4 Distribuciones Discretas de Probabilidad

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    02-Feb-2016

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distribuciones

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  • Muchas situaciones reales pueden ser analizadas por variables aleatorias discretas. En esta lectura se estudian las distribuciones de probabilidad discretas, Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeomtrica DistribucinBernoulli Los nombres de las distribuciones de probabilidad llevan en su mayora el nombre de quien las cre y dio a conocer. La distribucin de Bernoulli se distingue porque es utilizada en contextos para los cuales tan slo hay dos posibles resultados: ocurre o no ocurre, xito o fracaso. De este modo cuando nos encontremos en un contexto como el mencionado asignaremos a la variable aleatoria los valores 1 y 0, con lo que indicaremos respectivamente ocurre, no ocurre o xito y fracaso.

    Se denotar por q al valor de 1 p . No olvidemos que es importante conocer el valor esperado de una variable aleatoria porque ste nos dice segn el contexto y las probabilidades dadas en l, lo que se espera de variable aleatoria o el resultado que se espera obtener. Adicionalmente la varianza nos permite calcular la desviacin estndar que nos indica qu tan alejados estn los datos del valor

    Sea X una variable aleatoria que slo toma los valores 1 y 0, denotamos por p y 1 p a la probabilidad de xito y fracaso respectivamente. La funcin de probabilidad de esta variable est dada de la siguiente manera

    ( 0) 1P X p= = ( 1)P X p= = Por otra parte, el valor esperado o media y la varianza son

    ( ) ( ) 0 (1 ) 1( )x

    E X xP x p p p= = + = 2 2 2( ) ( ) ( ( )) (1 )Var X E X E X p p p p= = =

    DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

  • promedio de los mismos, entonces con ello sabremos si los datos se agrupan o alejan del valor promedio, mostrando as la dispersin de los mencionados. E j e m p l o 6 0E j e m p l o 6 0 Un poltico cree que el 32% de los habitantes de cierta regin apoyarn su campaa para el consejo. Determine la media y la varianza de la variable aleatoria que toma el valor 1 si el poltico es apoyado y 0 sino. Como 0, 1X = y 0.32p = entonces 1 0.68p = , luego el valor esperado o media de la variable aleatoria es ( ) 0(0.68) 1(0.32) 0.32E X = + =

    Lo que significa que se espera que un 32% de los habitantes apoyen la campaa del poltico.

    ( ) (1 ) 0.32(0.68) 0.2176Var X p p= = = Dado que la raz de la varianza mide qu tan dispersos estn los datos de la media, si calculamos dicho valor obtenemos

    ( ) 0.2176 0.4664Var X = DistribucinBinomial Cuando un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados, xito o fracaso, y se repite un nmero finito de veces nos encontramos en un experimento de tipo Binomial. Los criterios que nos permitirn utilizar esta distribucin son: Debe existir un nmero fijo de pruebas repetidas o ensayos independientes, a este

    nmero lo denotamos con la letra n . Cada una n de las pruebas debe tener dos resultados, xito o fracaso (favorable o

    desfavorable). La probabilidad de xito de un acontecimiento es fijo y se denota con la letra p . La variable aleatoria X cuenta el nmero de xitos obtenidos en los n ensayos

    independientes.

  • E j e m p l o E j e m p l o 6 16 1 De la produccin de envases metlicos de una fbrica se sabe que el 3% son defectuosos. Cul es la probabilidad de que en una muestra de siete envases: a. Por los menos tres sean defectuosos? b. Como mximo tres sean buenos?

    Comencemos por clasificar la informacin dada y distinguir si se cumplen o no los criterios de la distribucin binomial. Un envase puede clasificarse en defectuoso o no defectuoso, luego sta es la variable aleatoria para la cual tenemos xito o fracaso. Como ser defectuoso representar el xito tendremos que

    0.03p = . Por otra parte, como se analizarn 7 envases es como si estuvisemos repitiendo el mismo experimento 7 veces, luego 7n = . De este modo observamos que todos los criterios son los requeridos para utilizar una distribucin binomial. Respondamos ahora la pregunta de cada literal. a. Cul es la probabilidad de que en una muestra de siete envases por los menos tres sean

    defectuosos?

    Si una variable aleatoria X se distribuye Binomial entonces su funcin de probabilidad establece que la probabilidad de que X tome un valor x es

    ( ) x n xn

    P x p qx

    =

    Donde

    nx

    es n combinado x o como lo hemos venido trabajando n xC .

    Para esta variable aleatoria el valor esperado o media y varianza son:

    ( ) ( )x

    E X xP x np= = 2 2( ) ( ) ( ( )) (1 )Var X E X E X np p= =

  • Primero definimos la variable aleatoria X: Nmero de envases defectuosos Como por lo menos significa como mnimo debemos calcular la probabilidad de que como mnimo haya tres envases defectuosos.

    0 7 0 1 7 1 2 7 2

    7 6 2 5

    7 6 2

    ( 3) 1 ( 3) 1 ( ( 0) ( 1) ( 2))

    7 7 7 1

    0 1 2

    1 7 21 1 0.97 7(0.03)(0.97) 21(0.03) (0.97

    P x P xP x P x P x

    p q p q p q

    q pq p q

    =

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