? Web view8 x -7 dx 2 x 2 - x -3 = ( 3 x +1 + 2 2 x -3 ) dx = 3Ln x +1 + Ln 2 x -3 Para ver cmo funciona

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    10-Jul-2018

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En esta seccin se muestra cmo integrar cualquier funcin racional (una relacin de polinomios), factorizable en el denominador, expresndolo como una suma de fracciones ms simples, llamadas fracciones parciales, que ya conocemos cmo integrar. Para ilustrar el mtodo, observe que tomando las fracciones y , sus integrales correspondientes seran

Sea U = x + 1 du = dx

3Ln3Ln y

Sea U = 2x 3 du = 2dx dx =

LnLn

Ahora, sumando las fracciones se obtiene

si deseamos integrar la funcin entonces = porque son la misma funcin. Si ahora invertimos el procedimiento, vemos cmo integrar la funcin en el lado derecho de la ecuacin as

= = 3LnLn

Para ver cmo funciona el mtodo de las fracciones parciales en general, consideremos un funcin racional f(x) = , donde P y Q son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fracciones ms simples.

Siempre que el grado de P sea inferior al grado de Q tal funcin racional se denomina apropiada. Recordemos que

Q(x) = anxn + an-1xn-1 +.+ a1x + a0 donde an 0,

En general lo primero que debemos realizar es la factorizacin del denominador y convertir la funcin racional en sumas parciales cuyos denominadores sern los factores encontrados. Retomemos la integral anterior ; lo primero que debemos realizar es la factorizacin de entonces descomponemos el primer y tercer factor y los acomodaremos de manera tal que al multiplicarlos en en equis y sumarlos obtengamos el trmino del medio entonces

= (2x-3)(x+1)

2x -3 2x

x 1 -3x

-x

Reemplazando obtenemos por lo tanto podemos descomponer la funcin en fracciones parciales as = el problema se traduce en encontrar los valores de A y B. Para ello utilizaremos los numeradores. Ahora si sumamos las dos fracciones del miembro de la derecha obtendremos como numerador A*(2x-3) + B*(x+1) = 2Ax 3A + Bx + B. Luego agrupamos trminos semejantes as 2Ax 3A + Bx + B = (2A+B)x + (-3A+B) Ahora igualamos los numeradores de ambos miembros entonces

8x 7 = (2A+B)x + (-3A+B)

correspondientemente el coeficiente de x y el trmino independiente en ambos miembros deben ser iguales obteniendo el sistema de ecuaciones

2A + B = 8

-3A + B = -7

Utilizando la regla de Krammer encontramos los valores de A y B as

A = = = = 3 y B = = = = 2

Por lo tanto = entonces integrando obtenemos como se demostr al comienzo = 3LnLn + C

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