    si n es grande , 5>np y 5)1( > pn , pero es ms efectivo aplicar esta aproximacin cuando 10>np y 10)1( > pn

    2- Correccin por continuidad.

    Acabamos de ver que si XB(n,p) entonces, para n suficientemente grande, podemos considerar que aproximadamente es X ( )[ ]pp.n,p.nN 1 . El problema que surge de inmediato si deseo calcular, por ejemplo, la probabilidad de que kX = (con k alguno de los valores posibles 0,1,2,,n) es que la binomial es una distribucin discreta y tiene sentido calcular probabilidades como ( )kXP = mientras que la normal es una distribucin continua y, en consecuencia, ( ) 0== kXP puesto que para una variable aleatoria continua la probabilidad de que sta tome un valor aislado es cero. Esto se resuelve si

    se considera ( )

    +=2

    1

    2

    1kXkPkXP

    Tambin se puede usar esta correccin para mejorar la aproximacin en otros casos, especficamente en

    lugar de )( kXP calculamos

    +2

    1)( kXPkXP

    Y en lugar de

    2

    1)( kXPkXP

    En los grficos siguientes se muestra para diferentes valores de n y p cmo aproxima la distribucin

    ))1( ,( pnpnpN a la distribucin ) ,( pnB

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    120

    5 10 15 20 25

    0.025

    0.05

    0.075

    0.1

    0.125

    0.15

    0.175

    2 4 6 8 10 12 14

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    5 10 15 20

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    50 60 70 80 90 100

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    20 40 60 80 100 120 140

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    2 4 6 8 10

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Ejemplos:

    1- Sea X B(25,0.4). Hallar las probabilidades exactas de que 8X y 8=X y comparar estos resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximacin normal.

    Solucin:

    De la tabla de la F.d.a. de la binomial encontramos 274.0)8( =XP Y 120.0154.0274.0)7()8()8( ==== XPXPXP Ahora usamos la aproximacin normal

    ( ) 2709.061.06.04.025

    105.8

    )1()5.8()8( =

    =

    pnp

    npXPXPXP

    correccin por continuidad

    n = 25

    p = 0.7 n = 15

    p = 0.5

    n =15

    p = 0.9

    n = 100

    p = 0.7

    n = 150

    p = 0.1

    n = 10

    p = 0.1

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    121

    Observar que el valor aproximado est muy cercano al valor exacto para 274.0)8( =XP

    ( )

    1170.01593.02709.0

    61.06

    1002.1

    6

    105.8

    6

    10

    6

    105.75.85.7)8(

    ==

    =

    =

    ==

    XP

    XPXPXP

    Nuevamente este valor aproximado est muy cerca del valor real de 120.0)8( ==XP

    2- Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso estn fuera de

    especificaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra).

    Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el nmero entre ellos que estn fuera de

    especificaciones y se puedan volver a trabajar. Cul es la probabilidad (aproximada) de que X sea

    a) a lo sumo 30?

    b) menos de 30?

    c) entre 15 y 25 (inclusive)?

    Solucin:

    Sea la v.a. X: nmero de ejes fuera de especificaciones

    Entonces )1.0,200(~ BX , adems 5201.0200 >==np y 5180)1.01(200)1( >== pn

    Por lo tanto podemos aplicar la aproximacin normal a la binomial

    a) la probabilidad pedida es )30( XP

    ( ) 993244.0474.218

    205.30

    18

    205.30

    )1()5.30()30( ==

    =

    pnp

    npXPXPXP

    b) La probabilidad pedida es )30(

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    122

    poltica de aceptacin de cheques en la muestra de n clientes. Si no se toman a todos los clientes,

    entonces n

    XX = no ser igual a p.

    La pregunta es cul debe ser n para que n

    XX = se aleje del verdadero p en menos de 0.15 con

    probabilidad 0.98 por lo menos, o sea para que ( ) 98.015.0 pXP Entonces planteamos

    ( ) ( )

    ==

    )1(

    15.0

    )1()1(

    15.015.015.015.0

    pnp

    n

    pnp

    npX

    pnp

    nPpXPpXP

    T.C.L.

    98.01)1(

    15.02

    )1(

    15.0

    )1(

    15.0

    =

    pnp

    n

    pnp

    n

    pnp

    n

    Por lo tanto 99.02

    198.0

    )1(

    15.0=

    +

    pnp

    n

    Adems nn

    pp

    n

    pnp

    n3.0

    )5.01(5.0

    15.0

    )1(

    15.0

    )1(

    15.0=

    =

    Entonces debe cumplirse que 33.23.0 n o sea 3211.603.0

    33.22

    =

    n

    O sea se debe tomar una muestra de al menos 61 clientes

    Aproximacin normal a la distribucin Poisson

    Se puede probar aplicando Teorema central del lmite que

    Es decir para suficientemente grande )1,0(NX

    En la prctica si 30 la aproximacin es buena.

    Observacin: la demostracin es sencilla si es igual a un nmero natural n pues, si consideramos las variables aleatorias )1(~ PX i con ni ,...,2,1= independientes, entonces ya sabemos que

    ==

    n

    i

    n

    i

    i PX11

    1~ , es decir )(~1

    nPXn

    i

    i=

    Si )(~ PX entonces para suficientemente grande

    X tiene aproximadamente distribucin

    )1,0(N

  • Parte 1 Variables aleatorias bidimensionales Prof. Mara B. Pintarelli

    123

    Pero adems por T.C.L. si n es grande =

    n

    i

    iX1

    tiene aproximadamente distribucin normal con

    parmetros nnn == 1 y nnn == 12

    O sea la distribucin de =

    n

    i

    iX1

    que es exactamente Poisson con parmetro n, se puede aproximar con

    una ),( nnN , por lo tanto )1,0(Nn

    nX

    aproximadamente para valores de n suficientemente grandes

    En los grficos siguientes se muestra para diferentes valores de cmo aproxima la distribucin ) ,( N a la distribucin )(P

    20 40 60 80 100

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    5 10 15 20 25 30

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    Ejemplo:

    El nmero de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier da hbil tiene una

    distribucin de Poisson con parmetro = 50. Cul es la probabilidad aproximada de que: a) entre 35 y 70 infracciones se expidan en un da en particular?

    b) el nmero total de infracciones expedidas durante una semana de 5 das sea entre 225 y 275?

    Solucin:

    Sea X: nmero de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier da hbil

    Entonces )(~ PX donde 50=

    Como 50= entonces )1,0(50

    50N

    X

    (aproximadamente)

    a) la probabilidad pedida es

    ( ) ( ) ( )

    9805.0017.0997599.0

    12132.28284.250

    5035

    50

    50707035

    ==

    ==

    XP

    b) Sea Y: nmero total de infracciones expedidas durante una semana de 5 das

    Entonces )(~ PY donde 250550 == La probabilidad pedida es

    ( ) ( ) ( )

    ( ) 8859.0194295.0215811.12

    5811.15811.1250

    250225

    250

    250275275225

    ===

    ==

    YP

    50= 3=

Recommended

View more >